Αξιολόγηση της Σκέψης των Μαθητών σε Προβλήματα Πιθανοτήτων με Διαφορετικό Συγκείμενο

Αξιολόγηση της Σκέψης των Μαθητών σε Προβλήματα Πιθανοτήτων με Διαφορετικό Συγκείμενο Θέκλα Αφαντίτη Λαμπριανού* & Ιάσονας Λαμπριανού** *Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας και Αξιολόγησης **Ευρωπαϊκό Πανεπιστήμιο, Κύπρος Περίληψη Η χρήση ερωτήσεων τοποθετημένων σε συγκείμενο (contextualization of questions) είναι πλέον πολύ διαδεδομένη γιατί κάνει την αξιολόγηση αυθεντικότερη. Η χρήση ερωτήσεων τοποθετημένων σε συγκείμενο είναι ακόμη πιο σημαντική για την αξιολόγηση της πιθανολογικής σκέψης των μαθητών, μια και οι εκπαιδευτικοί αναμένουν από τους μαθητές τους να εφαρμόζουν τις πιθανολογικές τους γνώσεις για λήψη αποφάσεων σε πραγματικά γεγονότα. Η συγκεκριμένη μελέτη βασίζεται σε προηγούμενη έρευνα και επεκτείνεται στην πειραματική διερεύνηση της επίδρασης του συγκείμενου των πιθανολογικών προβλημάτων στις απαντήσεις των μαθητών. Από τα αποτελέσματα διαφάνηκε ότι οι απαντήσεις των μαθητών στην ίδια πιθανολογική ερώτηση που βασίζεται όμως σε διαφορετικό συγκείμενο μπορεί να αλλάξουν σημαντικά. Στο τέλος της μελέτης αυτής γίνονται κάποιες εισηγήσεις προς τους εκπαιδευτικούς που επιθυμούν να χρησιμοποιούν προβλήματα σε συγκείμενο για να αξιολογήσουν την πιθανολογική σκέψη των μαθητών τους. Εισαγωγή Οι Tversky και Kahnemann (1974), όρισαν την πιθανολογική σκέψη ως μια λογική μέθοδο που προσπαθεί να ποσοστικοποιήσει την αβεβαιότητα και χρησιμοποιείται ως εργαλείο στη λήψη αποφάσεων. Σε προηγούμενη έρευνα, οι Canizares et al. (1997) ανέλυσαν τις στρατηγικές των μαθητών για την επίλυση προβλημάτων σύγκρισης πιθανοτήτων και από τις αιτιολογήσεις των μαθητών για τις απαντήσεις που έδωσαν, φάνηκε ότι μερικές φορές οι απαντήσεις τους στηρίζονταν σε άσχετες πληροφορίες που δίνονταν από το συγκείμενο της ερώτησης. Μια και η πιθανολογική σκέψη των μαθητών έχει διαπιστωθεί ότι επηρεάζεται από την κουλτούρα της κάθε χώρας και είναι ευαίσθητη στην περιβαλλοντική εμπειρία των μαθητών (Amir & Williams, 1994; 1999), οι Lamprianou και Afantiti Lamprianou (2002) διεξήγαγαν μια έρευνα για να διερευνήσουν την έκταση στην οποία η πιθανολογική σκέψη των μαθητών στα δημοτικά σχολεία στην Κύπρο επηρεάζεται από άσχετες ή υποκειμενικές πληροφορίες. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι οι μαθητές στα δημοτικά σχολεία της

176 Αφαντίτη Λαμπριανού & Λαμπριανού Κύπρου φαίνεται να επηρεάζονται σε κάποιο βαθμό από άσχετες ή υποκειμενικές πληροφορίες. Τα αποτελέσματα αυτά συμφωνούν και με τα αποτελέσματα της μελέτης των Canizares et al. (1997). Οι Williams και Ryan (2000) εισηγούνται ότι τα λάθη και οι παρανοήσεις των μαθητών μπορούν να γίνουν η αφετηρία για μια σχεδιασμένη διδασκαλία στα Μαθηματικά που θα είναι διαγνωστικά αποτελεσματική. Έχει προταθεί ότι αν οι εκπαιδευτικοί είναι ενήμεροι για τα γνωστά λάθη και τις παρανοήσεις που κάνουν οι μαθητές όταν επιλύουν προβλήματα πιθανοτήτων, θα προσπαθήσουν να αναπτύξουν διάφορες στρατηγικές, δραστηριότητες στην τάξη για να βοηθήσουν τους μαθητές τους να τα αντιμετωπίσουν και ίσως να τα ξεπεράσουν (Fischbein & Gazit, 1984; O Connell, 1999). Παρόλ αυτά, οι εκπαιδευτικοί χρειάζονται εργαλεία (π.χ. δοκίμια με κατάλληλα έργα) με τα οποία θα διερευνήσουν την πιθανολογική σκέψη των μαθητών της τάξης τους. Ο Kapadia (2008) τονίζει ότι οι τελικές εθνικές εξετάσεις στην Αγγλία έδειξαν ότι οι παρανοήσεις σε πιθανολογικές έννοιες-κλειδιά παραμένουν και μετά τη διδασκαλία οι εκπαιδευτικοί σίγουρα θα επωφεληθούν από δοκίμια που θα τους επιτρέπουν να διαγνώσουν τέτοιες παρανοήσεις. Για το λόγο αυτό, είναι πολύ σημαντικό οι εκπαιδευτικοί να γνωρίζουν κάποιες κατευθυντήριες γραμμές για το πώς θα μπορούσαν να κατασκευαστούν καταλληλότερες ερωτήσεις. Ερωτήσεις σε Συγκείμενο Η χρήση ερωτήσεων σε συγκείμενο (contextualized questions), δηλαδή η χρήση λεκτικών διατυπώσεων και εικόνων που να αναφέρονται σε διάφορες καταστάσεις της πραγματικότητας, είναι ευρέως διαδεδομένη σε πολλά μαθήματα του αναλυτικού προγράμματος. Με αυτόν τον τρόπο, η αξιολόγηση γίνεται πιο αυθεντική και πιο σχετική με την πραγματικότητα. Οι Ahmed και Pollit (2007) συμφωνούν ότι η χρήση συγκείμενου στις ερωτήσεις (contextualization) είναι πολύ δημοφιλής στις εξετάσεις (low and high-stakes assessment), καθώς επίσης και στις διεθνείς συγκριτικές έρευνες, όπως είναι οι TIMSS (2004). Το συγκείμενο στις ερωτήσεις είναι πολύ σημαντικό και η APU (1988) αναφέρει ότι επηρεάζει το βαθμό επιτυχίας σε μια ερώτηση σε ποσοστό μέχρι και 20%. Στα πλαίσια της έρευνας για την πιθανολογική σκέψη των μαθητών του δημοτικού σχολείου, οι περισσότεροι ερευνητές απλώς συμπεραίνουν ότι το συγκείμενο της ερώτησης μπορεί να επηρεάσει τις απαντήσεις των μαθητών, χωρίς όμως να προχωρήσουν παραπέρα και να διερευνήσουν πώς και γιατί συμβαίνει αυτό. Για παράδειγμα, στην προαναφερθείσα έρευνα των Lamprianou και Afantiti Lamprianou (2002), διερευνήθηκαν οι απαντήσεις 424 μαθητών του δημοτικού σχολείου σε ερωτήσεις όπως η πιο κάτω: Ερώτηση 8-αρχική: Σ ένα ζωολογικό κήπο υπάρχουν 2 ελέφαντες και 4 μαϊμούδες. Σήμερα οι άνθρωποι του ζωολογικού κήπου διαλέγουν στην τύχη ένα ζώο να καθαρίσουν. Τι είναι πιο πιθανό να διαλέξουν, ελέφαντα ή μαϊμού;

Αξιολόγηση της σκέψης των μαθητών σε προβλήματα πιθανοτήτων 177 Οι απαντήσεις πολλών μαθητών σε αυτή την ερώτηση περιλάμβαναν υποκειμενικά στοιχεία, όπως για παράδειγμα δεικνύεται από την εξής απάντηση: «θα διαλέξουν ένα ελέφαντα επειδή δεν μπορούν να πιάσουν τις μαϊμούδες. Σκαρφαλώνουν στα δέντρα». Στη μελέτη αυτή, εισάγουμε τρεις νέους όρους, το γενικό πλαίσιο (general context), το συγκεκριμένο πλαίσιο (particular context) και την αντίθεση των ερεθισμάτων (stimulus contrast). Με τον όρο γενικό πλαίσιο (general context) της ερώτησης εννοούμε το γενικότερο περιβάλλον μέσα στο οποίο τοποθετείται η ερώτηση. Στο πιο πάνω παράδειγμα ερώτησης (Ερώτηση 8-αρχική) το γενικό πλαίσιο είναι ο φυσικός κόσμος και πιο συγκεκριμένα, ένας ζωολογικός κήπος. Με τον όρο συγκεκριμένο πλαίσιο (particular context) ορίζουμε το άμεσο-συγκεκριμένο περιβάλλον της ερώτησης, το οποίο στο πιο πάνω παράδειγμα είναι η επιθυμία του προσωπικού του ζωολογικού κήπου να επιλέξουν τυχαία ένα ζώο, ένα ελέφαντα ή μια μαϊμού. Το συγκεκριμένο πλαίσιο ορίζει την αντίθεση των ερεθισμάτων (stimulus contrast), που είναι ο τρίτος όρος που εισάγουμε. Με τον όρο αντίθεση των ερεθισμάτων ορίζουμε την απόσταση μεταξύ των διανυσμάτων των διαστάσεων αντίθεσης (contrast dimensions), όπως είναι για παράδειγμα τα εξωτερικά χαρακτηριστικά των ζώων. Στο πιο πάνω παράδειγμα ερώτησης, η αντίθεση των ερεθισμάτων ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των διανυσμάτων, των διαστάσεων αντίθεσης, των εξωτερικών χαρακτηριστικών των δύο ζώων, του ελέφαντα και της μαϊμούς. Το πιο κάτω σχήμα παρουσιάζει σχηματικά το νόημα της αντίθεσης των ερεθισμάτων. Ας υποθέσουμε ότι στην Ερώτηση 8-αρχική, οι μαθητές εντοπίζουν δύο κύρια χαρακτηριστικά των ζώων (αυτό επαληθεύτηκε πράγματι και από τις συνεντεύξεις), δηλαδή το μέγεθος και την ταχύτητα (ευελιξία). Γραφικά θα μπορούσαμε να παραστήσουμε μια μαϊμού και έναν ελέφαντα ως δύο διανύσματα που ξεκινούν από το κέντρο των αξόνων. Διάγραμμα 1. Απεικόνιση της αντίθεσης των ερεθισμάτων των παραλλαγών της Ερώτησης 8. Είναι προφανές ότι η αντίθεση μεταξύ των ερεθισμάτων (απόσταση μεταξύ των σημείων) είναι πολύ μεγαλύτερη στο δίπολο μαϊμούς/ελέφαντα παρά στο δίπολο τίγρης/λιονταριού (βλέπε Ερώτηση 8-αιλουροειδή πιο κάτω). Το παράδειγμά μας περιορίζεται (χάριν ευκολίας) στις δύο διαστάσεις, όμως οι μαθητές στην πραγματικότητα θα μπορούσαν (και σίγουρα αυτό κάνουν) να χρησιμοποιήσουν μεγαλύτερο αριθμό διαστάσεων π.χ. θα μπορούσαν να λάβουν υπόψη τους και τον

178 Αφαντίτη Λαμπριανού & Λαμπριανού παράγοντα του κινδύνου (είναι πιο επικίνδυνο να καθαρίσεις ένα ελέφαντα παρά μια μαϊμού). Η ποιοτική ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών στην έρευνα των Lamprianou και Afantiti Lamprianou (2002) έδειξε ότι σχεδόν το 20% των μαθητών που απάντησαν στην Ερώτηση 8-αρχική, αιτιολόγησαν την απάντηση που έδωσαν κάνοντας διάφορες αναφορές στα διαφορετικά εξωτερικά χαρακτηριστικά των δύο ζώων, όπως είναι το μέγεθός τους, η ικανότητά τους να τρέχουν ή να σκαρφαλώνουν στα δέντρα κτλ. Η αντίθεση των ερεθισμάτων, των εξωτερικών χαρακτηριστικών μεταξύ μιας μαϊμούς και ενός ελέφαντα, ήταν πολύ μεγάλη για τους μαθητές για να την αγνοήσουν. Παρόλα αυτά, πόσο θα άλλαζαν οι απαντήσεις των μαθητών αν το συγκεκριμένο πλαίσιο άλλαζε από ελέφαντες και μαϊμούδες σε τίγρεις και λιοντάρια; Στη συγκεκριμένη περίπτωση, το γενικό πλαίσιο θα ήταν το ίδιο, αλλά το συγκεκριμένο πλαίσιο θα ήταν πολύ διαφορετικό. Η αντίθεση των ερεθισμάτων θα ήταν μικρότερη μια και τα εξωτερικά χαρακτηριστικά του λιονταριού και της τίγρης δεν παρουσιάζουν μεγάλες αντιθέσεις όπως αυτές μεταξύ του ελέφαντα και της μαϊμούς (βλέπε Διάγραμμα 1). Για αυτό θα αναμέναμε οι απαντήσεις των μαθητών να μην επηρεάζονται πολύ από το νέο συγκεκριμένο συγκείμενο της ερώτησης. Οι Ahmed και Pollit (2007) εισηγούνται ότι μια ερώτηση σε συγκεκριμένο συγκείμενο χρειάζεται να εστιάσει στις πληροφορίες σε τέτοιο βαθμό ώστε να κάνει πιο ευδιάκριτα τα χαρακτηριστικά του συγκείμενου για να ανταποκρίνονται στον πραγματικό κόσμο των μαθητών. Ένα πιο εστιασμένο συγκείμενο θα συμβάλει στην ενεργοποίηση σχετικών εννοιών παρά να παρεμποδίζει την κατανόηση και τον τρόπο σκέψης των μαθητών. Επίσης, κάνουν αναφορά ότι οι ερωτήσεις με συγκείμενο μπορεί μερικές φορές να είναι πιο δύσκολες να απαντηθούν, επειδή το συγκείμενο (α) μπορεί να κάνει το λεκτικό μέρος της ερώτησης πιο απαιτητικό, πιο δύσκολο στην κατανόηση, (β) μπορεί να κάνει την ερώτηση περισσότερο ή λιγότερο οικεία στον ερωτηθέντα και (γ) μπορεί να περιέχει πάρα πολλές άσχετες πληροφορίες έτσι ώστε ο ερωτηθείς να χρειαστεί να μπει στη διαδικασία επιλογής μόνο των σχετικών πληροφοριών. Με αυτό τον τρόπο, πλαισιώνοντας την ερώτηση, μπορεί να επηρεάσει το λεκτικό μέρος και το πόσο γνωστό μπορεί να είναι το θέμα μιας ερώτησης και να αποσπά την προσοχή των ερωτηθέντων. Κάνοντας ένα πείραμα με ερωτήσεις Επιστήμης, οι Ahmed και Pollit (2007) βρήκαν ότι διαφοροποιώντας το συγκείμενο της ερώτησης μπορεί να αλλάξει τον τρόπο που θα απαντήσει κάποιος την ερώτηση. Οι Mevarech και Stern (1997) βρήκαν ότι το συγκείμενο μπορεί όχι μόνο να αποσπάσει την προσοχή των μαθητών από το μαθηματικό έργο (στη συγκεκριμένη περίπτωση από την ερμηνεία μιας γραφικής παράστασης), αλλά μερικές φορές μπορεί να ενεργοποιήσει υπεραπλουστευμένα νοητικά μοντέλα. Παρόμοια, ο Boaler (1993) συμπέρανε ότι οι μαθητές επιλέγουν μερικές φορές τη διαδικασία επίλυσης του μαθηματικού προβλήματος ανάλογα με το συγκείμενό του. Το γεγονός ότι το συγκείμενο επηρεάζει τις απαντήσεις των μαθητών, δε συμβαίνει μόνο σε προβλήματα πιθανοτήτων, αλλά είναι ένα ευρύτερο φαινόμενο στην εκπαίδευση. Παλαιότερα, αυτό το φαινόμενο αναφερόταν ως αποτέλεσμα των λαθών και παρανοήσεων της πιθανολογικής σκέψης των μαθητών, γεγονός που θεωρείτο χαρακτηριστικό γνώρισμα του συγκεκριμένου μαθητή. Με τη νέα προσέγγιση θεωρείται ότι είναι ένα φαινόμενο που σχετίζεται με το συγκείμενο της ερώτησης και η επίδρασή του μπορεί να μειωθεί με κατάλληλη αναπροσαρμογή του συγκείμενου.

Αξιολόγηση της σκέψης των μαθητών σε προβλήματα πιθανοτήτων 179 Αυτή η έρευνα στηρίζεται σε προηγούμενη δουλειά των Lamprianou και Afantiti Lamprianou (2002) και την επεκτείνει με την πειραματική διερεύνηση της επίδρασης στις απαντήσεις των μαθητών διαφορετικών παραλλαγών του συγκείμενου των ερωτήσεων. Με τη μελέτη αυτή ελπίζουμε να ενθαρρύνουμε τους εκπαιδευτικούς να χρησιμοποιούν ερωτήσεις με συγκείμενο για την αξιολόγηση της πιθανολογικής σκέψης των μαθητών. Στοχεύουμε να προσφέρουμε κάποιες οδηγίες στο πώς να κατασκευάζονται τέτοιες ερωτήσεις, ούτως ώστε το συγκείμενο να μην αλληλεπιδρά σε μεγάλο βαθμό με τη διαδικασία της μέτρησης της ικανότητας των μαθητών ακυρώνοντας τα αποτελέσματα της αξιολόγησης. Μεθοδολογία Η μέθοδος και η κατασκευή του δοκιμίου Για τους σκοπούς αυτής της έρευνας, διεξήγαμε ένα πείραμα χρησιμοποιώντας τέσσερις ερωτήσεις πιθανοτήτων από την προηγούμενη έρευνα των Lamprianou και Afantiti Lamprianou (2002). Η μια από τις τέσσερις ερωτήσεις που χρησιμοποιήθηκαν από το αρχικό δοκίμιο είναι η προαναφερθείσα ερώτηση με το ζωολογικό κήπο (Ερώτηση 8-αρχική). Οι τρεις άλλες ερωτήσεις που χρησιμοποιήθηκαν είναι οι πιο κάτω: Ερώτηση 3-αρχική: Έχω δύο σακούλια με βόλους. Στο σακούλι Α υπάρχουν 4 βόλοι, 2 μπλε και 2 πράσινοι. Στο σακούλι Β υπάρχουν 6 βόλοι, 3 μπλε και 3 πράσινοι. Από ποιο σακούλι έχω τη μεγαλύτερη πιθανότητα να τραβήξω τυχαία, χωρίς να κοιτάζω μέσα στο σακούλι, ένα μπλε βόλο; Ερώτηση 6-αρχική: Ο Αντρέας θέλει να στολίσει το χριστουγεννιάτικο του δέντρο. Πάνω στο χαλί υπάρχουν ριγμένες 4 μεγάλες και 6 μικρές χρυσές μπάλες. Επειδή δεν τον νοιάζει αν θα ξεκινήσει το στόλισμα του δέντρου με μια μεγάλη ή με μια μικρή μπάλα, επιλέγει τυχαία μια μπάλα από το χαλί. Τι είναι πιο πιθανό να διαλέξει πρώτα, μια μικρή ή μια μεγάλη μπάλα; Ερώτηση 9-αρχική: Σ ένα κουτί βάζουμε 4 κάρτες με τον αριθμό 5, 2 κάρτες με τον αριθμό 50 και 3 κάρτες με τον αριθμό 100. Διαλέγω στην τύχη, χωρίς να κοιτάζω, μια κάρτα. Ποιον αριθμό είναι πιθανότερο να γράφει πάνω η κάρτα;

180 Αφαντίτη Λαμπριανού & Λαμπριανού Για την καθεμιά αρχική ερώτηση (εκτός από την Ερώτηση 6-αρχική), κατασκευάσαμε 2 άλλες παραλλαγμένες ερωτήσεις και τις τοποθετήσαμε σε τυχαίες θέσεις σε ένα ενιαίο δοκίμιο. Η προηγούμενη έρευνα (Lamprianou & Afantiti Lamprianou, 2002) έδειξε ότι η αναφορά στο συνολικό αριθμό των βόλων στα σακούλια μπέρδευε τους μαθητές (έτσι όπως διατυπώθηκε στην αρχική ερώτηση, ο συνολικός αριθμός των βόλων χωρίστηκε από τον αναλυτικό αριθμό των βόλων με κόμμα). Γι αυτό η διατύπωση της ερώτησης απλουστεύθηκε και διατυπώθηκε η παραλλαγή της Ερώτησης 3-αυτοκινητάκια, αλλάζοντας τους βόλους με τα αυτοκινητάκια. Στην παραλλαγή της Ερώτησης 3- εικόνα, εισάγεται η εικονική αναπαράσταση των δύο σακουλιών που αποκαλύπτει το δειγματοχώρο. Η υπόθεσή μας είναι ότι η Ερώτηση 3-αυτοκινητάκια μπορεί να είναι ευκολότερη από την Ερώτηση 3-αρχική (εφόσον η αλλαγή στη λεκτική διατύπωση είναι σημαντική), αλλά αναμένουμε σίγουρα (αν η θεωρία μας είναι σωστή) ότι η Ερώτηση 3-εικόνα θα είναι η πιο εύκολη. Στην περίπτωση της Ερώτησης 6-αρχική, διατυπώθηκε μόνο μια παραλλαγή. Οι λέξεις «μεγάλες» και «μικρές» χρυσές μπάλες αντικαταστήθηκαν με τις λέξεις «πράσινες» και «κόκκινες» μπάλες (Ερώτηση 6-χρώμα), διότι η έρευνα των Lamprianou και Afantiti Lamprianou (2002) έδειξε ότι το μέγεθος της μπάλας αποσπά την προσοχή των μαθητών. Η υπόθεσή μας είναι ότι η παραλλαγή της Ερώτησης 6-χρώμα θα είναι ευκολότερη από την Ερώτηση 6-αρχική, επειδή η αντίθεση των ερεθισμάτων θα είναι κατά πολύ μικρότερη, με αποτέλεσμα η πιθανολογική σκέψη των μαθητών να επηρεαστεί λιγότερο. Η υπόθεσή μας είναι ότι η αντίθεση των ερεθισμάτων θα είναι η μικρότερη για την παραλλαγή της Ερώτησης 9-χρώμα, μεγαλύτερη για την παραλλαγή της Ερώτησης 9- εικόνα και η μέγιστη για την Ερώτηση 9-αρχική. Στην περίπτωση αυτή η εικόνα θα μπορούσε να βοηθήσει κάποιους μαθητές να αντιληφθούν εικονικά το δειγματοχώρο, αλλά το γεγονός ότι δε θα ήθελαν τα μπαλόνια τους να σπάσουν θα μπορούσε να αυξήσει την αντίθεση των ερεθισμάτων (βλέπε Ahmed & Pollit, 2007, για μια παρόμοια περίπτωση μελέτης στο μάθημα της Επιστήμης). Όσον αφορά στην Ερώτηση 8-αρχική, διατυπώθηκαν δύο παραλλαγές. Οι λέξεις «ελέφαντες» και «μαϊμούδες» αντικαταστάθηκαν με τις λέξεις «λιοντάρια» και «τίγρεις» (Ερώτηση 8-αιλουροειδή), καθώς επίσης και με τις λέξεις «χρυσόψαρα» και «μονομάχοι» (Ερώτηση 8-ψάρια). Η υπόθεσή μας είναι ότι η αντίθεση των ερεθισμάτων θα είναι μικρότερη για τις παραλλαγές και σημαντικά μεγαλύτερη για την Ερώτηση 8-αρχική. Η Ερώτηση 8-ψάρια μπορεί να αποδειχτεί ότι είναι λίγο πιο δύσκολη από την Ερώτηση 8-αιλουροειδή, λόγω της αντίθεσης μεταξύ των χρυσόψαρων και των μονομάχων.

Αξιολόγηση της σκέψης των μαθητών σε προβλήματα πιθανοτήτων 181 Οι παραλλαγές της Ερώτησης 3-αρχική είναι οι πιο κάτω: Ερώτηση 3-αυτοκινητάκια: Έχω δύο κουτιά με αυτοκινητάκια. Στο κουτί Α υπάρχουν 2 μπλε και 2 πράσινα αυτοκινητάκια. Στο κουτί Β υπάρχουν 3 μπλε και 3 πράσινα αυτοκινητάκια. Από ποιο κουτί έχω μεγαλύτερη πιθανότητα, χωρίς να κοιτάξω, να τραβήξω ένα μπλε αυτοκινητάκι; Ερώτηση 3-εικόνα: Έχω δύο σακούλια με βόλους. Στο σακούλι Α έχω 2 άσπρους και 2 μαύρους βόλους. Στο σακούλι Β έχω 3 άσπρους και 3 μαύρους βόλους. Από ποιο σακούλι έχω μεγαλύτερη πιθανότητα να πάρω τυχαία, χωρίς να κοιτάζω μέσα στο σακούλι, έναν άσπρο βόλο; Σακούλι Α Σακούλι Β Οι παραλλαγές της Ερώτησης 9-αρχική είναι οι πιο κάτω: Ερώτηση 9-χρώμα: Σε ένα κουτί βάζουμε 4 κόκκινες κάρτες, 2 μπλε κάρτες και 3 πράσινες κάρτες. Διαλέγω στην τύχη, χωρίς να κοιτάζω, μια κάρτα. Τι χρώμα είναι πιθανότερο να είναι η κάρτα; Ερώτηση 9-εικόνα: Έχω 4 άσπρα μπαλόνια, 2 γκρίζα και 3 μαύρα. Τι χρώμα μπαλόνι είναι πιθανότερο να σκάσει πρώτο από μόνο του; Το δείγμα και η χορήγηση του δοκιμίου

182 Αφαντίτη Λαμπριανού & Λαμπριανού Το τελικό δοκίμιο χορηγήθηκε σε 424 μαθητές από 12 διαφορετικά σχολεία απ όλες τις περιοχές της Κύπρου την περίοδο Νοέμβρη-Δεκέμβρη 2008. Η επιλογή των σχολείων δεν έγινε με βάση τυχαία δειγματοληψία, αλλά έγινε με τέτοιο τρόπο, ούτως ώστε να είχαμε μια ικανοποιητική γεωγραφική κάλυψη του νησιού. Το δείγμα περιλάμβανε 211 αγόρια και 213 κορίτσια. Οι μισοί μαθητές του δείγματος ήταν 11 χρονών και οι άλλοι μισοί 12 χρονών (μαθητές, δηλαδή, της Ε και Στ τάξης). Οι συνθήκες χορήγησης του δοκιμίου ήταν οι ίδιες σε όλα τα σχολεία. Οι μαθητές πληροφορήθηκαν για θέματα δεοντολογίας, όπως είναι η ανωνυμία του δοκιμίου και η εμπιστευτικότητα των αποτελεσμάτων, ενθαρρύνθηκαν να δοκιμάσουν να επιλύσουν όσο το δυνατόν περισσότερες ερωτήσεις και τους δόθηκε ικανοποιητικός χρόνος. Διευκρινίστηκε, επίσης, ότι για κάθε ερώτηση θα έπαιρναν μια μονάδα για τη σωστή απάντηση και ακόμα μια μονάδα για την αιτιολόγηση της απάντησής τους. Μεθοδολογία ανάλυσης δεδομένων Για την παρουσίαση της ανάλυσης των δεδομένων, χρησιμοποιήσαμε κυρίως τα ποσοστά των σωστών απαντήσεων των μαθητών. Επίσης, τρέξαμε τα μη-παραμετρικά τεστ, Sign Test και Friedman Test, για να διερευνήσουμε κατά πόσο οι διαφορές στην επίδοση των μαθητών στις διάφορες ερωτήσεις είναι στατιστικά σημαντικές. Η επίδοση των μαθητών σε οποιανδήποτε ερώτηση μετριέται σε μια κλίμακα από το 0 ως το 2 (0: λάθος απάντηση, 1: σωστή απάντηση και 2: σωστή απάντηση και αιτιολόγηση). Εκτός από την ποσοτική ανάλυση, έγινε μια ποιοτική ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών που αιτιολόγησαν την απάντησή τους στην ερώτηση «Γιατί;» που ακολουθούσε την απάντηση της κάθε ερώτησης. Αποτελέσματα Τα αποτελέσματα της έρευνας συνοψίζονται στον Πίνακα 1. Αναλυτικότερα, η υπόθεσή μας ότι η παραλλαγή της Ερώτησης 3-εικόνα θα είναι η πιο εύκολη και ότι η παραλλαγή της Ερώτησης 3-αυτοκινητάκια θα είναι ευκολότερη από την Ερώτηση 3- αρχική αποδείχτηκε σωστή. Τα αντίστοιχα ποσοστά της σωστής απάντησης σε κάθε παραλλαγή είναι 63.2%, 53.1% και 47.2%. Τα αντίστοιχα ποσοστά της αιτιολόγησης των μαθητών στην ερώτηση «Γιατί;» της κάθε παραλλαγής είναι 51.2%, 41.5% και 38.9%. Το Friedman τεστ ήταν στατιστικά σημαντικό (x 2 =22.183, df =2, p<0.0001). Το Sign τεστ έδειξε ότι η Ερώτηση 3-εικόνα ήταν η πιο εύκολη ερώτηση, αλλά δεν υπήρχε καμιά στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ της Ερώτησης 3-αυτοκινητάκια και της Ερώτησης 3-αρχική. Η υπόθεσή μας ότι η Ερώτηση 6-χρώμα θα είναι ευκολότερη από την Ερώτηση 6- αρχική επαληθεύτηκε. Συνολικά, 424 μαθητές απάντησαν και στις δύο ερωτήσεις. Ποσοστό 79% των μαθητών αυτών απάντησε σωστά στην Ερώτηση 6-χρώμα, αλλά μόνο το 66% αυτών των μαθητών απάντησε σωστά στην Ερώτηση 6-αρχική. Παρόμοια, το 57% των μαθητών αιτιολόγησαν σωστά την Ερώτηση 6-αρχική, ενώ για την παραλλαγή της Ερώτησης 6-χρώμα το ποσοστό της σωστής αιτιολόγησης φτάνει το 67%. Το Sign τεστ υποδεικνύει ότι η επίδοση των μαθητών στις δύο αυτές ερωτήσεις είναι σημαντικά διαφορετική (z=4.643, p<0.001).

Αξιολόγηση της σκέψης των μαθητών σε προβλήματα πιθανοτήτων 183 Πίνακας 1. Αποτελέσματα των σωστών απαντήσεων των μαθητών στις ερωτήσεις πιθανοτήτων Ερωτήσεις Ερώτηση 3-αρχική Ερώτηση 3-αυτοκινητάκια Ερώτηση 3-εικόνα Ερώτηση 6-αρχική Ερώτηση 6-χρώμα Ερώτηση 8-αρχική Ερώτηση 8-ψάρια Ερώτηση 8-αιλουροειδή Ερώτηση 9-αρχική Ερώτηση 9-χρώμα Ερώτηση 9-εικόνα Σωστή Απάντηση 47.2% 53.1% 63.2% 66% 79% 69.3% 73.3% 72.6% 56.7% 80% 74.5% Σωστή Απάντηση Αιτιολόγηση 38.9% 41.5% 51.2% 57% 67% 57.4% 59.7% 62.7% 46% 71.9% 56.8% Τεστ Friedman τεστ x 2 =22.183 df=2 p<0.0001 Sign τεστ z=4.643, p<0.001 Friedman τεστ x 2 =6.012 df=2 p=0.048 Friedman τεστ x 2 =42.056 df=2 p<0.0001 Η τρίτη υπόθεσή μας ότι η Ερώτηση 8-αρχική θα είναι πιο δύσκολη από την Ερώτηση 8-ψάρια και την Ερώτηση 8-αιλουροειδή, βγήκε, επίσης, σωστή. Αυτό φαίνεται από τα αντίστοιχα ποσοστά των σωστών απαντήσεων, τα οποία είναι 69.3% για την Ερώτηση 8-αρχική, 73.3% για την Ερώτηση 8-ψάρια και 72.6% για την Ερώτηση 8-αιλουροειδή (Ν=424). Τα αντίστοιχα ποσοστά για τη σωστή αιτιολόγηση των απαντήσεών τους είναι 57.4%, 59.7% και 62.7%. Το Friedman τεστ είναι στατιστικά σημαντικό (x 2 =6.012, df=2, p=0.048). Επίσης, το Sign τεστ έδειξε ότι η Ερώτηση 8-αρχική είναι πιο δύσκολη από τις παραλλαγές της. Η υπόθεσή μας ότι η Ερώτηση 9-χρώμα θα είναι η πιο εύκολη, η Ερώτηση 9-εικόνα θα είναι μιας μέσης δυσκολίας και η Ερώτηση 9-αρχική θα είναι η πιο δύσκολη ερώτηση αποδείχτηκε επίσης σωστή. Τα αντίστοιχα ποσοστά της σωστής απάντησης στις ερωτήσεις είναι 80% στην Ερώτηση 9-χρώμα, 74.5% στην Ερώτηση 9-εικόνα και 56.7% στην Ερώτηση 9-αρχική (Ν=424). Τα ποσοστά των σωστών αιτιολογήσεων στις αντίστοιχες ερωτήσεις είναι 71.9%, 56.8% και 46%. Το Friedman τεστ είναι στατιστικά σημαντικό (x 2 =42.056, df=2, p<0.0001). Τρέχοντας τα αντίστοιχα Sign τεστ αποδεικνύουν ότι οι διαφορές στην επίδοση των μαθητών είναι στατιστικά σημαντικές στο επίπεδο 0.001, όπως έχουμε προβλέψει.

184 Αφαντίτη Λαμπριανού & Λαμπριανού Τέλος, από την ποιοτική ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών φάνηκε ότι στην Ερώτηση 6-αρχική η πιθανολογική σκέψη πολλών μαθητών επηρεάστηκε από το μέγεθος που έχουν οι μπάλες, αλλά μόνο ένας μαθητής απάντησε ότι «το πράσινο είναι πιο φωτεινό και όμορφο χρώμα» στην Ερώτηση 6-χρώμα. Επίσης, η σκέψη των μαθητών στις διάφορες ερωτήσεις πιθανοτήτων επηρεάστηκε από πληροφορίες όπως το χρώμα των ψαριών, τη δύναμη της τίγρης, την ταχύτητα της μαϊμούς κλπ. Γενικά, οι απαντήσεις των μαθητών επηρεάζονταν περισσότερο στις περιπτώσεις εκείνες των ερωτήσεων που η αντίθεση των ερεθισμάτων ήταν μεγαλύτερη. Σχολιασμός Στην έρευνα αυτή εισάγονται οι έννοιες γενικό πλαίσιο και συγκεκριμένο πλαίσιο για να διερευνηθεί πώς το συγκείμενο μιας ερώτησης επηρεάζει την πιθανολογική σκέψη των μαθητών. Ο βαθμός της επίδρασης εξαρτάται από την αντίθεση των ερεθισμάτων. Αν η αντίθεση των ερεθισμάτων είναι μεγάλη, τότε η επίδραση του συγκείμενου είναι μεγάλη. Το μέγεθος της αντίθεσης των ερεθισμάτων ορίζεται ως το διάνυσμα των αντίθετων διαστάσεων: κάποιος θα μπορούσε να το φανταστεί ως ένα διάνυσμα ν- διαστάσεων όπου η κάθε διάσταση μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα χαρακτηριστικό του ερεθίσματος. Για να γίνει πιο κατανοητό θα σχολιάσουμε ένα εμπειρικό παράδειγμα του πειράματος. Το γενικό πλαίσιο της Ερώτησης 9-αρχική είναι το γνωστό «Έχω ένα δοχείο Χ (π.χ. σακούλι, κουτί, γυάλινο δοχείο κλπ) όπου βάζω Υ αντικείμενα (π.χ. βόλους, κάρτες κλπ.)». Οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι με το γενικό αυτό πλαίσιο που τους μεταφέρει στον πιθανολογικό τρόπο σκέψης της τάξης. Παρ όλ αυτά, το συγκεκριμένο πλαίσιο γίνεται αντιληπτό ως κάρτες με τυπωμένους ακέραιους αριθμούς. Παρόλο που το ερέθισμα για τους μαθητές θα έπρεπε να είναι ο συνολικός αριθμός των καρτών, όπως για παράδειγμα 4 κάρτες με τον αριθμό Χ, στην Ερώτηση 9-αρχική το διάνυσμα του ερεθίσματος έχει μια άλλη διάσταση, που είναι η διαφορετική αξία των αριθμών που είναι γραμμένοι πάνω στις κάρτες («5», «50» και «100»). Η αντίθεση των ερεθισμάτων είναι πολύ μεγάλη, με αποτέλεσμα μεγάλη επίδραση στην πιθανολογική σκέψη των μαθητών (μόνο 57% απάντησαν σωστά και 46% αιτιολόγησαν την απάντησή τους κανονικά). Για παράδειγμα, ένας από τους μαθητές απάντησε ότι «είναι πιθανότερο να πάρεις μια κάρτα με τον αριθμό «100», επειδή αυτός είναι ο μεγαλύτερος αριθμός απ όλους». Όταν η αντίθεση των ερεθισμάτων μειωθεί, όπως γίνεται στην Ερώτηση 9-χρώμα όπου οι αριθμοί στις κάρτες μετατρέπονται σε χρώματα, οι μαθητές μετατοπίζουν την πιθανολογική τους σκέψη με βάση τον τρόπο σκέψης της τάξης. Όταν εισάγεται η εικόνα των μπαλονιών στην Ερώτηση 9-εικόνα, η διάσταση «μπαλόνια» της αντίθεσης των ερεθισμάτων αποσπά την προσοχή τους και πάλι. Σε άλλες περιπτώσεις, όπου το γενικό και το συγκεκριμένο πλαίσιο έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό του στυλ της τάξης, όπως είναι στην Ερώτηση 3-εικόνα (π.χ. εικόνα των σακουλιών με τον αριθμό των βόλων που περιέχουν), η ερώτηση γίνεται πιο εύκολη. Είναι ενδιαφέρον να αναφέρουμε ότι κατά τη διάρκεια της ποιοτικής ανάλυσης των απαντήσεων των μαθητών, εξακριβώσαμε ότι κάποιοι μαθητές σχεδίαζαν εικόνες για να αναπαραστήσουν το δειγματοχώρο. Σε καμιά περίπτωση δεν προσπάθησαν να βάλουν το δειγματοχώρο σε ένα δικό τους συγκείμενο. Το γενικό μοτίβο ήταν ότι χρησιμοποιούσαν το πρότυπο του

Αξιολόγηση της σκέψης των μαθητών σε προβλήματα πιθανοτήτων 185 τρόπου σκέψης της τάξης ζωγραφίζοντας βόλους σε σακούλια ή βόλους (κύκλους) σε διαφανή δοχεία ή τετράγωνα κλπ. Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής αναδεικνύουν κάποιες εισηγήσεις που απευθύνονται στους δασκάλους οι οποίοι θα ήθελαν να χρησιμοποιήσουν στην αξιολόγηση της πιθανολογικής σκέψης των μαθητών τους χρησιμοποιώντας ερωτήσεις με συγκείμενο. Οι εισηγήσεις αυτές συνοψίζονται πιο κάτω: Οι ερωτήσεις με συγκείμενο δεν επηρεάζουν απαραίτητα την πιθανολογική σκέψη των μαθητών. Στη συγγραφή ερωτήσεων με συγκείμενο είναι καλό να αποφεύγονται συγκεκριμένα πλαίσια με μεγάλη αντίθεση ερεθισμάτων. Η εικονογράφηση των ερωτήσεων βοηθά αν δεν εισάγει νέες διαστάσεις στο διάνυσμα της αντίθεσης των ερεθισμάτων. Ως κατακλείδα της μελέτης αυτής, παρατίθενται εισηγήσεις για περαιτέρω έρευνα που συνοψίζονται πιο κάτω: Διερεύνηση κατά πόσο οι εκπαιδευτικοί μπορούν να προβλέψουν τη δυσκολία των διαφόρων παραλλαγών των ερωτήσεων πιθανοτήτων. Διερεύνηση του τρόπου σκέψης των εκπαιδευτικών και της γλώσσας που χρησιμοποιούν όταν συναντούν παραλλαγές των ερωτήσεων πιθανοτήτων. Συσχέτιση των αποτελεσμάτων των πιο πάνω με την επίδοση των μαθητών και των εκπαιδευτικών αυτών όταν συναντούν παρόμοιες παραλλαγές ερωτήσεων. Βιβλιογραφία Ahmed, A., & Pollit, A. (2007). Improving the quality of contextualized questions: an experimental investigation of focus. Assessment in Education: Principles, Policy and Practice, 14 (2), 201-232. Amir, G., & Williams, J. (1994). The influence of children s culture on their probabilistic thinking. In J. P. Ponte & J. F. Matos (Eds.). Proceedings of the 18 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME). University of Lisbon. Amir, G. S., & Williams, J. S. (1999). Cultural influences on children s probabilistic thinking. Journal of Mathematical Behaviour, 18(1), 85-107. Assessment of Performance Unit (APU), (1988). Mathematical development; Α review of monitoring in Mathematics. 1978-1982, Part 1 and 2, London. Boaler, J. (1993). When do girls prefer football to fashion? An analysis of female underachievement in relation to realistic mathematics contexts. British Educational Research Journal, 20 (5), 551 564.

186 Αφαντίτη Λαμπριανού & Λαμπριανού Canizares, M. J., Batareno, C., Serrano, L., & Ortiz, J. J. (1997). Subjective elements in children s comparison of probabilities. In E. Pehkonen (Ed.). Proceedings of the 21 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, 49-56). University of Helsinki. Fischbein, E., & Gazit, A. (1984). Does the teaching of probability improve probabilistic intuitions? Educational Studies in Mathematics, 15, 1-24. Kapadia, R. (2008). Chance encounters - 20 years later. Fundamental ideas in teaching probability at school level. Paper presented at the International Congress of Mathematics Education, Monterrey, Mexico. Lamprianou, I., & Afantiti Lamprianou, T. (2002). The nature of pupils probabilistic thinking in primary schools in Cyprus. In A. D. Cockburn & E. Nardi (Eds.). Proceedings of the 26 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, 273-280). Norwich: UEA. Mevarech, Z. R., & Stern, A. (1997). Interaction between knowledge and contexts on understanding abstract mathematical concepts. Journal of Experimental Child Psychology, 65, 68 95. O Connell, A. A. (1999). Understanding the nature of errors in probability problemsolving. Educational Research and Evaluation, 5 (1), 1-21. TIMSS, (2004). Trends in international mathematics and science study. Retrieved November 24, 2004, from http://timss.bc.edu/timss2003i/conference_ir.html. Tversky, A., & Kahneman, D. (1974). Judgment under uncertainty: Heuristics and biases. Science, 185, 1124-1131. Williams, J., & Ryan, J. (2000). National testing and the improvement of classroom teaching: can they coexist? British Educational Research Journal, 26 (1), 49-73.