Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 1 / 71

Περιεχόμενα 1 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 2 / 71

Περιεχόμενα 1 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 3 / 71

Υπενθυμίζουμε τον ορισμό του Δέντρου: Ορισμός Ενα γράφημα G = (V, E) ονομάζεται δέντρο αν είναι συνεκτικό και δεν υπάρχει κύκλος στο G. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 4 / 71

Ορισμός Εστω T ένα δέντρο και v μία κορυφή του T. Η v ονομάζεται: φύλλο αν d T (v) 1. εσωτερική κορυφή αν d T (v) 2. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 5 / 71

Παράδειγμα Στο παρακάτω δέντρο οι κορυφές v 1, v 2, v 10, v 11 είναι φύλλα και οι v 3, v 4, v 5, v 6, v 7, v 8, v 9, v 12 είναι εσωτερικές κορυφές. v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 v 12 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 6 / 71

Θεώρημα Ενα γράφημα G = (V, E) είναι δέντρο αν και μόνο αν για οποιεσδήποτε κορυφές v, u υπάρχει ένα μοναδικό μονοπάτι απο την v στη u. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 7 / 71

Απόδειξη Για τη μία κατεύθυνση, ας υποθέσουμε ότι για οποιεσδήποτε κορυφές v, u υπάρχει ένα μοναδικό μονοπάτι απο την v στη u. Τότε το γράφημα G είναι συνεκτικό. Θα δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο ότι το G δεν περιέχει κύκλο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 8 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Ας υποθέσουμε ότι το G περιέχει έναν κύκλο x 1, x 2,..., x k, x 1, k 3. Τότε υπάρχουν δύο μονοπάτια x 1, x 2,..., x k, και x 1, x k από την x 1 στην x k (άτοπο). Συνεπώς το το G δεν περιέχει κύκλο και επειδή είναι συνεκτικό, είναι δέντρο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 9 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Για την αντίστροφη κατεύθυνση, ας υποθέσουμε ότι το G είναι δέντρο. Εστω δύο οποιεσδήποτε κορυφές v, u V. Επειδή κάθε δέντρο είναι συνεκτικό γράφημα, υπάρχει ένα μονοπάτι p = x 1, x 2,..., x k (όπου x 1 = v και x k = u) από τη v στη u. Θα δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο ότι το μονοπάτι αυτό είναι μοναδικό. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 10 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει και δεύτερο μονοπάτι p = y 1, y 2,..., y m (όπου y 1 = v = x 1 και y m = u = x k ) από τη v στη u, διαφορετικό του p. Εστω s = min{i k > 1 και x i y i } Το παραπάνω σύνολο είναι μη κενό, επειδή τα δύο μονοπάτια είναι διαφορετικά. Η κορυφή x s είναι η πρώτη κορυφή στην οποία διαφέρουν τα δύο μονοπάτια. Συνεπώς x s 1 = y s 1 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 11 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Επιπλέον, εστω r = min{i i > k και υπάρχει j τέτοιο ώστε x i = y j } Το παραπάνω σύνολο είναι μη κενό, επειδή x k = y m, άρα το r είναι καλά ορισμένο. Η κορυφή x r είναι η πρώτη κορυφή του μονοπατιού p μετά από την x s η οποία ανήκει και στο μονοπάτι p. Εστω x r = y q. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 12 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Από τον ορισμό των s, r, q προκύπτει ότι οι κορυφές x s,..., x r, y s,..., y q 1 είναι ανά δύο διαφορετικές κορυφές του G. Τότε όμως η ακολουθία x s 1, x s,..., x }{{} r, y q 1,..., y s, y s 1 είναι ένας }{{} =y q =x s 1 κύκλος στο G (άτοπο, επειδή το G είναι δέντρο). x 2 = y 2 x s x r = y q x k = y m = u x s x r = y q x 1 = y 1 = v y s y s x s 1 = y s 1 x s 1 = y s 1 Συνεπώς για οποιεσδήποτε κορυφές v, u υπάρχει ένα μοναδικό μονοπάτι απο την v στη u. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 13 / 71

Θεώρημα Κάθε δέντρο T με n κορυφές έχει n 1 ακμές. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 14 / 71

Απόδειξη Θα αποδείξουμε το θεώρημα με επαγωγή στο n. Αν n = 1 ισχύει τότε το T δεν περιέχει ακμές και συνεπώς το πλήθος των ακμών του είναι 0 = 1 1 = n 1. Υποθέτουμε ότι κάθε δέντρο με n = k κορυφές έχει k 1 ακμές. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 15 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Εστω ένα δέντρο T με k + 1 κορυφές και έστω m το πλήθος των ακμών του. Θα δείξουμε ότι m = (k + 1) 1 = k. Αν κάθε κορυφή του T είχε βαθμό τουλάχιστον 2, τότε, όπως έχουμε δείξει, το T θα περιείχε κύκλο και άρα δεν θα ήταν δέντρο. Συνεπώς το T περιέχει μία κορυφή v με d T (v) 1. Ομως αν ίσχυε d T (v) 0, δεν θα υπήρχε μονοπάτι που να συνδέει την v με οποιαδήποτε από τις υπόλοιπες κορυφές του T και άρα το T δεν θα ήταν συνεκτικό. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 16 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Συνεπώς το T περιέχει μία κορυφή v με d T (v) = 1. Θεωρούμε το γράφημα T = T v, το οποίο έχει k κορυφές και m 1 ακμές (η μόνο ακμή του T που δεν υπάρχει στο T είναι η ακμή που προσπίπτει στη v). Το T είναι υπογράφημα του T και άρα δεν περιέχει κύκλο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 17 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Εστω δύο οποιεσδήποτε κορυφές u, w του T. Επειδή το T είναι συνεκτικό, οι u, w συνδέονται με μονοπάτι στο T. Η κορυφή v δεν μπορεί να ανήκει σε ένα τέτοιο μονοπάτι, καθώς κάθε εσωτερική ακμή ενός μονοπατιού έχει βαθμό τουλάχιστον 2. Άρα οι κορυφές u, w συνδέονται με το ίδιο μονοπάτι και στο T Συνεπώς το T είναι συνεκτικό, και επειδή δεν περιέχει κύκλο, είναι δέντρο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 18 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Από την επαγωγική υπόθεση το πλήθος των ακμών του T είναι k 1. Συνεπώς m 1 = k 1, που συνεπάγεται m = k. Άρα το T έχει k ακμές. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 19 / 71

Παράδειγμα Το παρακάτω δέντρο έχει 12 κορυφές και 11 ακμές.. v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 v 12 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 20 / 71

Με βάση τον ορισμό του δέντρου και το προηγούμενο θεώρημα, κάθε δέντρο T με n κορυφές έχει τις παρακάτω ιδιότητες: είναι συνεκτικό δεν περιέχει κύκλο έχει n 1 ακμές Θα αποδείξουμε στη συνέχεια ότι δύο οποιεσδήποτε από τις παραπάνω ιδιότητες συνεπάγονται την τρίτη. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 21 / 71

Θεώρημα Εστω ένα γράφημα G με n κορυφές. Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: (α) Το G είναι δέντρο (β) Το G έχει n 1 ακμές και δεν περιέχει κύκλο. (γ) Το G έχει n 1 ακμές και είναι συνεκτικό. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 22 / 71

Απόδειξη Δείχνουμε πρώτα ότι (α) (β). Εστω ότι το G είναι δέντρο Τότε εξ ορισμού δεν περιέχει κύκλο και όπως αποδείξαμε έχει n 1 ακμές. Άρα το (α) συνεπάγεται το (β). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 23 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Δείχνουμε στη συνέχεια ότι (β) (γ). Εστω ότι το G έχει n 1 ακμές και δεν περιέχει κύκλο. Θα δείξουμε ότι το G είναι συνεκτικό με απαγωγή σε άτοπο. Ας υποθέσουμε ότι το G δεν είναι συνεκτικό και έστω k > 1 το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών του. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 24 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Κατασκευάζουμε μία ακολουθία γραφημάτων G 0, G 1,..., G m με το παρακάτω τρόπο: Θέτουμε G 0 = G. Αν το G i είναι συνεκτικό γράφημα, τότε η κατασκευή της ακολουθίας έχει ολοκληρωθεί (m = i). Αλλιώς το G i+1 προκύπτει προσθέτοντας στο G i μία ακμή {u i, v i } τέτοια ώστε οι κορυφές u i, v i να βρίσκονται σε διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες του G i. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 25 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Θα δείξουμε με επάγωγή στο i ότι το γράφημα G i δεν έχει κύκλο, αποτελείται από k i συνεκτικές συνιστώσες και περιέχει n κορυφές και n 1 + i ακμές. Για i = 0 ο ισχυρισμός ισχύει από τις υποθέσεις που έχουμε κάνει, επειδή G 0 = G. Εστω ότι ο ισχυρισμός ισχύει για i = j. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 26 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Το γράφημα G j έχει από επαγωγική υπόθεση n κορυφές και n 1 + j ακμές και άρα το G j+1 έχει επίσης n κορυφές και n 1 + (j + 1) ακμές (τις ακμές του G j και την ακμή {u j, v j }). Επίσης η προσθήκη της ακμής {u j, v j } έχει ως αποτέλεσμα να ενωθούν οι συνεκτικές συνιστώσες που περιέχουν τις u j κα v j. Από την επαγωγική υπόθεση, το G j έχει k j συνεκτικές συνιστώσες και άρα το G j+1 έχει k j 1 = k (j + 1) συνεκτικές συνιστώσες. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 27 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Για την ολοκλήρωση του επαγωγικού βήματος, απομένει να δείξουμε ότι το G j+1 δεν περιέχει κύκλο. Αν το G i+j περιέχει κύκλο τότε θα πρέπει να ισχύει ένα από τα παρακάτω: Ο κύκλος δεν περιέχει την ακμή {u j, v j }. Τότε όμως ο κύκλος αυτός υπάρχει και στο G j. Ομως αυτό αντίκειται στην επαγωγική υπόθεση. Ο κύκλος περιέχει την ακμή {u j, v j }. Τότε όμως οι υπόλοιπες ακμές του κύκλου σχηματίζουν ένα μονοπάτι που συνδέει τις u j, v j στο G j+1, το οποίο υπάρχει και στο G j. Ομως δεν μπορεί να υπάρχει τέτοιο μονοπάτι, καθώς οι v i και v j ανήκουν σε διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες του G j. Άρα το G j+1 δεν περιέχει κύκλο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 28 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Συνεπώς για κάθε i < k 1 το G i έχει k i > k (k 1) = 1 συνεκτικές συνιστώσες και το G k 1 έχει k (k 1) = 1 συνεκτική συνιστώσα, άρα είναι συνεκτικό (δηλαδή m = k 1). Επιπλέον το G k 1 δεν περιέχει κύκλο και άρα είναι δέντρο. Επειδή έχει n κορυφές θα πρέπει να έχει n 1 ακμές. Συνεπώς θα πρέπει n 1 + (k 1) = n 1 που συνεπάγεται k = 1 (άτοπο, καθώς έχουμε υποθέσει ότι k > 1). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 29 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Υποθέτοντας ότι το γράφημα G δεν είναι συνεκτικό, καταλήξαμε σε άτοπο. Άρα το G είναι συνεκτικό και συνεπώς το (β) συνεπάγεται το (γ). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 30 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Τέλος δείχνουμε ότι (γ) (α). Εστω ότι το G έχει n 1 ακμές και είναι συνεκτικό. Θα δείξουμε ότι το G δεν περιέχει κύκλο με απαγωγή σε άτοπο. Ας υποθέσουμε ότι το G περιέχει κύκλο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 31 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Κατασκευάζουμε μία ακολουθία γραφημάτων G 0, G 1,..., G m με το παρακάτω τρόπο: Θέτουμε G 0 = G. Αν το G i δεν περιέχει κύκλο, τότε η κατασκευή της ακολουθίας έχει ολοκληρωθεί (m = i). Αλλιώς το G i+1 προκύπτει διαγράφοντας από το G i μία ακμή {u i, v i } η οποία ανήκει σε κάποιον κύκλο του G i. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 32 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Θα δείξουμε με επάγωγή στο i ότι το γράφημα G i είναι συνεκτικό και περιέχει n κορυφές και n 1 i ακμές. Για i = 0 ο ισχυρισμός ισχύει από τις υποθέσεις που έχουμε κάνει, επειδή G 0 = G. Εστω ότι ο ισχυρισμός ισχύει για i = j. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 33 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Το γράφημα G j έχει από επαγωγική υπόθεση n κορυφές και n 1 j ακμές και άρα το G j+1 έχει επίσης n κορυφές και n 1 j 1 = n 1 (j + 1) ακμές (όλες τις ακμές του G j εκτός από την {u j, v j }). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 34 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Για την ολοκλήρωση του επαγωγικού βήματος, απομένει να δείξουμε ότι το G j+1 είναι συνεκτικό. Εστω c = u j, x 1,..., x k, v j, u j, k 1 ένας κύκλος του G j οποίος περιέχει την ακμή {u j, v j }. Τότε το μονοπάτι p = u j, x 1,..., x k, v j συνδέει τις κορυφές u j και v j και δεν περιέχει την ακμή {u j, v j }. Εστω δύο οποιεσδήποτε κορυφές s, t του G j+1 και έστω ένα μονοπάτι p = y 0, y 1,..., y l, όπου y 0 = s και y l = t το οποίο συνδέει τις κορυφές s, t στο G j. Αν το p δεν περιέχει την ακμή {u j, v j }, τότε το μονοπάτι p συνδέει τις s, t και στο G j+1. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 35 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Αν το p περιέχει την ακμή {u j, v j } τότε υπάρχει κάποιο µ, 1 µ l 1 τέτοιο ώστε u j = y µ και v j = y µ+1. Σχηματίζουμε τη διαδρομή w = y 0,..., y µ, x 1,..., x k, y µ+1,..., y l, η οποία δεν περιέχει την ακμή {u j, v j }. Η διαδρομή w υπάρχει και στο G j+1 και συνδέει τις κορυφές s και t. Επειδή υπάρχει διαδρομή στο G i+1 που συνδέει τις s και t, υπάρχει και μονοπάτι στο G i+1 που συνδέει τις κορυφές αυτές. Άρα δύο οποιεσδήποτε κορυφές s, t του G j+1 συνδέονται με μονοπάτι που συνεπάγεται ότι το G j+1 είναι συνεκτικό. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 36 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Θε πρέπει m (n 3), καθώς αν η ακολουθία έχει μήκος m 3, τότε το γράφημα G n 3 θα περιέχει n 1 (n 3) = 2 ακμές και άρα δεν περιέχει κύκλο. Το γράφημα G m είναι συνεκτικό και δεν περιεχει κύκλο, άρα είναι δέντρο. Επειδή το G m έχει n κορυφές θα πρέπει να έχει n 1 ακμές. Συνεπώς θα πρέπει n 1 m = n 1 που συνεπάγεται m = 0 (άτοπο, επειδή έχουμε υποθέσει ότι το G 0 = G έχει κύκλο). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 37 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Υποθέτοντας ότι το γράφημα G έχει κύκλο, καταλήξαμε σε άτοπο. Άρα το G δεν περιέχει κύκλο και συνεπώς το (γ) συνεπάγεται το (α). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 38 / 71

Η απόδειξη του παρακάτω θεωρήματος αφήνεται ως άσκηση. Θεώρημα Ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις: (α) Κάθε δέντρο T με n 2 κορυφές έχει τουλάχιστον δύο φύλλα. (β) Κάθε δέντρο T με n 3 κορυφές έχει τουλάχιστον μία εσωτερική κορυφή. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 39 / 71

Ορισμός Ενα κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) ονομάζεται κατευθυνόμενο δέντρο αν το υποκείμενο μη κατευθυνόμενο γράφημα του G είναι δεντρο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 40 / 71

Παράδειγμα Το παρακάτω κατευθυνόμενο γράφημα είναι κατευθυνόμενο δέντρο. v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 v 12 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 41 / 71

Ορισμός Ενα κατευθυνόμενο δέντρο T = (V, E) ονομάζεται δέντρο με ρίζα αν έχει ακριβώς μία κορυφή r V με εισερχόμενο βαθμό 0. Η κορυφή r ονομάζεται ρίζα του δέντρου T. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 42 / 71

Παράδειγμα Το παρακάτω κατευθυνόμενο γράφημα είναι δέντρο με ρίζα. Η μόνη κορυφή με εισερχόμενο βαθμό 0 είναι η v 1. Παρατηρούμε ότι κάθε άλλη κορυφή έχει εισερχόμενο βαθμό 1. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 v 12 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 43 / 71

Ορισμός Εστω δέντρο T = (V, E) ένα δέντρο με ρίζα. Μία κορυφή v V ονομάζεται: φύλλο αν d + T (v) = 0 εσωτερική κορυφή (ή εσωτερικός κόμβος) αν d + T (v) > 0. Η ρίζα r ενός δέντρου με ρίζα είναι εσωτερικός κόμβος αν το δέντρο έχει τουλάχιστον δύο κορυφές και φύλλο σε αντίθετη περίπτωση. Σημειώνεται ότι αν για τη ρίζα r ενός δέντρου με ρίζα T ισχύει d + T (r) = 1, τότε η r δεν είναι φύλλο του T, παρότι είναι φύλλο στο υποκείμενο μη κατευθυνόμενο γράφημα του T. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 44 / 71

Θεώρημα Εστω T = (V, E) ένα δέντρο με ρίζα την κορυφή r. Τότε κάθε κορυφή του T διαφορετική από την r έχει εισερχόμενο βαθμό 1. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 45 / 71

Απόδειξη Θα αποδείξουμε το θεώρημα με επαγωγή στο πλήθος των κορυφών του T. Αν το T έχει μία κορυφή, τότε δεν έχει άλλες κορυφές εκτός από τη ρίζα και άρα ο ισχυρισμός αληθεύει τετριμένα. Εστω ότι ο ισχυρισμός αληθεύει για κάθε δέντρο με ρίζα το οποίο έχει k κορυφές. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 46 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Εστω T ένα δέντρο με ρίζα το οποίο έχει k + 1 κορυφές. Το υποκείμενο μη κατευθυνόμενο γράφημα T του T έχει τουλάχιστον δύο φύλλα. Εστω w ένα φύλλο του T διαφορετικό από τη ρίζα r. Επειδή η κορυφή w δεν έχει εισερχόμενο βαθμό 0, η μοναδική προσπίπτουσα ακμή στη w θα πρέπει να είναι εισερχόμενη ακμή σε αυτή. Συνεπώς d T (w) = 1. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 47 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Θεωρούμε το δέντρο T = T w. Για κάθε κορυφή v V {w} ισχύει d T (v) = d T (v), καθώς η μοναδική ακμή που διαφοροποιεί τα δύο δέντρα είναι ακμή που εισέρχεται στην w, η οποία είναι εξερχόμενη από κάποια κορυφή του V {w} και άρα η διαγραφή της δεν επηρεάζει τους εισερχόμενους βαθμούς των κορυφών του συνόλου αυτού. Συνεπώς στο T η μόνη κορυφή με εισερχόμενο βαθμό 0 είναι η r και άρα το T είναι δέντρο με ρίζα, το οποίο έχει k κορυφές. Από την επαγωγική υπόθεση προκύπτει ότι για κάθε κορυφή v του T διαφορετική από τη ρίζα ισχύει d T (v) = 1. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 48 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Συνεπώς για κάθε κορυφή v του T διαφορετική από τις w και r ισχύει d T (v) = d T (v) = 1 και επιπλέον έχουμε δείξει ότι d T (w) = 1. Άρα κάθε κορυφή του T που είναι διαφορετική από τη ρίζα έχει εισερχόμενο βαθμό 1. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 49 / 71

Ορισμός Εστω δέντρο T = (V, E) ένα δέντρο με ρίζα και v, u, w V κορυφές του T. Αν (v, u) E, τότε η u ονομάζεται παιδί της v και η v πατέρας της u. Αν η v είναι πατέρας της u και της w τότε οι u και w ονομάζονται αδέρφια. Αν υπάρχει κατευθυνόμενο μονοπάτι από την v στην u τότε η u ονομάζεται απόγονος της v και η v πρόγονος της u. Από το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει ότι σε ένα δέντρο με ρίζα, κάθε κορυφή εκτός από τη ρίζα έχει έναν μοναδικό πατέρα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 50 / 71

Συνήθως όταν σχεδιάζουμε ένα δέντρο με ρίζα, τοποθετούμε τις κορυφές έτσι ώστε κάθε κορυφή να βρίσκεται πιο πάνω από τα παιδιά της. Αυτό επιτρέπει αν θέλουμε να παραλείπουμε τις κατευθύνσεις των ακμών, καθώς αυτές υπονοούνται από την τοποθέτηση των κορυφών. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 51 / 71

Παράδειγμα Στα εικονιζόμενο δέντρο με ρίζα, η κορυφή v 1 έχει παιδιά τις κορυφές v 2, v 3 και v 4. Ο πατέρας της κορυφής v 8 είναι η v 6. Οι κορυφές v 9, v 10, v 11 και v 12 είναι αδέλφια. Οι κορυφές v 7, v 9, v 10, v 11 v 12, v 13 και v 14 είναι απόγονοι της v 3. Οι κορυφές v 1, v 3, και v 7 είναι πρόγονοι της v 12. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v v v v 12 11 9 10 v 13 v 14 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 52 / 71

Ορισμός Εστω δέντρο T = (V, E) ένα δέντρο με ρίζα και v μία κορυφή του T. Το υπογράφημα του T το οποίο παράγεται από το σύνολο κορυφών V που αποτελείται από την v και όλους τους απογόνους της ονομάζεται υποδέντρο του T με ρίζα τη v. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 53 / 71

Παράδειγμα Παρακάτω εικονίζεται ένα δέντρο με ρίζα T και τα υποδέντρα του με ρίζες τις κορυφές v 2 και v 7. v 1 v 2 v 7 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v v v v 12 11 9 10 v 5 v 6 v 7 v 8 v 13 v 14 v 8 v v v v 12 11 9 10 v 13 v 14 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 54 / 71

Ορισμός Ονομάζουμε διατεταγμένο δέντρο ένα ζεύγος T = (T, ) όπου T = (V, E) είναι ένα δεντρο με ρίζα και είναι μία διμελής σχέση επί του V τέτοια ώστε: Για κάθε κορυφή v V με d + T (v) 2 ο περιορισμός της στο N + T (v) είναι ολική διάταξη Για οποιεσδήποτε κορυφές v, u V με v u, αν N T (v) N T (u) = τότε v u Η πρώτη συνθήκη λέει ότι αν μία εσωτερική κορυφή έχει τουλάχιστον δύο παιδιά τότε αυτά διατάσσονται πλήρως με βάση την. Η δεύτερη συνθήκη λέει ότι η δεν διατάσσει κορυφές με διαφορετικό πατέρα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 55 / 71

Συνήθως όταν σχεδιάζουμε ένα διατεταγμένο δέντρο, το παιδιά μίας κορυφής σχεδιάζονται σε σε αύξουσα τάξη (ως προς την ) από τα αριστερά προς τα δεξιά. Με αυτό τον τρόπο η διάταξη ορίζεται έμμεσα από το σχεδιασμό του δέντρου. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 56 / 71

Ορισμός Ενα διατεταγμένο δέντρο T ονομάζεται m-αδικό δέντρο, αν κάθε κορυφή του έχει εξερχόμενο βαθμό το πολύ m. Σε ένα m-αδικό δέντρο κάθε κορυφή έχει το πολύ m παιδιά. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 57 / 71

Ορισμός Ενα διατεταγμένο δέντρο T ονομάζεται γεμάτο m-αδικό δέντρο, αν κάθε εσωτερική κορυφή του έχει εξερχόμενο βαθμό m. Σε ένα m-αδικό δέντρο κάθε κορυφή έχει ακριβώς m παιδιά ή είναι φύλλο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 58 / 71

Παράδειγμα Παρακάτω εικονίζεται ένα γεμάτο δυαδικό (2-αδικό) δέντρο (αριστερά) και ένα γεμάτο τριαδικό (3-αδικό) δέντρο (δεξιά). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 59 / 71

Θεώρημα Για κάθε γεμάτο δυαδικό δέντρο T = (V, E) με t φύλλα και i εσωτερικές κορυφές, ισχύει i = t 1. Απόδειξη Εστω n = V και e = E. Επειδή το υποκείμενο μη κατευθυνόμενο γράφημα του T είναι δέντρο, ισχύει e = n 1 = t + i 1. Επίσης ισχύει e = v V d + T (v) = 2i (όπου η δεύτερη ισότητα ισχύει επειδή κάθε εσωτερική κορυφή έχει εξερχόμενο βαθμό 2 και κάθε φύλλο έχει εξερχόμενο βαθμό 0). Από τις δύο παραπάνω ισότητες προκύπτει ότι t + i 1 = 2i που ισοδυναμεί με i = t 1. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 60 / 71

Ορισμός Ονομάζουμε ύψος ενός δέντρου με ρίζα το μέγιστο μήκος μονοπατιού από τη ρίζα προς κάποιο φύλλο του δέντρου. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 61 / 71

Παράδειγμα Το δέντρο στα αριστερά έχει ύψος 4 και το δέντρο στα δεξιά έχει ύψος 3. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 62 / 71

Θεώρημα Κάθε γεμάτο δυαδικό δέντρο T με ύψος h έχει τουλάχιστον h εσωτερικές κορυφές και h + 1 φύλλα. Απόδειξη Εφόσον το ύψος του δέντρου T είναι h, υπάρχει μονοπάτι μήκους h από τη ρίζα προς κάποιο φύλλο. Οι ακμές αυτού του μονοπατιού ξεκινούν από εσωτερικές κορυφές. Αρα το T έχει τουλάχιστον h εσωτερικές κορυφές, και από το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει ότι έχει τουλάχιστον h + 1 φύλλα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 63 / 71

Θεώρημα Κάθε δυαδικό δέντρο T με ύψος h έχει το πολύ 2 h φύλλα. Απόδειξη Θα αποδείξουμε το θεώρημα με επαγωγή στο h. Για h = 0, το δέντρο δεν περιέχει άλλη κορυφή εκτός από τη ρίζα, η οποία είναι το μοναδικό φύλλο του δέντρου. Άρα το πλήθος των φύλλων είναι 1 = 2 0 = 2 h. Συνεπώς ο ισχυρισμός αληθεύει για h = 0. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 64 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Υποθέτουμε ότι ο ισχυρισμός αληθεύει για κάθε δυαδικό δέντρο με ύψος το πολύ k. Εστω T ένα δυαδικό δέντρο με ύψος h + 1 και έστω r η ρίζα του t. Θεωρούμε τα υποδέντρα του T που έχουν ως ρίζα κάποιο παιδί της r. Υπάρχουν το πολύ δύο τέτοια υποδέντρα, καθένα από τα οποία είναι δυαδικό δέντρο με ύψος h. Από την επαγωγική υπόθεση προκύπτει ότι κάθε τέτοιο υποδέντρο έχει το πολύ 2 h φύλλα. Επιπλέον κάθε φύλλο του T είναι φύλλο κάποιου από αυτά τα υποδέντρα και αντίστροφα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 65 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Συνεπώς το T έχει το πολύ 2 2 h = 2 h+1 φύλλα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 66 / 71

Παράδειγμα Το εικονιζόμενο δυαδικό δέντρο ύψος 4 και 16 φύλλα. Το πλήθος των φύλλων είναι το μέγιστο δυνατό με δεδομένο το ύψος του δέντρου. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 67 / 71

Θεώρημα Κάθε δυαδικό δέντρο T με ύψος h έχει το πολύ 2 h+1 1 κορυφές. Απόδειξη Εστω ότι το T έχει i εσωτερικές κορυφές και t φύλλα. Το συνολικό πλήθος κορυφών του T είναι n = i + t. Κατασκευάζουμε ένα γεμάτο δυαδικό δέντρο T, προθέτοντας για κάθε εσωτερική κορυφή v του T η οποία έχει ένα παιδί ένα νέο φύλλο w v και την ακμή (v, w v ). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 68 / 71

Απόδειξη (συνέχεια) Το T έχει i εσωτερικές κορυφές (τις ίδιες με το T ) και t t φύλλα. Επειδή το T είναι γεμάτο δυαδικό δέντρο, ισχύει i = t 1. Επίσης, το T έχει επίσης ύψος h, άρα από το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει ότι t 2 h. Συνδυάζοντας τά παραπάνω έχουμε ότι n = i + t i + t = (t 1) + t = 2t 1 2 2 h 1 = 2 h+1 1 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 69 / 71

Θεώρημα Κάθε δυαδικό δέντρο με n κόμβους έχει ύψος τουλάχιστον log n. Απόδειξη Εστω h το ύψος του δέντρου. Τότε n 2 h+1 1 n < 2 h+1 log n < log 2 h+1 log n < h + 1 log n < h + 1 log n h Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 70 / 71

Η απόδειξη των παρακάτω θεωρημάτων αφήνεται ως άσκηση. Θεώρημα Για κάθε γεμάτο m-αδικό δέντρο T = (V, E) με t φύλλα και i εσωτερικές κορυφές, ισχύει i = t 1 m 1. Θεώρημα Κάθε γεμάτο m-αδικό δέντρο T με ύψος h έχει τουλάχιστον h εσωτερικές κορυφές και h (m 1) + 1 φύλλα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) 2018 71 / 71