ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Τα προβλήµατα των Μαθηµατικών χωρίζονται στις παρακάτω βασικές κατηγορίες : Κατηγορία 1η : Αναζητούν έναν άγνωστο Ονοµάζουµε χ αυτόν που αναζητούµε Εκφράζουµε µε την βοήθεια της µεταβλητής χ τα δεδοµένα της άσκησης Βρίσκουµε µια ισότητα µεταξύ των µεγεθών αυτών (σε αυτό βοηθάει ο παρακάτω πίνακας) Λύνουµε την εξίσωση Εξετάζουµε αν η λύση ανταποκρίνεται στο πρόβληµα Ο παρακάτω πίνακας µας δείχνει πως οι εκφράσεις των προβληµάτων µετατρέπονται σε αλγεβρικές σχέσεις πράξεις. ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ - ΛΕΞΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ Μεγαλύτερο - Περισσότερο + Μικρότερο - Λιγότερο - ν πλάσιο του χ νχ Ελαττώνουµε - Αυξάνουµε + Βρίσκουµε Μας δίνει Είναι = Τετράγωνο του χ χ Άθροισµα + (πρόσθεση) ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 1 3/11/009
ιαφορά Γινόµενο Πηλίκο - (αφαίρεση) (πολ/σµός) : (διαίρεση) Αντίστροφος του χ 1 Αντίθετος του χ Τουλάχιστον α Το πολύ έως α Αύξηση α% Μείωση α% Το β διαιρεί το α και δίνει υπόλοιπο υ - χ α α α Ποσό 1+ 100 α Ποσό 1 100 α = κ β + υ, όπου 0 υ<β ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Να βρείτε ένα αριθµό τέτοιο ώστε το 8/πλάσιό του να είναι κατά 1 µεγαλύτερο από το τετράγωνό του. Βρείτε ένα αριθµό Το 8/πλάσιό του Έστω χ ο ζητούµενος αριθµός Να είναι = 8χ Κατά 1 µεγαλύτερο +1 Από το τετράγωνό του χ Η εξίσωση είναι 8= 1+ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 3/11/009
Επίλυση 8 1 = 0 + = ( 1) 8 1 0 + = 8 1 0 1= 6 & =. Αν προσθέσουµε από έναν αριθµό τον αντίστροφό του βρίσκουµε. Ποιος είναι ο αριθµός αυτός; Ποιος είναι ο αριθµός αυτός Ένας αριθµός Έστω χ=; ο ζητούµενος αριθµός Προσθέσουµε + Τον αντίστροφό του 1 Βρίσκουµε = Η εξίσωση είναι 1 + = Επίλυση χ 1 + = + = = 1 1 + = 1 0 (δεκτή) Κατηγορία η : Αναζητούν δύο αγνώστους Ονοµάζουµε, y τους αγνώστους που ζητάει το πρόβληµα ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 3 3/11/009
Βρίσκουµε µια προφανής σχέση που τα συνδέει και την λύνουµε ως προς έναν άγνωστο (συνηθίζεται ως προς y) Επίσης βρίσκουµε µια άλλη σχέση που συνδέει τα, y και αντικαθιστούµε στο y την προηγούµενη σχέση Έχουµε µια εξίσωση µε έναν άγνωστο χ που την λύνουµε κατά τα γνωστά (αν είναι 1ου βαθµού χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους, αν είναι ου βαθµού φέρνουµε όλους τους όρους σε ένα µέλος) Αφού βρούµε το χ, το αντικαθιστούµε στο βήµα και βρίσκουµε τον άλλο άγνωστο στο y Εξετάζουµε αν οι λύσεις είναι δεκτές, ανάλογα αν ικανοποιούν το µέγεθος που εκφράζουν (πχ. αν εκφράζουν τα, y πλευρές τότε πρέπει να είναι θετικά, αλλιώς δεν τις δεχόµαστε τις τιµές) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Το γινόµενο δύο αριθµών είναι 585 και η διαφορά τους 4. Βρείτε τους αριθµούς. Βρείτε τους αριθµούς Η διαφορά τους είναι 4 Λύνουµε την σχέση ως προς y, yοι ζητούµενοι αριθµοί y= 4 y= 4 (1) Το γινόµενο τους 585 y= 585 Αντικαθιστούµε στο y την σχέση (1) ( 4) = 585 ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 4 3/11/009
Λύνουµε την εξίσωση 4= 585 4 585= 0 α=1 β= -4 γ= -585 =β 4 αγ= ( 4) 4( 585) = 916 Εύρεση 1, β± 4± 916 4± 54 = = = α 1= 15 και = 39 Η σχέση (1) γίνεται: του y Για χ=15 τότε y= 15 4= 9 Για χ=-39 τότε y= 39 4= 63. Αν το άθροισµα δύο αριθµών είναι 14 και το άθροισµα των τετραγώνων τους είναι 106, τότε βρείτε τους αριθµούς. Βρείτε τους αριθµούς Το άθροισµα τους είναι 14 Την λύνουµε Έστω, y η ζητούµενοι αριθµοί + y= 14 ως προς y y= 14 (1) Το άθροισµα των τετραγώνων είναι 106 + y = 106 Αντικαθιστούµε την σχέση (1) + (14 ) = 106 ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 5 3/11/009
Λύνουµε την εξίσωση Εύρεση του y 196 8 106 + + = + = 8 196 106 0 8+ 90= 0 (:) 14+ 45= 0 1= 9 & = 5 Η σχέση (1) γίνεται: Αν χ=9 τότε: y= 14 9= 5 Αν χ=5 τότε: y= 14 5= 9 Κατηγορία 3η : Προβλήµατα µε σχήµατα Όταν έχουµε σχήµα που ζητούνται κάποια µεγέθη τότε πρέπει να γνωρίζουµε τα εξής: Πυθαγόρειο Θεώρηµα σε ορθογώνιο τρίγωνο Τύποι εµβαδών όλων των σχηµάτων Τύποι περιµέτρων όλων των σχηµάτων Τύποι όγκων παραλληλεπιπέδων σχηµάτων Σχέσεις πλευρών µηκών Σχέσεις γωνιών Θεώρηµα Θαλή, αν έχουµε παράλληλες ευθείες Τριγωνοµετρία Ιδιότητες ισοσκελούς, ισόπλευρου τριγώνου Προσέχουµε όταν βρίσκουµε το χ να ικανοποιεί τις τιµές των πλευρών (αν µας δίνει αρνητικές τιµές τότε την απορρίπτουµε) ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 6 3/11/009
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Να υπολογίσετε το χ στο διπλανό σχήµα. χ = µια πλευρά του ορθογωνίου Άγνωστος Τι θα εφαρµόσουµε; Πυθαγόρειο Θεώρηµα Η εξίσωση είναι (+ ) = + (+ 1) Επίλυση εκτή. Να βρείτε το χ στο διπλανό σχήµα + 4+ 4= + + + 1 + + = ( 1) 4 4 1 0 + + = 3 0 3= 0 1= 3 & = 1 Μόνο η = 3που µας δίνει θετικές πλευρές Η χ= -1 δεν είναι δεκτή αφού δεν γίνεται πλευρά να είναι αρνητική ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 7 3/11/009
Άγνωστος Τι θα εφαρµόσουµε; Εξίσωση Λύνουµε εκτή χ = βάση τριγώνου Εµβαδόν τριγώνου (+ 1) E= (+ 1) 105= 10= + + = 10 0 + = 10 0 15 1= = 8 15 Η = δεκτή αφού µας δίνει θετικές πλευρές, ενώ η χ = - 8 απορρίπτεται αφού µας δίνει αρνητική πλευρά Κατηγορία 4η : Προβλήµατα Φυσικής Στα προβλήµατα που εµφανίζονται όροι ταχύτητα, χρόνος, απόσταση κ.τ.λ λέγονται Προβλήµατα Φυσικής. Τα κυριότερα που πρέπει να κάνουµε είναι Ε.Ο.Κ (ευθύγραµµη οµαλή κίνηση) ( ΤΑΧϒΤΗΤΑ ) = ( ΑΠΟΣΤΑΣΗ) ( ΧΡΟΝΟΣ) ( u= ) t Αν έχουµε δύο κινητά (πχ. αυτοκίνητο, πεζός) εφαρµόζουµε τον παραπάνω τύπο ξεχωριστά, αντικαθιστούµε κατάλληλα τα δεδοµένα και µετά τις συνδυάζουµε τις σχέσεις ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 8 3/11/009
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Μια βάρκα κατεβαίνει ένα ποτάµι και διανύει απόσταση 9Km. Στην επιστροφή διανύσει απόσταση 8,5km. Το ταξίδι «πήγαινε έλα» διήρκησε 5h. Να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας, αν η ταχύτητα του ρεύµατος του ποταµού είναι,5km/h «Πήγαινε» Στοιχεία: Ταχύτητα βάρκας χ=; Ταχύτητα ποταµού,5 km/h Απόσταση 9 km (ίδιας φοράς) Χρόνος t 1 «ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ» Στοιχεία: Ταχύτητα βάρκας χ=; Ταχύτητα ποταµού,5 km/h (αντίθετης φοράς) Απόσταση 8,5 km Χρόνος t Να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας ιαδικασία του «πήγαινε» χ = ; (χ>0) ( ΑΠΟΣΤΑΣΗ) ( ΤΑΧϒΤΗΤΑ ) = ( ΧΡΟΝΟΣ) 9 9 +,5= t1= t +,5 1 ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 9 3/11/009
ιαδικασία της «επιστροφής» Το ταξίδι «πήγαινε έλα» διήρκησε 5 h Η εξίσωση είναι Επίλυση εκτή Επαλήθευση ( ΑΠΟΣΤΑΣΗ) ( ΤΑΧϒΤΗΤΑ ) = ( ΧΡΟΝΟΣ) 8,5 8,5,5= t = t,5 t + t = 5 1 9 8,5 + = 5 +,5,5 5 57,5 30= 0 1= 1 & = 0,5 Η ταχύτητα είναι 1 km/h. Ένας πιλότος οδηγώντας µε σταθερή ταχύτητα το αεροπλάνο του καλύπτει µία απόσταση 600 km. Αν είχε αυξήσει την ταχύτητα του κατά 40km/h θα χρειαζόταν µισή ώρα λιγότερο για να καλύψει την ίδια απόσταση. Να βρεθεί η ταχύτητα του αεροπλάνου Να βρεθεί η ταχύτητα του αεροπλάνου Οδηγώντας µε σταθερή ταχύτητα το αεροπλάνο καλύπτει απόσταση 600 (αρχικά) Αν είχε αυξήσει την ταχύτητα του κατά 40km/h Καλύψει την ίδια απόσταση Τύπος σε αυτήν περίπτωση (τελικά) Θα χρειαζόταν µισή ώρα λιγότερο χ = ; (για >0) ( ΑΠΟΣΤΑΣΗ) ( ΤΑΧϒΤΗΤΑ ) = ( ΧΡΟΝΟΣ) 600 600 = t1= t1 χ+40 (Απόσταση) = 600 km ( ΑΠΟΣΤΑΣΗ) ( ΤΑΧϒΤΗΤΑ ) = ( ΧΡΟΝΟΣ) 600 600 + 40= t = t + 40 t t = 30 min 1 t t = 0,5h 1 ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 10 3/11/009
Εξίσωση εκτή 600 600 = 0,5 + 40 600(+ 40) 600 = 0,5(+ 40) + = 1= 00 & = 40 40 4800 0 Η ταχύτητα του αεροπλάνου είναι 00 km/h Κατηγορία 5 η : Προβλήµατα µε αναγωγή στην µονάδα Είναι η πιο δύσκολη κατηγορία και αναφέρεται στα προβλήµατα που αναφέρονται σε ένα σύνολο (π.χ. τάξη, εκσκαφείς, βρύσες, παιδιά) και ζητούνται στοιχεία από αυτό το σύνολο. Το χαρακτηριστικό όλων αυτών των περιπτώσεων είναι η «αναγωγή στην µονάδα» δηλαδή τι ποσό αντιστοιχεί στο ένα, άρα η πράξη που θα κάνουµε θα είναι διαίρεση. Για την καλύτερη κατανόηση αυτής της κατηγορίας δείτε τα παρακάτω παραδείγµατα και µεθοδολογία. Όταν ένα ποσό Α αναφέρεται σε ένα σύνολο χ, τότε για βρούµε πόσο αντιστοιχεί στην µονάδα παίρνουµε το πηλίκο ( ΠΟΣΟ ) A = ΣϒΝΟΛΟ Το παραπάνω το βρίσκουµε εύκολα και µε την «µέθοδο των τριών» ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Μια τάξη ενοικίασε για εκδροµή ένα πούλµαν 40. Επειδή µαθητές αρρώστησαν, το εισιτήριο αυξήθηκε για τους υπόλοιπους κατά 50 λεπτά στον καθένα. Πόσοι µαθητές πήγαν στην εκδροµή και πόσο πλήρωσε ο καθένας; Πόσοι µαθητές πήγαν εκδροµή; Πόσο θα πλήρωναν οι µαθητές που πήγαν εκδροµή; χ = οι µαθητές που πήγαν εκδροµή, άρα χ+ = είναι όλοι µαθητές της τάξης 40 ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 11 3/11/009
Πόσο θα πλήρωνα οι µαθητές 40 που είναι στην τάξη; + Το εισιτήριο αυξήθηκε για 40 τους µαθητές της εκδροµής + + 0,50 κατά 50 λεπτά Εξίσωση 40 40 = + 0,50 + Επίλυση χ=30 & χ= -3 χ =30 µαθητές θα πάνε εκτή εκδροµή και θα πληρώσουν 40 40 = = 8 30. ύο εκσκαφείς χρειάζονται 1 µέρες για ένα έργο, όταν εργάζονται µαζί. Ο ένας µόνος του χρειάζεται 7 µέρες περισσότερο από τον άλλο. Πόσες µέρες χρειάζεται µόνος του ο καθένας για να τελειώσει το έργο; Πόσες µέρες θα τελειώσει το έργο; Σε µια µέρα; Ο άλλος χρειάζεται 7 ηµέρες περισσότερες ύο εκσκαφείς χρειάζονται 1 ηµέρες για ένα έργο Εξίσωση Επίλυση = οι µέρες που χρειάζεται ο ένας για να τελειώσει το έργο Τελειώνει 1 του έργου σε µια µέρα χ+7 ηµέρες και για να τελειώσει το έργο χρειάζεται 1 7 + για µια µέρα Για µια µέρα χρειάζονται 1 1 αν δουλέψουν µαζί (πρόσθεση) 1 1 1 + = + 7 1 17 84= 0 = 1 & = 4 ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 1 3/11/009
εκτή χ = 1 ηµέρες χρειάζεται ο ένας εκσκαφής και 1+7=8 ηµέρες ο άλλος εκσκαφέας ΓΕΝΙΚΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε έναν αριθµό τέτοιον ώστε το γινόµενό του µε τον κατά 5 µικρότερό του είναι 964. Να βρείτε δύο αριθµούς που έχουν διαφορά 1 και γινόµενο 35 3. Να βρείτε δύο αριθµούς που έχουν γινόµενο 384 και άθροισµα 44 4.Το άθροισµα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθµού είναι 9, ενώ το άθροισµα των τετραγώνων των ψηφίων του είναι 41. Ποιος είναι ο αριθµός αυτός; 5. Σε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο η κάθετη πλευρά είναι κατά 3 cm µικρότερη από τη βάση. Να υπολογίσετε το εµβαδό του και το ύψος του 6. Οι πλευρές δύο κύβων διαφέρουν κατά cm, ενώ οι όγκοι τους διαφέρουν κατά 386 cm 3. Να βρείτε τις πλευρές τους. 7. Αν αυξήσουµε τη µια πλευρά ενός τετραγώνου κατά 4,5 cm και ελαττώσουµε την άλλη κατά 3,5 cm, προκύπτει ένα ορθογώνιο µε εµβαδό 513 cm. Ποια είναι η πλευρά του τετραγώνου; 8. ύο ευθείες λεωφόροι διασταυρώνονται κάθετα. Αν δύο αυτοκίνητα αποµακρύνονται συγχρόνως από την διασταύρωση µε ταχύτητες 54 km/h και 7 km/h αντιστοίχως, να βρείτε µετά από πόσα δευτερόλεπτα θα απέχουν 0,5 km. 9. ύο ποδηλάτες διανύουν µια απόσταση 60 km µε µέσες ταχύτητες που διαφέρουν κατά 5 km/h. Ο ένας ποδηλάτης ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 13 3/11/009
χρειάζεται 1 h περισσότερο από τον άλλο. Να βρεθούν οι ταχύτητες. 10. Μια τάξη ενοικίασε για εκδροµή ένα πούλµαν 40. Επειδή µαθητές αρρώστησαν, το εισιτήριο αυξήθηκε για τους υπόλοιπους κατά 50 λεπτά στον καθένα. Πόσοι µαθητές πήγαν στην εκδροµή και πόσο πλήρωσε ο καθένας; 11. Το άθροισµα του αριθµητή και του παρονοµαστή ενός κλάσµατος είναι 100. Αν προσθέσουµε στον αριθµητή 18 και αφαιρέσουµε από τον παρανοµαστή 16, βρίσκουµε κλάσµα διπλάσιο από το αρχικό. Να βρεθεί το αρχικό κλάσµα. 1. Για µια διαδροµή 18 Km ένας ποδηλάτης χρειάζεται h 3 λιγότερο από έναν πεζό, αφού ο ποδηλάτης τρέχει 9 Km/h περισσότερο. Να βρείτε τις ταχύτητες τους. 13. ύο εκσκαφείς χρειάζονται 1 µέρες για ένα έργο, όταν εργάζονται µαζί. Ο ένας µόνος του χρειάζεται 7 µέρες περισσότερο από τον άλλο. Πόσες µέρες χρειάζεται µόνος του ο καθένας για να τελειώσει το έργο; 14.Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 34 cm. Να βρείτε τα µήκη των κάθετων πλευρών του όταν η µία κάθετη είναι µεγαλύτερη από την άλλη κάθετη κατά 14 cm. 15. Το τετράγωνο ενός αριθµού είναι µεγαλύτερο από το οκταπλάσιο του αριθµού αυτού κατά 0. Ποιος είναι ο αριθµός; 16. Ένα τετραγωνικό οικόπεδο έχει ίδιο εµβαδό µε ένα οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου. Το µήκος του δεύτερου είναι διπλάσιο από το µήκος του πρώτου ενώ το πλάτος του δευτέρου είναι κατά 5cm µικρότερο από το µήκος το πρώτου. Να βρείτε τις διαστάσεις των οικοπέδων. 17. Έστω δύο ορθογώνια µε το µήκος του δευτέρου διπλάσιο από το µήκος του πρώτου, ενώ το πλάτος του δευτέρου είναι ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 14 3/11/009
ελαττωµένο κατά cm από το πλάτος του πρώτου. Αν τα εµβαδά τους διαφέρουν κατά 3cm βρείτε τις διαστάσεις τους. 18. Ένας εργάτης συµφώνησε να τελειώσει ένα έργο σε 63 ώρες µε την εξής συµφωνία: «για κάθε δουλείας να παίρνει 8 και για κάθε ώρα που θα κάθεται να πληρώνει πρόστιµο 10». Πόσες ώρες δουλειάς δούλεψε τελικά αν πήρε: i. 306 ii. δεν πήρε τίποτα iii. πλήρωσε 18 19. Τα έξοδα µιας παρέας που πήγε στα µπουζούκια στον Νότη Σφακιανάκη ήταν 100. Επειδή 3 άτοµα δεν πλήρωσαν, επιβαρύνθηκαν οι υπόλοιποι 90 επιπλέον ο καθένας. i. Πόσα άτοµα πήραν µέρος στο γεύµα; ii. Πόσα πλήρωσε ο καθένας; 0. Μια εξωλέµβιος βάρκα µάρκας Mercury κινείται στον ούναβη µε ταχύτητα 8 km/h και διανύει 15 km έχοντας την ίδια κατεύθυνση µε την κατεύθυνση του ρεύµατος. Στον ίδιο χρόνο διανύει 9 km έχοντας κατεύθυνση αντίθετη µε αυτή του ρεύµατος του νερού. Ποια είναι η ταχύτητα του ρεύµατος το νερού; (Οι ταχύτητες θεωρούνται σταθερές) 1. Στην κατασκευή ενός «κοµµατιού» της Αττικής οδού παίρνουν µέρος 8 εργάτες και οδηγοί διαφόρων µηχανηµάτων. Κάθε οδηγός µηχανήµατος παίρνει την ηµέρα 45 περισσότερο από κάθε εργάτη. Όλοι οι οδηγοί µηχανηµάτων κερδίζουν 600 την ηµέρα και όλοι οι εργάτες κερδίζουν επίσης 600 την ηµέρα. i. Να βρεθεί ο αριθµός των εργατών και των οδηγών ii. Βρείτε τα ηµεροµίσθια των εργατών και των οδηγών. Ο Τοτός αγόρασε ύφασµα και έδωσε 90. Εάν µε αυτά τα χρήµατα αγόραζε 6 µέτρα επιπλέον, τιµή του µέρου θα ήταν 0,50 λεπτά µικρότερη. Πόσα µέτρα υφάσµατος αγόρασε; ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 15 3/11/009
3. Μια δεξαµενή αδειάζει µε την βοήθεια δύο βρυσών. Όταν οι δύο βρύσες τρέχουν ταυτόχρονα, η δεξαµενή αδειάζει σε 15 ώρες. Η µία από τις βρύσες, όταν τρέχει µόνη της, χρειάζεται 16 ώρες περισσότερες απ ό,τι η άλλη βρύση, για ν αδειάσει τη δεξαµενή. Να βρείτε σε πόσο χρόνο αδειάζει τη δεξαµενή καθεµία βρύση χωριστά. 4. ύο εργάτες εργάστηκαν µε διαφορετικά ηµεροµίσθια. Ο πρώτος µετά από εργασία λίγων ηµερών πήρε 960, ενώ ο δεύτερος, ο οποίος εργάστηκε 6 ηµέρες λιγότερο, πήρε 540. Εάν ο δεύτερος εργάτης εργαζόταν όλες τις ηµέρες και ο πρώτος εργάτης 6 ηµέρες λιγότερο, τότε θα έπαιρναν το ίδιο ποσό. Πόσες ηµέρες εργάστηκε κάθε εργάτης και ποιο ήταν το ηµεροµίσθιό του; 5. Να χωρίσετε τον αριθµό 8 σε δύο µέρη αριθµούς, αν διαιρεθεί το µεγαλύτερο µέρος δια του µικρότερου, να προκύψει πηλίκο και υπόλοιπο 16. 6. Τα δύο ορθογώνια παραλληλόγραµµα έχουν ίσα εµβαδά. Να βρεθεί ο και η διαφορά των περιµέτρων τους 7. Να βρείτε δύο αριθµούς που έχουν άθροισµα 38 και γινόµενο 105. 8. Το γινόµενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθµών είναι 40. Να βρείτε τους αριθµούς 9. Να βρείτε το χ αν το παρακάτω σχήµα έχει εµβαδόν 16 cm. ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 16 3/11/009
30. Να βρείτε δύο αριθµούς που έχουν διαφορά 8 και γινόµενο -04. 31. Αν στο τετράγωνο ενός αριθµού προσθέσουµε το τριπλάσιο του θα βρούµε το 4. Ποιος είναι ο αριθµός. 3. Να βρείτε δύο αριθµούς που έχουν άθροισµα 1 και γινόµενο -40. 33. Να βρείτε δύο διαδοχικούς ακεραίους αριθµούς που το άθροισµα των τετραγώνων τους είναι 85. 34. Το γινόµενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθµών είναι 55. Να βρείτε τους αριθµούς. 35. Να βρείτε δύο αριθµούς που έχουν διαφορά 10 και γινόµενο -60. 36. Να βρείτε δύο αριθµούς που να έχουν γινόµενο 30 και άθροισµα 11. 37. Να βρείτε δύο αριθµούς που έχουν άθροισµα 13 και γινόµενο 40. 38. Αν στο τετράγωνο ενός αριθµού προσθέσουµε το διπλάσιο του και το 3 βρίσκουµε 38. Να βρείτε τον αριθµό. 39. Να βρείτε το χ στο παρακάτω σχήµα ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 17 3/11/009
40. Να βρείτε δύο αριθµούς που έχουν διαφορά 10 και γινόµενο 31. 41. Αν στο τριπλάσιο ενός αριθµού προσθέσουµε το τετράγωνό του βρίσκουµε 70. Ποιος είναι ο αριθµός; 4. Να βρείτε δύο αριθµούς των οποίων το άθροισµα είναι 10 και η διαφορά των τετραγώνων τους είναι 40. 43. Το γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι 506. Να βρείτε του αριθµούς. 44. Να βρείτε δύο αριθµούς που έχουν διαφορά 4 και η διαφορά των τετραγώνων τους είναι 56. 45. Το τετράγωνο ενός αριθµού είναι ίσο µε το πενταπλάσιό του ελαττωµένο κατά 6. Ποιος είναι ο αριθµός. ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 18 3/11/009