ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Transcript

1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι ένας δεδομένος πραγματικός αριθμός και ν ένας μη αρνητικός ακέραιος. Ο πραγματικός αριθμός α ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ ο μη αρνητικός ακέραιος ν, είναι ο βαθμός του, αφ όσον Σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε, κάθε πραγματικός αριθμός α, είναι μονώνυμο μηδενικού βαθμού, διότι μπορεί να γραφεί με τη μορφή : 0. 0 x Παραδείγματα μονωνύμων : 1 x, x, 7x, 4, x Τα παραπάνω μονώνυμα, είναι πέμπτου, τρίτου, δεύτερου, μηδενικού και τρίτου βαθμού αντίστοιχα. Όταν δυο μονώνυμα έχουν τον ίδιο βαθμό, λέμε ότι είναι όμοια. Στα παραπάνω παραδείγματα, τα όμοια μονώνυμα είναι : 1 x, x 4 5 Πολυώνυμο του x, είναι ένα άθροισμα μη ομοίων μονωνύμων. Δηλαδή κάθε παράσταση της μορφής : x x... x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 1 -

2 είναι ένα πολυώνυμο του x, το οποίο συνήθως συμβολίζεται με Qx κ.τ.λ. 1 Τα μονώνυμα : x, 1x,..., 1x, 0 είναι οι όροι του πολυωνύμου, ενώ οι πραγματικοί αριθμοί :, 1,..., 1, 0 είναι οι συντελεστές του. Ο συντελεστής σταθερός όρος του πολυωνύμου. Το πολυώνυμο : 1 Px x x... x, 0 Px ή 0, είναι ο είναι ν-οστού βαθμού. Γενικά ο βαθμός ενός πολυωνύμου, είναι ο βαθμός του μεγιστοβάθμιου όρου του. Το πολυώνυμο : Qx είναι μηδενικού βαθμού ή σταθερό πολυώνυμο. Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, είναι σταθερά πολυώνυμα. Το πολυώνυμο που έχει όλους τους συντελεστές του μηδέν, συμβολίζεται : Px 0 και είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βαθμό. Ίσα πολυώνυμα Τα πολυώνυμα : 1 Ax x 1x... 1x 0, 0 και 1 Bx x 1x... 1x 0, 0 είναι ίσα, αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο βαθμό ν και ισχύουν :, 1 1, , 0 0 Δηλαδή δυο πολυώνυμα είναι ίσα, αν και μόνο αν, αποτελούνται από τα ίδια ακριβώς μονώνυμα. Αριθμητική τιμή πολυωνύμου Έχουμε το πολυώνυμο: 1 Px x x... x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

3 και τον πραγματικό αριθμό ρ. Ο πραγματικός αριθμός που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή x του πολυωνύμου με τον ρ, αποτελεί την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου και συμβολίζεται : 1 P ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνονται τα πολυώνυμα : Px x x, Qx x x 1. Να βρεθούν : i. Px Qx ii. Px Qx iii. Px Qx i. ii. iii. P x Q x x x x x 1 x x 5x 1 P x Q x x x x x 1 x x x x 1 x x x P x Q x x x x x 1 x x x 6x x. Να βρεθεί η τιμή του για την οποία το πολυώνυμο : P x x x 4 να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Για να είναι το πολυώνυμο Px το μηδενικό πολυώνυμο πρέπει να ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις : Η 1 δίνει : Για η Για η 4 0 δίνει : (ικανοποιείται) δίνει : (ικανοποιείται) Άρα η ζητούμενη τιμή του λ είναι : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

4 . Να βρεθεί για ποιες τιμές των κ, λ, μ είναι ίσα τα πολυώνυμα : Px x x Qx x 4x Για να είναι τα πολυώνυμα σχέσεις : Px και Qx ίσα, θα πρέπει να ισχύουν οι Οι σχέσεις και δίνουν : Για δίνει : η Για η Άρα,, δίνει : 4 ή 4. Να προσδιοριστεί ο ώστε το πολυώνυμο Px 9x x 8x 7 να παίρνει τη μορφή x x x x x x 9. Έστω Qx x x x x x x 9 x x x x x 9x x 9x 7 1 x x x 7 Πρέπει λοιπόν : Να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου P x 4 x x για τις διάφορες τιμές του λ. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -

5 Αν και τότε το 0 τότε τότε P x είναι ου βαθμού. Αν που είναι μηδενικού βαθμού. Αν που δεν ορίζεται βαθμός. Αν τότε Px 8x 4 που είναι 1 ου βαθμού. P x P x 0 και 6. Αν για το πολυώνυμο ότι το 1 είναι ρίζα του Px Px Αρκεί να δείξουμε ότι :. Είναι x 5 1 x 6 x. Για x 1 γίνεται : P 5 1 P P1 0. P 1 0 είναι : Px 5 x x 1 1 να δείξετε 7. Αν το πολυώνυμο Px x 1 x έχει ρίζα το ότι το ίδιο ισχύει και για το ισχύει; K x x 4x 1 x 1, αποδείξτε. Το αντίστροφο Αν το Px έχει ρίζα το P ( 1) Τότε K Η σχέση 1 για δίνει : K 1 0, που σημαίνει ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα του Kx. 1 θα είναι : Αντίστροφα, αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του K Kx, τότε : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 5 -

6 Ακόμα : P1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 Για, η δίνει :. Για, η δίνει : P Άρα το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. 8. Αν η διαφορά δύο πολυωνύμων βαθμού ν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, να δείξετε ότι τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα. P 1 0 Έστω Px 1 x 1x... 1x 0, 1, i0,1,,..., και Qx x x 1... x,, i0,1,,..., Από την υπόθεση έχουμε : Px Qx 0 x 1 x... x, 0, x Επομένως πρέπει : 0 και 11 0 και 11 0 και 00 0 δηλαδή και 1 1 και 1 1 και 0 0. Άρα Px Q x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 6 -

7 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Για ποιες τιμές των α, β το πολυώνυμο Ρ(x)=αx (β+1)x-1 έχει ρίζα το 1 και για x=- παίρνει την τιμή -15 ;. Για ποιες τιμές του λ τα πολυώνυμα Ρ(x)=x +λ (x -1)+9 και Q(x)=(λ+1)x +(λ 9)x+x είναι ίσα..να βρείτε τις τιμές των ( ) Q x 4 6 x 5 x R x x x να είναι ίσα, ώστε τα πολυώνυμα: 4. Για ποιες τιμές του μ το πολυώνυμο Ρ(x)=(μ +8)x +(μ +μ)x + είναι το μηδενικό πολυώνυμο; 5. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο Ρ(x)=(α-1)x +βx-1 έχει ρίζα το 1, τότε το πολυώνυμο Q(x)=(α-1)x +βx+1 έχει ρίζα το Αν ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x),να αποδείξετε ότι ο αριθμός -1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x)=Ρ(x+5). 7. Να αποδειχτεί ότι το πολυώνυμο Ρ(x)=(λ+1)x (κ-)x +κ+λ δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 8.Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου P x x 1 x για τις διάφορες τιμές του λ. 9. Να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x)=(λ-λ )x 4 +(λ +λ)x +(λ +λ ) x+1-λ για τις διάφορες τιμές του λr. 10. Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του λr o βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x) όταν: EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 7 -

8 i) Ρ(x)=(λ-λ )x 4 +(λ λ)x +1-λ ii) Ρ(x)=(λ 5 16λ)x +(4-λ )x+-λ iii) Ρ(x)=(λ+1)x +λx+ iv) Ρ(x)=λx-λ v) Ρ(x)=λ 11. Για ποιες τιμές των α, β, γ το πολυώνυμο Ρ(x)=4x -x +x-1 παίρνει τη μορφή x (x-α) + (β-γ)x + γ + α; 1. Για ποιες τιμές των α, β, γ, δ R το πολυώνυμο Ρ(x)=x +6x +15x+14 παίρνει την μορφή α(x+β) +γ(x+δ); 1. i) Να βρεθεί πολυώνυμο Ρ(x) τέτοιο ώστε (x+)ρ(x)=x +x -x+ ii) Να λυθεί η εξίσωση x +x x + = i) Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα Ρ(x) για τα οποία είναι [Ρ(x)] = x 4 +6x +5x -1x+4. ii) Να λυθεί η εξίσωση x 4 +6x +5x -1x+4 = Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους 5 το πολυώνυμο: P x x 5x 5x 8 να παίρνει τη μορφή: x x x 5 ax P x 1 x 1 x Αν το πολυώνυμο: είναι μηδενικού βαθμού, τότε να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου: Q x 1 x x 1 x 5 όπου * EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 8 -

9 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γίνουν οι διαιρέσεις : i) x 5 x x 9 : x 1 ii) x 4 7x x 15 : x 5 iii) x 4x : x iv) 7x 9 7 x 9 : x i) 5 x x x 9 x 1 5 x x x x 9 x x x x 9 x x x x 7 5 Επομένως : x x x 9 x 1 x x x 7 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 9 -

10 ii) 4 x 7x x 15 x 4 5x x 5 x 7 7x x 15 7x 5 x 0 4 Επομένως : x 7x x 15 x 5 x 7 x 0 iii) x 4x x x 6 x 6x 4x 6x 1 x 1 4 x 1 4 x x 6x 1 4 Επομένως : x 4 x x x 6 x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

11 iv) 7x 9 7 x 9 x 7x 7 x 7x 7x 9 7x 9 7 x 9 7x 7 x 9x 9 Επομένως : 7x 9 7 x 9 x 7x 7 x 9. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης : x 1991 x 199 4x 199 : x 1 9x Έστω Px x x 4x. 0 Επειδή x 1 x 1 άρα P Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες το x Px x 5x x είναι παράγοντας του Είναι x 1 x 1 άρα το 1 είναι ρίζα του Px οπότε : P ή 1 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

12 4. Δίνεται το πολυώνυμο Px x x 1x. Αν το με το x x 6 να προσδιορίσετε τα,. Px διαιρείται Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα. Αν Qx x x 6 x x, θα πρέπει οι παράγοντες του είναι παράγοντες του Px. Έτσι : x x παράγοντας του Px P 0 1 παράγοντας του Px P 0 5 και ρίζες x ή x Έχουμε λοιπόν : P P Λύνουμε το σύστημα των σχέσεων και Επομένως : Px x x 1x 6. 4 Qx να 5. Το πολυώνυμο Px διαιρούμενο με x αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούμενο με x αφήνει υπόλοιπο 5. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του Px με το x x. Έστω ότι : Px x x Qx x 1. Το υπόλοιπο πρέπει να είναι πρώτου βαθμού και άρα : x x, με,. Από την υπόθεση έχουμε : P 10 και P 5 Για x, η 1 δίνει : P 10 4 Για x, η 1 δίνει : P 5 5 Λύνουμε το σύστημα των σχέσεων 4 και x x 8. Άρα το υπόλοιπο είναι το : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 1 -

13 βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Px Px ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Px 6. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου δια του x είναι 5 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του δια του x 1 είναι, να δια του x x 1. Επειδή το x x 1 είναι ου βαθμού, το υπόλοιπο του Px : x x 1 θα είναι 1 ου βαθμού. x Έστω x x Τότε Px x x 1 x x Για x P 0 P Για x 1 P1 01 P1 Εξάλλου τα P, P 1 είναι τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του του x, x 1 αντίστοιχα, οπότε P 5, P Επομένως.. Άρα x x της διαίρεσης Px 7. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε αν το 4 πολυώνυμο Px x 1 διαιρεθεί με το πολυώνυμο x x να αφήνει υπόλοιπο 0. Εκτελούμε την διαίρεση 4 x 1 P x : x x x x 4 x x x x x x x 1 x x x x x 1 x x x 1 δια EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 1 -

14 Επομένως πρέπει : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ x 1 0, x, άρα : Η (1) δίνει 0 ή κ 0, δηλ.. Για 0 η () δίνει : 0 1 δηλ. 1, άτοπο. Για η () δίνει : Επομένως : Αν Αν Τελικά πρέπει : 1 τότε : 1 τότε :, άτοπο. 1 και 1 δηλ.. 1, δηλ. 1. Px 8. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου είναι x 5 να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Επειδή ο διαιρέτης x 1 x 1 είναι της μορφής x με ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι P 1. Από την ταυτότητα της διαίρεσης, έχουμε : P x x x 4 x x 5 Οπότε P Px με το x x 4 με το x 1. 1, έχουμε 9. Να βρείτε τα α, β ώστε το πολυώνυμο : Px x x x 1 να έχει παράγοντα το πολυώνυμο x 1. Για να έχει το πολυώνυμο Px παράγοντα το πολυώνυμο x 1 θα πρέπει να ισχύει: Px x 1 x (1) Επειδή ο βαθμός του Px είναι και ο βαθμός του x 1 είναι το x θα είναι 1 ου βαθμού, οπότε x x, 0. Η σχέση (1) γράφεται : Px x 1x x x x 1 x x x Επομένως : 1 και και και 1 1 και 1και 1 και 1 Άρα 1, 1. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

15 10. Να βρείτε τα α, β ώστε το πολυώνυμο Px x x να έχει παράγοντα το πολυώνυμο. x1 Px Πρέπει το να έχει παράγοντα το x 1 και το πηλίκο της διαίρεσης του με το x 1 να έχει παράγοντα το x 1, δηλαδή και. Για το και για 1 από το σχήμα Horner έχουμε : P 1 0 Px Px 1 0 x 1 0 α β Άρα P1 1 και x x x 1 P Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο Px x x x 10 να έχει για παράγοντα τα x. Για να είναι το x παράγοντας του Px πρέπει P 0, και, αν Qx είναι το πηλίκο της διαίρεσης Px : x θα πρέπει το x να είναι παράγοντας του Qx, δηλ. Q. Με το σχήμα Horner, έχουμε : EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

16 Άρα το πηλίκο είναι το Qx x x 1 και το υπόλοιπο x 8. Επειδή το διαιρείται με το, με το σχήμα του Horner, έχουμε : Qx x Άρα το πηλίκο είναι το x x και το υπόλοιπο x 5 Το P 8 και το Q 5. Λύνουμε λοιπόν το σύστημα : P Q Άρα Px x x 8x Αν το πολυώνυμο Px 1 x x διαιρείται με το x 1, τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το x 1. Αφού το x 1 είναι παράγοντας του Px θα είναι : Άρα : P Για 1, το πολυώνυμο Px γράφεται διαδοχικά : 1 Px 1 x x 1 1 x x x 1 1 x x 1 x 1x x... x 1 1 x x x 1 1 x 1 x x x... x 1 x 1 Qx 1 Qx 1 Είναι : Qx x x x... x 1, και άρα : Q προσθετ. P 1 0. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

17 Έτσι το x 1 είναι παράγοντας του Το πολυώνυμο λόγω των σχέσεων (1) και () γράφεται : Px Qx P x x 1 Q x x 1 x 1 x x 1 x Άρα το Px διαιρείται και με το. x1, δηλαδή Qx x 1 x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

18 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάνετε τις διαιρέσεις και στην συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης: i) (6x 19x +0x-10) :(x - 5x +6) ii) (x +1):(x+1) iii) x 5 :(x-1) iv) (x 4 ):(x+) v) (x 7 +5):(x+4). Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης : (x x 199-4x 199 ):(x+1).. Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες το x+1 είναι παράγοντας του g(x)=κ x κx 500 +x 4. Να βρεθεί το λr ώστε α) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x)=x 6x +1x 8 με το x+λ να είναι το μηδέν β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του g(x)=λ x 4 7λx +8 με το x-1 να είναι το Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x +5x+6 είναι 5x+1, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x):(x+). 6. Αν τα πολυώνυμα Ρ(x)=x αχ +0 και Q(x) =αx 4 +x- δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το x+,να βρεθεί η τιμή του α R. 7. Να βρείτε τους κ, λ ώστε το πολυώνυμο Ρ(x)=x 4 x -7x +(κ+1)x-λ-1 να έχει παράγοντες τους x+1 και x-. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

19 8. Αν το x+α είναι παράγοντας του Ρ(x)=x +αx +x+β να αποδείξετε ότι το x+β είναι παράγοντας του Ρ(x). 9. Να βρεθούν τα α, β ώστε το πολυώνυμο Ρ( x)=x x +αx+β να έχει παράγοντες τους x+, x Ένα πολυώνυμο Ρ(x) όταν διαιρείται με το x+ δίνει υπόλοιπο 7 και όταν διαιρείται με το x- δίνει υπόλοιπο -.Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το (x+)(x-). 11. Ένα πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με το x-1 δίνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με το x+ δίνει υπόλοιπο 0. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το (x-1)(x+). 1. Με το σχήμα Horner να βρεθεί το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης : i) (-x 4 +x +x+1) :(x+) ii) (-x 5 +5x 4 +7x+) :(x+) iii) (x 4 +x -):(x+4) iv) (x 4 +1):( x+1) 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το αx+β, α 0 είναι το Ρ(- ). 14. Να αποδείξετε με το σχήμα Horner ότι τα πολυώνυμα της μορφής x-ρ είναι παράγοντες του αντίστοιχου Ρ(x): i) Ρ(x)=x 4-7x x +1x+6,x- ii) Ρ(x)=5x 6 +15x 5 +5x+15,x+ iii) Ρ(x)=5x +47x +1x+1,x Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x)=(1-x) ν x ν +x-1 νν *, έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του πολυωνύμου x -x +x. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM

20 16. Για ποιες τιμές των α, βr το πολυώνυμο Ρ(x)=αx 5 +βx 4 +1 έχει παράγοντα το (x-1) ; 17. Να προσδιοριστούν οι α, β, γr όταν το Ρ(x)=x 4 +αx +βx -1x +γ έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του Q(x)=x 4x +x. 18. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) δια του (x 5x +6x-) είναι το x -x+4.να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) :(x-1). 19. Δίνονται τα πολυώνυμα και ν>μ. Αν το Q x ( x) P x, Q( x) διαιρείται με το τότε ο ρ είναι ρίζα και του ( x) με βαθμούς ν,μ αντίστοιχα, και το ρ είναι ρίζα του Q x 0. Να προσδιοριστούν οι λ, μ R για τους οποίους το Ρ(x)=x 4 -x +λx-μ έχει παράγοντα το x Για ποιες τιμές των α, βr το πολυώνυμο Ρ(x)=x ν+1 x +λx-μ έχει παράγοντα το x +1..Να βρείτε τους α,β ώστε το πολυώνυμο έχει παράγοντα x P x ax x 1 να. Να βρεθούν τα α, βr για τα οποία το πολυώνυμο Ρ(x)=x 5 -x -x +αx+β διαιρούμενο με το x 4 δίνει υπόλοιπο 4x+1. 4.Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) με βαθμό ν>. Αν Ρ(1)= και Px Ρ()= -1 να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης x x ( x) x x x 5 5.Δίνεται το πολυώνυμο: Α)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ,λ αν 1 ( ) 5 και Ρ 5 Β)Αν κ=- και λ=1 τότε : : 4 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 0 -

21 i) να κάνετε τη διαίρεση του P(x) με το x+ και στη συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. ii) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x)>-10. P 6.Δίνεται το πολυώνυμο: x x x x Px : Α)Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης x Β)Αν το διαιρεί το P(x) να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β. x 7.Έστω P(x) πολυώνυμο με σταθερό όρο. Το P(x) διαιρούμενο με το x-α δίνει πηλίκο x x και διαιρούμενο με το x- β δίνει πηλίκο. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β του πολυωνύμου P(x). x x1 P 8.Δίνεται το πολυώνυμο x x x x 1. 1 P 7 και P1 Α) Αν να δείξετε ότι κ= -6 και λ= -5. Β) Αν κ= -6 και λ= -5 να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του Ρ(x) με το x+1. Γ)Αν κ= -6 και λ= -5 να λύσετε την ανίσωση Ρ(x)>7. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 1 -

22 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε την εξίσωση : x 7x 6 0. Έστω το πολυώνυμο Px x 7x 6. Οι διαιρέτες του σταθερού όρου 6 είναι 1,,, 6 Με το σχήμα Horner έχω : Άρα Px x 1x x 6 οπότε : x 1 x x 6 0 x 1 0 ή x x 6 0. Έτσι έχουμε : x 1 0 x 1 x x 6 0 x1 ή x Άρα το σύνολο των λύσεων είναι : 1,,.. Αν κ ακέραιος αριθμός να δειχθεί ότι η εξίσωση : 5x 9x 1 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί του συνόλου : 1. Για x 1 είναι : Ο αριθμός διότι αν ήταν Για x 1 είναι : Ο αριθμός διότι αν ήταν Επομένως η εξίσωση : 5x 9x 1 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

23 . Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 ii) i) 4 x 4x 6x 4x 1 0 i) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: 4 4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 6x 5x 1x 5x 6 0 x 4x 6x 4x 1 0 x 1 0 x 1 0 x ii) Θέτουμε x t x t x t x t x x x x (1) Διαιρώντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το, παίρνουμε : x x 5x 1x 5x 6 0 6x 5x x x x 5 x t 5t 1 0 6t 5t 4 0 x x x 0 Το τριώνυμο της σχέσης (), έχει διακρίνουσα , και ρίζες t και επομένως : 1 Αν t x x x x x 0 () x Το τριώνυμο της σχέσης (), έχει διακρίνουσα και ρίζες : x Αν t x x 8x x 8x 0 (4) x Το τριώνυμο της σχέσης (4), έχει διακρίνουσα και ρίζες : x Τελικά οι ρίζες της εξίσωσης είναι :,,,. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

24 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 6 x 9x ii) x x 9 x x 8 0 iii) 8 4 x x iv) v) x 11x 1 x 11x x 1 x x x i) Θέτουμε t 9t 8 0 x t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (1) είναι : , και οι ρίζες του : t 1 ή t 8. Για t 1 x 1 x 1 Για t 8 x 8 x x (1). ii) Θέτουμεx x t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: t 9t 8 0 (). Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (1) είναι : , και ρίζες του : t 1 ή t 8 Για. t 1 x x 1 x x 1 x x 0 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : 9 1 1, και οι 1 ρίζες του : x. Για t 8 x x 8 x x x x 4 0 (4). Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (4) είναι : , και οι ρίζες του: x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -

25 iii) Θέτουμεx 4 t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: t t 4 0 (5). Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (5) είναι : , και οι ρίζες του: t. 5 1 Για t 4, έχουμε : x x x 4 x x x x Για t 1, έχουμε : x 4 1 (αδύνατη στο ). iv) Θέτουμεx 11x 1 t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: t t 4 0 (6). Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (6) είναι : , και οι ρίζες του: t. 5 1 Για t 4 x 11x 1 4 x 11x 1 (7). Από την σχέση (7), παίρνουμε τις εξισώσεις : x 11x 1 x 11x 10 0 (8) Για x 1 είναι : Άρα : x 11x 10 x 1x x Η διακρίνουσα του τριωνύμου x x 10 είναι : , και οι ρίζες 1 41 του : x. x 11x 1 x 11x 14 0 (9) EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 5 -

26 Για x είναι : Άρα : x 11x 14 x x x 7. Η διακρίνουσα του τριωνύμου x x 7 είναι : 4 8, και οι ρίζες του : 4 x 1. Τελικά οι ρίζες της δοσμένης εξίσωσης είναι : 1 41,1, 1,. v) Θέτουμε x 1 t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: x t 5t 6 0 (10). Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (10) είναι : , και οι ρίζες του : t ή t. x1 Για t x 1 x x 1. x x 1 1 Για t x 1 x x 1 x. x 5. Να λυθούν οι εξισώσεις : 4 i) ii) x 5 x 5x 0 x 1 6 x iii) x 5 x 5x 0 i) Θέτουμεx 1 t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: t 6t 7 0. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 6 -

27 Το τριώνυμο της σχέσης (1) έχει διακρίνουσα , και ρίζες : x, οπότε Αν x 11 x x 1 t 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 0 x 0 x 1 x x k, k x 0 x k, k Αν t 7 x 1 7 (αδύνατη) ii) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: x 5 x 5x 0 x 1 5x x 1 0 x 1 x x 1 5x x 1 0 x 1 x x 0, άρα x k, k x 1 x x x k, k x x 0.Θέτοντας x t, η επιλύουσα της εξίσωσης είναι t t η οποία δεν έχει ρίζες, αφού η διακρίνουσα είναι iii) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: 4 4 x 5 x 5x 0 x 1 5x x 1 0 x 1 x 1 5x x 1 0 x 1 x 5x 0 άρα : x 1 x 0 x k, k x 1 x 1 x x k, k x 5x 0. Θέτοντας x t, η επιλύουσα της εξίσωσης είναι t 5t η οποία έχει διακρίνουσα είναι και ρίζες : 1 t ή t, οπότε : t x (αδύνατη) EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 7 -

28 1 t 6. Να λύσετε την ανίσωση : x 7x 6 0. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου : Px x 7x 6 είναι : 1,,, 6. Με το σχήμα Horner για 1 έχουμε Άρα το P x x 1 x x 6. 1 είναι ρίζα οπότε, Το τριώνυμο x x 6 έχει ρίζες x1,x άρα 1 x x x x 1x x 6 _ + _ + Επομένως x, 1,. 7. Να βρείτε τα διαστήματα του x, στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x x 5x βρίσκεται πάνω από την ευθεία : y x 9. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 8 -

29 Τα διαστήματα του x, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την y x 9 είναι οι λύσεις της ανίσωσης : x 5x x 9 x 5x x 9 0 (1). Με το σχήμα Horner έχω : Άρα η ανίσωση (1) γράφεται : x 1 x 6x 9 0 x 1 x 0 1 x+1 _ + + x x 1x _ + + Επομένως είναι x, Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f x x 9 και gx 5x x. Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f και g έχουν τετμημένες τις λύσεις της εξίσωσης (1) Με το σχήμα Horner έχουμε : f x g x x 9 5x x x 5x x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 9 -

30 Άρα η (1) γράφεται : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ x 1 x 6x 9 0 x 1 x 0 x 1 0 ή x 0 x 1 ή x= Άρα τα κοινά σημεία των f, g είναι : A 1,8 B,6 9. Να λυθούν οι εξισώσεις : f 1 8 f 6 i) x 5x 10 8 ii) x x 1 iii) x 8 x iv) x x 16 v) x 5 1 x. i) Πρέπει: 5x x 10 x (1) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x 5x x 10 8 x. Πρέπει : 8 x 0 x 8 (). 8 Τότε, υψώνοντας και τα δύο μέλη της () στο τετράγωνο, παίρνουμε : 5x 10 8 x 5x x x x 1x 54 0 () Το τριώνυμο της σχέσης (), έχει διακρίνουσα και ρίζες : x Δεκτή γίνεται η τιμή x ii) Πρέπει: x 1 0 x 1 και x 0 και x 0 x 4 (1) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x x 1 x x 1 x 4 4 x x 1 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 0 -

31 9 4 x 16x 9 x (απορρίπτεται). 16 Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη. iii) Πρέπει: x 8 0 x 8 και x 0 x 8 Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x 8 x x 8 x x 8 4 4x x x x 1 0 (1). Η εξίσωση (1) δεν έχει ρίζες, διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική. iv) Πρέπει: x 0 x και x 0 (1) 0 Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x x 16 x 16 x () Πρέπει : 16 x 0 16 x x Η () γράφεται : x 16 x x 16 x x 56 x x 56 x x 56 x 4 x 7 x 49 Άρα x 49. v) Πρέπει: 1 x 0 x 1 x 5 0 x EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 1 -

32 Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x 5 1 x x 5 1 x x 5 11 x (1) Πρέπει : 11 x 0 x Τότε, υψώνοντας και τα δύο μέλη της (1) στο τετράγωνο, παίρνουμε: x 5 11 x x 5 11 x x x x 16 0 () Το τριώνυμο της σχέσης (), έχει διακρίνουσα , και ρίζες: x Δεκτή γίνεται η τιμή x Να λυθούν οι ανισώσεις : i) x 7 x ii) x 1 x 5 1 iii) x x x i) Πρέπει: 7 x 7 0 x 7 x x 0 x (1) Η δοσμένη ανίσωση γράφεται : x 7 x x 7 x x 4 x () 7 Από τις (1) και () συμπεραίνουμε ότι : x,. ii) Πρέπει: x 5 0 x 5 x 1 x 1 0 x 1 (1) Η δοσμένη ανίσωση γράφεται : x 1 x 5 x x 1 x 5 x x 4 0 () EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

33 Το τριώνυμο της σχέσης (), έχει διακρίνουσα , και ρίζες: t και άρα x, 1 4, () 5 1 Από τις (1) και () συμπεραίνουμε ότι : x 4, iii) Πρέπει: x x 0 x.. Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : x x x x x x x, η οποία αληθεύει 4 4 πάντοτε. Επομένως : x. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - -

34 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) 4x 1x +5x+6=0 ii) 8x - 4x +10x +1=0 iii) x 4 +11x +19x +16x+1=0 iv) x -6x +11x-6 =0. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) x x 10x 8 =0 ii) x 4 +x +x -x- =0 iii) 1 4 x + 4 x x- 5 6 =0. Να βρείτε τα σημεία τομής : i) Της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x 4-6x 9x με τον άξονα x x. ii) Των γραφικών παραστάσεων f(x)=x +x και g(x)=00x Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) x 4x x 4 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. 5. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x)=x -9x +15x+5 με τον άξονα x x. 6. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: f(x)=x 4-4x +10x +0x-10 και g(x)=5x -8x +x Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση x +(5-λ )x +λ-1 =0 έχει ρίζα τον x=1; Για την τιμή του λ που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση αυτή. 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) (x+1) 6 7(x+1) -8 = 0 ii) (x -x+) 10(x -x+)-49 =0 iii) x (x+1) -8(x +x)+1=0 EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 4 -

35 iv) x x 1 x1 x1 =6 9.Αν Ρ(x)=x 6-5x 4-10x +λ να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το Ρ(x) έχει παράγοντα το x-1.για αυτές τις τιμές του λ να λύσετε την εξίσωση Ρ(x)= Να λυθούν οι ανισώσεις: i) x -5x +4x-1>0 ii) x +x +6x+7<0 iii) x +x -4x-6>0 iv) x -4x +x-8>0 11. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x -5x+4 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. 1. Αν το (x+) είναι παράγοντας του Ρ(x)=x 4 +αx -x +βx+4 να λύσετε την ανίσωση Ρ(x)<0. 1.Έστω P x x x x με α,β Α)Να βρείτε τα α,β ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το Β)Αν α= και β=1 να λύσετε την ανίσωση Ρ(x)>0 x 1 14.Έστω τα πολυώνυμα: P( x) x x a 1 Q( x) 1 x 6 x 11x 5 Α)Να βρείτε τις τιμές των α,β ώστε το Ρ(χ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων Β) Αν α=0 και β=1 να βρείτε τις τιμές του x ώστε η γραφική παράσταση του Q(x) να βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ 15. Αν ο λ είναι ακέραιος να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 6x ν -λx-1=0, νν * δεν έχει ακέραιες ρίζες. 16. Να λυθούν οι εξισώσεις EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 5 -

36 x x 1 i) + x 11 = - x x ii) = iii) x - x 1 =1 iv) = x+ x x 5 5 x 17. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) =x 10 ii) x+ x =0 5x iii) x 6x 1 = x+1 6 iv) = 5 x x Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ x+7ημ x+7ημx+ = 0 ii) συν x 7συνx+6 =0 iii) ημ x συν x-1 =0 iv) 4συν x+8ημ x-συνx-6=0 19. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) x < 5 x ii) x 1 >x- iii) x >1-x iv) x-1> x 1 0. Να λυθούν για τις διάφορες τιμές του λ R οι εξισώσεις i) 1 x =λ x ii) 1 9x = λ x iii) x 1 =λ Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) δεν έχουν κοινή ρίζα, να αποδείξετε ότι και τα πολυώνυμα Ρ(x) Q(x) και Ρ(x)-Q(x) δεν έχουν κοινή ρίζα. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 6 -

37 . Για τα πολυώνυμα Ρ(x),Q(x) και φ(x) με πραγματικούς συντελεστές, ισχύει [Ρ(x)] + [Q(x)] =[φ(x)] για κάθε x R. Αν τα Ρ(x) και Q(x) δεν έχουν κοινή ρίζα,να αποδείξετε ότι το φ(x) δεν έχει πραγματική ρίζα.. Να αποδείξετε ότι κάθε ρίζα του πολυωνύμου 5x x 1 είναι ρίζα και των πολυωνύμων: i) (5x -x-1) ν+1 + (5x x) ν, νn * ii) (10x 4x ) ν+1 + (+x-5x ) ν,ν N * 4. Για ένα πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει Ρ(x+1) Ρ(x) =x 10 για κάθε xr και Ρ(0)=0. Να αποδείξετε ότι Ρ(ν)= (ν-1) 10,για κάθε φυσικό αριθμό ν>. 5. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x)=(x +x-1) 15 +x 1.Να βρείτε: i) Τον σταθερό όρο του Ρ(x). ii) Το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x). 6. Αν τα πολυώνυμα Ρ(x)=α 0 x 0 + α 19 x α 1 x +α 0 και Q(x)=(x x-1) 10 είναι ίσα,να αποδείξετε ότι : i) α 0 = 1 ii) α 0 +α α 1 =0 iii) α +α 4 +α 6 +.+α 0 =0. iv) α 19 +α α +α 1 =0. 7. Να βρεθεί πολυώνυμο Ρ(x) τέτοιο ώστε : (x-1)ρ(x) =x 7 -x 6 +6x -x +x Για ένα πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει Ρ(x )=Ρ(x 5 ) για κάθε xr.να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x) είναι σταθερό. 9. Αν για τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) που έχουν ακέραιους συντελεστές και δεν είναι σταθερά ισχύει Ρ(x) Q(x) =x -6x+9,να αποδείξετε ότι Ρ(x) = Q(x). EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 7 -

38 0. Να βρείτε για ποιες τιμές των α, β το πολυώνυμο x 4 +1 διαιρείται με το :x +αx+β. 1. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x)=x xσυνα συνα διαιρείται με το x-συνα και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης.. Αν το πολυώνυμο f (x)= x +αx -βx+1 διαιρείται με το g(x)=x -x-6 να υπολογίσετε τις τιμές των α, β.. Να βρεθούν οι τιμές των κ, λ για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ(x)=x 4 κx -6x +λx+7 διαιρούμενο με το x -x- δίνει υπόλοιπο 5x Η διαίρεση του x -x +αx+β με το x -x-6 δίνει υπόλοιπο 1.Να βρεθούν τα α,βr. 5. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του f(x)= x ν+1 αx ν +x ν-1 με το g(x)=x ν-1 +(όπου ν φυσικός >). 6. Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) και το πολυώνυμο Q(x)=Ρ(x-5)+x -x-. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x):(x-1) είναι,να αποδείξετε ότι το x- είναι παράγοντας του Q(x). 7. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με τα x+ και x-1 δίνει αντίστοιχα υπόλοιπο 1 και 4,να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x):(x+)(x-1). 8. Το πολυώνυμο f(x) διαιρούμενο με τα πολυώνυμα x+ και x -4x+ δίνει υπόλοιπο και x+7 αντίστοιχα. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του f(x) με το (x+)(x -4x+). 9. Να υπολογίσετε τους α,βr ώστε το πολυώνυμο Ρ(x)=αx ν+1 +βx ν +1,νΝ *, να έχει παράγοντα το (x+1). EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 8 -

39 Π. 40.Σε μια διαίρεση πολυωνύμου με διαιρετέο ένα πολυώνυμο Px δίνονται ο διαιρέτης δ x x x, το πηλίκο x x και το υ x x λ της διαίρεσης αυτής όπου λ πραγματικός αριθμός. i) Να αποδείξετε ότι P x x x x λ ii) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το πολυώνυμο Px έχει ρίζα τον 1. iii) Για λ =1 να λυθεί η εξίσωση P x 0. Π.41. Α. Δίνεται το πολυώνυμο Px αx x 5x β με α,β. Αν οι αριθμοί α, 4, β αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και το Px έχει ρίζα το δείξτε ότι α = και β = 6. Β. Αν α = και β = 6 να λυθεί η εξίσωση P x 0 Π4. Δίνεται το πολυώνυμο Px αx β 1 x x β 6 όπου. i) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του Px και το Px διαιρούμενο με το x + 1 δίνει υπόλοιπο, τότε να αποδείξετε ότι α = και β = 4 ii) Αν α = και β = 4 να λύσετε την εξίσωση P x 0. α,β Π.4. Δίνεται το πολυώνυμο P x 4x 16x 19x α, όπου α πραγματικός αριθμός i) Αν το Px έχει παράγοντα το x 5, να υπολογιστεί ο αριθμός α ii) Για τις τιμές των α που βρήκατε στο (i) ερώτημα να δείξετε ότι το Px έχει παράγοντα το x + 1. Π.44. Δίνεται το πολυώνυμο 4 P x x συνθ x συνθ x x 1. Να βρεθεί ο θ 0, π ώστε το πολυώνυμο Px να έχει παράγοντα το x 1. Π.45. Να βρεθούν τα α,β ώστε το πολυώνυμο Px αx x βx Α. Να έχει παράγοντες το x και το x+1. Β. Να λυθεί η ανίσωση P x 0. Π.46. Δίνεται το πολυώνυμο P x x x αx, α το οποίο έχει ρίζα το 1. i) Να βρείτε την τιμή του α. ii) Για α 1, να λύσετε την εξίσωση P x 0. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM - 9 -

40 4 Π.47. Δίνεται το πολυώνυμο f x x α 1 x 6x β 1 x 6. i) Αν το f x έχει ρίζα το και το υπόλοιπο της διαίρεσης του f x το x+1 είναι 0 να αποδείξετε ότι α 4, β 14. ii) Για τις τιμές των α, β που βρήκατε στο (i) ερώτημα να λύσετε την εξίσωση f x 0. iii) Να λύσετε την ανίσωση f x 0. Π.48. i ) Να βρείτε τα α, β ώστε το πολυώνυμο P x x αx βx 1 να έχει παράγοντα το x 1. ii) Για α 1 και β =1 να λυθεί η ανίσωση P x Π.49. Έστω το πολυώνυμο P x x x x x x x. i) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το x 1. ii) Δείξτε ότι πολυώνυμο παράγοντα το x 1. f x P x 1 P x P x 1 x 1 έχει με Π.50. Δίνονται τα πολυώνυμα Px και Q x P x 5 x x 1. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης P x : x 1 είναι, να αποδείξετε ότι η διαίρεση Q x : x είναι τέλεια. EFSTATHIOUPETROS.WEEBLY.COM