1.1 Πρόσθεση πινάκων, βαθμωτός πολλαπλασιασμός, γινόμενο πινάκων, ανάστροφος ενός πίνακα Η έννοια του πίνακα. Ένας πίνακας Α με διαστάσεις mxn, δηλαδή με m γραμμές και n στήλες, με στοιχεία πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς έχει τη μορφή: 11 1 n = και συμβολίζεται ως εξής: Α=[αij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n. m 1 mn Το στοιχείο αij βρίσκεται στην i-γραμμή και στην j-στήλη του πίνακα Α. Μορφές πινάκων. Εκτός από τη γενική του μορφή του ένας πίνακας μπορεί να πάρει και τις παρακάτω απλοποιημένες μορφές: i) Πίνακας γραμμή. Είναι ο πίνακας που έχει μία μόνο γραμμή. Ένας τέτοιος πίνακας είναι για παράδειγμα ο = 2 1 0. ii) Πίνακας στήλη. Είναι ο πίνακας που έχει μία μόνο στήλη. Ένας τέτοιος πίνακας είναι για παράδειγμα ο 3 0 =. 4 2 iii) Πίνακας στοιχείο. Είναι ο πίνακας που έχει ένα μόνο στοιχείο. Ένας τέτοιος πίνακας είναι για παράδειγμα ο Ζ=[5]. Ισότητα πινάκων. Δύο πίνακες ιδίων διαστάσεων mxn Α=[αij], Β=[βij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n είναι ίσοι αν και μόνο αν έχουν τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή: Α=Β αij= βij για κάθε i=1,2,...,m και j=1,2,...,n. Πρόσθεση πινάκων. Έστω ότι έχουμε δύο πίνακες Α,Β ιδίων διαστάσεων mxn. Τότε ορίζουμε το άθροισμά τους ως εξής: Α+Β=Γ. Ο πίνακας Γ έχει τις ίδιες διαστάσεις των πινάκων Α,Β δηλαδή mxn και το κάθε στοιχείο του υπολογίζεται ως εξής: γij=αij+βij, δηλαδή για να βρούμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα Γ προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία των πινάκων Α,Β. Πίνακες διαφορετικών διαστάσεων δε μπορούν να προστεθούν.
2 1 3 0 6 2 Παράδειγμα. Να προσθέσετε τους παρακάτω πίνακες: = 4 2 1, = 2 3 4. 2 1 3 Λύση. Έχουμε: 4 2 1 + 0 6 2 2 3 4 = 2 + 0 1 + 6 3 + 2 4 + 2 2 3 1+ 4 = 2 7 5 6 5 3 Ιδιότητες της πρόσθεσης πινάκων. Για κάθε πίνακες ιδίων διαστάσεων mxn Α=[αij], Β=[βij], Γ=[γij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: i) Αντιμεταθετική Ιδιότητα. Α+Β=Β+Α ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα. (Α+Β)+Γ=Α+(Β+Γ) iii) Ουδέτερο Στοιχείο. Α+0=0+Α=Α, όπου 0 είναι ο μηδενικός πίνακας, δηλαδή ο πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι 0. iv) Αντίθετος. Α+(-Α)=(-Α)+Α=0, όπου ο -Α είναι ο αντίθετος πίνακας του Α, δηλαδή ο πίνακας της μορφής: -Α==[-αij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n. Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός. Είναι ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού έστω λ με έναν πίνακα έστω Α=[αij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n. Άρα έχουμε: λα=[λαij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n. 2 6 0 Παράδειγμα. Έστω ο πίνακας = 1 3 4. Να υπολογίσετε το γινόμενο -3Α. Λύση. Έχουμε: ( 3) 2 6 0 6 18 0 = 1 3 4 3 9 12 Ιδιότητες του βαθμωτού πολλαπλασιασμού. Για κάθε πίνακες ιδίων διαστάσεων mxn Α=[αij], Β=[βij], Γ=[γij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n και για κάθε αριθμούς λ,μ ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: i) (λ+μ)α=λα+μα ii) λ(α+β)=λα+λβ iii) λ(μα)=(λμ)α iv) 1Α=Α
v) λ0=0, όπου 0 είναι ο μηδενικός πίνακας vi) 0Α=0 vii) Αν λα=0 λ=0 ή Α=0 viii) (-λ)α=λ(-α)=-λα Διαφορά πινάκων. Έστω δύο πίνακες ιδίων διαστάσεων mxn Α=[αij], Β=[βij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n. Η διαφορά τους ορίζεται ως εξής: Α-Β=Α+(-Β) Πορίσματα. Για κάθε πίνακες ιδίων διαστάσεων mxn Α=[αij], Β=[βij], Γ=[γij], Χ=[χij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n ισχύουν τα παρακάτω πορίσματα: i) Α+Β=Α+Γ Β=Γ ii) Χ+Β=Α Χ=Β-Α Γινόμενο πινάκων. Έστω ο πίνακας Α με διαστάσεις rxm και ο πίνακας Β με διαστάσεις kxn. Για να μπορέσει να γίνει ο πολλαπλασιασμός των πινάκων Α Β θα πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου πίνακα, δηλαδή του πίνακα Α να ισούται με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου πίνακα, δηλαδή του πίνακα Β. Θα πρέπει δηλαδή να ισχύει: m=k. Σε αυτήν την περίπτωση το γινόμενο Α Β είναι ένας νέος πίνακας Γ με διαστάσεις rxn. Κάθε στοιχείο γij του πίνακα Γ ισούται με το εσωτερικό γινόμενο της αντίστοιχης i-γραμμής του πίνακα Α επί την αντίστοιχη j- στήλη του πίνακα Β. 2 1 Παράδειγμα. Να υπολογίσετε το γινόμενο των παρακάτω πινάκων: = 3 0, 1 4 3 = 1 2 0. Λύση. Παρατηρούμε ότι ο πίνακας Α είναι 2x2, ενώ ο πίνακας Β είναι 2x3. Άρα λοιπόν ο πολλαπλασιασμός των Α και Β μπορεί να γίνει και θα προκύψει μάλιστα ένας Γ 2x3 ο οποίος θα έχει τη μορφή: 11 12 13 = 21 22 23
Έχουμε: 11 = 2 1+ 1 ( 1) = 1, 12 = 2 4 + 1 2 = 10, 13 = 2 3 + 1 0 = 6 Άρα: 21 = 3 1+ 0 ( 1) = 3, 22 = 3 4 + 0 2 = 12, 23 = 3 3 + 0 0 = 9 2 1 1 4 3 1 10 6 3 0 = 1 2 0 3 12 9 Παρατηρούμε ότι ο πολλαπλασιασμός Β Α εδώ δε μπορεί να γίνει γιατί ο πίνακας είναι 2x3, ενώ ο πίνακας Α είναι 2x2. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι στον πολλαπλασιασμό δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή ΑΒ ΒΑ. Ιδιότητες γινομένου πινάκων. Με την προϋπόθεση ότι τα αθροίσματα και τα γινόμενα που ακολουθούν ορίζονται, τότε για τους πίνακες Α,Β,Γ και για τον αριθμό λ ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: i) Προσεταιριστική Ιδιότητα. (ΑΒ)Γ=Α(ΒΓ) ii) Επιμεριστική Ιδιότητα Από Αριστερά Ως Προς Την Πρόσθεση. Α(Β+Γ)=ΑΒ+ΑΓ iii) Επιμεριστική Ιδιότητα Από Δεξιά Ως Προς Την Πρόσθεση. (Β+Γ)Α=ΒΑ+ΓΑ iv) (λα)β=α(λβ)=λ(αβ) Παρατήρηση. Έστω ότι για δύο πίνακες Α,Β ισχύει η σχέση Α=Β. Τότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε αυτή τη σχέση είτε από δεξιά είτε από δεξιά, οπότε σε θα έχουμε αντίστοιχα: ΓΑ=ΓΒ πολλαπλασιάζοντας από αριστερά και ΑΓ=ΑΒ πολλαπλασιάζοντας από δεξιά. Προσοχή. Δε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε το ένα μέλος από τα αριστερά και το άλλο από τα δεξιά γιατί ΑΓ ΓΒ. Ανάστροφος ενός πίνακα. Έστω ένας πίνακας mxn Α=[αij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n. Ο ανάστροφός του είναι ένας πίνακας nxm που συμβολίζεται Α Τ και ορίζεται ως εξής: Α Τ =[αji], όπου j=1,2,...,n και i=1,2,...,m, είναι ο πίνακας δηλαδή που προκύπτει από τον πίνακα Α όταν οι γραμμές του γίνουν στήλες και οι στήλες του γραμμές με την ίδια ακολουθία. 2 3 Παράδειγμα. Να βρείτε τον ανάστροφο του πίνακα = 1 0. 0 1
Λύση. Έχουμε: 2 1 0 = 3 0 1 Ιδιότητες της αναστροφής ως προς τις πράξεις των πινάκων. Για τους πίνακες Α,Β και για τον αριθμό λ ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: i) (Α Τ ) Τ =Α ii) (Α+Β) Τ =Α Τ +Β Τ iii) (λα) Τ =λα Τ iv) (ΑΒ) Τ = Β Τ Α Τ Γενικά για k-προσθετέους ή k-παράγοντες ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες, εφόσον οι πίνακες είναι κατάλληλου τύπου ώστε να ορίζονται οι πράξεις: (Α 1 +Α 2 +...+Α k ) Τ Τ =Α 1Τ +Α 2Τ +...+Α k (Α 1 Α 2...Α k ) Τ Τ = Α kτ...α 2Τ Α 1