Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Transcript

1 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

2 Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες mn Μέγεθος του Α Συμβολισμοί a a a a a a a a a n n m1 m2 mn a, 1 im,1 j n Αν m=n ο πίνακας ονομάζεται Τετράγωνος ή Τετραγωνικός ή M (F) m n M (F) n ή F mn ή F nn Το σύνολο των mxn πινάκων με στοιχεία από το σύνολο F Το σύνολο των τετράγωνων πινάκων με στοιχεία από το F Ορισμός Πίνακα ως Συνάρτηση : F, {1, 2,..., m}, {1, 2,..., n}

3 Ειδικές Περιπτώσεις Πινάκων Πίνακας Γραμμή 1 n a1 a2 a Πίνακας Στοιχείο 11 n Πίνακας στήλη m1 a1 a 2 am Αναπαράσταση Διανύσματος στον m Ίχνος Τετράγωνου Πίνακα tr( ) a a... a a nn nn ii i1 Ισότητα δύο Πινάκων Πρέπει να έχουν το ίδιο μέγεθος και τα ομοθέσια στοιχεία τους να είναι ίσα n Άθροισμα Διαγώνιων Στοιχείων

4 Άνω και Κάτω Τριγωνικός Άνω Τριγωνικός a 0 i j m n Όλα μηδέν Κάτω Τριγωνικός Κύρια Διαγώνιος a 0 i j ( i j) m n

5 Μηδενικός Διαγώνιος Ταυτοτικός Μηδενικός Om n m n Διαγώνιος a a 0 i j 0 i, j O Ταυτοτικός a 1 i j, a 0 i j In Τετράγωνος Διαγώνιος I

6 Ανάστροφος Συμμετρικός Αντισυμμετρικός Ο ανάστροφος ενός mxn πίνακα, είναι ο nxm πίνακας που προκύπτει από τον αν τις γραμμές του τις γράψουμε ως στήλες, 1,1 a a in j m Συμμετρικός Πίνακας: Αν Αντισυμμετρικός Πίνακας: Αν ji Στη διαγώνιο έχουμε αναγκαστικά 0 a a, 1 i, j n ji Ισχύει γενικά Τετράγωνος πίνακας με Τετράγωνος πίνακας με a a, 1 i, jn ji

7 Συζυγής Ερμιτιανιός Αν Mm n τότε ο συζυγής του ορίζεται ως a, i, j 3 14i i 3 14i i i i Ερμιτιανός Πίνακας Αν o τετράγωνος και ισχύει ότι 3 2i i 2 i 7 4 i i 4 i 1 Η διαγώνιος περιέχει πάντοτε μόνον πραγματικούς αριθμούς M n και ο Ερμιτιανός ο Συμμετρικός

8 Πρόσθεση Πινάκων Αν B, F Ιδιότητες Mm n τότε B a b a b B B ( BC) ( B) C O O ( ) O ( B) B B B Πρέπει και οι δύο να έχουν το ίδιο μέγεθος Αντιμεταθετική Ιδιότητα Μηδενικό Στοιχείο Αντίθετος Πίνακας Προσεταιριστική Ιδιότητα Κάθε Τετράγωνος πίνακας γράφεται ως άθροισμα ενός Συμμετρικού και ενός Αντισυμμετρικού πίνακα:

9 Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Πίνακα Mm n F F Αν και τότε a a Ιδιότητες ( B) B ( 1) Αντιμεταθετική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα Προσεταιριστική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα Αντίθετος πίνακας

10 Γινόμενο Πινάκων Mm k F Αν και τότε B F F Mk n C B M m n Πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου πίνακα να ταυτίζεται με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου k c a b a b a b... a b, i, j is sj i1 1j i2 2 j ik kj s1 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων i γραμμής και j στήλης 1, 2,, c a a a i i ik b1 j b2 j b kj

11 Γραμμικός Συνδυασμός στοιχείων ενός συνόλου Είναι μία έκφραση, η οποία κατασκευάζεται από ένα σύνολο όρων (συνήθως διανυσμάτων) πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο με μία σταθερά (συνήθως πραγματικού αριθμού) και αθροίζοντας τα γινόμενα: cv 1 1 cv cv n n π.χ. 2 3b c 6 2B όπου, bc, όπου B, ( ) n Mm n 3 f ( x) 5 g( x) όπου f, g:

12 Γινόμενο πινάκων ΑΒ ως γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του Β Η i γραμμή του γινομένου δύο πινάκων Α, Β ισούται με το γραμμικό συνδυασμό των γραμμών του Β με συντελεστές τις συνιστώσες της i γραμμής του Α mk a a... a a a... a a a... a k k m1 m2 mk B kn b11 b12... b1 n R1 b21 b22... b 2n R bk1 bk2... bkn Rk C mn a11r1 a12r2... a1 krk a21r1 a22r2... a2kr k B... am 1R1am2R2... amkrk

13 Γινόμενο πινάκων ΑΒ ως γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Α Η j στήλη του γινομένου δύο πινάκων Α, Β ισούται με το γραμμικό συνδυασμό των στηλών του Α με συντελεστές τις συνιστώσες της j στήλης του Β a11 a12... a1 k a a... a am1 am2... amk k m k C1 C2... Ck B kn b11 b12... b1 n b21 b22... b 2n bk1 bk2... bkn C B b C b C... b C b C b C... b C mn k1 k 1n 1 2n 2 kn k

14 Παραδείγματα Πολλαπλασιασμού Πινάκων Πίνακα με Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) x c x Το ίδιο μπορεί να γραφεί και σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών του Α c x

15 Παραδείγματα Πολλαπλασιασμού Πινάκων Πίνακα Γραμμή με Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) a b c 11 ab Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να πούμε ότι το αποτέλεσμα είναι ο αριθμός 17 (αντί ένας πίνακας 1x1 με στοιχείο το 17) Πίνακα Στήλη (Διάνυσμα) με Πίνακα Γραμμή a b c ab

16 Παραδείγματα Πολλαπλασιασμού Πινάκων B C B Μπορούμε να εκφράσουμε την κάθε γραμμή του C ως γραμμικό συνδυασμό των γραμμών του Β. Για παράδειγμα για τη 2 η γραμμή θα έχουμε: Επίσης μπορούμε να εκφράσουμε την κάθε στήλη του C ως γραμμικό συνδυασμό των στηλών του Α. Για παράδειγμα για τη 3 η στήλη θα έχουμε:

17 Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Πινάκων Έστω οι B B ( C) B C ( BC) BC ( B) B B ( B) n, BC, B B I I OOO n Τετράγωνοι, τότε Δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα (Εν γένει) Επιμεριστική ιδιότητα Επιμεριστική ιδιότητα Mm n F Αν τότε οι πίνακες και είναι συμμετρικοί

18 Δύναμη Τετράγωνου Πίνακα Προσοχή: k k k B B B B B k k B BBB 2BB k Ισχύει ο Διωνυμικός Τύπος n n n n n nk n In I n1 nk 1 1 n n! ό k k!( n k)! I 2I π.χ n, Για Διαγώνιους πίνακες diag( a, a,, a n ) k k k k 1 2

19 Αντίστροφος Τετράγωνου Πίνακα Δεν υπάρχει πάντοτε, αλλά αν υπάρχει είναι μοναδικός Ένας πίνακας που δεν έχει αντίστροφο, ονομάζεται ιδιάζων ή ιδιόμορφος. Ιδιότητες 1 1 B B k 1 1 k, 0 C CB B 1 C ό C BC B (1/,1/,,1/ ) 1 diag a1 a2 an 1 1 I Δεξιός Αντίστροφος Αριστερός Αντίστροφος Ο Δεξιός ή ο Αριστερός αντίστροφος, ορίζονται και για μη τετράγωνους πίνακες. Αν υπάρχει ο Αριστερός Αντίστροφος ενός τετράγωνου πίνακα τότε υπάρχει και ο Δεξιός Αντίστροφός του και μάλιστα οι δύο Αντίστροφοι ταυτίζονται. Το ίδιο ισχύει και για τον Δεξιό Αντίστροφο Αν ο Α διαγώνιος