Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

Transcript

1 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

2 Γραµµική άλγεβρα είναι τοµέας των µαθηµατικών ο οποίος ασχολείται µε τη µελέτη διανυσµάτων, διανυσµατικών χώρων, γραµµικών απεικονίσεων και συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων µέσω των πινάκων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

3 Περιεχόµενα του µαθήµατος 1. Πίνακες & ορίζουσες 2. Γραµµικά συστήµατα 3. ιανύσµατα 4. Αναλλοίωτα µεγέθη πινάκων Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

4 1. Ορισµοί 2. Πράξεις πινάκων 3. Αντιστροφή πίνακα 4. Όµοιοι πίνακες 5. Ορίζουσες και ιδιότητες οριζουσών Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

5 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Επίλυση Crammer 3. Επίλυση Gauss 4. Οµογενές σύστηµα 5. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 6. Επίλυση µε αντίστροφο πίνακα Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

6 Κ3: ιανύσµατα 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

7 Κ4: Αναλλοίωτα µεγέθη πινάκων 1. Ορισµοί 2. Εύρεση ιδιοτιµών 3. Εύρεση ιδιοδιανυσµάτων Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πίνακες & Ορίζουσες Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

9 Πίνακαςονοµάζεται κάθε ορθογώνια διάταξη mxn στοιχείων της µορφής α11 α12... α1 n α21 α22... α2 n A=... αm 1 αm 2... α mn ή α11 α12... α1 n α21 α22... α 2n A=... αm 1 αm 2... αmn m (=πλήθοςγραµµών), n (=πλήθοςστηλών) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

10 Τα α11, α12,..., αmn πρέπει να είναι οµοειδή δηλ. να ανήκουν στο ίδιο σύνολο. Στα πλαίσια του δικού µας µαθήµατος είναι πραγµατικοίεκτός αν αναφέρεται ρητώς κάτι διαφορετικό. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

11 Αν α R, i=1,..., m, j=1,...,nτότε λέµε i, j ο πίνακας ανήκει στο σύνολο Μόλων των πινάκων µεγέθους mxn και συµβολίζουµε A Μ mxn ( R) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

12 Αν m = n τότε ο πίνακας ονοµάζεται τετραγωνικός πίνακας διάστασης n και συµβολίζουµε A ΜR n( ) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

13 Ισότητα πινάκων: A= B aij = bij i, j υο πίνακες είναι ίσοι αν έχουν ένα προς ένα όλατα αντίστοιχαστοιχεία στοιχεία τους ίσα βρίσκονται σε αντίστοιχες θέσεις Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

14 Πίνακας στήλη: S α 1 α 2 = αm Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

15 Πίνακας γραµµή: G= [ α α α ] n Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

16 Πίνακας κλιµακωτός (ή τριγωνικός) άνω: K a α 11 α α 1 n 0 α22... α 2n = αnn Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

17 Πίνακας κλιµακωτός (ή τριγωνικός) κάτω: K k α α21 α =... αn 1 αn2... αnn Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

18 Μοναδιαίος τετραγωνικός πίνακας: I= Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

19 Πρόσθεση/Αφαίρεση πινάκων: C= A± B cij = aij ± bij i, j α11 α12... α1 n b11 b12... b1 n α11± b11 α12± b12... α1 n± b1 n α21 α22... α 2n b21 b22... b 2n α21± b21 α22± b22... α2n± b 2n ± = αm 1 αm2... αmn bm 1 bm 2... bmn αm 1± bm 1 αm2± bm 2... αmn± bmn Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

20 υο πίνακες µπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν µόνο όταν έχουν και οι δυοτις ίδιες διαστάσεις και µάλιστα το αποτέλεσµα έχει και αυτό τις ίδιες διαστάσεις. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

21 Παράδειγµα: 1 2 A = 3 4 A+ B= + = = B = A B= = = Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

22 Ιδιότητες πρόσθεσης: 1. Μεταθετική A+ B= B+ A 2. Προσεταιριστική A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3. Ουδέτερο στοιχείο A+ 0 = 0 + A= A 4. Αντίθετο στοιχείο A + ( A ) = ( A) + A= 0 5. Ισοδυναµία A+ B= A+ C B= C Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

23 Εξωτερικός πολλαπλασιασµός : B= λa bij = λaij i, j α11 α12... α1 n λa11 λa12... λa1 n α21 α22... α 2n λa21 λa22... λa 2n λ = α α... α λa λa... λa m1 m2 mn m1 m2 mn Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

24 Παράδειγµα: 1 2 A = 3 4 λa= 7 = = λ=7 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

25 Ιδιότητες εξωτερικού πολλαπλασιασµού: ( λ + µ ) A = λ A + µ A λ( A+ B ) = λa + λb λ ( µ A) = ( λµ ) A 1A= A ΠΡΟΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΠΟΛΛ/ΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

26 Ιδιότητες εξωτερικού πολλαπλασιασµού: ΜΗ ΕΝΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 0 A= 0 λ 0 = 0 λa = λb A= B, λ 0 λ A = µ A λ = µ, A 0 ΜΗ ΕΝ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

27 Εσωτερικός πολλαπλασιασµός: A Μm xk ( R ), B Μk xn ( R ), C Μm xn ( R ) C= A B cij = a ipbpj, i, j k p= 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

28 Εσωτερικός πολλαπλασιασµός: α11 α12... α1 k b11 b12... b1 n α 21 α22... α 2k b21 b22... b 2n = αm 1 αm 2... αmk bk 1 bk 2... bkn α11 b11 + α12 b α1 b1 α11 b12 + α12 b α1 b 2... α11 b1 + α12 b α1 b α21b 11+ α = b α b α b + α b α b... α b + α b α b... α 1b 11+ α 2b α b 1 α 1b 12+ α 2b α b 2... α 1b 1 + α 2b α b k k k k n n k kn k k k k n n k kn m m mk k m m mk k m n m n mk kn Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

29 υο πίνακες µπορούν να πολλαπλασιαστούν εσωτερικά µόνον όταν το πλήθος των στηλών του πρώτου είναι ίσο µε το πλήθος των γραµµών του δεύτερου. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

30 Παράδειγµα: 1 2 A = B= 7 8 A B= = = = Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

31 Στον εσωτερικό πολλαπλασιασµό δεν ισχύει η µεταθετική ιδιότητα. A B B A Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

32 Παράδειγµα: ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ!!!! A= 1 0 A B= = = B = B A + + = = = Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

33 υνάµεις πινάκων: 0 A = I 1 A = A Οι δυνάµεις µπορούν να 2 A = A A οριστούν µόνο σε 3 2 A = A A τετραγωνικούς πίνακες. n n 1 A = A A Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

34 Αντίστροφοςενός πίνακα ονοµάζεται ένας άλλος πίνακας ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί και από τις δυο µεριές µε τον αρχικό δίνει τον µοναδιαίο πίνακα. A 1 αντίστροφος του A 1 1 A A = A A= I Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

35 Αντίστροφο έχουν µόνο οι τετραγωνικοί πίνακες. 1 1 A A = A A= I Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

36 Μια εφαρµογή (άσκηση): 2 Έστω ο n n πίνακας Αγια τον οποίο είναι γνωστό ότι Α + 2Α= 0 Να λυθεί η εξίσωση Α Χ=Α Χ 2 2 Α + 2Α= 0 Α + 2Α+ I= I ( Α+ I) 2 = I ( Α+ I)( Α+ I) = I ( ) Άρα Α+ I 1 =Α+ I Επίσης Α Χ= Α Χ Α= Α Χ+Χ Α= ( Α+ I) Χ Χ= ( Α+ I) 1 Α ( ) 2 Χ= Α+ I Α Χ=Α +Α 2 2 Χ= Α Τέλος 2 Α + 2Α= 0 Α +Α+Α= 0 Α +Α= Α Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

37 Ο κοινός παράγοντας θέλει πολλή προσοχή. A B+ A C A B+ A B+ C A ( ) A B+ 1 ( ) ΛΑΘΟΣ!!!! A B+ C ( ) A B+ I ( ) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

38 Μια ακόµη εφαρµογή (άσκηση): Έστω ο πίνακας AX = A+ I A Όµως Άρα οπότε 0 2 Α=. Να λυθεί η εξίσωση A X= A + A = A = 2 A X= 4I X και 4I X= 4I+ A = 4 = 4I A + A= 4I+ A X 1 = I + 4 A = = A X = A+ I Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

39 Όταν πολλαπλασιάζουµε πίνακες, προσέχουµε αν ο πολλαπλασιασµός είναι από αριστερά ή από δεξιά. A AX = A+ I 2 AXA= A + A ΑΠΟ ΕΞΙΑ 2 2 A X= A + A ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

40 Όµοιοι λέγονται δυο πίνακες A, B αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας 1 τέτοιος ώστε B = P A P P Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

41 Πίνακες όµοιοι µε έναν αρχικό πίνακα προκύπτουν αν σε αυτόν κάνουµε γραµµοπράξεις. γραµµικέςπράξεις στα στοιχεία των γραµµών Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

42 Παράδειγµα γραµµοπράξεων: ( Γ1/2) Γ A= ( ) Γ+Γ 1 2 Γ ( ) Γ Γ Γ ( ) Γ3 Γ 2 Γ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

43 Κλιµακωτήµορφή ενός µη µηδενικού πίνακα ονοµάζεται ένας όµοιός του πίνακας για τον οποίον ισχύουν: 1. Οι µη µηδενικές γραµµές του είναι πάνω από τις µηδενικές 2. Το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο κάθε γραµµής είναι η µονάδα 3. Το πλήθος των µη µηδενικών στοιχείων κάθε µη µηδενικής γραµµής είναι µικρότερο από το πλήθος των µη µηδενικών στοιχείων της αµέσως προηγούµενης Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

44 Βαθµόςενός πίνακα ονοµάζεται το πλήθος των µη µηδενικών γραµµών της κλιµακωτής µορφής του. A rank A ( ) Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

45 Ένα παράδειγµα: A= = ( /7) Γ2 Γ rank ( A) = 2 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

46 Ορίζουσα ονοµάζεται η γραµµική απεικόνιση : M ( ) Mn R R Ορίζουσα έχουν µόνο οι τετραγωνικοί πίνακες. Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι αριθµός. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

47 Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες a a A a a = x2 a a a11 a22 a12 a21 a21 a = 22 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

48 Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες ΕΠΙΛΕΓΩ ΟΠΟΙΑ ΗΠΟΤΕ ΓΡΑΜΜΗ ή ΣΤΗΛΗ a11 a12 a13 A= a21 a22 a 23 a31 a32 a 33 3x3 a a a a22 a23 a21 a23 a21 a a32 a33 a31 a33 a31 a a a a = a a + a =... a a a ΕΝΑΛΛΑΞ ΠΡΟΣΗΜΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

49 A Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Πως υπολογίζουµε τις ορίζουσες a a a a a a a 1 a 2... a n n = n n nn nxn a a... a a a... a a a... a a a... a n n n n 1 a21 a22... a2 n a32 a33... a3 n a31 a33... a3 n a 1 31 a32... a n+ 3n 1 = a11 a ( 1) a1 n =... a a... a a a... a a a... a a a... a n1 n2 nn n2 n3 nn n1 n3 nn n1 n2 nn 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

50 Ένα παράδειγµα: = = ( 9+ 8) 5( 18 20) + 7( 12 15) = = 1 Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

51 Ιδιότητες οριζουσών: Η ορίζουσα ενός άνω ή κάτω τριγωνικού πίνακα ισούται µε τογινόµενο των διαγώνιων στοιχείων του = = Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

52 Ιδιότητες οριζουσών: Αν εναλλάξουµεδυο γραµµές ή στήλες του πίνακα, η ορίζουσά του αλλάζει πρόσηµο = = = = Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

53 Ιδιότητες οριζουσών:,, n( ( R ) A B= A B A B M n Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

54 Ιδιότητες οριζουσών: Αν δυο γραµµές ή στήλεςτου πίνακα είναι ίσες ή ανάλογες, η ορίζουσά του είναι µηδενική. Να δειχθεί µε βάση το προηγούµενο. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

55 Ιδιότητες οριζουσών: Αν µια γραµµήή στήληενός πίνακα πολλαπλασιαστεί µε έναν πραγµατικό αριθµό, τότε όλη η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται µε τον ίδιο αριθµό. n ( ) A= A, A M R n λ λ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

56 Προσαρτηµένοςτου τετραγωνικού πίνακα A ονοµάζεται ο τετραγωνικός πίνακας adj ( A ) που κάθε στοιχείο του είναι το αλγεβρικό συµπλήρωµατου αντίστοιχου στοιχείου του πρώτου πίνακα. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

57 1 0 1 A= = Κ1: Πίνακες & Ορίζουσες Ένα παράδειγµα: ( ) adj A = = Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58

58 Σε τι µας χρησιµεύει ο προσαρτηµένος? A 1 1 = A ( ) adj A Υπάρχει ο αντίστροφος µόνον όταν η ορίζουσα δεν είναι µηδέν. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος /58