Integrali doppi: esercizi svolti

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Δείμος Μανωλάς
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1 Integrali doppi: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali doppi sugli insiemi specificati: a) + ) d d,, ) R : < <, < < [ ] b) + ) d d,, ) R :, [ 8 ] c) d d,, ) R : < <, < < [ ] d) + d d,, ) R : < + < 4, >, > [ 4] e) f) d d, d d,, ) R : + <, + <, >, ) R : + <, >, > [ ] 5 48 [ ] 6

Calcolare i seguenti integrali doppi sugli insiemi specificati: a) + ) d d,, ) R : < <, < < [ ]

2 Integrali doppi: esercizi svolti g) ) d d,, ) R : < <, < < [ ] 6 6 h) log ) d d,, ) R : < <, 4 < < [5 log ] *i) log d d,, ) R : 4 < <, < < [ 6 log 4] l) m) + ) d d,, ) R :, 4 [log 5 log 4] + d d,, ) R : < <, < < ] [ arctan 4 arctan log log 5 log n) sin d d,, ) R : < <, < < [ ] o) p) d d,, ) R : + < + d d,, ) R : + 4 < [] [ ] 56 9 q) r) + ) d d,, ) R : < + < 4, >, > [ ] d d,, ) R : + <, + <, < [ ]

] [ arctan 4 arctan + 4 4 log 7 + 4 log 5 log n) sin d d,, ) R : < <, < < [ ] o) p) d d,, ) R : + < + d

3 Integrali doppi: esercizi svolti s) + ) d d,, ) R : + < 4, >, > )] + [ 4 9 Svolgimento a) Consideriamo l integrale + ) d d, dove, ) R : < <, < < Fig. : L insieme in azzurro). L insieme è -semplice. Quindi si ha che + ) d d [ + ] b) Consideriamo l integrale d [ ] + ) d d [ ) [ + d + ) d d, dove ) + ] d, ) R :,. ) ].

4 4 Integrali doppi: esercizi svolti Fig. : L insieme è il quadrato. L insieme è sia -semplice che -semplice. Si ha che + ) d d [ + ] d [ + ) ] d d + 7 ) [ d + 7 ] 8. c) Consideriamo l integrale d d, dove, ) R : < <, < < Fig. : L insieme in azzurro).

5 Integrali doppi: esercizi svolti 5 L insieme è -semplice. Quindi si ha che d d [ ] d [ d ] d 5) d [ ] 6 6. d) Consideriamo l integrale d d, dove +, ) R : < + < 4, >, > Fig. 4: L insieme in azzurro). L insieme è sia -semplice che -semplice. Osserviamo che presenta una simmetria radiale. Possiamo quindi passare in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi Allora Φ : ρ cos ϑ ρ sin ϑ,, ) Quindi si ha che Φ ), dove ρ, ϑ, det J Φ ρ, ϑ) ρ. < ρ < < ϑ <. ρ, ϑ) R : < ρ <, < ϑ <. Ne segue che + d d ρ cos ϑ sin ϑ dρ dϑ

L insieme è sia -semplice che -semplice. Osserviamo che presenta una simmetria radiale.

6 6 Integrali doppi: esercizi svolti essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda prodotto di una funzione in ρ e di una di ϑ si ottiene ) ) ρ dρ cos ϑ sin ϑ dϑ [ ρ ] [ sin ϑ] 4. / Fig. 5: L insieme in verde). e) Consideriamo l integrale d d, dove, ) R : + <, + <, > Fig. 6: L insieme in azzurro).

dρ cos ϑ sin ϑ dϑ [ ρ ] [ sin ϑ] 4. /.5.5.5.5 Fig. 5: L insieme in verde).

7 Integrali doppi: esercizi svolti 7 Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi ρ cos ϑ Φ : ρ, ϑ, det J Φ ρ, ϑ) ρ. ρ sin ϑ, Allora, ) < ρ < < ρ < cos ϑ < ϑ <. Quindi si ha che Φ ), dove, con ρ, ϑ) R : < ρ <, < ϑ < ρ, ϑ) R : < ρ < cos ϑ,, ϑ <..5 ρ / /.5 θ Fig. 7: L insieme, con in rosso) e in verde). Ne segue che d d ρ cos ϑ sin ϑ dρ dϑ ρ cos ϑ sin ϑ dρ dϑ + ρ cos ϑ sin ϑ dρ dϑ essendo sia che ρ-semplici e la funzione integranda prodotto di una funzione in ρ e di una di ϑ, si ottiene ) ρ dρ cos ϑ sin ϑ dϑ ) [ ] cos ϑ + cos ϑ sin ϑ ρ dρ dϑ

5 θ Fig. 7: L insieme, con in rosso) e in verde).

8 8 Integrali doppi: esercizi svolti [ ] 4 ρ4 + 4 [ sin ϑ] f) Consideriamo l integrale [ ] cos ϑ + cos ϑ sin ϑ 4 ρ4 dϑ cos 5 ϑ sin ϑ dϑ + 4 [ 6 cos6 ϑ d d, dove ], ) R : + <, >, > Fig. 8: L insieme in azzurro). Essendo la parte del I quadrante inclusa nell ellisse di equazione + passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poniamo quindi Allora Φ : ρ cos ϑ ρ sin ϑ, ρ, ϑ, det J Φ ρ, ϑ), ) < ρ < < ϑ <. Quindi si ha che Φ ), dove ρ, ϑ) R : < ρ <, < ϑ <. ρ., Ne segue che d d ρ cos ϑ sin ϑ dρ dϑ

Essendo la parte del I quadrante inclusa nell ellisse di equazione + passiamo in coordinate ellittiche nel piano.

9 Integrali doppi: esercizi svolti 9 θ / ρ Fig. 9: L insieme in verde). essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda prodotto di una funzione in ρ e di una di ϑ si ottiene ) ) ρ dρ cos ϑ sin ϑ dϑ [ ] 4 ρ4 [ sin ϑ] 6. g) Consideriamo l integrale ) d d, dove, ) R : < <, < < Fig. : L insieme in azzurro). L insieme è -semplice. Quindi si ha che ) d d [ ] ) d d

funzione in ρ e di una di ϑ si ottiene ) ) ρ dρ cos ϑ sin ϑ dϑ [ ] 4 ρ4 [ sin ϑ] 6.

10 Integrali doppi: esercizi svolti h) Consideriamo l integrale [ )] d + ) d [, ) R : log ) d d, dove ) ) d + 4 ] < <, 4 < < / 4 5 Fig. : L insieme è la parte di piano delimitata dall iperbole in blu) e dalle rette 4 in rosso) e in nero). L insieme è -semplice. Quindi si ha che [ ] log ) d d log ) d d 4 integrando per parti [ ] log ) 4 4 d ) d 4 log 4 ) + 4 d integrando per parti 4 [ log 4 ] ) [ d + log + ]

: L insieme è la parte di piano delimitata dall iperbole in blu) e dalle rette 4 in rosso) e in nero).

11 Integrali doppi: esercizi svolti 4 log + ) + log 5 log. 8 *i) Consideriamo l integrale log d d, dove, ) R : 4 < <, < < Fig. : L insieme è la parte di piano delimitata dalle parabole in blu), 4 in nero) e dalle iperboli in rosso) e in fucsia). L insieme si può scomporre nell unione di un numero finito di insiemi -semplici o -semplici aventi a due a due in comune al più dei segmenti del piano. Tuttavia procedendo in questo modo risulta assai arduo il calcolo dell integrale. Pertanto conviene procedere come segue. Osserviamo che è contenuto nel I quadrante. Pertanto per ogni, ) si ha che, >. Quindi, ) 4 < <, < <. Poichè anche la funzione integranda f, ) log contiene il termine, conviene operare il seguente cambiamento di variabili: u Ψ : v, ).,

L insieme si può scomporre nell unione di un numero finito di insiemi -semplici o -semplici aventi a due a due in comune al più dei segmenti del piano.

12 Integrali doppi: esercizi svolti Evidentemente < u <,, ) < v < 4. In realtà a noi interessa il cambiamento di variabili inverso. Posto quindi Φ Ψ, ricavando e in funzione di u e v, si ottiene u v u Φ : < u <, < v < 4. u v, Resta da calcolare il determinante della matrice Jacobiana di Φ. dell inversione locale si ha che det J Φ u, v) det J Ψ u, v) det J Ψ Φu, v))). Dal Teorema Si ha che J Ψ, ) Quindi u u, ) v v, ) ), ), ) ) det J Ψ, ). det J Φ u, v) v. Si ha che Φ ), dove u, v) R : < u <, < v < 4. v 4 u Fig. : L insieme in azzurro).

u v, Resta da calcolare il determinante della matrice Jacobiana di Φ.

13 Integrali doppi: esercizi svolti L integrale diventa log d d log v v du dv essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi u e v e la funzione integranda prodotto di una funzione di u per una funzione di v, si ottiene ) 4 ) log v du dv [ ] u v [ 4 v] log 6 log 4. l) Consideriamo l integrale d d, dove + ), ) R :, Fig. 4: L insieme è il quadrato. L insieme è sia -semplice che -semplice. Si ha che + ) d d [ 4 ] + ) d d [ ] 4 d + + ) [ ] d log + log + 4 log 5 log m) Consideriamo l integrale d d, dove +, ) R : < <, < <.

l) Consideriamo l integrale d d, dove + ), ) R :, 4. 4 4 Fig. 4: L insieme è il quadrato. L insieme è sia -semplice che -semplice.

14 4 Integrali doppi: esercizi svolti Fig. 5: L insieme in azzurro). L insieme è -semplice. Quindi si ha che + d d integrando per parti [ ] + d d [ + ) d [ arctan d arctan arctan ) d )] [ ] arctan arctan ) + 4 ) + d arctan 4 arctan + 4 [ 4 log + 4 ) log + )] arctan 4 arctan log log 5 log. ] d n) Consideriamo l integrale, ) R : sin d d, dove < <, < <.

Quindi si ha che + d d integrando per parti [ ] + d d [ + ) d [ arctan d arctan arctan ) d )]

15 Integrali doppi: esercizi svolti 5 Fig. 6: L insieme in azzurro). L insieme è -semplice. Quindi si ha che sin [ sin ] [ ] sin d d d d d sin d [ ] cos. o) Consideriamo l integrale d d, dove, ) R : + <. Osserviamo che sia che f, ) presentano una simmetria rispetto ad entrambi gli assi. In particolare si ha che, ), >, ), f, ) f, ). Quindi Essendo che,): d d, ) R :,): < ) d d. d d., ) R : < ), si ha

o) Consideriamo l integrale d d, dove, ) R : + <.

16 6 Integrali doppi: esercizi svolti Fig. 7: L insieme in azzurro). p) Consideriamo l integrale + d d, dove, ) R : + 4 <. 4 5 Fig. 8: L insieme in azzurro). Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi Φ : ρ cos ϑ ρ sin ϑ, ρ, ϑ, det J Φ ρ, ϑ) ρ. Allora, ) < ρ < 4 cos ϑ < ϑ <.

17 Integrali doppi: esercizi svolti 7 Quindi si ha che Φ ), dove ρ, ϑ) R : < ρ < 4 cos ϑ, < ϑ <. ρ 4 / / θ Fig. 9: L insieme in verde). Ne segue che + d d ρ dρ dϑ essendo ρ-semplice e la funzione integranda prodotto di una funzione in ρ e di una di ϑ si ottiene ) 4 cos ϑ ρ dρ dϑ integrando per parti 64 [ ] sin ϑ cos ϑ [ ] 4 cos ϑ ρ dϑ 64 cos ϑ dϑ ) + cos ϑ sin ϑ dϑ 8 [ ϑ] sin q) Consideriamo l integrale + ) d d, dove, ) R : < + < 4, >, >.

Ne segue che + d d ρ dρ dϑ essendo ρ-semplice e la funzione integranda prodotto di una funzione in ρ e di una

18 8 Integrali doppi: esercizi svolti Fig. : L insieme in azzurro). Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi ρ cos ϑ Φ : ρ sin ϑ, ρ, ϑ, det J Φ ρ, ϑ) ρ. Allora, ) < ρ < < ϑ <. Quindi si ha che Φ ), dove ρ, ϑ) R : < ρ <, < ϑ <. Ne segue che + ) ) d d ρ cos ϑ + ρ sin ϑ dρ dϑ essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda somma di prodotti di funzioni di ρ e di funzioni di ϑ, si ottiene ) ) ρ dρ cos ϑ dϑ + ρ dρ ) sin ϑ dϑ ) [ ] ρ [ ] [ sin ϑ + 4 ρ4 ] [ ϑ sin ϑ cos ϑ) ]

Ne segue che + ) ) d d ρ cos ϑ + ρ sin ϑ dρ dϑ essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda somma

19 Integrali doppi: esercizi svolti 9 / Fig. : L insieme in verde). r) Consideriamo l integrale + d d, dove, ) R : + <, + <, <. Fig. : L insieme in azzurro). Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi Φ : ρ cos ϑ ρ sin ϑ, ρ, ϑ, det J Φ ρ, ϑ) ρ.

20 Integrali doppi: esercizi svolti Allora, ) < ρ < < ρ < sin ϑ < ϑ <. Quindi si ha che Φ ), dove, con ρ, ϑ) R : < ρ <, ρ, ϑ) R : < ρ < sin ϑ, < ϑ < 5 6, 5 6 ϑ <. ρ / 5/6 θ Fig. : L insieme, con in rosso e in verde. Ne segue che + d d ρ cos ϑ dρ dϑ ρ cos ϑ dρ dϑ + ρ cos ϑ dρ dϑ essendo sia che ρ-semplici e la funzione integranda prodotto di una funzione di ρ e di una di ϑ si ottiene, si ottiene ) ) 5 ρ 6 dρ [ ] sin ϑ cos ϑ dϑ + cos ϑ ρ dρ dϑ 5 6 [ ] 4 ρ4 [ ] 5 6 sin ϑ [ ] sin ϑ + cos ϑ ρ4 dϑ

21 Integrali doppi: esercizi svolti s) Consideriamo l integrale cos ϑ sin 4 ϑ dϑ [ ϑ] sin ) d d, dove 5 6, ) R : + < 4, >, >. Fig. 4: L insieme in azzurro). Essendo la parte del I quadrante inclusa nell ellisse di equazione + 4 passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poniamo quindi, Φ : ρ cos ϑ ρ sin ϑ, ρ, ϑ, det J Φ ρ, ϑ) 6ρ. Allora, ) < ρ < < ϑ <. Quindi si ha che Φ ), dove ρ, ϑ) R : < ρ <, < ϑ <. Ne segue che + ) d d ρ ) 6ρ cos ϑ + ρ sin ϑ dρ dϑ

22 Integrali doppi: esercizi svolti θ / ρ Fig. 5: L insieme in verde). essendo un rettangolo con lati paralleli agli assi ρ e ϑ e la funzione integranda somma di prodotti di funzioni di ρ e di funzioni di ϑ, si ottiene 4 4 [ ρ ] ) ) ρ dρ cos ϑ dϑ + 4 [ ] sin ϑ + 4 [ ρ ] ) ) ρ dρ sin ϑ dϑ [ ] cos ϑ 4 ) +. 9

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