Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ, α Η χάραξη της γραφικής παράστασης μιας γραμμικής συνάρτησης β βαθμού δηλ. της μορφής f ( x ) αx βx γ, α (γνωστή ως τριώνυμο) παρουσιάζει για πολλούς μαθητές ιδιαίτερη δυσκολία. Θα θέλαμε λοιπόν να δώσουμε μερικούς πρακτικούς κανόνες για τη χάραξή της. i) Τη γραφική παράσταση της f (x) x όλοι την γνωρίζουμε. Είναι ως γνωστόν παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων Ο(, ) και έχει γραφική παράσταση το παρακάτω σχήμα (α) αν α > ή το (β) αν α <. Για την ακρίβεια των παραπάνω σχημάτων χρειαζόμαστε και έναν πίνακα τιμών. 1 π.χ. για την συνάρτηση f (x) x έχουμε: X - 1 1 1 1 Y Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) αx βx γ, α είναι όμοια με την γραφική παράσταση της f (x) x όμως μετατοπισμένη παράλληλα με τους άξονες x x και ψ ψ έτσι ώστε η κορυφή της να εφαρμοστεί β Δ στο σημείο Κ, α 4α. Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) αx βx γ, α προτείνουμε λοιπόν να χαράσσετε τη γραφική παράστασης της f (x) x και με διαφανές χαρτί να την μετατοπίζετε έτσι ώστε η κορυφή της από την αρχή των αξόνων Ο(, ) να εφαρμοστεί στο σημείο Κ, β Δ α 4α. Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) x 1x 19, x Χαράσσουμε με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών τη γραφική παράσταση της f (x) x που ως γνωστόν είναι παραβολή με κορυφή το Ο(, ) x 1 y 8 18 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./9
και στη συνέχεια την μετατοπίζουμε ώστε η κορυφή της να συμπέσει με το σημείο Κ(, 1), αφού Δ 144 419 8 β 1 α Δ 8 1 4α 4 Δ 16 1 4α 4 4 Τα σημεία είναι: Κ(1, 1), Α(, ), Α (, ). ii) Ένας άλλος τρόπος για τη χάραξη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (x) αx βx γ, α είναι κι αυτός πρακτικός και γίνεται (γνωρίζοντας ότι είναι παραβολή) με τη βοήθεια των τριών σημείων: 1 ο β Δ σημείο: Η κορυφή Κ, α 4α ο σημείο: Το σημείο Α(, γ). (Είναι το σημείο που η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα ψ ψ) ο σημείο: Το συμμετρικό Α του σημείου Α ως β προς την κατακόρυφη ευθεία: x. α Σημείωση: Στα παραπάνω σημεία μπορεί να προστεθούν (αν υπάρχουν) τα σημεία Μ 1 (x 1, ) και Μ (x, ) όπου x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = (στη περίπτωση βέβαια που η διακρίνουσα Δ είναι θετική). Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) 4x 8x, x Τα οφέλη από τη χάραξη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: f(x) αx βx γ, α. Είναι πολλά! Το κυριότερο όμως είναι η βοήθεια που μας δίνει στην επίλυση πολυωνυμικών ανισώσεων β βαθμού. π.χ. Οι λύσεις της ανίσωσης αx βx γ είναι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (x) αx βx γ που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x. Να λυθεί η ανίσωση: x 7x 1. Χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x 7x 1 (με έναν από τους παραπάνω τρόπους) Λύσεις είναι οι τετμημένες των σημείων της που είναι πάνω από τον άξονα δηλ. < x < 5. Έχουμε: α = 4 β = 8 γ = Δ 66 16 16 β 8 1 α 4 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./4
Συμπεράσματα για το πρόσημο του τριωνύμου f(x) αx βx γ, α Παρατηρώντας τις 6 περιπτώσεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) αx βx γ, α μπορείτε να απαντήσετε στο ερώτημα: πότε το τριώνυμο δίνει θετικές και πότε αρνητικές τιμές; Συμπληρώστε με τα πρόσημα: + ή τους πίνακες όπως στον πρώτο πίνακα. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./44
Β. Πρόσημο τριωνύμου και ανισώσεις Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι: Αν Δ > τότε, οι τιμές f(x) είναι ομόσημες του α αν x εκτός των ριζών (x < ρ 1 ή x > ρ ) και f(x) ετερόσημες του α, αν x μεταξύ των ριζών (ρ 1 < x < ρ ). Αν Δ = τότε, οι τιμές f(x) είναι ομόσημες του β α, για κάθε x α ( β η διπλή ρίζα του τριωνύμου) α Αν Δ < τότε, οι τιμές f(x) είναι ομόσημες του α, για κάθε x. (1) x 5x 4x x x 7x 7x x x x 1 7xx 1 x 1 x 1 x 7x x 1 x 1. x 7x Δ 5 x 5 1 Άρα x ή x f1, 1 α Πολυωνυμικές ανισώσεις μεγαλύτερου του ου βαθμού Μορφή Α x ή Β x. (Α(x), Β(x): πολυώνυμα του x). Παραγοντοποιούμε τα Α(x) ή Β(x) σε γινόμενο παραγόντων, που καθένας από αυτούς είναι πολυώνυμο το πολύ ου βαθμού. Εξετάζουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα και πινακοποιούμε τα αποτελέσματα. Μορφή f (x) g(x) ή f (x) g(x). Υποθέτουμε g(x). Λύνουμε τις ισοδύναμες των ανισώσεων αυτών: f (x) g(x) ή f (x) g(x) αντίστοιχα και συνεχίζουμε όπως προηγουμένως. Μορφή f (x) f (x) h(x) h(x) g(x) g(x) f (x) h(x) g(x) g(x) f (x) h(x) g(x) g(x) και συνεχίζουμε όπως προηγουμένως Ασκήσεις 1. Να λυθεί η ανίσωση: x 5x 4x (1). Επειδή το γινόμενο το θέλουμε αρνητικό, λύσεις της ανίσωσης είναι x < 1 ή 1 x. 1 x, 1, ] [Άλλη γραφή των λύσεων:. Να λυθεί η ανίσωση: Πρέπει x 5x 6 x x 4 x x 4 x 1 και x 4 (1) x 5x 6 x x 4 (1). x 5x 6 Δ 1 5 1 f1, Άρα: x ή x α 1 x x 4 Δ 5 1 5 f1, 4 α 1 Άρα: 4 x 1 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./45
Επειδή το γινόμενο το θέλουμε μικρότερο ή ίσο του μηδενός, λύσεις της ανίσωσης είναι x < 4 ή 1x ή x. [Άλλη γραφή των λύσεων: x, 4 1,, ] 8. Να λυθεί η ανίσωση: x x 9 x (1) Πρέπει x x 8 (1) x x 9 x 8 x x x 9 x 8 x x 9x x 9x 7 x 1 x x 1 x1 x x x 1 x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 Δ Άρα α 1 x x x x 1 για κάθε x 4. Να λυθεί η ανίσωση: 7x 11 x 5 x 4 Πρέπει x 4 x και x 7x 11 (1) x 5 x 4 7x 11 x 5 x 4 x 4 7x 11 x 4x 5x x 4 x 5x x 9 x 4 x x 6x 6x 9x 9 x 4 x x 1 6xx 1 9x 1 x 4 x 1x 6x 9 x 4 x 1 x 6x 9 x 4 (1) x 1 x 1 x 6x 9 Δ Άρα: x 6x 9 6 ρ για κάθε x α 1 x 4 x 4 x x ή x Επειδή το γινόμενο το θέλουμε θετικό, λύσεις της ανίσωσης είναι: x 1. x,1 ] [Άλλη γραφή των λύσεων: Επειδή το γινόμενο το θέλουμε μη αρνητικό, λύσεις της ανίσωσης είναι x ή x 1 ή x. [Άλλη γραφή των λύσεων: x,1, ] ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./46