Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
|
|
- Καρπός Χρηστόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ. β) Θα λέμε ότι η f είναι κοίλη ή στρέφει τα κοίλα κάτω στο Δ, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ. α) Αν f () > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ. β) Αν f () < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο Δ. Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) αλλά όχι απαραίτητα στο σημείο (α, β). a) Αν η f είναι κυρτή στο (α, ) και κοίλη στο (, β) ή αντιστρόφως και β) Αν ορίζεται εφαπτομένη της C f, στο Α(, f( )), τότε το Α(, f( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. Όταν το Α(, f( )) είναι σημείο καμπής της C f, τότε θα λέμε ότι η f παρουσιάζει καμπή στο και το θα το λέμε θέση σημείου καμπής. Θεώρημα Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και το Α(, f( )) είναι σημείο καμπής της C f, τότε f ( )0. Παρατηρήσεις a) Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω απ' τη C f. - -
2 β) Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη στο διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται πάνω απ' τη C f. γ) Η εφαπτομένη της C f στα σημεία καμπής διαπερνά τη C f. δ) Είναι δυνατόν να έχουμε f ( ο ) 0 χωρίς να παρουσιάζει η f καμπή στο. Πράγματι για την f() είναι f () και f () και παρατηρούμε ότι f (0) 0, αλλά και f () 0 για κάθε. Επομένως η f στρέφει τα κοίλα άνω στο και στο ο 0 δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ η Για να βρούμε την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της C f εργαζόμαστε ως εξής:. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.. Υπολογίζουμε την παράγωγο f και τη δεύτερη παράγωγο f.. Λύνουμε την εξίσωση f () 0.. Λύνουμε την ανίσωση f () > 0 (Με τη βοήθειά της βρίσκουμε το πρόσημο της f ). 5. Φτιάχνουμε τον πίνακα προσήμου της f και απ' αυτόν βρίσκουμε την κυρτότητα της C f. Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σε διάστημα Δ είναι: τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δεύτερη παράγωγος της f είναι μηδέν. Αν είναι μια πιθανή θέση σημείου καμπής, τότε το Α(, f( )) είναι σημείο καμπής, όταν η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του, και ορίζεται εφαπτομένη της C f στο Α(, f( )). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν σημεία καμπής και να μελετηθούν ως προς την κυρτότητα οι συναρτήσεις: 8 α) f() β) f() + 8ln - -
3 γ) f() e. 8 α) Για κάθε έχουμε f () ( ) ( )( )( 8). ( ) ( ) Επίσης f () ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) f () 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). ( ) 0 0 ή ή -. Το πρόσημο της f, η κυρτότητα της f και τα σημεία καμπής της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: X f f Σ.Κ. Σ.Κ. Σ.Κ. Η f είναι κοίλη στα διαστήματα (-, - ], [0, ] και κυρτή στα διαστήματα [-, 0], [, + ). Η f έχει τρία σημεία καμπής, τα Α(-, f(- )), B(0, f(0)), Γ(, f( )). β) Για κάθε (0,) έχουμε f () ( + 8ln) + 8. Επίσης f () ( + 8 ) f () f () > 0 - > 0 > >. - -
4 0 + f - + f Σ.Κ. Η f είναι κοίλη στ διάστημα (0, ] και κυρτή στο διάστημα [, + ). Το Α(, + 8ln) είναι σημείο καμπής της C f. γ) Για κάθε έχουμε f () ( e ) e ( ) - e. f () (- f () 0 f () > 0 e ) (- ) e + (- ) e ( ) e + ( )e ( )e 0 -. > 0 > -. e ( )e f f Σ.Κ. Η f είναι κοίλη στο διάστημα (-, - ] και κυρτή στα διαστήματα [-, 0), (0, + ). Το Α(-, e- ) είναι σημείο καμπής της C f. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση 6, αν 0 f() είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιοριστούν τα 5, aν 0 σημεία καμπής της C f. - -
5 Η f είναι συνεχής στα διαστήματα (-, 0), (0, + ) ως πολυωνυμική σε καθένα από αυτά. Θα εξετάσουμε αν η f είναι συνεχής στο 0. lim f() lim( 6 ) 0 lim f() 0 Επειδή 0 0 lim( 5 ) 0 lim f() και f(0). lim f() 0 f(0), η f είναι συνεχής στο 0 και σ' όλο το. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-, 0) με f () + και στο (0, + ) με f () -0. Θα εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. f() f() 6 lim lim lim( 6) f() f() lim 0 Επειδή 0 f (0) 0. Άρα f () lim 0 f() f() lim 5 0 +, αν < 0-0, αν 0 f() f() lim. lim( 5) , η f είνaι παραγωγίσιμη στο 0 με Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (-, 0) με f () 6 + και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0, + ) με f () 6-0. Θα εξετάσουμε αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0. f() f() 0 lim lim lim( ) f() f() 0 lim lim lim( 0) f() f() f() f() Επειδή lim lim, η f δεν είνaι δύο φορές 0 0 παραγωγίσιμη στο , αν < 0 Άρα f () 6-0, αν > 0 Το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου, τα διαστήματα κυρτότητας και τα σημεία καμπής της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: - 5 -
6 f f 8-8 Σ. Κ. Σ. Κ. Σ. Κ. Η f είναι κοίλη στα διαστήματα (-, -], [0, 5] και κυρτή στα διαστήματα [-, 0], [5, + ). Τα σημεία Α(-, 8), Β(0, ), Γ(5, -8) είναι σημεία καμπής της C f. Ειδικά το Β(0, ) είναι σημείο καμπής αφού εκατέρωθεν του 0 η f αλλάζει πρόσημο και ορίζεται η εφαπτομένη της C f στο Β αφού f (0) 0. ΜΕΘΟΔΟΣ η Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω απ' τη C f. Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη στο διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται πάνω απ' τη C f. Εκμεταλλευόμενοι τις δύο παραπάνω παρατηρήσεις μπορούμε να αποδείξουμε ανισώσεις όπως είναι η ανίσωση του παρακάτω παραδείγματος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f() e,. α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή. β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(, f()). γ) Να αποδειχθεί ότι e 0, για κάθε. α) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f () e e και f () ( e ) e +. e e ( + ) > 0. Αφού f () > 0 για κάθε, η f είναι κυρτή στο. β) Είναι f() e και f () e. Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της Α(, f()) είναι: - 6 -
7 ε: y - f() f ()( - ) y - e e( - ) y e - e. γ) Αφού η f είναι κυρτή στο, η γραφική της παράσταση θα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της (ε) για κάθε. Άρα για κάθε έχουμε: f() e - e e e - e e e e( - ) e - e 0. ΜΕΘΟΔΟΣ η Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη δεν έχει σημεία καμπής, έχουμε τις παρακάτω επιλογές: αποδεικνύουμε ότι η f είναι κυρτή ή κοίλη στο πεδίο ορισμού της. υποθέτουμε ότι η f παρουσιάζει καμπή για κάποιο σημείο και καταλήγουμε σε άτοπο. αποδεικνύουμε ότι η f () 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θεωρούμε τη συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει f () + f() + για κάθε. Να δείξετε ότι η C f δεν έχει σημεία καμπής. Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για κάθε ισχύει: [f () + f() + ] () 6f()f () + f() + f () + 6 [6f()f () + f() + f () + 6] () 6f ()f () + 6f()f () + f () + f () + f () f () [6f() + ] + 6[f ()] + f () (). Έστω ότι η f παρουσιάζει για σημείο καμπής. Τότε θα ισχύει ότι f ( ο ) 0. Η σχέση () για δίνει: f ( ) [6f( )+ ] + 6[f ( )] + f ( ) [f ( )] + f ( ) Η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη γιατί είναι δευτέρου βαθμού ως προς f ( ) και έχει αρνητική διακρίνουσα. Άρα καταλήγουμε σε άτοπο κι επομένως η C f δεν έχει σημεία καμπής
8 ΜΕΘΟΔΟΣ η Αν μια συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη, παρουσιάζει σημείο καμπής σε εσωτερικό σημείο διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε ισχύει ότι f ( ) 0. Σε ασκήσεις που ζητάμε τις τιμές κάποιων παραμέτρων, ώστε η f να παρουσιάζει καμπή στο, θα πρέπει να γίνεται επαλήθευση, γιατί δε φτάνει η προϋπόθεση f ( ) 0. Είναι απαραίτητη και η αλλαγή προσήμου της f εκατέρωθεν του. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να βρείτε τις τιμές των α, β, ώστε η συνάρτηση f() α + β + να έχει σημείο καμπής το Μ(, ). Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f () (α + β + ) a + β και f () (a + β) 6a + β. f() 0 6a β 0 Για να είναι το Μ(, ) σημείο καμπής της C f θα πρέπει ή f() α β ή α - και β. Πράγματι για α - και β είναι f () ( - ). f () 0. f () > 0 <. - + f + - f Σ.Κ. Αφού η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του, στο σημείο Μ(, ) η C f παρουσιάζει σημείο καμπής κι επομένως οι τιμές α -, β είναι δεκτές
9 Άλλα παραδείγματα Β ομάδας. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να αποδείξετε ότι τα πιθανά σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με f() ημ ανήκουν στην καμπύλη y. Η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο με: f () ημ + συν και f () συν + συν - ημ συν - ημ. Τα πιθανά σημεία στα οποία η f παρουσιάζει καμπή είναι ρίζες της f, δηλαδή ρίζες της εξίσωσης συν ημ. Έστω Μ(, f( ο )) πιθανό σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f, οπότε έχουμε: συν ο ημ (). Αρκεί να αποδείξουμε ότι: f ( ) ημ ( + ) ημ ( + )ημ (είναι 0 λόγω της ()) ημ + ημ (λόγω της ()) συν ο + ημ που ισχύει. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Να βρεθεί το πλήθος των σημείων καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() a - + (a - ) - +, για τις διάφορες τιμές του α. a Για κάθε : f () (a - ) - α (a - ) - και f () 9a - + (a - ). α) Αν α 0, τότε f () - -. f () 0-6. f () > 0 <
10 f + - f Σ.Κ. Άρα η C f έχει ένα σημείο καμπής, το Α(- 6, f(- 6 )). β) Αν α 0, τότε η f είναι τριώνυμο με διακρίνουσα Δ (-) -. 9α. (α - ) - 7α + 7α 7(-α + α + ). Αν Δ > 0 - < α <, τότε η f μηδενίζεται σε δύο σημεία εκατέρωθεν των οποίων αλλάζει πρόσημο. Σ' αυτήν την περίπτωση η C f έχει δύο σημεία καμπής. Αν Δ < 0 α < - ή α >, τότε η f δε μηδενίζεται κι επομένως η C f δεν έχει σημεία καμπής. Αν Δ 0 α - ή α, τότε η f μηδενίζεται σ' ένα σημείο ρ εκατέρωθεν του οποίου διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο κι η C f δεν έχει σημεία καμπής. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Αν f() + ( + α - )e, α, να αποδείξετε ότι η C f έχει σημείο καμπής για κάθε α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος αυτών είναι μία καμπύλη η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Για κάθε είναι f () + e + ( + α- )e + ( + α)e και f () e + ( + α)e ( + α + )e. f () 0 ( + α + )e 0 -a -. f () > 0 ( + α + )e > 0 > -a -. Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. - -α - + f - + f Σ.Κ. Επομένως η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστημα (-, -α - ] και προς τα άνω στο διάστημα [-α -, + )
11 Το σημείο Μ (-α -, f(-α - )) είναι προφανώς σημείο καμπής της C f για κάθε α. Το Μ έχει τετμημένη -α - και τεταγμένη y -α - - e -α-, οπότε y - e,. Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των σημείων καμπής της C f είναι η καμπύλη y - e, η οποία είναι κοίλη γιατί y - e και y -e < 0 για κάθε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Έστω Ρ ένας πραγματικός αριθμός με 0 Ρ. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() - P P + α + β στρέφει τα κοίλα άνω στο για κάθε α, β. 6 8 Για κάθε : f () - P P + α, και f () - Ρ + P. Η f () είναι τριώνυμο με διακρίνουσα Δ (-Ρ) - P Ρ - Ρ. Το πρόσημο της Δ για τις διάφορες τιμές του Ρ φαίνεται απ' τον παρακάτω πίνακα: α) Αν Ρ 0, Ρ τότε Δ < 0. Άρα f () > 0 για κάθε και για κάθε α, β. Δηλαδή η f στρέφει τα κοίλα άνω στο για κάθε a, β. β) Αν Ρ 0 ή Ρ τότε η f είναι θετική στο εκτός από ένα σημείο στο οποίο μηδενίζεται. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο και η f σύμφωνα με τον ορισμό, στρέφει τα κοίλα άνω στο για κάθε α, β. - -
12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ά ομάδα. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιοριστούν (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων. α) f() β) f() γ) f() δ) f() ε) f() στ) f() ζ) f() η) f() θ) f() lη - ι) f() ln + ια) f() e ιβ) f() σφ, (0, π) ιγ) f() e - - ιδ) f() ημ - συν, [0, π] ιε) f() (ln - ) ιστ) f() ln ιζ) f() ln.. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιοριστούν τα σημεία καμπής (αν υπάρχουν) των γραφικών τους παραστάσεων. α) f() 6, 8 6, β) f() 6, 0, 0 γ) f() 6, - 6 δ) f() 8, 6, 0 ημ, π 0 ε) f() στ) f(). συν, 0 π 9, 0 5. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() έχει τρία σημεία καμπής, εκ των οποίων τα δύο είναι συμμετρικά ως προς το τρίτο.. Αν β, γ και a(0,), να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() - α + α + β + γ είναι κυρτή σ' όλο το. - -
13 5. Για τις διάφορες τιμές του α να υπολογιστεί το πλήθος των σημείων καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() - a + (α + ) + + α. 6. Θεωρούμε της συνάρτηση f() α + α (α - ) + α όπου α. Να βρεθεί το α ώστε η C f να έχει: α) ένα σημείο καμπής β) δύο σημεία καμπής γ) κανένα σημείο καμπής. 7. Δίνεται η συνάρτηση f() + a a a + + α + 5α άπου α. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής. 8. Δίνεται η συνάρτηση f() - + 6α + 5α - 6a - 6α +. Να αποδειχθεί ότι η C f έχει πάντα ένα σημείο καμπής που βρίσκεται στην παραβολή y +, για κάθε α. Β ομάδα. Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι f ()[(f'()) + 5] για κάθε. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής και η f στρέφει τα κοίλα άνω στο.. Έστω μια συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι [f ()] 5 + f () - - e για κάθε. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής και η f είναι κοίλη στο.. Δίνεται η συνάρτηση f() -. Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα κι ένα σημείο καμπής. Αν, είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων και θέση σημείου καμπής, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(, f( )), Β(, f( )) είναι συμμετρικά ως προς το Γ(, f( )).. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() - α + β όπου α, β. α) Να βρεθεί το α ώστε στο σημείο ο η f να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. β) Για τη θετική τιμή του α, που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(, f( )), Β(, f( )), Γ(, f( )) είναι συνευθειακά, όπου, θέσεις - -
14 τοπικών ακροτάτων της f και θέση σημείου καμπής της C f. 5. Να αποδειχθεί ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας κυρτής συνάρτησης f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε οποιοδήποτε σημείο της Α(, f( )) δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη C f εκτός απ' το Α. 6. Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο. Αν η συνάρτηση g() e + f() είναι κοίλη στο, να αποδειχθεί ότι και η συνάρτηση f είναι κοίλη στο. 7. Να βρεθούν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η γραφική παράσταση a της συνάρτησης f() να έχει σημείο καμπής το Μ (, β ). 8. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() e + είναι κυρτή στο. Στη συνέχεια να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α(0, ) και να αποδειχθεί ότι e + + για κάθε. 9. a) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() ln - είναι κοίλη στο (0, + ). β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(, -). γ) Να αποδειχθεί ότι ln για κάθε (0, + ). 0. α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() ln - π + ημ(π) είναι κοίλη στο (0, + ). β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C g στο σημείο Α(, -π ). γ) Να αποδειχθεί ότι ln - π + ημ(π) ( - π - π) + π + π -, για κάθε (0, + ).. Δίνεται η συνάρτηση f() + α + β + γ, όπου α, β, γ. Να βρεθούν τα α, β ώστε τα σημεία, - να είναι θέσεις σημείων καμπής. Ποια είναι η τιμή του γ ώστε τα σημεία καμπής να βρίσκονται στον άξονα ';. Δίνεται η συνάρτηση f(). Να αποδειχθεί ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα ενώ η C f παρουσιάζει τρία σημεία καμπής τα οποία είναι συνευθειακά.. Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση f ου βαθμού ώστε να παρουσιάζει ακρότατο στο, το O(0, 0) να είναι σημείο καμπής της C f, και η εφαπτομένη της C f στο σημείο να είναι παράλληλη στην ευθεία ε: y Θεωρούμε τη συνάρτηση f() + 6a - 5α, a. - -
15 α) Να αποδειχθεί ότι η C f παρουσιάζει ένα σημείο καμπής για κάθε a. β) Να βρεθεί το α ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο καμπής της να είναι κάθετη στην ευθεία - y Θεωρούμε μια συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι [f()] + f() για κάθε. Να αποδειχθεί ότι η C f δεν έχει σημεία καμπής. 6. Δίνεται η συνάρτηση f() a 5 + β + γ + δ + ε + ζ, α, β, γ, δ, ε, ζ, η οποία έχει τρία διαφορετικά σημεία καμπής. Να αποδείξετε ότι ισχύει β > 5αγ. 7. Δίνεται η συνάρτηση f: (0, + ) η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (0, + ). Αν για κάθε > 0 ισχύει: f(). [f ()] + f () 5, να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει σημεία καμπής. 8. Αν η συνάρτηση f: είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο και ισχύει: f (0) 0 και f () () > 0 για κάθε, να δείξετε ότι η f είναι κοίλη στο (-, 0] και κυρτή στο [0, + ). 9. Έστω οι συναρτήσεις f, g:. Αν για κάθε ισχύει f () > 0 και g () > 0, g () > 0 για κάθε f( ), να δείξετε ότι η συνάρτηση gf είναι κυρτή στο. 0. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και στο (α, β) είναι f ( ) 0. α) Αν η f είναι κυρτή στο [α, β], να αποδειχθεί ότι το f( ) είναι ελάχιστο. β) Αν η f είναι κοίλη στο [α, β], να αποδειχθεί ότι το f( ) είναι μέγιστο.. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ, με κ< λ και η συνάρτηση f() ( - κ) 5 ( - λ),. α) Να δειχθεί ότι για κάθε με κ και λ είναι: f() f() 5 + κ β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g() ln f() είναι κοίλη στο διάστημα (κ, λ). λ.. Δίνεται η συνάρτηση f() ln. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη καθώς και τα σημεία καμπής της C f, αν υπάρχουν.. Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο και α < β, να αποδειχθεί ότι f() - f(a) f (β)( - a) για κάθε
16 . Αν η συνάρτηση f: ικανοποιεί τη σχέση f() + e f() e για κάθε, να αποδείξετε ότι α) η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής, β) η f έχει ακριβώς ένα σημείο που είναι θέση τοπικού ακροτάτου. 5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() (-, 0) και (0, + ). e είναι κυρτή στα διαστήματα 6. α) Έστω f παραγωγίσιμη και κυρτή συνάρτηση, ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ. Να αποδειχθεί ότι f(a) + f(β) f a β για κάθε α, βδ. β) Έστω g δύο φορές παραγωγίσιμη στο με g() > 0 και g ()g() > [g ()] για κάθε. Να αποδειχθεί ότι για κάθε, ισχύει g f()f()
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
Διαβάστε περισσότερα********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
Διαβάστε περισσότερα2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)
1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 4.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις 1. Ορισµός Έστω συνεχής σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι η στρέφει
Διαβάστε περισσότερα13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραα β. M x f x. f x x x = = =.
Κυρτές συναρτήσεις σηµεία καµπής, Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α β ] και παραγωγίσιµη στο ( α, β ) (α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β ), τότε η fείναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα πάνω στο [ α,
Διαβάστε περισσότερα3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους
Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ
Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότερακαι δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x
ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 15 Α. α) Ψ β) Σχήμα 1 και μελέτη της f, όπου η f είναι συνεχής στο και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. Ορισμός σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ)
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης
7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x.
Ενδεικτικές Λύσεις Διαγωνίσματος (9--9) ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5 Α. α. ψ β. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ. 99 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 6 Α4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΛΥΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΟι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική
Διαβάστε περισσότερα5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 598 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»
Διαβάστε περισσότεραf(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)
. Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣΗΣ ΝΟ 2 Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕ.Λ. 18 ΜΑΙΟΥ 2018 ΘΕΜΑ Α. η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣΗΣ ΝΟ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕ.Λ. 8 ΜΑΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ Α Α. Εστω μια συνάρτηση f και x ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x, όταν Α. lim f ( x) f
Διαβάστε περισσότερα1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότερακαι γνησίως αύξουσα στο 0,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. f (f )(x) x f (f )(x) x f (f )(x) (f ) (x)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 4 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 A α) Βλέπε Σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότερα, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότερα#Ευθύνη_Μαθηματικά ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 11 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΝΤΕΚΑ (11) ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ
Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής
Διαβάστε περισσότερα20 επαναληπτικά θέματα
0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε
Διαβάστε περισσότεραΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
Διαβάστε περισσότερα(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΓ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].
ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων
Διαβάστε περισσότεραf ( x) f ( x ) για κάθε x A
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;
Διαβάστε περισσότεραlim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
5 Σεπτεμβρίου 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Λυκείου
Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
Διαβάστε περισσότερα2015zi 2015zi 2015zi 2015zi 4030zi 4030zi z z
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατευθυνσης 15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 15 ΘΕΜΑ Α Α1.
Διαβάστε περισσότερα5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το
Διαβάστε περισσότεραΠανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών
Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Ημερομηνία: Ιουνίου 08 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α.. Θεωρία σχολικού βιβλίου,
Διαβάστε περισσότεραf '(x 0) lim lim x x x x
Α Θ Ε Μ Α A Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( F e r m a t ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:
Διαβάστε περισσότεραΠανελλαδικές εξετάσεις 2017
Πανελλαδικές εξετάσεις 7 Ενδεικτικές απαντήσεις στο μάθημα «Μαθηματικά ΟΠ» Θέμα Α Α Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ 36 Α α) Λ β) H συνάρτηση ( ) είναι παραγωγίσιμη σε αυτό αφού: ( ) () lim lim είναι συνεχής
Διαβάστε περισσότερα3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους
wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Α ο Διαγώνισμα στις παραγώγους Διάρκεια:,5 ώρες Α α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f στο Δ; Δώστε παράδειγμα β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΓ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών
Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις
Διαβάστε περισσότερα2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c
Διαβάστε περισσότεραx R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΗ ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016
ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης Τετάρτη, 9 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραf κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και
13η Επαναληπτική Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,] [,1], επιπλέον για την ισχύουν 8 lim στο [1,] Να αποδείξετε ότι ε1 ε Υπάρχουν, με, ώστε στο οποίο η η, έχει σημείο καμπής ε3 Υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.
ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότερα1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0
ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:
ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β )
Διαβάστε περισσότερα