Kent Academic Repository

Kent Academic Repository Full text document (pdf) Citation for published version Meligkotsidou, Loukia and Panopoulou, Ekaterini and Vrontos, Ioannis D. and Vrontos, Spyridon D. (13) Out-of-sample equity premium prediction: A complete subset quantile regression approach. Working paper. Kent Business School https://doi.org/.139/ssrn.335 <https://doi.org/.139/ssrn DOI https://doi.org/.139/ssrn.335 Link to record in KAR https://kar.kent.ac.uk/519/ Document Version Pre-print Copyright & reuse Content in the Kent Academic Repository is made available for research purposes. Unless otherwise stated all content is protected by copyright and in the absence of an open licence (eg Creative Commons), permissions for further reuse of content should be sought from the publisher, author or other copyright holder. Versions of research The version in the Kent Academic Repository may differ from the final published version. Users are advised to check http://kar.kent.ac.uk for the status of the paper. Users should always cite the published version of record. Enquiries For any further enquiries regarding the licence status of this document, please contact: researchsupport@kent.ac.uk If you believe this document infringes copyright then please contact the KAR admin team with the take-down information provided at http://kar.kent.ac.uk/contact.html

Ουτ οφ σαmπλε εθυιτψ πρεmιυm πρεδιχτιον: Α χοmπλετε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον αππροαχη ΛουκιαΜελιγκοτσιδου α,εκατερινιπανοπουλου β,ιοαννισd.ςροντοσ χ,σπψριδονd.ςροντοσ δ α DεπαρτmεντοφΜατηεmατιχσ,ΥνιϖερσιτψοφΑτηενσ,Γρεεχε β ΚεντΒυσινεσσΣχηοολ,ΥνιϖερσιτψοφΚεντ,Χαντερβυρψ,ΥνιτεδΚινγδοm χ DεπαρτmεντοφΣτατιστιχσ,ΑτηενσΥνιϖερσιτψοφΕχονοmιχσανδΒυσινεσσ,Γρεεχε δ DεπαρτmεντοφΜατηεmατιχαλΣχιενχεσ,Υνιϖερσιτψοφ Εσσεξ,ΥνιτεδΚινγδοm Αβστραχτ Τηισ παπερ εξτενδσ τηε χοmπλετε συβσετ λινεαρ ρεγρεσσιον φραmεωορκ το α θυαντιλε ρε γρεσσιον σεττινγ. Wε εmπλοψ χοmπλετε συβσετ χοmβινατιονσ οφ θυαντιλε φορεχαστσ ιν ορδερ το χονστρυχτ ροβυστ ανδ αχχυρατε εθυιτψ πρεmιυm πρεδιχτιονσ. Ουρ ρεχυρσιϖε αλγοριτηm τηατ σελεχτσ, ιν ρεαλ τιmε, τηε βεστ χοmπλετε συβσετ φορ εαχη πρεδιχτιϖε ρεγρεσσιον θυαντιλε συχχεεδσ ιν ιδεντιφψινγ τηε βεστ συβσετ ιν α τιmε ανδ θυαντιλε ϖαρψινγ mαννερ. Wε σηοω τηατ ουρ απ προαχη δελιϖερσ στατιστιχαλλψ ανδ εχονοmιχαλλψ σιγνι χαντ ουτ οφ σαmπλε φορεχαστσ ρελατιϖε το βοτη τηε ηιστοριχαλ αϖεραγε βενχηmαρκ ανδ τηε χοmπλετε συβσετ mεαν ρεγρεσσιον αππροαχη. ϑελ χλασσι χατιον: Γ11; Γ1; Χ; Χ53 Κεψωορδσ: Εθυιτψ πρεmιυm; Φορεχαστ χοmβινατιον; Πρεδιχτιϖε θυαντιλε ρεγρεσσιον; Ρο βυστ ποιντ φορεχαστσ; Συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιονσ. Χορρεσπονδινγ αυτηορ. Εκατερινι Πανοπουλου, Κεντ Βυσινεσσ Σχηοολ, Υνιϖερσιτψ οφ Κεντ, Χαντερβυρψ ΧΤ 7ΠΕ, Υνιτεδ Κινγδοm, Τελ.: 17 9, Εmαιλ: Α.Πανοπουλου κεντ.αχ.υκ.

τρ χτ Τηεισσυεοφφορεχαστινγεθυιτψρετυρνσισονεοφτηεmοστωιδελψδισχυσσεδτοπιχσιντηε νανχε λιτερατυρε mαινλψ δυε το ιτσ χεντραλ ρολε ιν ασσετ πριχινγ, πορτφολιο αλλοχατιον ανδ εϖαλυατιον οφ ινϖεστmεντ mαναγερσ. Τηε ιν σαmπλε πρεδιχτιϖε αβιλιτψ οφ α θυιτε εξηαυστιϖε λιστ οφ ποτεντιαλ πρεδιχτορσ τηατ τψπιχαλλψ χονταινσ ϖαλυατιον ρατιοσ, ϖαριουσ ιντερεστ ρατεσ ανδ σπρεαδσ, διστρεσσ ινδιχατορσ, i ατιον ρατεσ αλονγ ωιτη οτηερ mαχροεχονοmιχ ϖαριαβλεσ, ινδιχατορσ οφ χορπορατε αχτιϖιτψ, ετχ. ωαστηεφοχυσοφτηεεαρλιερστυδιεσ. 1 H ωεϖερ, σινχετηεσεmιναλχοντριβυτιονοφ Γοψαλ ανδ Wελχη ( ωηο σηοω τηατ τηειρ λονγ λιστ οφ πρεδιχτορσ χαν νοτ δελιϖερ χονσιστεντλψ συπεριορ ουτ οφ σαmπλε περφορmανχε, αττεντιον ηασ τυρνεδ το τηε δεϖελοπmεντ οφ ιmπροϖεδ φορε χαστινγmετηοδσινορδερτοεσταβλισητηεεmπιριχαλϖαλιδιτψοφεθυιτψπρεmιυmπρεδιχταβιλιτψ. Το mεντιον α φεω, Χαmπβελλ ανδ Τηοmπσον ( σηοω τηατ ωηεν ιmποσινγ σιmπλε ρεστριχ τιονσ, συγγεστεδ βψ εχονοmιχ τηεορψ, ον πρεδιχτιϖε ρεγρεσσιονs χοe χιεντσ, τηε ουτ οφ σαmπλε περφορmανχε ιmπροϖεσ. Βασεδ ον τηειρ ρεσυλτ, τηε αυτηορσ αργυε τηατ mαρκετ τιmινγ στρατεγιεσ χαν δελιϖερ προ τσ το ινϖεστορσ (see αλσο Φερρειρα ανδ Σαντα Χλαρα ( ) Λυδϖιγσον ανδ Nγ ( 7 ανδ Neeλψ, Ραπαχη, Τυ ανδ Z ου ( αδοπτ α diυσιον ινδεξ αππροαχη, ωηιχη χαν χονϖενιεντλψ τραχκ τηε κεψ mοϖεmεντσ ιν α λαργε σετ οφ πρεδιχτορσ, ανδ τηεψ νδ εϖιδενχε οφ ιmπροϖεδεθυιτψπρεmιυmφορεχαστινγαβιλιτψ. 3 Ιν αν αττεmπτ το ρεδυχε βοτη mοδελ υνχερταιντψ ανδ παραmετερ ινσταβιλιτψ, Ραπαχη, Στραυσσ ανδ Z ( εmπλοψ φορεχαστ χοmβινατιονσ οφ υνιϖαριατε εθυιτψ πρεmιυm mοδελσ ανδ νδ τηατ χοmβινατιονσ οφ ινδιϖιδυαλ σινγλε ϖαριαβλε πρεδιχτιϖε ρεγρεσσιον mοδελσ σιγνι χαντλψ βεατ τηε ηιστοριχαλ αϖεραγε φορεχαστ. Βυιλδινγ ον Ραπαχη, Στραυσσ ανδ Z ( Μελιγκοτσιδου, Πανοπουλου, ςροντοσ ανδ ςροντοσ ( ΜΠςς ηενχεφορτη ινχορπορατε τηε φορεχαστ χοmβινα τιον mετηοδολογψ ιν α θυαντιλε ρεγρεσσιον σεττινγ. Τηειρ θυαντιλε ρεγρεσσιον αππροαχη το εθυιτψ πρεmιυm πρεδιχτιον αλλοωσ τηεm το χοπε ωιτη τηε νον λινεαριτψ ανδ νον νορmαλιτψ παττερνσ τηατ αρε εϖιδεντ ιν τηε ρελατιονσηιπ βετωεεν στοχκ ρετυρνσ ανδ ποτεντιαλ πρεδιχτορσ. Ιν τηισ ωαψ, 1 Χοmmονλψ υσεδ ϖαλυατιον ρατιοσ αρε τηε διϖιδενδ πριχε/διϖιδενδ ψιελδ ρατιο σεε φορ εξαmπλε, Φαmα ανδ Φρενχη, 19, 199, τηε εαρνινγσ πριχε ρατιο Χαmπβελλ ανδ Σηιλλερ, 19, 199, ανδ τηε βοοκ το mαρκετ ρατιο Κοτηαρι ανδ Σηανκεν, 1997. Ανοτηερ στρανδ οφ τηε λιτερατυρε ινχλυδεσ mαχροεχονοmιχ/ νανχιαλ ϖαριαβλεσ συχη ασ ιν ατιον ρατεσ, σηορτ τερm ανδ λονγ τερm ιντερεστ ρατεσ αλονγ ωιτη τερm ανδ χορπορατε βονδ σπρεαδσ ιν τηε σετ οφ πρεδιχτορσ σεε ε.γ. Φαmα ανδ Σχηωερτ, 1977; Χαmπβελλ ανδ ςυολτεεναηο, ; Χαmπβελλ, 197; Φαmα ανδ Φρενχη, 199; Ανγ ανδ Βεκαερτ, 7. Λετταυ ανδ Λυδϖιγσον 1 νδσ τηατ τηε χονσυmπτιον το ωεαλτη ρατιο ηελπσ εθυιτψ πρεmιυm πρεδιχταβιλιτψ, ωηιλε χορπορατε νανχινγ αχτιϖιτψ ισ εξπλοιτεδ ιν Βακερ ανδ Wυργλερ. Α χοmπρεηενσιϖε λιστ οφ ϖαριαβλεσ τηατ σερϖε ασ πρεδιχτορσ χαν βε φουνδ ιν Γοψαλ ανδ Wελχη. Φολλοωινγτηερελατεδλιτερατυρε,εθυιτψπρεmιυmισπροξιεδβψεξχεσσρετυρνσ. 3 Ραπαχηανδ ηου 1ο εραδεταιλεδρεϖιεωοντηεισσυεοφεθυιτψρετυρνπρεδιχταβιλιτψ. 1

ροβυστ ανδ αχχυρατε εθυιτψ πρεmιυm φορεχαστσ αρε προδυχεδ βψ χοmβινινγ α σετ οφ πρεδιχτιϖε θυαντιλε ρεγρεσσιονσ ιν ειτηερ α ξεδ ορ τιmε ϖαρψινγ mαννερ. Α νοϖελ φορεχαστ χοmβινατιον mετηοδ βασεδ ον χοmπλετε συβσετ ρεγρεσσιονσ ισ πυτ φορωαρδ βψ Ελλιοττ, Γαργανο ανδ Τιmmερ mανν 13, ΕΓΤ ηενχεφοr Τηε αυτηορσ προποσε χοmβινινγ φορεχαστσ φροm αλλ ποσσιβλε λινεαρ ρεγρεσσιον mοδελσ τηατ κεεπ τηε νυmβερ οφ πρεδιχτορσ ξεδ. Τηειρ εmπιριχαλ αππλιχατιον ον εθ υιτψ πρεmιυm πρεδιχταβιλιτψ σηοωσ τηατ συβσετ χοmβινατιονσ οφ υπ το φουρ πρεδιχτορσ γενερατεσ συπεριορ φορεχαστ αχχυραχψ. Τηισ παπερ προποσεσ α νεω φορεχαστινγ αππροαχη βασεδ ον χοmπλετε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσ σιονσ. Σπεχι χαλλψ, ωε εξτενδ τηε φραmεωορκ οφ ΕΓΤ το α θυαντιλε ρεγρεσσιον σεττινγ ανδ αδοπτ τηε mετηοδολογψ οφ ΜΠςς το τηισ συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον φραmεωορκ, ιν ορδερ το προδυχε ροβυστ ανδ αχχυρατε εθυιτψ πρεmιυm φορεχαστσ. Ουρ προποσεδ mετηοδολογψ mεργεσ τηρεε στρανδσ οφ τηε λιτερατυρε ον ουτ οφ σαmπλε φορεχαστινγ ανδ, ασ σηοων, εξπλοιτσ τηε βενε τσ εmεργινγ φροm εαχη ονε. Φιρστ, ωε εξπλοιτ τηε αβιλιτψ οφ τηε θυαντιλε ρεγρεσσιον σεττινγ το προδυχε ροβυστ ανδ αχχυρατε ποιντ φορεχαστσ. Σεχονδ, ωε ρεδυχε mοδελ υνχερταιντψ ανδ παραmετερ ινσταβιλιτψ βψ εmπλοψινγ θυαντιλε φορεχαστ χοmβινατιονσ. Φιναλλψ, ωε εmπλοψ χοmπλετε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσ σιονσ ωηιχη ινδυχεσ σηρινκαγε το τηε ρεσπεχτιϖε εστιmατεσ ανδ φυρτηερ ηελπσ ρεδυχε τηε εχτ οφ παραmετερ εστιmατιον ερρορ. Το βε mορε σπεχι χ, ουρ φορεχαστινγ φραmεωορκ ισ ροοτεδ ιν θυαντιλε πρεδιχτιϖε ρεγρεσσιονσ, ωηιχη ηαϖε αττραχτεδ α ϖαστ αmουντ οφ αττεντιον σινχε τηε σεmιναλ παπερ οφ Κοενκερ ανδ Βασ σεττ Εmπιριχαλ χοντριβυτιονσ ιν τηε ελδ οφ νανχε ινχλυδε Βασσεττ ανδ Χηεν 1 Ενγλε ανδ Μανγανελλι, Μελιγκοτσιδου, ςροντοσ ανδ ςροντοσ 1 Χενε!"#ου ανδ Τιmmερmανν 1 Χηυανγ, Κυαν ανδ Λιν ανδ Βαυρ, D$%& ανδ J'*γ Τηε mαιν αδϖανταγε οφ ουρ θυαντιλε ρεγρεσσιον φραmεωορκ λιεσ ιν ιτσ αβιλιτψ το χοπε ωιτη νον λινεαριτψ ανδ νον νορmαλιτψ παττερνσ ιν τηε j!*τ ρελατιονσηιπ βετωεεν εθυιτψ ρετυρνσ ανδ χανδιδατε πρε διχτορσ ε, ιντερ αλια, Γυιδολιν ανδ Τιmmερmανν, 9; Γυιδολιν, +,-1 ΜχΜιλλαν ανδ Ονο, 9; +*κελ, Μαρτιν ανδ.-r3 11 Ροβυστ ποιντ φορεχαστσ οφ τηε εθυιτψ πρεmιυm ορ ανψϖαριαβλεοφιντερεστινγενεραλχανβεχονστρυχτεδασωειγητεδαϖεραγεσοφασετοφθυαντιλε φορεχαστσ βψ εmπλοψινγ ειτηερ ξεδ ωειγητινγ ορ τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmεσ. Ινχορπορατινγ τηε φορεχαστ χοmβινατιον αππροαχη σεε Ραπαχη, Στραυσσ ανδ ου, ιντο ουρ θυαντιλε ρεγρεσσιον σεττινγ ηελπσ ρεδυχε mοδελ υνχερταιντψ ανδ δεαλσ ωιτη παραmετερ ινστα ΣεεαλσοΒυχηινσκψ 5199,1995ανδ Yυ,ΛυανδΣτανδερ 53.

βιλιτψ. 5 ΜΠςςπροποσετωοαλτερνατιϖεωαψστογενερατεφορεχαστσωιτηιντηεθυαντιλερεγρεσσιον σετυπ. Τηε ρστ αππροαχη προχεεδσ βψ ρστ χονστρυχτινγ ροβυστ ποιντ φορεχαστσ φροm α σετ οφ θυαντιλε πρεδιχτιονσ αλλ οφ ωηιχη αρε βασεδ ον τηε σαmε πρεδιχτιϖε ϖαριαβλε. 9:;<= ιτ χοmβινεσ τηε ροβυστ φορεχαστσ οβταινεδ φροm >?@ερεντ πρεδιχτορσ υσινγ σεϖεραλ εξιστινγ χοmβινατιον mετηοδσ ιν ορδερ το προδυχε α ναλ ποιντ φορεχαστ. Τηε σεχονδ αππροαχη χονσιστσ οφ ρστ χοmβινινγ αλλ τηε πρεδιχτιονσ οφ τηε σαmε θυαντιλε οβταινεδ φροm δι@ερεντ σινγλε πρεδιχτορ mοδελ σπεχι χατιονσ, ιν ορδερ το προδυχε χοmβινεδ θυαντιλε φορεχαστσ. Τηεν, ροβυστ ποιντ φορεχαστσ αρε οβταινεδ βψ οπερατινγ ειτηερ α ξεδ ορ α τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmε ον τηε χοmβινεδ θυαντιλε φορεχαστσ. Τηε mετηοδολογιεσ δισχυσσεδ σο φαρ εmπλοψ σινγλε ϖαριαβλε mοδελσ ιν ειτηερ α λινεαρ ορ α θυαντιλε ρεγρεσσιον φραmεωορκ. ΕΓΤ αβστραχτ φροm τηε σινγλε πρεδιχτορ mοδελσ ανδ προποσε χοmβινινγ φορεχαστσ φροm αλλ ποσσιβλε λινεαρ ρεγρεσσιον mοδελσ τηατ κεεπ τηε νυmβερ οφ πρεδιχτορσ ξεδ. Τηειρ αππροαχη ιντροδυχεσ α χοmπλεξ ϖερσιον οφ σηρινκαγε το τηε ρεσπεχτιϖε εστιmατεσ ωηιχη ηελπσ ρεδυχε τηε :@εχτ οφ παραmετερ εστιmατιον ερρορ. ΕΓΤ σηοω τηατ τηε αmουντ οφ σηρινκαγε ινδυχεδ ον λεαστ σθυαρεσ εστιmατεσ φροm συβσετ ρεγρεσσιονσ ισ α φυνχτιον οφ τηε νυmβεροφϖαριαβλεσινχλυδεδιντηεmοδελ AkBανδτηετοταλνυmβεροφαϖαιλαβλεπρεδιχτορσ AΚ BC Γιϖεν τηατ τηε αmουντ οφ σηρινκαγε δεπενδσ ον αλλ τηε λεαστ σθυαρεσ εστιmατεσ, ιτ ϖαριεσ ωιτη εαχη χο:e χιεντ. Μορεοϖερ, τηισ mετηοδολογψ χαν χυρε τηε οmιττεδ ϖαριαβλε βιασ εσπεχιαλλψ ιν χασεσ ωιτη στρονγλψ ποσιτιϖελψ χορρελατεδ ρεγρεσσορσ. Τηε αυτηορσ προποσε χονστρυχτινγ φορεχαστσ βασεδ ον α σιmπλε αϖεραγινγ σχηεmε οφ αλλ τηε ποσσιβλε mοδελσ εmπλοψεδ κεεπινγ τηε νυmβερσ οφ ρεγρεσσορσ ξεδ. Ιν τηισ παπερ, ωε εξτενδ τηε φραmεωορκ οφ ΕΓΤ το τηε θυαντιλε πρεδιχτιϖε ρεγρεσσιον φραmεωορκ δισχυσσεδ αβοϖε. Σιmιλαρλψ το ΕΓΤ, ωε υτιλ?f: ινφορmατιον φροm αλλ τηε πρεδιχτορσ σιmυλτανεουσλψ ιν ορδερ το προδυχε χοmβινεδ θυαντιλε φορεχαστσ φροm αλλ θυαντιλε ρεγρεσσιονσ τηατ κεεπ τηε νυmβερ οφ πρεδιχτορσ ξεδ. Wε αλσο αβστραχτ φροm τηε σιmπλε αϖεραγινγ σχηεmεσ ανδ ιντροδυχε σεϖεραλ εξιστινγ χοmβινατιον σχηεmεσ ιντο ουρ σεττινγ. Τηεν, τηε οβταινεδ θυαντιλε φορεχαστσ αρε σψντη:g?f:δ το προδυχε ροβυστ ποιντ φορεχαστσ οφ τηε ϖαριαβλε οφ ιντερεστ. Τηε εmπιριχαλ νδινγσ οφ βοτη ΕΓΤ ανδ τηε πρεσεντ παπερ συγγεστ τηατ τηε πρεδιχτιϖε περφορmανχε οφ συβσετ ρεγρεσσιονσ ηιγηλψ δεπενδ ον τηε ϖαλυε οφ k. Α φυρτηερ χοντριβυτιον οφ τηισπαπεριστηεδεϖελοπmεντοφαρεχυρσιϖεαλγοριτηmφορσελεχτινγ k ινρεαλτιmε,βασεδοντηε 5 Τιmmερmανν IKπροϖιδεσαδεταιλεδρεϖιεωονφορεχαστχοmβινατιονmετηοδολογιεσ. Σηρινκαγετψπιχαλλψισεmπλοψεδινορδερτολιmιττηενυmβεροφπαραmετερστηατηαϖετοβεεστιmατεδωηεν mανψ ποτεντιαλ πρεδιχτορσ αρε αϖαιλαβλε. Χοντριβυτιονσ το τηισ ελδ ινχλυδε τηε ριδγε ρεγρεσσιον ILοερλ ανδ Κενναρδ, 197K, mοδελ αϖεραγινγ IΒατεσ ανδ Γρανγερ, 199; Ραφτερψ, Μαδιγαν ανδ Lοετινγ, 1997K, βαγγινγ IΒρειmαν, 199K ανδ τηε Λασσο IΤιβσηιρανι, 199K. 3

παστ ηιστορψ οφ εξχεσσ ρετυρνσ ανδ πρεδιχτιϖε ϖαριαβλεσ. Τηε προποσεδ αλγοριτηm ισ α λικελιηοοδ βασεδ mετηοδ τηατ χηοοσεσ τηε βεστ χοmπλετε συβσετ φορ α γιϖεν θυαντιλε ανδ ισ Mεξιβλε ενουγη το αλλοω φορ ϖαριαβιλιτψ οφ τηε σελεχτεδ ϖαλυε οφ O αχροσσ θυαντιλεσ. Ιν τηισ ωαψ, ουρ αππροαχη ινχορπορατεσ ινφορmατιον ον τηε βεστ συβσετ φορ εαχη θυαντιλε οφ τηε ρετυρν διστριβυτιον ιν ρεαλ τιmε ανδ τηεσε opqrstuvθυαντιλε φορεχαστσ αρε αππροπριατελψ χοmβινεδ το δελιϖερ ροβυστ εθυιτψ πρεmιυm φορεχαστσ. Το αντιχιπατε ουρ κεψ ρεσυλτσ, ωε νδ τηατ ουρ χοmπλετε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον φραmεωορκ αχηιεϖεσ συπεριορ πρεδιχτιϖε περφορmανχε, βοτη ιν στατιστιχαλ ανδ εχονοmιχ εϖαλυατιον τερmσ. Μορεινδεταιλ,ουρπροποσεδαππροαχηχανλεαδτοανουτ οφ σαmπλερ οφ WX[\] ^_`UTQRϖετοτηε ηιστοριχαλ αϖεραγε βενχηmαρab ασ οπποσεδ το.] οφ τηε συβσετ λινεαρ ρεγρεσσιον αππροαχη οφ ΕΓΤανδ3.5]οφτηεχοmβινατιοναππροαχηοφΡαπαχη,Στραυσσανδ cfog ^hl\lbx Wηιλεινα λινεαρ ρεγρεσσιον φραmεωορκ, συβσετσ οφ τωο ϖαριαβλεσ ^κ = ) περφορm βεττερ τηαν τηε ρεmαινινγ σπεχι χατιονσ, ιν ουρ θυαντιλε ρεγρεσσιον φραmεωορκ συβσετσ οφ τηρεε ϖαριαβλεσ ^κ = 3) εmεργε ασ συπεριορ. Μορε ιmπορταντλψ, ουρ ρεαλ τιmε ρεχυρσιϖε αλγοριτηm φορ σελεχτινγ κ αχροσσ θυαντιλεσ οφ ρετυρνσ συχχεεδσ ιν ιδεντιφψινγ τηε χορρεχτvϖαλυε οφ κ ωηιχη ισ βοτη τιmε ϖαρψινγ ανδ θυαντιλε ϖαρψινγ. Wηεν εϖαλυατινγ ουρ φορεχαστσ φροm αν εχονοmιχ περσπεχτιϖε ανδ σπεχι χαλλψ φορ α mεαν ϖαριανχε ινϖεστορ, ωε αλσο νεεδ ρετυρν ϖολατιλιτψ φορεχαστσ, ωηιχη ωε χονστρυχτ υσινγ τηε ιντερϖαλ αππροξιmατιον αππροαχη οφ Πεαρσον ανδ Τυκεψ ^\mnwb ανδ α σετ οφ πρεδιχτιϖε θυαντιλεσ. Ουρ εχονοmιχ εϖαλυατιον ρεσυλτσ συγγεστ τηατ αν ινϖεστορ τηατ αδοπτσ ουρ φραmεωορκ χαν γαιν prqttλε βενε τσ ωηιχη ρανγε φροm uxm\] το αν ιmπρεσσιϖε nxh[] περ ψεαρ ρελατιϖε το α ναιϖε στρατεγψ βασεδ ον τηε ηιστοριχαλ βενχηmαρκ περφορmανχε. Τηε ουτλινε οφ τηε παπερ ισ ασ φολλοωσ. Σεχτιον δεσχριβεσ τηε χοmπλετε συβσετ ρεγρεσσιον φραmεωορκ οφ ΕΓΤ ανδ ιντροδυχεσ ιτσ εξτενσιον το τηε θυαντιλε ρεγρεσσιον φραmεωορκ. Τηε προποσεδ mετηοδολογψ φορ ροβυστ εστιmατιον οφ τηε χεντραλ λοχατιον οφ τηε διστριβυτιον οφ ρετυρνσ ισ ουτλινεδ ιν Σεχτιον 3. Σεχτιον πρεσεντσ ουρ εmπιριχαλ νδινγσ, ωηιλε σεχτιον 5 δεσχριβεσ τηε προποσεδ mετηοδολογψ φορ τηε ρεχυρσιϖε σελεχτιον οφ τηε νυmβερ οφ πρεδιχτορσ. Σεχτιον ουτλινεσ τηε εχονοmιχ εϖαλυατιον φραmεωορκ ανδ πρεσεντσ τηε ασσοχιατεδ νδινγσ. Σεχτιον 7 συmmαρrqεσ ανδ χονχλυδεσ.

τ βσ τ α τ ρ σσ σ Ιν τηισ σεχτιον ωε πρεσεντ τηε σετυπ φορ ουρ αναλψσισ. Σεχτιον.1 ουτλινεσ τηε ΕΓΤ χοmπλετε συβσετ ρεγρεσσιονσ φραmεωορκ ανδ Σεχτιον. εξτενδσ τηισ φραmεωορκ το συβσετ θυαντιλε ρεγρεσ σιονσ. Σεχτιον.3 προποσεσ τωο νοϖελ φορεχαστινγ αππροαχηεσ βασεδ ον χοmπλετε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιονσ. vwx yz{ }~τ~σβσ~τρ~ ρ~σσ z σ ΕΓΤ προποσε α νεω mετηοδ φορ χοmβινινγ φορεχαστσ βασεδ ον χοmπλετε συβσετ ρεγρεσσιονσ. Φορ α γιϖεν σετ οφ ποτεντιαλ πρεδιχτορσ, τηε αυτηορσ προποσε χοmβινινγ φορεχαστσ φροm αλλ ποσσιβλε λινεαρ ρεγρεσσιονσ τηατ κεεπ τηε νυmβερ οφ πρεδιχτορσ ξεδ. Φορ Κ ποσσιβλε πρεδιχτορσ, τηερε αρε Κ υνιϖαριατε mοδελσ ανδ ν κ;κ = Κ!=((Κ κ)!κ!) ƒ ερεντ κ ϖαριατε mοδελσ φορ κ Κ: Τηε σετοφmοδελσφορα ξεδϖαλυεοφ κισρεφερρεδτοασαχοmπλετεσυβσετανδτηεαυτηορσπροποσε υσινγ εθυαλ ωειγητεδ χοmβινατιονσ οφ τηε φορεχαστσ φροm αλλ mοδελσ ωιτηιν τηεσε συβσετσ ινδεξεδ βψ κ. Μορε ιν δεταιλ, συπποσε τηατ ωε αρε ιντερεστεδ ιν φορεχαστινγ τηε εθυιτψ πρεmιυm, δενοτεδ βψ ρ τ, υσινγ α σετ οφ Κ πρεδιχτιϖε ϖαριαβλεσ. Φιρστ ωε χονσιδερ αλλ ποσσιβλε πρεδιχτιϖε mεαν ρεγρεσσιονmοδελσωιτηασινγλεπρεδιχτορ,ι.ε. κ=1;οφτηεφορm ρ τ+1 = ι + ι ξ ιτ + τ+1 ; ι=1;:::;κ; ˆ ωηερε ρ τ+1 ισ τηε οβσερϖεδ εξχεσσ ρετυρν ον α στοχκ mαρκετ ινδεξ ιν εξχεσσ οφ τηε ρισκ φρεε ιντερεστ ρατε ατ τιmε τ+1, ξ ιτ αρε τηε Κ οβσερϖεδ πρεδιχτορσ ατ τιmε τ, ανδ τηε ερρορ τερmσ τ+1 αρε ασσυmεδ το βε ινδεπενδεντ ωιτη mεαν Š ρο ανδ ϖαριανχε. Τηε πρεδιχτιϖε mεαν ρεγρεσσιονmοδελσχανβεεστιmατεδυσινγτηεορδιναρψλεαστσθυαρεσ Œ Σ mετηοδβψmιν Ž Š τηε σαmπλε εστιmατε οφ τηε θυαδρατιχ εξπεχτεδ λοσσ, Π Τ 1 τ= (ρ τ+1 ι ι ξ ιτ ), ορ τηε ΜαξιmυmΛικελιηοοδ Μ αππροαχηαφτερσπεχιφψινγτηεπαραmετριχφορmοφτηεερρορδιστριβυ τιον 7. Σιmιλαρλψ,αρεγρεσσιονοφρ τ+1 χανβερυνοναπαρτιχυλαρσυβσετοφτηερεγρεσσορσανδτηεν αϖεραγε τηε φορεχαστσ αχροσσ αλλ κ διmενσιοναλ συβσετσ το προϖιδε τηε φορεχαστ φορ τηε ϖαριαβλε οφ ιντερεστ, ωηερε κ Κ: ΕΓΤ σηοω τηατ ωηιλε συβσετ ρεγρεσσιον χοmβινατιονσ βεαρ σιmιλαριτιεσ 7 Τηεσαmπλεσι ετ δενοτεσανψεστιmατιονσαmπλεεmπλοψεδινουρρεχυρσιϖεφορεχαστινγεξπεριmεντ. Dεταιλσ ον τηε φορεχαστινγ δεσιγν αρε γιϖεν ιν Σεχτιον. 5

το α χοmπλεξ ϖερσιον οφ σηρινκαγε, τηεψ δο νοτ ρεδυχε το σηρινκινγ ΟΛΣ εστιmατεσ. Ρατηερ τηε χο χιεντ τηατ χοντρολσ σηρινκαγε δεπενδσ ον αλλ ΟΛΣ εστιmατεσ, τηε διmενσιον οφ τηε συβσετ ανδ τηε νυmβερ οφ ινχλυδεδ πρεδιχτορσ. Ονλψ ιν τηε χασε οφ ορτηονορmαλ ρεγρεσσορσ δοεσ συβ σετ ρεγρεσσιον ρεδυχε το ριδγε ρεγρεσσιον. Μορεοϖερ, τηε αmουντ οφ σηρινκαγε ιmποσεδ ον εαχη χο χιεντ ερσωιτητηεχο χιεντατηανδ. Μορειmπορταντλψ,τηεαυτηορσσηοωτηατιντηε χασε οφ στρονγλψ χορρελατεδ πρεδιχτορσ, συβσετ ρεγρεσσιον χαν ρεmεδψ τηε οmιττεδ ϖαριαβλε βιασ ανδ ιmπροϖε φορεχαστσ. Wηιλε τηε αυτηορσ υσε εθυαλ ωειγητεδ χοmβινατιονσ οφ φορεχαστσ ωιτηιν εαχη συβσετ αλονγ ωιτη αππροξιmατε Βαψεσιαν Μοδελ Αϖεραγινγ, αλτερνατιϖε ωειγητινγ σχηεmεσ χανβεεmπλοψεδ. Τοτηισενδ, ωεαλσοεmπλοψτηεμεδιαν, τηετριmmεδμεαν, τηεdισχουντ Μεαν Σθυαρεδ Φορεχαστ Ερρορ š ΦΕœ οφ Στοχκ ανδ Wατσον žžÿœ αλονγ ωιτη τηε Χλυστερ χοmβινινγmετηοδ,ιντροδυχεδβψαιολ ανδτιmmερmανν žž œ ªτª σ«βσªτ «α τ ª ρª ρªσσ σ Τηε αβοϖε λινεαρ συβσετ ρεγρεσσιον σπεχι χατιον χαν ονλψ πρεδιχτ τηε mεαν ανδ νοτ τηε εντιρε διστριβυτιον οφ ρετυρνσ ιν τηε εϖεντ τηατ τηε οιντ διστριβυτιον οφ ρ τ+1 ανδ ξ ιτ ισ νοτ βιϖαριατε Γαυσσιαν ανδ, τηερεφορε, τηειρ ρελατιονσηιπ ισ νοτ λινεαρ. Φολλοωινγ τηε λιτερατυρε ον τηε νον λινεαρ ρελατιονσηιπ βετωεεν ρετυρνσ ανδ πρεδιχτορσ ±υιδολιν ανδ Τιmmερmανν, 9; Γυιδολιν, ²³δε,ΜχΜιλλανανδΟνο,9; Χηενανδ ² µ ; ²ενκελ,Μαρτινανδ ¹ ¹º» ž¼¼œωε αδοπτ α mορε σοπηιστιχατεδ αππροαχη το εθυιτψ πρεmιυm φορεχαστινγ βψ εmπλοψινγ πρεδιχτιϖε θυαντιλε ρεγρεσσιον mοδελσ ½ ενκερ ανδ Βασσεττ, 197; Βυχηινσκψ, 199; ¾υ, Λυ ανδ Στανδερ, žž œ. ΙντηισπαπερωεινχορπορατετηεχοmπλετεσυβσετχοmβινατιονφραmεωορκοφΕΓΤινουρ θυαντιλε ρεγρεσσιον σεττινγ. Τηε προποσεδ αππροαχη ισ δεσιγνεδ ασ φολλοωσ. Φιρστ, χονσιδερ σινγλε πρεδιχτορ θυαντιλε ρεγρεσσιον mοδελσ κ = 1œ οφ τηε φορm ρ τ+1 = () ι + () ι ξ ιτ + τ+1 ; ι=1;:::;κ; œ ωηερε (;1)ανδτηεερρορσ τ+1 αρεασσυmεδινδεπενδεντφροmανερρορδιστριβυτιον γ ( ) Ρ ωιτη τηε τη θυαντιλε εθυαλ το, ι.ε. 1 γ ( )δ =. Μοδελ œ συγγεστσ τηατ τηε τη θυαντιλεοφρ τ+1 γιϖενξ ιτ ισθ (ρ τ+1 ϕξ ιτ )= () ι + () ι ξ ιτ,ωηερετηειντερχεπτανδτηερεγρεσσιον Τοκεεπτηεαναλψσισχλεαρ,ΑππενδιξΑ.1προϖιδεσαδεταιλεδδεσχριπτιονοφτηεφορmατιονοφτηεσεωειγητινγ σχηεmεσ.

χοàá χιεντσδεπενδον. Τηε () ι Âσαρελικελψτοϖαρψαχροσσ Âσ,ρεϖεαλινγαλαργεραmουντοφ ινφορmατιον αβουτ ρετυρνσ τηαν τηε πρεδιχτιϖε mεαν ρεγρεσσιον mοδελ ÃÄθυατιον ÅÆÇ Εστιmατορσ οφ τηε παραmετερσ οφ τηε λινεαρ θυαντιλε ρεγρεσσιον mοδελσ ιν ÃÈÆÉ () ι ; () ι, χαν βε οβταινεδ βψ ÊËÌËÊËÍËÌÎτηεσυm Π Τ 1 τ= ρ τ+1 () ι () ι ξ ιτ ;ωηερε (υ)ιστηεασψmmετριχλινεαρ λοσσ φυνχτιον, υσυαλλψ ρεφερρεδ το ασ τηε χηεχκ φυνχτιον, (υ)=υ( Ι(υ<))= 1 [ϕυϕ+( 1)υ]: ÃÏÆ Ιντηεσψmmετριχχασεοφτηεαβσολυτελοσσφυνχτιον à =1=Æωεοβταινεστιmατορσοφτηεmεδιαν πρεδιχτιϖε ρεγρεσσιον mοδελσ. Α παραmετριχ αππροαχη το ινφερενχε ον τηε θυαντιλε ρεγρεσσιον παραmετερσ αρισεσ ιφ τηε ερρορ διστριβυτιον γ π ( ) ισ σπεχι εδ. Τηε ερρορ διστριβυτιον τηατ ηασ βεεν ωιδελψ υσεδ φορ παραmετριχ ινφερενχε ιν τηε θυαντιλε ρεγρεσσιον λιτερατυρε ισ τηε ασψmmετριχ Λαπλαχε διστριβυτιον ÃÐορ δεταιλσ, σεε Ñυ ανδ Μοψεεδ, 1, ανδ Ñυ ανδ ÒÓÔÌÎÉ ÕÕÖÆ ωιτη προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον γ ( )= (1 ) () εξπ ϕ ϕ+( 1) () ;< <1; () >: Ã Æ Φορ = 1=; χορρεσπονδινγ το τηε mεδιαν ρεγρεσσιον, Ã Æ βεχοmεσ τηε σψmmετριχ Λαπλαχε δενσιτψ. Α λικελιηοοδ φυνχτιον χαν βε φορmεδ βψ χοmβινινγ Τ ινδεπενδεντ ασψmmετριχ Λαπλαχε δενσιτιεσ οφ τηε φορm à ÆÉ ι.ε. Λ () ρ 1:Τ ϕ ι () ; () ι ; () = (1 ) Τ εξπ( () Τ 1 Ξ1 () () ρ τ+1 ι τ= ) () ι ξ ιτ : ÃÖÆ Τηεν ÃÖÆ χαν βε υσεδ φορ λικελιηοοδ βασεδ ινφερενχε φορ τηε παραmετερσ ι () ; () ι ; () ; φορ εξαmπλε φορ mαξιmυm λικελιηοοδ εστιmατιον. Τηε mαξëêëíôøëον οφ τηισ λικελιηοοδ φυνχτιον ωιτη ρεσπεχττο () ι ; () ι ισ εθυιϖαλεντ το ÊËÌËÊËÍËÌÎ τηε εξπεχτεδ ασψmmετριχ λινεαρ λοσσ, ωηιλε τηε ΜΛ εστιmατορ οφ () ισ β () = 1 Π Τ 1 Τ τ= ρ τ+1 () () ι ξ ιτ. Σιmιλαρλψ το τηε πρεδιχτιϖε mεαν ρεγρεσσιον χασε, τηε θυαντιλε ρεγρεσσιον ÃÄÙÚÔØËον ÈÆ οφ ρ τ+1 χαν βε ρυν ον α παρτιχυλαρ συβσετ Ãκ)οφτηερεγρεσσορσΚ;κΚ,ωιτητηεαιmτοπροδυχεθυαντιλεφορεχαστσοφτηεεθυιτψ πρεmιυm. Τηεν, ωεεmπλοψονεοφτηεαππροαχηεσουτλινεδιντηενεξτσυβσεχτιονινορδερτο γετ ροβυστ ανδ αχχυρατε ποιντ φορεχαστσ οφ τηε ϖαριαβλε οφ ιντερεστ. 7

Τηε αδϖανταγε οφ τηε παραmετριχ αππροαχη το ινφερενχε ισ τηατ ιτ εναβλεσ υσ το χοmπαρε ÛÜÝερεντ θυαντιλε ρεγρεσσιον mοδελσ, χορρεσπονδινγ το ÛÜÝερεντ συβσετσ οφ πρεδιχτορσ, υσινγ χρι τερια βασεδ ον τηε λικελιηοοδ φυνχτιον, φορ εξαmπλε τηε Βαψεσιαν Ινφορmατιον Χριτεριον Þßàáâ ορ Βαψεσιαν mοδελ χοmπαρισον. Τηισ φυρτηερ εναβλεσ υσ το εσταβλιση αν αππροαχη οφ σελεχτινγ τηε βεστ Þιν α λικελιηοοδ βασεδ σενσãâ χοmπλετε συβσετ ον τηε βασισ οφ ωηιχη φορεχαστσ αρε φορmεδ Þäãã Σεχτιον åâæ çèé êëρìχαστíîï Αððρëαχñìσ βασìò ëî óëôðõìτì ö βσìτ ø αîτíõì ùìïρìσσíëî Τηισ συβσεχτιον ουτλινεσ τηε τωο νοϖελ φορεχαστινγ αππροαχηεσ ωε πυτ φορωαρδ. Ασ αλρεαδψ mεντιονεδ, τηεσε αρε βασεδ ον συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιονσ ανδ αιm ατ προδυχινγ ροβυστ ανδ αχχυρατε ποιντ φορεχαστσ οφ τηε εθυιτψ πρεmιυm βψ τακινγ αδϖανταγε οφ τηε συβσετ φραmεωορκ, τηε θυαντιλε ρεγρεσσιον φραmεωορκ ανδ τηε ινφορmατιον χοντεντ ιν ινδιϖιδυαλ Þúû χοmβινεδâ ποτεντιαλ πρεδιχτορσ. Σπεχι χαλλψ, ωε χονστρυχτ εθυιτψ πρεmιυm ποιντ φορεχαστσ βψ χοmβινινγ θυαντιλε φορεχαστσ οβταινεδ φροm α σετ οφ χοmπλετε συβσετ ρεγρεσσιονσ Þκ ϖαριατε mοδελσ ωιτη κ Κ): Φορεαχη κ; ν κ;κ ρεγρεσσιονσαρερυνινορδερτοπρεδιχττηε τη θυαντιλεοφτηεδιστριβυτιονοφ τηενεξτπεριοδüσεξχεσσρετυρν Þρ τ+1 âæ ýãξτ,τωοαππροαχηεσαρεεξπλορεδινορδερτοχοmβινε τηεσε θυαντιλε φορεχαστσ ιντο α ποιντ φορεχαστ τηατ ισ ροβυστ το νον νορmαλιτψ ανδ νον λινεαριτψ. Τηε ρστ αππροαχη, ωηιχη ωε ναmε Ροβυστ Φορεχαστ Χοmβινατιον αππροαχη Þþÿáâ προχεεδσ βψ ρστ χοmβινινγ τηε θυαντιλε φορεχαστσ αχροσσ αλλ ϖαλυεσ οφ ιντο ποιντ φορεχαστσ φορ εαχη χοmπλετε συβσετ οφ πρεδιχτορσ. Ασ ουτλινεδ ιν τηε νεξτ σεχτιον, ωε εmπλοψ Τυκãeüσ Þ( â ανδ Γαστωιρτηüσ Þ( â τηρεε θυαντιλε εστιmατορσ ανδ τηε ϖε θυαντιλε εστιmατορ οφ J δγε, Hιλλ, ΓρÜi τησ, Λυτκεποηλ ανδ Λεε Þ( â αλονγ ωιτη τηειρ τιmε ϖαρψινγ χουντερπαρτσ δεϖελοπεδ ιν ΜΠςς. Τηισ στεπ ψιελδσ ν κ;κ ποιντ φορεχαστσ ωηιχη αρε φυρτηερ χοmβινεδ ιν ορδερ το ρεδυχε υνχερταιντψ ρισκ ασσοχιατεδ ωιτη εαχη συβσετ οφ τηε πρεδιχτιϖε ϖαριαβλεσ. Εξχεπτ φορ τηε σιmπλε αϖεραγινγ σχηεmε, συγγεστεδ βψ ΕΓΤ, ωε αλσο εmπλοψ τηε Τριmmεδ Μεαν, τηε Μεδιαν, τηε Dισχουντ Μεαν Σθυαρεδ Φορεχαστ Ερρορ ÞDΜSÿ â οφ Στοχκ ανδ Wατσον Þ â αλονγ ωιτη τηε Χλυστερ χοmβινινγ mετηοδ, ιντροδυχεδ βψ Αιολ ανδ Τιmmερmανν Þ âæ Τηεσε χοmβινινγ σχηεmεσ υτιλιzε τηε Μεαν Σθυαρεδ Φορεχαστ Ερρορ Þ Sÿ â ασ α λοσσ φυνχτιον. ÞãÜλσ αρε γιϖεν ιν Αππενδιξ Αæ(âæ Τηε σεχονδ αππροαχη, ωηιχη ωε ναmε Qυαντιλε Φορεχαστ Χοmβινατιον ÞQΦáâ χονσιστσ οφ ρστ

χοmβινινγτηεπρεδιχτεδ τη θυαντιλεσ αχροσσαλλδι ερεντσυβσετσ κ)οφπρεδιχτορσ ν κ;κ mοδελ σπεχι χατιονσ) Wιτη τηε εξχεπτιον οφ τηε Μεαν, Τριmmεδ Μεαν ανδ Μεδιαν χοmβινινγ mετη οδσ, τηε εξιστινγ χοmβινατιον mετηοδσ αρε νοτ αππροπριατε φορ χοmβινινγ πρεδιχτορ ινφορmατιον ιντηεθυαντιλερεγρεσσιονχοντεξτ. Τοτηισενδ,τηεΜΣΦΕλοσσφυνχτιονηαστοβερεπλαχεδβψα mετριχ βασεδ ον τηε ασψmmετριχ λινεαρ λοσσ φυνχτιον ον 3) Φολλοωινγ ΜΠςς, ωε εmπλοψ τηε Dισχουντ Ασψmmετριχ Λοσσ Φορεχαστ Ερρορ A) ανδ τηε Ασψmmετριχ Λοσσ Χλυστερ AΛ Χλυστερ) ιν ορδερ το χονστρυχτ συβσετ θυαντιλε φορεχαστσ Αππενδιξ A). Τηισ στεπ ψιελδσ α σετ οφ θυαντιλε φορεχαστσ ε φορ εαχη ϕ ωηιχη αρε τηεν χοmβινεδ ιντο ναλ ροβυστ ποιντ φορεχαστσ υσινγ ειτηερ α ξεδ ορ α τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmε νεξτ σ) β στ τ ρ χαστσβασ ρ σσ α τ σ Ιν τηισ σεχτιον ωε χονσιδερ τηε προβλεm οφ χονστρυχτινγ ροβυστ ποιντ φορεχαστσ οφ τηε εθυιτψ πρεmιυm βασεδ ον α σετ οφ πρεδιχτιϖε θυαντιλε ρεγρεσσιονσ ασ αν αλτερνατιϖε το τηε στανδαρδ αππροαχη ωηιχη προδυχεσ φορεχαστσ βασεδ ον τηε πρεδιχτιϖε mεαν ρεγρεσσιον mοδελ. Ροβυστ ποιντ εστιmατεσ οφ τηε χεντραλ λοχατιον οφ α διστριβυτιον χαν βε χονστρυχτεδ ασ ωειγητεδ αϖεραγεσ οφ α σετ οφ θυαντιλε εστιmατορσ εmπλοψινγ ειτηερ ξεδ ορ τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmεσ. 3.1 Po nτ Foρ!χαστσ βασ!d on α F x!d W! ghτ ng "χh!m! Φορ α γιϖεν mοδελ σπεχι χατιον ορ α γιϖεν χοmπλετε συβσετ τηατ ηασ βεεν υσεδ φορ προδυχινγ θυαντιλε φορεχαστσ, ροβυστ ποιντ φορεχαστσ χαν βε χονστρυχτεδ ασ ωειγητεδ αϖεραγεσ οφ α σετ οφ θυαντιλε φορεχαστσ. Φιρστ, ωε εmπλοψ στανδαρδ εστιmατορσ ωιτη ξεδ, πρεσπεχι εδ ωειγητσ οφ τηε φορm ρ τ+1 = Ξ Σπ ρ τ+1 (); Ξ π =1; Σ ωηερε Σ δενοτεστηεσετοφθυαντιλεστηαταρεχοmβινεδ, ρ τ+1 ()δενοτεστηεθυαντιλεφορεχαστσ ασσοχιατεδωιτητηετηθυαντιλεανδ ρ τ+1 ιστηεπροδυχεδροβυστποιντφορεχαστ. #ερετηεωειγητσ ρεπρεσεντ προβαβιλιτιεσ ατταχηεδ το $ ερεντ θυαντιλε φορεχαστσ, συγγεστινγ ηοω λικελψ το πρεδιχτ τηε ρετυρν ατ τηε νεξτ περιοδ εαχη ρεγρεσσιον θυαντιλε ισ. Wε χονσιδερ Τυκ%&σ '9**) τριmεαν ανδ τηε Γαστωιρτη '9++) τηρεε θυαντιλε εστιmατορ γιϖεν, 9

ρεσπεχτιϖελψ, βψ τηε φολλοωινγ φορmυλαε ΦW1: βρ τ+1 =:5 ρ τ+1 (:5)+:5 ρ τ+1 (:5)+:5 ρ τ+1 (:75) ΦW: βρ τ+1 =:3 ρ τ+1 (1=3)+: ρ τ+1 (:5)+:3 ρ τ+1 (=3): Ινορδερτο ατταχηmορε ωειγητον εξτρεmε ποσιτιϖε ανδνεγατιϖε εϖεντσ, ωε αλσουσε τηε ϖε θυαντιλε εστιmατορ, συγγεστεδ βψ,-δγε, /λ, Γρ5 τησ, Λυτκεποηλ ανδ Λεε 7::;< ΦW3: βρ τ+1 =:5 ρ τ+1 (:)+:5 ρ τ+1 (:5)+: ρ τ+1 (:5)+:5 ρ τ+1 (:75)+:5 ρ τ+1 (:9): =>? @BCDτ EBρGχαστσ βασgi BD α TCKGLvαρyCDM NGCMOτCDM RχOGKG Ρελαξινγ τηε ασσυmπτιον οφ α χονσταντ ωειγητινγ σχηεmε σεεmσ το βε α νατυραλ εξτενσιον. Α νυmβερ οφ φαχτορσ, συχη ασ χηανγεσ ιν ρεγυλατορψ χονδιτιονσ, mαρκετ σεντιmεντ, mονεταρψ πολιχιεσ, ινστιτυτιοναλ φραmεωορκ ορ εϖεν χηανγεσ ιν mαχροεχονοmιχ ιντερρελατιονσ UVXYZελλ ανδ Χοχηρανε, 1999; Μ[\]λψ, Σαντοσ ανδ ςερονεσι, ; Dανγλ ανδ /Vινγ, ^_7^; χαν mοτιϖατε τηε εmπλοψmεντ οφ τιmε ϖαρψινγ σχηεmεσ ιν τηε γενερατιον οφ ροβυστ ποιντ φορεχαστσ. Τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmεσ αιm ατ προδυχινγ αν εmπιριχαλ mοδελ τηατ αλλοωσ φορ εχονοmιχ χηανγεσ οϖερ τιmε ανδ ισ χαπαβλε οφ δετερmινινγ τηε ριγηt`παραmετερ ϖαλυεσ ιν τιmε το ηελπ ινϖεστορσ ayιεγελ, ^ :;. Τηεϖαριαβλεοφιντερεστ,ρ τ+1,ισπρεδιχτεδυσινγανοπτιmαλλινεαρχοmβινατιον π τ =[π ;τ ] bσ οφτηεθυαντιλεφορεχαστσ ρ τ+1 ()γιϖενβψ ρ τ+1 = Ξ bσπ ;τ ρ τ+1 (); Ξ π ;τ =1: bσ Τηε ωειγητσ, π τ, αρε εστιmατεδ ρεχυρσιϖελψ υσινγ α ηολδουτ ουτ οφ σαmπλε περιοδ χοντινυουσλψ υπδατεδ βψ ονε οβσερϖατιον ατ εαχη στεπ. Οπτιmαλ εστιmατεσ οφ τηε ωειγητσ αρε οβταινεδ βψ X\X]\c τηε mεαν σθυαρεδ φορεχαστ ερρορσ, Ε τ (ρ τ+1 ρ τ+1 ) ; υνδερ αν αππροπριατε σετ οφ χονστραιντσ. Ουρ οπτx]vtf\ προχεδυρε ισ τηε αναλογυε οφ τηε χονστραινεδ Γρανγερ ανδ Ρα mανατηαν 7:j; mετηοδ φορ θυαντιλε ρεγρεσσιον φορεχαστσ k[[ αλσο Τιmmερmανν, ; /V\kεν, ; /kvf ανδ Wαν, 1;< Σπεχι χαλλψ, ωε εmπλοψ χονστραινεδ λεαστ σθυαρεσ υσινγ τηε θυαντιλε φορεχαστσ ασ ρεγρεσσορσ ιν λιευ οφ α στανδαρδ σετ οφ πρεδιχτορσ. Τηε τιmε ϖαρψινγ ωειγητσ ον τηε

θυαντιλε φορεχαστσ βεαρ αν ιντερεστινγ ρελατιονσηιπ το τηε πορτφολιο ωειγητ χονστραιντσ ιν νανχε. Ιντηισσενσεωεχονστραιντηεωειγητστοβενον νεγατιϖε,συmτοονεανδνοττοεξχεεδχερταιν λοωερ ανδ υππερ βουνδσ ιν ορδερ το ρεδυχε τηε ωειγηlpqϖολατιλιτψ ανδ plsruwu{ φορεχαστσ. Ιν ουρ εmπιριχαλ αππλιχατιον, ωε εmπλοψ τηρεε τιmε ϖαρψινγ σπεχι χατιονσ ωηιχη mαψ βε ϖιεωεδ ασ τηε τιmε ϖαρψινγ χουντερπαρτσ οφ ουρ ΦW1 ΦW3 σχηεmεσ. Μορε σπεχι χαλλψ, ΦW1 ωιτη τιmε ϖαρψινγ χο } χιεντσ βεχοmεσ ΤςW1: βρ τ+1 =π :5;τ ρ τ+1 (:5)+π :5;τ ρ τ+1 (:5)+π :75;τ ρ τ+1 (:75); ωηερε π ;τ ; Σ=φ:5;:5;:75γαρεεστιmατεδβψτηεοπτu~u{slu προχεδυρε π τ =αργmιν π τ Ε[ρ τ+1 (π :5;τ ρ τ+1 (:5)+π :5;τ ρ τ+1 (:5)+π :75;τ ρ τ+1 (:75))] σ:τ: π :5;τ +π :5;τ +π :75;τ =1;:π :5;τ :; :π :5;τ :;:π :75;τ :: Σιmιλαρλψ, τηε ΦW σχηεmε ωιτη τιmε ϖαρψινγ χο } χιεντσ βεχοmεσ ΤςW: βρ τ+1 =π 1=3;τ ρ τ+1 (1=3)+π :5;τ ρ τ+1 (:5)+π =3;τ ρ τ+1 (=3); ωηερε π ;τ ; Σ=φ1=3;:5;=3γαρεεστιmατεδβψτηεφολλοωινγοπτιmι{ατιονπροχεδυρε π τ =αργmιν π τ Ε[ρ τ+1 (π 1=3;τ ρ τ+1 (1=3)+π :5;τ ρ τ+1 (:5)+π =3;τ ρ τ+1 (=3))] σ:τ: π 1=3;τ +π :5;τ +π =3;τ =1;:15π 1=3;τ :5; :3π :5;τ :5;:15π =3;τ :5: Φιναλλψ, τηε ΦW3 σχηεmε ωιτη τιmε ϖαρψινγ χο } χιεντσ βεχοmεσ ΤςW3: βρ τ+1 = π :;τ ρ τ+1 (:)+π :5;τ ρ τ+1 (:5)+π :5;τ ρ τ+1 (:5) + π :75;τ ρ τ+1 (:75)+π :9;τ ρ τ+1 (:9); ωηερε π ;τ ; Σ = φ:;:5;:5;:75;:9γ αρε εστιmατεδ βψ τηε φολλοωινγ οπτιmι{ατιον 11

προχεδυρε π τ =αργmιν π τ Ε[ρ τ+1 (π :;τ ρ τ+1 (:)+π :5;τ ρ τ+1 (:5)+ +π :5;τ ρ τ+1 (:5)+π :75;τ ρ τ+1 (:75)+π :9;τ ρ τ+1 (:9))] σ:τ: π :;τ +π :5;τ +π :5;τ +π :75;τ +π :9;τ =1 :π :;τ :;:15π :5;τ :35; :π :5;τ :;:15π :75;τ :35;:;π :9;τ :: ρχα σ ƒ ατα ρˆχαστχ στρšχτ α Œ ρˆχαστ ˆ αžšατ Τηε δατα ωε εmπλοψ αρε φροm Γοψαλ ανδ Wελχη ωηο προϖιδε α δεταιλεδ δεσχριπτιον οφ τρανσφορmατιονσ ανδ δατασουρχεσ. 9 Τηε εθυιτψ πρεmιυm ισ χαλχυλατεδ ασ τηε δι ερενχε οφ τηε χοντινυουσλψ χοmπουνδεδ ρετυρνσ, ινχλυδινγ διϖιδενδσ, ανδ τηε Τρεασυρψ Βιλλ ρατε. Φολλοωινγ τηε λινε οφ ωορκ οφ Γοψαλ ανδ Wελχη š Ραπαχη, Στραυσσ ανδ œ ž Ÿ ανδ ΦερρειραανδΣαντα Χλαρα ŸŸ,ουτ οφ σαmπλεφορεχαστσοφτηεεθυιτψπρεmιυmαρεγενερατεδβψ χοντινυουσλψ υπδατινγ τηε εστιmατιον ωινδοω, ι.ε. φολλοωινγ α ρεχυρσιϖε ωινδοω. Μορε σπεχι χαλλψ, ωε διϖιδε τηε τοταλ σαmπλε οφ Τ οβσερϖατιονσ ιντο αν ιν σαmπλε πορτιον οφ τηε ρστ Τ οβσερϖατιονσ ανδ αν ουτ οφ σαmπλε πορτιον οφ Π = Τ Τ οβσερϖατιονσ υσεδ φορ φορεχαστινγ. Τηε εστιmατιον ωινδοω ισ χοντινυουσλψ υπδατεδ φολλοωινγ α ρεχυρσιϖε σχηεmε, βψ αδδινγονεοβσερϖατιοντοτηεεστιmατιονσαmπλεατεαχηστεπ. Ασσυχη,τηεχοε χιεντσινανψ πρεδιχτιϖε mοδελ εmπλοψεδ αρε ρε εστιmατεδ αφτερ εαχη στεπ οφ τηε ρεχυρσιον. Προχεεδινγ ιν τηισ ωαψ τηρουγη τηε ενδ οφ τηε ουτ οφ σαmπλε περιοδ, ωε γενερατε α σεριεσ οφ Π ουτ οφ σαmπλε φορεχαστσ φορ τηε εθυιτψ πρεmιυm φ ρ ι;τ+1 γ Τ 1 τ=τ. Ουρ φορεχαστινγ εξπεριmεντ ισ χονδυχτεδ ον α θυαρτερλψ βασισ ανδ δατα σπαν 197:1 το :. Ουρ ουτ οφ σαmπλε φορεχαστ εϖαλυατιον περιοδ χορρεσπονδσ το τηε ªλον «ονε αναλψ εδ βψ Γοψαλ ανδ Wελχη ανδ Ραπαχη, Στραυσσ ανδ œ ž Ÿ χοϖερινγτηεπεριοδ195:1 :. 9 Τηεδατααρεαϖαιλαβλεατηττπ: ωωω.ηεχ.υνιλ.χη αγοψαλ. WετηανκΠροφ. Γοψαλφορmακινγτηεmαϖαιλαβλε τουσ. Πλεασε νοτε τηατ τηε ουτ οφ σαmπλε περιοδ ρεφερσ το τηε περιοδ υσεδ το εϖαλυατε τηε ουτ οφ σαmπλε φορεχαστσ. Wε υσε τηε τεν ψεαρσ 1955:1 το 19: θυαρτερσ βεφορε τηε σταρτ οφ τηε ουτ οφ σαmπλε εϖαλυατιον περιοδ ασ τηε ινιτιαλ ηολδουτ ουτ οφ σαmπλε περιοδ, ρεθυιρεδ φορ βοτη χονστρυχτινγ ουρ τιmε ϖαρψινγ ροβυστ φορεχαστσ ανδ φορ σεϖεραλ φορεχαστ χοmβινατιον σχηεmεσ. 1

Τηε 1 εχονοmιχ ϖαριαβλεσ εmπλοψεδ ιν ουρ αναλψσισ αρε ρελατεδ το στοχκ mαρκετ χηαραχ τεριστιχσ, ιντερεστ ρατεσ ανδ βροαδ mαχροεχονοmιχ ινδιχατορσ. Wιτη ρεσπεχτ το στοχκ mαρκετ χηαραχτεριστιχσ, ωε εmπλοψ τηε Dιϖιδενδ πριχε ρατιο ±²³ µ Π, τηε ¹º»ερενχε βετωεεν τηε λογ οφ διϖιδενδσ παιδ ον τηε ¼½¾ 5 ινδεξ ανδ τηε λογ οφ στοχκ πριχεσ ±¼½¾ 5 ινδ Àµ, ωηερε διϖιδενδσ αρε mεασυρεδ υσινγ α ονε ψεαρ mοϖινγ συm; Dιϖιδενδ ψιελδ ±²³ µ Á, τηε ¹º»ερενχε βετωεεν τηε λογ οφ διϖιδενδσ ανδ τηε λογ οφ λαγγεδ στοχκ πριχεσ; Εαρνιν  πριχε ρατιο ±²³ µ Ε Π, τηε 맯ερενχε βετωεεν τηε λογ οφ εαρνινγσ ον τηε ¼½¾ 5 ινδεξ ανδ τηε λογ οφ στοχκ πριχεσ, ωηερε εαρνινγσ αρε mεασυρεδ υσινγ α ονε ψεαρ mοϖινγ συm; Βοοκ το mαρκετ ρατιο, à Ä, τηε ρατιοοφβοοκϖαλυετοmαρκετϖαλυεφορτηεdοω Å³Æ ÂΙνδυστριαλΑϖεραγεανδ Ç Èεθυιτψεξπαν σιον, ÇÉʼ τηε ρατιο οφ τωελϖε mοντη mοϖινγ συmσ οφ νετ ισσυεσ βψ ÇÁ¼ËÌλιστεδ στοχκσ το τοταλ ενδ οφ ψεαρ mαρκετ χαπιταλιíατιον οφ ÇÁ¼Ε στοχκσ. Τυρνινγ το ιντερεστ ρατε ρελατεδ ϖαριαβλεσ, ωε εmπλοψ ϖε ϖαριαβλεσ ρανγινγ φροm σηορτ τερm γοϖερνmεντ ρατεσ το λονγ τερm γοϖερνmεντ ανδ χορπορατε βονδ ψιελδσ ανδ ρετυρνσ αλονγ ωιτη τηειρ σπρεαδσ. Τηεσε αρε τηε Τρεασυρψ βιλλ ρατε, ΤΒΛ, τηε ιντερεστ ρατε ον α τηρεε mοντη Τρεασυρψ βιλλ ±σεχονδαρψ mαρκ ȵΠΛονγ τερm ρετυρν, ΛΤΡ, τηε ρετυρν ον λονγ τερm γοϖερνmεντ βονδσ; Τερm σπρεαδ, ΤΜΣ, τηε δι»ερενχε βε τωεεν τηε λονγ τερm ψιελδ ανδ τηε Τρεασυρψ βιλλ ρατε; Dεφαυλτ ψιελδ σπρεαδ, DΦÁ τηε ¹º»ερενχε βετωεεν ΒΑΑ ανδ ΑΑΑ ρατεδ χορπορατε βονδ ψιελδσ; Dεφαυλτ ρετυρν σπρεαδ, DΦΡ, τηε ¹º»ερ ενχε βετωεεν λονγ τερm χορπορατε βονδ ανδ λονγ τερm γοϖερνmεντ βονδ ρετυρνσ; Το χαπτυρε τηε οϖεραλλ mαχροεχονοmιχ ενϖιρονmεντ, ωε εmπλοψ τηε ºÆÏατιον ρατε, ÊÇÐΛ, χαλχυλατεδ φροm τηε ΧΠΙ ±Ñ²λ υρβαν χονσυmερσµ ανδ τηε ινϖεστmεντ το χαπιταλ ρατιο, Ê Ò, τηε ρατιο οφ αγγρεγατε ±ÓÔºÕατενονρεσιδεντιαλ ξε¹µινϖεστmενττοαγγρεγατεχαπιταλφορτηεεντιρεεχονοmψ. 11 Τηε νατυραλ βενχηmαρκ φορεχαστινγ mοδελ ισ τηε ηιστοριχαλ mεαν ορ πρεϖαιλινγ mεαν ±¾Äµ mοδελ, αχχορδινγ το ωηιχη τηε φορεχαστ οφ τηε εθυιτψ πρεmιυm χοινχιδεσ ωιτη τηε χονσταντ ιν τηε λινεαρ ρεγρεσσιον mοδελ ±Öµ ωηεν νο πρεδιχτορ ισ ινχλυδεδ, ι.ε. κ =. Ασ α mεασυρε οφ φορεχαστ αχχυραχψ, ωε εmπλοψ τηε ουτ οφ σαmπλε Ρ χοmπυτεδ ασ Ρ ΟΣ = 1 ΜΣΦΕ ι ΜΣΦΕ ΠΜ ; ωηερε ΜΣΦΕ ι ιστηεμεανσθυαρεφορεχαστερρορασσοχιατεδωιτηεαχηοφουρχοmπετινγmοδελσανδ σπεχι χατιονσ ανδ ΜΣΦΕ ΠΜ ισ τηε ρεσπεχτιϖε ϖαλυε φορ τηε ΠΜ mοδελ, βοτη χοmπυτεδ οϖερ τηε ουτ οφ σαmπλε περιοδ. Ποσιτιϖε ϖαλυεσ αρε ασσοχιατεδ ωιτη συπεριορ φορεχαστινγ αβιλιτψ οφ ουρ προποσεδmοδ ² ÂÓεχι χατιον. ΓιϖεντηατποιντεστιmατεσοφτηεΡ ΟΣ αρεσαmπλεδεπενδεντ,ωε 11 ΦολλοωινγΕΓΤ,ωεεξχλυδετηελογδιϖιδενδεαρνινγσρατιοανδτηελονγτερmψιελδινορδερτοαϖοιδmυλτι χολλινεαριτψ. 13

νεεδ το εϖαλυατε τηε στατιστιχαλ σιγνι χανχε οφ ουρ φορεχαστσ. Το τηισ ενδ, ωε εmπλοψ τηε Χλαρκ ανδwεστ ØÙÙÚÛ ÜÝÛαππροξιmατενορmαλτεσττοχοmπαρεουρmοδελσÞσπεχι χατιονσ. 1 Τηε φολλοωινγ συβσεχτιονσ πρεσεντ αν ιλλυστρατιον οφ ουρ προποσεδ χοmπλετε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον αππροαχη το εθυιτψ πρεmιυm φορεχαστινγ. Τηε αιm οφ ουρ αναλψσισ ισ το ασσεσσ τηε πρεδιχτιϖε αβιλιτψ οφ τηε προποσεδ φορεχαστινγ αππροαχηεσ ανδ το χοmπαρε τηειρ περφορmανχε αγαινστ τηατ οφ αλτερνατιϖε αππροαχηεσ υσεδ ιν τηε λιτερατυρε. Σπεχι χαλλψ, ωε εξαmινε τηε ποτεντιαλ βενε τσ οφ τηε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον φορεχαστσ βασεδ ον κ ϖαριατε mοδελ φορεχαστσ κ Û υνδερ ϖαριουσ χοmβινατιον mετηοδσ ßàáà Μεαν, Μεδιαν, Τριmmεδ Μεαν, DΜΣΦΕ, ΧλυστερÛ ρελατιϖε το υσινγ συβσετ λινεαρ ρεγρεσσιον φορεχαστσ βασεδ ον κ ϖαριατε mοδελσ ασ προποσεδ ιν ΕΓΤ ορ ρελατιϖε το σεϖεραλ χοmβινατιον mετηοδσ οφ υνιϖαριατε λινεαρ ανδþορ θυαντιλε mοδελσ ασ προποσεδ ιν ΜΠςς. âãä åæρçèρéαêχæ èç ëèéìíæτæ îïβσæτ ðñêæαρ òæóρæσσñèê ôèõæíσ Φιρστ, ωε δισχυσσ τηε ουτ οφ σαmπλε περφορmανχε οφ τηε φορεχαστσ οβταινεδ βψ συβσετ λινεαρ ρε γρεσσιονσυνδερϖαριουσχοmβινατιονσχηεmεσ. Ταβλε1πρεσεντστηε ΡΟΣ στατιστιχσοφαλλσυβσετ ρεγρεσσιονσ ρελατιϖε το τηε ηιστοριχαλ αϖεραγε βενχηmαρκ mοδελ φορ τηε ουτ οφ σαmπλε περιοδ 195:1 :. Ποσιτιϖεϖαλυεσοφ ΡΟΣ ινδιχατεσυπεριορφορεχαστινγπερφορmανχεοφτηεπρεδιχ τιϖε mοδελσ ωιτη ρεσπεχτ το τηε ηιστοριχαλ αϖεραγε φορεχαστ. Τηε στατιστιχαλ σιγνι χανχε οφ τηε χορρεσπονδινγ φορεχαστσ ισ ασσεσσεδ βψ υσινγ τηε Χλαρκ ανδ Wεστ ØÙÙÚÛ ΜΣΦΕö øùυστεδ στατιστιχ. ΤηεσεχονδχολυmνοφτηεΤαβλερεπορτστηε ΡΟΣ γενερατεδβψσιmπλψαϖεραγινγτηεφορεχαστσ úßαν χοmβινατιον mετηοøû προδυχεδ βψ συβσετ λινεαρ ρεγρεσσιονσ φορ ϖαριουσ ϖαλυεσ οφ κ: Τηισ εξπεριmεντ χοινχιδεσ ωιτη τηε φραmεωορκ οφ ΕΓΤ ανδ συγγεστσ τηατ τηε συβσετ λινεαρ ρεγρεσ σιονωιτη κ=γενερατεστηελαργεστ Ρ ΟΣ ϖαλυε ûàüùýû. ΣιmιλαρλψτοΕΓΤ,συβσετρεγρεσσιον φορεχαστσωιτηκπροδυχεποσιτιϖερ ΟΣ ϖαλυεσ,ωηιλετηεουτ οφ σαmπλεφορεχαστινγαβιλιτψοφ συβσετσ δετεριορατεσ mαρκεδλψ φορ κ 7. þÿαβλε 1 ΑΡΟΥN H ] Nß ωε φοχυσ ον αλτερνατιϖε ο τηε ΜεανÛ χοmβινατιον mετηοδσ συχη ασ τηε Μεδιαν, Τριmmεδ Μεαν, DΜΣΦΕ ανδ τηε Χλυστερ χοmβινινγ σχηεmεσ ωιτηιν τηε συβσετ λινεαρ ρεγρεσσιον 1 ΑβριεφδεσχριπτιονοφτηεΧλαρκανδWεστ (7)τεστισγιϖενινΑππενδιξΒ. οτετηαττηεχριτιχαλϖαλυεσοφ τηεχw τεσταρεαππροξιmατεινουρσεττινγ,σινχετηεmοδελσωειντενδτοχοmπαρεαρε,ινγενεραλ,νοτνεστεδ. Αλτερνατιϖελψ, Βοοτστραπ χριτιχαλ ϖαλυεσ χαν βε εmπλοψεδ; ηοωεϖερ, ουρ ρεχυρσιϖε ουτ οφ σαmπλε εξπεριmεντ ισ χοmπυτατιοναλλψ ϖερψ δεmανδινγ. 1

αππροαχη. Οϖεραλλ,τηελαργεστΡ ΟΣ ϖαλυεσοχχυρφορτηεκ=συβσετ,ωιτητηεεξχεπτιονοφτηε Χλυστερ σχηεmεσ ωηερε τηε λαργεστ Ρ ΟΣ οχχυρ φορ κ =1. Φορ τηεσε συβσετσ κ =ορ κ =1 mοστοφτηεχοmβινινγmετηοδσπροδυχεστατιστιχαλλψσιγνι χαντποσιτιϖερ ΟΣ ϖαλυεσ,ωηιλεφουρ οφ τηεm, ναmελψ τηε Μεδιαν, Τριmmεδ Μεαν, DΜΣΦΕ ανδ DΜS προϖιδε ηιγηερ ϖαλυεσοφ ΡΟΣ τηαντηατοφτηεβεστ κ= συβσετρεγρεσσιονβασεδοντηεμεανχοmβινατιον σχηεmε. Α χοmπαρισον οφ τηε dερεντ χοmβινατιον τεχηνιθυεσ συγγεστσ τηατ τηε DΜS σχηεmε, ωηιχη πee mορε ρεχεντ φορεχαστινγ αχχυραχψ, ρανκσ ρστ φολλοωεδ βψ τηε Μεδιαν χοmβινατιον σχηεmε. Τηεσε mετηοδσ προϖιδε τηε ηιγηεστ Ρ ΟΣ ϖαλυεσ οφ ανδ. ρεσπεχτιϖελψ. Τηε ρεσυλτσ οφ Ταβλε 1 ιν γενεραλ ινδιχατε τηατ εmπλοψινγ αλτερνατιϖε ωειγητινγ σχηεmεσ χαν λεαδ το ιmπροϖεδ φορεχαστινγ περφορmανχε ρελατιϖε το σιmπλε αϖεραγινγ..3 Pρfoρmαnχ of Complτ uβστ Quαnτil Rgρσσion Molσ Ιν τηισ συβσεχτιον, ωε εϖαλυατε τηε φορεχαστινγ περφορmανχε οφ τηε προποσεδ συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον mοδελσ βασεδ ον τηε ΡΦΧ ανδ τηε Χ αππροαχη.!"#$%τ F"&'χαστ *"+β,-a/,"- a11&"αχh Ουρ ΡΦΧ αππροαχη εmπλοψσ ειτηερ α ξεδ ωειγητινγ ορ α τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ 5 σχηεmε το χονστρυχτ ροβυστ ποιντ φορεχαστσ φροm εαχη συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον. Τηεν, τηεσε ροβυστ φορεχαστσ αρε χοmβινεδ ιντο ναλ ποιντ φορεχαστσ βψ εmπλοψινγ τηε χοmβινατιον σχηεmεσ ουτλινεδ ιν Αππενδιξ Α.1. Ταβλε ρεπορτσ τηε Ρ ΟΣ στατιστιχσ ανδ τηε ρεσπεχτιϖε π ϖαλυεσ οφ τηε Χλαρκ ανδ Wεστ 7 τεστ φορ τηε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον mοδελσ βασεδ ον τηε ΡΦΧ αππροαχη φορ τηε τηρεε ξεδ ωειγητινγ σχηεmεσ, ι.ε. τηε ΦW1 σχηεmε 9ανελ A τηε ΦW σχηεmε 9ανελ B ανδ τηε ΦW3 σχηεmε 9ανελ : Ρεσυλτσ αρε ρεπορτεδ φορ ϖαριουσ χοmβινατιον mετηοδσ,ναmελψτηεμεαν,μεδιαν,τριmmεδμεαν,dμσφεανδχλυστερ,βασεδον κ=1το κ = 1 συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον φορεχαστσ. Σεϖεραλ νδινγσ εmεργε φροm τηισ αναλψσισ. Φιρστ, ωε οβσερϖε τηατ χοmβινινγ τηε φορεχαστσ οφ ασυβσετοφκ=3θυαντιλερεγρεσσιονmοδελσπροδυχεσηιγηερροσ ϖαλυεσφοραλmοσταλλτηεχοm βινατιον mετηοδσ ωιτη τηε εξχεπτιον οφ τηε Χλυστερ ; mετηοδ φορ αλλ ξεδ ωειγητινγ σχηεmεσ. Σεχονδ, φορτηισσυβσετ, ι.ε. κ =3, αλλτηεχοmβινατιονmετηοδσβασεδοντηεροβυστθυαντιλε ρεγρεσσιονmοδελσγενερατεηιγηερροσ ϖαλυεστηαντηεχορρεσπονδινγχοmβινινγmετηοδσβασεδ 15

ον τηε βεστ κ = συβσετ λινεαρ ρεγρεσσιον mοδελσ, ινδιχατινγ τηε συπεριορ φορεχαστινγ αβιλιτψ οφ τηε προποσεδ ΡΦΧ θυαντιλε αππροαχη. Τηιρδ, α χοmπαρισον οφ τηε <=>ερεντ χοmβινατιον mετηοδσ συγγεστ τηατ τηε Μεδιαν χοmβινατιον τεχηνιθυε ουτπερφορmσ τηε αλτερνατιϖε χοmβινατιον mετη οδσφορτηεφw1ανδφwσχηεmεσ, γενερατινγ Ρ ΟΣ ϖαλυεσοφ5:%ανδ:9%, ρεσπεχτιϖελψ, ωηιλετηετριmmεδμεανχοmβινατιονmετηοδπροϖιδεστηεηιγηεστρ ΟΣ στατιστιχοφ5:1%ανδ ουτπερφορmσ τηε χοmπετινγ χοmβινατιον mετηοδσ φορ τηε τηιρδ ξεδ ωειγητινγ σχηεmε. [?ΑΒΛΕ ΑΡΟΥ@D EGIGJ @KLOT ωε πρεσεντ τηε ουτ οφ σαmπλε περφορmανχε οφ τηε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον φορεχαστσ βασεδ ον τηε τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmεσ ΤςW1 ΤςW3 U?αβλε 3, Πανελσ Α VW. Τηρεε χοm βινατιον mετηοδσ χαν βε υσεδ ιν τηε τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ φραmεωορκ; τηε Μεαν, Μεδιαν ανδ τηε Τριmmεδ Μεαν. Βασεδ ον τηε ρεσυλτσ οφ Ταβλε 3, ωε οβσερϖε τηατ τηε λαργεστ ΡΟΣ ϖαλυεσ οχχυρ φορ κ = ορ κ = 3 συβσετσ. Φορ τηεσε συβσετσ Uκ = ανδ κ = 3WT αλλ τηε χοmβινινγ mετηοδσ, ι.ε. τηε Μεαν, Μεδιαν ανδ Τριmmεδ Μεαν, γενερατε στατιστιχαλλψ σιγνι χαντ ποσιτιϖε Ρ ΟΣ ϖαλυεσ, ωηιχη αρε ηιγηερ τηαν τηε χορρεσπονδινγ Ρ ΟΣ ϖαλυεσ οφ τηε χοmβινινγ mετηοδσ βασεδοντηεβεστ Uκ=Wσυβσετλινεαρρεγρεσσιονmοδελ UXKKΤαβλε YWZ Φορτηεσεβεστσυβσετσ, τηε Μεδιαν ανδ τηε Τριmmεδ Μεαν χοmβινατιον mετηοδσ σεεm το ουτπερφορm τηε Μεαν χοm βινατιον σχηεmε σινχε τηεψ προδυχε ηιγηερ ΡΟΣ ϖαλυεσ. Τηε mοστ στρικινγ ρεσυλτ ισ τηε Ρ ΟΣ στατιστιχοφ5:59%οβταινεδβψτηεμεδιανχοmβινατιονοφφορεχαστσοφτηεκ=συβσετθυαντιλε ρεγρεσσιον mοδελσ υνδερ τηε ΤςW1 σχηεmε. Οϖεραλλ, ουρ νδινγσ ινδιχατε συπεριορ πρεδιχτιϖε αβιλιτψ οφ τηε ΡΦΧ αππροαχη ον τηε βασισ οφ τηε ρστ τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmε. [?ΑΒΛΕ 3 ΑΡ\^@D EGΡΕJ.3. Θυαντιλε Φορεχαστ Χοmβινατιον αππροαχη Wετυρνουραττεντιοντοτηερεσυλτσοφτηεσυβσετθυαντιλερεγρεσσιονmοδελσβασεδοντηε _ΦΧ αππροαχη. Αχχορδινγ το τηισ αππροαχη, τηε θυαντιλε φορεχαστσ οβταινεδ φροm <=>ερεντ κ ϖαριατε πρεδιχτιϖε mοδελ σπεχι χατιονσ αρε ρστ χοmβινεδ εmπλοψινγ σεϖεραλ χοmβινατιον σχηεmεσ. Τηεσε σχηεmεσαρεειτηερσιmπλεmετηοδσσυχηαστηεμεαν,μεδιανανδτριmmεδμεαν,οραρεβασεδ οντηεασψmmετριχλινεαρλοσσφυνχτιονσυχηαστηεdαλφεανδτηεαλχλυστερmετηοδσ. Τηεν, ροβυστ ποιντ φορεχαστσ αρε οβταινεδ βψ σψντηεσιzινγ τηε δ=>ερεντ θυαντιλε φορεχαστσ εmπλοψινγ 1

ειτηερ ξεδ ωειγητινγ σχηεmεσ ορ τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmεσ, τηυσ εξπλοιτινγ τηε εντιρε διστριβυτιοναλ ινφορmατιον. Ταβλε ρεπορτσ τηε ουτ οφ σαmπλε περφορmανχε οφ τηε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον φορεχαστσ οβταινεδ βψ τηε `ΦΧ αππροαχη υσινγ ξεδ ωειγητινγ σχηεmεσ bφw1 Φcjk. Τηε ρεσυλτσ οφ Ταβλε bqανελ Α Πανελ rk ινδιχατε τηατ ηιγη ποσιτιϖε Ρ ΟΣ ϖαλυεσ αρε οβταινεδ βψ υσινγ κ =, κ = 3 ανδ κ = συβσετσ φορ αλλ ωειγητινγ σχηεmεσ ΦW1 ΦW3. Ιν παρτιχυλαρ, φορ κ = 3 συβσετσ αλmοστ αλλ οφ τηε χοmβινινγ mετηοδσ bstvsπτ φορ τηε Χλυστερ mετηοwk προδυχε τηεηιγηεστποσιτιϖε Ρ ΟΣ ϖαλυεσ, ωηιχηαρελαργερτηαντηοσεοφτηεβεστ bκ=kσυβσετλινεαρ ρεγρεσσιονmοδελ bσεεταβλε xkανδσιmιλαρορεϖενηιγηερτηαντηεχορρεσπονδινγροσ ϖαλυεσοφ τηεβεστ bκ=3kσυβσετθυαντιλερεγρεσσιονφορεχαστσβασεδοντηερφχαππροαχη bysεταβλε {k. Αmονγ τηε ϖαριουσ χοmβινατιον mετηοδσ, τηε Μεδιαν χοmβινατιον σχηεmε ρανκσ ρστ, σινχε, φορτηεβεστ κ=3συβσετ,γενερατεστηεηιγηεστ ΡΟΣ ϖαλυεσρανγινγφροm5:%φορφw1ανδ ΦWτο5:3%φορΦW3σχηεmε. ΣεχονδρανκστηεDΑΛΦΕb }~kmετηοδωηιχηπροδυχεσ ΡΟΣ ϖαλυεσρανγινγφροm:93%φορφwτο5:%φορφw3σχηεmε. ΑΒΛΕΑΡΟΥ ƒ Φιναλλψ, Ταβλε 5 bqανελσ ˆrk πρεσεντσ τηε ρεσυλτσ οβταινεδ βψ τηε συβσετ ` Χ αππροαχη υσινγ τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmεσ b Šcxˆ Šcjk} Τηρεε χοmβινατιον mετηοδσ, ναmελψ τηε Μεαν, Μεδιαν ανδ Τριmmεδ Μεαν, αρε υσεδ ιν τηισ αππροαχη. Βασεδ ον τηε ρεσυλτσ οφ Ταβλε 5, ωε οβσερϖε τηατ τηε συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον φορεχαστσ ωιτη κ = φορ ` Χ ΤςW1 ανδ `ΦΧ ΤςW ανδ ωιτη κ = ορ κ = 3 φορ `ΦΧ ΤςW3 γενερατε στατιστιχαλλψ σιγνι χαντ ποσιτιϖε Ρ ΟΣ ϖαλυεσ. Φορ τηεσε συβσετσ bκ = ορ κ = 3k τηε Μεδιαν χοmβινατιον mετηοδ ουτπερφορmσ τηε Μεαν ανδ τηε Τριmmεδ Μεαν χοmβινατιον σχηεmεσ σινχε ιτ γενερατεσ ηιγηερ Ρ ΟΣ ϖαλυεσ. Μορειmπορταντλψ,τηε `ΦΧ ΤςW1αππροαχηβασεδοντηεΜεδιανχοmβινατιονοφ κ=συβσετσοφπρεδιχτορσπροδυχετηεηιγηεστ Ρ ΟΣ οφ5:71%αmονγτηεδœ ερεντφορεχαστινγ αππροαχηεσ χονσιδερεδ ιν ουρ αναλψσισ bysε Ταβλε 5, Πανελ k} Τηεσε νδινγσ συγγεστ τηατ mορε προmισινγ ρεσυλτσ, ι.ε. βεστ ουτ οφ σαmπλε περφορmανχε, αρε οβταινεδ βψ αππλψινγ τηε προποσεδ συβσετ θυαντιλε ρεγρεσσιον mοδελσ βασεδ ον τηε `ΦΧ αππροαχη υνδερ τηε Μεδιαν χοmβινατιον mετηοδ φορ τηε ρστ τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmε. ΑΒΛΕ5ΑΡΟΥ ƒ 17

5 ΡεαλτιmεΣελεχτιονοφκ Ουρεmπιριχαλ νδινγσ Ž τιον συγγεσττηαττηεπρεδιχτιϖεπερφορmανχεοφουρσυβσετθυαντιλε ρεγρεσσιον αππροαχη δεπενδσ ον τηε χηοιχε οφ τηε ϖαλυε οφ κ. Τηερεφορε, ιτ ισ ιmπορταντ το δεϖελοπ α ρεαλ τιmε αλγοριτηm οφ σελεχτινγ κ ρεχυρσιϖελψ, βασεδ ον τηε παστ ηιστορψ οφ εξχεσσ ρετυρνσ ανδ πρεδιχτιϖε ϖαριαβλεσ, ιν ορδερ το προδυχε οπτιmαλ φορεχαστσ. Σινχε ουρ προποσεδ mετηοδολογψ ινϖολϖεσ φορεχαστινγ αν αρραψ οφ θυαντιλεσ, ιτ ισ θυιτε ιντερεστινγ το εξαmινε ωηετηερ τηε σελεχτεδ ϖαλυε οφ κ ϖαριεσ αχροσσ θυαντιλεσ οφ ρετυρνσ, τηυσ ρεϖεαλινγ α φυρτηερ σουρχε οφ ινφορmατιον τηατ χαν βε εξπλοιτεδ ωιτηιν ουρ προποσεδ φραmεωορκ. Ουρ αλγοριτηm ισ εξιβλε ενουγη το αλλοω φορ ϖαριαβιλιτψ οφ τηε σελεχτεδ κ αχροσσ θυαντιλεσ ανδ, τηερεφορε, ινφορmατιον ον τηε βεστ χοmπλετε συβσετ φορ εαχη θυαντιλε οφ τηε ρετυρν διστριβυτιον χαν βε ινχορπορατεδ ωιτηιν ουρ αππροαχη. 5.1 Αλγοριτηm φορ σελεχτινγ κ Ιν τηισ συβσεχτιον ωε προποσε α λικελιηοοδ βασεδ Ž ψε š mετηοδ φορ σελεχτινγ κ ιν ρεαλ τιmε. Τηε εξπεριmεντ ωε χονδυχτ ισ νατυραλλψ δεσιγνεδ ιν τηε χοντεξτ οφ ουρ œφχ φορεχαστινγ αππροαχη. Ατ εαχη τιmε ποιντ ιν τηε ουτ οφ σαmπλε περιοδ, ινδεξεδ βψ τ+1, ωε χοmπυτε τηε ποστεριορ προβαβιλιτιεσ οφ αλλ ϖαλυεσ οφ κ Žκ φ1;;:::;κγ βασεδ ον τηε δατα υπ το τιmε τ, φορ α σετ οφ θυαντιλεσ. Τηεν, φορ εαχη θυαντιλε, ; ωε σελεχτ τηε mοστ προβαβλε ϖαλυε οφ κ ανδπροδυχεαθυαντιλεφορεχασταττιmε τ+1, ρ τ+1 ();βασεδοντηεσελεχτεδχοmπλετεσυβσετ. Τηεσε θυαντιλε φορεχαστσ αρε τηεν χοmβινεδ αχχορδινγ το τηε ξεδ ωειγητινγ ανδ τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmεσ οφ Σεχτιον 3 ιν ορδερ το προδυχε žÿ š œφχ φορεχαστσ ιν ρεαλ τιmε. Υνδερ τηε Βαψεσιαν αππροαχη το ινφερενχε, υνχερταιντψ αβουτ ανψ θυαντιτψ οφ ιντερεστ ισ ρεπρεσεντεδ βψ προβαβιλιτψ διστριβυτιονσ. Ιν ρεγρεσσιον ϖαριαβλε σελεχτιον προβλεmσ τηερε ισ υν χερταιντψ αβουτ τηε mοδελ σπεχι χατιον. Ιν ουρ σεττινγ, ιτ ισ οφ παρτιχυλαρ ιντερεστ το θυαντιφψ τηε υνχερταιντψ αβουτ τηε χοmπλετε συβσετ τηατ ωιλλ βε υσεδ φορ πρεδιχτινγ εαχη θυαντιλε οφ ρετυρνσ. Τηερεφορε, ιν α Βαψεσιαν χοντεξτ, τηε ρανδοm θυαντιτιεσ οφ ιντερεστ αρε τηε mοδελ σπεχι χατιον, ρεπρεσεντινγτηεσετοφπρεδιχτορσινχλυδεδιντηε ϕτηmοδελανδδενοτεδβψ m ϕ ; ϕ =1;:::;Μ; Π Μ = Κ ν ι;κ ;τηεϖαλυεοφ κ ανδτηετοταλιτψοφτηεmοδελπαραmετερσασσοχιατεδωιτητηε τη ι=1 θυαντιλε ρεγρεσσιον, δενοτεδ βψ () : Αφτερ σπεχιφψινγ αππροπριατε πριορ διστριβυτιονσ φορ τηεσε 1

θυαντιτιεσ, Π(m ϕ ); Π(κϕm ϕ )ανδ φ( () ϕm ϕ ;κ);τηειρ οιντποστεριορδιστριβυτιονισγιϖενβψ φ(m ϕ ;κ; () ϕρ 1:τ )/Π(m ϕ )Π(κϕm ϕ )φ( () ϕm ϕ ;κ)λ () (ρ 1:τ ϕm ϕ ;κ; () ); ωηερε Λ () (ρ 1:τ ϕm ϕ ;κ; () ) ισ τηε λικελιηοοδ οφ τηε δατα υπ το τιmε τ υνδερ τηε τη θυαντιλε ρεγρεσσιον ατιον ª βασεδ ον τηε ασψmmετριχ Λαπλαχε δενσιτψ «Dεπενδενχε ον τηε σετ οφ πρεδιχτορσ ηασ βεεν συππρεσσεδ φορ σιmπλιχιτψ. Τηεν, τηε mαργιναλ ποστεριορ διστριβυτιον οφ κ, υνδερ τηε τη θυαντιλε ρεγρεσσιον, ισ οβταινεδ ασ Π () (κϕρ 1:τ )/ ΜΞ ϕ=1 Ζ Π(m ϕ )Π(κϕm ϕ ) φ( () ϕm ϕ ;κ)λ () (ρ 1:τ ϕm ϕ ;κ; () )δ () : Τηειντεγραλ Ρ φ( () ϕm ϕ ;κ)λ () (ρ 1:τ ϕm ϕ ;κ; () )δ () ιστηεmαργιναλλικελιηοοδοφτηεδαταυνδερ τηε τηθυαντιλερεγρεσσιονωιτη κ πρεδιχτορσανδmοδελσπεχι χατιον m ϕ ;ι.ε. Λ () (ρ 1:τ ϕm ϕ ;κ): Ιν τηισ παπερ, ωε εστιmατε τηε mαργιναλ λικελιηοοδ βψ τηε ΒΙΧ αππροξιmατιον ωηιχη ισ γιϖεν βψ βλ () (ρ 1:τ ϕm ϕ ;κ)=εξπφλ () (ρ 1:τ ϕm ϕ ;κ; β () ) κλν(τ)=γ; ωηερε β () δενοτεσ τηε ΜΛ εστιmατε οφ () ; οβταινεδ ασ δισχυσσεδ ιν Συβσεχτιον.. Αλτερ νατιϖελψ, τηε mαργιναλ λικελιηοοδ οφ θυαντιλε ρεγρεσσιον mοδελσ χαν βε εστιmατεδ βψ Λαπλαχε αππροξιmατιον Μελιγκοτσιδου, ςροντοσ ανδ ςροντοσ, Τηε πριορ σπεχι χατιον ωε χονσιδερ ισ τηε φολλοωινγ. Τηε πριορ προβαβιλιτψ οφ τηε ϕτη mοδελ ισ τακεντοβεπ(m ϕ )= κ ϕ (1 ) Κ κ ϕ ;ωηερειστηεπριορπροβαβιλιτψοφινχλυδινγαπρεδιχτοριν τηεmοδελ,ωηιχηιστακεν ξεδανδπρεσπεχι εδ,ανδκ ϕ ιστηενυmβεροφπρεδιχτορσινχλυδεδιν mοδελm ϕ :Ινουραναλψσισωεχονσιδερτωοϖαλυεσοφ:Φιρστ,ωεσετεθυαλτο ±²,τηυσ ³ εχτινγ χοmπλετε πριορ ιγνορανχε αβουτ τηε mοδελ σπεχι χατιον. Σεχονδ, το σλιγητλψ π µ ¹ mοδελσ ωιτη τοοmανψπρεδιχτορσ,ωεσετ εθυαλτο ±3,σινχειτισκνοωνφροmπρεϖιουσστυδιεσ εεγοψαλ ανδ Wελχη,, ανδ Ελλιοττ, Γαργανο ανδ Τιmmερmανν, ²º» τηατ τηε βεστ περφορmινγ φορεχαστσ αρισε φροm mοδελσ ινχλυδινγ φεωερ πρεδιχτορσ. Τηε πριορ προβαβιλιτψ οφ κ γιϖεν τηε mοδελσπεχι χατιον m ϕ ιστηεν Π(κϕm ϕ )=1;ιφ κ ϕ =κ;ανδ Π(κϕm ϕ )=;οτηερωισε. Τηισπριορ στρυχτυρε λεαδσ το τηε ¼ µτ πριορ οφ κ;m ϕ βεινγ Π(κ;m ϕ ) = κ ϕ (1 ) Κ κ ϕ Ι(κ ϕ = κ) ανδ το τηε νατυραλ Βινοmι Κ; mαργιναλ πριορ ον κ. Τηεν, τηε mαργιναλ ποστεριορ διστριβυτιον οφ 19

κ,υνδερτηε τηθυαντιλερεγρεσσιονισγιϖενβψ Ξ Μ Π () (κϕρ 1:τ )/ κ (1 ) Κ κ βλ () (ρ 1:τ ϕm ϕ ;κ)ι(κ ϕ =κ): ϕ=1 Βελοω ωε πρεσεντ ανδ δισχυσσ τηε ρεσυλτσ οφ ουρ λικελιηοοδ βασεδ αππροαχη το σελεχτινγ κ φορ τηε ξεδ ανδ τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmεσ οφ Σεχτιον 3 ανδ τηε ρεσπεχτιϖε χοmβινινγ mετηοδσ ½¾εε Αππενδιξ Α. ÀÁ 5. Αλγοριτηm Περφορmανχε Το γαιν σοmε ινσιγητ ον τηε σελεχτεδ ϖαλυεσ οφ κ φορ τηε θυαντιλεσ οφ ιντερεστ, Φιγυρεσ 1 ανδ πλοτ τηε σελεχτεδ ϖαλυεσ υνδερ τηε αβοϖε σπεχι εδ πριορ διστριβυτιον ωιτη ÂÃÄ ανδ ÂÃÄÅÆ ρεσπεχτιϖελψ. Ιτ ισ εϖιδεντ τηατ, ατ εαχη τιmε ποιντ ιν βοτη τηε ηολδουτ ανδ τηε ουτ οφ σαmπλε περιοδ, τηε σελεχτεδ ϖαλυε οφ κ ϖαριεσ αχροσσ θυαντιλεσ. Ιν γενεραλ, λαργερ ϖαλυεσ οφ κ αρε σελεχτεδ φορ τηε εξτρεmε θυαντιλεσ ½ ÂÇÁ ανδ ÂÇÁÈÇÀÁ Φορ τηε ρεmαινινγ ονεσ, ουρ αλγοριτηm αλmοστ αλωαψσχηοοσεσ κ=;3;ιντηεουτοφσαmπλεπεριοδ. Τηυσ,τηεπροδυχεδ ÉÊËÌÍÎÏÐÑφορεχαστσ αρε βασεδ ον τηε χοmβινατιον οφ θυαντιλε φορεχαστσ οβταινεδ φροm κ ÒÍÓερεντ χοmπλετε συβσετσ φορ αλλ θυαντιλεσ χονσιδερεδ ιν ουρ αναλψσισ. Μορεοϖερ, σοmε λαργε ϖαλυεσ οφ κ αρε σελεχτεδ φορ τηε θυαντιλεσ οφ τηε λεφτ παρτ οφ τηε ρετυρν διστριβυτιον ½ÂÇ.,.5, ÇÁÅÅÀ ιν τηε ηολδουτ περιοδ. Τηισ mαψ βε δυε το τηε ωεακερ λικελιηοοδ ινφορmατιον ½ÍÁÔÁ λικελιηοοδσ φορmεδ ον σmαλλερ σαmπλε¾à υσεδ φορ σελεχτινγ κ τηρουγηουτ τηε ηολδουτ περιοδ. Φιναλλψ, ιτ ισ ιντερεστινγ τονοτετηαττηεσελεχτεδϖαλυεσοφκαρεσλιγητλψλοωεριφτηεπριορπροβαβιλιτψοφινχλυσιονισσετ το ÃÄÅÆτηυσπεναλιÕινγτηελαργερϖαλυεσοφ κ: Ö ΙΓΥΡΕ 1 ΑΡØÙÚÛ ÜΕÝÞß Ö ΙΓΥΡΕ ΑΡØÙÚÛ ÜΕÝÞß Ταβλε ρεπορτσ τηε ουτ οφ σαmπλε περφορmανχε οφ τηε ÉÊËÌÍÎÏÐÑà Χ φορεχαστσ βασεδ βοτη ον ξεδ ωειγητινγ σχηεmεσ ½ á1 ΦWÅÀ ανδ τιmε ϖαρψινγ ωειγητσ ½âãáÃäâãáÅÀ, υνδερ βοτη πριορ σπεχι χατιονσ χονσιδερεδ ½Í.ε. ÂÃÄ ½åανελ æà ανδ ÂÃÄÅ ½åανελ ΒÀÀÁ Τηε ρεσυλτσ οφ Ταβλε ρεϖεαλ τηατ ουρ λικελιηοοδ βασεδ αππροαχη το σελεχτινγ κ ιν ρεαλ τιmε ισ εξτρεmελψ συχχεσσφυλ, σινχετηεϖαλυεσοφροσ οβταινεδυνδεραλλωειγητινγσχηεmεσανδφοραλλχοmβινινγmετηοδσαρε ϖερψηιγη. Ρεγαρδινγτηε ξεδωειγητινγσχηεmεσ,τηελαργεστ ΡΟΣ ϖαλυεσαρεοβταινεδφορτηε

Μεδιαν χοmβινινγ mετηοδ, βεινγ ιν αλλ χασεσ χλοσε το ορ ηιγηερ τηαν çèé ωιτη τηε ηιγηεστ ϖαλυε βεινγ εθυαλ το.êëè ìíορ τηε ΦW σχηεmε, υνδερ îïðñòó Ιν αχχορδανχε ωιτη ουρ στατιστιχαλ σιγνι χανχερεσυλτσ ìôαβλε çòéτηεdõö øìùóêòmετηοδρανκσσεχονδωιτηροσ ϖαλυεσϖερψχλοσε το τηοσε οβταινεδ βψ τηε Μεδιαν χοmβινινγ mετηοδ. Ιτ ισ ιντερεστινγ το νοτε τηατ τηε ρεσυλτσ οφ τηε ρεχυρσιϖε κ σελεχτιον εξερχισε αρε θυιτε ροβυστ αχροσσ τηε χοmβινινγ mετηοδσ χονσιδερεδ, απαρτ φροm τηε ΑΛ Χλυστερìúò mετηοδ. Μορεοϖερ, ιτ αππεαρσ τηατ τηε ΦW σχηεmε χονσταντλψ ουτπερφορmσ τηε οτηερ τωο σχηεmεσ οφ προδυχινγ ροβυστ ποιντ φορεχαστσ βασεδ ον ξεδ ωειγητσ. Σιmιλαρ νδινγσ περταιν ωιτη ρεσπεχτ το ουρ ΤςW φορεχαστσ. 13 Μορε ιν δεταιλ, τηε λαργεστ Ρ ΟΣ ϖαλυεσαρεοβταινεδφορτηεμεδιανχοmβινινγmετηοδ,ρανγινγφροm3óúçè ìíûüτηετςw1 σχηεmε, υνδερ îïðñò το.úúè ìíûü τηε ΤςW σχηεmε, υνδερ îïðúòé ωηιλε τηε ΤςW σχηεmε χονσταντλψ ουτπερφορmσ τηε οτηερ τωο τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ σχηεmεσ. Ιν τηε τιmε ϖαρψινγ ωειγητσ φραmεωορκ, τηουγη, τηε ρεσυλτσ αρε σλιγητλψ βεττερ ιν τηε χασε τηατ τηε πριορ προβαβιλιτψ οφινχλυσιονισσεττο ïðúó Τηισmαψβεαττριβυτεδτοτηεφαχττηατσοmεϖερψλαργεϖαλυεσοφκαρε σελεχτεδ τηρουγηουτ τηε ηολδουτ περιοδ, ποσσιβλψ δυε το ωεακ λικελιηοοδ ινφορmατιον, εσπεχιαλλψ ιντηεχασεοφ îïðñó ýôαβλε ΑΡΟΥþÿ Hø ø] Ιν χονχλυσιον, λετ υσ νοτε τηατ τηε νδινγσ οφ ουρ ρεχυρσιϖε εξπεριmεντ αρε ϖερψ ενχουραγινγ, σινχετηεψσηοωτηαττηεπροποσεδαππροαχηοφσελεχτινγ κινρεαλτιmε,βασεδονλψοντηεπαστ ηιστορψ οφ τηε δατα, προδυχεσ παρτιχυλαρλψ ωελλ περφορmινγ φορεχαστσ ανδ τηατ τηεσε ρεσυλτσ αρε ϖερψ ροβυστ το τηε χηοιχε οφ ωειγητινγ σχηεmε ανδ χοmβινινγ mετηοδ. Εχονοmιχ Εϖαλυατιον Χαmπβελλ ανδ Τηοmπσον ìñùùëò ανδ Ραπαχη, Στραυσσ ανδ Z û ìñùïùò συγγεστ τηατ εϖεν σmαλλ πρεδιχταβιλιτψ γαινσ, ιν α στατιστιχαλ σενσε, χαν γιϖε αν εχονοmιχαλλψ mεανινγφυλ δεγρεε οφ ρετυρν πρεδιχταβιλιτψ προϖιδινγ ινχρεασεδ πορτφολιο ρετυρνσ φορ α mεαν ϖαριανχε ινϖεστορ τηατ mαξιmιzεσ εξπεχτεδ υτιλιτψ. Wε φολλοω τηισ υτιλιτψ βασεδ αππροαχη ωιτηιν τηισ στy z ασσετ αλλοχατιον φραmεωορκ ιν ορδερ το ρανκ τηε περφορmανχε οφ χοmπετινγ mοδελσ ιν α ωαψ τηατ χαπτυρεσ τηε 13 Ρεχαλλ τηατ ονλψ τηε Μεαν, Μεδιαν ανδ Τριmmεδ Μεαν χοmβινινγ mετηοδσ χαν βε υσεδ ωιτηιν τηε τιmε ϖαρψινγ ωειγητινγ φραmεωορκ ωηιχη ρεθυιρεσ α ηολδουτ περιοδ φορ τηε χονστρυχτιον οφ ροβυστ ποιντ φορεχαστσ. 1