POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Argometi trattati el corso: Meccaica del Cotiuo Teoria e dimesioameto delle travi - Pricipio dei Lavori Virtuali - Teoremi eergetici - Carico Critico Euleriao Pricipi ed applicazioi del metodo degli elemeti fiiti BIBLIOGRAFIA Corradi Dell Acqua, Meccaica delle Strutture vol., McGraw-Hill Beer, Russell ohsto, DeWolf, Meccaica dei Solidi, McGraw-Hill
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Aalisi Strutturale deve icludere tre aspetti: STATICA: legame tra sforzi iteri i e forze (equilibrio) i CINEMATICA: legame tra deformazioi e spostameti (cogrueza) MATERIALE: legame tra sforzi e deformazioi (legame costitutivo) F F F Sforzo ormale F A Area della sezioe
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Aalisi Strutturale deve icludere tre aspetti: STATICA: legame tra sforzi iteri i e forze (equilibrio) i CINEMATICA: legame tra deformazioi e spostameti (cogrueza) MATERIALE: legame tra sforzi e deformazioi (legame costitutivo) F L F ε L L L L ε t D D D
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 4 Aalisi Strutturale deve icludere tre aspetti: STATICA: legame tra sforzi iteri i e forze (equilibrio) i CINEMATICA: legame tra deformazioi e spostameti (cogrueza) MATERIALE: legame tra sforzi e deformazioi (legame costitutivo) Legge che lega lo sforzo e la deformazioe (dipede dal materiale)
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 5 STATICA: Stato di sforzo si cosideri u mezzo cotiuo tridimesioale di volume V e superficie S soggetto a forze ageti al suo itero (es. peso proprio ) e/o sulla superficie laterale (es. pressioe del veto) Cotiuo di Cauchy lim ΔV lim ΔR F ΔV ΔM lim ΔS lim Δ V Δ V Δ S Δ ΔR f ΔS ΔM S Augusti Louis Cauchy (789-857) F forza di volume [F]/[L ] f forza superficiale i [F]/[L ]
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 6 Stato di sforzo si cosideri u mezzo cotiuo tridimesioale di volume V e superficie S i equilibrio soggetto a forze di volume F e forze di superficie f ΔR ΔMα ΔS α lim α lim ΔS ΔS ΔS α è detto sforzo o tesioe el puto P su ua giacitura di ormale α [F]/[L ]
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 7 Stato di sforzo Tetraedro ifiitesimo ell itoro del puto P co tre facce ortogoali agli assi coordiati e la quarta avete versore α ormale uscete - i Equilibrio alla traslazioe (si trascuri la forza di volume FdV, ifiitesimo di orie superiore) α ds ds ds ds ds i ds αi cos( ) αi α i α α α α Il vettore tesioe α su ua giacitura di ormale α è oto se lo soo i tre vettori i su tre giaciture mutuamete ortogoali (i.e. le ove compoeti ij )
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 8 Stato di sforzo compoeti ormali ii (i i,, ) compoeti tageziali ij ( i j) asse ortogoale al piao della sezioe asse ella direzioe della compoete
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 9 Stato di sforzo si ottiee dall equilibrio alla rotazioe del tetraedro ij ji ( i j) sim. tesore doppio simmetrico α α α α α α
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POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Nozioe di tesore U tesore è u sistema di gradezze defiito da più idici che gode di ua particolare legge di trasformazioe al variare del sistema di riferimeto Esempi di tesori molto usati: tesore di ierzia ella meccaica del corpo rigido, tesore degli sforzi ella meccaica dei mezzi cotiui (elastici, fluidi, etc.) tesori che si usao i Relatività Geerale.
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Stato di sforzo Sforzi e direzioi pricipali p α α α ( α ( I ) α α α
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 4 Stato di sforzo Sforzi e direzioi pricipali p Soluzioi o baali del sistema problema agli autovalori: valori di che aullao il determiate della matrice dei coefficieti det( I) simmetrica teorema algebra lieare assicura l esisteza di tre radici autovalori: I, II, III Sforzi pricipali autovettori: I, II, III Direzioi i i pricipali i I II sim. sim. III
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 5 Stato di sforzo Sforzi e direzioi pricipali p I, II, III SFORZI PRINCIPALI o dipedoo dal sistema di riferimeto origiale assuto Coefficieti dell eq eq. soo idipedeti dal sistema di riferimeto origiale assuto det( ) INVARIANTI DI SFORZO I I I II II II III II III III I III
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 6 Stato di sforzo ij p δ ij S ij δ ij se se i i j j compoete idrostatica di sforzo compoete deviatorica di sforzo p p p p p p Deviatore di Sforzo Pressioe Idrostatica p ( ) S ( I II III )
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 7 Stato di sforzo piao sim. sim.
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 8 Stato di sforzo piao Ivariati di Sforzo I ± II Sforzi Pricipali Pressioe Idrostatica p Deviatore di sforzo S
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 9 Stato di sforzo piao α cos( cos( α α x cosα ) x ) cos(9 α) cosα siα Compoete di α parallela ad α : α α r cos( rα x cos( rα x α ) cos(9 α) si α ) cosα cosα T cosα α { cosα si α} si α cos α si α si αcosα Compoete di α ortogoale ad α : r T { si α cosα} α ( α cosα si α )si αcosα (cos α si ) α
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Stato di sforzo piao siα cosα cos α si si α α cosα cos α ( cosα ) si α ( cosα ) cos α si α ( )si αcosα si αcosα (cos α si α) ( ) ( )cos α si α ( )si α cos α
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Stato di sforzo piao ( ) ( )cosα siα ( )si cos α α Elevado al quadrato le due relazioi e sommadole si ha: ( c ) R ( ) c R 4 Equazioe di ua circofereza el piao,co cetro el puto (c,) e raggio R
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Stato di sforzo piao Cerchio di Mohr ( c ) R ( 4 c R ) Per u dato stato di sforzo piao i u certo puto P, il cerchio di Mohr forisce le compoeti ormale e tageziale di questo stato di sforzo su ua qualsiasi giacitura el puto.
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 Stato di sforzo piao Cerchio di Mohr A(, ) B, ) ( positiva se oraria positiva se di trazioe Esistoo due giaciture ortogoali su cui la tesioe tageziale è ulla queste giaciture defiiscoo le direzioi pricipali I, II c ± su queste giaciture agiscoo gli sforzi pricipali I e II R tgα *
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 4 Stato di sforzo piao Cerchio di Mohr Le tesioi tageziali massime si trovao su giaciture ruotate di 45 rispetto alle giaciture pricipali max I II Gli sforzi pricipali I e II soo il massimo e il miimo tra gli sforzi ormali sulle ifiite giaciture
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 5 Esempio Determiare gli sforzi pricipali e le direzioi pricipali del seguete stato t di sforzo Cerchio di Mohr A( MPa, MPa) B ( 5MPa, MPa) c. 5 ( ) R. 5 4 α Sforzi pricipali c R 5MPa I II c R MPa Direzioi pricipali arctg.46 rad 6. 5 * o
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 6 Esempio Determiare gli sforzi pricipali e le direzioi pricipali del seguete stato di sforzo Cerchio di Mohr A ( 4MPa, 5MPa) c 7. 5 B( 5MPa, 5MPa) ( ) R. 4 4 α * Sforzi pricipali I c R 4. 9MPa c R 4. MPa II Direzioi pricipali arctg.9rad. 9 o
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 7 dxdx dx) x dx dx Equazioi di Equilibrio ( dx dx dxdx dx dx Equilibrio alla traslazioe i direzioe x ( dx dx dx dxdx ( dx ) dxdx x ( dx dxdx x dxdx ) dxdx x F dx dx dx F x x
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 8 dxdx Equazioi di Equilibrio ( dx dx dxdx dx) x dx dx ( dx dxdx x dxdx ) Equilibrio alla traslazioe i direzioe x dxdx F dx dxdx dxdx ( dx ) dxdx F x x x x
POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI A.A. 7-8 9 Equazioi Idefiite di Equilibrio F x x x sul volume V F x x x F x x x f Equazioi di Equilibrio al cotoro sulla superficie S f f f f