Πίνακες Γραμμικά Συστήματα

Transcript

1 Πίνακες Γραμμικά Συστήματα 1. Είδη Πινάκων Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο, με εφαρμογές και διασυνδέσεις σε πολλές επιστήμες. Η σημαντικότερη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Στο κεφάλαιο αυτό, εκτός από την ανάπτυξη της θεωρίας πινάκων, θα εμβαθύνουμε στην χρήση αυτής στην αντιμετώπιση γραμμικών συστημάτων. Ορισμός 1.1: Έστω μ,ν θετικοί ακέραιοι. «Πίνακας μ γραμμών και ν στηλών» ονομάζεται μια διάταξη µ ν το πλήθος αριθμών σε μορφή ορθογωνίου σχήματος, ως εξής: a11 a 21 a 1 i a µ 1 a a a a i2 µ 2... a... a 1 j... a 2 j... a... a ij µ j 1ν... a 2ν iν... a... a µν i γραμμή j στήλη Οι πίνακες συμβολίζονται συνήθως με κεφαλαία γράμματα A, B κτλ. Αντί να λέμε την πλήρη έκφραση: «Πίνακας A με μ γραμμές και ν στήλες», λέμε πιο σύντομα: «Πίνακας A µ ν» και συμβολίζουμε: A µ ν. Επίσης λέμε ότι ο πίνακας A έχει διάσταση (ή μέγεθος) µ ν. Οι αριθμοί με τους οποίους

2 σχηματίζουμε τον πίνακα λέγονται και στοιχεία του πίνακα., και συμβολίζουμε: a ij το στοιχείο του πίνακα A που βρίσκεται στην τομή της i γραμμής και j στήλης. Για τον πίνακα A χρησιμοποιούμε συχνά τον συμβολισμό: A = ( a ij ) µ ν Παράδειγμα Ο πίνακας A = έχει διάσταση 2 3, ο B = έχει 3 2, ο 9 C = έχει 3 1, ενώ ο D = ( ) έχει 1 4. Στον πίνακα A = ( a ij ) 2 3 έχουμε τα στοιχεία: a = 3, a = Είδη Πινάκων: Εάν ο πίνακας έχει διάσταση 1 ν (δηλαδή έχει μία γραμμή) λέγεται πίνακας γραμμή: A= a a ( ) a1ν Εάν ο πίνακας έχει διάσταση µ 1 (δηλαδή έχει μία στήλη) λέγεται πίνακας στήλη: a11 a 21 A= a µ 1 Σχόλιο: Οι πίνακες γραμμή και οι πίνακες στήλη, λέγονται και διανύσματα.

3 Εάν ο πίνακας έχει διάσταση ν ν (δηλαδή ίσο αριθμό γραμμών και στηλών) λέγεται τετραγωνικός. Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται άνω τριγωνικός εάν ισχύει: a ij =, για κάθε i < j, λέγεται κάτω τριγωνικός εάν ισχύει: a ij = για κάθε i > j, ενώ λέγεται διαγώνιος εάν ισχύει: a = για κάθε: i j. ij Δηλαδή ο άνω τριγωνικός είναι ένας τετραγωνικός πίνακας που έχει τα στοιχεία κάτω απ την διαγώνιο, ο κάτω τριγωνικός έχει όλα τα στοιχεία που είναι πάνω απ την διαγώνιο, ενώ ο διαγώνιος έχει όλα τα στοιχεία που δεν είναι πάνω στην διαγώνιο. Π.χ ο πίνακας είναι άνω τριγωνικός, ο πίνακας είναι κάτω τριγωνικός, και ο πίνακας είναι διαγώνιος. Ο διαγώνιος πίνακας = ( a ij ) ν I για τον οποίο ισχύει: ν

4 a ij 1, =, αν i = j αν i j λέγεται Μοναδιαίος Πίνακας και συνήθως συμβολίζεται I ν αντί του I ν ν. Δηλαδή: I ν 1 = Ορισμός 1.2: (Ισότητα Πινάκων) Έστω δύο ν a ij b ij. Οι πίνακες A και B λέγονται ίσοι και συμβολίζουμε A = B αν ισχύει: a ij = bij για κάθε i = 1 µ, j = 1ν. µ πίνακες A= ( ) και B = ( ) Δηλαδή δύο πίνακες είναι ίσοι, όταν έχουν ίδια διάσταση και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα. 2. Πράξεις Πινάκων Ορισμός 2.1: (Πρόσθεση) Έστω δύο μμ νν πίνακες A= ( a ij ) και B = ( ) b ij. Ο πίνακας xx iiii μμ νν όπου: xx iiii = aa iiii + bb iiii για κάθε i=1..μ, j=1..ν

5 ονομάζεται άθροισμα των AA και B και συμβολίζεται AA + BB. Δηλαδή για να προσθέσουμε δύο πίνακες πρέπει να έχουν ίδια διάσταση, και τότε προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία τους. Για παράδειγμα, αν AA = και ΒΒ = 1, τότε: AA + BB = = = Ορισμός 2.2: Έστω πίνακας AA = aa iiii. Ο πίνακας αα μμ νν iiii μμ νν του ΑΑ και συμβολίζεται: ΑΑ. ονομάζεται αντίθετος Ιδιότητες Πρόσθεσης: 1) ΑΑ + ΒΒ = ΒΒ + ΑΑ 2) ΑΑ + (ΒΒ + ΓΓ) = (ΑΑ + ΒΒ) + ΓΓ 3) ΑΑ + OO = OO + ΑΑ = ΑΑ 4) ΑΑ + ( ΑΑ) = ( ΑΑ) + ΑΑ = OO Ορισμός 2.3: Έστω πίνακας AA = aa iiii. Ονομάζουμε γινόμενο του ΑΑ με τον αριθμό λλ R μμ νν και τον συμβολίζουμε λλλλ τον πίνακα: λλλλ = λλaa iiii μμ νν

6 Για παράδειγμα: αν AA = τότε 3AA = Ιδιότητες: 1) (κκ + λλ)αα = κκκκ + λλλλ 2) λλ(αα + ΒΒ) = λλλλ + λλλλ 3) κκ(λλλλ) = (κκκκ)αα 4) 1 ΑΑ = ΑΑ 5) λλλλ = OO λλ = ή ΑΑ = OO Ορισμός 2.4: (Πολλαπλασιασμός Πινάκων) Εστω AA = aa iiii ένας πίνακας τύπου ν μ και B = ( b ij ), ένας πίνακας τύπου μ κ. Το γινόμενο των δύο πινάκων θα είναι ένας πίνακας τύπου ν κ, (δηλαδή θα έχει όσες γραμμές έχει ο πίνακας Α και στήλες όσες έχει ο πίνακας Β) του οποίου το κάθε στοιχείο cc iiii προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία της i-γραμμής του Α με τα αντίστοιχα στοιχεία της j-στήλης του Β και αθροίσουμε τα γινόμενα. Δηλαδή: μμ cc iiii = aa iiii bb kkkk kk=1 = aa ii1 bb 1jj + aa ii2 bb 2jj + + aa iiii bb μμμμ Απ τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι για να πολλαπλασιάζονται δυο πίνακες θα πρέπει ο αριθμός στηλών του πρώτου να είναι ίσος με τον αριθμό γραμμών του δεύτερου. Τότε ο πίνακας που θα προκύψει θα έχει γραμμές ίσες με τις γραμμές του πρώτου και στήλες, ίσες με τις στήλες του δεύτερου. Για παράδειγμα: Αν : ΑΑ 3 2 κκκκκκ ΒΒ 2 4 ττόττττ ΑΑΑΑ 3 4 ΑΑ 2 3 κκκκκκ ΒΒ 3 1 ττόττττ ΑΑΑΑ 2 1 Αν ΑΑ 5 3 κκκκκκ ΒΒ 2 5 ττόττττ ΔΔΔΔΔΔ ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ ττττ ΑΑ ΒΒ το ΒΒ ΑΑ γίνεται και είναι ΒΒΒΒ 2 3

7 Παράδειγμα Δίνονται οι πίνακες: ΑΑ = ΒΒ = 2 ΓΓ = ( 2 6 5) 1 2 Να υπολογιστούν οι ΑΑ ΒΒ, ΒΒ ΑΑ, ΑΑ ΓΓ, ΓΓ ΒΒ, ΒΒ ΓΓ Λύση: ΑΑ ΒΒ = = ( 2) = ( 1) ( 1) + 2 ( 2) ΒΒ ΑΑ = = ( 1) ( 1) = ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) ΑΑ ΓΓ ΔΔΔΔΔΔ γγίνννννννννν 1 3 ΓΓ ΒΒ = ( 2 6 5) = (( 2) ( 2) ( 2)) = (15 16) ΒΒ ΓΓ ΔΔΔΔΔΔ γγίνννννννννν Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού:

8 1) ΑΑ (ΒΒ ΓΓ) = (ΑΑ ΒΒ) ΓΓ 2) ΑΑ (ΒΒ + ΓΓ) = ΑΑ ΒΒ + ΑΑ ΓΓ και (ΒΒ + ΓΓ) ΑΑ = ΒΒ ΑΑ + ΓΓ ΑΑ 3) (λλ ΑΑ) (μμ ΒΒ) = (λλλλ) ΑΑ ΒΒ 4) ΙΙ ΑΑ = ΑΑ ΙΙ = ΑΑ Ορισμός 2.5: Έστω ΑΑ τετραγωνικός πίνακας. Τότε: ΑΑ νν = ΑΑ ΑΑ ΑΑ νν φφφφφφέςς Παρατηρήσεις: 1) Δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό πινάκων. Δηλαδή: ΑΑ ΒΒ ΒΒ ΑΑ 2) Αν ΑΑ ΒΒ = OO ΑΑ = OO ή ΒΒ = OO 3) Αν ΑΑ ΒΒ = ΑΑ ΓΓ ΒΒ = ΓΓ 3. Ανάστροφος Πίνακας Ορισμός 3.1: (Ανάστροφος πίνακας) Έστω ΑΑ = αα iiii ένας μμ νν πίνακας. Ονομάζουμε ανάστροφο του ΑΑ και τον συμβολίζουμε ΑΑ ΤΤ τον νν μμ πίνακα που έχει ως γραμμές τις στήλες του ΑΑ. Δηλαδή: Αν ΑΑ ΤΤ = bb iiii είναι: bb iiii = αα jjjj

9 Παράδειγμα Αν ΑΑ = τότε: ΑΑΤΤ = Ιδιότητες ανάστροφου: 1) (ΑΑ ΤΤ ) ΤΤ = ΑΑ 2) (ΑΑ + ΒΒ) ΤΤ = ΑΑ ΤΤ + ΒΒ ΤΤ 3) (ΑΑ ΒΒ) ΤΤ = ΒΒ ΤΤ ΑΑ ΤΤ Ορισμοί 3.2: i) O πίνακας ΑΑ λέγεται συμμετρικός αν και μόνον αν ΑΑ ΤΤ = ΑΑ ii) O πίνακας ΑΑ λέγεται αντισυμμετρικός αν και μόνον αν ΑΑ ΤΤ = ΑΑ Παρατηρούμε ότι ένας συμμετρικός πίνακας θα είναι κατ ανάγκην τετραγωνικός, και για τα στοιχεία του ισχύει αα iiii = αα jjii. O αντισυμμετρικός πίνακας θα είναι τετραγωνικός, θα έχει τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου μηδέν και τα συμμετρικά στοιχεία ως προς την κύρια διαγώνιο αντίθετα. Παραδείγματα 3 1 Ο πίνακας 7 8 είναι συμμετρικός ενώ ο πίνακας είναι αντισυμμετρικός 1 1

10 4. Ορίζουσα Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ΑΑ, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός που ονομάζεται ορίζουσα του πίνακα ΑΑ, και συμβολίζεται: Η ορίζουσα υπολογίζεται ως εξής: Για πίνακα διάστασης 22 22: dddddd(aa) ή DD(AA) ή AA Αν ΑΑ = αα γγ ΑΑ = αα γγ ββ τότε η ορίζουσα του είναι: δδ ββ = αα δδ γγ ββ δδ Για πίνακα διάστασης νν νν: Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα, θα χρειαστεί να ορίσουμε τα εξής: Ελάσσων Ορίζουσα ΜΜ iiii του στοιχείου αα iiii ενός νν νν πίνακα, ονομάζεται η ορίζουσα του (νν 1) (νν 1) πίνακα που προκύπτει από τον πίνακα ΑΑ, αν αφαιρέσουμε την γραμμή και την στήλη που βρίσκεται το στοιχείο αα iiii Αλγεβρικό Συμπλήρωμα του στοιχείου αα iiii ενός νν νν πίνακα, ονομάζεται ο πραγματικός αριθμός: ΑΑ iiii = ( 1) ii+jj ΜΜ iiii όπου ΜΜ iiii η ελάσσων ορίζουσα του στοιχείου αα iiii Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα πίνακα νν νν, πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία μιας μόνο γραμμής με τα αλγεβρικά συμπληρώματα τους και προσθέτουμε τα γινόμενα. Δηλαδή:

11 AA = ( 1) ii+1 aa ii1 ΜΜ ii1 + ( 1) ii+2 aa ii2 ΜΜ ii2 + + ( 1) ii+nn aa iiii MM iiii ή AA = aa ii1 ΑΑ ii1 + aa ii2 ΑΑ ii2 + + aa iiii ΑΑ iiii Ο παραπάνω ορισμός θα εφαρμοστεί ειδικά για πίνακα διάστασης 33 33: aa 11 aa 12 aa 13 Αν ΑΑ = aa 21 aa 31 aa 22 aa 32 aa 23 τότε η ορίζουσα του ΑΑ είναι: aa 33 AA = ( 1) 1+1 aa 11 ΜΜ ii1 + ( 1) 1+2 aa 12 ΜΜ 12 + ( 1) 1+3 aa 13 MM 13 = aa 11 ΜΜ 11 aa 12 ΜΜ 12 + aa 13 MM 13 = αα 11 αα 22 αα 23 αα 32 αα αα 12 αα 21 αα αα 31 αα + αα 13 αα 21 αα αα 32 αα 31 Η παραπάνω έκφραση ονομάζεται «ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς την 1 η γραμμή». Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό της ορίζουσας την 2 η ή την 3 η γραμμή, και φυσικά θα καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Παρατήρηση: Για να θυμόμαστε το πρόσημο του παράγοντα ( 1) ii+jj μπορούμε να θεωρήσουμε τον ακόλουθο πίνακα Παράδειγμα: Να υπολογιστεί η ορίζουσα του πίνακα ΑΑ =

12 1 4 3 AA = = = (5( 2) ( 3)4) 4 (2( 2) 1 4) + 3 (2( 3) 1 5) = 1 Κανόνας Sarrus: Ειδικά για τον υπολογισμό της τιμής μιας ορίζουσας τρίτης τάξης (πίνακα 3 3), ισχύει και ο παρακάτω πρακτικός κανόνας (Κανόνας του Sarrus ): aa 11 aa 12 aa 13 aa 11 aa 12 aa 13 aa 21 aa 22 aa 23 = aa 21 aa 22 aa 23 aa 31 aa 32 aa 33 aa 31 aa 32 aa 33 aa 11 aa 12 aa 21 aa 22 = aa 31 aa αα 11 αα 22 αα 33 + αα 12 αα 23 αα 33 + αα 13 αα 21 αα 32 αα 13 αα 22 αα 31 αα 11 αα 23 αα 32 αα 12 αα 21 αα 33 Παράδειγμα: Θα υπολογίσουμε την ορίζουσα του προηγούμενου παραδείγματος με τον κανόνα του Sarrus = = 1 5 ( 2) ( 3) ( 3) 4 2 ( 2) = = 1 5. Αντίστροφος Πίνακας Ορισμός 5.1: Ένας τετραγωνικός πίνακας AA χαρακτηρίζεται ως αντιστρέψιμος εάν υπάρχει πίνακας BB τέτοιος ώστε AAAA = BBBB = ΙΙ. Τότε ο πίνακας ΒΒ ονομάζεται αντίστροφος πίνακας του ΑΑ και συμβολίζεται: ΑΑ 1. Δηλαδή ισχύει: όπου ΙΙ ο μοναδιαίος πίνακας. AAAA 1 = AA 1 AA = II

13 Ορισμός 5.2: Έστω ότι ο A είναι ένας τετραγωνικός νν νν πίνακας. Ονομάζουμε προσαρτημένο πίνακα (adjoint matrix) του A, και τον συμβολίζουμε με adja, τον πίνακα: ΤΤ ΑΑ 11 ΑΑ 12 ΑΑ 1νν ΑΑ 11 ΑΑ 21 ΑΑ νν1 ΑΑ ΑΑ = 21 ΑΑ 22 AA 2νν AA νν1 AA νν2 AA νννν ΑΑ = 12 ΑΑ 22 AA νν2 AA 1νν AA 2νν AA νννν όπου ΑΑ iiii = ( 1) ii+jj ΜΜ iiii είναι το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου αα iiii Θεώρημα 5.1: Ένας τετραγωνικός πίνακας ΑΑ νν νν είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν ΑΑ. Τότε ο αντίστροφος του ΑΑ υπολογίζεται από τον τύπο: AA 1 = 1 AA aaaaaaaa ΑΑ 11 ΑΑ 12 ΑΑ 1νν ΑΑ 1 = 1 ΑΑ ΑΑ 21 ΑΑ 22 AA 2νν AA νν1 AA νν2 AA νννν ΤΤ Ειδικά για τον αντίστροφο πίνακα έχουμε: Αν ΑΑ = αα ββ γγ δδ και ΑΑ τότε: AA 1 = 1 δδ ββ AA γγ αα Παράδειγμα Να βρεθεί ο αντίστροφος του ΑΑ = 2 3 (αν υπάρχει) 4 8 Λύση:

14 άρα: AA 1 = 1 4 ΑΑ = = = = Παράδειγμα Να βρεθεί (αν υπάρχει ) ο αντίστροφος του πίνακα ΑΑ = Λύση: AA = = ( 1) = 4( 1) ( 2) = 2 άρα ο ΑΑ αντιστρέφεται. ΑΑ 11 = ( 1) = 1 ΑΑ 12 = ( 1) = ΑΑ 13 = ( 1) = ΑΑ 21 = ( 1) = 4 ΑΑ 22 = ( 1) = 2 ΑΑ 23 = ( 1) = ΑΑ 31 = ( 1) = 7 ΑΑ 32 = ( 1) = 2 ΑΑ 33 = ( 1) = ΑΑ 1 = 1 ΑΑ 11 ΑΑ 12 ΑΑ 13 ΑΑ ΑΑ 21 ΑΑ 22 AA 23 AA 31 AA 32 AA 33 ΤΤ = = ΤΤ =

15 6. Επίλυση Γραμμικού Συστήματος με Αντίστροφο Πίνακα Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα: (Σ) aa 11 xx 1 + aa 12 xx aa 1nn xx nn = ββ 1 aa 21 xx 1 + aa 22 xx aa 2nn xx nn = ββ 2 aa nn1 xx 1 + aa nn2 xx aa nnnn xx nn = ββ nn Θεωρούμε επίσης τους παρακάτω πίνακες: αα 11 αα 12 αα 1nn aa AA = 21 aa 22 aa 2nn, aa nn1 aa nn2 aa nnnn Πίνακας nn nn που περιέχει τους συντελεστές των αγνώστων xx 1 xx 2 XX = Πίνακας nn 1 που περιέχει τους αγνώστους xx nn ββ 1 ββ 2 και BB = Πίνακας nn 1 που περιέχει τους σταθερούς όρους ββ nn Τότε, το σύστημα (Σ) είναι ισοδύναμο με την ισότητα: AA XX = BB Δηλαδή: αα 11 αα 12 αα 1nn xx 1 ββ 1 aa 21 aa 22 aa 2nn xx 2 ββ = 2 aa nn1 aa nn2 aa nnnn xx nn ββ nn Από την τελευταία ισότητα, λύνοντας ως προς τον πίνακα ΧΧ παίρνουμε:

16 ΑΑ ΧΧ = ΒΒ ΑΑ 1 ΑΑ ΧΧ = ΑΑ 1 ΒΒ ΙΙ ΧΧ = ΑΑ 1 ΒΒ ΧΧ = ΑΑ 1 ΒΒ Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι για να βρούμε την λύση του συστήματος, θα πρέπει να βρούμε τον αντίστροφο του πίνακα συντελεστών και στη συνέχεια να τον πολλαπλασιάσουμε με τον πίνακα των σταθερών όρων. Παράδειγμα Να λυθεί το σύστημα: xx + 4yy + 3zz = 1 2xx + 5yy + 4zz = 4 xx 3yy 2zz = 5 Λύση: Θεωρούμε τους πίνακες: ΑΑ = xx ΧΧ = yy και zz 1 ΒΒ = AA = = = 2 4( 8) + 3( 11) = 1. Αρα ο πίνακας αντιστρέφεται. ΑΑ 11 = ( 1) = 2 ΑΑ 12 = ( 1) = 8 ΑΑ 13 = ( 1) = ΑΑ 21 = ( 1) = 1 ΑΑ 22 = ( 1) = 5 ΑΑ 23 = ( 1) = 7 ΑΑ 31 = ( 1) = 1 ΑΑ 32 = ( 1) = 2 ΑΑ 33 = ( 1) = 3 2 5

17 ΑΑ 1 = 1 ΑΑ 11 ΑΑ 12 ΑΑ 13 ΑΑ ΑΑ 21 ΑΑ 22 AA 23 AA 31 AA 32 AA 33 ΤΤ = ΤΤ = ΧΧ = ΑΑ 1 ΒΒ = = = Άρα: xx = 3, yy = 2, zz = 2 AΣΚΗΣΕΙΣ 1 1 1) Αν ΑΑ = πίνακας, να υπολογιστεί το f ( A) 2 και ( X) X X I f = + 2 +, όπου I ο μοναδιαίος 2) Αν ΑΑ = 1 2 i) Να βρεθούν τα R 2 4 x, y ώστε A 2 = x A+ y I 3 ii) Να υπολογιστούν: A, 4 A 3) Αν ΑΑ = , ΒΒ = 2, ΓΓ = ( 4 1 1), ΔΔ =, να υπολογιστούν τα γινόμενα: (εάν υπάρχουν) i) A B ii) B A iii) A Γ iv) Γ A v) Γ vi) Γ 4) Δίνονται οι πίνακες: ΑΑ = και ΒΒ = 2 2. Να 3

18 υπολογιστούν: i) H ορίζουσα του πίνακα ΒΒ ΑΑ ii) Ο πίνακας (ΑΑ ΒΒ) ΤΤ 5) Δίνονται οι πίνακες: ΑΑ = και ΒΒ = 1. Να βρεθούν: 1 3 i) Οι πίνακες: XX = AA BB και YY = AA AA TT ii) Ο αντίστροφος του πίνακα XX 6) Να βρεθεί (εάν υπάρχει) ο αντίστροφος του πίνακα: i) ΑΑ = ii) AA = ) α. Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα: AA = β. Να λυθεί το σύστημα: x 2y + z = 2x y + 5z = 3 3x + y + 2z = ) Δίνεται ο πίνακας: AA = i) Να βρεθεί ο αντίστροφος του A. 1 ii) Να λυθεί το σύστημα: ΑΑ ΧΧ = ΒΒ όπου ΒΒ = 5 4