Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα. Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α Στην αρχή του μαθήματος τονίστηκε πως κάθε φορά θα γίνεται αναφορά σε ένα θέμα που θα ξεφεύγει από την ροή του μαθήματος, αλλά που θα έχει σχέση με το μάθημα και θα δείχνει λίγο την εφαρμογή των μαθηματικών στην καθημερινή ζωή με έναν τρόπο πολύ απλό αλλά και ενδιαφέροντα. Έγινε λόγος λοιπόν για την κρυπτογραφία, η οποία αποτελεί ένα ολόκληρο κομμάτι των μαθηματικών. Μία απλή εφαρμογή της κρυπτογραφίας στην καθημερινή ζωή είναι για παράδειγμα η αντιστοίχηση 1 Α, 2 Β, 3 Γ, για έναν κωδικό (π.χ. αν λέω 7 εσύ θα το αντικαθιστάς με το έβδομο γράμμα μετά το Α δηλαδή το Θ), τα περισσότερα όμως μοντέλα κρυπτογραφίας της καθημερινότητας είναι δύσκολα γιατί χρειάζονται πολύ εξεζητημένα μαθηματικά. Η πιο απλή εφαρμογή στηρίζεται σε μία έννοια, το modulo. Modulo είναι ένα εργαλείο των μαθηματικών που μας διευκολύνει να κάνουμε πάρα πολλά πράγματα. Τι ώρα καταλαβαίνετε ότι είναι όταν βλέπετε 15; Ότι είναι 3. Πράγματι το 15 ταυτίζεται με το 3 σε μία περίοδο 12 ωρών. {3 Ξ 15 (modulo: 12 ωρών)} Άρα δύο ή τρεις αριθμοί σε ένα modulo είναι ίδιοι όταν άμα τους διαιρέσεις με τον αριθμό της παρένθεσης (modulo) αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. 3 12 15 12 3 0 3 1 Άρα από την στιγμή που έχω καθορίσει το modulo 12, το 3 και το 15 είναι ίδιοι, μπορώ δηλαδή να χρησιμοποιώ τον ένα στη θέση του άλλου. Με αυτόν τον τρόπο μπορώ αντί να έχω μεγάλους αριθμούς να τους γράφω με έναν μονοψήφιο, άρα κάνω την δουλειά μου με τον μονοψήφιο σαν να ήταν ο μεγάλος, αρκεί να προσδιορίσω σε ποιο modulo είμαι. Οι μαθηματικοί έχουν επινοήσει σύμβολα-διαδικασίες για να απλουστεύσουν την ζωή και να απλουστεύσουν την επικοινωνία μεταξύ τους. Πώς γράφω έναν περιοδικό δεκαδικό αριθμό σαν κλάσμα; (α/β, με β 0) Κατ αρχάς, ένας περιοδικός δεκαδικός αριθμός είναι ο δεκαδικός αριθμός στον οποίο επαναλαμβάνεται το δεκαδικό του μέρος, συνίσταται/αποτελείται δηλαδή από ψηφία τα οποία επαναλαμβάνονται. Αυτό το κομμάτι το οποίο επαναλαμβάνεται, η περίοδος του δεκαδικού, μπορεί να είναι μονοψήφια, διψήφια,., εκατονταψήφια περίοδος, γι αυτό

μερικές φορές δεν είμαστε σίγουροι αν ο αριθμός είναι περιοδικός ή όχι. Δεν είναι εύκολο να ξέρουμε ποια είναι η περίοδος, γιατί αν π.χ. γράψουμε έναν δεκαδικό με πέντε διαφορετικά δεκαδικά ψηφία και η περίοδός του είναι οκταψήφια είναι δύσκολο να το βρούμε. Ένας απλός δεκαδικός αριθμός με μονοψήφια περίοδο ρητός (δηλαδή γράφεται σαν α/β, με β 0) είναι το 2,4444 Θέτω x = 2,44444. Αντικαθιστώ τον αριθμό με το γράμμα, γιατί είναι πιο εύκολο να κουβαλάω ένα γράμμα παρά έναν μεγάλο αριθμό. Επίσης στους μαθηματικούς αρέσει το όμορφο, το σύντομο, το συνεκτικό, γι αυτό αντί να κουβαλάνε τεράστιους αριθμούς τους αντικαθιστούν με ένα γράμμα και κουβαλάνε το γράμμα. 10x = 24,4444 - x = 2,4444 Κάνουμε αφαίρεση κατά μέλη. 9x = 22 => x = 22/9 Παρομοίως με διψήφια περίοδο. Το 2,3535 επειδή έχει διψήφια περίοδο και επειδή θέλω με τον πολλαπλασιασμό να φύγει το δεκαδικό μέρος γι αυτό πολλαπλασιάζω με το 100. Θέτω y = 2,3535 100y = 235,3535 - y = 2,3535 99y = 233 => y = 233/99 Αν πολλαπλασιάζαμε με το 10 θα αντιμετωπίζαμε το εξής πρόβλημα: 10y = 23,5353535 - y = 2,353535 δηλαδή έτσι δεν θα μπορούσα να κάνω αφαίρεση και να φύγει το δεκαδικό μέρος (δεν είναι ίδια) για να μείνει ακέραιος. SOS: κάθε φορά πολλαπλασιάζω με εκείνον τον αριθμό που θα μου διώξει το δεκαδικό μέρος και θα μετάσχει στο δεκαδικό μέρος του αριθμού: για παράδειγμα, αν η περίοδος ήταν τριψήφια θα τον πολλαπλασίαζα με το 1000. Έχουμε τον αριθμό 24,55555. Θέτω x = 24,55555

10x = 245,55555 -x = 24,55555 9x = 221 άρα x = 221/9 Μία ερώτηση ήταν: γιατί κάναμε αφαίρεση και όχι πρόσθεση; Αν κάναμε πρόσθεση θα είχαμε: 24,444 + 2,4444. = 26,8888, δηλαδή θα είχαμε πολλά θέματα. Εμείς θέλουμε να κάνουμε κάτι ώστε να πετάξουμε έξω το δεκαδικό μέρος, γιατί θέλουμε να γράψουμε έναν ακέραιο αριθμό. Αυτή την διαδικασία την κάνουμε για να μπορέσουμε να γράψουμε έναν περιοδικό δεκαδικό σαν κλάσμα και να μπορέσουμε να τον βάλουμε μέσα σε πράξεις, γιατί με άπειρα ψηφία δεν μπορώ να κάνω κάτι. Στα μαθηματικά υπάρχει πάντα το ερώτημα αν ισχύει αυτό που βρέθηκε. (what if?) Γι αυτό οι μαθηματικοί όταν βρίσκουν κάτι αντί να τελειώνουν οι απορίες τους αντιθέτως αυξάνονται σε όλα τα επίπεδα στις καινούργιες θεωρίες.( Για παράδειγμα : Μπορώ να γενικεύσω; Μπορώ να βγάλω έναν κανόνα;) Στόχος των μαθηματικών είναι μέσα από τις ιδιαίτερες περιπτώσεις που αντιμετωπίζουν κάθε φορά πάντα να προσπαθούν να γενικεύσουν. Επίσης ένα χαρακτηριστικό του μαθηματικού τρόπου σκέψης είναι η τάση για συλλογισμούς, δηλαδή το ένα να οδηγεί στο δεύτερο, στο τρίτο, στο τέταρτο και ούτω καθ εξής. Ερώτηση: Ο αριθμός που είχε μονοψήφια περίοδο μετατράπηκε σε ρητό με παρονομαστή 9. Ο αριθμός που είχε διψήφια περίοδο μετατράπηκε σε ρητό με παρονομαστή 99. Τι πιστεύετε; Ο αριθμός που έχει τριψήφια περίοδο θα γίνει ρητός με τι παρονομαστή; Απάντηση: Με παρονομαστή το 999. Ερώτηση: Μήπως υπάρχει κάτι το οποίο παρατηρείτε για να μην κάνουμε όλη αυτή την διαδικασία; Απάντηση: Παρατηρώ ότι το 2,4444 έγινε κλάσμα με αριθμητή το 22. Το 2,353535 έγινε κλάσμα με αριθμητή το 233. Μπορώ να έχω μία υποψία; Και θα μειώνεται πάντα κατά 2; Αυτή ήταν μια ερώτηση για να καταλάβουμε πώς λειτουργεί ο μαθηματικός τρόπος σκέψης.

Ισχύουν στα μαθηματικά τα παρακάτω: α = β γ = δ α +γ = β + δ (προσθέτω κατά μέλη) α - γ =β δ (αφαιρώ κατά μέλη) π.χ. 1/3 χ =15 => 3 1/3 χ = 3 15 x+2y=7 (-2) 2x+y=8-2x-4y=-14 2x+y=8-3y=-6 άρα y=2 και x=3 Ερώτηση: Το 0,999999. ισούται ακριβώς με 1; Θέτω x = 0,99999 10x = 9,9999. - x = 0,99999. 9x = 9 άρα x = 1 Δηλαδή ισχύει ότι το 0,99999. ισούται ακριβώς με 1. Μία απορία που διατυπώθηκε ήταν αν μόνο για το 0,99999 ισχύει ότι είναι ίσο με 1 ή και για άλλους αριθμούς, όπως το 0,7777 Θέτω x = 0,7777 10x = 7,7777 - x = 0,7777 9x = 7 => x = 7/9 Άρα δεν ισχύει ότι το 0,77777 είναι ίσο με 1.

Έχουμε τον αριθμό 0,111 Θέτω x = 0,111 10x = 1,1111 - x = 0,1111 9x = 1 => x = 1/9 Μία ερώτηση είναι αν ισχύει ότι το 1,999 είναι ίσο με το 2. Θέτω x = 1,9999 10x = 19,9999 - x = 1,99999 9x = 18 => x = 2 Άρα το 1,99999 ισούται ακριβώς με 2. Ένα πρόβλημα το οποίο τέθηκε σε παιδιά τρίτης δημοτικού ήταν το εξής: Αν είχαμε 30 άτομα που θέλουν να πάνε εκδρομή πόσα τετραθέσια αμάξια θα χρειάζονταν; Μετά την διαίρεση προκύπτει ότι: 30 4 20 7,5 αμάξια χρειάζονται. Μετά από σκέψη τα παιδιά κατέληξαν στο συμπέρασμα πως δεν υπάρχουν 7,5 αυτοκίνητα, αν και ένας μαθητής είπε πως για τα μαθηματικά όλα είναι δυνατά, και πως οι πιθανές λύσεις ήταν οι εξής: 1. Δύο να μην πάνε εκδρομή 2. να πάνε με 8 αμάξια και στο όγδοο να βάλουν τις αποσκευές τους και 3. να πάνε με 7 αμάξια και ένα μηχανάκι Το πρόβλημα είναι διατυπωμένο σε ένα πραγματικό πλαίσιο και η ερμηνεία του προβλήματος σε αντικειμενικό πλαίσιο. Προσοχή: το συμπέρασμα που προκύπτει είναι πως άλλο πράγμα τα μαθηματικάμαθηματικά και άλλο οι εφαρμογές των μαθηματικών στην καθημερινότητα ή ο μαθηματικός γραμματισμός.

Γεωμετρία Τι είναι το π; Το π είναι ένα σύμβολο, το οποίο συμβολίζει έναν άρρητο αριθμό με άπειρα δεκαδικά ψηφία, ο οποίος ισούται με 3,14. π= P/D= περίμετρος/διάμετρος Απόδειξη: 2πr=P Για 2r=D ισχύει ότι πd=p => π=p/d Δηλαδή το π είναι ο λόγος της περιμέτρου προς τη διάμετρο Ε κύκλου = πr 2 Επίκεντρη γωνία. 360 ο Ο τρόπος απόδειξης του Ε κύκλου στο Δημοτικό είναι πολύ απλός και εύκολος: παίρνετε ένα χαρτονάκι και σχεδιάζετε έναν κύκλο. Μετά χωρίζετε τον κύκλο σε κυκλικούς τομείς και τους κόβετε. Οι κυκλικοί τομείς πρέπει να είναι ίσοι μεταξύ τους. Ερώτηση: πώς μπορούμε να το κάνουμε με γεωμετρικά όργανα; Μία ιδέα ήταν όπως έχουμε ανοιγμένο τον διαβήτη να τον βάλω πάνω στην περίμετρο του κύκλου και τοποθετώντας κάθε φορά την μύτη του στο σημείο που τονίσαμε να τον χωρίσουμε σε ίσα τμήματα. Όμως υπάρχει πιθανότητα να μην βγουν ίσα τα τμήματα ή να περισσέψει κάτι. Θα πρέπει να βρούμε έναν τρόπο να τον χωρίσουμε σε συγκεκριμένες μοίρες και να ορίσουμε πόσο μεγάλη θέλουμε την επίκεντρη γωνία. Αν θέλαμε να είναι 45 0 θα φέρναμε δύο κάθετες, θα τις ενώναμε και θα σχηματίζονταν 4 γωνίες των 90 0 οπότε με διχοτόμους θα δημιουργούσαμε γωνίες των 45 0. Αν θέλαμε να κάνουμε γωνίες των 30 0 θα χρησιμοποιούσαμε το μοιρογνωμόνιο πάνω σε μία ακτίνα κύκλου ή θα χρησιμοποιούσαμε γνώμονα και διαβήτη.

Συγκριτική σκέψη είναι να ακούς ένα και να λες εκατό, δηλαδή όταν ακούς ίσες γωνίες να σου έρχονται στο μυαλό το τετράγωνο, το ισόπλευρο τρίγωνο, οι κατακορυφήν γωνίες, οι εντός εναλλάξ γωνίες, οι παρά την βάση ισοσκελούς τριγώνου γωνίες, γωνίες που βρίσκονται στο ίδιο τόξο, κανονικά πολύγωνα κτλ. Έτσι όσο μεγαλύτερη γκάμα εναλλακτικών έχουμε τόσο πιο εύκολο είναι να καταλήξουμε σε ένα αποτέλεσμα. Άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας Το Δήλειο πρόβλημα θεωρείται ένα άλυτο πρόβλημα της αρχαιότητας. Τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας λύνονται όλα, όμως είναι άλυτα και δεν λύνονται. Αυτό συμβαίνει γιατί οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν ως την απόλυτη των επιστημών την γεωμετρία. Η αριθμητική με την έννοια που την διδάσκουμε σήμερα στο Δημοτικό σχολείο δεν θεωρούνταν καν επιστήμη, οι αρχαίοι Έλληνες την ονόμαζαν λογιστική γιατί έκαναν λογαριασμούς και δεν καταδέχονταν αρχαίοι Έλληνες πολίτες να την διδάσκονται και την διδάσκονταν μόνο μορφωμένοι δούλοι. Υπήρχε βέβαια παιχνίδι, θέματα με αριθμούς, προβλήματα και αυτό το πράγμα το ονόμαζαν αριθμητική, αλλά είναι αυτό που σήμερα ονομάζουμε θεωρία αριθμών. Για παράδειγμα, για να δείτε εάν ένας αριθμός διαιρείται με το 2 όταν τελειώνει σε ζυγό αριθμό δεν ενδιαφέρει κανέναν, είναι ένας κανόνας τον μαθαίνεις και τέλος. Το να δεις όμως γιατί ισχύει αυτός ο κανόνας, γιατί διαιρείται με το 2, αυτό το πράγμα ονόμαζαν αριθμητική οι αρχαίοι και σήμερα το ονομάζουμε θεωρία αριθμών. Άλλο πράγμα το ένα από το άλλο. Η γεωμετρία δεν είχε αριθμητική και γι αυτό δεν μπορούν να λυθούν τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας. Είχαν την γεωμετρία σαν έκφραση της μαθηματικής σκέψης. Το Δήλειο πρόβλημα είναι το εξής: Ένας βασιλιάς στη Δήλο αφού πέθανε ο γιος του ήθελε να του φτιάξει ένα πέτρινο μνημείο σε σχήμα κύβου και το έφτιαξαν οι μηχανικοί του. Μετά όμως ζήτησε να του φτιάξουν ένα που θα έχει διπλάσιο όγκο. Εντάξει, λέει ο μηχανικός του και διπλασιάζει τις ακμές του κύβου, όμως ο τελικός του όγκος βγήκε οκταπλάσιος αντί για διπλάσιος. Άρα το πρόβλημα ήτανε ότι όταν ο μηχανικός διπλασίασε τις ακμές του κύβου, ο όγκος δεν βγήκε διπλάσιος αλλά οκταπλάσιος. Θα μπορούσε να πάρει μολύβι και χαρτί να κάνει έναν υπολογισμό και να πει: Πόσο ήτανε ο αρχικός μου τάφος; Έστω ότι είχε ακμή 2m άρα ο όγκος του θα ήτανε 2 2 2=8m 3. Πόσο όγκο θέλει να έχει; Το θέλει να έχει διπλάσιο όγκο δηλαδή 16m 3. Άρα θα πρέπει να βρω πόσο θα είναι η ακμή, δηλαδή ποιον αριθμό πρέπει να τον πολλαπλασιάσω 3 φορές για να μου δώσει 16. Με άλλα λόγια δηλαδή έπρεπε να βρει την κυβική ρίζα του 16( ).

2x2x2=8 4x4x4=64 Το πρόβλημα των αρχαίων Ελλήνων δεν ήταν να βρούνε λύσεις αριθμητικές στα προβλήματά τους. Το θέμα των αρχαίων Ελλήνων ήταν να βρούνε λύσεις με τις προϋποθέσεις που όριζαν αυτοί. Δηλαδή δεν ήθελαν να υπολογίσουν αλγεβρικά αλλά ήθελαν να κατασκευάσουν γεωμετρικά αυτό το κτίριο που θα είχε διπλάσιο όγκο. Δηλαδή δεν ήθελαν να πούνε ότι η ακμή πρέπει να είναι περίπου 2,4 αλλά ήθελαν να κατασκευάσουν γεωμετρικά με γνώμονα και διαβήτη. Υπ αυτήν την έννοια τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας είναι άλυτα. Ένα ακόμα άλυτο πρόβλημα της αρχαιότητας είναι η τριχοτόμηση της γωνίας. Με μοιρογνωμόνιο μπορώ να το κάνω. Με γνώμονα (χάρακας χωρίς υποδιαιρέσεις) όμως και διαβήτη δεν μπορώ να κάνω τριχοτόμηση. Ακόμα και ο Αρχιμήδης, ο μέγας μηχανικός της αρχαιότητας, είχε κατασκευάσει μία μηχανή την οποία ονόμαζε τριχοτομούσα. Για τους μαθηματικούς της αρχαιότητας δεν ήταν αποδεκτή καθώς την θεωρούσαν μηχανική απόδειξη.

Πώς σχεδιάζω ένα ισόπλευρο τρίγωνο με την χρήση γνώμονα και διαβήτη. Αρχικά σχεδιάζω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Μετά ακουμπώντας την μύτη του διαβήτη στο Α τον ανοίγουμε μέχρι το Β. Μετά με κέντρο πρώτα το Α και μετά το Β σχεδιάζουμε κυκλικούς τομείς. Εκεί που οι δύο κυκλικοί τομείς τέμνονται είναι η Τρίτη κορυφή του τριγώνου. Ο Α Β Γνωρίζουμε ότι κάθε γωνία ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 60 ο οπότε αν θέλω να κατασκευάσω γεωμετρικά τις 30 0 δεν έχω παρά να διχοτομήσω μία από τις τρεις γωνίες των 60 ο. Διχοτόμηση γωνίας με την χρήση γνώμονα και διαβήτη. Τη διχοτόμηση γωνίας μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε για τον σχεδιασμό γωνιών χωρίς μοιρογνωμόνιο (π.χ. 30 ο ή 15 ο ). Αφού σχεδιάσω την γωνία των 30 ο ακολουθώ την εξής διαδικασία: Χωρίζω τον κύκλο σε 30 ο αφού ανοίξω τον διαβήτη μου πάνω στην τριαντάρα γωνία. Αφού τον χωρίσω σε 30 ο τον κόβω και μετά τοποθετώ τα κομμάτια το ένα δίπλα στο άλλο ως εξής: φτιάχνεται περίπου ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο όπου η μισή περίμετρος (πr) του κύκλου βρίσκεται στη μία πλευρά του παραλληλογράμμου και η άλλη μισή (πr) από την άλλη.

R πr προκύπτει ότι Ε=πR 2 Μπορώ αντί για τριαντάρες γωνίες να κατασκευάσω δεκαπεντάρες γωνίες για να φανεί καλύτερα το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μία ερώτηση ήταν γιατί κατασκευάσαμε τριαντάρα γωνία και όχι κάποια άλλη, για παράδειγμα δωδεκάρα. Το 30 είναι διαιρέτης του 360 άρα θα καλύπτει όλον τον κύκλο. Ακόμα μπορώ να φτιάξω την δωδεκάρα γωνία κυρίως με το μοιρογνωμόνιο αλλά είναι πολύ δύσκολο να την κατασκευάσω με γνώμονα και διαβήτη και γι αυτό δεν το κάνω, ενώ την τριαντάρα την φτιάχνω με γνώμονα και διαβήτη. Η γωνία που θα διαιρέσω τον κύκλο πρέπει να είναι διαιρέτης του 360 και να μπορώ να την κατασκευάσω γεωμετρικά με κάποιο τρόπο. Υποθέστε ότι θέλετε να στρώσετε με πλακάκια ένα δάπεδο κουζίνας με τέτοιο τρόπο που τα πλακάκια να τοποθετούνται χωρίς να αφήνουν κενά το ένα με το άλλο. Τι είδους πλακάκια θα χρησιμοποιήσω; Αρχικά ξεκινάτε να στρώνετε το δάπεδο από ένα κεντρικό σημείο και γύρω-γύρω έχει 360 ο που πρέπει να καλύψετε με κανονικά σχήματα που να καλύπτουν τις 360 ο. Μπορώ να χρησιμοποιήσω τετράγωνα ή παραλληλόγραμμα ( 90x4=360 o 4 τετράγωνα πλακάκια). Επίσης μπορώ να χρησιμοποιήσω ισόπλευρα τρίγωνα (60x6=360 o 6 εξάγωνα πλακάκια γύρω-γύρω), εξάγωνα όπου θα ξέρω την εξωτερική τους γωνία (όχι του κέντρου), κανονικό εξάγωνο όπου επειδή η εξωτερική του γωνία είναι 120 ο θα χρειαστούν 3 πλακάκια (120x3=360 o 3 κανονικά εξάγωνα πλακάκια)και μετά είναι συνδυασμοί π.χ. 3 ισόπλευρα τρίγωνα και 1 εξάγωνο. Ένας αρχαιολόγος βρήκε ένα σπασμένο πιάτο. Προκειμένου να το ανασυνθέσει έπρεπε με κάποιο τρόπο να βρει το κέντρο του ώστε να πάρει ένα διαβήτη να το ζωγραφίσει. Πώς θα βρει το κέντρο του σπασμένου πιάτου; Γνωρίζουμε πως από δύο τυχαίες χορδές αν φέρουμε μεσοκαθέτους, το σημείο στο οποίο θα τέμνονται θα είναι το κέντρο του κύκλου.

Άρρητοι Άρρητοι είναι οι αριθμοί που δεν γράφονται στην μορφή, με β 0, έχουν δηλαδή άπειρα δεκαδικά ψηφία. π (3,14 ), e (log λογάριθμος), i ( ) {φανταστικός και δημιουργήθηκε για την κατασκευή συνόλου εκτός των πραγματικών}, φ χρυσή τομή από τον Φειδία Οι άρρητοι είναι πραγματικοί αριθμοί, άρα έχουν θέση στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Πώς μπορώ να βρω την θέση του στην ευθεία των πραγματικών αριθμών; 1 1 2 +1 2 =x 2 0 1 2 1+1=2=x 2 Στο 0 φέρνω κάθετη γραμμή που έχει μήκος 1m και μετά την άκρη της την ενώνω με το 1. Αυτό που προκύπτει είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Το μήκος της υποτείνουσας(x) είναι εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα x=. Άρα η υποτείνουσα είναι. Μετά παίρνω τον διαβήτη μου τον ανοίγω όσο είναι η υποτείνουσα και με κέντρο το 0 και ακτίνα το φέρνω ένα τόξο και εκεί που τέμνει την ευθεία των πραγματικών αριθμών είναι το Αυτή είναι η γεωμετρική κατασκευή. Αριθμητικά δεν μπορώ να βρω την θέση. Γεωμετρικά μπορώ να κάνω πάρα πολλά πράγματα που η αριθμητική δεν μου επιτρέπει. x= Ομοίως το με κάθετες 1 και. 1 1 2 +( ) 2 =x 2 0 1 2 1+2=x 2 x 2 =3 x= Ομοίως 1+ 1+ κτλ.

Σύμφωνα με τον Ευκλείδη το σημείο δεν έχει υπόσταση, δεν έχει μέγεθος. Μπορεί να το κάνουμε με μία τελίτσα, αλλά στην πραγματικότητα για τον Ευκλείδη το σημείο δεν έχει διαστάσεις. Παράδοξο: Μία ευθεία αποτελείται από άπειρα σημεία. Πώς είναι δυνατόν μία ευθεία να είναι 10m όταν αποτελείται από σημεία τα οποία δεν έχουν υπόσταση; Μία ερώτηση που είχε διατυπωθεί την προηγούμενη φορά ήταν αν όλοι οι ρητοί είναι κλάσματα; Τότε άρχισε η διήγηση μιας ιστορίας εξωγήινων οι οποίοι ήρθαν στην Γη μετά την εξαφάνιση του ανθρώπινου είδους και το μόνο που βρήκαν ήταν μια άσκηση ενός μαθητή η οποία ήταν η εξής: 2 4 6 Είναι σωστή; 3 5 8 Το παραπάνω πρόβλημα είναι σωστό. Το πρόβλημα που έλυνε το παιδί ήταν το εξής: Σε ένα διθέσιο σχολείο με δύο τάξεις ο λόγος αγοριών προς κορίτσια στη μία είναι 2 προς 3 ενώ στην άλλη 4 προς 5. Ποιος είναι ο λόγος αγοριών προς κορίτσια; Οπότε σωστά βρήκε πως ο λόγος αγοριών προς κορίτσια είναι 6 προς 8. Απλώς η δασκάλα έβαλε + επειδή ήταν τάξη Δημοτικού για να διευκολύνει τα παιδιά. Άρα ισχύει μόνο για λόγους αλλά όχι για κλάσματα. μπορεί να είναι κλάσμα ή λόγος (οπότε μόνο σ αυτή την περίπτωση γίνονται προσθέσεις). Οι ρητοί δεν είναι μόνο κλάσματα. Ισοδύναμα κλάσματα 2 3 4 5 2x5 4x3 3x5 5x3 10 15 12 15 22 15 Ε.Κ.Π=15 Δεν υπάρχουν «καπελάκια» στα μαθηματικά, η σωστή ορολογία είναι ότι από την στιγμή που το Ε.Κ.Π. είναι 15 προσπαθώ να ξαναγράψω τα δύο κλάσματα έχοντας κοινό παρονομαστή το 15. Για τα παιδιά του Δημοτικού τα ανάγωγα κλάσματα είναι τα κλάσματα τα οποία δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε άλλο -είναι «μάνες» που έχουν άπειρα «παιδιά». Αν δεν τα θεωρήσω λόγους βγάζω άλλο αποτέλεσμα, άρα κάθε φορά η λύση εξαρτάται από το είδος του προβλήματος.

Άσκηση Να γραφεί με μορφή κλάσματος ο αριθμός 4,7833333 Ασκησίδιο 1. Να βρείτε 4 ρητούς αριθμούς μεταξύ του 2 και του 3. 2. Να βρείτε 4 ρητούς που να ισαπέχουν. 3. Να βρείτε 5 ρητούς αριθμούς που να ισαπέχουν. 4. Να βρείτε ένα τρόπο να βρίσκετε γρήγορα και εύκολα 1 εκατομμύριο ρητούς αριθμούς που να ισαπέχουν με τέτοιο τρόπο που να μπορεί να τον καταλάβει ένα παιδί Δημοτικού. Ερώτηση 1. Γιατί μεταφέρω την υποδιαστολή μία θέση προς τα δεξιά όταν πολλαπλασιάζω με το 10;