ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΜΠΟΣΙΟ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α : από την Επιστήµη στην Εφαρµογή ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ. 1-2 Ιουνίου 2012 ΣΥΝΕ ΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Τ.Ε.Ι.

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΜΠΟΣΙΟ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α : από την Επιστήµη στην Εφαρµογή ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ 1-2 Ιουνίου 2012 ΣΥΝΕ ΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ

Επιστηµονική Επιτροπή ρ Ιωάννης Βενέρης, Καθηγητής, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Ε.Μ.Π. ρ Α. Μ. Κουρνιάτη, Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Ε.Μ.Π. ρ Αικατερίνη Λιάπη, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Αναπληρώτρια Πρόεδρος Τµήµατος Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Πανεπιστηµίου Πατρών ρ Στέλιος Μαρκάτης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Ε.Μ.Π. ρ Βασίλης Παγούνης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Προϊστάµενος Τµήµατος Τοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας Κυριάκος Ρόκος, Γλύπτης, Καθηγητής, Τµήµα Συντήρησης Αρχαιοτήτων και Έργων Τέχνης Τ.Ε.Ι. Αθήνας ρ Ιωάννης Τζουβαδάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π. Οργανωτική Επιτροπή Γεώργιος Λευκαδίτης, Καθηγητής, Τµήµα Τοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας ρ Σταµατίνα Μαλικούτη, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Προϊσταµένη Τµήµατος Πολιτικών οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά Άρης Μαυροµµάτης, Μαθηµατικός, Καθηγητής, Εθνική Εστία Επιστηµών, Επιστηµονικός Σύµβουλος Μουσείου Ηρακλειδών Γραµµατεία Ιουλιέττα Μαµφρέδα, τελειόφοιτη Τµήµατος Πολιτικών οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά Τεχνική υποστήριξη Γεώργιος Εξαρχάκος, Εργαστηριακός Συνεργάτης Τµήµατος Πολιτικών οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά Το Συµπόσιο οργανώθηκε από το Τµήµα Πολιτικών οµικών Έργων µε την υποστήριξη του Τ.Ε.Ι. Πειραιά. Copyright έκδοσης: 2012 Τµήµα Πολιτικών οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά Θηβών 250 & Π. Ράλλη 122 44 Αιγάλεω http://civil.teipir.gr Σύγχρονη Εκδοτική Ε.Π.Ε. Σόλωνος 120 106 81 Αθήνα www.synchroniekdotiki.gr

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ...7 Προέδρου Τ.Ε.Ι. Πειραιά Προϊσταµένης Τµήµατος Πολιτικών οµικών Έργων ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΕΣ ΕΙΣΗΓΗΣΕΙΣ (µε αλφαβητική παράθεση των πρώτων εισηγητών) Ιωάννης Αραχωβίτης «Γεωµετρία: Ορισµός και Σύνοψη Εφαρµογών»...11 ηµήτρης Γεωργίου - Θανάσης Μεγαρίτης «Ευκλείδειοι Χώροι και Θεωρία ιαστάσεων»...11 «Πεπερασµένοι Χώροι και ιάσταση Κάλυψης»...12 Στέλιος Μαρκάτης «Γεωµετρία: Θεµέλιος Λίθος της Εκπαίδευσης»...12 Βασίλειος Παπαντωνίου «Η εξέλιξη της γεωµετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη µέχρι σήµερα»...13 ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ (µε αλφαβητική παράθεση των πρώτων εισηγητών) Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ Αλκιβιάδης Ακρίτας - Κυριακή Τσιλίκα «Το Σύστηµα Υπολογιστικής Άλγεβρας Xcas ως Περιβάλλον υναµικής Γεωµετρίας»...17 Αλέξανδρος Αλιεύς, Αγγελίνα Σκαράκη, ήµητρα Φακλή «Σκέψεις για τη σχέση της ποσοτικής και ποιοτικής διάστασης της γεωµετρίας µε την οικοδοµική επιστήµη και τέχνη στα πλαίσια οργάνωσης σχετικού µαθήµατος σε σχολές µηχανικών εκπαιδευτικών»...18

4 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή Αλέξανδρος Βαζάκας «Επιφάνειες ιπλής Καµπυλότητας και η Κατασκευή τους από ξύλο µε Μεθόδους Cad/Cam: το Πείραµα ενός Μαθήµατος»...19 Χρήστος Κίτσος «Εφαρµόζοντας τη Γεωµετρία στην Στατιστική»...20 Γεώργιος Λευκαδίτης - Θανάσης Κουκοφίκης «Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αξονοµετρίας Karl Pohlke»...21 Στέλιος Μαρκάτης «Κορυφογραµµές επιφανειών που δίνονται υπό πεπλεγµένη µορφή»...22 Άρης Μαυροµµάτης «Γεωµετρία: Μια γέφυρα µετάβασης από την ανάγκη του αισθητικά ωραίου και εφικτώς τεχνικά αναπαραστάσιµου, στην ανάγκη του λογικά αληθούς»...22 ήµος Πανταζής, Ελένη Γκαδόλου, Παναγιώτης Στρατάκης, Θανάσης Κουκοφίκης «Χαρτογραφία και Γεωµετρία: Οµοιότητες και ιαφορές Εκπαιδευτικά Παραδείγµατα από την ιδασκαλία των µαθηµάτων Χαρτογραφίας στο Τ.Ε.Ι. Αθήνας»...24 Απόστολος Παπανικολάου «H Γεωµετρία ως ιστορική αλλά και διδακτική γενέτειρα θεµελιωδών συναρτήσεων»...24 Αναστασία Ταουκτσόγλου «Χρήση των Νέων Τεχνολογιών στη ιδασκαλία της Γεωµετρίας»...25 ηµήτρης Χασάπης «Η Μάθηση της Γεωµετρίας ως Οικειοποίηση της Χρήσης Γεωµετρικών Οργάνων: ύο Μαθησιακά Επεισόδια και Μια ιδακτική Πρόταση»...28 ΙΙ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Φίλιππος Αζαριάδης «Μέθοδοι γεωµετρικής µοντελοποίησης βασισµένες σε σηµειοσύνολα: εφαρµογές στην παραµετροποίηση νέφους σηµείων και στη σχεδίαση προϊόντων»...29 ηµήτριος Κοντοκώστας «Καµπύλες Bezier, ένα σχεδιαστικό βοήθηµα»...30 Παναγιώτης Νικολαΐδης «Γραµµές και Επιφάνειες 2ου Βαθµού: Τυπολογία και Κατασκευή»...31 Πάρις Πάµφιλος «Ευκλείδεια Γεωµετρία µε το EucliDraw»...32 ήµητρα Σταθοπούλου «Από την Χορευτική Κίνηση στην Αρχιτεκτονική Μορφή»...33

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5 ΙΙΙ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΟΡΦΗ - ΧΩΡΟΣ Γιάννης Αθανασόπουλος «Η µετάβαση από την κλειστή στην ανοικτή µορφή. Μια διαχρονική εξέταση του φαινοµένου»...35 Ελένη Αµερικάνου «Αναγνώσεις γεωµετρίας: Η γεωµετρική υφή των στοιχείων σύνταξης του αρχιτεκτονικού χώρου»...35 Χρυσούλα Βαρλάµου «Γεωµετρία, πλαστικότητα, αρµονία στην αρχιτεκτονική εσωτερικών χώρων»...36 Παναγιώτης Βασιλάτος «Οι Γεωµετρικές Αναλογίες στον Αρχιτεκτονικό Σχεδιασµό. Το MODULOR, µια κριτική αιρετική προσέγγιση»...38 Σταµατίνα Γεωργοπούλου «Η Γεωµετρία του Βέλτιστου Ηλιασµού στην Αρχιτεκτονική»...39 Γιάννης Ζαβολέας, ηµήτρης Ζησιµόπουλος, Βασίλης Παππάς, Βασίλης Στρουµπάκος, Ιωάννα Συµεωνίδου «Καταχρήσεις του Κώδικα στην Αρχιτεκτονική: Τοπολογικοί Πειραµατισµοί µέσω Υπολογιστικών Μεθόδων»...40 Λίλα Θεοδωρίδου, Ζωή Σωτηρίου, Γλυκερία Καριώτου «Γεωµετρία ή Χωρική Οργάνωση; Η Συντακτική θεωρία του Χώρου και Ελληνικές Εφαρµογές»...41 Αντώνης Κολσούζογλου «Η γεωµετρία του χώρου ως µέσο αφήγησης στον αρχιτεκτονικό σχεδιασµό»...42 Νίκος Κουρνιάτης «Η γεωµετρική νοηµατοδότηση της αρχιτεκτονικής»...43 Σοφία Κυρατζή «Ορισµός Πολύεδρου από Σκίτσο: Αντίστροφη ιαδικασία Ορθογραφικής Προβολής»...45 Αικατερίνη Λιάπη «Χωρικές οµές Tensegrity και Γεωµετρία: από την Αρχική Ιδέα στην η Υλοποίηση»...46 Στέλιος Μαρκάτης «Κορυφογραµµές επιφανειών που δίνονται υπό πεπλεγµένη µορφή»...47 Γιώργος Ορφανόπουλος «Fractals, µέτρο τάξης και αταξίας στο Χώρο»...47 Αλέξανδρος Τσίγκας «Το Φαινόµενο της Γεωµετρίας ως ο Βασικός Παράγων στην δηµιουργία Αρχιτεκτονικού Τόπου»...48

6 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή IV. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ανδρέας Αρβανιτογεώργος - Μαρίνα Σταθά «Επίλυση ενός προβλήµατος κατασκευής µε χρήση θεωρίας καµπυλών»...50 Εµµανουήλ Βαϊρακτάρης - Κωνσταντίνος ηµάκος «Γεωµετρία και Μηχανική µε έµφαση στη οµική Μηχανική των Κατασκευών»...50 Σάββας Βασιλειάδης, Αργυρώ Καλλιβρετάκη, Χριστόφορος Προβατίδης, Μαρία Ραγκούση, Στέλιος Ποτηράκης «Ο Ρόλος της Γεωµετρίας στην Υπολογιστική Μοντελοποίηση Υφασµάτων»...52 Ανδρεάνα Παπαντωνίου «Κατασκευή ξύλινου κελύφους καµπυλόµορφης γεωµετρίας: Η περίπτωση του συστήµατος Waffle-Structure»...53 Ευαγγελία Πέππα «Γεωµετρική Αναπαράσταση και Επίλυση Προβληµάτων Σχεδιασµού»...54 V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ Βασίλειος ρακόπουλος «Η επιστηµονική και καλλιτεχνική δηµιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία»...56 Κωνσταντίνος Καζαµιάκης «Η Γεωµετρία στο Μυθιστόρηµα του Χάρι Μούλις Η Ανακάλυψη του Ουρανού»...57 Ασπασία Παπαδοπεράκη «Η τάξη της Γεωµετρίας και των αριθµών στην Τέχνη του Θησαυρού των Σιφνίων στους ελφούς»...58 Ιάκωβος Ποταµιάνος «Η Γεωµετρία του Φωτός ως Παράγων Γέννησης της Μορφής και του Χώρου»...58 Κυριακή Τσιλίκα «Η Γεωµετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: µια ιστορική αναδροµή»...59 Χριστίνα Φίλη «Η Γεωµετρικοποίηση της Προοπτικής από τον Alberti»...60 Σταµάτης Ψαρράς 1.«Ο Αρµονογράφος Μουσικές Εξισώσεις»...61 2.«Πάρκο D# Γεωµετρικές Αντιστίξεις»...62

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ 7 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Η πολυεπίπεδη αναβάθµιση των εκπαιδευτικών παροχών, ευρύτερα από την εκπαιδευτική διαδικασία στις αίθουσες και στα εργαστήρια, συνιστά σταθερό στόχο του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύµατος Πειραιά. Στο πλαίσιο αυτό, χαιρετίζω την πρωτοβουλία του Τµήµατος Πολιτικών οµικών Έργων, να σχεδιάσει και οργανώσει το Συµπόσιο Γεωµετρίας µε θέµα: «Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή» Το θέµα του Συµποσίου είναι εξαιρετικά επίκαιρο, αφού ο εντός των Μαθηµατικών ειδικός ρόλος της Γεωµετρίας και των µεθόδων της έχει κεφαλαιώδη σηµασία, αφενός για την επιστηµονική κατάρτιση του µηχανικού, αφετέρου για την υλοποίηση των έργων του. Σε πρώτη θεώρηση, στην καθηµερινή εξάσκηση του επαγγέλµατος, ο επιστήµονας µηχανικός ασχολείται κυρίως µε ωφελιµιστικές εφαρµογές των πορισµάτων της µαθη- µατικής επιστήµης και όχι µε την µαθηµατική έρευνα. Ωστόσο, εµβαθύνοντας, πρέπει να συνειδητοποιηθεί το γεγονός, ότι για την καταλληλότερη και αποδοτικότερη εκµετάλλευση των πορισµάτων αυτών και για την περαιτέρω διεύρυνση των εφαρµογών απαιτείται άριστο θεωρητικό υπόβαθρο. Η θεωρητική υποδοµή συνεργεί στην απε- µπλοκή της νοητικής λειτουργίας από τυποποιηµένες λύσεις, που περιορίζουν και δεσµεύουν την δηµιουργική ικανότητα του επιστήµονα µηχανικού. Το Συµπόσιο είναι σαφώς προσανατολισµένο προς αυτήν την κατεύθυνση, προσεγγίζοντας την Γεωµετρία, τόσο ως επιστήµη, όσο και ως νοητικό εργαλείο που εγγυάται τη δηµιουργία και την υλοποίηση τεχνικών και τεχνολογικών εφαρµογών. Λάζαρος Βρυζίδης, Καθηγητής Πρόεδρος Τ.Ε.Ι. Πειραιά Η εκδήλωση αυτή εντάσσεται στα πλαίσια των επιστηµονικών δραστηριοτήτων του Τµήµατος Πολιτικών οµικών Έργων του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύµατος Πειραιά, οι οποίες σχεδιάζονται σε τακτά χρονικά διαστήµατα. Αφορµή για την οργάνωση του Συµποσίου µε θέµα «Γεωµετρία: από την Επιστή- µη στην Εφαρµογή» αποτέλεσαν οι διαπιστώσεις και ο προβληµατισµός µελών της ακαδηµαϊκής κοινότητας για τις συνέπειες του ελλειµµατικού γνωστικού υποβάθρου των φοιτητών στην Γεωµετρία στα Τριτοβάθµια Ιδρύµατα.

8 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή Η υλοποίηση του Συµποσίου δεν θα ήταν εφικτή δίχως την καθοριστική συµβολή των µελών της Επιστηµονικής και της Οργανωτικής Επιτροπής, την προσφορά της γραµµατειακής και της τεχνικής υποστήριξης, το εθελοντικό έργο φοιτητών του Τµή- µατος, καθώς και την οικονοµική στήριξη από την κεντρική διοίκηση του Ιδρύµατός µας και τον χορηγό της εκδήλωσης. Από τη θέση αυτή, ευχαριστούµε θερµά όλους τους συντελεστές. Τ.Ε.Ι. Πειραιά, Μάιος 2012 Σταµατίνα Γ. Μαλικούτη, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Προϊσταµένη Τµήµατος Πολιτικών οµικών Έργων

ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΕΣ ΕΙΣΗΓΗΣΕΙΣ

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 11 Ιωάννης Αραχωβίτης, Σώµα Οµοτίµων Πανεπιστηµίου Αθηνών, κεντρικός οµιλητής «Γεωµετρία: Ορισµός και Σύνοψη Εφαρµογών» Ορισµός κατά F. Klein Ευκλείδεια Γεωµετρία: Κατασκευή Σύµπαντος κατά Πλάτωνα (Big Bang) Ευκλείδεια Γεωµετρία: Le Corbusier ο σύγχρονος Φειδίας Wassily Kandinsky και η Ευκλείδεια θεµελίωση της Τέχνης Αναλυτική Γεωµετρία (η αλγεβροποίηση της Ευκλείδειας): Αρχιτεκτονικές κατασκευές µε κελύφη τύπου ΣΕΦ Αναλυτική Γεωµετρία: ιαστηµικά και επίγεια τηλεσκόπια «πιάτα», ραντάρ, τζάκια, σόµπες ηλεκτρικές, φανάρια αυτοκινήτων αλλά και µηχανήµατα λιθοτριψίας µε προδιαγραφές των πρωτεργατών της Α.Γ. Αφινική Γεωµετρία (περιέχει την Αναλυτική. Μέσα σ αυτήν ζούµε και ενεργούµε. Την χρησιµοποίησε και ο Einstein και ίσως να είναι η Unification Geometry του Σύµπαντος): Εφαρµόζεται από τον κουλουρά της γωνίας, τους µαύρους της γωνίας µε τα φτηνά «επώνυµα» εµπορεύµατα, αλλά και στα διαστηµικά κέντρα εκτόξευσης πυραύλων. Οι χώροι µε τους οποίους ασχολείται είναι οι λεγόµενοι Αφινικοί Χώροι στους οποίους ανήκει κάθε ιανυσµατικός Χώρος. Αφινικοί Χώροι εµφανίζονται σε χαρακτικά του Escher, ενώ υπό τη µορφή πονταδόρου είναι απαραίτητη η χρήση τους για την κατασκευή αντιγράφων στην Γλυπτική. Ένα αφινικό επίπεδο αποτελεί η επιφάνεια που ορίζεται από τη διπλή έλικα του DNA όπως αποδεικνύεται. Ο Λογαριθµικός αφινικός χώρος (ορ. Ι. Αραχωβίτη) χρησιµοποιείται µεταξύ άλλων και στην κατασκευή µουσικών κλιµάκων (π.χ. C.P.E. Bach) Υποπροϊόντα της Αφινικής Γεωµετρίας, εκτός από την Ευκλείδεια είναι και άλλες Γεωµετρίες µίας Συµµετρικής ιγραµµικής Μορφής, όπως οι Μη Ευκλείδειες Γεωµετρίες Ελλειπτική και Υπερβολική. Μία ευθεία της Ελλειπτικής Γεωµετρίας που συναντάµε στο CERN είναι η περιφέρεια του LHC. Ευθύγραµµα τµήµατα είναι ως τόξα µεγίστων κύκλων οι πλευρές του σφαιρικού τριγώνου των Βερµούδων µε άθροισµα γωνιών περίπου 181 > 180. Παράδειγµα Υπερβολικής Γεωµετρίας τοπικά είναι η επιφάνεια της Ψευδοσφαίρας του Beltrami (αφού το άθροισµα των γωνιών ενός καµπυλόγραµµου τριγώνου είναι <180 ) που περιγράφει την επιφάνεια µίας Μαύρης Τρύπας. Η Ψευδοσφαίρα του Beltrami είναι σαν το «χωνί» παλιού γραµµόφωνου ή µίας «ντουντούκας». Ένα µοντέλο Poincaré Υπερβολικής Γεωµετρίας είναι το έργο του Escher Heaven and Hell. ιασύνδεση υπάρχει και µεταξύ Αφινικής και Προβολικής Γεωµετρίας. Παραδείγµατα υπάρχουν πολλά: σε όσους πίνακες είναι εµφανής η προοπτική. Ένα σκόπιµο αντιπαράδειγµα αποτελεί ο πίνακας του Mantegna The Lamentation over The Christ. Το αντίστροφο του τίτλου του Συµποσίου ισχύει; Φτιάξε και συ µία Γεωµετρία! Μπορείς! ηµήτρης Γεωργίου, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών, προσκεκληµένος οµιλητής Θανάσης Μεγαρίτης, ρ Τµήµατος Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών, Συνεργάτης Τµήµατος Λογιστικής Τ.Ε.Ι. Μεσολογγίου 1. «Ευκλείδειοι Χώροι και Θεωρία ιαστάσεων» Στην οµιλία αυτή θα παρουσιασθούν συνοπτικά οι Ευκλείδειοι χώροι και θα ανα-

12 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή δειχθούν τα προβλήµατα που οδήγησαν στη θεµελίωση και ανάπτυξη της Θεωρίας ιαστάσεων. 2. «Πεπερασµένοι Χώροι και ιάσταση Κάλυψης» Οι πεπερασµένοι χώροι µελετούνται συστηµατικά από πολλούς ερευνητές λόγω των σηµαντικών εφαρµογών που έχουν σε διάφορους τοµείς της επιστήµης όπως για παράδειγµα Computer Graphics και Digital Spaces. Στην οµιλία αυτή θα παρουσιασθούν συνοπτικά οι πεπερασµένοι χώροι, βασικές ιδιότητες αυτών, όπως επίσης και ένας αλγόριθµος υπολογισµού της διάστασης κάλυψης ενός πεπερασµένου χώρου, βασιζόµενος σε γνώσεις θεωρίας πινάκων. Στέλιος Μαρκάτης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Ε.Μ.Π., προσκεκληµένος οµιλητής «Γεωµετρία: Θεµέλιος Λίθος της Εκπαίδευσης» 1.Επιδιωκόµενοι Σκοποί µε την διδασκαλία της Γεωµετρίας: 1.1. Ακρίβεια στον συλλογισµό και την έκφραση. 1.2. Βελτίωση της εφευρετικότητας και της φαντασίας. 1.3. Απόκτηση γεωµετρικών γνώσεων. 1.1. Στην Γεωµετρία είναι σαφές το ορθό και το αντίστροφο. Το πεντάπτυχο: Ανάλυση, Σύνθεση, Κατασκευή, Απόδειξη και ιερεύνηση. Περιγραφή σχηµάτων και έκφραση συλλογισµών µε λόγια. 1.2. Ανάπτυξη στρατηγικής για την λύση προβληµάτων. Η Στερεοµετρία είναι η κατ εξοχήν άσκηση της Φαντασίας. 1.3. Κατανόηση των στοιχείων που απαρτίζουν το γεωµετρικό επίπεδο και τον γεω- µετρικό χώρο, και των σχέσεων µεταξύ των στοιχείων αυτών. Εξοικείωση µε τις ιδιότητες του χώρου, στον οποίο ζούµε και ενεργούµε. 2.Τι ΕΝ είναι η Γεωµετρία: Ο περιορισµός της διδασκοµένης ύλης στο µάθηµα της Γεωµετρίας στο Λύκειο, στα κεφάλαια εκείνα που οι ιδιότητες των σχηµάτων εκφράζονται µε αλγεβρικές σχέσεις, όπως π.χ. είναι τα θεωρήµατα των διχοτόµων, των διαµέσων, το Πυθαγόρειο θεώρηµα, η µέτρηση γωνιών, µηκών και εµβαδών, εκφυλίζουν την Γεωµετρία σε απλές ασκήσεις άλγεβρας και αριθµητικών αντικαταστάσεων. 3.Τι ΕΙΝΑΙ η Γεωµετρία: Σύµφωνα µε Θεώρηµα του A. Cayley: Οι µετρικές ιδιότητες είναι καλυµµένες γραφικές ιδιότητες ή ειδικές περιπτώσεις γραφικών ιδιοτήτων.

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 13 Εποµένως, οι γραφικές ιδιότητες είναι σηµαντικότερες, αφού είναι το υπερσύνολο που περιλαµβάνει και τις µετρικές ιδιότητες των σχηµάτων. 4.Η Στερεοµετρία είναι απαραίτητη για το κάθε έναν και ιδιαιτέρως για τους θετικούς επιστήµονες, οι οποίοι κατά κανόνα µελετούν και κατασκευάζουν έργα στον τριδιάστατο χώρο. 5.Η Γεωµετρία χρησιµεύει: Στους Καλλιτέχνες, Μηχανικούς, Μαθηµατικούς, Φυσικούς, Χηµικούς, Ιατρούς, Αρχαιολόγους, σε όλους τους ανθρώπους. 7.Η κατάσταση σήµερα: Υπάρχει δυσκολία στην δηµιουργία σχήµατος από την περιγραφή στην περιγραφή ενός σχήµατος στον χειρισµό των γεωµετρικών οργάνων. 6.Προτάσεις: Α. ιδασκαλία της Γεωµετρίας συµπεριλαµβανοµένης και της Στερεοµετρίας στο Λύκειο Όχι συσσώρευση γνώσεων αλλά καλλιέργεια κριτικού πνεύµατος Β.Ύλη Η περιλαµβανοµένη στο Σχολικό βιβλίο, αλλά να διδάσκεται χωρίς περικοπές. Γ.Μέσα Το υπάρχον σχολικό βιβλίο θεωρείται ικανοποιητικό Εκπαίδευση των (νεωτέρων) καθηγητών Πανελλήνιες εξετάσεις στην Γεωµετρία, έστω για ορισµένες Σχολές. Χρησιµοποίηση της Γεωµετρίας και σε άλλα µαθήµατα (Αναλυτική Γεωµ., Ανάλυση, Φυσική κλπ). Βασίλειος Παπαντωνίου, Οµότιµος Καθηγητής Πανεπιστηµίου Πατρών «Η εξέλιξη της γεωµετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη µέχρι σήµερα» Στην εργασία αυτή το επίκεντρο είναι η εξέλιξη της µαθηµατικής σκέψης και ειδικότερα των γεωµετρικών εννοιών στον χρόνο. Η προσέγγιση αυτή θα ακολουθήσει την ανάπτυξη της γεωµετρικής σκέψης και των κύριων σηµείων της σε τέσσερις µεγάλες περιόδους: την περίοδο των Ελληνικών Μαθηµατικών (6ος π.χ. - 6ος µ.χ. αιώνας), την περίοδο των Μαθηµατικών του Αραβικού κόσµου (9ος - 15ος µ.χ. αιώνας), την περίοδο των Κλασικών Μαθηµατικών (16ος - 19ος µ.χ. αιώνας) και την Σύγχρονη περίοδο της Γεωµετρίας (20ος αιώνας - σήµερα). Η αναδροµή έχει ως σηµείο εκκίνησης τις ιδέες του Θαλή, του Πυθαγόρα, των Ελεατών, του Πλάτωνα, συνεχίζει µε τον χρυσό αιώνα των Μαθηµατικών (3ος π.χ. αιώνας) µε κυριότερους εκπροσώπους τον Ευκλείδη και Αρχιµήδη και η πορεία της πρώτης περιόδου κλείνει µε τις ιδέες των Ήρωνα, Θέωνα, Υπατίας και Βοηθίου, τελευταίων µεγάλων µαθηµατικών της Αρχαιότητας. Τα πέντε αξιώµατα του Ευκλείδη, σύµ-

14 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή φωνα µε τα οποία γράφτηκαν τα 13 βιβλία του έργου του Στοιχεία, αποτελούν χαρακτηριστικό σταθµό της πρώτης περιόδου και βάση για την θεώρηση της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Το 5ο αξίωµα, αυτό της παραλληλίας, η συµµετρία και οι γεωµετρικές κατασκευές είναι έννοιες που επηρεάζουν τον τρόπο σκέψης, αλλά και τα αρχιτεκτονικά µνηµεία εκείνης της εποχής. Η αρµονία που απορρέει από αυτές τις έννοιες επηρεάζουν και προσωπικότητες της επιστήµης και της τέχνης και σε νεώτερες εποχές. Η σηµασία της συνεισφοράς στην Άλγεβρα και την Τριγωνοµετρία κατά τη δεύτερη περίοδο αναδεικνύεται, ενώ συζητούνται τα θεµέλια που αναπτύχθηκαν κατά την Τρίτη περίοδο και δηµιούργησαν τα Κλασικά Μαθηµατικά. Ιδιαίτερα εξετάζεται η ανάπτυξη των µη Ευκλείδειων Γεωµετριών, καθώς αλλάζει τον τρόπο εξέτασης του χώρου. Η αµφισβήτηση του αξιωµατικού συστήµατος του Ευκλείδη που αναπτύχθηκε αυτή την εποχή αφορούσε αφενός µεν την πληρότητά του, αφετέρου δε το κατά πόσο το 5ο αξίωµα ήταν ανεξάρτητο των άλλων ή προέκυπτε ως λογική συνέπεια των άλλων αξιωµάτων. Η ενασχόληση πολλών διάσηµων µαθηµατικών του 19ου αιώνα µε το θέµα αυτό οδήγησε στο πρόβληµα αναζήτησης ενός νέου αξιωµατικού συστήµατος της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Η κύρια υπόθεση αφορούσε ότι ήταν δυνατό να δηµιουργηθεί µια Γεωµετρία, που θα διατηρεί τα τέσσερα πρώτα αξιώµατα του Ευκλείδη και ως πέµπτο θα έθετε την άρνηση του πέµπτου αξιώµατος. ηλαδή, ότι από το σηµείο εκτός ευθείας, άγονται, είτε περισσότερες από µια παράλληλες, είτε καµία. Η πρώτη εκδοχή εισηγήθηκε από τους Lobatchevski Bolyai κι έτσι αναπτύχθηκε η Υπερβολική Γεωµετρία, ενώ η δεύτερη από τον Gauss και οδήγησε στην Ελλειπτική Γεωµετρία. Η Υπερβολική Γεωµετρία ιδίως επηρέασε το έργο αρχιτεκτόνων και ζωγράφων σε µεταγενέστερες εποχές µέχρι σήµερα. Το πληρέστερο σύστηµα αξιωµάτων της Ευκλείδειας Γεωµετρίας διατυπώθηκε από τον Hilbert το 1899 στο έργο του Grundlagen der Geometrie. Την τέταρτη περίοδο θα παρακολουθήσουµε την ανάπτυξη των λεγόµενων Σύγχρονων Μαθηµατικών, όπως για παράδειγµα της Αλγεβρικής Γεωµετρίας, της Θεωρίας ακτυλίων και Σωµάτων, της ιαφορικής Τοπολογίας, της Λογικής, της Γεωµετρίας Riemann, των οµάδων Lie. Η σηµαντική συµβολή του Riemann έγκειται στην απόδειξη ύπαρξης πολλών γεωµετριών, οι οποίες δηµιουργούνται όχι αναγκαστικά από την άρνηση του 5ου αιτήµατος και µόνο, αλλά από τον ορισµό ενός τανυστή, του λεγό- µενου µετρικού τανυστή, πάνω στον χώρο που µελετούµε. Η ενιαία αυτή θεώρηση είχε ως αποτέλεσµα την ανάπτυξη της Γεωµετρίας Riemann.

ΕΙΣΗΓΗΣΕΙΣ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 17 Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ Αλκιβιάδης Ακρίτας, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας /Κυριακή Τσιλίκα, Μαθηµατικός Α.Π.Θ., ρ Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., ιδάσκουσα Τµήµατος Οικονοµικών Επιστηµών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας, Συνεργάτιδα Τµήµατος ιοίκησης και ιαχείρισης Έργων Τ.Ε.Ι. Λάρισας «Το Σύστηµα Υπολογιστικής Άλγεβρας Xcas ως Περιβάλλον υναµικής Γεω- µετρίας» Σύµφωνα µε την αρχή της υναµικής Γεωµετρίας, αντικείµενα όπως σηµεία, ευθείες και επίπεδα σχήµατα σε ένα περιβάλλον υναµικής Γεωµετρίας σχετίζονται µεταξύ τους µε γεωµετρικούς περιορισµούς όπως, όταν οποιοδήποτε από τα αντικεί- µενα σύρονται (drag) τα άλλα αντικείµενα δυναµικά ανανεώνουν τον εαυτό τους έτσι ώστε οι περιορισµοί να διατηρούνται. Το σύρσιµο (dragging), το οποίο είναι η καρδιά της δυναµικής γεωµετρίας, απελευθερώνει ένα σχήµα από τον συµβατικό του ρόλο που είναι η αναπαράσταση ή η τυπική περίπτωση, και µετατρέπεται σε µία γενική περίπτωση στην οποία αναφέρονται τα Μαθηµατικά (Jackiw, 1996). Οι διδακτικολόγοι των µαθηµατικών ισχυρίζονται ότι το δυναµικό γεωµετρικό λογισµικό που έχει αναπτυχθεί, αποτελεί την πιο σηµαντική εξέλιξη στη γεωµετρία από την εποχή του Ευκλείδη. (Davis, 1995. Oldknow, 1995. Τουµάσης Αρβανίτης 2003). Το δυναµικό γεωµετρικό περιβάλλον που προτείνουµε, παρέχεται µέσα από το ελεύθερο σύστηµα Xcas, λογισµικό γνωστό και ως ελβετικός σουγιάς των µαθηµατικών λόγω των πολλαπλών µαθηµατικών δυνατοτήτων του. Το Xcas επιτρέπει στο χρήστη να δηµιουργεί γεωµετρικές κατασκευές σε δύο και τρεις διαστάσεις και να τις µεταχειρίζεται δυναµικά. Έχει τα πλεονεκτήµατα ότι διατίθεται δωρεάν στο διαδίκτυο, η βοήθεια για την εκµάθησή του δίνεται από το µενού επιλογών του και υπάρχει forum Ελλήνων χρηστών. Το γεωµετρικό περιβάλλον του Xcas παρουσιάζεται µε µια πειραµατική διερεύνηση τριγώνων στα οποία το βαρύκεντρο και το ορθόκεντρο συµπίπτουν. Η συνθετότητα του παραδείγµατος και η ανάγκη για κίνηση απαιτούν ένα δυναµικό λογισµικό. Ανάλογοι πειραµατισµοί µε µολύβι και χαρτί, σε στατικές κατασκευές, θα ήταν κουραστικοί, χρονοβόροι και χωρίς ακρίβεια. Απαιτούν πολλές ανακατασκευές τριγώνων µε τα βαρύκεντρα και τα ορθόκεντρά τους και η αλλαγή του τριγώνου όταν τα βαρύκεντρα και τα ορθόκεντρα αλλάζουν θέση µπορεί να γίνει µόνο νοερά. Σε σχέση µε άλλα γνωστά λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας (Geometric Supposer, Cabri Geometer, Geometer s SketchPad, EucliDraw, Geogebra), το Xcas παρέχει όλες τις συνήθεις κατασκευαστικές δυνατότητες και µας επιτρέπει να µεταβάλλουµε το τρίγωνο ώστε να παρατηρούµε τις µεταβολές των θέσεων ορθόκεντρου και βαρύκεντρου και, να βγάλουµε το συµπέρασµα ότι ορθόκεντρο και βαρύκεντρο συµπίπτουν µόνο στο ισόπλευρο τρίγωνο.

18 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή Με χρήση του µενού Mode στο Xcas, όλες οι γεωµετρικές οντότητες (τρίγωνο, διά- µεσοι, ύψη, σηµεία τοµής) µπορούν να κατασκευαστούν µε το ποντίκι, µε τη λογική σειρά που θα ακολουθούσε ο χρήστης και στις κατασκευές µε το χέρι. Για χρήστες µυηµένους σε CAS λογισµικά, παρουσιάζεται, µε θέµα την ίδια εφαρµογή, η δυνατότητα χρήσης µιας πληθώρας εντολών για την κατασκευή των απαιτούµενων γεωµετρικών αντικειµένων, από την εξειδικευµένη επιλογή «Γεω» του βασικού µενού επιλογών. Λέξεις κλειδιά: λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας, ορθόκεντρο, βαρύκεντρο τριγώνου, δυναµικές γεωµετρικές κατασκευές. Αλέξανδρος Αλιεύς, Επίκουρος Καθηγητής, Τµήµα Εκπαιδευτικών Πολιτικών οµικών Έργων Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. /Αγγελίνα Σκαράκη, πτυχιούχος Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε., προπτυχιακή φοιτήτρια Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. / ήµητρα Φακλή, πτυχιούχος Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε., προπτυχιακή σπουδάστρια Τµήµατος Ηλεκτρολογίας Τ.Ε.Ι. Λαµίας «Σκέψεις για τη σχέση της ποσοτικής και ποιοτικής διάστασης της γεωµετρίας µε την οικοδοµική επιστήµη και τέχνη στα πλαίσια οργάνωσης σχετικού µαθήµατος σε σχολές µηχανικών εκπαιδευτικών» Η παρούσα εργασία αποτελεί µία παρουσίαση σκέψεων σχετικών µε την εκπαίδευση του αρχιτέκτονα και του δοµοστατικού πολιτικού µηχανικού στην ιδέα της γεω- µετρίας. Η αρχιτεκτονική, νοούµενη ως η περιβάλλουσα τις οικοδοµικές επιστήµες και τέχνες, είναι η ενασχόληση µε την, µε συγκεκριµένο στόχο, αναδιάρθρωση του χώρου (ή της γης κάποτε), του οποίου τη µέτρηση (µελέτη, θεώρηση) επιµελείται η γεωµετρία. Η σχέση τους, κατά συνέπεια, είναι άµεση. Η αµεσότητα, όµως, δεν συνεπάγεται και την απλότητα ή την ευκρίνεια µίας σχέσης. Πολύ περισσότερο δεν δηλώνει, αφ εαυτής, την ευρύτητα της σχέσης. Αν δε οι παραδοχές αυτές και η µελέτη τους µπορεί να θεωρηθούν ως ενδιαφέρουσες για τον οποιοδήποτε µελετητή της γεωµετρικής διάστασης της αρχιτεκτονικής ή, αντίστροφα, της αρχιτεκτονικής διάστασης της γεωµετρίας, είναι ιδιαίτερα σηµαντικές για την εκπαίδευση του οικοδόµου µηχανικού. Ο τελευταίος, είτε µε την εξει-

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 19 δίκευσή του ως δοµοστατικός µηχανικός, είτε µε εκείνη ως αρχιτέκτων µηχανικός, θα πρέπει, εξ αρχής, να µυηθεί όχι απλά και ανεξάρτητα στο περιεχόµενο καθεµιάς των επιστηµών αυτών, αλλά, κυρίως, στη σύνθεση των δύο αυτών αντικειµένων. Από τη φύση της η γεωµετρία, ως κλάδος των µαθηµατικών, είναι ένα θεωρητικό γνωστικό αντικείµενο µε κυριαρχούσα τη λογική και ιδεατή διάσταση, έστω και αν αυτή κατέχει τον πλέον πρακτικό χαρακτήρα µεταξύ όλων των υπολοίπων µαθηµατικών κλάδων. Αντιπροσωπεύει το απλούστερο µοντέλο σκέψης, ως κάτι ευθύγραµ- µο, λογικό και αµερόληπτο που, βάσει της Αριστοτελικής λογικής, καθορίζει ότι αν χ, τότε ψ ορθολογιστικά και επαγωγικά. Αντίθετα, η αρχιτεκτονική, πέραν των θεωρητικών της διαστάσεων, είναι, κυρίως, µία εφαρµοσµένη επιστήµη, µία τέχνη. Στα πλαίσιά της γίνεται αποδεκτό, αν δεν επιβάλλεται, να µελετώνται θέµατα, όπως αυτά που αφορούν τις αισθήσεις και τα συναισθήµατα, την οπτική αντίληψη και τις συνοδεύουσες οπτικές απάτες. Η (γνωστική) αντίληψη της πραγµατικότητας, τόσο στη διάρκεια του σχεδιασµού, όσο και σε εκείνη της κατασκευής και χρήσης τεχνητών (δοµηµένων) χωρικών (και χρονικών) οντοτήτων παρέχει τη δική της διάσταση γεωµετρικής προσέγγισης, καταγραφής και θεώρησης - κατανόησης. εδοµένων των προλεχθέντων, η γεωµετρία, ως αποτέλεσµα σειριακής επαγωγικής σκέψης και επεξεργασίας που χρησιµεύει στην επίλυση πρακτικών προβληµάτων, απευθύνεται στη διανοητική νοηµοσύνη, ενώ η αρχιτεκτονική, ως προϊόν συνειρµικής σκέψης, εξετάζει την αντιστοιχία µεταξύ εικόνων και συναισθηµάτων και, κατ επέκταση, παραπέµπει και στη συναισθηµατική νοηµοσύνη και τα σχετικά αντιληπτικά αποτελέσµατα. Ο/η σπουδαστής/ρια καλείται να µάθει πως να συνδυάζει τα δύο αυτά είδη νοηµοσύνης µέσα στα πλαίσια του σπουδαστικού του αντικειµένου, δηλαδή να εµπεδώσει το πώς στη µία πλευρά η µαθηµατική λογική προσέγγιση καθορίζει ότι δύο και δύο κάνουν τέσσερα, ακριβώς και πάντοτε, ενώ στην άλλη πλευρά υπεισέρχεται η υποκειµενική διάσταση µεταλλάσσοντας το ακριβώς και πάντοτε σε περίπου και κατά περίπτωση. Τα προλεχθέντα εξετάζονται στα πλαίσια της σύγχρονης, αλλά και µίας διαχρονικής υπερτοπικής, παράλληλης µελέτης της γεωµετρίας και της αρχιτεκτονικής, πάντοτε µε το βλέµµα στραµµένο στην εκπαίδευση του οικοδόµου µηχανικού και στη σηµασία που έχει γι αυτόν και την ολοκληρωµένη συγκρότησή του, ως επιστήµονα και τεχνικού, µία συγκριτική προσέγγιση των δύο διαφορετικών, αλλά αλληλένδετων, γνωστικών αντικειµένων. Πόσο µάλλον όταν και αν ο µηχανικός αυτός κληθεί, αργότερα, να λειτουργήσει και ως δάσκαλος της οικοδοµικής επιστήµης και τέχνης. Λέξεις κλειδιά: Αρχιτεκτονική, Γεωµετρία, Χώρος, οµή, Μορφή, Αντίληψη, Κατασκευή, Εκπαίδευση, Νοηµοσύνη, (Γνωστική) Αντίληψη. Αλέξανδρος Βαζάκας, Λέκτορας, Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Πολυτεχνείου Κρήτης «Επιφάνειες ιπλής Καµπυλότητας και η Κατασκευή τους από ξύλο µε Μεθόδους Cad/Cam: το Πείραµα ενός Μαθήµατος» Θέµα της εισήγησης αποτελούν ζητήµατα που προκύπτουν τόσο σε αισθητικό όσο

20 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή και σε κατασκευαστικό επίπεδο, κατά τη µελέτη χώρων που προσδιορίζονται από επιφάνειες διπλής καµπυλότητας. Επίσης, ζητήµατα που προκύπτουν από την χρήση από το πρώτο στάδιο του σχεδιασµού ψηφιακών εργαλείων τόσο σε επίπεδο λογισµικού όσο και σε επίπεδο µηχανών, εργαλεία τα οποία είναι απαραίτητα για τη µελέτη και κατασκευή τέτοιων γεωµετριών. Τέτοια ζητήµατα είναι ο σχεδιασµός µε βάση τοπολογικές παραµέτρους, µε βάση ιεραρχίες µεταβλητών και σταθερών σχέσεων, ο σχεδιασµός όχι µιας µεµονωµένης, αλλά µιας «οικογένειας» µορφών, καθώς και η «κατασκευασιµότητα» των χώρων αυτών τόσο από οικοδοµικής όσο και από οικονοµικής άποψης. Η εισήγηση παρουσιάζει τα αποτελέσµατα του µαθήµατος «Παραµετρικός σχεδιασµός». Πρόκειται για ένα µάθηµα επιλογής 4ου - 5ου έτους στο Τµήµα Αρχιτεκτόνων του Πολυτεχνείου Κρήτης, οι εκπαιδευτικοί άξονες του οποίου περιστρέφονται γύρω από τα παραπάνω ερωτήµατα. Το µάθηµα χρησιµοποιεί τη σύγχρονη εργαστηριακή υποδοµή του τµήµατος προκειµένου: Όλα τα σπουδαστικά θέµατα να ακολουθούν µια «κάθετη» προσέγγιση από το σχεδιασµό στην κατασκευή, δηλαδή να είναι δυνατό να κατασκευαστούν στις δεδοµένες εργαστηριακές υποδοµές. Τα θέµατα να χρησιµοποιούν παραµετρικό λογισµικό ως εργαλείο που επιτρέπει το χειρισµό περίπλοκων γεωµετριών τόσο αισθητικά όσο και κατασκευαστικά και να χρησιµοποιούν ευρέως φυσικά µοντέλα ακόµα και κλίµακας 1:1 προκειµένου να αξιολογηθούν αισθητικές και κατασκευαστικές ποιότητες των χώρων. Ως υλικό κατασκευής επιλέχτηκε το ξύλο (φύλλα κόντρα πλακέ και mdf) ένα σύγχρονο υλικό πλήρως επεξεργάσιµο στο εργαστήριο του Τµήµατος. Λέξεις κλειδιά: Τοπολογία, Cad/cam, παραµετρικός σχεδιασµός. Χρήστος Κίτσος, Καθηγητής, Τµήµα Μαθηµατικών Τ.Ε.Ι. Αθήνας «Εφαρµόζοντας τη Γεωµετρία στην Στατιστική» Η Γεωµετρία υπηρετεί και τις δυο γραµµές της επιστηµονικής σκέψης: την Ευκλείδεια, δηλαδή την θεωρητική προσέγγιση των Μαθηµατικών και της Επιστήµης και την Αρχιµήδεια, δηλαδή την Εφαρµοσµένη προσέγγιση που στηρίζεται ότι δεν αρκεί να αποδεικνύεται ότι υπάρχει λύση, πρέπει και να υπολογίζεται Ο στόχος αυτής της εργασίας είναι να συζητήσει τις εφαρµογές της Γεωµετρίας µε έµφαση στην Στατιστική. Υιοθετώντας ορισµένες γεωµετρικές έννοιες, µπορούµε τελικά να επιλύσουµε ένα µεγάλο αριθµό προβληµάτων της Στατιστικής. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων, είναι ένα τυπικό παράδειγµα. Θα επικεντρωθούµε στον Βέλτιστο Πειραµατικό Σχεδιασµό, ο οποίος αποτελεί την

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 21 ραχοκοκαλιά της Στατιστικής, από την εποχή του πρωτεργάτη της Στατιστικής του Fisher. Αναφορές Fisher, R.A. (1922). On the Mathematical Foundation of Theoretical Statistics. Phil. Trans. Roy. Soc., London, ser. A., Vol.22, 309-368. Fisher, R.A. (1947). The Design of Experiments. Oliver and Boyd. London. Kitsos, C. P. (2012). On the Optimal Continuous Experimental Design Problem. To appear in Discussiones Mathematicae Probability and Statistics Kitsos, C. P. (2011). Invariant Canonical Form for the Multiple Logistic Regression. Mathematics in Engineering, Science and Aerospace (MESA), Vol 2(3), pg 267-275. Kitsos, C. P., Edler, L. (2005), Cancer Risk assessment mixtures. In: Quantitative Methods for Cancer and Human Health Risk Assessment, by Lutz Edler and Christos Kitsos (Eds), 283-298. Wiley, England. Kitsos, C. P., Titterington, D. M., Torsney, B. (1988). An Optimal Design Problem in Rhythmometry. Biometrics, Vol. 44, pg. 657-671. Λέξεις κλειδιά: Πειραµατικός Σχεδιασµός, Βελτιστοποίηση, Χώρος Σχεδιασµού. Γεώργιος Λευκαδίτης, Καθηγητής, Τµήµα Τοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας, Εντεταλµένος ιδάσκων Τµήµατος Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Πανεπιστηµίου Πατρών, Συνεργάτης Τµήµατος Πολιτικών οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά /Θανάσης Κουκοφίκης, Τοπογράφος Μηχανικός Τ.Ε. «Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αξονοµετρίας Karl Pohlke» Αντικείµενο της εισήγησης είναι το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αξονοµετρίας, γνωστό και ως θεώρηµα του K. Pohlke. Στην προκειµένη περίπτωση, το θεώρηµα αφενός αναπτύσσεται θεωρητικά ως ένα εκπαιδευτικό παράδειγµα σύνδεσης της Ευκλείδειας Γεωµετρίας µε την Παραστατική Γεω- µετρία (ιδιαίτερα µε την Μέθοδο Monge) και την Προβολική Γεωµετρία και αφετέρου σχεδιάζεται και παρουσιάζεται σε εύληπτη µορφή µε την βοήθεια ηλεκτρονικών εργαλείων. Συγκεκριµένα, η εισήγηση αποτελείται από τέσσερα µέρη: 1. Στο πρώτο δίνεται πλήρης απόδειξη του θεωρήµατος Pohlke στην γενική περίπτωση, καθώς και σε όλες τις ειδικές περιπτώσεις, χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεω- µετρία του Χώρου και κατασκευές κωνικών µε Προβολική Γεωµετρία. 2.1 Στο δεύτερο µέρος, χρησιµοποιώντας την Μέθοδο Παράστασης Monge, σχεδιάζεται σε δύο ορθές προβολές η ζητούµενη από το θεώρηµα τριάδα ίσων και καθέτων ανά δύο στο χώρο ευθύγραµµων τµηµάτων ΟΜ,ΟΝ,ΟΡ, από τρία δεδοµένα τυχαία συνεπίπεδα τµήµατα Ο 1 Μ 1,Ο 1 Ν 1,Ο 1 Ρ 1. 2.2 Για την σχεδίαση των απαιτούµενων ελλείψεων - από ένα ζεύγος συζυγών δια- µέτρων ή από πέντε σηµεία - δηµιουργήθηκαν οι κατάλληλες εφαρµογές σε περιβάλλον CAD. Ειδικότερα, µε την εφαρµογή σχεδίασης έλλειψης από πέντε σηµεία σχεδιάζεται και υπερβολή, µε αυτόµατη επιλογή της κατάλληλης κωνικής.

22 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή 2.3 Η δηµιουργία του προγράµµατος της σχεδίασης των δύο κωνικών έχει ως θεωρητική υποδοµή, από την Προβολική Γεωµετρία, την κεντρική οµολογία. Με το ίδιο πρόγραµµα και την ίδια θεωρία ως βάση, µε τις απαραίτητες προσαρµογές, µπορεί να σχεδιαστεί αυτόµατα και παραβολή. Όµως, για λόγους που αφορούν στην ακρίβεια της σχεδιαστικής λύσης στην περίπτωση της παραβολής και απλώς για την συµπλήρωση των κατασκευών και των τριών κωνικών, προτιµήθηκε η δηµιουργία ειδικής εφαρµογής, η οποία επιτυγχάνει την κατασκευή παραβολής από τέσσερα σηµεία. 3. Στο τρίτο µέρος, παρουσιάζονται σε 3D, για εκπαιδευτικούς σκοπούς, οι ακολουθούµενες κατά την θεωρητική λύση γεωµετρικές πράξεις. 4. Στο τέταρτο και τελευταίο µέρος, µε την βοήθεια κατάλληλου λογισµικού, το οποίο δηµιουργήθηκε επίσης ειδικά για το θεώρηµα Pohlke, κατασκευάζεται αυτόµατα σε τρισδιάστατο γραφικό περιβάλλον η ζητούµενη τριάδα ευθύγραµµων τµηµάτων ΟΜ,ΟΝ,ΟΡ του χώρου, από τα αρχικά τρία δεδοµένα συνεπίπεδα τυχαία τµήµατα Ο 1 Μ 1,Ο 1 Ν 1,Ο 1 Ρ 1 σε όλες τις δυνατές περιπτώσεις, επιλέγοντας ο χρήστης την εκάστοτε απαιτούµενη. Λέξεις κλειδιά: Παράλληλη προβολή, ορθή προβολή, Pohlke, Pohlke-Schwarz. Στέλιος Μαρκάτης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Ε.Μ.Π. «Κορυφογραµµές επιφανειών που δίνονται υπό πεπλεγµένη µορφή» Είναι γνωστό ότι στο τυχαίο σηµείο µιας επιφάνειας υπάρχουν δύο κύριες κατευθύνσεις, κάθετες µεταξύ τους, κατά τις οποίες η κάθετη καµπυλότητα λαµβάνει ακρότατες τιµές, εξαιρουµένων των οµφαλικών σηµείων, όπου όλες οι κάθετες καµπυλότητες είναι ίσες. Υπάρχουν, δηλαδή, δύο διανυσµατικά πεδία επάνω στην επιφάνεια, κάθετα µεταξύ τους, µε ιδιάζοντα σηµεία τα οµφαλικά, η ολοκλήρωση των οποίων δίνει δύο οικογένειες γραµµών κυρίων καµπυλοτήτων παντού καθέτων µεταξύ τους. Κατά µήκος µιας γραµµής κύριας καµπυλότητας, η κάθετη καµπυλότητα µεταβάλλεται και σε κάποια σηµεία αυτή λαµβάνει ακρότατες τιµές. Τα σηµεία αυτά είναι κορυφές της καµπύλης. Οι κορυφές των καµπύλων της κάθε οικογένειας σχηµατίζουν άλλες καµπύλες στην επιφάνεια που λέγονται κορυφογραµµές. Στα σηµεία των κορυφογραµµών, η επιφάνεια έχει την ιδιότητα να καµπυλώνεται περισσότερο ή λιγότερο από ότι στα υπόλοιπα σηµεία της. Στην παρούσα ανακοίνωση αποδεικνύονται σχέσεις για τον εντοπισµό των κορυφογραµµών µιας επιφάνειας όταν αυτή δίνεται υπό πεπλεγµένη µορφή. Άρης Μαυροµµάτης, Καθηγητής Μαθηµατικών, Εθνική Εστία Επιστηµών «Γεωµετρία: Μια γέφυρα µετάβασης από την ανάγκη του αισθητικά ωραίου και εφικτώς τεχνικά αναπαραστάσιµου, στην ανάγκη του λογικά αληθούς» Η αντίληψη που έχουµε για το αισθητικά ωραίο, πολύ συχνά µας δηµιουργεί την

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 23 ανάγκη της αναζήτησης µιας λογικής δοµής που ενδεχοµένως, υπόρρητα βρίσκεται κάτω από αυτό και το ορίζει αντικειµενικά. Ένας πίνακας της Αναγέννησης, ένα γλυπτό της κλασικής αρχαιότητας, µια περίοπτη αρχιτεκτονική δηµιουργία ή τέλος ένα πολυσύνθετο τεχνολογικό κατασκεύασµα είναι πράγµατι µια πρόκληση των αισθήσεων. Εκείνο όµως που υποκρύπτεται πίσω από οτιδήποτε ονοµάζουµε «όµορφο», δεν είναι και τόσο εµφανές. Ένα εικαστικό έργο είναι εκφραστική αποτύπωση µιας Ιδέας. Μέσω των τόνων των χρωµατικών αποχρώσεων αποτυπώνονται συναισθήµατα. Ενώ µέσω των γραµµών και των γεωµετρικών σχηµάτων, καθώς επίσης και των σχέσεων τους, όπως τουλάχιστον αυτές προκύπτουν από τον τρόπο που ο δηµιουργός τους επέλεξε να τοποθετήσει, περικλείεται και ορίζεται η Ιδέα. Στον εικαστικό χώρο ένας πίνακας του Alberti, πέρα από το οποιοδήποτε εννοιολογικό του περιεχόµενο, προκαλεί στον θεατή τον θαυµασµό για την ακριβή ρεαλιστική απεικόνιση των φυσικών αντικειµένων. Απόρροια του θαυµασµού αυτού είναι η δηµιουργία µιας ανάγκης η οποία αναζητά τον τρόπο, δηλαδή τις τεχνικές µεθόδους που εφαρµόστηκαν προκειµένου να παρασταθεί το τρισδιάστατο µε τόση επιτυχία επάνω σε µια δισδιάστατη επιφάνεια. Η ανάγκη αυτή θα ικανοποιηθεί µόνο εφόσον ακολουθηθεί ο δρόµος που οδηγεί από την εικονιστικότητα στην αφαίρεση, µεταµορφώνοντας τα φυσικά αντικείµενα σε σύµβολα που εκτοπίζουν τις φυσικές µορφές. Τα σύµβολα αυτά είναι γεωµετρικά αντικείµενα: σηµεία, ευθείες, επίπεδα, τρίγωνα, τετράγωνα, κύκλοι κ.ά. Έτσι το αποτέλεσµα του αισθητικά ωραίου, θα προκύψει ως λογικό προϊόν σχέσεων µεταξύ αυτών των γεωµετρικών στοιχείων, οι οποίες καθορίζονται µε τρόπο έγκυρο, ακριβή και αυστηρά µοναδικό. Στους τοµείς του αρχιτεκτονικού σχεδιασµού και των τεχνολογικών εφαρµογών, η απεικόνιση της Ιδέας ενός υπό πρόθεση κατασκευής τρισδιάστατου φυσικού αντικει- µένου σε µια δισδιάστατη επιφάνεια, θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε, αφ ενός µεν να δίνει την ψευδαίσθηση της τρισδιάστατης υπόστασης του αντικειµένου, αφ ετέρου δε να προσφέρει τη δυνατότητα κατασκευής του µέσα από την ανάγνωση της δισδιάστατης απεικονιστικής προβολής του. Οι αισθητικές και τεχνικές ανάγκες που γεννώνται αντίστοιχα τόσο στο χώρο της Τέχνης, όσο και στο χώρο της Τεχνικής, µπορούν να λειτουργήσουν ως αισθητές προκλήσεις οι οποίες θα δηµιουργήσουν προβληµατισµούς, η επίλυση των οποίων θα οδηγήσει µε τρόπο αναγκαίο και λογικά συνεχή, στον ιδιάζοντα αφαιρετικά νοητικό κόσµο τόσο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, όσο και άλλων µη Ευκλείδειων Γεωµετριών. Κατ αυτόν τον τρόπο ο ρόλος της Γεωµετρίας ως παιδευτικού νοητικού εργαλείου καθίσταται αναγκαίος, αφού µπορεί να λειτουργήσει ως γέφυρα µετάβασης από την ανάγκη του αισθητικά ωραίου και εφικτώς τεχνικά, αναπαραστάσιµου, στην ανάγκη του λογικά αληθούς. Στο παρόν άρθρο παρουσιάζονται κατ αρχάς δυο ζωγραφικοί πίνακες (Escher και Vasarely), στους οποίους τα εικονιζόµενα αντικείµενα δηµιουργούν έντονη την ψευδαίσθηση του χώρου, αφού το µάτι ανακαλύπτει συνεχώς διαφορετικές οπτικές λύσεις και αδυνατεί να παγιώσει την εικόνα για πολύ ώρα. Ακολούθως, µέσα από µια διαδοχική µετάβαση νοητικών αναγκών που προκύπτουν από την αισθητική απόσύνθεση των συγκεκριµένων ζωγραφικών πινάκων, οδηγούµαστε σε λογικές ερµηνείες που αιτιολογούνται από θεµελιώδη θεωρήµατα όπως του Pohlke και του Monge και υποστηρίζονται από γεωµετρίες όπως η Ευκλείδεια και η Προβολική.

24 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή ήµος Πανταζής, Καθηγητής, Τµήµα Τοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας /Ελένη Γκαδόλου, υποψ. ιδάκτωρ Τµήµατος Γεωγραφίας Χαροκόπειου Πανεπιστηµίου, Συνεργάτιδα Τµήµατος Τοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας /Παναγιώτης Στρατάκης, υποψ. ιδάκτωρ Σχολής Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Ε.Μ.Π., Συνεργάτης Τµήµατος Τοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας /Θανάσης Κουκοφίκης, Τοπογράφος Μηχανικός Τ.Ε. «Χαρτογραφία και Γεωµετρία: Οµοιότητες και ιαφορές Εκπαιδευτικά Παραδείγµατα από την ιδασκαλία των µαθηµάτων Χαρτογραφίας στο Τ.Ε.Ι. Αθήνας» Η Χαρτογραφία συνοπτικά ορίζεται σαν η τέχνη και η επιστήµη απεικόνισης τόπων, φαινοµένων, αντικειµένων, εννοιών, δηλαδή µε άλλα λόγια η µελέτη και το αποτέλεσµα µοντελοποίησης της πραγµατικότητας σε ένα τρισδιάστατο ή δισδιάστατο µοντέλο. Η Γεωµετρία από την άλλη µεριά είναι ο κλάδος των µαθηµατικών που ασχολείται µε χωρικές σχέσεις µεταξύ αντικειµένων αλλά και άλλων παραµέτρων και εννοιών που απεικονίζονται σε ένα δισδιάστατο ή τρισδιάστατο χώρο. Ο χώρος που χαρακτηρίζεται και ορίζεται µέσω αξιωµάτων, σε συνδυασµό µε µαθηµατικούς ορισµούς, περιγράφεται και απεικονίζεται από πολλές «χαρτογραφίες» και από πολλές «γεωµετρίες»: θεµατική, µαθηµατική, ναυτική, τοπογραφική, δισδιάστατη, τρισδιάστατη, δυναµική, διαδικτυακή, όσον αφορά την χαρτογραφία, και Ευκλείδεια, υπερβολική, σφαιρική, αναλυτική,, όσον αφορά την γεωµετρία. Η εργασία αυτή έχει σαν στόχους: Α) να παρουσιάσει συνοπτικά µια σειρά από οµοιότητες και διαφορές των δύο επιστηµονικών κλάδων όσον αφορά τους ορισµούς τους, τις κατηγοριοποιήσεις τους, τα εργαλεία τους, τους σκοπούς τους, την χρήση τους, Β) να δείξει διάφορα παραδείγµατα από την διδασκαλία χαρτογραφικών εννοιών και χρήσης χαρτών χρησιµοποιώντας βασικές γεωµετρικές γνώσεις και έννοιες στα µαθήµατα: Γενική και Μαθηµατική Χαρτογραφία και Βάσεις Χωρικών εδοµένων και Ψηφιακής Χαρτογραφίας, που διδάσκονται στο τρίτο και έκτο εξάµηνο αντίστοιχα του Τµήµατος Τοπογραφίας της Σχολής Τεχνολογικών Εφαρµογών στο ΤΕΙ Αθήνας. Απόστολος Παπανικολάου, Καθηγητής Μαθηµατικών, Εθνική Εστία Επιστηµών «H Γεωµετρία ως ιστορική αλλά και διδακτική γενέτειρα θεµελιωδών συναρτήσεων» Στο παρόν κείµενο θα περιγραφούν οι ιστορικές προσπάθειες ανακάλυψης καµπυλών που πληρούν συγκεκριµένες γεωµετρικές ιδιότητες, ιδιότητες οι οποίες µπορούν κάλλιστα να χρησιµεύσουν διδακτικά για την εισαγωγή στις θεµελιώδεις αυτές συναρτήσεις. Από τις συναρτήσεις αυτές εστιάζουµε κυρίως στην εκθετική συνάρτηση. Η εκθετική συνάρτηση εισάγεται στα σχολικά ή πανεπιστηµικά διδακτικά εγχειρίδια, είτε ως επέκταση της έννοιας της δυνάµεως µε φυσικό εκθέτη, είτε ως αντίστροφη της λογαριθµικής συνάρτησης. Είτε έτσι όµως είτε αλλιώς, στην αντίληψη των µαθητών

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 25 παρουσιάζεται µε µια φορµαλιστική µορφή, ενώ θα µπορούσε να παρουσιασθεί µε βάση τις γεωµετρικές της ιδιότητες, όπως ακριβώς ανακαλύφθηκε από τον Leibnitz. Η εισαγωγή αυτή στην εκθετική συνάρτηση είναι πλήρως ιστορικογενετική, δηλ. σαν έννοια σχεδιάστηκε και αναπτύχθηκε ως η καµπύλη στην οποία οι τεταγµένες τριών σηµείων της αποτελούν γεωµετρική πρόοδο, µε τις αντίστοιχες τετµηµένες να αποτελούν αριθµητική πρόοδο. Η καµπύλη αυτή ονοµάσθηκε από τον Leibnitz «λογαριθµική» και υποδείχθηκε ως εκείνη που ικανοποιεί την απαίτηση να έχει σταθερή υφαπτοµένη. Υφαπτοµένη (subtangent) ονοµάσθηκε από τον Leibniz το τµήµα ΟΤ και είναι ένα από τα 6 τµήµατα που ο ίδιος όρισε ως «functions» µιας καµπύλης, όπως αυτά επεξηγούνται στο παρακάτω σχήµα 1: Σχήµα 1. «Functions of a curve» Κατά τον 17ο αιώνα τέθηκαν µια σειρά από τους µαθηµατικούς της εποχής οι οποίοι µάλιστα αποκαλούσαν τους εαυτούς τους «γεωµέτρες», (συµπεριλαµβανοµένου και του Καρτέσιου) προβλήµατα σχετικά µε τη σχέση αυτών των τµηµάτων-functions. Το σχετικό «πρόβληµα της σταθερής υφαπτοµένης» ( Problem of the constant subtangent ) έθετε το ερώτηµα ποια καµπύλη έχει την ιδιότητα, για οποιοδήποτε σηµείο Ρ στην καµπύλη, η υφαπτοµένη subtangent ΟΤ, να έχει ένα δεδοµένο σταθερό µήκος. Στη δηµοσίευση «Nova Methodus», το 1686, o Leibniz έδειξε ότι η καµπύλη µε σταθερή υφαπτοµένη-subtangent ήταν αυτή που αποκάλεσε «λογαριθµική» καµπύλη, αλλά εµείς σήµερα αποκαλούµε εκθετική καµπύλη. H καµπύλη µε σταθερό τµήµα ΟΝ είναι η παραβολή. Στο παρόν κείµενο επίσης θα αναζητηθούν ιδιότητες των καµπυλών οι οποίες είναι αναλλοίωτες από την επιλογή και τη διαβάθµιση αξόνων και θα γίνει µια σύγκριση των δυνατοτήτων µελέτης των καµπυλών υπό το πρίσµα της ευκλείδειας και της αναλυτικής γεωµετρίας αντίστοιχα. Αναστασία Ταουκτσόγλου, ρ Τµήµατος Μαθηµατικών Α.Π.Θ., Καθηγήτρια ευτεροβάθµιας Εκπαίδευσης «Χρήση των Νέων Τεχνολογιών στη ιδασκαλία της Γεωµετρίας» Η Γεωµετρία από τη φύση της εµπεριέχει την εικόνα και την κίνηση. Η χρήση των

26 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή Νέων Τεχνολογιών δίνει τη δυνατότητα στο διδάσκοντα της Γεωµετρίας να οπτικοποιήσει το αντικείµενο της διδασκαλίας του, να προβάλλει στον διδασκόµενο τις δυνατότητες του αντικειµένου µέσω δυναµικών εικόνων, αλλά και να προωθήσει τη δηµιουργικότητα του διδασκοµένου δίνοντάς του τη δυνατότητα της διάδρασης µε το ίδιο το αντικείµενο. Ξεκινώντας από τη Μέση Εκπαίδευση και τη διδασκαλία π.χ. του µήκους κύκλου µέσω ενός δυναµικού εγγεγραµµένου στον κύκλο κανονικού πολυγώνου προχωρώντας στη διδασκαλία του ακτινίου και τη διδασκαλία των κωνικών τοµών

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 27 και φτάνοντας έως την Ανώτατη Εκπαίδευση... π.χ. τη διδασκαλία των επιφανειών δεύτερης τάξης ή των επιφανειακών καµπύλων οι νέες τεχνολογίες έχουν να προσφέρουν έναν νέο τρόπο διδακτικής και ερευνητικής προσέγγισης, πολλά υποσχόµενο. Λέξεις κλειδιά: Νέες Τεχνολογίες, Geogebra, 3D Grapher, Geometer s SketchPad.

28 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή ηµήτρης Χασάπης, Αναπληρωτής Καθηγητής Μαθηµατικής Εκπαίδευσης Πανεπιστηµίου Αθηνών Καθηγητής-Σύµβουλος Εκπαίδευσης Ενηλίκων Ε.Α.Π. «Η Μάθηση της Γεωµετρίας ως Οικειοποίηση της Χρήσης Γεωµετρικών Οργάνων: ύο Μαθησιακά Επεισόδια και Μια ιδακτική Πρόταση» Η γεωµετρία ως επιστηµονική δραστηριότητα, αλλά και ως πεδίο γνώσης, έχει ιστορικά θεµελιωθεί στη χρήση δύο εµβληµατικών οργάνων: του διαβήτη για τη σχεδίαση τόξων και κύκλων και του κανόνα για τη χάραξη ευθειών. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη, κείµενο το οποίο θεµελίωσε τη γεωµετρία ως µαθηµατική πρακτική, θεωρητικοποιεί τη χρήση των δύο αυτών οργάνων σχεδίασης για τον ορισµό γεωµετρικών εννοιών και για την επίλυση των γεωµετρικών προβληµάτων. Παράλληλα, πολλά ιστορικά προβλήµατα της γεωµετρίας, όπως για παράδειγµα το περίφηµο πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου, υπέβαλαν την έρευνα για, και την επινόηση νέων γεωµετρικών οργάνων χάραξης καµπυλών διαφόρων µορφών και τύπων. Στη βάση της ιστορικής αυτής εµπειρίας, η µάθηση της γεωµετρίας τουλάχιστον στην Πρωτοβάθ- µια Εκπαίδευση µπορεί να προσεγγιστεί και να οργανωθεί η διδασκαλία της ως οικειοποίηση από τα παιδιά της χρήσης γεωµετρικών οργάνων σχεδιασµού και µέτρησης, είτε παραδοσιακών είτε σύγχρονων, συµπεριλαµβανοµένων των αντίστοιχων προγραµµάτων σχεδίασης ηλεκτρονικών υπολογιστών. Για την υποστήριξη του επιχειρήµατος αυτού παρουσιάζονται στην εισήγηση δύο µαθησιακά επεισόδια τα οποία αναπτύσσονται µε επίκεντρο τη χρήση του γωνιοµέτρου, ενός οργάνου για τη χάραξη και τη µέτρηση γωνιών, από ένα παιδί επτά χρονών, µαθητή της Β τάξης του ηµοτικού σχολείου. Στα δύο αυτά επεισόδια αναδεικνύεται και σχολιάζεται η επίδραση του συγκεκριµένου γεωµετρικού οργάνου στη δια- µόρφωση από το παιδί µιας έννοιας των παραλλήλων ευθειών ως ευθειών µε ίση γωνία κλίσης, σε αντίθεση µε την έννοια των παραλλήλων ως ευθειών οι οποίες δεν τέµνονται όσο και αν προεκταθούν, η οποία προβάλλεται, χωρίς όµως και να τεκµηριώνεται, από τη διδασκαλία των µαθηµατικών στο ηµοτικό σχολείο. Μια πρώτη διαπίστωση που προκύπτει από την ανάλυση των µαθησιακών αυτών επεισοδίων είναι, ότι η εφαρµογή διαφορετικών µεθόδων χάραξης παραλλήλων ευθειών, τις οποίες επιβάλλει η χρήση διαφορετικών γεωµετρικών οργάνων, υποβάλλουν διαφορετικές εννοιολογικές προσλήψεις και προσανατολίζουν σε διαφορετικούς τυπικούς ορισµούς των παράλληλων ευθειών. ηλαδή, η χρήση διαφορετικών γεωµετρικών οργάνων δοµεί µε διαφορετικό τρόπο τη σκέψη κατά την εκτέλεση αντίστοιχων γεωµετρικών εργασιών και ως συνέπεια υποβάλλει διαφορετικές νοητικές διεργασίες, οι οποίες µε τη σειρά τους οδηγούν σε διαφορετικές προσλήψεις και νοητικές προσεγγίσεις των γεωµετρικών εννοιών. Στη διαπίστωση αυτή βασίζεται η συµπερασµατική πρόταση ότι η διδασκαλία της στοιχειώδους γεωµετρίας θα πρέπει να οργανωθεί µε αφετηρία και στη βάση της οικειοποίησης από τα παιδιά επιλεγµένων γεωµετρικών οργάνων σχεδίασης και µέτρησης. Λέξεις κλειδιά: µάθηση-διδασκαλία γεωµετρίας, γεωµετρικά όργανα, παράλληλες ευθείες.

II. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ 29 ΙΙ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Φίλιππος Αζαριάδης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων και Συστηµάτων Πανεπιστηµίου Αιγαίου, προσκεκληµένος οµιλητής «Μέθοδοι γεωµετρικής µοντελοποίησης βασισµένες σε σηµειοσύνολα: εφαρ- µογές στην παραµετροποίηση νέφους σηµείων και στη σχεδίαση προϊόντων» Με τις σύγχρονες τεχνολογίες µέτρησης σηµείων στην τριδιάστατη επιφάνεια πραγµατικών αντικειµένων λαµβάνεται ένα πλήθος σηµείων που αναπαριστά τη γεω- µετρία του µετρούµενου αντικειµένου. Το πλήθος και η ακρίβεια των σηµείων είναι ιδιαίτερα αυξηµένα δίνοντας τη δυνατότητα ανάπτυξης νέων µεθόδων γεωµετρικής µοντελοποίησης αποφεύγοντας σε ορισµένες περιπτώσεις «παραδοσιακές» και χρονοβόρες τεχνικές. Η παρούσα εισήγηση αναπτύσσει την έννοια της κατευθυνόµενης προβολής σηµείου σε ένα νέφος σηµείων που αναπαριστά την επιφάνεια ενός αντικειµένου. Βασιζόµενοι στη συγκεκριµένη τεχνική αναπτύσσονται και παρουσιάζονται δύο αλγόριθµοι: (α) Ένας αλγόριθµος για τη σχεδίαση καµπυλών υψηλής συνέχειας σε µια επιφάνεια νέφους σηµείων. (β) Ένας αλγόριθµος για την παραµετροποίηση ενός νέφους σηµείων. Στην πρώτη περίπτωση µελετώνται παραδείγµατα προϊόντων όπου η σχεδίασή τους βασίζεται στην ανάπτυξη ενός δικτύου βασικών καµπυλών σε µια επιφάνεια παρουσιάζοντας περιπτώσεις από τη βιοµηχανία υποδηµάτων. Παράλληλα παρουσιάζονται και επεκτάσεις της προτεινόµενης µεθοδολογίας σε εφαρµογές αντίστροφης µηχανικής. Σε αυτή την περίπτωση οι καµπύλες σχεδιάζονται χρησιµοποιώντας έναν αλγόριθµο που λαµβάνει υπόψη του συναρτησιακά που υπολογίζουν την ακρίβεια προβολής καθώς και την οµαλότητα της παραγόµενης καµπύλης. Στη δεύτερη περίπτωση µελετώνται πολύπλοκες επιφάνειες που έχουν προσεγγισθεί από ένα σηµαντικό πλήθος σηµείων µε σκοπό τον υπολογισµό κατάλληλων παρα- µετρικών τιµών για κάθε ένα σηµείο τους. Ο αλγόριθµος που παρουσιάζεται βασίζεται σε µια επαναληπτική υποδιαίρεση δυναµικών βασικών επιφανειών οι οποίες προσεγγίζουν τοπικά το νέφος σηµείων µε υψηλή ακρίβεια. Χρησιµοποιώντας τις τελικές βασικές επιφάνειες υπολογίζονται παραµετρικές τιµές του νέφους σηµείων µε υψηλή ακρίβεια. Στη συνέχεια οι παραµετρικές τιµές αξιοποιούνται για την κατασκευή συνεχόµενων τµηµάτων ή για την εφαρµογή µεθόδων τριγωνοποίησης ή για την απεικόνιση υφής στην αρχική επιφάνεια. Λέξεις κλειδιά: Γεωµετρική µοντελοποίηση, σηµειοσύνολα, νέφη σηµείων, ψηφιακή σχεδίαση, κατευθυνόµενη προβολή.

30 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή ηµήτριος Κοντοκώστας, Λέκτορας, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Ε.Μ.Π. «Καµπύλες Bezier, ένα σχεδιαστικό βοήθηµα» Οι καµπύλες Bezier χρησιµοποιούνται ευρέως τόσο για το σχεδιασµό άλλων καµπυλών όσο και για την προσέγγιση του σχήµατος δοσµένων καµπυλών µε τη βοήθεια του µεγαλύτερου µέρους των σχεδιαστικών προγραµµάτων στον υπολογιστή. Εφαρµογές τους βρίσκει κανείς στο βιοµηχανικό σχεδιασµό εξαρτηµάτων και τελικών προϊόντων, στη βιοµηχανία κινουµένων σχεδίων, στο σχεδιασµό γραµµατοσειρών κι αλλού. Για τους χρήστες των σχεδιαστικών προγραµµάτων τα πιο επιθυµητά χαρακτηριστικά τους είναι η εύκολη τροποποίησή τους µέσω ενός πεπερασµένου πλήθους δεικτών (χερούλια), η παντελής απουσία ανάγκης χειρισµών µαθηµατικών τύπων για τη σχεδίασή τους, η εύκολη σύνθεση διαδοχικών τέτοιων καµπυλών και η πολύ καλή προσέγγιση που προσφέρουν για οποιαδήποτε καµπύλη (είτε δοσµένη αναλυτικά µε µαθηµατικό τύπο, είτε δοσµένη ως σχεδιασµένη γραµµή). Για τους προγραµµατιστές των σχεδιαστικών προγραµµάτων ελκυστικές είναι σχεδόν όλες οι ιδιότητές τους. Οι καµπύλες αυτές χρησιµοποιούνται στα προγράµµατα Photoshop (ως paths), Adobe Illustrator, Adobe Flash, Postscript, Metafont, στις γραµµατοσειρές TrueType (που χρησιµοποιούν τετραγωνικές καµπύλες Bezier) και OpenType (που χρησιµοποιούν τετραγωνικές και κυβικές καµπύλες Bezier), στο Mathematica (µε την εντολή Bezier Curve[pts]), το Sketchpad και σε πλήθος άλλων διαδεδοµένων ή µη προγραµ- µάτων. Κατά πάσα πιθανότητα, όταν κάποιος σχεδιάζει καµπύλες σε κάποιο σχεδιαστικό πρόγραµµα του υπολογιστή, το κάνει χρησιµοποιώντας καµπύλες Bezier. Οι καµπύλες φέρουν το όνοµα του Pierre Bezier που τις χρησιµοποίησε στο σχεδιασµό αυτοκινήτων για λογαριασµό της αυτοκινητοβιοµηχανίας Renault. Αλλά του Bezier προηγήθηκε ο Paul de Casteljau ο οποίος ανέπτυξε και τον οµώνυµο αλγόριθ- µο που επιτρέπει τη διαµέριση µιας τέτοιας καµπύλης σε δύο διαδοχικά τόξα ώστε το καθένα τους να αποτελεί και πάλι καµπύλη Bezier, γεγονός που µε τη σειρά του επιτρέπει την αποκοπή ενός τυχαίου τόξου και θεώρησής του ως καµπύλης Bezier. Μια καµπύλη Bezier ορίζεται ως το γράφηµα στο µιγαδικό επίπεδο του πολυωνύµου Β n (t) n (1 t) n 1 t i z i, t [0, 1]. i 0 Τα σηµεία z i ονοµάζονται δείκτες της καµπύλης και το πολύγωνο z 0 z 1 z n 1 ονο- µάζεται πολύγωνο ελέγχου της. Η καµπύλη είναι κλειστό και φραγµένο υποσύνολο του επιπέδου, που ξεκινάει από τον πρώτο δείκτη της και καταλήγει στον τελευταίο. Η καµπύλη ανήκει πάντοτε στο κυρτό περίβληµα των δεικτών της, δηλαδή ανήκει σε κάθε κυρτό σύνολο που περιέχει τους δείκτες της. Επίσης εφάπτεται στο πρώτο και το τελευταίο τµήµα του πολυγώνου ελέγχου στα άκρα της, γεγονός που µας επιτρέπει να συγκολλούµε εύκολα διαδοχικές τέτοιες καµπύλες δηµιουργώντας αλυσιδωτές καµπύλες Bezier ώστε το αποτέλεσµα να είναι λεία καµπύλη. Κάθε καµπύλη Bezier κάποιου βαθµού n µπορεί να θεωρηθεί και ως καµπύλη βαθµού n 1, ιδιότητα που ονοµάζεται ανύψωση του βαθµού. Οι καµπύλες Bezier ορίζονται και αναδροµικά ως γραµµική παρεµβολή δύο καµπυλών Bezier βαθµού n 1.