Θεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m 1, m 2 τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα.
|
|
- Ευαδνη Τρύφαινα Ελευθεριάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m, m τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα. i) Εάν είναι το διάνυσµα θέσεως του ενός υλικού σηµείου σε σχέση µε το άλλο, να δείξετε ότι ισχύει η διαφορική εξίσωση: µ d = - Gm m 3 όπου µ η λεγόµενη ανηγµένη µάζα των δύο υλικών σηµείων, για την οποία ισχύει η σχέση: µ = m + m ii) Να δείξετε ότι η στροφορµή του σύστήµατος ως προς το κέντρο µάζας του, προκύπτει από την σχέση: = µ ( v ) όπου v η σχετική ταχύτητα του ένος σωµατιδίου ως προς το άλλο. iii) Η µηχανική ενέργεια των δύο υλικών σηµείων στο σύστηµα ανα φοράς του κέντρου µάζας τους, ικανοποιεί την σχέση: E = µv - Gm m ΛΥΣΗ: i) Εάν R, R είναι τα διανύσµατα θέσεως των µαζών m, m αντι στοίχως ως προς την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστήµατος αναφοράς (Σ), τότε ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει για τις µάζες αυτές τις σχέσεις:
2 m (d R / ) = F m (d R / ) = F d R / = Gm / 3 d R / = - Gm / 3 m (d R / ) = Gm m / 3 m (d R / ) = - Gm m / 3 ( ) d ( R - R ) = G(m +m ) () 3 όπου οι Νευτώνειες δυνάµεις F, F ανάµεσα στα δύο υλικά σηµεία είναι αντί θετες. Όµως ισχύει η σχέση: R + = R R - R = - oπότε η () γράφεται: Σχήµα Σχήµα - d = G(m +m ) 3 m m & d m +m = - Gm m 3 µ d = - Gm m () 3 ii) Eάν, είναι τα διανύσµατα θέσεως των υλικών σηµείων µε µάζες m, m αντιστοίχως v, v οι ταχύτητές τους στο σύστηµα αναφοράς του κέν τρου µάζας τους, θα ισχύουν οι σχέσεις: m + m = m = - m m (d /) = - m (d /) (3) Η στροφορµή του συστήµατος των δύο σωµατιδίων περί το κέντρο µάζας τους στο σύστηµα του κέντρου µάζας, δίνεται από την σχέση: = d m ' + d (3) m ' & &
3 = d m ' - d m ' & & = - d ( ) m ' (4) & Όµως ισχύουν οι σχέσεις: - = d - d = d d - d = d - m m d - d = d m + & d m = - d d = - m m + m & d d m = -µ d d m = - m m m + m & d (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) (5) παίρνουµε: =- - ( ) -µ d ' = µ d ' & & = µ ( v ) (6) iii) Η µηχανική ενέργεια του σύστήµατος των δύο υλικών σηµείων στο σύστη µα αναφοράς του κέντρου µάζας τους, δίνεται από την σχέση: E = m v + m v - Gm m (7) Ακόµη έχουµε την σχέση: m v = m ( v v ) = m - m όποτε η (7) γράφεται: v m ' - m & v m ' = m v & m ( v ) E = m v ( v ) + m ( v ) - Gm m v m E = m + m & v ' m ( v ) - Gm m ( )( v v ) - Gm m E = m m m + m (8) Επί πλέον έχουµε:
4 - = d - d = d d - d = - d v - v = - d v - -m m v & = - d m + m m & v = - d m v = - m + m & d v ( v ) = m d ' ' m + m & & (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) (9) παίρνουµε: ( ) E = m m m + m m d & & m + m - Gm m E = m m d & & m + m - Gm m = µ d & - Gm m Παρατηρήσεις: α) Aν οι Νευτώνειες δυνάµεις F, F αναχθούν στο κέντρο µάζας των δύο σωµατιδίων εφαρµοσθεί για το κέντρο µάζας ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα, θα έχουµε την σχέση: (m + m ) d R = F + F (m + m ) d R = d R = η οποία εξασφαλίζει ότι η ταχύτητα του κέντρου µάζας στο αδρανειακό σύστη µα (Σ) είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µά ζας είναι αδρανειακό σύστηµα. β) Υπάρχει δυνατότητα να συνδέσουµε τα κινητικά στοιχεία v που χαρακτηρίζουν την κίνηση της ενεργού µάζας µ των δύο υλικών σηµείων, µε τα κινητικά στοιχεία των υλικών αυτών σηµείων τόσο στο αδρανειακό σύστηµα (Σ) όσο στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας. Πράγµατι από το σχή µα () προκύπτει: Άρα = - = - m - m = - (m + m ) m m = - m = - m m + m m (m + m ) = - µ () m
5 = - m = µ () m m Επίσης από το ίδιο σχήµα έχουµε: R = R + () R = R - µ () m R = R + () R = R + µ (3) m Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο τις () () παίρνουµε: d = - µ d m d = µ d m v = - µ v (4) m v = µ v (5) m Παραγωγίζοντας ακόµη τις () (3) παίρνουµε: d R d R = d R - µ d m V = V - µ v (6) m = d R + µ d m V = V + µ v (7) m όπου V η ταχύτητα του κέντρου µάζας V, V οι ταχύτητες των υλικών σηµείων στο αδρανειακό σύστηµα (Σ). Εξάλλου οι ορµές p, p των δύο υλι κών σηµείων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους είναι: (4) p = m v (5) p = m v µ v p = -m = - µ m µ v p = m = µ m δηλαδή το ένα σωµατίδιο έχει ορµή ίση µε την ορµή της ενεργού µάζας µ το άλλο ορµή αντίθετη της ορµής της ενεργού µάζας, γεγονός συµβατό µε το ότι η συνολική ορµή του συστήµατος των δύο υλικών σηµείων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους είναι µηδενική. Εξάλλου οι ορµές των υλι κών σηµείων στο αδρανειακό σύστηµα (Σ) είναι: v v P = m V (6) P = m V - µ v
6 (7) P = m V P = m V + µ v Προσθέτοντας κατά µέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις παίρνουµε: P + P = (m + m ) V δηλαδή η συνολική ορµή των δύο υλικών σηµείων στο αδρανειακό σύστηµα (Σ) είναι ίση µε την ορµή του κέντρου µάζας τους, αν σ αυτό θεωρήσουµε συγκεν τρωµένη την συνολική τους µάζα. γ) Οι στροφορµές L, L των υλικών σηµείων περί το κέντρο µάζας τους, στο συστηµα αναφόράς του κέντρου µάζας, είναι: L = m (), (4) ( v ) L = m (), (5) ( v ) * L = - µ & ' - m, µ m +, m * µ L = & ' m µ, m +, m v () v () - & / = µ ' µ./ m ( v () ) - & / = µ ' µ./ m ( v () ) Προσθέτοντας κατά µέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις παίρνουµε: L + L = µ µ m ( v ) + µ m L µ + L = + µ & m m ( ' µ v () ) ( µ v ) L = µ m + m & ( ' µ v () ) = ' µ ( v () ) δηλαδή επανευρίσκουµε την σχέση (6). Aς δούµε στην συνέχεια ένα χαρακτηρι στικό παράδειγµα εφαρµογής των προηγούµενων παρατηρήσεων. Δύο άστρα Α Α µε αντίστοιχες µάζες m, m κινούνται υπό την επίδραση των αµοιβαίων βαρυτικών τους έλξεων η δε σχετική κί νηση του ένός ως προς το άλλο είναι οµαλή κυκλική. Εάν το κέντρο µάζας των δύο άστρων είναι ακίνητο µέσα στο Σύµπαν, να καθο ριστουν οι κινήσεις των δύο άστρων στο σύστηµα αναφοράς του κέν τρου µάζας τους. Nα θεωρήσετε αµελητέα την βαρυτική έλξη που δέχονται τα δύο άστρα από τα γειτονικά προς αυτά ουράνια σώµατα. ΛYΣH: Επειδή τα δύο άστρα κινούνται υπό την επίδραση των αµοιβαίων βαρυτικών τους έλξεων (οι εξωτερικές δυνάµεις από τα γειτονικά άστρα θεω ρούνται ασήµαντες) η σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο είναι ισοδύ ναµη µε την κίνηση ενός νοητού σωµατος µάζας ίσης προς την ενεργό µάζα µ
7 του συστήµατος, πάνω στο οποίο ενεργεί η αντίστοιχη δύναµη αλληλεπίδρασης. Όµως σύµφωνα µε το πρόβληµα το σώµα αυτό εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση που σηµαίνει ότι το διάνυσµα θέσεώς του (επιβατική ακτίνα) ως προς το κέν τρο της τροχιάς του περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, της οποίας το µέτρο θα βρέθεί από το γεγονός ότι η βαρυτική έλξη που δέχεται δρά ως κεντροµόλος δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέση: G m m = µv G m m = m m & ' m + m = G (m + m ) 3 = G(m + m ) 3 () όπου G η σταθερά της βαρύτητας v η γραµµική ταχύτητα της ενεργού µάζας, που αποτελεί την σχετική ταχύτητα του ενός άστρου ως προς το άλλο. Ας εξετάσουµε τώρα τις κινήσεις των δύο άστρων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους. Εάν, είναι τα διανύσµατα θέσεως των άστρων Α (m ), A (m ) αντιστοίχως ως προς το, τότε σύµφωνα µε τις προηγούµενες παρατηρήσεις θα έχουµε τις σχέσεις: = µ = m m m m (m + m ) = m () m + m = - µ m = - m m m (m + m ) = - m (3) m + m Οι σχέσεις () (3) εξασφαλίζουν ότι τα διανύσµατα, ως συγγραµµικά του στρέφονται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα έχουν σταθερά µέτρα, που σηµαίνει ότι τα άστρα Α, Α διαγράφουν στο σύστηµα αναφοράς του κέν Σχήµα 3 Σχήµα 4 τρου µάζας τους οµόκεντρες περιφέρειες κέντρου ακτίνων,, µε >, µε την προυπόθεση ότι ισχύει m >m (σχ. 4), δηλαδή αποτελούν ένα διπλό άστρο. H όρµη p του διπλού άστρου είναι: p = p + p = µ v - µ v =
8 η δε στροφορµή του περί το κέντρο µάζας είναι: = µ ( v ) = µ ( v ) = µ m = m & ' m + m δ) Εάν οι δυνάµεις αλληλεπίδρασης µεταξύ δύο υλικών σηµείων δεν είναι Νευτώνειες δυνάµεις (λόγου χάρη είναι απωστικές δυνάµεις oulomb) αλλα πάντως δυνάµεις εξαρτώµενες από την απόστασή τους, τότε υπό την απουσία εξωτερικών δυνάµεων η σχετική κίνηση του ένος ως προς το άλλο ισοδυναµεί πάλι µε την κίνηση ενός υποθετικού υλικού σηµείου µε µάζα ίση προς την ενεργό µάζα µ των δύο υλικών σηµείων, όταν αυτό δέχεται την αντίστοιχη δύ ναµη αλληλεπίδρασης. Η διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση της ενεργού µάζας έχει την µορφή: µ d = F() όπου το διάνυσµα θέσεως του ενός υλικού σηµείου ως προς το άλλο F() η συνάρτηση που καθορίζει την εξάρτηση της αντίστοιχης δύναµης αλληλεπίδ ρασης από την απόσταση. Oι προηγούµενες παρατηρήσεις (α), (β), (γ) ισχύουν στην περίπτωση αυτή γεγονός που θα κατανοηθεί µε το εξής παράδειγµα: Δύο σωµατίδια Σ, Σ µε αντίστοιχες µάζες m, m φέρουν θετικό φορτίο κάποια στιγµή βάλλεται το ένα εναντίον του άλλου από πολύ µεγάλη απόσταση οι δε φορείς των αρχικών τους ταχυτήτων εκτόξευσης δεν ανήκουν στην ευθεία που συνδέει τα δύο σωµατίδια. Εάν η αλληλεπίδραση των δύο σωµατιδίων σε συνδυασµό µε τις αρχι κές τους ταχύτητες διαµορφώνει σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο επί της υπερβολικής τροχιάς (τ) του σχήµατος (5), να καθορισ θούν ποιοτικά οι τροχιές των δύο σωµατιδίων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους. ΛΥΣΗ: Η υπερβολική τροχιά (τ) που αντιστοιχεί στην σχετική κίνηση του ενός σωµατιδίου ως προς το άλλο είναι η τροχιά που διαγράφει η ενεργός µάζα µ των δύο σωµατιδίων υπό την επίδραση της απωστικής δύναµης oulomb F που περιγράφεται από την διανυσµατική σχέση: F = k q q 3 () όπου k θετική σταθερά, q, q τα ηλεκτρικά φορτία των σωµατιδίων Σ, Σ αντιστοίχως το διάνυσµα θέσεως του ενός ως προς το άλλο. Aναλύοντας τα στοιχεία της κίνησης παρατηρούµε ότι η ενεργός µάζα προσεγγίζει το απω στικό κέντρο Ο µε αρχική ορµή p της οποίας ο φορέας απέχει από το Ο από σταση b αφού φθάσει στο εγγύτερο σηµείο Μ αποµακρύνεται µε τελική ορµή p σκεδαζόµενη από την αρχική της διεύθυνση κατά γωνία φ (σχ. 5). Πρέπει να τονιστεί ότι η υπερβολική τροχιά της ενεργού µάζας προβλέπεται από την θεωρία της κεντρικής κίνησης, δηλαδή η ύπαρξή της είναι θέµα επί λυσης της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει την κίνηση της ενεργού µάζας.
9 Ας εξετάσουµε τώρα τις κινήσεις των δύο σωµατιδίων στο σύστηµα αναφοράς Σχήµα 5 του κέντρου µάζας τους. Εάν, είναι τα διανύσµατα θέσεως των σωµατι δίων Σ Σ αντιστοίχως ως προς το κέντρο µάζας τους, τότε σύµφωνα µε τις προηγούµενες παρατηρήσεις θα έχουµε τις σχέσεις: = µ = m m m m (m + m ) = m () m + m = - µ m = - m m m (m + m ) = - m (3) m + m Σχήµα 6 Από τις σχέσεις () (3) παρατηρούµε ότι τα διανύσµατα, είναι συγ γραµµικά του διανύσµατος αντίρροπα µεταξύ τους. Τα µέτρα οι διευ θύνσεις των διανυσµάτων αυτών µεταβάλλονται καθώς εξελίσσεται η κίνηση των δύο σωµατιδίων κατά τρόπο που οι άκρες τους να διαγράφουν στο σύστη µα αναφοράς του κέντρου µάζας τους τις υπερβολικές καµπύλες (τ ), (τ ) που αποτελούν τις τροχιές των δύο σωµατιδίων. Τα δύο σωµατίδια αρχικά κατευθύνονται προς το κέντρο µάζας τους µε αρχικές ορµές p - p αφού φθάσουν στα εγγύτερα προς το κέντρο µάζας σηµεία α, α αποµακρύ νονται µεταξύ τους µε τελικές ορµές p - p (σχ. 6). P.M. fysikoς
10 Υλικό σηµείο µάζας m κινείται υπό την επίδραση κεντρικής δύναµης F που εκπορεύεται από ελκτικό κέντρο Ο έχει την µορφή: F = f() e όπου f() µια συνάρτηση της απόστασης του υλικού σηµείου από το Ο e το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής του ακτίνας ως προς το Ο. Εάν η τροχιά του υλικού σηµείου είναι περιφέρεια κύκ λου ακτίνας, να βρείτε την αναγκαία συνθήκη ώστε η τροχιά αυτή να είναι ευσταθής, δηλαδή αν το υλικό σηµείο εκτραπεί λίγο από την κυκλική τροχιά του η νέα του κίνηση να είναι φραγµένη περί την κυκλική τροχιά. ΛΥΣΗ: Από την θεωρία της κεντρικής κίνησης είναι γνωστά τα εξής: Α) Εάν υλικό σηµείο κινείται υπό την επίδραση κεντρικής δύναµης, η στροφορ µή του L περί το κέντρο Ο από το οποίο εκπορεύεται η δύναµη διατηρείται σταθερή η δε κίνησή του είναι επίπεδη µε επίπεδο κίνησης που διέρχεται από το Ο είναι κάθετο στο σταθερό διάνυσµα της στροφορµής. Β) Η διαφορική εξίσωση της ακτινικής συνιστώσας της κίνησης έχει την µορ φή: m d - d ( + * ' - = f() d & ) *, - - d ' = f() () & m όπου dφ/ ο ρυθµός µεταβολής της πολικής γωνίας φ του υλικού σηµείου, κατα την στιγµή που το εξετάζουµε. Γ) Η διαφορική εξίσωση της κάθετης επί την ακτίνα συνιστώσας της κίνησης (εγκάρσια συνιστώσα) έχει την µορφή: m d + d d ' = m d & d + d ' = & m d d d ' = & = ct d = L m () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () () παίρνουµε: d - L m 3 = f() m (3) Για κυκλική τροχιά ακτίνας η σχέση (3) γράφεται:
11 L - m = f( ) 3 m f( ) + L m = (4) 3 Aς φανταστούµε τώρα ότι το υλικό σηµείο εκτρέπεται πολύ λίγο από την κυκ λική του τροχία, οπότε η νέα κίνηση που προκύπτει για το υλικό σηµείο θα περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση: d ( + x) L - m ( + x) = f( + x) 3 m d x - L m ( + x) 3 - f( + x) m = (5) µε x<<. Όµως έχουµε: ( + x) = x/ ( ) = ( + x/ ) -3 η οποία µε ανάπτυξη σε σειρά Taylo αφού παραλειφθούν οι όροι δευτέρας άνω τάξεως ως αµελητέοι, παίρνει την µορφή: ( + x) 3 3-3x ' (6) & Eπίσης για την συνάρτηση f( +x) µε ανάπτυξη σε σειρά Taylo έχουµε: f( + x) = f( ) + x df & d + x = d f d & +... = f( + x) f( ) + x df ' f( d ) + xf'( ) (7) & = H (5) µε βάση τις (6) (7) παίρνει την µορφή: d x - L m 3 d x - L m 3-3x & - f( ) m - xf'( ) m = + 3L x m 4 - f( ) m - xf'( ) m = (4) d x + 3L x m 4 - xf'( ) m = (8) Όµως στην περίπτωση της κυκλικής τροχιάς η κεντρική δύναµη είναι ελκτική [f( )<] αποτελεί για το υλικό σηµείο κεντροµόλο δύναµη, οπότε ισχύει:
12 -f( ) = m d ' & Έτσι η σχέση (8) γράφεται: -f( ) = m d x - 3f( )x - xf'( ) m m = L m & -f( ) m = L m 4 m d x - 3f( ) + f'( )& x = (9) Με την προυπόθεση ότι η εντός της αγγύλης ποσότητα είναι αρνητική, τότε η (9) µπορεί να πάρει την µορφή: m d x + kx = µε k = - 3f( ) - f'( ) > () Αν λοιπόν ισχύει: 3f( ) + f'( ) < τότε η διαφορική εξίσωση () θα έχει ηµιτονική λύση, δηλαδή η εκτροπή x θα µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο, που σηµαίνει ότι νέα τροχιά του υλικού σηµείου θα είναι φραγµένη, δηλαδή θα διαφέρει λίγο από την αρχική κυκλική τροχιά υπό την έννοια αυτή η κυκλική τροχιά θεωρείται ευσταθής. Αν όµως ισχύει: 3f( ) + f'( ) τότε η διαφορική εξίσωση () θα έχει εκθετική λύση, δηλαδή η εκτροπή x θα αυξάνεται µε τον χρόνο που σηµαίνει ότι η νέα κίνηση του υλικού σηµείου δεν θα είναι φραγµένη, αλλά συνεχώς θα αποκλίνει από την αρχική κυκλική τρο χιά η οποία θεωρείται ασταθής. Ένας άλλος τρόπος για την αντιµετώπιση τoυ θέµατος της ευστάθειας κυκλι κής τροχιάς µέσα σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων είναι να χρησιµοποιήσουµε την λεγόµενη ενεργό δυναµική ενέργεια του υλικού σηµείου. Πρίν αναφερθούµε στην έννοια αυτή ας θυµηθούµε ότι κατα την διάρκεια της κεντρικής κίνησης υλικού σηµείου η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή, δηλαδή µπο ρούµε να γράψουµε την σχέση: mv / + U() = E () όπου Ε η σταθερή µηχανική ενέργεια του υλικού σηµείου, v η ταχύτητά του
13 την στιγµή που το εξετάζουµε U() η αντίστοιχη δυναµική του ενέργεια η σχετιζόµενη µε την κεντρική δύναµη που δέχεται. Όµως για το µέτρο της ταχύτητας v έχουµε την σχέση: v = v + v = d ' & d + ' & v = d & L + m & = d & + L m () όπου v, v η ακτινική η εγκάρσια συνιστώσα αντίστοιχα της ταχύτητας. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () () παίρνουµε: m d & + L + U() = E (3) m To µονόµετρο µέγεθος U()+L /m ορίζεται ως ενεργός δυναµική ενέρ γεια του υλικού σηµείου συµβολίζεται µε U εν (), δηλαδή ισχύει: L U () = U() + m (4) Mε βάση την (4) η (3) γράφεται: m d & + U '( () = E (5) Η σχέση (5) περιέχει ως µεταβλητή µόνο την απόσταση ως εκ τούτου µας επιτρέπει να θεωρούµε την ακτινική συνιστώσα της κεντρικής κίνησης του υλικού σηµείου ως µια ανεξάρτητη µονοδιάστατη κίνηση που εξελίσσεται σε κεντρικό δυναµικό πεδίο, το οποίο απορρέει από µια εικονική συνάρτηση U εν () που εκφράζει την ενεργό δυναµική ενέργεια του υλικού σηµείου. Παρατήρηση: H ενεργός δυναµική ενέργεια αποτελείται από τον όρο U() που εκφράζει την συνήθη δυναµική ενέργεια, από την οποία απορρέει η κεντρική δύναµη F =f() e από τον όρο L /m, που ονοµάζεται φυγοκεντρική δυναµική ενέργεια, διότι από αυτήν απορρέει µια εικονική απωστική δύναµη που έχει τα χαρακτηρηστικά στοιχεία φυγόκεντρης δύναµης. Πράγµατι η δύναµη F που προκύπτει από την σχέση: F = - L & m ( = - d L & ' d m ( e '
14 F = - L m d ' e d = L & m ' e & 3 F = m 4 v m & ( ' 3 e = mv Παραγωγίζοντας την (4) ως προς παίρνουµε την σχέση: - U () d - du () d = - U() d e - d L & d m ( ' = f() + L m 3 (6) H (6) για κυκλική τροχιά ακτίνας γράφεται: - du ( ) d = f( ) + L m 3 (4) du ( ) d = (7) H σχέση (7) εκφράζει ότι στα σηµεία της κυκλικής τροχιάς η U εν () παρουσιά ζει ακρότατο, που σηµαίνει ότι η τροχιά είναι σε κατάσταση ισορροπίας. Αν η δεύτερη παράγωγος της U εν () στα σηµεία = είναι θετική η ισορροπία της κυκλικής τροχιάς είναι ευσταθής, δηλαδή µια µικρή εκτροπή απο την κυκλική τροχιά θα προκαλέσει νέα κίνηση που είναι φραγµένη εποµένως θα δια φέρει πολύ λίγο απο την αρχική κυκλική τροχιά. Αν όµως η δεύτερη παράγω γος της U εν () στα σηµεία = είναι αρνητική, η ισορροπία της κυκλικής τροχιάς είναι ασταθής που σηµαίνει ότι µια µικρή εκτροπή από την κυκλική τροχιά θα προκαλέσει νέα κίνηση που αποκλίνει από την κυκλική τροχιά. Το κριτήριο εποµένως ευστάθειας της κυκλικής τροχιάς είναι η σχέση: d U ()& d ( > (8) ' = Παραγωγίζοντας εξάλλου την (6) παίρνουµε: d U () = - f() d d - d L & d m 3 ( ' = - f() d + 3L m 4 d U ()& d ( = -f'( ) + 3L 4 ' m = Όµως στην περίπτωση της κυκλικής τροχιάς η κεντρική δύναµη είναι ελκτική [f( )<] αποτελεί για το υλικό σηµείο κεντροµόλο δύναµη, οπότε ισχύει: -f( ) = m d ' & -f( ) = m L m & -f( ) = L m 4
15 oπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: d U ()& d ( = -f'( ) - 3f( (8) ) ' = -f'( ) - 3f( ) > f'( ) + 3f( ) < δηλαδή επανευρίσκουµε την συνθήκη ευστάθειας της κυκλικής τροχιάς. Ως εφαρµογή των παραπάνω ας εξετάσουµε το εξής παράδειγµα: Yλικό σηµείο µάζας m κινείται σε κεντρικό δυναµικό πεδίο που απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U(), της µορφής: U() = -k/3 3 όπου k θετική σταθερή ποσότητα η απόσταση του υλικού σηµείου από το κεντρο Ο του πεδίου. i) Aν το υλικό σηµείο κινείται σε κυκλική τροχιά κέντρου Ο ακτί νας R, να βρεθεί η µηχανική του ενέργεια. ii) Nα εξετασθεί αν η κυκλική τροχιά είναι ευσταθής ή όχι. ΛΥΣΗ: i) Το υλικό σηµείο δέχεται από το πεδίο κεντρική δύναµη F (), που απορρέει από την συνάρτηση U() µέσω της σχέσεως: F () = - U() = - du() d e F () = - d d - k 3 3 & e = - k e () 4 δηλαδή η δύναµη F () είναι ελκτική µε µέτρο αντίστροφα ανάλογο της τέταρ της δύναµης της απόστασης του υλικού σηµείου από το ελκτικό κέντρο Ο. Όταν το υλικό σηµείο κινείται σε κυκλική τροχιά, η δύναµη αυτή ενεργεί ως κεντροµόλος δηλαδή ισχύει η σχέση: F (R) = mv R k R 4 = mv R v = k mr 3 () όπου v το σταθερό µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου. H µηχανική ενέρ γεια Ε του υλικού σηµείου είναι το άθροισµα της κινητικής του ενέργειας Κ της δυναµικής του ενέργειας U(R), δηλαδή ισχύει: E = K + U(R) = mv - k 3R 3 () E = k R 3 - k 3R 3 = k 6R 3 (3)
16 ii) Kριτήριο για την ευστάθεια ή µη της κυκλικής τροχιάς είναι το πρόσηµο της ποσότητας F (R)+3F(R)/R, δηλαδή θα έχουµε: F'(R) + 3F(R) R = - - 4k & + 3 R - k R 4 & R 5 = 4k R 5-3k R 5 F'(R) + 3F(R) R = k R 5 > δηλαδή η κυκλική τροχιά είναι ασταθής. P.M. fysikos
Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F!
Υλικό σηµείο µάζας, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), η οποία ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το ελκτι κό κέντρο Ο, δηλαδή περιγράφεται
Διαβάστε περισσότεραόπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!
Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ 1 και Σ 2 µε αντίστοιχες µάζες m 1 και m 2, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις.
Θεωρούµε σύστηµα δύο σωµατιδίων Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, τα οποία αλληλοεπιδρούν χωρίς όµως να δέχονται εξωτερικές δυνάµεις. i) Nα δείξετε ότι η σχετική ορµή P του ενός, λογουχάρη του Σ ως
Διαβάστε περισσότεραόπου x η συντεταγµένη του σωµατιδίου, θεωρούµενη µε αρχή ένα στα θερό σηµείο Ο του άξονα και α, U 0 σταθερές και θετικές ποσότητες.
Υλικό σωµατίδιο µάζας m κινείται πάνω σε σταθε ρό άξονα x x υπό την επίδραση δύναµης, της οποίας ο φορέας συµπί πτει µε τον άξονα. Η δύναµη απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: Ux) =
Διαβάστε περισσότεραi) Εάν η κρούση είναι µετωπική και πλαστική, να δείξετε ότι η τρο χιά του συσσωµατώµατος που δηµιουργείται είναι ελλειπτική.
Ένας δορυφόρος µάζας m κινείται περί την Γη επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας και κάποια στιγµή προσκρούει ακτινικά πάνω σ αυτόν σώµα µάζας m και της ίδιας κινητικής ενέργειας µε τον δορυφόρο. i) Εάν η κρούση
Διαβάστε περισσότερατης µορφής:! F = -mk! r
Ένα µικρό σώµα µάζας m, κινείται επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας α µέσα σε δυναµικό πεδίο, ελκόµενο από σταθερό ση µείο Ο που αποτελεί το κέντρο της τροχιάς, µε δύναµη F της µορφής: F -mk όπου το διάνυσµα
Διαβάστε περισσότεραA! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2
A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,
Διαβάστε περισσότεραΘετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R<D), η οποία είναι προσγειωµένη.
Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R
Διαβάστε περισσότερα(ΘΕΜΑ 17ο)
Εισαγωγικά: Με το πρόβληµα της αλληλεπίδρασης δύο µαζών, µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος παρουσία οµογενούς βαρυτικού πεδίου, είχα ασχοληθεί και στο παρελθόν παρουσιάζοντάς το στην ιστοσελίδα µου µε
Διαβάστε περισσότερα. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!
Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΥλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη F! που περιγράφεται από την σχέση:! F = f(r)! r
Υλικό σηµείο µάζας m έλκεται από σταθερό κέν τρο Ο µε δύναµη F που περιγράφεται από την σχέση: F fr) r όπου fr) µια συνάρτηση, η οποία δεν ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης r
Διαβάστε περισσότεραΔυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων
Δυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων Θεωρούµε δύο σωµατίδια Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, των οποίων τα διανύσµατα θέσεως ως προς την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστή µατος αναφοράς Oxyz
Διαβάστε περισσότεραii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο.
Το σύστηµα του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοια ελατήρια στα θεράς και φυσικού µήκους α, των οποίων οι άξονες βρίσκονται πάνω στην ευθεία ΑΒ, όπου Α, Β είναι δύο ακλόνητα σηµεία του επιπέδου. Εκτρέπουµε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την
Διαβάστε περισσότερα, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση:
Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικ ρός κύβος µάζας m. Nα δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστη µα αναφοράς του
Διαβάστε περισσότεραii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.
Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας εφαρµόζεται στο
Διαβάστε περισσότεραi) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.
Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση.
Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. i) Εάν Κ είναι το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του στερεού κάποια στιγµή και C η αντίστοιχη θέση του κέντρου µάζας
Διαβάστε περισσότεραδιεύθυνση. Tο διάνυσµα αυτό δείχνει την φορά κατά την οποία η γωνία θ αυξά νεται. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:
ANAΛYTIKH MEΛETH THΣ KENTPIKHΣ KINHΣHΣ * 13. Tαχύτητα και επιτάχυνση υλικού σηµείου σε πολικές συντεταγµένες Θεωρούµε υλικό σηµείο, το οποίο εκτελεί επίπεδη κίνηση διαγράφοντας την τροχιά (C του σχήµατος
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων 1. Να βρεθεί το δυναµικό που οφείλεται σε δύο ακίνητα ελκτικά κέντρα µε µάζες 1 και. Γράψτε την εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας στο παραπάνω δυναµικό.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη
Διαβάστε περισσότεραi) Να βρεθεί ο χρόνος αιώρησης του διαστηµοπλοίου, µέχρις ότου εξαντληθούν τα καύσιµά του.
Ένα διαστηµόπλοιο αιωρείται στον αέρα σε στα θερό ύψος από την επιφάνεια της Γης, εκτοξεύοντας καυσαέρια µε σταθερή ταχύτητα v. Η αρχική µάζα του διαστηµόπλοιου µαζί µε τα καύσιµά του είναι m, η δε µάζα
Διαβάστε περισσότεραΥλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής:
Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου, που εξασκεί στην µάζα m δύναµη η οποία απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: U = k 2 x2 + y ) 2 α) όπου k θετική και σταθερή ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραΈνα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή
Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V 0 πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος κατευθυνόµενο προς κατακόρυφο τοίχο. Το σώµα κάποια στιγµή συγκρούεται ελα στικά και µετωπικά µε µια µπάλα
Διαβάστε περισσότεραF mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται
6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση
Διαβάστε περισσότεραYλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy διαγράφον τας καµπύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από την σχέση:
Yλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy διαγράφον τας καµπύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από την σχέση: y = Αηµωx όπου Α, ω σταθερές και θετικές ποσότητες. Εάν το υλικό σηµείο κατά τον άξονα x κινείται
Διαβάστε περισσότεραµε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w!
Το κυκλικό σύρµα του σχήµατος έχει µάζα m/ και είναι κρεµασµένο από κατακόρυφο σπάγκο αµελητέας µάζας αλλά επαρκούς αντοχής. Δύο όµοιες σηµειακές χάντρες, καθε µιά µε µάζα m, αφήνονται ταυτόχρονα από την
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M11. Στροφορµή
Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την
Διαβάστε περισσότεραΟ δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας
Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας Όταν εξετάζουµε ένα υλικό σύστηµα µεταβλητής µάζας, δηλαδή ένα σύστη µα που ανταλλάσσει µάζα µε το περιβάλλον του, τότε πρέπει να είµαστε πολύ
Διαβάστε περισσότερα1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Διαβάστε περισσότεραv = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α! Κινηµατική άποψη
ΜΕΡΟΣ Α Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα που κινείται στον χώρο, ενώ ένα σηµείο του Ο είναι διαρκώς ακίνητο ως προς το αδρανειακό σύττηµα από το οποίο εξετάζεται. Η θέση του στερεού καθορίζεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/11/017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας
ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης
Διαβάστε περισσότεραKινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης
Kινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης Θα λέµε ότι ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε), παραµέ νουν αµετάβλητες µε το
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς
Διαβάστε περισσότερα) ω ω. L λίγο πριν. . Nα βρεθούν:
Δύο σφαιρίδια A, B µάζας m το καθένα συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L, ηρεµούν δε πάνω σε οριζόντιο τραπέζι ευρισκόµενα σε απόσταση α
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ Α! του σώ µατος ισχύει η σχέση: η επιβατική ακτίνα ως προς το σηµείο P του τυχαίου υλικού σηµείου του στερεού µάζας m i και v!
ΘΕΩΡΗΜΑ Α Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής στερεού σώµατος, θεωρούµενης περί ένα σηµείο του ή της επεκτάσεώς του και αναφερόµενης σε κάποιο αδρανειακό σύστηµα, είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνολική ροπή
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται
Διαβάστε περισσότεραi) Σε κάθε πλήρη περιστροφή το κινητό Α διαγράφει τόξο ίσου µήκους µε το τόξο που διαγράφει το κινητό Β
Φύλλο Εργασίας: ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΟΜΑΛΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Λίγη γεωµετρία πριν ξεκινήσουµε: Σε κύκλο ακτίνας, η επίκεντρη γωνία Δθ µετρηµένη σε ακτίνια (rad) και το µήκος του τόξου Δs στο οποίο βαίνει, συνδέονται
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων
ΜΕΡΟΣ Γ η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Στις άκρες αβαρούς και λεπτής ράβδου µηκούς L, έχουν στερεωθεί δύο όµοιες σφαίρες, µάζας m και ακτίνας R, το δε σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί
Διαβάστε περισσότερα. Για τα δύο σωµατίδια Α και Β ισχύει: q Α q, Α, q Β - q, Β 4 και u Α u Β u. Τα δύο σωµατίδια εισέρχονται στο οµογενές µαγνητικό πεδίο, µε ταχύτητες κ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΙΣ ΣΤΟ ΙΙΑ ΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΥΣΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΙΟΥ 10 3 013 ΘΕΜΑ 1 ο 1. β. γ 3. α 4. β 5. α ΘΕΜΑ ο 1. α. Σωστό Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος των δύο φορτίων δίνεται απόό τη σχέση: q 1
Διαβάστε περισσότεραΑ. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής
Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα
Διαβάστε περισσότερα2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης
Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται
Διαβάστε περισσότεραL = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10
Διαβάστε περισσότεραακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"
Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, ισορρο πεί εφαπτόµενη σε δύο υποστηρίγµατα A και Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της στεφάνης και των υποστη ριγµάτων
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Β! Στρόβος ελεύθερος από εξωτερικές ροπές
ΜΕΡΟΣ Β Στρόβος ελεύθερος από εξωτερικές ροπές Θεωρούµε µια συµµετρική σβούρα στην οποία έχει δοθεί µε κατάλληλο τρό πο αρχική περιστροφική κίνηση περί άξονα που δεν συµπίπτει µε τον άξονα συµµετρίας της
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ
ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ 25/11/2018 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας.
Στην διάταξη του σχήµατος () η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξο να, που διέρχεται από σηµείο Ο ευρισκόµενο σε απόσταση 3L/4 από το άκρο της Α. Η τροχαλία
Διαβάστε περισσότεραη αντίστοιχη ταχύτητα του οχήµατος, θα ισχύει η σχέση:! 0 = m! v + M! V! md! v /dt = -Md!
Tο νήµα µαθηµατικού εκκρεµούς µήκους L, είναι στερεωµένο στην οροφή µικρού οχήµατος µάζας M, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε οριζόντιο επίπεδο (σχήµα 1). i) Eάν το σφαιρίδιο του εκκρεµούς
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα B Λυκείου Σάββατο 22 Απριλίου 2017
Διαγώνισμα Λυκείου Σάββατο Απριλίου 07 Διάρκεια Εξέτασης 3 ώρες Ονοματεπώνυμο. Αξιολόγηση : Θέμα Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1.
Στην διάταξη του σχήµατος 1) οι τροχαλίες τ 1 και τ έχουν την ίδια µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περι φέρειά τους και την ίδια ακτίνα R. Στο αυλάκι της σταθερής τροχα λίας τ έχει περιτυλιχθεί
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler
ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 1 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple! Θα υποθέσουµε ότι ο ήλιος είναι ακίνητος (σχεδόν σωστό αφού έχει τόσο µεγάλη µάζα και η γη δεν τον κινεί).! Οι τροχιές των πλανητών µοιάζουν κάπως σα
Διαβάστε περισσότεραπου δέχεται το άλλο είναι κεντρική µε κέντρο την θέση Ο του ακινήτου σωµατιδίου. Για την αλγεβρική τιµή της F # " F είναι ελκτική δύναµη,
Δύο σωµατίδια αλληλοεπιδρούν µε δυνάµεις, οι οποίες απορρέουν από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας του συστήµα τος των δύο σωµατιδίων, η οποία έχει την µορφή: U = -U e -/ όπου η απόσταση των σωµατιδίων και
Διαβάστε περισσότεραANAΛYTIKH MEΛETH THΣ KENTPIKHΣ KINHΣHΣ *
ANAΛYTIKH MEΛETH THΣ KENTPIKHΣ KINHΣHΣ * 13. Tαχύτητα και επιτάχυνση υλικού σηµείου σε πολικές συντεταγµένες Θεωρούµε υλικό σηµείο, το οποίο εκτελεί επίπεδη κίνηση διαγράφοντας την τροχιά (C του σχήµατος
Διαβάστε περισσότερα( ) ω ( ) = 0. Aπό τις σχέσεις (2) προκύπτει ή ότι το διάνυσµα v K. είναι κάθετο στα διανύσµα τα r A
Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση και έστω (S) η κύρια* τοµή του στερεού κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t. Να δείξετε ότι το αντίστοιχο προς την κύρια
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 17 Ε_3.ΦλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµπτη 5 Ιανουαρίου 17 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΔίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10.
Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται
Διαβάστε περισσότεραΜπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.
Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Τις προηγούµενες µέρες έγινε στο δίκτυο µια συζήτηση µε θέµα «Πόση είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση;» Θεωρώ αναγκαίο να διατυπώσω µε απλό τρόπο κάποια
Διαβάστε περισσότεραΣ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1
Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν
Διαβάστε περισσότερατων Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12
Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι OA και AB µήκους L και µάζας m, αρθρώνονται στο σηµείο Α το δε άκρο Ο της ΟΑ αρθρώνεται σε σταθερό υποστήριγµα, ενώ το άκρο Β της ΑΒ µπο ρεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο
Διαβάστε περισσότερα10. Παραγώγιση διανυσµάτων
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΓια τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
Διαβάστε περισσότεραΟµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!!
Οµογενής σφαίρα µάζας και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκε ται άνωθεν του κέντρου της
Διαβάστε περισσότεραΠοια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;
Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 7 Μάη 2017 Οριζόντια Βολή-Κυκλική Κίνηση-Ορµή Ηλεκτρικό& Βαρυτικό Πεδίο
Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 7 Μάη 2017 Οριζόντια Βολή-Κυκλική Κίνηση-Ορµή Ηλεκτρικό& Βαρυτικό Πεδίο Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα
Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Παρασκευή 25 Μάη 2018 Μηχανική - Ηλεκτρικό/Βαρυτικό Πεδίο
Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Παρασκευή 25 Μάη 2018 Μηχανική - Ηλεκτρικό/Βαρυτικό Πεδίο Σύνολο Σελίδων: επτά 7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: ιαβάστε µε ΠΡΟΣΟΧΗ τις εκφωνήσεις
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1
ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε
Διαβάστε περισσότεραΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ
ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Οι δακτύλιοι του Κρόνου είναι ένα σύστημα πλανητικών δακτυλίων γύρω από αυτόν. Αποτελούνται από αμέτρητα σωματίδια των οποίων το μέγεθος κυμαίνεται από μm μέχρι m, με
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή
Διαβάστε περισσότερααπό τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!
Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Φυσικής Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Θέµατα Φυσικής Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Μάζα που κινείται οριζόντια µε ορµή µέτρου 0 Kg m/s προσπίπτει σε κατακόρυφο τοίχο και ανακλάται οριζόντια µε ορµή ίδιου µέτρου. Το
Διαβάστε περισσότερα# $ + L " = ml " ml! = ML " $ + ml " $ L " = ML/2(M + m) # $ (1) Eξάλλου, εάν L' α, L' σ είναι οι τελικές αποστάσεις του κέντρου µάζας C του
Mία σανίδα, µήκους L καί µάζας M, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο ένα άκρο της σανίδας πατάει άνθ ρωπος µάζας m και αρχίζει να κινείται προς το άλλο άκρο της. Kατά πόσο θα µετατοπιστεί η
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ Ο.Μ.Π. 1. Στο σχήμα δίνονται δύο ομογενή μαγνητικά πεδία με εντάσεις μέτρων Β 2 =2Β 1
1. Στο σχήμα δίνονται δύο ομογενή μαγνητικά πεδία με εντάσεις μέτρων Β 2 =2Β 1. Ένα φορτισμένο σωματίδιο μπαίνει στο πρώτο από το μέσον Ο της πλευράς ΑΓ με ταχύτητα υ 0 και αφού διαγράψει τεταρτοκύκλιο,
Διαβάστε περισσότεραH σταθερά ολοκληρώσεως C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη, ότι για t=0 είναι v=0, οπότε η (2) δίνει: ) (3) m 1 - e- t/t
Υλικό σηµείο µάζας m βρίσκεται ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος στην θέση x= ιου άξονα Οx. Κάποια στιγµή επί του υλικού σηµείου εξασκείται δύναµη της µορφής: F = F e - t/t i όπου F, t θετικές και
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο
Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότεραi) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και
Ένα καροτσάκι που περιέχει άµµο, συνολικής µάζας M, εκτελεί οριζόντια αρµονική ταλάντωση σε λείο επίπεδο, µε τη βοήθεια ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Ένα σφαιρίδιο µάζας m
Διαβάστε περισσότεραi) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,
Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο
Διαβάστε περισσότερα1. Κίνηση Υλικού Σημείου
1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες
Διαβάστε περισσότεραΤροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v!
Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v C. Σε σηµείο της περιφέρειας του τροχου έχει αρθρωθεί το ένα άκρο Β µιας λεπτής
Διαβάστε περισσότερα) z ) r 3. sin cos θ,
Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ 3. Νίκος Κανδεράκης
ΔΥΝΑΜΙΚΗ 3 Νίκος Κανδεράκης Νόμος της βαρύτητας ή της παγκόσμιας έλξης Δύο σώματα αλληλεπιδρούν με βαρυτικές δυνάμεις Η δύναμη στο καθένα από αυτά: Είναι ανάλογη με τη μάζα του m Είναι ανάλογη με τη μάζα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΚΑΙ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΚΑΙ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Αγρίνιο 10-11-013 ΘΕΜΑ 1 ο Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμία από τις επόμενες
Διαβάστε περισσότεραi) Nα εκφράσετε την ταχύτητα της αλυσίδας σε συνάρτηση µε το µή κος x του τµήµατος, που έχει εγκαταλείψει την πλάκα.
Mια οµογενής αλυσίδα, γραµµικής πυκνότητας µ και µήκους L, είναι σωριασµένη πάνω σε οριζόντια πλάκα, η οποία φέρει µια οπή. Πλησιάζουµε το ένα άκρο της αλυσίδας στην οπή και φροντίζουµε να περάσει µέσα
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.
Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.
Διαβάστε περισσότεραπου δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T!
Tο κέντρο µάζας ενός επιβατηγού αυτοκινήτου απέχει από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h. Δίνεται η µάζα Μ του αυτοκινήτου η µάζα m και η ακτίνα R κάθε τροχού, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και οι αποστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.
ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται
Διαβάστε περισσότερατης οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4.
Οριζόντιος δίσκος µάζας Μ ισορροπεί στηριζόµε νος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στηρίζεται στο έδαφος (σχήµα 1). Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΜΑΝΩΛΗ ΡΙΤΣΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Τράπεζα θεμάτων Β Θέμα ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 16118 Δύο σφαιρίδια Σ 1 και Σ 2 βρίσκονται σε λείο οριζόντιο τραπέζι (κάτοψη του οποίου φαίνεται στο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση
Διαβάστε περισσότεραi) Nα δείξετε ότι η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει το κύµα έχει την µορφή: ) µε t! t + T x - x0 ( )
Ένα µονοδιάστατο εγκάρσιο αρµονικό κύµα, πλάτους Α, περιόδου Τ και µήκους κύµατος λ, διαδίδεται κατά µήκος του άξονα x x. Στο σχήµα 1 απεικονίζεται ένα στιγµιότυπο του κύµατος την χρονική στιγµή t=t, όπου
Διαβάστε περισσότερα