με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον άνθρωπο στην προσπάθειά του να μετρήσει αντικείμενα. Το σύνολο των φυσικών Ν στη πορεία του χρόνου επεκτάθηκε με την προσθήκη του 0 και των αρνητικών -1,-,-3.και κατασκευάσαμε το σύνολο των ακεραίων Ζ Στο παραπάνω σύνολο για τις πράξεις της πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού έχουμε τα παρακάτω αξιώματα: 1.Για κάθε α,β ακέραιους ισχύουν α+β=β+α και α.β=β.α (αντιμεταθετικός νόμος). Για κάθε α,β,γ ακέραιους ισχύουν (α+β)+γ=α+(β+γ) και (α.β).γ=α.(β.γ)(προσεταιριστικός νόμος) 3. Για κάθε α,β,γ ακέραιους ισχύει α.(β+γ)=α.β+α.γ (επιμεριστικός νόμος) 4.Για κάθε ακέραιο α υπάρχει ένας ακέραιος α ώστε α+(-α)=0. Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Όμως υπάρχουν αριθμοί όπως το που δεν μπορούν να πάρουν την παραπάνω μορφή και η επόμενη επέκταση του Q (αλλά όχι και η τελευταία) ήταν η προσθήκη των άρρητων π.χ, 3,... και δημιουργήθηκε το σύνολο των πραγματικών R κάθε στοιχείο του οποίου απεικονίζεται με μοναδικό τρόπο στα σημεία μιας ευθείας. Αρκεί να ορίσουμε τη θέση του 1 που απεικονίζεται στο σημείο Α του σχήματος και κατόπιν με απλές κατασκευές μπορούμε να ορίσουμε τη θέση ρητών και αρρήτων όπως συμβαίνει στο σχήμα όπου στο σημείο Κ αντιστοιχεί ο άρρητος μιάς και το τρίγωνο ΟΑΖ είναι ορθογώνιο ισοσκελές με κάθετη πλευρά μήκους 1 AΣΚΗΣΕΙΣ 1.Nα γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού στο σύνολο R.Να τοποθετήσετε το 3 στον άξονα 1

2 ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ KAI AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ To σύνολο των Μαθηματικών προτάσεων χωρίζονται στις παρακάτω δύο κατηγορίες Αξιώματα είναι οι προτάσεις εκείνες που οι αλήθειες τους απορρέουν από την εμπειρία μας.π.χ Π 1 :Για κάθε α,β ακέραιους ισχύει α+β=β+α Π Δύο σημεία ορίζουν τη θέση μιάς μόνο ευθείας Θεωρήματα είναι προτάσεις που αποδεικνύονται δηλαδή η αλήθεια τους προκύπτει από μια σειρά συλλογισμών. π.χ Το άθροισμα δύο άρτιων είναι άρτιος. Απόδειξη: Ένας άρτιος είναι πολλαπλάσιο του. Έστω α=κ και β=ν όπου κ,ν ακέραιοι. Τότε α+β=κ+ν=(κ+ν)=λ με λ ακέραιο. Αρα ο α+β είναι άρτιος (ως πολλαπλάσιο του ) Στην παραπάνω απόδειξη ξεκινήσαμε από τα δεδομένα και με σωστούς υπολογισμούς καταλήξαμε στο συμπέρασμα. Την μέθοδο αυτή θα τη λέμε ευθεία απόδειξη. Μια άλλη μέθοδος απόδειξης είναι η απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτοντας ότι δεν ισχύει το συμπέρασμα και με μια σειρά σωστών υπολογισμών καταλήγουμε σε αντίφαση(άτοπο) πχ Αν το τετράγωνο ενός ακεραίου είναι περιττός τότε ο ακέραιος είναι περιττός Απόδειξη: Για κάθε ακέραιο υπάρχουν δύο ενδεχόμενα, να είναι άρτιος η περιττός. Αν ο ακέραιος α είναι άρτιος τότε α=κ άρα a 4 άτοπο(δηλαδή αντιφάσκει με την υπόθεση) γιατί ο ακέραιος 4κ είναι άρτιος ως πολλαπλάσιο του. Το άθροισμα ενός ρητού και ενός αρρήτου είναι άρρητος Απόδειξη Εστω ρ ο ρητός και α ο άρρητος. Ας υποθέσουμε ότι το άθροισμα είναι ρητός και ας τον συμβολίσουμε σ,δηλαδή α+ρ=σ. Τότε όμως α=σ-ρ. Όμως ο αριθμός σ-ρ είναι ρητός κάτι που οδηγεί στην αντίφαση ρητός=άρρητος(άτοπο) Ορισμοί είναι πιο σύνθετες έννοιες που προκύπτουν από άλλες απλούστερες έννοιες(θεμελιώδεις) και τις περιγράφουν με σαφήνεια πχ 1. Άρτιος λέγεται κάθε ακέραιος πολλαπλάσιος του δηλ ο άρτιος έχει τη μορφή α=κ όπου κ ακέραιος..παραλληλόγραμμο είναι κάθε τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να δείξετε ότι το άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός ενω το γινόμενό τους είναι άρτιος.να δείξετε ότι το πηλίκο και το γινόμενο ενός ρητού και ενός αρρήτου είναι άρρητος. 3.Αν ρ 1,ρ ρητοί, α άρρητος και α.ρ 1 =ρ να δείξετε ότι ρ 1 =ρ =0 4.Με παραδείγματα δείξτε ότι το γινόμενο και το άθροισμα δύο αρρήτων δεν είναι πάντα άρρητος. 5 Αν a + b = 0 να δείξετε ότι α=0 και β=0 3

4 ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1.Αν α R να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες a. a. a... a β) a. a γ) a α) 0 a δ) a ε) (a ) στ) ( a ζ)α 1 = η)(α.β) ν = ).Στο σχήμα βλέπουμε τα τετράγωνα ΑΒΖΕ και ΗΘΔΙ με μήκη πλευρών β και α αντίστοιχα.αν συμβολίσουμε Ε1,Ε τα εμβαδά τους,να συμπληρώσετε τις ισότητες Ε1= Ε= 3.Να γράψετε τα εμβαδα τωντετραπλεύρων ΖΓΘΗ,ΕΗΙΒ και ΑΒΔΓ Ε3= Ε4= (ΑΒΔΓ)=Ε ολ = 4Να γράψετε μια ισότητα που συνδέει τα εμβαδά Ε1,Ε Ε3,Ε4 και Ε ολ. 5.Η προηγούμενη ισότητα ισχύει για συγκεκριμένες τιμές των α, β η για όλες τις τιμές;πως λέγεται μια τέτοια ισότητα;. 6 Στην προηγούμενη ταυτότητα αντικαταστήστε στη θέση του β το β.τι θα προκύψει; 7 Nα συμπληρώσετε τις ταυτότητες α) (α+β) 3 =. β) (α-β) 3 = γ)α -β =.. δ) α 3 -β 3 = ε) α 3 +β 3 =. 1Αν Α= ( a 3 β ) (a ) 1 a 7 β 5 Να δείξετε ότι Α=α/β ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε την τιμή της παράστασης αν α=10 10 και β= ( ) 4

5 .Nα υπολογίσετε την παράσταση Αν a 6 α)να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α= ( 3a ) (3 ) β)αν επί πλέον αβ=1 και να υπολογίσετε τον αριθμό (α+β) 4.Σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α,β,γ έχουμε (α+β)β=(γ+α)α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 5 Αν το άθροισμα δύο ακεραίων είναι περιττός να δείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι επίσης περιττός 6.Αν δύο ακέραιοι διαφέρουν κατά 3 να δείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων τους είναι πολλαπλάσιο του 3 5