α) f(x(t), y(t)) = 0,
|
|
- Κυριακή Καλύβας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x 0, y 0 ) = 0}. Οι ρητές καμπύλες είναι επίπεδες αλγεβρικές καμπύλες που επιπλέον οι συντεταγμένες των σημείων τους μπορούν να εκφραστούν σαν ρητές συναρτήσεις μιας παραμέτρου t. Ανάμεσα στις επίπεδες καμπύλες είναι οι πιο απλές και έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες και εφαρμογές στα Θεωρητικά Μαθηματικά αλλά και στον Γεωμετρικό σχεδιασμό με την βοήθεια Υπολογιστή (Computer Aided Geometric Design). Θεώρημα 0.1 Μια επίπεδη καμπύλη V (f) λέγεται ρητή αν υπάρχουν ρητές συναρτήσεις x(t), y(t) (δηλ. πηλίκα πολυωνύμων σε μια μεταβλητή t) τέτοια ώστε: α) f(x(t), y(t)) = 0, β) για κάθε σημείο (x, y) τέτοιο ώστε f(x, y) = 0, εκτός από πεπερασμένες εξαιρέσεις, υπάρχει μοναδικό t τέτοιο ώστε x = x(t), y = y(t). Οι συναρτήσεις x(t) και y(t) ορίζονται για όλες τις τιμές του t εκτός από πεπερασμένες τιμές που μηδενίζουν τα πολυώνυμα στους παρανομαστές των x(t), y(t). Η πρόταση β) έχει συγχρόνως δύο διαφορετικές σημασίες: Είτε μπορεί να υπάρχουν πεπερασμένα σημεία της καμπύλης για τα οποία δεν υπάρχει κανένα τέτοιο t ώστε x = x(t), y = y(t). Είτε μπορεί να υπάρχουν πεπερασμένα σημεία της καμπύλης για τα οποία υπάρχουν περισσότερα από ένα t. Στα παραδείγματα παρακάτω παρουσιάζονται και οι δύο περιπτώσεις. Παράδειγμα 0.2 Εστω ο κύκλος V (x 2 + y 2 1) και η ευθεία που διέρχεται από το σημείο του κύκλου (0, 1) με κλίση t, y = 1 + tx. Η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία από τα οποία το ένα είναι το (0, 1) και το άλλο το βρίσκουμε λύνοντας το σύστημα x 2 + y 2 1 = 0 και y = 1 + tx. Αντικαθιστώντας το y στην x 2 + y 2 1 = 0 έχουμε: x 2 + ( 1 + tx) 2 1 = 0 δηλαδή x t 2 x 2 2tx 1 = 0 άρα x((1 + t 2 )x 2t) = 0. Η x = 0 μας δίνει το σημείο (0, 1) που το ξέραμε από την αρχή, ενώ η (1 + t 2 )x 2t = 0 μας δίνει το άλλο σημείο τομής, που είναι x = 2t/1 + t 2. Τότε όμως y = 1 + tx = t 2 1/1 + t 2. Άρα 1
2 x = 2t/1 + t 2 και y = t 2 1/1 + t 2. Παρατηρούμε ότι οι δύο συναρτήσεις ορίζονται για όλες τις (μιγαδικές) τιμές t του εκτός t = i και t = i. Επίσης f(x(t), y(t)) = (2t/1 + t 2 ) 2 + (t 2 1/1 + t 2 ) 2 1 = 0. Τέλος για κάθε σημείο (x 0, y 0 ) του κύκλου υπάρχει μοναδικό t 0 = y 0 +1/x 0 τέτοιο ώστε x = x(t), y = y(t), εκτός από το (0, 1) γιατί αντιστοιχεί σε μη πεπερασμένη κλίση. Άρα ο κύκλος είναι ρητή καμπύλη. Παράδειγμα 0.3 Θα δείξουμε ότι η υπερβολή V (x 2 y 2 1) είναι ρητή καμπύλη. Θεωρούμε την οικογένεια ευθειών που διέρχονται από το σημείο (1, 0) της καμπύλης με κλίση t, δηλαδή ευθείες της μορφής y = t(x 1). Η κάθε μια ευθεία από αυτές τέμνει την υπερβολή σε δύο σημεία. Το ένα είναι το (1, 0) και το άλλο το βρίσκουμε λύνοντας το αντίστοιχο σύστημα όπως στο προηγούμενο παράδειγμα και έχουμε ότι x(t) = t2 +1 και t 2 1 y(t) = 2t. Μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε τις συνθήκες του ορισμού για ρητές t 2 1 καμπύλες. Παρατηρούμε ότι οι δυο ρητές συναρτήσεις ορίζονται για όλες τις τιμές του t εκτός από t = 1 και t = 1. Για τις τιμές αυτές, οι δύο αντίστοιχες ευθείες αυτής της οικογένειας είναι παράλληλες με τις δύο ασύμπτωτες ευθείες της υπερβολής, τις V (x y) και V (x + y), και τέμνουν την υπερβολή μόνο στο σημείο (1, 0). Θα δούμε αργότερα, όταν θα εργαζόμαστε στο Προβολικό επίπεδο, ότι και αυτές οι ευθείες τέμνουν την υπερβολή σε δύο σημεία η καθεμία. Το ένα είναι το (1, 0) και το άλλο βρίσκεται στο άπειρο. Παρατήρηση Η διαδικασία που ακολουθήσαμε στα προηγούμενα δύο παραδείγματα μπορεί να επαναληφθεί για οποιαδήποτε κωνική τομή (δηλαδή δευτεροβάθμια) καμπύλη. Δηλαδή, θεωρώντας μια οικογένεια ευθειών που διέρχονται από ένα σημείο μιας κωνικής με κλίση t, μπορούμε να έχουμε μια περιγραφή των σημείων της κωνικής με ρητές συναρτήσεις. Ολες, λοιπόν, οι κωνικές καμπύλες ( ελλείψεις, παραβολές, υπερβολές) είναι ρητές καμπύλες. Παράδειγμα 0.4 Θα δείξουμε ότι η τριτοβάθμια καμπύλη V (y 2 x 3 x 2 ) είναι ρητή. Αν θεωρήσουμε ευθείες με κλίση t που διέρχονται από τυχαίο σημείο της καμπύλης παρατηρούμε ότι τέμνουν την καμπύλη σε δύο ακόμη σημεία (τρία συνολικά, όσα και ο βαθμός). Δηλαδή σε κάθε τιμή της παραμέτρου αντιστοιχούν δύο σημεία της καμπύλης, οπότε είναι αδύνατο με αυτό τον τρόπο να περιγράψουμε τα σημεία της καμπύλης ως ρητές συναρτήσεις της t. Η καμπύλη αυτή όμως έχει ένα ιδιαίτερο σημείο, το σημείο (0, 0), που ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα και που αργότερα θα το ονομάσουμε ιδιόμορφο. Στο σημείο αυτό η καμπύλη αυτοτέμνεται. Θα θεωρήσουμε, λοιπόν, την οικογένεια ευθειών που διέρχονται από το σημείο αυτό με κλίση t, δηλαδή τις ευθείες y = tx. Λύνοντας το σύστημα y 2 x 3 x 2 = 0 και y = tx έχουμε ότι το σημείο (0, 0) είναι διπλή λύση του συστήματος. Η άλλη λύση του συστήματος αντιστοιχεί στο σημείο με συντεταγμένες x(t) = t 2 1 και y(t) = t 3 t. Παρατηρούμε ότι για κάθε σημείο της καμπύλης (x 0, y 0 ) υπάρχει μοναδικό t τέτοιο ώστε (x 0, y 0 ) = (t 2 1, t 3 t), εκτός από το σημείο (0, 0). 2
3 Στο σημείο (0, 0) αντιστοιχούν δύο τιμές του t, η t = 1 και η t = 1. Κατά κάποιο τρόπο το σημείο (0, 0) θεωρείται διπλό σημείο της καμπύλης και η καμπύλη στο σημείο αυτό έχει δύο εφαπτομένες με κλίσεις t = 1 και t = 1. Παράδειγμα 0.5 Η τεταρτοβάθμια καμπύλη V (xy + (x 2 + y 2 ) 2 ) είναι ρητή. Αν εργαστούμε όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα θα δούμε ότι οι οικογένειες ευθειών που διέρχονται από τυχαίο σημείο της καμπύλης τέμνουν την καμπύλη σε τρία ακόμη σημεία (σε 4 συνολικά, επειδή η καμπύλη είναι τετάρτου βαθμού). Η καμπύλη αυτή έχει ιδιόμορφο σημείο στην αρχή των αξόνων, στο σημείο (0, 0). Αν όμως θεωρήσουμε την οικογένεια των ευθειών με κλίση t που διέρχονται από την αρχή των αξόνων y = tx, θα δούμε ότι τέμνουν την καμπύλη σε δύο ακόμη σημεία. Στην περίπτωση αυτή για να βρούμε μια παραμετρική μορφή της καμπύλης θεωρούμε τις τομές της καμπύλης με την οικογένεια κύκλων x 2 + y 2 ty = 0. Λύνοντας το σύστημα xy + (x 2 + y 2 ) 2 = 0 και x 2 + y 2 ty = 0 έχουμε xy + t 2 y 2 = 0, δηλαδή y = 0 ή y = x αν t 0. Αν y = 0 τότε και x = 0. Αν y = x τότε x = t3. Άρα y = t 2 t 2 t 4 +1 Συνεπώς η καμπύλη είναι ρητή και το τυχαίο σημείο της περιγράφεται από x(t) = t3 και y(t) = t. t 4 +1 t. t 4 +1 Παρατήρηση Στα παραπάνω παραδείγματα αναζητούμε μια ρητή περιγραφή των συντεταγμένων μιας ρητής καμπύλης. Η ιδέα που υπάρχει πίσω από αυτά τα παραδείγματα είναι να θεωρήσει κανείς κατάλληλες οικογένειες καμπυλών. Δηλαδή οικογένειες που στις εξισώσεις τους υπάρχει μια παράμετρος t, και τέμνουν την καμπύλη σε κάποια σημεία από τα οποία μόνο ένα μεταβάλλεται με την παράμετρο t και τα υπόλοιπα να είναι σταθερά σημεία της καμπύλης. Στην πραγματικότητα η ύπαρξη μιας τέτοιας οικογένειας κάνει την καμπύλη ρητή. Θα δούμε παρακάτω ότι δεν είναι όλες οι επίπεδες αλγεβρικές καμπύλες ρητές (και άρα δεν υπάρχουν πάντα τέτοιες οικογένειες καμπυλών). t 4 +1 Παράδειγμα 0.6 Θα ξαναδούμε το παράδειγμα του κύκλου V (x 2 + y 2 1). Αντί για οικογένεια ευθειών θεωρούμε μια οικογένεια κωνικών που τέμνει τον κύκλο σε τέσσερα σημεία από τα οποία τα τρία είναι σταθερά για όλες τις καμπύλες της οικογένειας. Παραδείγματος χάρη την οικογένεια V (x 2 + xy + ty 2 + (t 1)y 1). Κάθε μια από αυτές τις καμπύλες τέμνουν τον κύκλο σε τέσσερα σημεία από τα οποία τα τρία είναι τα (1, 0),( 1, 0) και (0, 1). Λύνοντας το σύστημα x 2 + y 2 1 = 0 και x 2 + xy + ty 2 + (t 1)y 1 = 0 βρίσκουμε το τέταρτο σημείο τομής που είναι το x(t) = 2(1 t) 1 (1 t)2, y(t) = 1 + (1 t) (1 t). 2 Το αντίστροφο της παραπάνω διαδικασίας είναι: Δίνεται η παραμετρική μορφή μιας καμπύλης και ζητείται το πολυώνυμο που την ορίζει. Π.χ. να βρεθεί η καμπύλη που έχει παραμετρική μορφή x(t) = t 3 1 και y(t) = t2. Στην περίπτωση αυτή σχηματίζουμε δύο πολυώνυμα ως προς t με συντελεστές από το R[x, y], στο παράδειγμά μας t 2 +1 τα 3
4 t 3 1 x και t 2 (y 1) + y, και στη συνέχεια απαλείφουμε το t χρησιμοποιώντας την απαλοίφουσα. Στο παράδειγμά μας η απαλοίφουσα είναι y 3 + (y 1) 3 (1 + x) 2. Βρείτε το πολυώνυμο f που ορίζει την ρητή καμπύλη με παραμετρική μορφή x(t) = t 2 1, y(t) = t 3 2t + 1. Εφαρμογές των ρητών καμπυλών στον υπολογισμό της τομής δύο καμπυλών. Αν γνωρίζουμε ότι από δύο καμπύλες η μια τουλάχιστον είναι ρητή είναι εύκολο να βρούμε τα κοινά σημεία των δύο καμπυλών. Εστω V (f), V (g) δύο καμπύλες όπου η V (f) είναι ρητή, δηλαδή οι συντεταγμένες των σημείων της περιγράφονται από δύο ρητές σηναρτήσεις x(t),y(t). Θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία των δύο καμπυλών, δηλαδή το σύνολο V (f, g). Ενα κοινό σημείο είναι σημείο της V (f) άρα είναι της μορφής (x(t), y(t)), και είναι και σημείο της V (g) άρα οι συντεταγμένες των σημείων του ικανοποιούν την g(x, y) = 0. Άρα για ένα κοινό σημείο έχουμε g(x(t), y(t)) = 0. Απαλείφοντας τους παρανομαστές καταλήγουμε σε ένα πολυώνυμο ως προς t. Οι ρίζες του πολυωνύμου δίνουν τα σημεία τομής των δύο καμπυλών. Η μέθοδος αυτή έχει όμως ένα μειονέκτημα, επειδή η παραμετρική μορφή της V (f) περιγράφει ολα τα σημεία της V (f) εκτός πιθανόν απο πεπερασμένα σε πλήθος, στην περίπτωση που κάποιο απο αυτά είναι και σημείο της καμπύλης V (g) η προηγούμενη μέθοδος δεν μπορεί να το βρεί. Παράδειγμα 0.7 Να βρεθούν όλα τα κοινά σημεία των δύο καμπυλών V (x 2 + y 2 1) και V (y 2 x 3 x 2 ). Η δεύτερη καμπύλη (όπως και η πρώτη) είναι ρητή και τα σημεία της είναι της μορφής (t 2 1, t 3 t). Άρα για να βρούμε τα κοινά σημεία πρέπει να λύσουμε την εξίσωση (t 2 1) 2 +(t 3 t) 2 1 = 0. Μετά από πράξεις καταλήγουμε στο πολυώνυμο t 2 (t 4 t 2 1± 1) = 0 που έχει έξι ρίζες: μια διπλή την t = 0 και τις τέσσερις t = ± 5 2 Κάθε μια από αυτές δίνει ένα σημείο τομής,π.χ. για t = 0 έχουμε το σημείο ( 1, 0). Συνεπώς οι δύο καμπύλες έχουν έξι κοινά σημεία (το ένα διπλό). Εφαρμογές των ρητών καμπυλών σε γεωμετρικό σχεδιασμό. Οι ρητές καμπύλες χρησιμεύουν σε σχεδιασμό αντικειμένων (π.χ. τμήματα αυτοκινήτων, ρουχισμού ή και γραμματοσειρών) με την βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή, (Computer Aided Geometric Design, CAGD). Οι σχεδιαστές χρειάζονται καμπύλες που να έχουν μεγάλη ποικιλία μορφής, εύκολες στην περιγραφή και γρήγορες στο σχεδιασμό. Υπάρχουν ρητές καμπύλες που έχουν τα χαρακτηριστικά αυτά. Θα περιγράψουμε μια τέτοια οικογένεια ρητών καμπυλών που φέρουν το όνομα του Bezier, ενός Γάλλου 4
5 μηχανικού της Renault, που χρησιμοποιούνται στο CAGD. Η παραμετρική τους μορφή είναι x(t) = (1 t) 3 x 1 + 3t(1 t) 2 x 2 + 3t 2 (1 t)x 3 + t 3 x 4, y(t) = (1 t) 3 y 1 + 3t(1 t) 2 y 2 + 3t 2 (1 t)y 3 + t 3 y 4. Η παραπάνω καμπύλη διέρχεται από τα σημεία (x 1, y 1 ) (για t = 0) και (x 4, y 4 ) (για t = 1), ενώ για τιμές του t μεταξύ 0 και 1 το τμήμα της καμπύλης βρίσκεται μέσα στο τετράπλευρο με κορυφές (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ), (x 4, y 4 ). Επίσης η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο (x 1, y 1 ) είναι ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) και η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο (x 4, y 4 ) είναι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (x 3, y 3 ), (x 4, y 4 ). Τα τέσσερα σημεία (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ), (x 4, y 4 ) λέγονται σημεία ελέγχου της καμπύλης. Οι σχεδιαστές χρησιμοποιούν πολλά διαφορετικά τμήματα από καμπύλες του Bezier, ενώνοντάς τις κατάλληλα, για να σχεδιάσουν πιο πολύπλοκες καμπύλες. Το πρόγραμμα Corel Draw χρησιμοποιεί καμπύλες του Bezier και μπορείτε αλλάζοντας τα δύο ενδιάμεσα σημεία να δείτε την ποικιλία των μορφών που μπορεί να πάρουν οι καμπύλες του Bezier. Εφαρμογές των ρητών καμπυλών στην Θεωρία Αριθμών. Ενα από τα κλασικά προβλήματα της Θεωρίας των Αριθμών είναι η εύρεση των πυθαγορείων τριάδων. Μια τριάδα θετικών ακέραιων αριθμών (X, Y, Z) λέγεται πυθαγόρεια τριάδα αν ισχύει X 2 + Y 2 = Z 2. Μια τριάδα (X, Y, Z) λέγεται αρχική όταν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των X, Y, Z είναι το 1, μκδ(x, Y, Z)=1. Από μια αρχική τριάδα (X, Y, Z) μπορούμε να πάρουμε άπειρες πυθαγόρειες τριάδες τις (dx, dy, dz), και από οποιαδήποτε πυθαγόρεια τριάδα μπορούμε να πάρουμε μια αρχική, διαιρώντας με τον μκδ(x, Y, Z). Παρακάτω θα προσπαθήσουμε να βρούμε όλες τις αρχικές πυθαγόρειες τριάδες. Εστω (X, Y, Z) μια αρχική πυθαγόρεια τριάδα. Τότε οι X, Y δεν είναι και οι δύο άρτιοι, (γιατί αν 2 X και 2 Y τότε από την X 2 +Y 2 = Z 2 το 2 Z, άρα 2 1 = mkd(x, Y, Z) άτοπο). Επίσης οι X, Y δεν είναι ποτέ και οι δύο περιττοί, (γιατί αν X 1mod2 και Y 1mod2, τότε X 2 1mod4 και Y 2 1mod4, άρα Z 2 2mod4, που είναι αδύνατο γιατί το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι 0mod4 και το τετράγωνο ενός περιττού αριθμού είναι 1mod4). Άρα ο ένας από τους X, Y είναι άρτιος και ο άλλος περιττός. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ο X είναι άρτιος. Αν θέσουμε x = X και Z y = Y η σχέση Z X2 + Y 2 = Z 2 γίνεται x 2 + y 2 = 1, δηλαδή τα x, y είναι ρητοί και είναι συντεταγμένες σημείων του κύκλου. Αλλά ξέρουμε ότι ο κύκλος είναι ρητή καμπύλη και οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου δίνονται από x = 2t και y = t t 2 1+t 2 Παρατηρούμε ότι αν t είναι ρητός τότε και x, y είναι ρητοί. Επίσης αν x, y ρητοί τότε και 5
6 t ρητός αφού t = 1+y. x Αν t είναι ρητός, είναι πηλίκο δύο θετικών ακεραίων u, v και μπορούμε να υποθέσουμε οτι ο μκδ(u, v)=1. Αντικαθιστώντας έχουμε x = X = 2uv και y = Y = u2 v 2, όπου Z u 2 +v 2 Z u 2 +v 2 u v 0, για να είναι τα x, y θετικά. Άρα X(u 2 +v 2 ) = Z2uv, Y (u 2 +v 2 ) = Z(u 2 v 2 ) και επειδή μκδ(x, Z)=μκδ(Y, Z)=μκδ(X, Y, Z)=1, αφού X 2 + Y 2 = Z 2, καταλήγουμε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος w τέτοιος ώστε: wx = 2uv, wy = u 2 v 2 wz = u 2 + v 2. Το w διαιρεί το u 2 v 2 και το u 2 + v 2 άρα και το 2u 2 και 2v 2. Αλλά οι u, v είναι ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους άρα το w διαιρεί το 2, άρα w = 1 ή w = 2. Θα δούμε ότι αποκλείεται το w να είναι 2. Εστω ότι w = 2, τότε αφού X άρτιος από την wx = 2uv έχουμε ότι το 2 διαιρεί το uv άρα u ή v άρτιος. Ομως οι u, v είναι πρώτοι μεταξύ τους άρα ο ένας είναι άρτιος και ο άλλος περιττός. Αλλά τότε u 2 + v 2 περιττός και 2Z = u 2 + v 2, που είναι άτοπο. Άρα w = 1 και έτσι έχουμε: Θεώρημα 0.8 (Ευκλείδης) Ολες οι αρχικές πυθαγόρειες τριάδες με X άρτιο, είναι της μορφής X = 2uv, Y = u 2 v 2, Z = u 2 + v 2, όπου u, v είναι ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους με τον ένα απο τους δύο άρτιο και τον άλλο περιττό. Για παράδειγμα αν u = 2 και v = 1 έχουμε την αρχική πυθαγόρεια τριάδα (4, 3, 5). Αν u = 3 και v = 2 τότε έχουμε την αρχική πυθαγόρεια τριάδα (12, 5, 13). Και αν u = 1204 και v = 1071 έχουμε την μη αρχική πυθαγόρεια τριάδα ( , , ). Ασκήσεις 1. Στο επίπεδο (Z 3 ) 2 να βρείτε όλα τα σημεία του κύκλου V (x 2 + y 2 1). Πόσες ευθείες του επιπέδου δεν τέμνουν τον κύκλο και ποιές 2. Η ευθεία V (ax + by + c) για c 0 παραμετρικοποιείται από x(t) = bt + s, y(t) = at + r όπου (s, r) είναι τυχαίο σημείο της. Βρείτε μια άλλη παραμετρικοποίηση της ευθείας θεωρώντας ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων με κλίση t. 3. Δείξτε ότι η κυβική καμπύλη V (x 3 + x 2 + y 2 ) R 2 είναι ρητή. Θεωρείστε ευθείες με κλίση t που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Σχεδιάστε την καμπύλη στο επίπεδο R Δείξτε ότι η υπερβολή είναι ρητή καμπύλη. V (x 2 y 2 a 2 ) R 2 6
7 5. Δείξτε ότι η κυβική καμπύλη V (y 2 x 3 ) είναι ρητή. Θεωρείστε ευθείες με κλίση t που να διέρχονται από την αρχή των αξόνων. 6. Δείξτε ότι η τεταρτοβάθμια καμπύλη είναι ρητή. 7. Δείξτε ότι η τεταρτοβάθμια καμπύλη V ((x 2 + y 2 ) 2 y(3x 2 y 2 )) R 2 V (y 2 x 2 (x 2 1)) R 2 είναι ρητή θεωρώντας τις τομές της καμπύλης με την οικογένεια παραβολών 8. Δείξτε ότι η έκτου βαθμού καμπύλη είναι ρητή. V (y tx(x 1)). V (x 6 x 2 y 3 y 5 ) R 2 9. Βρείτε τρεις τριάδες θετικών ακεραίων αριθμών (X, Y, Z) με μκδ(x, Y, Z) = 1 τέτοιες ώστε X 2 + Y 2 = 5Z Δείξτε ότι δεν υπαρχει τριάδα θετικών ακεραίων αριθμών (X, Y, Z) με μκδ(x, Y, Z) = 1 τέτοια ώστε X 2 + Y 2 = 3Z Δείξτε ότι αν (a, b, c) είναι μια αρχική πυθαγόρεια τριάδα με a < b < c τότε (c?a)(c?b)/2 είναι τέλειο τετράγωνο. 7
1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1
1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότεραV (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}
1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.
1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν
Διαβάστε περισσότερα16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0
6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται
Διαβάστε περισσότεραΑν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)
. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότεραf f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange
Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότερα7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Διαβάστε περισσότεραπυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων.
πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Αριστείδης Κοντογεώργης -Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Πρότυπο Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης 21 Οκτωβρίου 2015 1 το τελευταίο θεώρημα του
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραx y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )
() Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παπασταυρίδης Γ. Πολύζος Α. Σβέρκος Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραx 2 + y 2 x y
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ
ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)
6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραΠοιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Π. Δρακουλάκος. 1. Αφού η C έχει άξονα τον x x, η εξίσωση της είναι της μορφής y = 2ρx, ρ Εύρεση του ρ.
ΠΑΑΟΛΗ ΘΕΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Π Δρακουλάκος Αφού η C έχει άξονα τον, η εξίσωση της είναι της μορφής = ρ, ρ Εύρεση του ρ ος τρόπος: Αφού η = ρ, = +, = ρ και η = + εφάπτονται, το σύστημα έχει μία διπλή λύση =
Διαβάστε περισσότεραΦίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,
Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη
Διαβάστε περισσότερα13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...
Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Παραβολής
Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΠολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
Διαβάστε περισσότερα2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραΒ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Διαβάστε περισσότερα2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...
Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης
Διαβάστε περισσότερα2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιγαδικοί Αριθμοί ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ Μιγαδικοί Αριθμοί ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α. Πράξεις Συζυγής - Μέτρο Α. Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής
Διαβάστε περισσότερα1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4. 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σκοπός της ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι ο ορισμός εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο της,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραα) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότερα1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.
Διαβάστε περισσότερα{(x, y) R 2 : f (x, y) = 0}
ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Οκτ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-13 Οκτ 2014 1 / 10 Ενα θεμελιώδες πρόβλημα της Αναλυτικής Γεωμετρίας
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής
Διαβάστε περισσότεραΕφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης
Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότεραδίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.
3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
Διαβάστε περισσότερα9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης
9 Ορισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ι Ορισμός παράγωγου αριθμού Ορισμός 1 Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν f( f( υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,
Διαβάστε περισσότεραΣχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x )
Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του Π.Ο της μόνον και μόνον όταν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 πραγματικός αριθμός. και είναι Η παραγωγισιμότητα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. α. Ορισμός στο σχολικό βιβλίο σελίδα 15. β. i) Μια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας.
Διαβάστε περισσότεραΠραγματικοί Αριθμοί 2
Διαφορικός Λογισμός Συναρτήσεις μίας μεταβλητής Όριο και συνέχεια Συνάρτησης Παράγωγος Συνάρτησης o Ιδιότητες παραγώγων o Κανόνες παραγώγισης o Διαφορικό συνάρτησης o Συναρτήσεις με παραμετρική μορφή Βασικά
Διαβάστε περισσότεραΕξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος
1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΗ συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
Διαβάστε περισσότερα