V. TRASLAZIONE ROTAZIONE NELLO SPAZIO

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Ευάγγελος Βασιλικός
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1 V. TRASLAZIONE ROTAZIONE NELLO SPAZIO

2 Traslazione Rotazione nello Spazio Cap.V Pag. TRASLAZIONE La nuova origine O ha coseni direttori α, β, γ ; OA ( α, β, γ ; A( α', β ', ' ( γ OA x + y cos β + z A x' ' + y' cos β ' + z' ' OA x OA cos β y OA z x' x + O y' y + O cos β z' z + O A' y' x + O OA + O A cos β ' y' y + O cos β OAcos β + O cos β A ' z' z + O OA + O A ( OA cos α + O cos α cos α' + ( OA cos β + O cos β cos β' + ( OA cos γ + O cos γ cos γ ' OA(cos α' cos α + cos β' cos β + cos γ ' cos γ + O (cos α' cos α + cos β' cosβ + cos γ ' cos γ * O ' A OA + Ocosϕ * posto quindi: cosσ + cos β cos β + cos γ cos γ per cui σ ϕ + δ cioe' A OA cos( σ ϕ + O cos( σ δ che sviluppata con la regola del Parallelogramma che conosciamo darà: Acosσ OAcosϕ + O OAsenϕ + Osenδ tanσ Asenσ OAsenϕ + O senδ OAcosϕ + O Oppure applicando Carnot avrò: O ' A O + OA + O OAcos( ϕ + δ O + OA + OOAcosσ

3 Traslazione Rotazione nello Spazio Cap.V Pag. ROTAZIONE Dati i cos.dir. di X,Y,Z rispetto al riferimento Oxyz come da figura, sia: OA X cos α + Y cos β + Z cos γ OA x cos α' + y cos β' + z cos γ ' Sarà: OA cos α' x X cos α + Y cos α + Z cos α *] OA cos β' y X cos β + Y cos β + Z cos β OA cos γ' z X cos γ + Y cos γ + Z cos γ OA X(cos α cos α' + cos β cos β' + cos γ cos γ ' + + Y(cos α cos α' + cos β cos β' + cos γ cos γ ' + + Z(cos α cos α' + cos β cos β' + cos γ cos γ ' X cos α + Y cos β + Z cos γ Nell esempio di figura sotto (rotazione di un ε intorno all asse x utilizzando la *] di sopra abbiamo: OA cos α' x X cos + Y cos 9 + Z cos 9 X OA cosβ' y X cos 9 + Y cos ε + Z cos(9 ε Y cos ε + Zsen ε OA cos γ' z X cos 9 + Y cos(9 + ε + Z cos ε Z cos ε Ysen ε

4 Traslazione Rotazione nello Spazio Cap.V Pag. ROTO-TRASLAZIONE Distanza OO (α,β,γ Punto A: in O :( X, Y, Z α, β, γ ; ( x, y, z α', β ', γ ' in :( X ', Y ', Z' α' ', β '', γ '' In Figura è tracciato solo X,x,X per semplicità. OA X + Y cos β + Z OA x ' + y cos β ' + z ' A X ' ' ' + Y' cos β '' + Z' '' asse OX rispetto OY OZ (, cos β, (, cos β, (, cos β, Oxyz e O X Y Z sono traslati tra loro per cui gli assi (X' e x,(y' e y, (Z' e z hanno rispettivamente gli stessi coseni direttori. A' ' X ' O + ( X + Y + Z * Acos β '' Y ' O cos β + ( X cos β + Y cos β + Z cos β Eq.di Vag A '' Z' O + ( X + Y + Z Questa Eq. di Vag sviluppata: a* A O ( ' + '' + + X ( ' + '' + + Y ( ' + '' + + Z( ' + ''

5 Traslazione Rotazione nello Spazio Cap.V Pag. 4 ROTO-TRASLAZIONE (CONTINUA La retta r ( A r per O e' la retta parallela al segmento A. I cos.dir.di A nel sistema di riferimento OXYZ sono dati dagli stessi angoli di ciascun asse X,Y,Z con r (A r. Nel sistema abbiamo che i cos.dir. di A e quindi di r (A r e di X,Y,Z sono: ( ' + cos γ cos γ '' cosϕ (angolo tra ( ' + '' ( ' + cos γ cos γ '' ( ' + cos γ cos γ '' ( δ angolo tra asse X e ( δ ( δ O e A Y Z r A r(a quindi δ, δ, δ sono cos.dir di A rispetto al riferimento O. Possiamo allora scrivere la a* precedentemente vista: * O ' A Ocosϕ + ( X + Y + Z * Sostituendo nel secondo membro tra parentesi X OA, Y OAcos β, Z OA si avrà: r OA( + cosβ + cos δ OA (angolo tra OA e A r(a * A O cos ϕ + OA cos δ * Ug. (Lo sviluppo di questa Ug. in Eq. di Vag l abbiamo visto prima nel capitolo TRASLAZIONE

6 Traslazione Rotazione nello Spazio Cap.V Pag. 5 ROTO-TRASLAZIONE (CONTINUA Si osservi che l'ultima Uguaglianza vista e' identica a quella relativa alla TRASLAZIONE,dove al posto di ' e' posto, di cosβ', di '. Che le due espressioni siano uguali e' logico ove si consideri che in effetti i triangoli AO di entrambe, sono risolti mediante il teorema delle proiezioni. La loro diversità e' a monte; che nella TRASLAZIONE gli assi dei due sistemi sono paralleli, mentre nella ROTO-TRASLAZIONE no, e tale fatto implica un passaggio in più, per arrivare alla stessa formula. Diciamo che la loro differenza non e' nella espressione finale ma nella loro storia. Interpretiamo dunque l'espressione: A O cos ϕ + OA cos δ per A OA ROTAZIONE se i cos.dir. di OA sono diversi nei due sistemi di riferimento. fatto A non coincidente con OA TRASLAZIONE se i cos.dir. di OA e A sono uguali in entrambi i sistemi di riferimento. ROTO-TRASLAZIONE se i cos.dir. di OA e A sono diversi in entrambi i sistemi di riferimento.

7 Traslazione Rotazione nello Spazio Cap.V Pag. 6 LA DISTANZA O ' A Da ROTO-TRASLAZIONE * Pag. si faccia i quadrati di: [ O + ( X + Y + Z ] ( O + ( X + Y + Z [ O cos β + ( X cos β + Y cos β + Z cos β ] ( O cos β + ( X cos β + Y cos β + Z cos β [ O + ( X, + Y + Z ] ( O + ( X + Y + Z + O ( X + Y + Z + Ocos β ( X cos β + Y cos β + Z cos β + O ( X + Y + Z Prendendo il secondo membro di ciascun binomio che è al quadrato: ( X + Y + Z + ( X cosβ + Y cosβ + Z cosβ + ( X + Y + Z sommando e raccogliendo i fattori comuni e semplificando X + Y + Z + XY ( + cos β cos β XZ( + cos β cos β YZ ( + cos β cos β + poichè i prodotti dei coseni direttori non sono che il coseno degli angoli formati dagli assi che sappiamo essere uguale a 9, essi sono uguali a zero, per cui l'espressione sopra si riduce a: X + Y + Z + XY cos 9 + XY cos 9 + YZ cos9 X + Y + Z Possiamo quindi scrivere: A O + Y( + cos β cos β + + X + Y + Z [ + O ( X ( + cos β cos β Z( + cos β cos β + E sostituendo i coseni degli angoli (vedi figura: ' O A O + X + Y + Z + O( X cosη + Y cosη + Z cosη ]

8 Traslazione Rotazione nello Spazio Cap.V Pag. 7 Dunque i cos.dir. di O rispetto al riferimento OXYZ sono: cosη cosη cosη Possiamo pertanto scrivere: A O O + X + OA + Y + Z + O OAcosσ + O OA( cosη + cos β cosη + cosη che e' la stessa formula vista in TRASLAZIONE essendo σ l'angolo r r tra OA e O. Ma nella traslazione avevamo che σ ϕ + δ ; mentre ora cosσ ( cosη + cos β cosη + cosη e diventa una TRASLAZIONE se η α η β η γ per effetto del parallelismo degli assi.

9 Traslazione Rotazione nello Spazio Cap.V Pag. 8 ANGOLI DEI COSENI DIRETTORI (RIASSUNTO assi OX OY OZ x α α α y β β β rispetto ad O z γ γ γ rispetto ad ES.: cos.dir. dell'asse OX nel riferimento : OX (,cos β, di x rispetto ad O: O x(,, cos ' α riferito ad O riferito ad OA α, β, γ α', β', γ' Ar(A δ,δ,δ α, β, γ O η,η,η α, β, γ O e A ϕ Angolo tra O eoa ε OA e A δ ciascuno di questi angoli e' dato per cos.dir. di uno stesso riferimento cartesiano cos ϕ cos α cos σ cos α riferimento cos α + cosβ cosβ + cos γ cos α ' + cos β cosβ ' + cos γ cos γ cos γ' cos δ cos αcos α ' + cos βcos β ' + cos γcos γ' riferimento O cosη + cosη + cosη cosη + cosη cos β + cosη + cos β +

10 Traslazione Rotazione nello Spazio Cap.V Pag. 9 IL PIANO NELLO SPAZIO (COME ROTO-TRASLAZIONE Sia la roto-traslazione di O rispetto ad (come da figura. Posto Z il sistema O si riduce ad un riferimento cartesiano su un piano e poichè l'asse Z e' perpendicolare a tale piano i suoi cos.dir. sono gli stessi cos.dir. della distanza di tale piano dall'origine. A C p c cos α c + c cos βc + c cos γ c Eq. di Vag x cos α' ' + y cosβ' ' + z cos γ' ' OA X cos α + Y cos β + Z cos γ Essendo Z, il punto A e' nel piano XoY dato dalla distanza pc e si riduce: * OA X cos α + Ysen α Xsen β + Y cosβ* (sen α cosβ ĈO CÔZ 9 L'Eq. di A da quanto visto nella roto-traslazione di Pag. 4 *, con Z e': O A O cosϕ + X + Y O cosϕ + OA( + senα ' O cosϕ + OA Se OA rappresenta una figura di centro O, in un piano nello spazio, essa avrà valori X e Y sul piano XOY che la determinano. Se per esempio OA e' la distanza di una Ellisse avremo sul piano X q (cos. dir. α β γ rispetto a O Y msenα (cos. dir. α β γ rispetto a O e XOY 9 e le uguaglianze, essendo OZ(zero: A A O cos O cos ϕ + ϕ + [(q cos α cos δ + (msenα cos δ ] q cos α + m sen α cos δ oppure (*di Pag. 4

11 Traslazione Rotazione nello Spazio Cap.V Pag. Mentre in forma esplicita: A cos α' ' O cos α + (q cos α cos α + msenα cos α A cosβ' ' O cosβ + (q cos α cosβ + msenα cosβ A cos γ' ' O cos γ + (q cos α cos γ + msenα cos γ O cos µ C p Se consideriamo: O O senµ CO Eq.di con cos µ cos α C cos α + cos β C cos β + cos γ C cos γ cioè l angolo tra O O e O C nella nostra Eq. di Vag possiamo sostituire O in funzione della distanza del piano dall'origine. Se indichiamo l'eq. di Vag con p O ' A O cosϕ + OA cosϕ + OA per µ C O cos µ l'equazione diventa (per cos δ cos(9-ωsen ϕ O ' A p cos ϕ + OAsen ϕ già vista nel capitolo il piano nello spazio. p cos µ Vag

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