Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Transcript

1 Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x) με το x-ρ είναι μηδέν. Σ Λ ii) 2 1 iii) Η συνάρτηση είναι περιττή Σ Λ iv) Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων και, 0 < a 1 είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα yy. Σ Λ v) Για κάθε x 0 ισχύει 0 Σ Λ Γ. Να αντιστοιχήσετε τη στήλη Α με κάθε σωστή απάντηση της στήλης Β Α. 1., 0 B , Γ. 3., Δ , 7 Σ Λ (2 μονάδες/ ερώτημα) E , (2 μονάδες/ ερώτημα) Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικός) Σελίδα 1

2 Θέμα 2 Έστω η συνάρτηση και το σύστημα (Σ): i) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, D x, D y του συστήματος. (7 μονάδες) ii) Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε λ και να την προσδιορίσετε. (5 μονάδες) iii) Αν το σημείο (1, 2) ανήκει στη γραφική παράσταση της f, να βρείτε το k και να γράψετε τον τύπο της f. (5 μονάδες) iv) Εάν η λύση του συστήματος είναι η,,, όπου, οι συντεταγμένες του ακροτάτου της f, να προσδιορίσετε το λ. (8 μονάδες) Θέμα 3 Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντα το 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης :1 είναι 72, i. Να βρείτε τους α και β. ii. Να λύσετε την εξίσωση 5 στο διάστημα θ0, 2. iii. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. Θέμα 4 Δίνεται το πολυώνυμο 6 6 με 0 και και η συνάρτηση 1. Α) i. Αν το 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου Q(x) να βρείτε το α. ii. Για την τιμή που βρήκατε για το α να λύσετε τις εξισώσεις 0 και 2 0. Β) Για, να λύσετε την εξίσωση 2 10, 0, Εύχομαι Επιτυχία! Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικός) Σελίδα 2

3 Θέμα 1 Α) Σχολικό βιβλίο σελ. 31 Απαντήσεις B) i) Λ ii) Λ iii) Σ iv) Σ v) Σ Γ) Θέμα 2 i) D 1 λ 1 λλ1 λ1 λ λλ 2λ12λ λ1 λ1 λ 2 3 λ 1 λ2λ 3 12λ 1 4λ 4λ1 2λ 1 λ 1 λ λ 1 λ12λ 3 8λ2 2λ1 ii) Για το τριώνυμο 2λ λ1 έχουμε: Άρα το τριώνυμο δε μηδενίζεται για κάθε λ, άρα και το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε λ την (x, y) όπου: D 4λ 4λ1 2λ λ1 y Α Β Γ Δ Ε iii) Αφού το σημείο (1, 2) ανήκει στη γραφική παράσταση της f έχουμε: Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικός) Σελίδα 3

4 Οπότε iv) Επειδή 3 61 με α = 3 < 0 η συνάρτηση θα παρουσιάζει μέγιστο Όμως με συντεταγμένες: 1 και λ 4λ12λ λ1 2λ 3λ20 λ = 2 ή 2 4λ 2λ28λ2 4λ 10λ 4 0 λ = 2 ή Οπότε λ = 2 Θέμα 3 i) Το πολυώνυμο έχει παράγοντα το 3 ισχύει: Το υπόλοιπο της διαίρεσης :1 είναι 72 άρα: Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικός) Σελίδα 4

5 Από (1) + (2) κατά μέλη έχουμε: Από (1) έχουμε: ii) Για α = 2 και β = 5 έχουμε: Επειδή θ0, 2 έχουμε: (απορ.) ή 1 (δεκτή) iii) Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x θα λύσουμε την ανίσωση 0 Για α = 2 και β = 5 το πολυώνυμο γίνεται: Αρχικά θα παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο Πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου: ±1, ±3, ±5, ±15 Θα κάνουμε Horner για ρ = Το πολυώνυμο γίνεται: Άρα έχουμε την ανίσωση: Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικός) Σελίδα 5

6 Δ ή Οπότε Θέμα 4,3 5, i. Αφού το 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου Q(x) έχουμε: Θέτουμε (2) Η (1) λόγω της (2) γίνεται: Πιθανές ακέραιες ρίζες: 1, 2 Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικός) Σελίδα 6

7 Κάνουμε Horner για ρ= Η (3) γίνεται: Για 1 η (2) γίνεται: ή 2 0, Δ 7 δεν έχει πραγματικές ρίζες ii. Για έχουμε: Λύνουμε την εξίσωση (1) Πιθανές ακέραιες ρίζες: 1, 2, Κάνουμε Horner για ρ=1 3, Η (1) γίνεται: ή Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικός) Σελίδα 7

8 ή 3 Λύνουμε την εξίσωση: Παρατηρούμε ότι η εξίσωση 2 0 είναι η 0 με άγνωστο το 2 Οπότε ή ή Β) Έχουμε 1 οπότε η εξίσωση 2 10 γίνεται: Για η (Ι) γίνεται: Θέτουμε Ι 2 0 (III) Άρα η (ΙΙ) γίνεται: 20 1 ή ή 2. ΙΙ Για 2 από (ΙΙΙ) έχουμε: , αφού 0, Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Σταματίνα Κατσίγιαννη (Μαθηματικός) Σελίδα 8