Δομή της παρουσίασης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η χρήση πολλαπλών λώ κεραιών και η σημασία του ραδιοδιαύλου: Από το διαφορισμό στη χωρική πολυπλεξία Αθανάσιος Κανάτας Αναπληρωτής Καθηγητής Δομή της παρουσίασης Τεχνικές Διαφορισμού Η μετάβαση από τα συστήματα SISO στα συστήματα SIMO και MISO. Τεχνικές και κέρδη. Συστήματα MIMO Βασικές αρχές συστημάτων ΜΙΜΟ. Κέρδη από τη χρήση πολλαπλών κεραιών. Η έννοια των παράλληλων διαύλων. Τεχνικές Ανάκτησης Χωρητικότητα Συστημάτων SISO SIMO MISO ΜΙΜΟ Βασικές εξισώσεις και μεγέθη χωρητικότητας συστημάτων. 1

Συστήματα με πολλαπλές κεραίες 3 ματα ΜΙΜΟ Συστήμ MT hmr,1 1,MT,MT 4 Οι τεχνικές διαφορισμού Η μετάβαση από τα συστήματα SISO στα συστήματα SIMO και MISO. Τεχνικές και κέρδη.

Διαφορισμός (Diversity) 5 Κίνητρο: Τα σήματα στα συστήματα κινητών επικοινωνιών με επίπεδες διαλείψεις υποφέρουν από βαθιές διαλείψεις. Ιδέα: Αν χρησιμοποιήσουμε διαφορετικές εκδόσεις του σήματος, που λαμβάνονται/στέλνονται από ασυσχέτιστες διαδρομές (υπόκεινται δηλαδή σε ανεξάρτητες διαλείψεις), ηπιθανότηταναβρεθούν να ταυτόχρονα σε βαθιές διαλείψεις μειώνεται. Τα σήματα συνδυάζονται κατάλληλα ώστε να έχουμε μικρότερη πιθανότητα σφάλματος, και άρα μεγαλύτερη αξιοπιστία μετάδοσης. Διαφορισμός (Diversity) 6 Η ιδέα του διαφορισμού μπορεί να εφαρμοσθεί: Στο χώρο Στον χρόνο (διεμπλοκή & κωδικοποίηση) Στη συχνότητα Στην καθυστέρηση (δέκτης RAKE) Στην πόλωση Στην κατεύθυνση αναχώρησης/άφιξης των σημάτων στον πομπό/δέκτη Εδώ μας ενδιαφέρει κυρίως ο διαφορισμός χώρου Στο δέκτη (Receive Diversity SIMO) Στον πομπό (Transmit Diversity MISO) Σε πομπό και δέκτη (ΜΙΜΟ) 3

Χωρικός Διαφορισμός 7 Για συνθήκες σκέδασης όπου ισχύει η παραδοχή Clarke (όλα τα κύματα καταφθάνουν με την ίδια πιθανότητα από κάθε γωνία φ στο επίπεδο x-y, δηλ. η APS(φ) είναι η ομοιόμορφη), η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης χώρου δίνεται από την x 0 R H x J Bessel Μηδενικής τάξης Πρώτου είδους 1 J0 x cosxcos d 0 Χωρικός Διαφορισμός 8 1 ation Function: J 0 (**x / ) Autocorrela 0.5 0-0.5 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 x / 4

Χωρικός Διαφορισμός στο Δέκτη 9 Η απόσταση μεταξύ των κεραιών στο δέκτη είναι τουλάχιστο ίση με την απόσταση συνάφειας (coherent distance). Τότε ο δέκτης μπορεί να λάβει N r φορές το ίδιο σήμα. Don t put all your eggs in one basket! Σελίδα 9 Χωρικός Διαφορισμός 10 Έστω p η πιθανότητα η ισχύς του σήματος στο δέκτη να είναι κάτω από ένα προκαθορισμένο επίπεδο στην περίπτωση SISO διαύλου (πιθανότητα να έχω βαθιές διαλείψεις). Για δίαυλο SIMO, η πιθανότητα η ισχύς του σήματος που λαμβάνεται σε N r θέσεις να είναι ταυτόχρονα κάτω από το ίδιο επίπεδο είναι: p N r Άρα η τάξη του διαφορισμού είναι: N r Mε διαφορισμό σε πομπό και δέκτη για τη μέγιστη τάξη ισχύει: Diversity Order NN t r max 5

Διαφορισμός & Πιθανότητα Σφάλματος 11 Σε μια γενική περίπτωση με διαφορισμό με L κλάδους η πιθανότητα σφάλματος είναι της μορφής pe Καθορίζει το κέρδος κωδικοποίησης csnr L Καθορίζει το κέρδος διαφορισμού Χωρικός Διαφορισμός 1 Ο όρος τάξη διαφορισμού γίνεται περισσότερο αντιληπτός αν δούμε τη σχέση πιθανότητας διακοπής με το SNR σε λογαριθμική κλίμακα: η πιθανότητα διακοπής με τάξη διαφορισμού N r φθίνει N r φορές πιο γρήγορα με την αύξηση του SNR σε σχέση με τη περίπτωση ενός και μόνο κλάδου λήψης (χωρίς διαφορισμό). ) Η τάξη διαφορισμού είναι μια ιδιότητα του διαύλου, όχι του τρόπου μετάδοσης. Βέβαια υπάρχουν άλλοι τρόποι μετάδοσης που επιτρέπουν την εκμετάλλευση της υπάρχουσας τάξης διαφορισμού και άλλοι όχι. 6

13 Πιθανότητα Σφάλματος σε AWGN H βάση σύγκρισης είναι πάντα ο δίαυλος AWGN. Υποθέτουμε επιπλέον, BPSK Το BPSK είναι antipodal: y xi n i 1, x Η πιθανότητα σφάλματος μειώνεται εκθετικά με το SNR E E s s a P pe Q Q SNR SNR N o No N i a o 14 Πιθανότητα Σφάλματος σε Διαλείψεις Στην περίπτωση επίπεδων διαλείψεων τύπου Rayleigh το λαμβανόμενο σήμα είναι y hx n Η κρουστική απόκριση του διαύλου είναι i.i.d. μιγαδική Gauss τ.μ. µε µηδενική µέση τιµή καιµε διασπορά E h 1 h CN 0,1 ( ) Άρα Re[h] και Im[h] έχουν µηδενική µέση τιµή και ίδια διασπορά ίση με 1/. Άρα το πλάτος του h ακολουθεί την Rayleigh, ενώ η φάση του θα ακολουθεί την οµοιόµορφη. 7

Πιθανότητα Σφάλματος σε Διαλείψεις 15 Αν υποθέσουμε BPSK (αντιποδικά σήματα xi a ) εξαιτίας της τυχαίας φάσης του h, δεν είναι δυνατή η ασύγχρονη ανάκτηση (δηλαδή χωρίς γνώση του h) της πληροφορίας ακόμη και απουσία θορύβου. Αποδεικνύεται ότι μόνο κάποια κωδικοποίηση (π.χ. στο χρόνο) μπορεί να βοηθήσει στην ανάκτηση (π.χ. με ορθογωνικά σήματα και δέκτη ενέργειας ή τετραγωνικού νόμου). Σε αυτή την περίπτωση 1 P p e 1 SNR E SNR N s o a N o Πιθανότητα Σφάλματος σε Διαλείψεις 16 Υποθέτουμε BPSK στον πομπό και σύγχρονη αποδιαμόρφωση στο δέκτη. Δηλαδή ο δίαυλος είναι μεν τυχαίος αλλά γνωστός στο δέκτη. Η γνώση προέρχεται από τη διαδικασία της εκτίμησης του διαύλου (channel estimation). Η ανάκτηση γίνεται με βάση την εξής πραγματική επαρκή στατιστική όπου * * h h r Re y Re h x n h x z h h z N( 0, N o / ) 8

Πιθανότητα Σφάλματος σε Διαλείψεις 17 Αποδεικνύεται ότι η δεσμευμένη πιθανότητα σφάλματος δεδομένου του διαύλου h είναι SNR P h Q h Και η πιθανότητα σφάλματος ως μέση τιμή ως προς το δίαυλο 1 SNR P p e 1 1 SNR Πιθανότητα Σφάλματος σε Διαλείψεις 18 Για υψηλές τιμές του SNR η ανάπτυξη σε σειρά Taylor δίνει SNR 1 1 1 O 1 SNR SNR SNR Και η πιθανότητα γίνεται 1 SNR 1 P p e 1 1 SNR 4SNR Δηλαδή αντιστρόφως ανάλογη του SNR (που αντιστοιχεί σε AWGN). 9

Σύγκριση AWGN vs Rayleigh Fading 19 Διαφορισμός στο Δέκτη 0 Ποια είναι όμως η πιθανότητα σφάλματος αν υποθέσουμε χωρικό διαφορισμό στο δέκτη, δηλαδή αν ο δέκτης μπορεί να λάβει N r εκδοχές του σήματος? Πως εξαρτάται η πιθανότητα αυτή από τον τρόπο που συνδυάζουμε τις εκδοχές αυτές? Υπάρχει βέλτιστη τεχνική συνδυασμού των αποκρίσεων (σημάτων λήψης)? 10

Διαφορισμός στο Δέκτη 1 Το κέρδος διαφορισμού εξαρτάται άμεσα από τον τρόπο που συνδυάζονται τα σήματα λήψης. Οι περισσότερες τεχνικές συνδυασμού (combining techniques) είναι γραμμικές: Το τελικό σήμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός (weighted sum) των διαφόρων σημάτων λήψης. Άρα το κάθε σήμα λήψης θεωρείται ότι έχει υποστεί ανεξάρτητες διαλείψεις και το τελικό σήμα που οδηγείται σε αποδιαμόρφωση, προκύπτει από γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους σημάτων (ισοδύναμες εκφράσεις είναι οι fading paths και branches ). Διαφορισμός στο Δέκτη Παραδείγματα τεχνικών συνδυασμού στο δέκτη είναι: Selection Combining Threshold Combining (ή switching diversity) Maximal Ratio Combining Equal Gain Combining Optimum Combining (AWGN + Interference) Hybrid Selection / MRC Απαιτείται γνώση του διαύλου στο δέκτη (coherent combining). 1) A. F. Molisch, Wireless Communications, IEEE Press, 005. ) Proakis, Digital Communications, 4 th Edition, McGraw Hill, 000. 11

Διαφορισμός στο Δέκτη 3 Υποθέτουμε nrx πλήθος κεραιών δέκτη. Ο δίαυλος είναι διάνυσμα με nrx ανεξάρτητους Rayleigh διαύλους (i.i.d. Rayleigh). Υποθέτουμε ότι το εκπεμπόμενο σήμα x (με τα σύμβολα προς μετάδοση) έχει μοναδιαία διακύμανση (unit variance). Για να μελετήσουμε το διαφορισμό σε πολλές διαφορετικές τιμές E s /N o γράφουμε E x s y h n No Διαφορισμός στο Δέκτη SC 4 Υποθέτουμε ως τεχνική συνδυασμού των λαμβανόμενων σημάτων από τους κλάδους διαφορισμού την Selection Combining (SC). SC: Επίλεξε για αποκωδικοποίηση στο δέκτη το σήμα από τον κλάδο με το μεγαλύτερο SNR. Το στιγμιαίο SNR του i οστού κλάδου είναι Es i hi i1,, nrx N o Άρα επιλέγουμε τον κλάδο με το μέγιστο γ i. 1

Διαφορισμός στο Δέκτη SC 5 Το μέσο SNR για SC είναι Es SC E max hi i 1,, nrx i No E SC Η μέση τιμή υπολογίζεται σε διαφορετικές υλοποιήσεις του διαύλου. Σε περιβάλλον διαλείψεων Rayleigh, το πλάτος του διαύλου ακολουθεί κατανομή Rayleigh, ενώ η στιγμιαία ισχύς h i (και άρα και ο λόγος γ i ) ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Διαφορισμός στο Δέκτη SC 6 Η πιθανότητα διακοπής της i οστής ζεύξης είναι P s, P 1exp i out s i s όπου γ s είναι η τιμή κατωφλίου που ορίζουμε τη διακοπή. Επίσης θεωρούμε ίδια μέση ισχύ σε κάθε κλάδο και Es i E i E hi i 1,, nrx N o 13

Διαφορισμός στο Δέκτη SC 7 Η πιθανότητα διακοπής της ζεύξης για nrx κλάδους είναι Pout s PSC s P1,,, nrx s P P P nrx 1 s s nrx s nrx s i s 1 exp P i1 Άρα η πιθανότητα διακοπής (που είναι η c.d.f. του σηματοθορυβικού λόγου στην έξοδο, γ SC ) μειώνεται εκθετικά με το πλήθος των κλάδων. Διαφορισμός στο Δέκτη SC 8 10 0 Probability of Outage 10-1 nrx = 1 nrx = nrx = 3 nrx = 4 Pout 10-10 -3 10-4 -40-35 -30-5 -0-15 -10-5 0 5 10 Normalized s ( s /) [db] 14

Διαφορισμός στο Δέκτη SC 9 Αποδεικνύεται ότι η p.d.f. του γ SC είναι p SC nrx SC SC exp 1exp nrx1 Άρα υπολογίζουμε τη μέση τιμή του SNR ως εξής nrx 1 E p d i SC SC SC SC SC 0 i1 Διαφορισμός στο Δέκτη SC 30 Η επίδοση του SC αποτιμάται και σε BER για διαμόρφωση BPSK. Με δεδομένη την δεσμευμένη πιθανότητα σφάλματος δεδομένου του διαύλου ή ισοδύναμα του σηματοθορυβικού λόγου γ SC P SC Q SC Υπολογίζουμε την πιθανότητα σφάλματος ως μέση τιμή ως προς το δίαυλο 15

Διαφορισμός στο Δέκτη SC 31 Δηλαδή nrx 1 SC SC nrx e SC e 1e SC 0 p Q d Ισχύει η ανάπτυξη σε σειρά p e nrx 1 k nrx 1 k 0 k k E.A. Neasmith and N.C. Beaulieu, "New Results on Selection Diversity", IEEE Trans. on Comms, Vol.46, No.5, MAY 1998 Διαφορισμός στο Δέκτη SC 3 10 0 BER performance of Selection Combining with QPSK in Rayleigh Fading 10-1 nrx = 1 nrx = nrx = 3 nrx = 4 10 - BER 10-3 10-4 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 Eb/No [db] 16

Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 33 Υποθέτουμε τώρα ως τεχνική συνδυασμού των λαμβανόμενων σημάτων από τους κλάδους διαφορισμού την Maximal Ratio Combining (MRC). MRC: Είναι γραμμική τεχνική συνδυασμού: Το τελικό σήμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός (weighted sum) των διαφόρων σημάτων λήψης. Το στιγμιαίο SNR του i οστού κλάδου είναι Es i hi i1,, nrx N o Σε κάθε κλάδο η τεχνική εφαρμόζει ένα βάρος w i με στόχο τη μεγιστοποίηση του SNR. Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 34 Απαιτείται γνώση της φάσης του σήματος που εισέρχεται σε κάθε branch. Η φάση i hi του i- οστού κλάδου αφαιρείται πολλαπλασιάζοντας με το συντελεστή: j h i j i w ae ae i i i h e 1 j h1 x h e jh n1 n n3 w1 w w 3 x h e 3 jh3 x nrx jh nrx h e x nnrx wnrx Για το πλάτος του βάρους θα μιλήσουμε στη συνέχεια. y 17

Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 35 Η έξοδος του συνδυαστή είναι nrx MRC MRC MRC T MRC MRC 1 nrx y wmrcy i i i1 y w w w w y T E s Es T T wmrc hxn wmrchxw MRCn N o No Αποδεικνύεται ότι ο σηματοθορυβικός λόγος μεγιστοποιείται αν w h w h MRC * T H MRC Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 36 Άρα E E E nrx nrx nrx s s s MRC h hi hi i No No i1 i1 No i1 Η μέση τιμή του είναι nrx nrx MRC E MRC E i i nrx i1 i1 Άρα προκύπτει ένα κέρδος ισχύος που καλείται κέρδος συστοιχίας (array gain) που γίνεται εμφανές στο SNR επιπλέον του κέρδους διαφορισμού (diversity gain). 18

Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 37 Η στιγμιαία ισχύς του σήματος είναι E T s MRC N w h o Για τη σωστή ανάκτηση στο δέκτη, και ιδιαίτερα για QAM διαμορφώσεις, θα πρέπει η ισχύς του σήματος να παραμείνει ίδια E s T Es wmrc h N N Άρα πρέπει να κανονικοποιήσω τα βάρη ως εξής h h w w w h h h * H T T MRC 1 MRC MRC o o Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 38 Άρα η έξοδος του συνδυαστή είναι y MRC E N s o x h h H n Η πιθανότητα διακοπής αποδεικνύεται ότι είναι nrx k 1 s s out, 1 exp MRC s P MRC s k 1 k 1 k 1! P 1 19

Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 39 10 0 Probability of Outage 10-1 nrx = 1 nrx = nrx = 3 nrx = 4 Pout 10-10 -3 10-4 -40-35 -30-5 -0-15 -10-5 0 5 10 Normalized s ( s /) [db] Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 40 Η επίδοση του MRC αποτιμάται και σε BER για διαμόρφωση BPSK. Με δεδομένη την δεσμευμένη πιθανότητα σφάλματος δεδομένου του διαύλου ή ισοδύναμα του σηματοθορυβικού λόγου γ MRC MRC MRC h SNR P Q Q Υπολογίζουμε την πιθανότητα σφάλματος ως μέση τιμή ως προς το δίαυλο 0

Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 41 Δηλαδή η μέση πιθανότητα σφάλματος είναι nrx1 1 MRC nrx MRC e MRC exp MRC nrx 1! 0 p Q d Ισχύει η ανάπτυξη σε σειρά p e nrx nrx1 1 nrx 1 k 1 k 0 k 1 k Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 4 10 0 BER performance of MRC with QPSK for Rayleigh Fading 10-1 nrx = 1 nrx = nrx = 3 nrx = 4 10 - BER 10-3 10-4 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 Eb/No [db] 1

Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 43 Το SNR που συμμετέχει στην πιθανότητα σφάλματος μπορεί να γραφεί 1 h SNR= h nrx SNR nrx Ο 1 ος όρος είναι το diversity gain ενώ ο ος το array gain. Όσο μεγαλύτερο είναι το πλήθος των κεραιών στο δέκτη τόσο μεγαλύτερο είναι το αποτέλεσμα της ομοφασικής άθροισης αλλά και τόσο μικρότερη είναι η πιθανότητα σφάλματος λόγω των πολλαπλών ανεξάρτητων μονοπατιών στα οποία υπολογίζεται η μέση τιμή του p e. Διαφορισμός στο Δέκτη 44 Προσοχή: Με εφαρμογή διαφορισμού στο δέκτη είναι δυνατό να έχω μόνο κέρδος διαφορισμού και όχι ισχύος, όπως π.χ. στην τεχνική selection combining. Αντίστοιχα, αν έχω συσχετισμένα σήματα δεν προκύπτει κέρδος διαφορισμού αλλά μόνο κέρδος συστοιχίας. Ο διαφορισμός με MRC είναι ισοδύναμος με receive beamforming, επειδή ο εξαναγκασμός σε κοινή φάση υπονοεί τη στροφή του διαγράμματος ακτινοβολίας σε συγκεκριμένη κατεύθυνση.

Διαφορισμός στο Δέκτη EGC 45 Είναι προφανές ότι στην τεχνική MRC απαιτείται παρακολούθηση του κέρδους του διαύλου, ο οποίος όμως μεταβάλλεται γοργά και με μεγάλες διακυμάνσεις. Στην τεχνική EGC αποφεύγουμε τη ρύθμιση του πλάτους και επιδρούμε μόνο στη φάση. jh i i i i i ji w e e wh h * H nrx jargh T jargh T wegc e wegc e wegch hi i1 Διαφορισμός στο Δέκτη EGC 46 Το στιγμιαίο SNR EGC nrx nrx hi i s i1 i1 E N nrx nrx o Η μέση τιμή είναι nrx 1 E s EGC E EGC E hi nrx N o i1 1nRx 1 4 3

Διαφορισμός στο Δέκτη EGC 47 10 0 BER performance of EGC with QPSK for Rayleigh Fading 10-1 nrx = 1 nrx = nrx = 3 nrx = 4 10 - BER 10-3 10-4 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 Eb/No [db] 48 Διαφορισμός στον Πομπό 4

Διαφορισμός στον Πομπό 49 Στον πομπό υπάρχουν πολλές κεραίες και η ισχύς εκπομπής μοιράζεται σε αυτές τις κεραίες. Η τεχνική εξαρτάται από το αν το κανάλι είναι γνωστό στον πομπό ή όχι Αν το κανάλι είναι γνωστό, τότε η τεχνική είναι όμοια με το διαφορισμό στο δέκτη.(closed Loop Transmit Diversity ή Transmit Beamforming ή MRT) Αν το κανάλι δεν είναι γνωστό, τότε απαιτείται υλοποίηση τεχνικών κωδικοποίησης χώρου και χρόνου (Space Time Coding), με πιο γνωστό παράδειγμα την τεχνική Alamouti. Διαφορισμός στον Πομπό 50 Αναπαράσταση της τεχνικής w 1 r e 1 j 1 r e j w Nt j N t r e yt w Nt....... 5

Διαφορισμός στον Πομπό MRT 51 Ο πομπός γνωρίζει τα path gains Side Information at the Tx, CSIT) j r i e i (Channel Κάθε κλάδος πολλαπλασιάζεται με ένα μιγαδικό βάρος ji w a e i i Έχω δηλαδή λύση παρόμοια με το MRC Η τάξη διαφορισμού είναι ίση με το πλήθος των κεραιών στον πομπό (ntx). Space Time Coding 5 Η χωροχρονική κωδικοποίηση προτάθηκε από τον V. Tarokh (*) () το 1998 ως τεχνική βελτίωσης της αξιοπιστίας μιας ζεύξης υπό συνθήκες διαλείψεων. Κωδικοποίηση ώστε να εισαχθεί συσχέτιση ανάμεσα στα σήματα που μεταδίδονται από: Τις διάφορες κεραίες (στο πεδίο του χώρου) Σε διάφορες χρονικές στιγμές (στο πεδίο του χρόνου). Η συσχέτιση επιτυγχάνεται μέσω της εισαγωγής πλεονασμού (redundancy). (*) V. Tarokh, N. Seshadri, A.R. Calderbank, Space time codes for high data rate wireless communications: Performance criteria and code construction, IEEE Trans. on Inf. Theory, Vol.44, No, pp.744 765, 1998. 6

Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 53 Μια απλή αλλά πολύ έξυπνη τεχνική διαφορισμού όταν ο δίαυλος δεν είναι γνωστός στον πομπό. Δεν απαιτεί γνώση του διαύλου στον πομπό. Ο δίαυλος θεωρείται σταθερός για Τ s. Τάξη Διαφορισμού: Κέρδος συστοιχίας: Όχι Ο x χωρο χρονικός πίνακας μετάδοσης είναι x X x 1 x x1 (Τα σύμβολα είναι ανεξάρτητα και η μισή ισχύς εκπέμπεται από κάθε κεραία) Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 54 x1, x S x x 1 * * x x1 Χρόνος x 1 * x h1 n1 n x h * x 1 y1 y h 1 h y 1 y xˆ, xˆ 1 7

Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 55 Τα λαμβανόμενα σύμβολα σε περίοδο T s είναι y1 h1x1 h x n1 y h x h x n * * 1 1 και τα αναδιατάσσουμε ως εξής y1 h1 h y xn Hxn y h h1 n x [ x1 x] T n1 n T Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 56 Στην έξοδο του γραμμικού συνδυαστή στο δέκτη * * 1 1 1 1 1 y h h x h n h n * * 1 1 1 y h h x h n h n Συνεπώς η ανάκτηση διασπάται σε δύο ορθογώνια βαθμωτά προβλήματα ανάκτησης. Το γεγονός αυτό μειώνει πολύ την πολυπλοκότητα υλοποίησης του δέκτη. 8

Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 57 Ο δέκτης ML αποφασίζει ποιά σύμβολα να επιλέξει με βάση το κριτήριο απόφασης της Ευκλείδειας απόστασης xˆ 1 argmin y1 h1 h x argmin d y1, h1 h x xs xs xˆ arg min y h1 h x arg min d y, h1 h x xs xs Όπου βέβαια *, * * d y x yx yx yx y x yx Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 58 Αποδεικνύεται ότι για σύμφωνη αποδιαμόρφωση η επίδοση της τεχνικής είναι BPSK 1 1 1 1 1 pe QPSK p e 1 1 1 1 9

Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 59 10 0 SISO 10-1 MRC, Nr = Alamouti Nt = 10 - p e 10-3 10-4 0 5 10 15 0 5 SNR (db) S.M. Alamouti, A simple transmitter diversity scheme for wireless communication, IEEE JSAC, 16, pp.1451 1458, 1998. 60 Συστήματα ΜΙΜΟ 30

Θεμελιωτές 61 Οι Paulraj και Kailath ήταν οι πρώτοι που μελέτησαν τη δυνατότητα δραματικής αύξησης της χωρητικότητας των συστημάτων ΜΙΜΟ, η οποία μελετήθηκε διεξοδικά στη συνέχεια από τον Telatar και τους Foschini και Gans. A. Paulraj and T. Kailath, Increasing capacity in wireless broadcast systems using distributed transmission/directional reception, US Patent, no.5.345 599, 1994. B. I. E. Telatar, Capacity of multi antenna gaussian channels, European Transactions on Telecommunications, pp. 585 596, Nov. 1999. C. G. J. Foschini and M. Gans, On limits of wireless communications in a fading environment when using multiple antennas, Wireless Personal Communications, vol. 6, pp. 311 355, 1998. Θεμελιωτές 6 Ταυτόχρονα, αναπτύχθηκε η αρχιτεκτονική BLAST (D BLAST, V BLAST) η οποία υποσχόταν υψηλούς ρυθμούς δεδομένων, ενώ εμφανίστηκαν και οι πρώτες αρχιτεκτονικές κωδικοποίησης χώρου χρόνου. A. G. J. Foschini, Layered space time architecture for wireless communication in a fading environment when using multiple antennas, Bell Labs Syst. Tech. J., pp.41 59, Autumn 1996. B. P. W. Wolniansky, G. J. Foschini, G. D. Golden, and R. A. Valenzuela, VBLAST: an architecture for realizing very high data rates over the rich scattering wireless channel, International Symposium on Signals, Systems, and Electronics, ISSSE, pp.95 300, Oct 1998. C. V. Tarokh, N, Seshadri and A. Calderbank, Space time codes for high data rate wireless communication: performance criteria and code construction, IEEE TIT, no.44, pp.744 765, March 1998. 31

Συστήματα ΜΙΜΟ 63 ματα ΜΙΜΟ Συστήμ Τα συστήματα ΜΙΜΟ χρησιμοποιούνται κυρίως είτε για αύξηση της χωρητικότητας είτε για βελτίωση της αξιοπιστίας της μετάδοσης. Σχέση εισόδων εξόδων ΜΙΜΟ 64 Συστήμ ματα ΜΙΜΟ N t y n x n h w n i 1,,..., N i j ij i r j1 y Hx w 3

Σχέση εισόδων εξόδων ΜΙΜΟ 65 ματα ΜΙΜΟ Συστήμ y Hx w Διάνυσμα μεταδιδόμενων σημάτων Σχέση εισόδων εξόδων ΜΙΜΟ 66 ματα ΜΙΜΟ Συστήμ y Hx w Διάνυσμα λαμβανόμενων σημάτων 33

Σχέση εισόδων εξόδων ΜΙΜΟ 67 ματα ΜΙΜΟ Συστήμ y Hx w Πίνακας μεταφοράς του διαύλου Σχέση εισόδων εξόδων ΜΙΜΟ 68 Θεωρώντας κανάλι με επίπεδες διαλείψεις, ο πίνακας που περιγράφει το δίαυλο καλείται: Μιγαδικός πίνακας διαύλου (complex channel matrix) διαστάσεων ( N N ) : h h... h h h... h.... H h ij........ h 1 h... h 11 1 1Nt 1 Nt Nr Nr NrNt r t Μιγαδικό κέρδος καναλιού κατά τη διάδοση ενός συμβόλου από τη j κεραία εκπομπής στην i κεραία λήψης 34

Σχέση εισόδων εξόδων ΜΙΜΟ 69 ματα ΜΙΜΟ Συστήμ y Hx w Διάνυσμα σημάτων AWGN θορύβου Σχέση εισόδων εξόδων ΜΙΜΟ 70 Στο μοντέλο αυτό η ανάκτηση μιας ροής δεδομένων υποφέρει από την παρεμβολή των άλλων ροών N t y h x w h x h x w i1 i i k k i i ik InterstreamInterference Πως όμως είναι δυνατή η μετάδοση και η λήψη από πολλαπλές κεραίες ώστε να έχουμε ισοδύναμα παράλληλους ανεξάρτητους υποδιαύλους? Σε αυτό βοηθά η αναπαράσταση σε ένα ισοδύναμο πεδίο που επιτρέπει τη διάσπαση δηλ. την ανάλυση του διανυσματικού διαύλου σε παράλληλους, ανεξάρτητους, βαθμωτούς Gauss υπο διαύλους. 35

Ανάλυση Ιδιόμορφων Τιμών για ΜΙΜΟ 71 Έστω ότι για ένα σύστημα ΜΙΜΟ (N t, N r ) ο πίνακας του διαύλου, H, είναι γνωστός τόσο στον πομπό όσο και στο δέκτη. Άρα μπορεί να αναλυθεί με χρήση ιδιόμορφων τιμών (Singular Value Decomposition SVD) ως εξής: H UΣ V όπου ο (N r x N r ) πίνακας U και ο (N t x N t ) πίνακας V H είναι ορθομοναδιαίοι, δηλαδή U U IN και r H V V IN ενώ ο πίνακας Σ είναι διαγώνιος t πίνακας που περιέχει διατεταγμένες σε φθίνουσα σειρά τις ιδιόμορφες τιμές του H. H Ανάλυση Ιδιόμορφων Τιμών για ΜΙΜΟ 7 H 0 H U Σ V U Σ 0 V 0 0 Ο πίνακας U περιέχει τα left singular vectors του H, H δηλ. τα ιδιοδιανύσματα (eigenvectors) του HH Ο πίνακας V περιέχει τα right singular vectors του H, H δηλ. τα ιδιοδιανύσματα (eigenvectors) του H H Η ιδιόμορφη τιμή σ i συνδέεται με i οστή μεγαλύτερη H H ιδιοτιμή του HH, ή του H H i i H 36

Ανάλυση Ιδιόμορφων Τιμών για ΜΙΜΟ 73 Οι μή μηδενικές ιδιόμορφες τιμές είναι R H στο πλήθος, όπου R H η τάξη (rank) του πίνακα H. Η τάξη ενός πίνακα δεν μπορεί να υπερβαίνει το πλήθος των γραμμών ή των στηλών του R min N, N H Η ισότητα ισχύει όταν είναι πλήρους τάξης (full rank), πράγμα που ισχύει σε διαύλους με πολλούς σκεδαστές (rich scattering channel). Άρα ο H μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα R H πινάκων τάξης 1 t r R H H u v i1 H i i i Ανάλυση Ιδιόμορφων Τιμών για ΜΙΜΟ 74 Ορίζουμε τα εξής μετ/σμένα διανύσματα H H H xv x yu y wu w Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του συστήματος H H H H H yu yu HxU wu UΣV xw Σx w Ο μετ/σμένος θόρυβος ακολουθεί την ίδια κατανομή, με τον αρχικό w CN ( 0, N o I Nr ) Επιπλέον x x και άρα η ενέργεια είναι ίδια. 37

Ανάλυση σε παράλληλους διαύλους 75 Ο πίνακας Σ είναι διαγώνιος άρα κάθε σήμα εξόδου συνδέεται με ένα και μόνο σήμα εισόδου y Σx w 1 w 1 x 1 y 1 w x y x R H R H w RH y R H Ανάλυση σε παράλληλους διαύλους 76 Αν ο δίαυλος είναι πλήρως γνωστός σε πομπό και δέκτη, τότε με χρήση του SVD μπορούμε να σχεδιάσουμε το εξής σύστημα Coder x V x H w y H U y Decoder Μπορούμε δηλαδή να εκπέμψουμε (πολυπλέξουμε) ανεξάρτητες ροές δεδομένων στις κατευθύνσεις των ιδιοδιανυσμάτων του ΗΗ Η, δηλαδή στο σύστημα συντεταγμένων που ορίζεται από τον πίνακα V. 38

Ανάλυση σε παράλληλους διαύλους 77 Σημειώστε ότι αυτή η βέλτιστη τακτική μετάδοσης εξαρτάται απόλυτα από το δίαυλο. Δηλαδή για να εκπέμψουμε στις κατευθύνσεις των ιδιοδιανυσμάτων του ΗΗ Η, δηλαδή να πολυπλέξουμε ανεξάρτητες ροές στο σύστημα συντεταγμένων που ορίζεται από τον πίνακα V, πρέπει να γνωρίζουμε το δίαυλο στον πομπό. Στην πράξη δηλαδή η αρχιτεκτονική που δείξαμε αφορά δίαυλο ντετερμινιστικό και χρονικά αμετάβλητο. Τεχνικές Ανάκτησης για MIMO SM 78 Στα συστήματα ΜΙΜΟ χωρικής πολυπλεξίας (SM), ο βέλτιστος δέκτης θα ήταν ο δέκτης Μέγιστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood). Σε σχέση με την τεχνική Alamouti δεν μπορούμε να κάνουμε αποσύνδεση σε δύο προβλήματα ανάκτησης αλλά απαιτείται joint detection. Στην πράξη η πολυπλοκότητα λ της ML ανάκτησης αυξάνει εκθετικά με το πλήθος των κεραιών λήψης. Εξαιτίας της εξαντλητικής αναζήτησης της ελάχιστης απόστασης για κάθε πιθανό σύμβολο (όλου του σηματαστερισμού) η πολυπλοκότητα είναι: M nrx. 39

Ανάκτηση με Δέκτη ML 79 Με χρήση δέκτη ML αποδεικνύεται ότι η επίδοση ενός ΜΙΜΟ συστήματος x πλησιάζει αυτή του συστήματος MRC 1x. Η πολυπλοκότητα όμως της τεχνικής, εξαιτίας της εξαντλητικής αναζήτησης της ελάχιστης απόστασης είναι πολύ μεγάλη (για 64QAM και ροές = 64 ). Συνεπώς αναζητούνται τεχνικές ανάκτησης μικρότερης πολυπλοκότητας αλλά και υποβέλτιστης επίδοσης. Σε αυτές τις τεχνικές ουσιαστικά μειώνεται η τάξη του διαφορισμού, ενώ στο δέκτη ML διατηρείται. Ανάκτηση με Δέκτη ZF 80 Ο δέκτης Zero Forcing (ZF) είναι ένας γραμμικός δέκτης που προσπαθεί να επιτύχει την αντιστροφή του διαύλου στη σχέση εισόδου εξόδου y Hx w Ο πίνακας διαύλου H είναι μιγαδικός πίνακας. Ο Moore Penrose ψευδοαντίστροφος πίνακας είναι η ενδεδειγμένη μέθοδος επίλυσης του συστήματος y x H m n mxn y HxxH y,, 40

Ανάκτηση με Δέκτη ZF 81 Θεωρούμε ότι ο Η είναι διάστασης (mxn) Αν οι στήλες του Η είναι γραμμικώς ανεξάρτητες (δηλαδή m n) τότε υπάρχει ο αντίστροφος του Η Η Η και H H H H H 1 H Άρα υπάρχει ο left inverse τ.ω. HH I Αν οι γραμμές του Η είναι γραμμικώς ανεξάρτητες (δηλαδή m n) τότε υπάρχει ο αντίστροφος του ΗΗ Η και H H H HH H 1 Άρα υπάρχει ο right inverse τ.ω. HH n I m Ανάκτηση με Δέκτη ZF 8 Υπενθυμίζουμε ότι όταν ο πομπός γνωρίζει το δίαυλο, τότε με τον SVD μπορούμε να στείλουμε παράλληλες ροές δεδομένων μέσα από το δίαυλο ώστε να καταφθάσουν στο δέκτη ορθογώνιες και χωρίς παρεμβολές μεταξύ τους. Αυτό επιτυγχάνεται με την προ περιστροφή (prerotating) των ροών ώστε οι παράλληλες ςροές να σταλούν στους ιδιορυθμούς (eigenmodes) του διαύλου. Όταν όμως ο δίαυλος δεν είναι γνωστός στον πομπό αυτό δεν είναι εφικτό. Οι ροές λαμβάνονται στο δέκτη συζευγμένες (cross coupled) και δεν είναι βέβαιο αν μπορεί να τις διακρίνει επαρκώς. 41

Ανάκτηση με Δέκτη ZF 83 Ο δέκτης ZF (αποκαλούμενος και decorrelator ή interference nullingreceiver) προσπαθεί να ακυρώσει την παρεμβολή από τις άλλες ροές. Το πετυχαίνει σε δύο βήματα Για την ανάκτηση της k οστής ροής, προβάλει το λαμβανόμενο σήμα σε κατεύθυνση που είναι η πιο κοντινή στην h k. Στη συνέχεια εφαρμόζει matched filtering για τη μεγιστοποίηση του SNR. Αυτό επιτυγχάνεται σε πολλαπλότητα για όλες τις ροές με τον ψευδοαντίστροφο. Ανάκτηση με Δέκτη MMSE 84 Ο δέκτης MMSE χρησιμοποιεί τη γνώση της διασποράς του θορύβου ώστε να μεγιστοποιήσει το λόγο σήματος προς παρεμβολή και θόρυβο (SINR). Η ανάκτηση γίνεται χρησιμοποιώντας τον πίνακα Άρα W H H I H H MMSE w ntx H H y Hxwxˆ x H H I H w 1 H w ntx 1 4

Σύγκριση Δεκτών ZF και MMSE 85 Στην προσπάθειά του να ακυρώσει την παρεμβολή από τις άλλες ροές, ο ZF αυξάνει την ισχύ του θορύβου Η αύξηση στην ισχύ του θορύβου στο δέκτη MMSE είναι μικρότερη από εκείνη στο δέκτη ZF. Όταν ο H έχει την ελάχιστη ιδιοτιμή του πολύ μικρή τότεηαύξησητουθορύβουαπότοzf του από το ήτοmmse γίνεται σημαντική. Σύγκριση Δεκτών ZF και MMSE 86 10 0 BER performance of M-PSK 10-1 10 - Theoretical Rayleigh SISO Simulated MIMO-SM-ZF x Theoretical Alamouti x1 Theoretical MRC 1x AWGN SISO BER 10-3 10-4 10-5 10-6 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 Eb/No [db] 43

Σύγκριση Δεκτών ZF και MMSE 87 10 0 BER performance of M-PSK 10-1 Theoretical Rayleigh SISO Simulated MIMO-SM-MMSE x Theoretical Alamouti x1 Theoretical MRC 1x AWGN SISO 10 - BER 10-3 10-4 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 Eb/No [db] 88 Χωρητικότητα Βασικές εξισώσεις και μεγέθη χωρητικότητας συστημάτων. 44

Χωρητικότητα SISO για AWGN 89 Χωρητικότητα (Capacity): Ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης που μπορεί να επιτευχθεί, με αμελητέα πιθανότητα σφάλματος στο δέκτη. Θεωρώντας μοντέλο συστήματος P είναι ο περιορισμός ισχύος στον πομπό Β το εύρος ζώνης του διαύλου και w N0 B ημέσηισχύςθορύβου y x n P C B log 1 bits / sec w B log 1SNR Χωρητικότητα SISO για AWGN 90 Διαιρώντας με το εύρος ζώνης προκύπτει η φασματική απόδοση (spectral efficiency) C log 1 SNR bits / sec / Hz Αυτή η συνάρτηση είναι κοίλη (concave) αφού f SNR 0 SNR 0 δηλαδή όσο μεγαλύτερο είναι το SNR τόσο μικρότερη είναι η αύξηση της φασματικής απόδοσης. Σημείωση: Αν ήταν κυρτή (convex) θα ίσχυε f SNR 0 SNR 0 45

Χωρητικότητα SISO για AWGN 91 Επιπλέον log 1 x xlog e για x 0 log 1 x log x για x1 Άρα για χαμηλά SNR η χωρητικότητα αυξάνει γραμμικά με τη λαμβανόμενη ισχύ. Ενώ για υψηλά SNR η χωρητικότητα αυξάνει λογαριθμικά με τη λαμβανόμενη ισχύ. C.E. Shannon, A mathematical theory of communication, Bell System Technical Journal, 7, pp.379 43 and 63 656, 1948. C.E. Shannon, Communication in the presence of noise, Proceedings of the IRE, 37, pp.10 1, 1949. Σελίδα 91 Χωρητικότητα SISO για AWGN 9 10 9 8 7 log (1+SNR) 6 5 4 3 1 0 0 100 00 300 400 500 600 700 800 900 1000 SNR Σελίδα 9 46

93 Χωρητικότητα SISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις Αργές Διαλείψεις : Θεωρούμε ότι ο δίαυλος είναι τυχαίος αλλά παραμένει σταθερός με το χρόνο (τουλάχιστο για τη διάρκεια μιας κωδικής λέξης). Πρακτικά μιλάμε για δίαυλο με αργές διαλείψεις. (Μη εργοδικό, non ergodic channel) Θεωρούμε ότι y hx n Για δεδομένη μια υλοποίηση του διαύλου h η περιγραφή είναι ίδια με εκείνη σε AWGN δίαυλο με λαμβανόμενο SNR πλέον ίσο με h SNR και C log 1 h SNR bps / Hz 94 Χωρητικότητα SISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις Αργές Διαλείψεις : Αφού ο δίαυλος είναι τυχαίος το ίδιο ισχύει και για τη χωρητικότητα. Θεωρούμε ότι ο πομπός κωδικοποιεί με ρυθμό R bps/hz. Αν ο δίαυλος είναι τ.ω. log 1 h SNR R τότε οποιαδήποτε και αν είναι η κωδικοποίηση, η πιθανότητα σφάλματος δεν μπορεί να είναι αυθαίρετα μικρή και το σύστημα είναι σε διακοπή. Η πιθανότητα διακοπής (outage probability) είναι Pr log 1 SNR pout R h R 47

95 Χωρητικότητα SISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις Να σημειωθεί ότι ενώ σε δίαυλο AWGN μπορούμε να έχουμε μετάδοση με ρυθμό μικρότερο ρ από C διατηρώντας την πιθανότητα σφάλματος όσο μικρή θέλουμε, σε δίαυλο με αργές διαλείψεις αυτό δεν είναι δυνατό όσο η πιθανότητα ο δίαυλος να είναι σε βαθιά διάλειψη είναι μη μηδενική. ε Outage Capacity : Ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης R τ.ω. η πιθανότητα διακοπής είναι μικρότερη από ε out p R L. Ozarow, S. Shamai, A.D. Wyner, Information theoretic considerations for cellular mobile radio, IEEE TVT, 43(), pp.359 378, 1994. 96 Χωρητικότητα SIΜO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις Στην περίπτωση που έχουμε διαφορισμό στο δέκτη το λαμβανόμενο SNR είναι h SNR Η outage capacity είναι αντίστοιχα log 1 h SNR pout R P R A. Goldsmith and P. Varaiya, Capacity of fading channel with channel side information, IEEE IT, 43, pp.1986 199, 1995. Σελίδα 96 48

97 Χωρητικότητα ΜISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις Στην περίπτωση που έχουμε διαφορισμό στον πομπό με πλήρη γνώση του διαύλου το λαμβανόμενο SNR είναι όπως και στην SIMO περίπτωση h SNR Το ίδιο συμβαίνει με την outage capacity log 1 h SNR p out R P R Σελίδα 97 98 Χωρητικότητα ΜISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις (Alamouti) Με την τεχνική Alamouti, ο πομπός εκπέμπει σήματα που έχουν ενέργεια σε όλες τις κατευθύνσεις. Η εκπομπή μάλιστα είναι ισοτροπική γιατί τα σήματα είναι ασυσχέτιστα και έχουν την ίδια ισχύ. Όταν έχω γνώση στον Tx η ενέργεια συγκεντρώνεται σε συγκεκριμένη κατεύθυνση (transmit beamforming). Η outage capacity για την περίπτωση Alamouti SNR pout RPlog 1 h R Σελίδα 98 49

99 Χωρητικότητα SISO για Δίαυλο με Γρήγορες Διαλείψεις Γρήγορες Διαλείψεις : Όταν η κωδική λέξη διαρκεί πολλαπλάσιο μιας περιόδου συνοχής, τότε επιτυγχάνεται χρονικός διαφορισμός και η outage probability βελτιώνεται. Λέμε ότι ο δίαυλος υπόκειται σε γρήγορες διαλείψεις. (ergodic channel) Αποδεικνύεται ότι η χωρητικότητα δίνεται από log 1 h SNR / C E bps Hz Άρα μπορούμε να πάρουμε τη μέση τιμή από διαδοχικές ανεξάρτητες διαλείψεις του διαύλου και να χρησιμοποιήσουμε κωδικές λέξεις μεγάλου μήκους (πολλών περιόδων συνοχής) αποδοτικά. Χωρητικότητα ΜIMO 100 Χρησιμοποιώντας την ανάλυση του ΜΙΜΟ διαύλου σε παράλληλους διαύλους εκφράζουμε τη χωρητικότητα του ΜΙΜΟ συστήματος ως άθροισμα των χωρητικοτήτων των επιμέρους διαύλων ως εξής R H R H ip i ip i C Blog1 B log 1 i1 w i1 w H H Οι μη μηδενικές ιδιοτιμές των HH και H H είναι ίδιες, οι χωρητικότητες των διαύλων με πίνακες H H και H είναι ίδιες. Οι ιδιοτιμές είναι τα κέρδη ισχύος των επιμέρους διαύλων. 50

Χωρητικότητα ΜIMO 101 Είναι σαφές ότι αυξανομένης της τάξης R H του πίνακα Η, αυξάνεται η χωρητικότητα. Αυτό το κέρδος στη χωρητικότητα καλείται κέρδος χωρικής πολυπλεξίας (spatial multiplexing gain). Κάθε ιδιοτιμή αντιστοιχεί σε έναν ιδιορυθμό (eigenmode) του διαύλου που καλείται και ιδιοδίαυλος (eigenchannel). Υπάρχει όμως κάποια κατανομή των ιδιοτιμών που μεγιστοποιεί τη χωρητικότητα? Η συνολική ισχύς του R H H διαύλου είναι i tr[ HH ] hij i1 i, j Χωρητικότητα ΜIMO 10 ΝΑΙ, αποδεικνύεται ότι μεταξύ των διαύλων με το ίδιο κέρδος ισχύος μεγαλύτερη χωρητικότητα έχει ο δίαυλος που οι ιδιοτιμές είναι ίσες, R 1 H Πολλές φορές χρησιμοποιούμε το condition number ως ςμέτρο της ισότητας των ιδιοτιμών max i Condition Number min Όσο πιο κοντά στο 1 τόσο μεγαλύτερη χωρητικότητα. Σελίδα 10 i 51

Χωρητικότητα ΜIMO 103 Ποια όμως είναι η βέλτιστη κατανομή ισχύος στους υποδιαύλους? Αποδεικνύεται ότι για πολύ υψηλές τιμές του SNR η βέλτιστη λύση είναι να αποδώσουμε ίση ισχύ ανά κεραία εκπομπής (P/N t ) R H R H ip ip C B log 1 log B 1 i1 Nt w i1 Nt w Χωρητικότητα ΜIMO 104 Αν το SNR είναι μικρό, η βέλτιστη τακτική είναι να αποδοθεί η πλήρης ισχύς στον υποδίαυλο με τη μεγαλύτερη ιδιοτιμή. Η χωρητικότητα που προκύπτει είναι max i P P C Blog 1 B max w w Δηλαδή ο δίαυλος παρέχει κέρδος ισχύος max (λ i ). Η τάξη R H του πίνακα Η, ή ο condition number δεν παίζουν ρόλο. Σημασία έχει η συνολική ισχύς που μεταφέρεται από τον πομπό στο δέκτη. Σελίδα 104 i 5

Χωρητικότητα ΜIMO 105 Η βέλτιστη κατανομή ισχύος για ενδιάμεσες τιμές του SNR δίνεται από τον αλγόριθμο waterpouring (ή waterfilling). Η εφαρμογή του αλγορίθμου αυτού υποδεικνύει ότι η κατανομή της συνολικής εκπεμπόμενης ισχύος του σήματος στους ασύρματους διαύλους, γίνεται με τρόπο ώστε στους διαύλους με καλύτερα χαρακτηριστικά διάδοσης να ανατίθεται περισσότερη ισχύς και αντίστοιχα λιγότερη ισχύς στους διαύλους με δυσμενέστερες συνθήκες διάδοσης. Δίαυλος Άγνωστος στον Πομπό 106 Η χωρητικότητα τώρα είναι P B log det I HH, N N C P B log det I H H, N N H Nr r t Nt w H Nt r t Nt w G.J. Foschini, Layered space time architecture for wireless communication in a fading environment when using multi element antennas, Bell Labs Technical Journal, 1(), pp.41 59, 1996. E. Telatar, Capacity of the multiple antenna Gaussian channel, European Transactions on Telecommunications, vol.10, no.6, pp.585 595, 1999. 53

Τυχαίος Δίαυλος Rayleigh Fading 107 Αφού ο δίαυλος είναι τυχαίος, τυχαίες είναι και οι ιδιοτιμές αλλά και η χωρητικότητα. η Πλέον έχουν νόημα δύο διαφορετικές εκφράσεις της χωρητικότητας ανάλογα με το αν έχω αργές ή γρήγορες διαλείψεις. Εργοδική Χωρητικότητα (Ergodic Capacity): είναι ο μέσος ρυθμός πληροφορίας και αφορά διαύλους με γρήγορες διαλείψεις (εργοδικούςδ ύ διαύλους). ) ε Outage Capacity : Είναι η ελάχιστη χωρητικότητα που μπορεί να υποστηρίξει το κανάλι με πιθανότητα (100 ε)% και αφορά διαύλους με αργές διαλείψεις (μη εργοδικούς διαύλους). Τυχαίος Δίαυλος Γρήγορες Διαλείψεις 108 Η εργοδική χωρητικότητα υπολογίζεται ως εξής P H C EBlog det I HH, N N r Nt w erg N r t P C E Blog det I H H, N N H erg Nt r t Nt C erg EB R H i log 1 P i1 Nt w G.J. Foschini and M.J. Gans, On limits of wireless communication in a fading environment when using multiple antennas, Wireless Personal Communications, 6(3), pp.311 335, 1998. 54

Τυχαίος Δίαυλος Rayleigh Fading 109 Θεωρούμε N N n r t 1 09 0.9 0.8 Empirical CDF n= n=4 n=8 0.7 0.6 CDF 0.5 0.4 0.3 CDF για SNR=10dB 0. 0.1 0 0 5 10 15 0 5 30 Capacity (bps/hz) Τυχαίος Δίαυλος Rayleigh Fading 110 Εργοδική χωρητικότητα vs πλήθους κεραιών 55

Ο Δίαυλος και η Χωρητικότητα 111 Η τάξη του πίνακα ΗΗ Η, εκτός από το πλήθος των κεραιών N t, N r, περιορίζεται και από το πλήθος των διακριτών πολυδιαδρομικών συνιστωσών N S R min N, N, N multiplexing gain H t r S Άρα και η χωρητικότητα, όπως και το κέρδος χωρικής πολυπλεξίας λ εξαρτάται από την τάξη του πίνακα. Άρα το περιβάλλον είναι ο περιοριστικός παράγοντας (μέσω των σκεδαστών και της συσχέτισης που δίνουν) Άρα δεν υπάρχει λόγος για χρήση περισσότερων κεραιών απ τους βαθμούς ελευθερίας του διαύλου. 11 Σύνδεση χωρητικότητας με τα κέρδη των συστημάτων ΜΙΜΟ 1 Συστήμ ματα ΜΙΜΟ 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 Κέρδος διαφορισμού αύξηση της κλίσης 4 4 8 4 16 4 Κέρδος 0.3 χωρικής πολυπλεξίας Κέρδος συστοιχίας μετατόπιση μόνο για N r >N t 0. 0.1 0 5 10 15 0 5 30 35 40 Χωρητικότητα (bps/hz) 56

113 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τηλ: +30 10 414759 e mail: kanatas@unipi.gr 57