5. Να λυθεί η εξίσωση. 6. Δίνεται η συνάρτηση. 2f x ΛΥΣΗ: Τα x για τα οποία 2 x 0 x 0 x, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για

Transcript

1 5. Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ: Τα για τα οποία 0 0, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για αυτά ισχύει 1 ή και αντικαθιστώντας στην εξίσωση παίρνουμε την μή αληθή σχέση Αρα θεωρούμε ότι 0 και πλέον μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με το ή 1 ή 4 4 ή Δίνεται η συνάρτηση f 4 4 α) Να υπολογίσετε το λ ώστε η συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα. β) Αν το σημείο 1,9 ανήκει στην γραφική παράσταση C f να υπολογίσετε το λ γ) Αν, να λυθεί η εξίσωση f f 5 6 δ) Αν 4 να λυθεί η ανίσωση : f ΛΥΣΗ α) Για να είναι γνησίως αύξουσα πρέπει Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου 1, , : Κάνουμε πινακάκι για το πρόσημο του 4 σύμφωνα με όσα είχαμε διδαχθεί στην Α Λυκείου.Εδώ α=1>0

2 λ Από το πινακάκι παρατηρούμε ότι 4 0,1,. β) Οι συντεταγμένες του 1,9 θα επαληθεύουν τον τύπο της συνάρτησης, δηλαδή 1 f , , γ) Οταν, τότε από το α) συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f 4 4 φθίνουσα οπότε f f θα είναι γνησίως 1, 5 6 1, ,

3 δ) Αν 4 τότε f Επομένως f Θέτουμε 0 και η ανίσωση γράφεται: Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου 5, , Κάνουμε πινακάκι για το πρόσημο του 5 σύμφωνα με όσα είχαμε διδαχθεί στην Α Λυκείου.Εδώ α=>0 ω Από το πινακάκι παρατηρούμε ότι Ομως εμείς θέλουμε να λύσουμε ανίσωση ως προς και όχι ως προς ω. Ας θυμηθούμε λοιπόν ότι είχεμε θέσει οπότε : (Επειδή 1 η συνάρτηση g = είναι γνησίως φθίνουσα) 1 0

4 1. Δίνεται το πολυώνυμο P 5 Για το οποίο γνωρίζουμε ότι το 1 είναι παράγοντάς του και ότι διαιρούμενο με το έχει υπόλοιπο υ=-9. Α) Να βρεθούν τα α και β Β) Αν α=-7 και β- να λυθεί η εξίσωση P 0 ΛΥΣΗ: Αφού το 1 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου από την θεωρία γνωρίζουμε ότι P Γνωρίζουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου είναι το P. Οποτε: P με ένα πολυώνυμο της μορφής P Λύνουμε πλέον το σύστημα Β) Αν α=-7 και 7 5 P 5 επειδή: το πολυώνυμο γίνεται: P 5 4 επομένως P Επειδή η εξίσωση είναι τρίτου βαθμού προσπαθώ να παραγοντοποιήσω το 1 ο μέλος Επειδή το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές, από το θεώρημα ακέραιων ριζών οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτης του σταθερού όρου δηλαδή οι 1 και. Με σχήμα Horner προσπαθώ διαδοχικά να εξακριβώσω αν κάποιες από αυτές είναι ρίζα.

5 Αρα ο 1 δεν είναι ρίζα Αρα το -1 είναι ρίζα και το P 1 7 P και η εξίσωση γίνεται Απομένει να λύσω πλέον την 7 0 για να βρώ και τις υπόλοιπες ρίζες., 7, Αρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι 1 1,, 1

6 . Δίνεται η συνάρτηση e 1 f ln e 5 α. Να υπολογιστεί το πεδίο ορισμού. β.να λυθεί η εξίσωση f ln. γ. Να λυθεί η ανίσωση f 0. ΛΥΣΗ: α. Η παράσταση e 5 είναι θετική αφού e 0 για κάθε οπότε e e e 1 0 e 1 e e 0 0 e 5 Αρα το πεδίο ορισμού είναι το 0, e 1 e 1 e 1 f ln ln ln ln ln ln ln 4 e 5 e 5 e 5 β. e 1 4 e 1 4 e 5 e 1 4e 0 e 4e 1 0 e 5 e 4e 1 0 Θέτω : e.αφού e 0 για κάθε θα είναι και ω>0 Αρα η (1) γίνεται , , απορρίπτεται Αρα τελικά e 7 ln 7

7 e 1 e 1 e 1 f 0 ln 0 ln ln1 1 e 5 e 5 e 5 γ. Επειδή e 0 για κάθε οπότε e για κάθε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε με το e 5 και τα δύο μέλη της ανίσωσης και η φορά της διατηρείται. e 1 e 5 1 e 5 e 1 e 5 e e 6 0 e e 6 0 e 5 Θέτω : e.αφού e 0 για κάθε θα είναι και ω> , , απορρίπτεται Το τριώνυμο 6 έχει δύο ρίζες τις - και και ζητάμε για ποιά ω είναι θετικό, δηλαδή ομόσημο του α=1.από την θεωρία της Α Λυκείου γνωρίζουμε ότι αυτό γίνεται για ω εκτός των ριζών.επειδή όμως το ω είναι θετικός παίρνουμε μόνο: e ln e ln ln

8 . Δίνεται η συνάρτηση f() log 4 α ) Nα βρεθεί το Π.Ο β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράσταση Cf με τους άξονες γ) Αν, Cf να βρεθεί το κ. α ) Πρέπει Αρα Π.Ο.= 4, β) Για να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής με τον άξονα θέτουμε: f() 0 log 4 0 log Αρα Α=996, 0 Για να βρούμε την τεταγμένη του σημείου τομής με τον άξονα yy θέτουμε: f(0) log 0 4 log4 Αρα Β= 0,log 4 γ) Αφού, Cf θα είναι f( ) log 4 log 4 log f( ) log 4 δ)

9 4. Δίνεται το σύστημα: y 1 y 1 α) Να δείξετε ότι έχει μοναδική λύση την, y,. β) Αν f 4, τότε να δείξετε ότι η εξίσωση ΛΥΣΗ: α) y f έχει μοναδική λύση. Ετσι το σύστημα γράφεται πιο απλά: y 1 y 1 D 1 0 Αρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και υπολογίζουμε (με την μέθοδο των οριζουσών) D 1 1 D y 1 1 Αρα D D 1 D y y D 1 β) y f Θέτουμε οπότε η εξίσωση γίνεται:

10 7 0, , 4 : Επομένως έχουμε: 1 που είναι αδύνατη αφού γνωρίζουμε πως 1 1 για κάθε. Επίσης 1 1 ή όπου 5. Nα αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ: 1