Περιεχόµενα σελίδα Πρόλογος. 3 Το χωρίο 546 b3-c7 της Πολιτείας του Πλάτωνος. 9 Μεταγραφή του χωρίου στην νεοελληνική. 10 Κεφάλαιο 1 1.1 Η ερµηνεία του James Adam, για τον «γεωµετρικό αριθµό». 11 1.2 Κριτική της ερµηνείας του Adam. 23 1.3 H ερµηνεία του A. G. Laird, για τον «γεωµετρικό αριθµό». 34 1.4 Kριτική της ερµηνείας του Laird. 51 1.5 Eρµηνεία και κριτική του Μarsilio Ficino. 52 1.6 Η ερµηνεία του J. Dupuis για τον «γεωµετρικό αριθµό». 55 1.7 Κριτική της ερµηνείας του Dupuis. 59 1.8 Τα «τρωτά» σηµεία των παραπάνω ερµηνειών. 61 Κεφάλαιο 2 Ερµηνεία του Γεωµετρικού αριθµού από τον Πρόκλο. 2.1 Εισαγωγή. 64 2.2 Θείον γενητόν και η περίοδός του. 65 2.3 Ο «τέλειος αριθµός» του «Τίµαιου». 67 2.4 Ο «τέλειος αριθµός» της «Πολιτείας». 69 2.5 Οι δύο αυτοί τέλειοι αριθµοί είναι διαφορετικοί. 76 2.6 Ο αριθµός του ανθρωπείου γενητού είναι dittõ j. 77 2.7 Ερµηνεία επί µέρους λέξεων-προτάσεων του χωρίου της «Πολιτείας». 82 2.8 Η αριθµητική ερµηνεία του «γεωµετρικού αριθµού» από τον Πρόκλο. 90 2.9 Η γεωµετρική ερµηνεία του Πρόκλου για τον «γεωµετρικό αριθµό». 98 Κεφάλαιο 3 3.1 Βασικά στοιχεία της ανθυφαιρετικής θεωρίας του Καθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη. 103 3.2 Πλατωνική φιλοσοφία και Μαθηµατικά- Η ανθυφαιρετική ερµηνεία της Πλατωνικής διαλεκτικής από τον Καθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη. 107 1
Κεφάλαιο 4 Ερµηνεία του «γεωµετρικού αριθµού» µε βάση την ανθυφαιρετική θεωρία του καθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη. σελίδα 4.1 Εισαγωγή 129 4.2 Ανάλυση του χωρίου 546 b3-c7 σε µορφή πίνακα. 130 4.3 Ερµηνεία επί µέρους τµηµάτων του χωρίου. 131 4.4 Οι δύο αρµονίες του Πλάτωνος. 137 4.5 Η «ØpÕ qesh των τριών ειδών γωνιών», στην «Πολιτεία», και η σχέση της µε το τετράγωνο. 140 4.6 Ο ρόλος του 4 ου αιτήµατος στην Πλατωνική διαλεκτική. 153 4.7 Η σχέση του αριθµού 5 µε το «πέρας», την περιοδικότητα και την δικαιοσύνη. 157 4.8 Τα σχόλια του Ιάµβλιχου για τον αριθµό 5 και η σχέση του µε τη «σύµµετρη δικαιοσύνη». 159 4.9 O Pυθαγόρειος τρόπος να δείχνουµε τα «αφανή» µέσα από τα «εµφανή»- Ο «ζυγός» σε ρόλο ανθυφαίρεσης-πλευρικών διαµετρικών αριθµών. 176 4.10 H ανθυφαιρετική ερµηνεία των δύο αρµονιών του Πλάτωνος. 180 4.11 rmon a kre ttwn. 181 4.12 rmon a ce rwn. 184 4.13 Τα σχόλια του Πρόκλου για τον αριθµό 5, επιβεβαιώνουν την ανθυφαιρετική ερµηνεία του «γεωµετρικού αριθµού» του Πλάτωνος. 193 4.14 Περιοδικές αναπαραστάσεις αριθµών. 206 4.15 Το τρίγωνο 3-4-5 και η σχέση του µε την µουσική, την αστρονοµία, και την «βέλτιστη πολιτεία». 212 4.16. Αυτούσια τα αρχαία κείµενα της «Πολιτείας» και των σχολίων του Πρόκλου εις «Πολιτείαν», σχετικά µε τον «γεωµετρικό αριθµό». 214 4.17. Τα σχόλια του Πρόκλου στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων στον ορισµό της ορθής γωνίας και στο 4 ο αίτηµα. 224 Πίνακας αρχαίων κειµένων 229 Βιβλιογραφία 235 2
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η ερµηνεία του χωρίου 546 b3-c7, της «Πολιτείας» του Πλάτωνος. Στο χωρίο αυτό ο Πλάτων σκιαγραφεί κάποιον «αριθµό», τον οποίο αποκαλεί «γεωµετρικό αριθµό». Η πρώτη σοβαρή ερµηνευτική προσπάθεια, είναι αυτή του Πρόκλου στα εκτενή σχόλιά του στην «Πολιτεία» του Πλάτωνος. Αναφορές απλές στον «γεωµετρικό αριθµό» του Πλάτωνος, βρίσκουµε και στον ίδιο τον Αριστοτέλη, αλλά και σε άλλους, νεοπλατωνικούς ή µη φιλοσόφους, όπως στους Ιάµβλιχο, Αλέξανδρο Αφροδισιέα, Πλούταρχο, Αριστείδη Κοϊντιλιανό και Νικόµαχο Γερασηνό. Η ερµηνεία του χωρίου αυτού της «Πολιτείας» απασχόλησε από παλιά πολλούς µελετητές. Από την εποχή που µεταφράστηκαν τα αρχαία κείµενα στα λατινικά και µετά, πολλοί µελετητές, ανάµεσά τους οι Μarsilio Ficino 1, James Adam 2, F. Hultch 3, A.G. Laird 4, Paul Tannery 5, Jean Dupuis 6 και άλλοι, προσπάθησαν να απαντήσουν στην πρόκληση να «αποκρυπτογραφήσουν» τον καλά «κρυµένο» «γεωµετρικό αριθµό» του Πλάτωνος. Οι προσπάθειες αυτές κατέληξαν σε ερµηνείες που, σε ορισµένες περιπτώσεις, διαφέρουν ριζικά µεταξύ τους και οι οποίες συνολικά ουδεµία σχέση έχουν µε την Πλατωνική φιλοσοφία. Είναι χαρακτηριστικό ότι οι ερµηνείες αυτές δεν καταφέρνουν να συµφωνήσουν ούτε στο αν ο Πλάτων στο εν λόγω χωρίο της «Πολιτείας» εννοεί ένα ή δύο διαφορετικούς αριθµούς. Αναµφισβήτητα το χωρίο αυτό της «Πολιτείας» του Πλάτωνος περιέχει λέξεις και εκφράσεις των οποίων η κατανόηση και ερµηνεία είναι εξαιρετικά δύσκολη λόγω του ότι κάποιες από αυτές δεν συναντώνται σε άλλα κείµενά του και µερικές φορές ούτε και σε κείµενα των σχολιαστών του. 1 Marsilio Ficino s Commentary on the Fatal Number in Book VIII of Plato s Republic, by Michael J. B. Allen. 2 James Adam, THE REPUBLIC OF PLATO, Vol II, CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS 1965 3 F. Hultch, Zeitschrift fur Mathematik und Physik xxvii, Historisch-literarische Abtheilung, pp. 41 60, de numero Platonis a Proclo enarrato disputatio in Schoell s Procli commentariorum in remp. Platonis partes ineditae pp. 140 148, and Exkurs zu Μέλισσα ΛΕ in Kroll s Procli in Pl. remp. Comantarii ii pp.400 415 Rettig, Proleg. In remp. pp. 315 ff. 4 PLATO S GEOMETRICAL NUMBER AND THE COMMENT OF PROCLUS, Madison, Wisconsin 1918. 5 P. Tannery, MEMOIRES SCIENTIFIQUES, Vol. III, Sciences exactes dans lántiquité 1899-1913, Edit. Jacques Gabay. 6 J. Dupuis, THEON DE SMYRNE, PHILOSOPHE PLATONICIEN, exposition des Connaissances Mathematiques Utiles pour la lecture de Platon 3
Η ερµηνεία-απόδοση συγκεκριµένων λέξεων αυτού του χωρίου από πολλούς µελετητές του Πλάτωνος, όπως θα δούµε, είναι ριζικά διαφορετική µε αποτέλεσµα oι ερµηνείες του χωρίου να αποκλίνουν σηµαντικά. Έτσι, πολλοί µελετητές από αυτούς που ασχολήθηκαν µε την ερµηνεία του συγκεκριµένου χωρίου, οδηγούνται σε διαφορετικό «γεωµετρικό αριθµό» ανάλογα µε την ερµηνεία που έχουν υιοθετήσει για τις λέξεις «κλειδιά» του χωρίου αυτού. Στα πλαίσια της εργασίας αυτής, θα παρουσιάσουµε τις ερµηνείες των J. Adam, Α.G. Laird και Πρόκλου για τον «γεωµετρικό αριθµό». Επίσης θα αναφέρουµε εν συντοµία τα βασικά στοιχεία των ερµηνειών Μarsilio Fiscino, J. Dupuis, F. Hultch και Tannery. Η κριτική µας, όσον αφορά στις παραπάνω ερµηνείες, θα έχει ως άξονες: α) Γλωσσικά λάθη και παρερµηνείες συγκεκριµένων λέξεων-κλειδιών αυτού του πραγµατικά γριφώδους χωρίου της «Πολιτείας» και β) Την µη ενασχόληση των µελετητών αυτών µε το µαθηµατικό περιεχόµενο του χωρίου αυτού, γεγονός που είχε ως αποτέλεσµα λανθασµένες ερµηνείες. Σύµφωνα µε την ανθυφαιρετική ερµηνεία της Πλατωνικής διαλεκτικής από τον Kαθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη, τα µαθηµατικά έχουν παίξει καταλυτικό ρόλο στη διαµόρφωση και την εξέλιξη της πλατωνικής φιλοσοφίας. Όσον αφορά λοιπόν στο (β), η µη ερµηνεία των µαθηµατικών πληροφοριών που µας παρέχει ο Πλάτων στο χωρίο αυτό, οδηγεί, όπως θα δείξουµε παρακάτω σε ερµηνείες που είναι ξένες προς την Πλατωνική φιλοσοφία. Τα σχόλια του Πρόκλου στο 1 ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη και στα άλλα έργα του Πλάτωνος, είναι καίρια για την κατανόηση και την σωστή ερµηνεία της φιλοσοφίας του. Από την άποψη αυτή είναι εποµένως καθοριστικά αρνητικός παράγων το ότι τα σχετικά µε τον γεωµετρικό αριθµό σχόλια των Πρόκλου και Ιάµβλιχου έχουν αγνοηθεί παντελώς από την πλειοψηψία των ερµηνευτών. Η ανακάλυψη της ασυµµετρίας από τους Πυθαγόρειους και η περαιτέρω µελέτη των σύµµετρων ασύµµετρων µεγεθών στα πλαίσια της Ακαδηµίας του Πλάτωνος, υπήρξαν γεγονότα τόσο σηµαντικά για την εποχή τους ώστε οδήγησαν στην µεταφορά τους στο επίπεδο της φιλοσοφίας. Την εποχή κατά την οποία ανακαλύφθηκε η ασυµµετρία, θα πρέπει σταδιακά να συνδέθηκε ο λόγος δύο µεγεθών µε την ανθυφαίρεσή τους, η σύνδεση του απείρου ή πεπερασµένου της ανθυφαίρεσης δύο µεγεθών µε το αν τα µεγέθη αυτά είναι σύµµετρα ή ασύµµετρα καθώς και η περιοδικότητα των πηλίκων της άπειρης 4
ανθυφαιρετικής διαδικασίας µε τα µεγέθη εκείνα που ήταν µεν ασύµµετρα αλλά τα τετράγωνά τους ήταν σύµµετρα. Το συµπέρασµα ότι η ανθυφαίρεση ήταν περιοδική (και εποµένως ότι τα ανθυφαιρούµενα µεγέθη ήταν δυνάµει µόνον σύµµετρα) προέκυπτε αν ο λόγος δύο διαδοχικών πηλίκων ήταν ίσος µε το λόγο δύο επόµενων διαδοχικών πηλίκων (κριτήριο του λόγου). Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν και προσεγγιστική µέθοδο υπολογισµού του λόγου δύο µεγεθών. Η µέθοδος αυτή έχει το χαρακτηριστικό ότι είναι ανεξάρτητη από το αν τα µεγέθη αυτά είναι δυνάµει σύµµετρα ή όχι. Η ανακάλυψη του κριτηρίου του λόγου έδωσε λύσεις στη µελέτη της ασυµµετρίας. Τα σηµαντικά µαθηµατικά αποτελέσµατα που προέκυψαν από τη χρήση της ανθυφαίρεσης, οδήγησαν σε µια υπερτήµηση των δυνατοτήτων της µεθόδου. Οι αντιλήψεις αυτές οδήγησαν στη µεταφορά της µεθόδου σε φιλοσοφικό επίπεδο. Η ισχύς του κριτηρίου του λόγου εξασφαλίζει, όπως είπαµε, το άπειρο της ανθυφαιρετικής διαδικασίας αλλά και την περιοδικότητά της. Το κριτήριο του λόγου εποµένως, από τη µια µεριά αποδεικνύει ότι η ανθυφαίρεση είναι άπειρη, ενώ από την άλλη, εξασφαλίζοντας ότι τα πηλίκα που προκύπτουν επαναλαµβάνονται περιοδικά, θέτει τρόπον τινά ένα πέρας στην άπειρία αυτή. Αυτή ακριβώς η αντίληψη µεταφέρθηκε σε φιλοσοφικό επίπεδο. Η ανθυφαίρεση που είναι άπειρη αλλά περιοδική συσχετίστηκε µε µια µορφή απείρου που «περατώνεται». Ένα τέτοιο άπειρο, όπως το περιγράφει ο Πλάτων στον διάλογο «Φίληβος», έχει τη µορφή «άπειρο και πέρας». Όπως ακριβώς ο λόγος δύο µεγεθών γίνεται γνωστός όταν αποδειχθεί ότι ισχύει το κριτήριο του λόγου, έτσι και τα Πλατωνικά όντα γίνονται γνωστά όταν συνδεθούν µε ένα «περατούµενο» άπειρο. Μια τέτοια µεταφορά της µαθηµατικής διαδικασίας της ανθυφαίρεσης σε φιλοσοφικό επίπεδο φαίνεται να έγινε αρκετά νωρίς. Έτσι στο Πλατωνικό φιλοσοφικό σύστηµα τα όντα συνδέθηκαν µε το «άπειρο και πέρας», η δε γνώση τους µε µια διαιρετική διαδικασία η οποία τερµατιζόταν όταν ανακαλυπτόταν ο «λόγος», δηλαδή όταν δύο διαδοχικά µέρη της διαδικασίας αυτής ήταν δυνατό να θεωρηθούν ότι βρίσκονται σε παρόµοια σχέση µε δύο άλλα διαδοχικά µέρη. Η σχέση αυτή µάλιστα στο «Σοφιστή» ταυτίζεται µε σαφή τρόπο µε τον µαθηµατικό λόγο της τετµηµένης γραµµής στο γνωστό χωρίο της Πολιτείας. Η µη ύπαρξη «λόγου» οδηγούσε σε αδυναµία γνώσης, και µε τον τρόπο αυτό η φιλοσοφικής υφής «αλογία» συνδέθηκε µε την µαθηµατική έννοια του όρου. 5
Από τον Αριστοτέλη 7 είναι γνωστό σε εµάς ότι µια βασική πυθαγόρεια δοξασία ήταν πως ο κόσµος στηριζόταν σε δέκα αρχές τις οποίες συστοιχούσαν και εµφάνιζαν µε την µορφή εννοιολογικών διπόλων ως εξής : peiron rtion pláqoj risteròn qálu kinoúmenon kampúlon skòtoj kakòn teròmhkej pšraj perittõ n žn dexiõ n rren ºremoàn eùqý fîj gaqõ n tetr gwnon Έννοιες όπως «δικαιοσύνη», «αδικία», «σωφροσύνη», «ανδρεία», «αγαθόν», «κακόν», κ.λπ, συσχετίστηκαν µε καθαρά µαθηµατικές έννοιες όπως «πέρας», «άπειρο», «περιττός αριθµός», «άρτιος αριθµός», «ίσο», «άνισο», «αναλογία», «συµµετρία» κ.λπ.. Ο Πλάτων στους Νόµους 8 συσχετίζει την αναλογία µε την δικαιοσύνη, ενώ κατά τους Πρόκλο και Ιάµβλιχο η δικαιοσύνη σχετίζεται µε τις έννοιες της περιοδικότητας και τους τετράγωνους αριθµούς. Ο πυθαγόρειος ορισµός της «δικαιοσύνης», για παράδειγµα, κατά τον Ιάµβλιχο 9, είναι: dúnamij podòsewj toà sou <kaˆ > toà pros»kontoj, mperiecomšnh riqmoà tetragènou perissoà mesòthti. Θεωρούµε εποµένως ως σηµαντικό προαπαιτούµενο, την προσεκτική µελέτη αυτής της «σύζευξης», µαθηµατικών και µη µαθηµατικών εννοιών, και γενικότερα της µεταφοράς µαθηµατικών ιδιοτήτων σε φιλοσοφικό επίπεδο. Η προσέγγιση των έργων του Πλάτωνος µέσα από αυτή την οπτική γωνία είναι απαραίτητη προυπόθεση για την σωστή ερµηνεία τόσο του γεωµετρικού του αριθµού, αλλά και γενικότερα της Πλατωνικής οντολογίας. 7 Αριστοτέλους Μεταφυσικά, 986 a 16-26 8 Νόµοι, 757 b 6-7 9 Θεολογούµενα Αριθµητικά 37,1-4 6
Η ερµηνεία που προτείνουµε για το γριφώδες αυτό χωρίο της Πολιτείας, στο οποίο ο Πλάτων «kfa nei» τον «γεωµετρικό αριθµό», είναι κατά την άποψή µας η µόνη που αξιοποιεί πλήρως τις µαθηµατικές αναφορές του Πλάτωνος στο χωρίο αυτό της «Πολιτείας» και τις προεκτάσεις τους στην Πλατωνική φιλοσοφία, αλλά και τα εκτενή σχόλια του Πρόκλου για το χωρίο αυτό του Πλάτωνος, στηρίζεται δε στην ανθυφαιρετική ερµηνεία της Πλατωνικής διαλεκτικής από τον καθηγητή κ. Στ. Νεγρεπόντη. ύο σηµαντικές µαρτυρίες, σχετικά µε τον καθοριστικό ρόλο που διαδραµάτισαν τα µαθηµατικά στην φιλοσοφία του Πλάτωνος είναι οι ακόλουθες: «Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι σύγχρονοι πλατωνιστές, σχεδόν χωρίς καµµία εξαίρεση, δεν γνωρίζουν µαθηµατικά, παρά την τεράστια σηµασία που απέδιδε ο Πλάτων στην Αριθµητική και τη Γεωµετρία, και την τεράστια επίδραση που είχαν τα µαθηµατικά στην φιλοσοφία του.» (Bertrant Russell, A History of western Philosophy, 1945) και «Pl twn d' pˆ toú toij genòmenoj meg sthn po hsen p dosin t te lla maq» mata kaˆ t¾ n gewmetr an labe n di t¾ n perˆ aùt spoud» n, Ó j pou dá lòj sti kaˆ t suggr mmata to j maqhmatiko j lògoij katapuknèsaj kaˆ pantacoà tõ perˆ aùt qaàma tîn filosof aj ntecomšnwn pege rwn.» (Πρόκλος, εις Ευκλείδην, 66,8-14). Τα σχόλια των Russell και Πρόκλου σχετικά µε τον κοµβικό ρόλο των µαθηµατικών στα έργα του Πλάτωνος, επιβεβαιώνονται πλήρως από τα σχόλια δύο γνωστών νεώτερων φιλοσόφων, του γάλλου Victor Cousin (1792-1867) και του γερµανού Schleiermacher (1768-1834), σχετικά µε τις ανυπέρβλητες δυσκολίες που είχαν στην προσπάθειά τους να κατανοήσουν και να µεταφράσουν το χωρίο 546 b-c της Πολιτείας όπου ο Πλάτων περιγράφει τον περίφηµο γεωµετρικό αριθµό του. Ο Schleiermacher, διάσηµος γερµανός φιλόλογος, σχολιάζοντας τις αποτυχηµένες προσπάθειές του να ερµηνεύσει τον γεωµετρικό αριθµό του Πλάτωνος, γράφει 10 : «Είναι προπάντων βέβαιο ότι ο Πλάτων επέλεξε έναν αξιοσηµείωτο ως προς την κατασκευή του αριθµό, µέσω του οποίου ήθελε να δείξει στους γνωρίζοντες, κάτι που 10 Platons Werke, Berlin, 1817-28. Η µετάφραση στα ελληνικά έγινε από τον γράφοντα. 7
προτιµούσε να µη το δηλώσει ευθέως. ιότι σε καµµία περίπτωση δεν µπορώ να δεχτώ ότι ήθελε να µπερδέψει τους αναγνώστες του Θα προτιµούσα να πιστεύω πως µε την ελλειπή µας γνώση της µαθηµατικής γλώσσας των Ελλήνων, δεν είµαστε ίσως σε θέση να καταλήξουµε σε µία ερµηνεία βέβαιη». Λίγο πιο κάτω, και αφού προσπάθησε, χωρίς επιτυχία να ερµηνεύσει την πρόταση µέχρι το trˆ j aùxhqe j, συµπληρώνει ο γερµανός φιλόλογος: «Έτσι, το πρόβληµα παραµένει άλυτο και επαφίεται στην καλή τύχη κάποιου άλλου. εν µπορώ να θεωρήσω λοιπόν ότι έλυσα το πρόβληµα µε ότι εργασίες έχω παρουσιάσει µέχρι στιγµής, και θα ήµουν ευτυχής αν οι υποθέσεις που έχω παρουσιάζω µέσα από την µελέτη µου, χρησιµεύσουν σε κάποια νέα προσπάθεια εκ µέρους ενός ειδικού». Μεταφράζουµε από τα γαλλικά στα ελληνικά ένα σχόλιο του Cousin 11, όπου φαίνεται ότι και ο γάλλος φιλόσοφος θεωρεί ως απαραίτητη προυπόθεση για τη ερµηνεία του γεωµετρικού αριθµού, την καλή γνώση των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών: «Η αρχαία γεωµετρική γλώσσα δεν µας είναι αρκετά γνωστή για να µπορούµε να έχουµε µια ιδέα για την ακριβή έννοια όλων αυτών των τεχνικών λέξεων που χρησιµοποιεί ο Πλάτων καθώς και ο Αριστοτέλης στην σύντοµη αναφορά του Επαφίεται εποµένως σε ανθρώπους που έχουν κάνει εξειδικευµένες µελέτες στην αρχαία γεωµετρία να ξεπεράσουν την προκειµένη δυσκολία µε κάποια πιθανότητα επιτυχίας» 12 11 Oevres de Platon, traduites par Victor Cousin, t. X, meme note 12 Τα γαλλικά κείµενα των σχολίων των Cousin και Schleiermacher, πάρθηκαν από το έργο του J. Dupuis, THEON DE SMYRNE, PHILOSOPHE PLATONICIEN, exposition des Connaissances Mathematiques Utiles pour la lecture de Platon, p. 369-370. Η µετάφραση στα ελληνικά έγινε από τον γράφοντα. 8
Το χωρίο 546 b3-c7 της Πολιτείας του Πλάτωνος, η ερµηνεία του οποίου θα µας απασχολήσει στην συνέχεια, είναι το ακόλουθο: «œs ti d qe J mn gennhtù per odoj n riqmõ j perilamb nei tšleioj, nqrwpe J d n ú prètj aùx»seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai, tre j post seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai ÐmoioÚntwn te kaˆ nomoioúntwn kaˆ aùxòntwn kaˆ fqinòntwn, p nta pros» gora kaˆ ht prõ j llhla pšfhnan ïn p tritoj puqm¾ n pemp di suzugeˆ j dú o rmon aj paršcetai trˆ j aùxhqe j, t¾n mn shn s kij, katõ n tosaut kij, t¾n d som»kh mn tí, prom»kh dš, kat Õn mn riqmîn põ diamšt r wn ht în pemp doj, deomšnwn nõ j k stwn, rr»twn d duo n, kat Õn d kúbwn tri doj. súmpaj d oátoj riqmõj gewmetrikòj» 9
Μεταγραφή στην νεοελληνική Για κάθε θείο-και γι αυτό περιοδικώς κινούµενο- δηµιούργηµα υπάρχει τέλειος αριθµός ο οποίος περιλαµβάνει την περίοδό του, στα ανθρώπινα όµως δηµιουργήµατα, εκ των οποίων πρώτο είναι το ορθογώνιο τρίγωνο µε κάθετες πλευρές 3, και 4, οι πολλαπλασιασµοί των αριθµών 3 και 4 οδηγούν σε αριθµούς όµοιους 13 και ανόµοιους 14, που αν συνεχιστούν µέχρι να προκύψουν τέσσερις διαδοχικοί στερεοί αριθµοί, µε τρείς αποστάσεις ανάµεσά τους, ώστε οι πρώτος και τελευταίος να είναι όµοιοι, ενώ οι ενδιάµεσοι ανόµοιοι µε δύο παράγοντες ίσους και έναν άνισο 15, τότε οι αριθµοί αυτοί είναι ανάλογοι µεταξύ τους και ο λόγος τους είναι ρητός αριθµός 16. Αν τον επίτριτο πυθµένα όλων των ανωτέρω, τον συσχετίσουµε µε τον αριθµό 5 17, θα προκύψουν δύο αρµονίες. Η µεν πρώτη αρµονία είναι ο τετράγωνος αριθµός 100 2, ενώ η δεύτερη έχει τη µία πλευρά ίση µε την πλευρά του τετραγώνου και την άλλη της πλευρά ίση µε το άθροισµα δύο αριθµών, εκ των οποίων ο ένας είναι το γινόµενο του εκατό µε τον αριθµό που υπολείπεται του τετραγώνου της ρητής διαγωνίου τετραγώνου πλευράς πέντε κατά ένα και του τετραγώνου της αρρήτου διαγωνίου κατά δύο, ενώ ο άλλος προκύπτει ως γινόµενο του εκατό µε τον κύβο του αριθµού τρία. Και οι δύο αυτοί αριθµοί µαζί αποτελούν τον γεωµετρικό αριθµό. 13 Τετράγωνους ή κύβους 14 Προµήκεις 15 Πρόκειται για αριθµούς τους οποίους οι Πρόκλος και Ιάµβλιχος ονοµάζουν «δοκίδες» και «πλινθίδες», δηλαδή αντίστοιχα για αριθµούς του τύπου: 3.3.4 και 4.4.3. 16 Οι τέσσερις διαδοχικοί στερεοί αριθµοί είναι. 4 3, 4.4.3, 3.3.4, 3 3, τότε πράγµατι ο λόγος τους παραµένει σταθερός και ίσος µε τον ρητό 4/3. 17 Για τους αριθµούς 3,4,5 ισχύει το πυθαγόρειο θεώρηµα, δηλαδή: 3 2 +4 2 = 5 2. 10
Κεφάλαιο 1 1.1 Η ερµηνεία του James Adam για το «γεωµετρικό αριθµό» Θα αναλύσουµε εδώ την ερµηνεία που έχει δώσει για το γεωµετρικό αριθµό του Πλάτωνος, ο James Adam, στο βιβλίο του, THE REPUBLIC OF PLATO, Vol II, CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS 1965 Ο James Adam, την ερµηνεία του οποίου θα συνοψίσουµε εδώ, ισχυρίζεται ότι ο Πλάτων «περιγράφει» στο χωρίο αυτό δύο αριθµούς, σε αντίθεση µε άλλους µελετητές οι οποίοι καταλήγουν σε ένα γεωµετρικό αριθµό. Μερικές σηµαντικές λέξεις εκφράσεις του χωρίου αυτού της «Πολιτείας» και την ερµηνεία που έχει δώσει σ αυτές ο Adam και άλλοι µελετητές του Πλάτωνος παραθέτονται παρακάτω. Η πρώτη πρόταση ολόκληρη είναι: «aùx» seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai.» Η λέξη «aùx» seij» ερµηνεύεται από τον Αdam ως «πολλαπλασιασµός» (aùx»seij refers to multiplications and not to additions, Adam, vol ii, p. 272), ενώ από τον Ηultch αντίθετα ερµηνεύεται ως πρόσθεση. «dun menaι» Η λέξη «dun menaι» σύµφωνα µε την άποψη του J. Adam, σηµαίνει την «τετραγωνική ρίζα ενός αριθµού» (the word δύνανται where it is used absolutely means are the roots of. We infer that dun menaι in our passage refers to roots and not to squares, Adam, p. 268). ύο χωρία από αυτά στα οποία στηρίζεται ο Adam, για να ερµηνεύσει τη λέξη dun menaι, είναι : «kaˆ aƒ dun menai aùt logoi, e mn tetr gwna e h, aùtaˆ aƒ pleura, e d ter tina eùqúgramma, aƒ sa aùto j tetr gwna nagr fousai. 18» και διάλογος «Θεαίτητος» του Πλάτωνος όπου δίνονται οι ορισµοί του τετράγωνου και του προµήκους αριθµού: 18 Στοιχεία του Ευκλείδη», Χ βιβλίο, HOR e, line 3 11
«QEAI. TÕ n riqmõ n p nta d ca diel bomen tõn mn dun menon son s kij g gnesqai tù tetragènj tõ scáma peik santej tetr gwnòn te kaˆ sòpleuron prose pomen. SW. Kaˆ eâ ge. QEAI. TÕ n to nun metaxý toútou, ïn kaˆ t tr a kaˆ t pšnte kaˆ p j Ö j dúnatoj soj s kij genšsqai, ll' À ple wn latton kij À l ttwn pleon kij g gnetai, me zwn d kaˆ l ttwn eˆ pl eur aùtõn peril amb nei, tù prom»kei aâ sc»mati peik santej prom» kh riqmõ n kalšsamen. SW. K llista. ll t tõ met toàto; QEAI. Os ai mn grammaˆ tõn s Òpl euron kaˆ p pedon riqmõ n tetragwn zousi, má koj æris meqa, Ó sai d tõ n terom»kh, dun meij, æj m»kei mn où summštrouj ke naij, to j d' pipšdoij dú nantai. kaˆ perˆ t stere llo toioàton 19.» δunasteuòmenai Με τη λέξη αυτή, κατά τον Adam, εννοούνται : τα τετράγωνα ή οι τετράγωνοι αριθµοί (δύναται, said of a root, means δύναται τετράγωνο ποιείν. The passive of this, said of a square number, is δύναται τετράγωνος γίγνεσθαι, see e.g dun menon son s kij g gnesqai in Theaet. 147 e. In the case of the active it was found possible to drop τετράγωνο ποιείν : but if, in the passive, τετράγωνος γίγνεσθαι is descarded, at least the passive must not be. For this reason δύναται becames δυναστεύεται, Adam, p. 269). Για παράδειγµα ο αριθµός 3 είναι δυνάµενος, αφού υψούµενος στο τετράγωνο δύναται να ποιήσει τον τετράγωνο αριθµό 9. Ο αριθµός 9 είναι δυναστευόµενος, αφού έχει κατασκευασθεί από τον 3 Έτσι, για ολόκληρη την πρόταση έχουµε, από τον Adam, την ερµηνεία: aùx» seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai : αυξήσεις ριζών και τετραγώνων (root and square increases, Αdam, p. 270), ή χρησιµοποιώντας µαθηµατικό συµβολισµό: πολλαπλασιασµοί του τύπου x.x 2, y.y 2, z.z 2. 19 Θεαίτητος 157 e5-148 b2 12
Στο σηµείο αυτό ο Adam αναφέρεται στην πρόταση του Πρόκλου: tõ g r dun menon p n prõ j tõ dunasteuòmenon pod dotai,η οποία, κατά την άποψή του, δείχνει την σωστή αντιστοιχία ανάµεσα στις ρίζες και τα τετράγωνα. Η λέξη pod dotai, δηλαδή είναι αυτή που ξεκαθαρίζει, κατά τον Adam, ότι η ρίζα x θα πολλαπλασιασθεί µε το τετράγωνο x 2 και όχι µε το y 2 ή το z 2 (Αdam, p. 270). Σχετικά µε την πρόταση:«tre j post seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai», ο Adam στηριζόµενος σε χωρία των: Νικόµαχου Γερασηνού, Ιάµβλιχου, Θέωνος του Σµυρναίου, Σιµπλίκιου, του Αριστοτέλους (Τοπ. Ζ), αλλά και του Πλάτωνα, καταλήγει στο εξής συµπέρασµα : Η λέξη απόσταση αποδίδεται ως διάσταση και εποµένως τρείς αποστάσεις, κατά τον Adam σηµαίνει τις τρείς διαστάσεις ενός στερεού σώµατος (From these passages it is clear that the three αποστάσεις of which Plato speaks are diast»mata mn oân œcei tr a, má koj kaˆ pl toj kaˆ b qoj,adam, p. 271). Για την ερµηνεία της λέξης Ó ροι ο Adam στηρίζεται στα χωρία: Αριστοτέλη, Μεταφυσικά 1092 b9 «oùqn d dièristai oùd Ðpotšrwj oƒ riqmoˆ a t i oi t în oùs i în kaˆ t oà enai, pòteron æj Ó roi (oœ on aƒ stigmaˆ tîn megeqîn, kaˆ æj EÜrutoj œ tatte t j riqmõ j» Θεολογούµενα Αριθµητικά, 20,11-12: «Ó stin potšlesma tricá diastatòn, n tšssarsin Ó roij st». Kαταλήγει λοιπόν ο Adam στο ότι η πρόταση «tre j post seij, tšttaraj d Ó rouj» σηµαίνει τις τρείς διαστάσεις mákoj, pl toj kaˆ b qoj και οι τέσσερις Ó roi είναι οι τέσσερις κορυφές Α, Β, Γ και ενός π.χ ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (βλέπε το παρακάτω σχήµα) που περαίνουν τις διαστάσεις του. Από τα προηγούµενα ενισχύεται η προτεθείσα άποψη ότι µε τη λέξη aùx»seij, σηµαίνονται πολλαπλασιασµοί και όχι προσθέσεις (I conclude that the three αποστάσεις and four Ó roi, are mákoj, pl toj and b qoj, with their attendant limits, that consequently aùx»seij refers to multiplications and not to additions (Adam, p. 272). Α Β Γ 13
Ολόκληρη εποµένως η πρόταση «aùx»seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai, tre j post seij, tšttaraj d Ó rouj laboàs ai», ερµηνεύεται από τον Adam ως ύψωση στην τρίτη δύναµη και τίποτα περισσότερο! ( root and square increases comprehending three distanses and four limits means cubings and nothing more, Adam, p. 272). Ποιοί είναι όµως οι αριθµοί που θα υψωθούν στην τρίτη δύναµη; Κατά την άποψη του Adam, oι αριθµοί αυτοί περιγράφονται από την πρόταση «ÐmoioÚntwn te kaˆ nomoioúntwn (like and unlike) kaˆ aùxòntwn kaˆ fqinòntwn, (wan and wane in Adam)», (it is clear that ÐmoioÚntwn te kaˆ nomoioúntwn kaˆ aùxòntwn kaˆ fqinòntwn, stands for the numbers which we have to cube, but the Muses are evidently teasing Øyhlologoumšnaj-, and we must be patient with them till they choose to tell us! Adam, p. 273). Η λέξη «ïn», µπορεί κατά τον Adam, να αναφέρεται στα εξής: (1) aùx»seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai, (2) tre j post seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai, (3) p nta, (4) ÐmoioÚntwn te kaˆ nomoioúntwn kaˆ aùxòntwn kaˆ fqinòntwn. Από τις παραπάνω εκδοχές, ο Adam, υποστηρίζει ότι η έκφραση: ÐmoioÚntwn te kaˆ nomoioúntwn, έχει ως γραµµατολογικό αντίστοιχο το «ïn» της έκφρασης p tritoj puqm¾ n, σχετίζεται εποµένως µε τους αριθµούς 3 και 4 (we conclude then that the grammatical antecedent to ïn is ÐmoioÚntwn te kaˆ nomoioúntwn kaˆ aùxòntwn kaˆ fqinòntwn, and I think no one will deny that the relative is most obviously and naturally connected with these words. It follows that ÐmoioÚntwn..fqinÒntwn, are some numbers, two of which are the numbers 4 and 3, Adam, p. 273). Κατόπιν, µε την έκφραση «pemp di suzugeˆ j», στο ζεύγος 3 και 4 «προσαρτάται» και αριθµός 5. Οι αριθµοί 3, 4 και 5 καλούνται όµοιούντες και ανοµοιούντες επειδή συµµετέχουν στην κατασκευή των δύο αρµονιών, η µία εκ των οποίων αντιπροσωπεύεται γεωµετρικά από τετράγωνο αριθµό ενώ η άλλη (όπως θα δούµε παρακάτω) από προµήκη αριθµό (Τhe numbers 3, 4 and 5 are therefore called όµοιούντεςανοµοιούντες in connection with the arithmetical side of the Platonic Number,because they produce the square and the oblong which express the 14
gewmetrikòj riqmõ j in its twofold aspect, first as an όµοιος and afterwards as an ανόµοιος, Adam, p. 274). Οι αριθµοί 3, 4 και 5, χαρακτηρίζονται ως δηµιουργοί οµοιότητας, γιατί το γινόµενό τους (3 Χ 4 Χ 5 ) υψωµένο στην τέταρτη δύναµη παράγει τον τετράγωνο (όµοιο) αριθµό 3600 2. Αντίστοιχα οι ίδιοι αριθµοί 3, 4 και 5 χαρακτηρίζονται και ως ανοµοιούντες, γιατί παράγουν τον αριθµό 4800 Χ 2700 που είναι ετεροµήκης (ανόµοιος) αριθµός. Έτσι, οι αριθµοί οι οποίοι πρόκειται να υψωθούν στην τρίτη δύναµη είναι οι 3, 4, 5. Εποµένως, κατά τον Adam, η περίοδος του nqrwpe J gennhtù, υπολογίζεται προσθέτοντας τους κύβους των τριών πλευρών του ζωογωνικού τριγώνου των Πυθαγορείων, δηλαδή 3 3 +4 3 +5 3 = 216. Η αιτιολόγηση για την πρόσθεση των τριών κύβων,κατά τον Adam : is that the numbers are said to be contained in the total ( n ú prètj ktl.). και επίσης ένα χωρίο του Αριστίδη Κοϊντιλιανού για το τρίγωνο µε πλευρές 3, 4 και 5: «ll' e kaˆ tîn pleurîn k sthn kat b qoj aùx»saimen (b qoj g r ¹ sèmatoj fúsij), poi»saimen n t Õn di akòs i a dekax s riqmon Ônta s Únegguj tù tîn ptam»nwn 20» από το οποίο προκύπτει ότι ο αριθµός 216 προκύπτει ως 3 3 +4 3 +5 3. Όσον αφορά στην πρόταση «p nta pros»gora kaˆ ht prõ j llhla pšfhnan», ο Adam, προσπαθεί να την ερµηνεύσει αναφερόµενος σε χωρία των Πρόκλου, Censorinus από τα οποία φαίνεται ότι οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι η ανάπτυξη του εµβρίου γίνεται σύµφωνα µε τις αναλογίες της αρµονίας (the Pythagoreans thought the development of the embryo proceeded according to the proportions of the harmony or octave (Adam, p. 294). ïn p tritoj puqm¾ n pemp di suzugeˆ j Ως «p tritoj puqm¾ n», θεωρείται από τον Αdam, το ζεύγος των αριθµών 3 και 4, όπως άλλωστε και από τον Πρόκλο: «[œ stin oân oátoj] Ð p tritoj puqm¾ n g kaˆ d 21» 20 Aριστίδης Κοϊντιλιανός, De Musica, 3,23,22-25 21 Πρόκλος εις Πολιτείαν 2, 37,5 15
Η λέξη «suzugeˆ j», από τον Adam ερµηνεύεται και πάλι ως πολλαπλασιασµός, όπως άλλωστε και η λέξη «aùx» seij» (It is therefore permissible to hold that suzugeˆ j refers to multiplication, and as it has been asserted that there is no parallel to lead us to take suzugeˆ j to mean multiplied, I may mention that Proclus uses the word with this meaning, Adam, p. 277). Σχετικά µε την έννοια της έκφρασης αυτής στο χωρίο της «Πολιτείας», ο Adam, έχει την άποψη ότι εκτός από την προφανή µεταφορική της σηµασία, η πρόταση πρέπει να έχει και µία αριθµητική. Η έκφραση άλλωστε του Πλάτωνα στο τέλος του χωρίου: súmpaj d oátoj riqmõ j gewmetrikòj, φαίνεται να εννοεί (κατά τον Adam) ότι το αποτέλεσµα της διαδικασίας που περιγράφεται από τον Πλάτωνα στο χωρίο αυτό είναι ένας αριθµός και όχι µία αναλογία ή µία σειρά από αριθµούς. Από την άποψη αυτή η έκφραση: p tritoj puqm¾ n pemp di suzugeˆ j, δεν µπορεί να σηµαίνει,κατά τον Αdam, τίποτε άλλο από: 4 Χ 3 Χ 5 = 60 (On this view p tritoj puqm¾ n pemp di suzugeˆ j cannot mean anything except 4 X 3 X 5 = 60. Every other possibility is excluded, Adam, p. 277) trˆ j aùxhqe j Από την ερµηνεία της πρότασης «p tritoj puqm¾ n pemp di suzugeˆ j», κατά τον Adam, έχει προκύψει ο αριθµός 60 = 3 Χ 4 Χ 5. Η ερµηνεία που προσδίδεται λοιπόν στην έκφραση trˆ j aùxhqe j είναι : ο αριθµός 60, «πολλαπλασιάζεται µε τον εαυτό του τρεις φορές», έτσι, έχοντας ως βάση το 60 έχουµε: 60 Χ 60 Χ 60 Χ 60 = 60 4 = 12,960,000. Από τη µελέτη διάφορων χωρίων, ο Adam, καταλήγει στα εξής συµπεράσµατα: ο Πλάτων θεωρεί τους αριθµούς ή γραµµές ως «πρώτη αύξη» (It is clear that Plato regerded numbers or lines as the πρώτη αύξη, Adam, p.280) αριθµός τρίς αυξηθείς, σηµαίνει ύψωσή του στην τετάρτη δύναµη. η έκφραση tr th aüxh δηλώνει την τρίτη δύναµη. η έκφραση: αριθµός τριάδι αυξηθείς σηµαίνει αριθµός πολλαπλασιαζόµενος επί τρία. 16
Τα παραπάνω συνάγονται, κατά τον Adam, από τα εξής χωρία της «Πολιτείας»: 528 a9-b3 «Met p pedon, Ãn d' gè, n perifor n ½ dh stereõ n labòntej, prˆ n aùtõ kaq' aøtõ labe n Ñr qîj d œcei xáj met deutšran aü xhn tr thn lamb nein. œ sti dš pou toàto perˆ t¾ n tîn kúbwn aüxhn kaˆ tõ b qouj metšcon» 587 d 6-10 «'Ep pedon r', œfhn, æj œ oiken, tõ e dwlon kat tõ n toà m» kouj riqmõ n ¹donÁj turannikáj n e h. KomidÍ ge. Kat d dúnamin kaˆ tr thn aü xhn dálon d¾ pòstasin Ó shn festhkëj g gnetai.» Aς δούµε τα επιχειρήµατα του Adam: Α point (= unity) has no increase : a line (say 3) has one : a rectangle (say 3 x 4) has two (deutšra aüxh) : a solid figure (say 3 x 4 x 5) has three. A solid figure is therefore said to be or have tr th aüxh, because your reckoning begins from the point, which has no increase. The first increase (viz. of the unit or point) was Ð toà m» kouj riqmõ j, i.e. in this case 1 X 9 = 9: by the second and third increases on the same scale we obtain 9 X 9 (second increase or δύναµις) Χ 9 (third increase ) = 729. Both in 528 b and 587 d it is unity or the point which suffers a third increase: in Plato s number it is not unity but 60 and that makes all the difference. (Αdam, p. 279) Συνολικά λοιπόν η έννοια της έκφρασης: ïn p tritoj puqm¾ n pemp di suzugeˆ j trˆ j aùxhqe j είναι: 60 Χ 60 Χ 60 Χ 60 = 12,960,000. Έχοντας ήδη από πριν τον αριθµό 12.960.000, στη συνέχεια, ας δούµε πως ερµηνεύει ο Adam, την πρόταση: «dúo rmon aj paršcetai t¾n mn shn s kij, katõ n tosaut kij» (equal an equal number of times, so many times 100, Adam, p. 283). Aριθµός s kij sος, είναι, ως γνωστόν, ο τετράγωνος αριθµός (Στοιχεία Ευκλείδη, vii, ορσ. 2). 17
Ο αριθµός 12.960.000 = (36 Χ 100) 2, paršcetai δύο αρµονίες. Η πρώτη περιγράφεται από τον Πλάτωνα ως shn s kij, katõ n tosaut kij, εποµένως, κατά τον Adam, tosaut kij, σηµαίνει 36 φορές. (equal an equal number of times, viz. thirty six times 100, so that tosaut kij, means 36 times, Adam, p. 283). Η πρώτη αρµονία λοιπόν, κατά τον Adam, είναι ο αριθµός (36 Χ 100) 2. Ένα ερώτηµα που προκύπτει είναι: γιατί ο Πλάτων προσθέτει τις λέξεις katõ n tosaut kij, αφού και χωρίς αυτές το τετράγωνο είναι εύκολα αναγνωρίσιµο µέσα από την έκφραση shn s kij; Η απάντηση του Adam στο ερώτηµα αυτό είναι ότι ο Πλάτων θέλει να επιστήσει την προσοχή µας στο ότι κάθε πλευρά του τετραγώνου είναι πολλαπλάσιο του 100 (Plato whishes to call our attention to the fact that each of the sides of the square is a multiple of 100, just as each of the sides of the oblong is also a multiple of 100, Adam, p. 283). Για ποιο λόγο όµως ο Πλάτων θέλει να επιστήσει την προσοχή µας στο ότι κάθε πλευρά του τετραγώνου είναι πολλαπλάσιο του 100; Η αιτιολογία του Adam, έχει ως εξής: Είναι γνωστό από τους «Νόµους», ότι για τον Πλάτωνα, ένας χρόνος αντιστοιχεί σε είναι 360 ηµέρες. Ο µεγάλος Ενιαυτός έχει διάρκεια 3600 2 ή (360 Χ 10) 2 = 360 2 Χ 10 2 ηµέρες, ισούται δηλαδή µε το τετράγωνο του αριθµού των ηµερών ενός χρόνου πολλαπλασιασµένου µε το τετράγωνο του κατά του, κατά τους Πυθαγόρειους, τέλειου αριθµού 10. Η περίοδος εποµένως του 12.960.000 Μεγάλου Ενιαυτού είναι = 36. 000 χρόνια = 360 Χ 100 και έχοντας ως 360 δεδοµένο ότι η περίοδος ζωής ενός ανθρώπου, για τον Πλάτωνα, είναι 100 χρόνια, προκύπτει ότι µία µέρα από τη ζωή του nqrwpe ον gennhtόν, αντιστοιχεί σε έναν αιώνα της ζωής του qe ον gennhtόν (Adam, p. 301). Η δεύτερη αρµονία προκύπτει από το επόµενο τµήµα του χωρίου αυτού της «Πολιτείας»: t¾n d som» kh mn tí, prom»kh dš, katõn mn riqmîn põ diamštrwn htîn pemp doj, deomšnwn nõ j k stwn, rr»twn d duo n, katõn d kú bwn tri doj» Ο Adam συµφωνεί ότι η έκφραση «t¾n d som»kh mn tí, prom»kh dš», σηµαίνει πως η δεύτερη αρµονία εκφράζεται µε όρους ορθογωνίου παραλληλογράµµου. Στη συνέχεια θεωρεί ότι η πρόταση s om»kh mn tí, αντιστοιχεί στην πρόταση «katõ n duo n» και άρα η µία πλευρά του ορθογωνίου, 18
είναι ο αριθµός 4800, και ότι η πρόταση «prom»kh dš» συνδέεται γραµµατολογικά µε την πρόταση «kat Õn d kúbwn tri doj», που σηµαίνει ότι η άλλη πλευρά είναι ο αριθµός 2700, µε 2700 Χ 4800 = 12.960.000. 2700 Οι δύο αρµονίες εποµένως είναι οι: α) 3600 2 και β) 2700 Χ 4800 (µε 3600 2 = 2700 Χ 4800 = 12.960.000). 4800 19
Tέλος, παραθέτουµε µία περίληψη δύο µόνον σελίδων της ερµηνείας του James Adam, πάνω το χωρίο 546 b-c της «Πολιτείας» του Πλάτωνος. Το χωρίο έχει χωριστεί στα δύο βασικά του τµήµατα. 1 0 τµήµα œs ti d qe J mn gennhtù per odoj n riqmõ j perilamb nei tšleioj, [κανένα σχόλιο από τον Adam] nqrwpe J d [Η περίοδός του υπολογίζεται ότι είναι ο αριθµός 216] n ú prètj [O Adam αποδίδει στην πρόταση αυτή µία έννοια αθροίσµατος]. aùx»seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai, [ερµηνεύεται ως πολ/µοί του τύπου: x.x 2, y.y 2, z.z 2, δηλαδή ύψωση στην τρίτη δύναµη. Ποιοι αριθµοί όµως θα υψωθούν στην τρίτη δύναµη;] tre j post seij, tšttaraj d Ó rouj laboàs ai [ post seij διαστάσεις = µήκος, πλάτος, βάθος. Όροι κορυφές στερεού σχήµατος] ÐmoioÚ ntwn te kaˆ nomoioú ntwn [Με την πρόταση αυτή νοούνται οι αριθµοί 3, 4 και 5 αφού, ο Adam, θεωρεί ότι αντιστοιχεί γραµµατολογικά στο ïn της παρακάτω πρότασης. Καλούνται δε οι αριθµοί 3, 4, 5 οµοιούντες και ανοµοιούντες γιατί από αυτούς παράγονται, όπως φαίνεται, κατά τον Adam, από τις επόµενες προτάσεις, το όµοιο σχήµα τετράγωνο και το ανόµοιο ορθογώνιο. Στο σηµείο αυτό ο Adam, χωρίς αιτιολόγιση, προσθέτει τους κύβους των αριθµών 3, 4 και 5 για να καταλήξει έτσι τον αριθµό 3 3 +4 3 +5 3 = 216 που θεωρεί ότι είναι η περίοδος του ανθρωπείου γενητού]. kaˆ aùxòntwn kaˆ fqinòntwn, [Αδυνατώντας να συνδέσει ερµηνευτικά την πρόταση αυτή µε τις προηγούµενες, καταφεύγει ο Adam, στον µύθο κοσµικής αντιστροφής του «Πολιτικού». Έτσι η λέξη aùxòntwn ερµηνεύεται ως αύξηση (growth) και η λέξη fqinòntwν ως φθίση παρακµή (decline), του σύµπαντος]. p nta pros»gora kaˆ ht prõ j llhla pšfhnan [Αποτέλεσµα των παραπάνω λανθασµένων ερµηνειών του Adam, η τελευταία αυτή πρόταση του 1 ου τµήµατος του χωρίου, µένει πραγµατικά χωρίς απολύτως κανένα νόηµα]. 20
2 ο τµήµα (E) (Ρ) ïn p tritoj puqm¾ n pemp di suzugeˆ j [Θεωρώντας ότι suzugeˆ j = πολ/µός, ο Adam, ερµηνεύει συνολικά την πρόταση ως: 3 x 4 x 5 = 60]. dúo rmon aj paršcetai trˆ j aùxhqe j, [Ερµηνεύει την λέξη trˆ j aùxhqe j ως ύψωση στην τέταρτη δύναµη και έτσι, έχοντας ως βάση τον αριθµό 60, εξάγει τον αριθµό 60 4 = 12.960.000 = 3600 2 ]. t¾n mn shn s kij, katõ n tosaut kij, [Επειδή ο αριθµός 3600 2 γράφεται και (36 x 100)2, ο Adam θεωρεί ότι η λέξη tosaut kij σηµαίνει τον αριθµό 36. Η πρώτη αρµονία, ως τετράγωνος αριθµός, είναι εποµένως ο αριθµός 3600 2 ]. t¾n d s om»kh mn tí, (Ν) (Σ) prom»kh dš, kat Õn mn riqmîn põ diamštrwn htîn pemp doj, deomšnwn nõ j k stwn, rr»twn d duo n, Η πρόταση (Ρ) θεωρείται, από τον Adam αντίστοιχη της (Σ). Ετσι από τις δύο αυτές προκύπτει ο αριθµός 48 x 100 = 4800. (Τ) kat Õn d kúbwn tri doj. H (N) θεωρείται αντίστοιχη της (Τ), έτσι προκύπτει η δεύτερη διάσταση του ορθογωνίου, ο αριθµός 27 x 100 = 2700. Η δεύτερη αρµονία, κατά Adam, είναι ο αριθµός 4800 x 2700 = = 12.960.000 = 3600 2. súmpaj d oátoj riqmõ j gewmetrikòj. [Ο σύµπας αριθµός είναι ο 12.960.000 και επειδή «µετρά» την περίοδο του σύµπαντος, λέγεται γεωµετρικός αριθµός]. 21
Κατά τον Adam προκύπτουν λοιπόν δύο αριθµοί, οι 216 και 12.960.000 που είναι οι περίοδοι του ανθρωπείου και του θείου γενητού αντίστοιχα. 22
1.2 Κριτική της ερµηνείας του Adam Η πρόταση «aùx» seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai» αυτούσια δεν συναντάται σε άλλα αρχαία κείµενα, παρά µόνον στην «Πολιτεία». Προκειµένου να φωτίσουµε την έννοια της λέξης «aùxηsη», ας δούµε τέσσερα µόνο χωρία του ίδιου του Πλάτωνα 22. Nόµοι 893 e6-894b1: «Kaˆ m¾ n kaˆ sugkrinòmena mn aùx netai, diakrinòmena d fq nei tòte, Ó tan ¹ kaqesthku a k stwn xij diamšnv,m¾ menoús hj d aùtáj, di' mfòtera pòllutai. g gnetai d¾ p ntwn gšnesij, ¹n k' n t p qoj Ï; dálon æj ÐpÒtan rc¾ laboàsa aü xhn e j t¾ n deutšran œ lqv met basin kaˆ põ taú thj e j t¾ n plhs on, kaˆ mšcri triîn lqoàsa a sqhsin scí to j a sqanomšnoij. metab llon mn oân oûtw kaˆ metakinoúmenon g gnetai p n œs tin d Ô ntwj Ôn, ÐpÒtan mšnv, metabal Õn d e j l l hn xi n di šf qar t ai pantelîj. «r' oân kin»seij p saj e r»kamen æj n e desin labe n met' riqmoà, pl»n ge, ð f loi, duo n;» Eπινοµίς 990 b «tîn oùk Ô ntwn d Ðmo wn l l»l oij f Úsei riqmîn Ðmo wsij prõ j t¾ n tîn pipšdwn mo ran gegonu stin diafan»j Ö d¾ qaàma oùk nqrèpinon ll gegonõ j qe on fanerõ n n g gnoito tù dunamšnj sunnoe n. met d taúthn toýj trˆ j hùxhmšnouj kaˆ tí stere fú sei Ðmo ouj toýj d nomo ouj aâ gegonòtaj tšrv tšcnv Ðmoio, taútv n d¾ stereometr an k lesan oƒ prostuce j aùtí gegonòtej» Πολιτεία 528 a9-b3 «Met p pedon, Ãn d' gè, n perifor n ½ dh stereõ n labòntej, prˆ n aùtõ kaq' aøtõ labe n Ñr qîj d œcei xáj met deutšran aü xhn tr thn lamb nein. œ sti dš pou toàto perˆ t¾ n tîn kú bwn aü xhn kaˆ tõ b qouj metšcon.» 22 Άλλα χωρία του Πλάτωνα όπου εµφανίζονται οι λέξεις «αύξη-φθίση» είναι τα: Πολιτεία 497 a4, 521e4, 528 d8, Φαίδων 70-72, Τίµαιος 33a, 44b, 81b, Nόµοι 893 e6-894b1, 897 a6, Eπινοµίς 990b, Θεαίτητος 154 c, Παρµενίδης 156 b8, 157 b2, Φίληβος 42 d1, Συµπόσιο 211 a 1-2, Φαίδρος 246 e2. 23
Φαίδων 71 a9-b5 «`Ikanîj oân, œ fh, œ comen toàto, Ó ti p nta oûtw g gnetai, x nant wn t nant a pr gmata; P nu ge. T d' aâ; œ sti ti kaˆ toiònde n aùto j, oœ on metaxý mfotšrwn p ntwn tîn nant wn duo n Ô ntoin dú o genšseij, põ mn toà tšrou pˆ tõ teron, põ d' aâ toà tšrou p lin pˆ tõ teron me zonoj mn pr gmatoj kaˆ l ttonoj metaxý aü xhsij kaˆ fq sij, kaˆ kaloàmen oû tw tõ mn aùx nesqai, tõ d fq nein;» Από τα χωρία αυτά προκύπτει ότι η έννοια της λέξης «trˆ j aùxhqe j», είναι µετατροπή ενός αριθµού σε στερεό αριθµό. Στον διάλογο «Φαίδων» του Πλάτωνα, οι λέξεις άµεσα και µε την ανθυφαιρετική διαδικασία. aü xhsij- fq sij, σχετίζονται H ερµηνεία εποµένως του Adam για την πρόταση «aùx»seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai», ότι δηλαδή σηµαίνει πολλαπλασιασµός αριθµών και ειδικότερα πολλαπλασιασµός ριζών και τετραγώνων, δεν επιβεβαιώνεται καθόλου από τον Πλάτωνα ούτε από τον Πρόκλο. Όσον αφορά στο «dun mena te kaˆ dunasteuòmenai», που ακολουθεί τη λέξη aùx»seij, δύο σχετικά χωρία από τα σχόλια του Πρόκλου είναι τα εξής: t d nòmoia lšgomen toýj d nomo ouj. kaˆ g r sc» mata kaˆ riqmoýj æsaútwj kaˆ Ó sa kat t j dun meij nafa netai p sin Ðmo wj pros»kei to j maq»masi, t mn Ó moia toýj mn Ðmo ouj tîn mn dunamšnwn 24
tîn d dunasteuomšnwn 23. και kat te tõ enai 'Ek mn oân toútwn ¹ yuc¾ fa netai m a duoeid¾ j ce rouj t j d dunasteuomšnaj sunqetwtšraj dunas teúontai d oƒ k toú twn t j d nomoioú saj, t j d e j teròthta kaˆ tõ m¾ ž n goú saj, T j d fqeiroúsaj k d tîn riqmîn tîn k toútwn nafanšntwn riqmõ j duadikõ j kaˆ œ cwn dun meij, kaˆ kaˆ tõ zá n me nouj t j mn dunamšnaj ploustšraj dúnantai mn g r oƒ pl euriko kaˆ t j mn ÐmoioÚ saj t j mn pistreptik j aù[tá j] e j tõ taùtõn kaˆ tõ ž n kaˆ t j mn aùxoú saj 23 Πρόκλος Εις Ευκλείδην, 8, 8-20 25
to j d nant oij fq nei kaˆ diòllutai. cri tîn sterewt twn aùtáj œ xodon perišcei 24 tõ ptšrwma aùtáj kaˆ m¾ n kaˆ tõ cwre n e j tre j t¾ n aüxhsin toà riqmoà tù mn g r gaqù kaˆ tù kal ù kaˆ tù sofù toàto aü xetai, toàde t¾ n põ tîn nohtîn merîn kaˆ Από τα παραπάνω χωρία αποδυναµώνεται η ερµηνεία που δίνει ο Adam στις λέξεις dun menaι, dunasteuòmenai. Αντίθετα ενισχύεται η σύνδεση της λέξης dun menaι, µε τις έννοιες των όµοιων αριθµών και της περιοδικότητας -περιοδική ανθυφαίρεση- ( pistreptik j aù[táj] e j tõ taùtõ n kaˆ tõ εn), και της λέξης dunasteuòmenai, µε ανόµοιους αριθµούς και µη περιοδικότητα (e j teròthta kaˆ tõ m¾ εn goú saj). Επίσης ενισχύεται η άποψη ότι η λέξη «aùx» seij» είναι πιθανό ότι σηµαίνει πολλαπλασιασµό, όχι όµως ριζών και τετραγώνων (µια τέτοια ερµηνεία είναι αλλωστε πιο κοντά στην σύγχρονη µαθηµατική σκέψη παρά στην αρχαία), αλλά µετατροπή ενός αριθµού σε στερεό αριθµό, ερµηνεία που προκύπτει άλλωστε από χωρία του ίδιου του Πλάτωνα. Τα χωρία που δηµιουργούν την σύγχυση στην ερµηνεία της λέξης αποστάσεις, και τα οποία χρησιµοποιεί ο Adam, είναι τα εξής: Αριθµητική Εισαγωγή του Νικόµαχου, 2, 24, 8, 1 2, 24, 11, 4 oûtw t mn stere sc» mata lšgetai tricá diastat, t d p peda dicá, taàta d táj o ke aj safhne aj pil»yetai n tí PlatwnikÍ sunanagnèsei 24 Πρόκλος Εις Πολιτείαν, 2, 51, 9-22 26
kat tõ n toà legomšnou g mou tòpon n tí Polite v põ prosèpou tîn Mousîn pareisagomšnou Από το παραπάνω χωρίο συνάγει λανθασµένα ο Adam, ότι η λέξη «post seij» για τις οποίες µιλάει ο Πλάτων στην «Πολιτεία» ταυτίζεται νοηµατικά µε τη λέξη διαστάσεις. Ιάµβλιχου, Θεολογούµενα Αριθµητικά, 29, 4 12, (Στο χωρίο αυτό ο Ιάµβλιχος µιλάει για τον αριθµό 4): «t j g r p saj post seij ½ toi t j tre j Øpšsth, ïn peraitšrw oùkšti e s n. t mwn d aùt¾n oƒ PuqagÒreioi æj dek doj gennhtik»n. kal e tai d aùt», éj fhsin Ð 'AnatÒlioj,dikaiosÚnh, peˆ tõ tetr gwnon tõ p' aùtáj, toutšsti tõ mbadòn, tí perimštrj son tîn mn g r prõ aùtáj ¹ per met r oj t oà mbadoà toà tetragènou me zwn, tîn d met' aùt¾ n ¹ per metroj toà mbadoà l ttwn, p' aùtáj d sh. prèth ¹ tetr j œ deixe t¾ n toà stereoà fúsin shme on g r, eta gramm», eta pif neia, eta stereòn» εν προκύπτει όµως, ούτε από το χωρίο αυτό, ότι post seij Νόµοι, 984 α διαστάσεις. «dálon æj ÐpÒtan rc¾ laboàsa aü xhn e j t¾ n deutšran œ lqv met basin kaˆ põ taú thj e j t¾ n plhs on, kaˆ mšcri triîn lqoàsa a sqhsin scí to j a sqanomšnoij» Στους «Νόµους» η λέξη post seij, εµφανίζεται µία φορά µόνον στο 777 c2 και πάντως δεν σχετίζεται µε τη λέξη διαστάσεις. Από τα χωρία εποµένως που χρησιµοποιεί ο Adam δεν προκύπτει συσχέτιση των δύο αυτών λέξεων. Η σωστή ερµηνεία της λέξης post seij, προκύπτει από ένα άλλο χωρίο του ίδιου του Πλάτωνα : «éste t j toà diplas ou kaˆ triplas ou tre j katšraj post seij kaˆ t j tîn ¹miol wn kaˆ pitr twn kaˆ pogdòwn mesòthtaj kaˆ sundšseij 25» 25 Τίµαιος d 4-7 27
O Πλάτων εποµένως στο χωρίο αυτό του «Τίµαιου» µε τη λέξη αυτή εννοεί τα «διαστήµατα» ανάµεσα στους αριθµούς 1, 2, 4, 8 και 1, 3, 9, 27. Από τον ίδιο τον Πλάτωνα επίσης έχουµε το χωρίο: «ésper Ó rouj tre j rmon aj tecnîj, ne thj te kaˆ Øp thj kaˆ mšshj, kaˆ e lla tta metaxý tugc nei Ô nta, p nta taàta 26» που συσχετίζει άµεσα τη λέξη «Ó rouj» µε τη λέξη αρµονία. Η ερµηνεία του Adam για ολόκληρη την πρόταση «aùx»seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai, tre j post seij, tšttaraj d Ó rouj laboàs ai», είναι, όπως είπαµε, «ύψωση στην τρίτη δύναµη». Ο Πλάτων όµως έχει χρησιµοποιήσει πολύ πιο απλές εκφράσεις για να δηλώσει µια τέτοια πράξη, όπως π.χ: tr thn aü xhn (Πολιτεία 587 d9), b qouj aü xhj (Πολιτεία 528 d8), kú bwn aü xhn (Πολιτεία 528 b2). Κρίσιµο σηµείο στην ερµηνεία του Adam αποτελεί το ότι θεωρεί το «ïn» ως γραµµατολογικό αντίστοιχο του «ÐmoioÚntwn te kaˆ nomoioúntwn» (επιλογή την οποία ωστόσο δεν τεκµηριώνει) και όχι κάποιας άλλης από τις προηγούµενες προτάσεις ή λέξεις του χωρίου. Το ότι η έκφραση «ÐmoioÚntwn te kaˆ nomoioúntwn kaˆ aùxòntwn kaˆ φqinòntwn» αναφέρεται, κατά τον Adam, σε επόµενες προτάσεις του χωρίου και όχι στις προηγούµενες (δηλαδή στην πρόταση: aùx»seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai,tre j post seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai), δεν είναι πιθανό και πάντως δεν τεκµηριώνεται κάτι τέτοιο από τη συνολικότερη ερµηνεία του. Στο σηµείο αυτό να επισηµάνουµε και πάλι ότι ο Adam δεν αιτιολογεί ουσιαστικά πως προκύπτει από το χωρίο της «Πολιτείας» ότι οι τρείς κύβοι, 3 3, 4 3, 5 3, πρέπει τελικά να προστεθούν. Είναι επίσης δύσκολο να φανταστούµε, µε βάση την ερµηνεία του Adam, πως µέσα στον αριθµό 216 = 6 3 = 3 3 +4 3 +5 3 γίνονται «τα p nta pros» gora kaˆ ht prõ j llhla». Όσον αφορά στην ερµηνεία της πρότασης «aùxòntwn kaˆ fqinòntwn», ο Adam πιστεύει ότι οι λέξεις αυτές δεν έχουν κάποια τεχνική αριθµητική σηµασία, αλλά ότι βασικά αναφέρονται στο κοσµικό τρίγωνο των Πυθαγορείων. Χρησιµοποιεί µάλιστα τον µύθο της κοσµικής αντιστροφής του «Πολιτικού» και επειδή, κατά την 26 Πολιτεία 443 d 28
άποψή του, οι παράγοντες 3, 4 και 5 καθορίζουν µε την παραγωγή των αρµονιών την πορεία του σύµπαντος, που βαδίζει από την ακµή στην παρακµή, από την αύξηση στην ελάττωση, γι αυτό χαρακτηρίζονται ως δηµιουργοί αύξησης και ελάττωσης. Μιλώντας για την πρόταση «aùxòntwn kaˆ fqinòntwn», λέει ο Adam : The words aùxòntwn kaˆ fqinòntwn waxing and waning have also a referance to the to the two cosmic periods. We may regard the first of the circles as representing the aüxhsij or growth of the Whole, and the second as representing its fq sij or decline (Adam, p. 300, vol ii) Με βάση την ερµηνεία που έχει δώσει στις προηγούµενες προτάσεις του χωρίου, ο Αdam, αδυνατεί να δώσει τώρα νόηµα στην πρόταση «aùxòntwn kaˆ fqinòntwn» και αναβάλλει την ερµηνεία της για αργότερα χρησιµοποιώντας το µύθο της κοσµικής αντιστροφής του «Πολιτικού» (Το the same section of part ii I defer my account of aùxòntwn kaˆ fqinòntwn, because these words have no technical arithmetical meaning, but merely describe the sides of the Pythagorean triangle mean its cosmic and creative aspects, Adam, p. 274). Έχουµε λοιπόν, κατά τον Adam, το εξής σχήµα: Το τµήµα του χωρίου της «Πολιτείας», «nqrwpe J d n ú prètj aùx»seij dun mena te kaˆ dunasteuòmenai, tre j post seij, tšttaraj d Ó rouj laboàsai», αναφέρεται, στην περίοδο του ανθρωπείου γενητού, την οποία και υπολογίζει στον αριθµό 216. Στη συνέχεια όµως, τις επόµενες δύο προτάσεις αδυνατεί, ο Adam, να τις συνδέσει ερµηνευτικά µε τις προηγούµενες, δηλαδή µε την περίοδο του ανθρωπείου γενητού, και καταφεύγει για την ερµηνεία τους σε επόµενες προτάσεις του χωρίου καθώς και στον µύθο της κοσµικής αντιστροφής του διαλόγου «Πολιτικός» του Πλάτωνος. Είναι φανερό πως η ερµηνεία του Αdam για την πρόταση «aùxòntwn kaˆ fqinòntwn» σε σχέση µε την αύξηση και ελάττωση του σύµπαντος είναι µάλλον µακριά από αυτό που εννοεί ο Πλάτων, στο συγκεκριµένο τουλάχιστον χωρίο της «Πολιτείας». Ο Adam, αναφέρεται εδώ στο χωρίο 2,54,2-5, των σχολίων του Πρόκλου εις Πολιτείαν: «¹ d' oân katont j tù lle ponti riqmù prõ j aùt¾ n kat tõ n põ táj pemp doj riqmõ n suzuge sa poie t[¾ n] põ genšsewj pˆ gšnesin per odon», θεωρώντας ότι ο Πρόκλος στο εν λόγω χωρίο χρησιµοποιεί τη λέξη «suzuge sa» µε την έννοια του πολλαπλασιασµού. Αυτό δεν είναι αληθές, αφού η 29
έκφραση που δηλώνει τον πολλαπλασιασµό είναι η «põ táj pemp doj», που σηµαίνει 5 2. Ο Hultch, και άλλοι ερµηνεύουν την έκφραση «p tritoj puqm¾ n pemp di suzugeˆ j» ως το άροισµα 3 + 4 + 5 (Those who, like Hultch, suppose that suzugeˆ j denotes addition, and make the whole clause equivalent to 3 + 4 + 5, justly extend the arithmetical process to the two numbers of the p tritoj puqm¾ n, Adam, p. 277) Kατά την άποψη όµως των περισσότερων αρχαίων σχολιαστών (Πρόκλος, Αριστείδης Κοϊντιλιανός, Πλούταρχος), αλλά και του Αριστοτέλη, η πρόταση: «p tritoj puqm¾ n pemp di suzugeˆ j», αναφέρεται στο πυθαγόρειο τρίγωνο µε πλευρές 3, 4 και 5. Πρόκλος εις Ευκλείδην, 427,20-428,9 «toioàton g r sti tõ n polite v tr gwnon, oá t¾ n Ñrq¾ n perišcousin Ó te tr a kaˆ Ð tšssara. Øpote nei d aùt¾ n Ð e.» Πλούταρχος, Περί Ίσιδος και Οσίριδος Stephanus 373 section F, line 3 «æj kaˆ Pl twn n tí polite v (546b) doke toútj proskecrásqai tõ gam»lion di gramma sunt ttwn. œ cei d' ke no tõ tr gwnon triîn t¾ n prõ j Ñrq an kaˆ tett rwn t¾ n b sin kaˆ pšnte t¾ n Øpote nousan son ta j periecoúsaij dunamšnhn» Αριστίδης Κοϊντιλιανός: De musica «aƒ d t¾n Ñr q¾n per i šcous ai dhl oàs i t Õn p triton. toútou d¾ kaˆ Pl twn fhsˆ n [Resp. VIII 546 c] p triton puqmšna pent di suzugšnta 27» Αριστοτέλους, «Πολιτικά» 1316a5: n d tí Polite v lšgetai mn perˆ tîn metabol în ØpÕ toà Swkr touj, où mšntoi lšgetai kalîj. táj te g r r sthj polite aj kaˆ prèthj oüshj où lšgei t¾ n metabol¾ n d wj. fhsˆ g r a tion enai tõ m¾ mšnein mhqn l l ' œn tini periòdj metab llein, rc¾ n d' enai toútwn ïn p tritoj puqm¾ n pemp di suzugeˆ j dú o rmon aj paršcetai, lšgwn Ó tan Ð toà diagr mmatoj riqmõ j toú tou gšnhtai stereòj Όπως είδαµε, ο Αdam ερµηνεύει τη λέξη «suzugeˆ j», ως πολλαπλασιασµό. Στον ίδιο τον Πλάτωνα η λέξη συζυγείς συζυγία εµφανίζεται ελάχιστες φορές 27 Αριστίδης Κοϊντιλιανός 3,23,32-35 30
(Φαίδων 71 c6, Φαίδρος 254 a1, Παρµενίδης 143 d4 ) και σε καµµία από αυτές τις περιπτώσεις δεν σηµαίνει πολλαπλασιασµό αριθµών. Σε λεξικά (π.χ Hesychius Lex, Liddell Scott Lex) οι λέξεις συζυγείς συζυγία δίνονται ως συνώνυµες των λέξεων sunduasmòj - sun feia- είµαι στενά ενωµένος µε κάτι. Άλλοι ερευνητές δίνουν διαφορετική ερµηνεία στην έκφραση trˆ j aùxhqe j. Οι M.Monro and Dr Gow, ερµηνεύουν το trˆ j aùxhqe j, ως πολλαπλασιασµό µε τον εαυτό του δύο φορές, δηλαδή: 1 Χ 60 Χ 60. Σύµφωνα µε την άποψη του Μr Monro το 60 2, είναι τρίτη αύξη. Η κριτική του Mr Monro στον Adam είναι ότι µοιάζει αντιφατικό να θεωρεί (o Adam) ότι το «τρίς αυξηθείς» δηλώνει «ύψωση στην τέταρτη δύναµη», π.χ: 60 4, ενώ «τρίτη αύξη» να σηµαίνει «την τρίτη δύναµη», δηλ. 60 3. Κατά την άποψη του Adam όµως αυτό δεν είναι αντίφαση, αλλά κάτι προφανές αν λάβει κανείς υπόψη του ότι την εποχή του Πλάτωνα δεν υπήρχε ειδική «ορολογία» για την τέταρτη δύναµη 28. Στον Θεαίτητο µάλιστα η δύναµη είχε και την έννοια της τετραγωνικής ρίζας. Ο F. Hultcsh ερµηνεύει το trˆ j aùxhqe j, ως πολλαπλασιασµό µε το τρία. Όσον αφορά στην έκφραση trˆ j aùxhqe j, το χωρίο 990 b2 της «Επινοµίδος» του Πλάτωνος ξεκαθαρίζει τα πράγµατα: met d taú thn toýj trˆ j hùxhmšnouj kaˆ tí stere fú sei Ðmo ouj Αλλά και από τα σχόλια του Πρόκλου εις Πολιτείαν 2, 169, 13-14 έχουµε: «¹ d cili j põ genšsewj aâqij e j gšnesin tšran lqoúshj di tr thj aü xhj» Η ερµηνεία εποµένως του Adam για το trˆ j aùxhqe j (ότι σηµαίνει ύψωση στην τέταρτη δύναµη) είναι λανθασµένη. Οι δύο αρµονίες, στις οποίες αναφέρεται ο Πλάτων στο χωρίο του της «Πολιτείας», για τον Adam ουσιαστικά είναι ο ίδιος αριθµός, ο 12.960.000, ο οποίος τη µια φορά γράφεται ως τετράγωνος αριθµός (3600 2 ) και την άλλη ως προµήκης (2700 Χ 4800). Είναι δύσκολο να φανταστούµε ότι ο Πλάτων αποδίδει διπλή ιδιότητα στον ίδιο αριθµό, ότι δηλαδή θεωρεί έναν αριθµό τετράγωνο και ταυτόχρονα προµήκη. Ένας αριθµός είτε είναι προµήκης είτε τετράγωνος, όπως άλλωστε προκύπτει από τον ίδιο τον Πλάτωνα: 28 Σε ανώνυµα σχόλια (Anonymus de philosophia Platonica, υπάρχει η έκφραση «δυναµοδύναµις» για τον αριθµό 81, την τέταρτη δηλαδή δύναµη του αριθµού 3. 31