ΜΕΡΟΣ Α: Απαραίτητες γνώσεις

ΜΕΡΟΣ Α: Απαραίτητες γνώσεις Φίλτρα RC Τα φίλτρα RC είναι από τις σπουδαίες εφαρμογές των πυκνωτών. Τα πιο απλά φίλτρα αποτελούνται από έναν πυκνωτή και μία αντίσταση σε σειρά. Με μια διαφορετική ματιά μπορούμε να ισχυριστούμε ότι τα απλά φίλτρα αποτελούνται από έναν διαιρέτη τάσης. Οι συνηθισμένοι διαιρέτες τάσης (δηλ. αυτοί που περιλαμβάνουν δύο αντιστάσεις) αντιμετωπίζουν τα συνεχή και τα εναλλασσόμενα σήματα με τον ίδιο τρόπο. Αυτό συμβαίνει επειδή οι αντιστάσεις είναι εξαρτήματα που δεν αποθηκεύουν ενέργεια και συνεπώς η τρέχουσα κατάσταση τους δεν εξαρτάται από την προγενέστερη (με απλά λόγια «οι αντιστάσεις δεν θυμούνται την ιστορία τους»). Η εμπέδηση ενός πυκνωτή Η εμπέδηση ενός πυκνωτή μεταβάλλεται με τη συχνότητα. Όπως είναι προφανές ένας πυκνωτής λειτουργεί σαν διακόπτης σε ένα συνεχές σήμα. Όταν λέμε ότι ένα εναλλασσόμενο σήμα μπορεί να περάσει μέσα από έναν πυκνωτή εννοούμε ότι εάν εμφανιστεί μια κυμάτωση της τάσης στον ένα οπλισμό του πυκνωτή, τότε θα εμφανιστεί και μια κυμάτωση της τάσης στον άλλο. Απαραίτητη συνθήκη για να κατορθώσει να περάσει μια κυμάτωση τάσης μέσα απ τον πυκνωτή είναι να διαρκεί τόσο λίγο ώστε να μην επιτρέπει στον πυκνωτή να φορτιστεί μέσα στο χρόνο διάρκειας της. Με άλλα λόγια οι γρήγορες κυματώσεις περνάνε ενώ οι αργές απορροφώνται. Η εμπέδηση ενός πυκνωτή δίνεται από τη σχέση Xc=-j/ωC = -j/2πfc Διαιρέτες τάσης RC Η συμπεριφορά ενός διαιρέτη τάσης (φίλτρο) που αποτελείται από αντίσταση και πυκνωτή περιγράφεται από τα εξής γενικά χαρακτηριστικά: 1. Αρχικά, πρέπει να αναγνωρίσουμε τι κάνει το φίλτρο στις ακραίες συχνότητες (δηλαδή σε πολύ ψηλές και πολύ χαμηλές) και 2. Θα πρέπει να υπολογιστεί η συχνότητα στην οποία το φίλτρο αρχίζει να αποκόπτει το σήμα της εισόδου. H συχνότητα αυτή ονομάζεται συχνότητα καμπής ή γονάτου ή αποκοπής ή συχνότητα -3dΒ και η τιμή της είναι άμεσα εξαρτώμενη από τον πυκνωτή και την αντίσταση ως εξής F =. Στη συχνότητα αυτή ο λόγος v /v έχει τιμή περίπου το 70.7% της μέγιστης τιμής του. Στο βαθυπερατό φίλτρο (αυτό που επιτρέπει να περάσουν οι χαμηλές συχνότητες αλλά όχι οι υψηλές) αύξηση της συχνότητας σημαίνει μείωση του πλάτους του σήματος εξόδου. H γραφική τους απεικόνιση δίνεται παρακάτω Στο υψιπερατό φίλτρο (αυτό που επιτρέπει να περάσουν οι υψηλές συχνότητες αλλά όχι οι χαμηλές) αύξηση της συχνότητας σημαίνει αύξηση του πλάτους του σήματος εξόδου. H γραφική τους απεικόνιση δίνεται παρακάτω ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 1 ~

Αντίσταση εσόδου και εξόδου σε ένα φίλτρο RC Όταν ένα σήμα τάσης πρόκειται να περάσει από μια μονάδα Α σε μια μονάδα Β ένας πρακτικός κανόνας που πρέπει να ισχύει ανάμεσα στην αντίσταση εξόδους της Α και την αντίσταση εξόδου της Β είναι R B =10R A. Ο κανόνας αυτός είναι απαραίτητος έτσι ώστε το σήμα να μην απορροφηθεί από τη μονάδα Β. Με τον ίδιο τρόπο εάν το φίλτρο Α πρόκειται να οδηγήσει το φίλτρο Β θα πρέπει να ικανοποιεί το εμπειρικό κανόνα της δεκαπλάσιας αντίστασης. Εάν αυτός ο κανόνας δεν ισχύει τότε όχι μόνο το σήμα θα απορροφηθεί αλλά και η απόκριση συχνοτήτων θα αλλάξει. Ποια είναι η αντίσταση εξόδου ενός φίλτρου; Για μια αυστηρή απάντηση κανείς θα πρέπει να εφαρμόσει το κανόνα του Thevenin. Σύμφωνα με αυτόν η ισοδύναμη αντίσταση ενός κυκλώματος προκύπτει από την ολική αντίσταση όταν βραχυκυκλωθούν οι πηγές τάσης. Ένας άλλος πιο γρήγορος τρόπος είναι να ρωτήσει κανείς τις χειρότερες τιμές για τις αντιστάσεις εισόδου και εξόδου. «Πόσο κακή μπορεί να είναι η R IN ;» Που σημαίνει πόσο μικρή μπορεί να γίνει; «Πόσο κακή μπορεί να γίνει η R OUT ;» Που σημαίνει πόσο μεγάλη μπορεί να γίνει: Η απάντηση και στα δύο ερωτήματα είναι R. Αυτό σημαίνει ότι κανείς μπορεί εύκολα να κατασκευάσει μια αλυσίδα από διαδοχικά κυκλώματα αρκεί να ακολουθεί τον κανόνα της δεκαπλάσιας αντίστασης μεταξύ του προηγούμενου και του επόμενου. Αλλαγή φάσης Εάν το πλάτος της εισόδου είναι παραπλήσιο με το πλάτος της εξόδου τότε η διαφορά φάσης είναι περίπου 0 ο. Εάν η τάση της εξόδου είναι πολύ μικρή τότε η διαφορά φάσης είναι σημαντική (90 ο είναι η μέγιστη). Προκειμένου να μετρήσουμε τη διαφορά φάσης εισάγουμε στο σήμα εισόδου στο CH1 του παλμογράφου και το σήμα εξόδου στο CH2. H διαφορά φάσης (φ) σε μοίρες, δίνεται από τη μέτρηση Δt μεταξύ των δύο κυματομορφών, στηριζόμενοι στις παρακάτω σχέσεις : φ = 360 fδt για το βαθυπερατό φ = 360 fδt για το υψηπερατό ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 2 ~

Πρόβλημα: Έστω ότι σας δίνεται ένα ημιτονικό σήμα με περίοδο 60ms που όμως έχει σαν θόρυβο ένα σήμα υψηλής συχνότητας. 10 5 0-0,10-0,05 0,00 0,05 0,10 B A -5-10 1. Να σχεδιαστεί το κατάλληλο κύκλωμα ώστε να καθαρίσει το σήμα από το θόρυβο. 2. Αν η αντίσταση φορτίου είναι 100KΩ να βρεθεί η αντίσταση R του κυκλώματος. 3. Να επιλεγεί η συχνότητα αποκοπής που πρέπει να έχει το φίλτρο. 4. Να βρεθεί η τιμή της χωρητικότητας C. 5. Πόσο απορροφάται ο θόρυβος από το φίλτρο; 6. Να βρεθεί η αντίσταση εισόδου a) σε πολύ χαμηλές συχνότητες, b)σε πολύ υψηλές συχνότητες, c) ε συχνότητα -3dB. 7. Τι θα γίνει εάν η αντίσταση φορτίου γίνει 10KΩ; ΛΥΣΗ 1. Τα δύο σήματα μπορούν να χωριστούν με τη βοήθεια φίλτρου. Εάν το σήμα περάσει μέσα από ένα φίλτρο χαμηλής διέλευσης τότε στην έξοδο θα υπάρχει μόνο το αργό ημίτονο. 2. Η τιμή της αντίστασης R θα επιλεγεί με βάση το κανόνα της δεκαπλάσιας αντίστασης. Η αντίσταση εξόδου του κυκλώματος είναι R οπότε θα πρέπει να είναι μικρότερη από το 1/10 της αντίστασης φορτίου. Έτσι λοιπόν επιλέγεται R=10KΩ. 3. Επιλογή της συχνότητας αποκοπής (-3dB). Αυτό που γνωρίζουμε είναι ότι θέλουμε να περάσει το σήμα χαμηλής συχνότητας και να απορροφηθεί το σήμα υψηλής συχνότητας. Που θα πρέπει να τοποθετηθεί η συχνότητα 3dB; Κοντά στη συχνότητα του σήματος; Κοντά στη συχνότητα του θορύβου; Η στη μέση της μεταξύ τους απόστασης; Ο στόχος μας είναι να πετύχουμε μια μεγάλη τιμή του κλάσματος σήμα/θόρυβο (Signal/Noise S/N). Αυτό σημαίνει ότι η συχνότητα αποκοπής δεν θα πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο θόρυβο γιατί τότε η απορρόφηση του θορύβου θα είναι μικρή. Τοποθετώντας τη συχνότητα αποκοπής στη μέση της απόστασης των συχνοτήτων σήματος θορύβου βελτιώνεται η κατάσταση. Η καλύτερη ιδέα είναι να τοποθετηθεί η συχνότητα αποκοπής κοντά στη συχνότητα του σήματος. Έστω ότι επιλέγεται συχνότητα αποκοπής η διπλάσια συχνότητα του σήματος: F 3dB =2xF sign δηλαδή F 3dB =2KHz. Τότε στην έξοδο περνάει το 89% του σήματος ενώ παράλληλα απορροφάται σε αρκετό βαθμό το σήμα του θορύβου. 4. Επιλογή της χωρητικότητας. Αυτή γίνεται με άμεσο τρόπο από σχέση τη σχέση F = ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 3 ~

5. Ένας εύκολος τρόπος για να υπολογιστεί η απορρόφηση του θορύβου είναι να μετρήσει κανείς πόσες οκτάβες ή δεκάδες μεσολαβούν ανάμεσα στη συχνότητα αποκοπής και το θόρυβο. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ο θόρυβος είναι 16KHz=8xF. Παρατηρούμε ότι η συχνότητα διπλασιάζεται τρεις φορές ανάμεσα στο θόρυβο και τη συχνότητα αποκοπής. Αυτό σημαίνει ότι το πλάτος του θορύβου απορροφάται κατά ένα συντελεστή 1/8. Αυτή η τιμή είναι μια προσεγγιστική τιμή γιατί κοντά στη συχνότητα αποκοπής η καμπύλη απόκρισης δεν έχει μπει ακόμη στη γραμμική περιοχή και ακόμα στη συχνότητα αποκοπής υπάρχει κάποια απορρόφηση του θορύβου. Κατ εκτίμηση λοιπόν ο θόρυβος στην έξοδο θα είναι ίσος με το 12,5% της τιμής που είχε στην είσοδο. 6. Εάν η αντίσταση φορτίου ήταν 10KΩ τότε η ισοδύναμη αντίσταση Thevenin στο φίλτρο θα ήταν 5ΚΩ. Αυτό θα είχε σαν συνέπεια τη μείωση του πλάτους στην έξοδο αλλά και την μεταβολή της συχνότητας αποκοπής. 7. α) Σε πολύ χαμηλές συχνότητες η αντίσταση εισόδου θα είναι πολύ μεγάλη γιατί ο πυκνωτής θα έχει πολύ μεγάλη εμπέδηση. b) Σε υψηλές συχνότητες η αντίσταση εισόδου θα είναι ίση με R=10K και αυτό γιατί η εμπέδηση του πυκνωτή πλησιάζει το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η αντίσταση R βάζει ένα κάτω όριο στην αντίσταση εισόδου. c) Για τον προσδιορισμό της αντίστασης στα 3dB θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί το διάγραμμα φάσεων. Σε αυτήν τη συχνότητα η εμπέδηση του πυκνωτή είναι ίση με την αντίσταση στο φίλτρο. Οπότε η αντίσταση εισόδου γίνεται R. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για ένα κύκλωμα RC λαμβάνετε διαδοχικές μετρήσεις της τάσης του σήματος εξόδου (με σήμα εισόδου 7Vp-p) όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Συχνότητα (Hz) Σήμα εξόδου (V) 100 0.2 0.03 200 0.7 0.10 500 1.2 0.17 700 1.6 0.23 1000 1.9 0.27 2000 2.6 0.37 5000 3.9 0.56 7000 4.6 0.66 10000 5.5 0.79 12000 6 0.86 15000 6 0.86 17000 6 0.86 20000 6 0.86 α) Να σχεδιαστεί η απόκριση συχνότητας (λόγος v /v συναρτήσει της συχνότητας) β) να βρεθεί η συχνότητα αποκοπής γ) τι είδους φίλτρο έχουμε Απάντηση α) Το ζητούμενο διάγραμμα απεικονίζεται παρακάτω ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 4 ~

Α β) η συχνότητα αποκοπής είναι αυτή στην οποία ο λόγος έχει το 70.7% της τελικής τιμής του. Αρα έχουμε 0.86 x 0.707 = 0.608 που αντιστοιχεί στα 6ΚΗz (σημείο Α στη γραφική παράσταση) γ) Εφόσον με αύξηση της συχνότητας αυξάνει η τάση εξόδου έχουμε υψιπερατό φίλτρο ΜΕΡΟΣ Β: Προεργασία Οι υπολογισμοί σας να παρουσιάζονται 1. Για ένα κύκλωμα RC λαμβάνετε διαδοχικές μετρήσεις της τάσης του σήματος εξόδου (με σήμα εισόδου 10Vp-p) όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Συχνότητα (Hz) Σήμα εξόδου (V) 100 7.8 200 7.8 500 7.8 700 7.8 1000 7.8 2000 7.8 5000 7.8 7000 7.7 10000 7.4 12000 6.8 15000 4.4 17000 2.4 20000 0.8 22000 0.1 25000 0.05 ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 5 ~

α) Να σχεδιαστεί η απόκριση συχνότητας (λόγος συναρτήσει της συχνότητας) β) να βρεθεί η συχνότητα αποκοπής γ) τι είδους φίλτρο έχουμε 2. Θέλετε να διαχωρίσετε ένα ημιτονικό σήμα συχνότητας 4ΚΗz από υψίσυχνο θόρυβο συχνότητας 24ΚΗz. Έχετε στη διάθεση σας δύο βαθυπερατα φίλτρα, των οποίων η απόκριση συχνότητας απεικονίζεται παρακάτω. Ποιο από τα δύο θα διαλέξετε και γιατί? ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 6 ~

ΜΕΡΟΣ Γ: Πορεία Εργασίας ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η : Απεικόνιση περιοδικών σημάτων στον παλμογράφο και μετρήσεις. 1. Καταγράψτε τις ονομαστικές τιμές της αντίστασης και του πυκνωτή που θα σας δοθούν R 1 =.. C 1 =.. 2. Υπολογίστε την ονομαστική συχνότητα καμπής (γονάτου) με βάση τη σχέση F ( ) = F o =. 3. Μετρήστε τις πραγματικές τιμές της αντίστασης και του πυκνωτή R 1Π =.. C 1Π =.. 4. Υπολογίστε την αναμενόμενη συχνότητα αποκοπής με βάση τις πραγματικές τιμές των εξαρτημάτων F ( ) = F 3dB(Π) =. 5. Υλοποιήστε στο breadboard το παρακάτω κύκλωμα ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ Port1 Port2 R1 + Ch1- + Ch2- C1 6. Συνδέστε το probe (με το clip) του παλμογράφου στο CH1 7. Ανάψτε τη γεννήτρια και τον παλμογράφο 8. Ρυθμίστε τη γεννήτρια προκειμένου να σας παρέχει ως είσοδο στο κύκλωμα RC που έχετε, ημιτονικό σήμα, πλάτους 5V (αρα 10V p-p ) και συχνότητας 100Hz. 9. Μετρήστε την τάση εξόδου του κυκλώματος RC. 10. Καταγράψτε τη μέτρηση σας στον Πίνακα 1 και εκτελέστε τους αντίστοιχους υπολογισμούς 11. Μεταβάλλετε τη συχνότητα σύμφωνα με τις τιμές της πρώτης στήλης του πίνακα, μετρήστε τη νέα τάση εξόδου (p-p) και εκτελέστε κάθε φορά τους αντίστοιχούς υπολογισμούς ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 7 ~

Συχνότητα (Hz) 100 200 500 700 1000 2000 5000 7000 10000 12000 15000 17000 20000 22000 25000 27000 30000 Σήμα εξόδου (V) Πίνακας 1 12. Κλείστε τη γεννήτρια και τον παλμογράφο 13. Πραγματοποιήστε τη γραφική παράσταση (στο μιλιμετρε χαρτί που υπάρχει στο τέλος) του λόγου v /v σε συνάρτηση με τη συχνότητα f κάνοντας χρήση των τιμών που υπολογίσατε στον Πίνακα 1. Σημειώστε τη συχνότητα αποκοπής (με βάση τις μετρήσεις του Πίνακα 1) επάνω στη γραφική παράσταση 14. Αποσυνδέστε το κύκλωμα σας 15. Χρησιμοποιήστε τώρα το δεύτερο σετ εξαρτημάτων αντίστασης πυκνωτή και επαναλάβετε τα βήματα 1 έως 11, κατασκευάζοντας στο breadboard το παρακάτω κύκλωμα. Τα αποτελέσματα να καταχωρηθούν στα παρακάτω πλαίσια και στον Πίνακα 2 R 2 =.. C 2 =.. F 3dB(Θ) =. R 2Π =.. C 2Π =.. F 3db(Π) =. ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ Port1 Port2 R2 + Ch1 - + Ch2 - C2 ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 8 ~

Συχνότητα (Hz) 100 200 500 700 1000 2000 5000 7000 10000 12000 15000 17000 20000 22000 25000 27000 30000 Σήμα εξόδου (V) Πίνακας 2 16. Μόλις ολοκληρώσετε τις μετρήσεις σας για τον Πίνακα 2, κλείστε τη γεννήτρια και τον παλμογράφο 17. Πραγματοποιήστε τη γραφική παράσταση (στο ίδιο μιλιμετρε χαρτί που υπάρχει στο τέλος) του λόγου v /v σε συνάρτηση με τη συχνότητα f κάνοντας χρήση των τιμών που υπολογίσατε στον Πίνακα 2. Σημειώστε τη συχνότητα αποκοπής (με βάση τις μετρήσεις του Πίνακα 2) επάνω στη γραφική παράσταση 18. Αποσυνδέστε το κύκλωμα σας 19. Υλοποιήστε στο breadboard το παρακάτω κύκλωμα ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ Port1 Port2 R1 R2 + Ch1- + Ch2- C1 C2 20. Επαναλάβετε τα βήματα 6-11. Τα αποτελέσματα να καταχωρηθούν στα παρακάτω πλαίσια και στον Πίνακα 3 ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 9 ~

Συχνότητα (Hz) 100 200 500 700 1000 2000 5000 7000 10000 12000 15000 17000 20000 22000 25000 27000 30000 Σήμα εξόδου (V) Πίνακας 3 21. Κλείστε τη γεννήτρια και τον παλμογράφο 22. Πραγματοποιήστε τη γραφική παράσταση (στο μιλιμετρε χαρτί που υπάρχει στο τέλος) του λόγου v /v σε συνάρτηση με τη συχνότητα f κάνοντας χρήση των τιμών που υπολογίσατε στον Πίνακα 3. Σημειώστε τη συχνότητα αποκοπής (με βάση τις μετρήσεις του Πίνακα 3) επάνω στη γραφική παράσταση 23. Προκειμένου να μετρήσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ εισόδου-εξόδου θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε και τα δύο κανάλια του παλμογράφου. Εφαρμόστε την τάση εισόδου του κυκλώματος (έξοδος γεννήτριας) στο CH1, την τάση εξόδου στο CH2 (δείτε παρακάτω σχήμα) και στη συνέχεια ανοίξτε τον παλμογράφο και τη γεννήτρια. ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ Port1 Port2 + Ch1- + Ch2- R1 R2 C1 C2 24. Για να εμφανιστούν και τα δύο κανάλια, πατήστε το διακόπτη DUAL 25. Αναγνωρίστε ποια είναι η κυματομορφή εισόδου και ποια η κυματομορφή εξόδου (κάντε χρήση των YPOS ρυθμιστικών) 26. Μετρήστε τη διαφορά φάσης όπως παρουσιάστηκε στο θεωρητικό μέρος (προτιμήστε μέτρηση μεταξύ κορυφών) φ =. ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 10 ~

27. Καταγράψτε παρατηρήσεις σας σχετικά με τη συμπεριφορά των κυκλωμάτων που μελετήσατε. ΑΣΚΗΣΗ 5 η ~ 11 ~