Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος"

Άλκηστις Βιτάλης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B, e) A, f) B, g) CC, h) CC, i) BB, j) BB, k) C AC a) Ο πίνακας Α έχει διαστάσεις 3x3 και ο Β 3x. Επειδή οι στήλες του πρώτου είναι ίσες με τις γραμμές του δεύτερου, το γινόμενο ΑΒ ορίζεται και είναι: ()() + ( )() + (3)(3) ()() + ( )(4) + (3)(7) 5 AB ()() ( 5)() (4)(3) ()() ( 5)(4) (4)(7) (4)() + ( 3)() + (8)(3) (4)() + ( 3)(4) + (8)(7) 8 5 b) Ο πίνακας Β έχει διαστάσεις 3x και ο Α 3x3. Επειδή οι στήλες του πρώτου δεν είναι ίσες με τις γραμμές του δεύτερου, το γινόμενο ΒA δεν ορίζεται γιατί δεν ταιριάζουν οι διαστάσεις c) Ο πίνακας C έχει διαστάσεις 3x και ο Β 3x. Επειδή οι στήλες του πρώτου δεν είναι ίσες με τις γραμμές του δεύτερου, το γινόμενο CB δεν ορίζεται C 3 έχει διαστάσεις x3 και ο Β 3x, επομένως το γινόμενο d) Ο πίνακας [ ] ορίζεται και είναι: Τ ()() + ()() + (3)(3) C B ()() + ()(4) + (3)(7) 3 e) A AA Ορίζεται, γιατί πολλαπλασιάζουμε δύο πίνακες 3x3 3 3 A ()() + ( )() + (3)(4) ()( ) + ( )( 5) + (3)( 3) ()(3) + ( )(4) + (3)(8) ()() + ( 5)() + (4)(4) ()( ) + ( 5)( 5) + (4)( 3) ()(3) + ( 5)(4) + (4)(8) (4)() + ( 3)() + (8)( 4) (4)( ) + ( 3)( 5) + (8)(8) (4)(3) + ( 3)(4) + (8)(8) f) B BB Δεν ορίζεται γιατί πολλαπλασιάζονται δύο πίνακες 3x και επομένως δεν ταιριάζουν οι διαστάσεις

2 3 ()() + ()() + (3)(3) [4] 3 ()() ()() ()(3) 3 h) CC [ 3 ] ()() ()() ()(3) (3)() (3)() (3)(3) i) B 4 B ()() + ()() ()() + ()(4) ()(3) + ()(7) BB ()() (4)() ()() (4)(4) ()(3) (4)(7) (3)() + (7)() (3)() + (7)(4) (3)(3) + (7)(7) g) CC [ ] [ ] j) o γινόμενο BBδεν ορίζεται καθώς δεν ταιριάζουν οι διαστάσεις του C AC C A C k) ( ) 3 C A [ 3 ] [()() ()() (3)(4) ()( ) ()( 5) (3)( 3) ()(3) ()(4) (3)(8)] [ 3 35] ( CAC ) [ 3 35 ] [(3)() + ( )() + (35)(3)] [ 76] 3. Αν A [ x y, ] B 3, C A 3 δείξτε ότι ABC O x + y + 4x + 6y AB [ x y ] 3 [ x + 3 y + 3 x + 3y ] x ABC ( AB) C ( AB) A [ x + y + 3 x + 3y ] y [ x( x + ) + y( y + 3) + x + 3y ] x + y + 4x+ 6y ABC O x + y + 4x + 6y [ ] x + y + 4x + 6y

3 Αναλύστε τον πίνακα A αντισυμμετρικού πίνακα. σε άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός Ο πίνακας A γράφεται ως Τ Τ A ( A+ A ) + ( A A ) όπου ο ( ) A + AΤ είναι συμμετρικός και ο ( ) A AΤ αντισυμμετρικός Έτσι ( A A Τ + ) ( A A Τ ) Επομένως A (Μπορούμε αν θέλουμε να κάνουμε τις πράξεις και να επαληθεύσουμε την ισότητα) k 4 4. Αν A, B k 8 3 πίνακα AB ισούται με 4. βρείτε για ποιες τιμές του k το ίχνος του 3

4 k 8k+ 8 43k AB k 5 tr( A) k 8k k 8k+ 3 Θέλουμε να είναι tr( A) 4 k 8k+ 3 4 k 8k+ 9 Επομένως ( 8) ± ( 8) 36 8 ± 8 k 4± 7 ()() 3 5. Αν A, B δείξτε ότι α) ο πίνακας Α ικανοποιεί την εξίσωση: x b) f( B) O όπου f( x) x + 4x+ 3 6x 7 a) Για να δείξουμε ότι ο πίνακας Α ικανοποιεί την εξίσωση x 6x 7 θα πρέπει να δείξουμε ότι ισχύει A 6A 7I Ox Είναι A AA A I 7 7 Έτσι A 6A 7I O x b) f( B) B + 4B+ 3I O x 6. Αν ισχύει ότι A B A B A B ( ) A + B A + AB + B ( )( + ) τότε δείξτε ότι ισχύει η ταυτότητα 4

5 Η πρώτη σχέση δίνει A B ( A B)( A+ B) A B ( A B) A+ ( AB) B A B A BA + AB B BA + AB AB BA H δεύτερη σχέση γράφεται ως ( ) ( )( ) ( ) ( ) A+ B A+ B A+ B A+ B A+ A+ B B A + BA+ AB+ B Επειδή όμως δείξαμε ότι AB BA θα είναι τελικά ( ) A + B A + AB + B 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: 4 6 x x b) X a) α) [ ] [ ] 4 6 x [ x ] 3 [ 7] 3 x [ 4x5 6x ] 3 [ 7] x [ ] x 4 b) Για να είναι εφικτή η άθροιση μέσα στην παρένθεση, ο Χ πρέπει να είναι πίνακας 4 x όπως και ο Έτσι x 4 9 x+ 4 9 x+ y y y 3x 4y x+ y+ 9 x+ y 7 () 3x+ 4y+ 8 3x+ 4y () Από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε x 7 y και αντικαθιστούμε στην δεύτερη, η οποία γίνεται: 4x + 3x 7 7 4x + 3x 7 7 4x + 3x x(4x+ 3) 3 5

6 3 3( 7 y) + 4y y y Θέτουμε αυτή την τιμή στην () και παίρνουμε 3 x+ 7 x 4 4 Επομένως X 3 8. Δίνεται ο πίνακας A 3. Να δείξετε ότι αν για έναν πίνακα B ισχύει AB BA τότε ο πίνακας B γράφεται ως B κi + λα με κλ, Ο πίνακας B είναι x όπως και ο A, διαφορετικά δεν μπορεί να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα του γινομένου. a b Έστω B c d με abcd,,, Τότε a b a+ c b+ d AB 3 c d a+ 3c b+ 3d και a b a b a+ 3b BA c d 3 c d c+ 3d Επομένως a+ c a b cb b d a 3b + + d a+ b AB BA a+ 3c c d d ac b+ 3d c+ 3d cb Παρατηρούμε ότι η η και η η εξίσωση ταυτίζονται. Επίσης θέτοντας την η εξίσωση στην 3 η παίρνουμε την η. Έτσι το σύστημα τελικώς μπορεί να γραφεί ως c b d a + b Δηλαδή ο πίνακας B έχει την μορφή a b B b a+ b Επίσης είναι κ + λ λ κi + λα κ λ + 3 λ κ + 3λ 6

7 Θα πρέπει τώρα να προσδιορίσουμε τις τιμές των κλ, από τη σχέση B κi + λα a b κ + λ λ b a b λ κ 3λ + + a κ + λ b λ a κ + λ κ α b b λ b λ λ b a+ b κ + 3λ B a b I + bα Έτσι ( ) 9. Αν για τους πίνακες AB, ισχύουν οι ισότητες AB A και BA B να δείξετε ότι α) A A και B B n n A+ B A+ B, n b) ( ) ( ) c) Να υπολογίσετε τον πίνακα 5 C με C a) Για να δείξουμε τη σχέση A A πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της σχέσης AB A από δεξιά με A και παίρνουμε διαδοχικά: ABA AA A BA A AB A A A ( ) Για να δείξουμε τη σχέση B B πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της σχέσης BA B από δεξιά με B και παίρνουμε διαδοχικά: BA B BAB BB B AB B BA B B B ( ) b) Θα χρησιμοποιήσουμε μαθηματική επαγωγή Για n η σχέση γίνεται ( A+ B) ( A+ B) ( A+ B) o αριστερό μέλος δίνει A+ B A+ B A+ B A A+ B + B A+ B ( ) ( )( ) ( ) ( ) A + AB+ BA+ B A+ A+ B+ B A+ B ( A+ B) Επομένως για n ισχύει ο τύπος Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι ισχύει για nk, δηλαδή ότι k k A+ B A+ B ( ) ( ) Θα δείξουμε ότι ισχύει και για nk+, δηλαδή ότι k + k A+ B A+ B ( ) ( ) 7

8 o αριστερό μέλος δίνει διαδοχικά k+ k k ( A B) ( A B) ( A B) ( A B)( A B) ( A B) ( A B) ( A B) k k k Επομένως ο τύπος ισχύει για κάθε n c) Παρατηρούμε ότι C I 5 Έτσι θα είναι ( ) C I I I Επίσης στο ίδιο συμπέρασμα μπορούμε να φτάσουμε αν γράψουμε τον C ως C A B + + Ισχύει προφανώς ότι AB A και BA B Έτσι κάνοντας χρήση της σχέσης n n ( A+ B) ( A+ B), n παίρνουμε C ( A+ B) ( A+ B) C I. Για ποιες τιμές του k είναι κάτω τριγωνικοί οι ακόλουθοι πίνακες 7 k k 5k+ 4 α) 3 και 9 k 4 5 k 3k4 4k 3k + 5 b) k Θα πρέπει όλα τα στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο να είναι ίσα με το a) k () k 5k+ 4 () 3 k (3) H () δίνει k ± Η () δίνει k, k 4 Τέλος η (3) δίνει k (και δύο μιγαδικές) Επομένως η κοινή λύση και των 3 ων περιορισμών είναι η k b) Ο πίνακας αυτός δεν μπορεί να είναι κάτω τριγωνικός γιατί υπάρχει στοιχείο διάφορο του μηδενός πάνω από τη διαγώνιο (το στη θέση,3) 8

9 . Αν A n να υπολογίσετε τον πίνακα A, n 4 ()() A AA ()(3) A AA ()(4) A AA Υποθέτουμε ότι θα είναι n n A Θα το αποδείξουμε χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή. Για n προφανώς ισχύει Υποθέτουμε ότι ισχύει για nk, δηλαδή ότι k k A Θα πρέπει να δείξουμε τη σχέση και για nk+, δηλαδή ότι k ( k + ) A + Είναι k k ( k ) k A AA k Επομένως δείξαμε πως n n A, n. Αν A να υπολογισθούν οι πίνακες: α) A, b) A, c) A a) A 3 A AA I 6 (3)(5) + (3)(5) b) A A A A ( A) A ( I) A IA A 9

10 599 (3)(99) + (3)(99) A A A A A A I A IA A c) ( ) ( ) 3 k k k 3. Να βρεθεί ο αριθμός k για τον οποίο ο πίνακας B k γίνεται ο αντίστροφος του πίνακα A 3 k 3 k k AA I3 k k 5 4k k k k k k k k () k 3k 5 () k 4 k (3) k (4) 6 3 (5) k k + 5 (6) k 3+ k 7 (7) Η () δίνει k H () δίνει k, k 3 H (3) δίνει k Η (4) δίνει k Η (5) δίνει k Η (6) δίνει k, k Τέλος η (7) δίνει k

11 Επομένως η κοινή λύση όλων των περιορισμών δίνει k 4. Δείξτε ότι σε τετραγωνικούς πίνακες η ισότητα AX I, δεδομένου ότι υπάρχει ο X, συνεπάγεται την ισότητα XA I Παρατήρηση: Η ισότητα AX I συνεπάγεται από μόνη της το ότι υπάρχει ο X, αλλά η απόδειξη απαιτεί γνώσεις που θα αποκτήσετε σε επόμενα κεφάλαια της γραμμικής άλγεβρας. Έχουμε διαδοχικά AX I AXX IX AI X A X XA XX XA I 5. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν οι αντίστροφοι των πινάκων AB, και A+ B δείξτε ότι ισχύει ότι: Είναι A( A+ B) B B( A+ B) A ( A + B ) A( A+ B) B B ( A+ B) A B ( A+ B) A B AA + B BA B I + IA B + A A + B Επομένως ( ) AA ( + B) B AA ( B) B + A + B Αντίστοιχα έχουμε B( A+ B) A A ( A+ B) B A ( A+ B) B A AB + A BB IB + A I B + A A + B Επομένως ( ) BA ( + B) A BA ( B) A + A + B

Σχετικά έγγραφα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες