Προσοµοίωση µοντέλου ιδανικών και πραγµατικών αερίων Αναστασιάδης ηµήτρης, Παρµάκης Κήρυκος Εκπαιδευτήρια «Απόστολος Παύλος» dimitris_anastasiadis@hotmail.com / kirikos1994@hotmail.com Επιβλέπων καθηγητές : Σπύρος Χριστίδης - ηµήτρης Τάσσης Εκπαιδευτήρια «Απόστολος Παύλος» schristidis@gmail.com., tassis@physics.auth.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η συστηµατική µελέτη των ιδιοτήτων των αερίων από τον 17 αιώνα συνέβαλλε σταδιακά στην ανάπτυξη των θερµικών µηχανών και τελικά των σύγχρονων κινητήρων εσωτερικής καύσης. Όµως, καµία µελέτη δεν µπορεί να µην έχει σηµείο αναφοράς το πρότυπο µοντέλο του ιδανικού αερίου. Το µοντέλο αυτό, διδάσκεται σήµερα εκτενώς στο πλαίσιο του µαθήµατος Φυσική κατεύθυνσης για την β λυκείου, σε όλα τα Γενικά Λύκεια της πατρίδας µας. Σκοπός της παρούσης εργασίας, είναι να γίνει µια προσοµοίωση του µοντέλου αυτού, µε τη βοήθεια του προγράµµατος Vpython (Vidle for python) που µπορεί οποιοσδήποτε να βρει στην ιστοσελίδα http://vpython.org/contents/download_windows.html. Εκεί, µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα πρόγραµµα προσοµοίωσης για το ιδανικό αέριο. Η προσπάθεια µας αυτή θα αποκτήσει µια πιο ρεαλιστική χροιά, εάν δώσουµε στα µόρια του ιδανικού αερίου πιο πραγµατικούς χαρακτήρες, όπως διαστάσεις, σχήµα... ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: Ιδανικό αέριο, πραγµατικό αέριο, καταστατική εξίσωση, εξίσωση van der Waals.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην εργασία αυτή στόχος µας είναι να δείξουµε πόσο εύκολα µπορεί κάποιος να µελετήσει τα ιδανικά αέρια και τις διαφορές τους όταν αυτά µελετούνται σύµφωνα µε την καταστατική ή ως πραγµατικά αέρια. Στην συγκεκριµένη εργασία θα χρησιµοποιήσουµε ένα πρόγραµµα το οποίο µπορεί να βρει ο οποιοσδήποτε «δωρεάν» στο διαδίκτυο και µε το οποίο θα µελετήσουµε τρία ιδανικά αέρια. Το ήλιο (He), το νέον (Ne) και το αργό (Ar). Ακολουθεί πινάκας µε τα φυσικά χαρακτηριστικά (κρίσιµες παράµετροι) των τριών µορίων. Είδος µορίου Ήλιο (He) Νέον (Ne) Αργό (Ar) Μάζα (Kg) 4,002*1,66*10-27 20.17*1.66*10-27 39.94*1.66*10-27 Κρίσιµη 5.19 44.4 151 θερµοκρασία (K) Κρίσιµη πίεση (Pa) 227000 2760 4870 Το πρόγραµµα αυτό, το οποίο χρησιµοποιούµε, είναι το VPython 2,7 και η διαδικασία µε την οποία το εγκαθιστάµε είναι η εξής: Αρχικά ανοίγουµε την µηχανή αναζήτησης «google», και πληκτρολογούµε Vpython. Εκεί επιλέγουµε την πρώτη ιστοσελίδα. Εναλλακτικά, πληκτρολογούµε άµεσα τον ιστότοπο http://vpython.org/contents/download_windows.html. Από εκεί επιλέγουµε στο αριστερό µέρος της οθόνης στο download windows και στη συνέχεια κατεβάζουµε οποία έκδοση επιθυµούµε. Στη συγκεκριµένη εργασία χρησιµοποιήσαµε την 2,7. Το VPython είναι ένα πρόγραµµα προσοµοιώσεων και έχει ορισµένα έτοιµα προγράµµατα όπως το gas venezian το οποίο χρησιµοποιήσαµε για τη µελέτη της καταστατική εξίσωσης του ιδανικού αερίου. Στη συνέχεια για τη µελέτη πραγµατικών αερίων, τροποποιήσαµε το πρόγραµµα και χρησιµοποιώντας την εξίσωση van Der Waals (η οποία αναφέρεται στα πραγµατικά αέρια) συγκεντρώσαµε τα υπόλοιπα δεδοµένα. Καταστατική εξίσωση (ιδανικών αερίων) Εξίσωση van der Waals (πραγµατικών αερίων) N * k * T P= k * T 27* k *( Tc* N) P= V 2 V k * Tc (( ) ( )) 64* Pc* V N 8* Pc 2 Όπου, P η πίεση (Pa), V ο όγκος (m 3 ), T η θερµοκρασία (K), N το πλήθος των µορίων, k η σταθερά Boltzmann (J/K), P C η κρίσιµη πίεση (Pa) και T C η κρίσιµη θερµοκρασία (K). Το πρόγραµµα, χρησιµοποιεί την κινητική θεωρία των αερίων, και συγκεκριµένα υπολογίζει την πίεση ως αποτέλεσµα των συγκρούσεων των µορίων µε τα τοιχώµατα του δοχείου. Λαµβάνει δε υπόψη και τις συγκρούσεις µεταξύ των µορίων, καθώς επίσης υπάρχει η δυνατότητα επιλογής του πλήθους τους, των διαστάσεών τους, της µάζας τους, της θερµοκρασίας και των διαστάσεων του δοχείου.
Με την έναρξη της προσοµοίωσης, το πρόγραµµα «δίνει» αρχικές ταχύτητες στα µόρια µε τυχαία κατανοµή. Κατά την εξέλιξή της, λόγω των συγκρούσεων των µορίων, γίνεται ανταλλαγή ενεργειών και παρατηρούνται αυξοµειώσεις των στιγµιαίων τιµών της πίεσης. Η προσοµοίωση ολοκληρώνεται όταν η κατανοµή των ταχυτήτων ισορροπήσει στην αντίστοιχη καµπύλη. Αυτό, απαιτεί ένα εύλογο χρονικό διάστηµα αναµονής µερικών λεπτών, το οποίο εξαρτάται από το πλήθος των µορίων και τις υπολογιστικές δυνατότητες του υπολογιστή. Στα σχήµατα αριστερά φαίνεται η κατανοµή των ταχυτήτων στην αρχή και στο της προσοµοίωσης τέλος Οι µετρήσεις µε κάθε αέριο ήταν δυο ειδών και έγιναν ως εξής: Α) Έχοντας σταθερό τον όγκο (ίσο µε δύο κυβικά µέτρα), συλλέξαµε τις τιµές της πίεσης για δέκα διαφορετικές τιµές θερµοκρασίας, αρχίζοντας από τους 200 και µέχρι τους 1100 βαθµούς Kelvin, ανά εκατό µονάδες. Β) Έχοντας σταθερή τη θερµοκρασία (300 βαθµούς Kelvin), συλλέξαµε τις τιµές της πίεσης για δέκα διαφορετικές τιµές όγκου του δοχείου, αρχίζοντας από τα δύο κυβικά µέτρα και καταλήγοντας στα τέσσερα, αυξάνοντας τον όγκο κατά 0.2 κυβικά µέτρα, σε κάθε οµάδα µετρήσεων. Για τη µελέτη των αερίων ως ιδανικά χρησιµοποιήσαµε τη καταστατική εξίσωση, η οποία «χρωµατίστηκε» µε ροζ χρώµα στον κώδικα του προγράµµατος, τµήµα του οποίου φαίνεται παρακάτω. Με πράσινο χρώµα έχουµε χρωµατίσει τον όγκο, µε το µπλε η µάζα του ατόµου και µε κόκκινο τη θερµοκρασία.
Natoms = 100 # change this to have more or fewer atoms # Typical values L = 2. # container is a cube L on a side gray = (0.7,0.7,0.7) # color of edges of container Raxes = 0.005 # radius of lines drawn on edges of cube Matom = 4,002*1,66E-27# helium mass Ratom = 0.05 # wildly exaggerated size of helium atom Ratom=.05 k = 1.4E-23 # Boltzmann constant T = 300. # around room temperature ##calculated parameters: V=(L-Ratom)**3 ##available volume pressure=natoms*k*t/v print 'Number of Atoms',Natoms print 'Temperature', T print 'Volume', V Για τη µελέτη ως πραγµατικά αέρια χρησιµοποιήσαµε τον τύπο του van Der Waals (ροζ χρώµα). Το αντίστοιχο µέρος του προγράµµατος είναι το παρακάτω. Με το πράσινο χρώµα φαίνεται ο όγκος, µε το µπλε η µάζα του ατόµου και µε κόκκινο η θερµοκρασία. Βέβαια εδώ έχουµε και την κρίσιµη θερµοκρασία (µωβ χρώµα) και την κρίσιµη πίεση (πορτοκαλί χρώµα) Natoms = 100 # change this to have more or fewer atoms TC=5.19 #Critical temperature of the gas (helium) PC=227000 #Critical pressure of the gas (helium) # Typical values L = 2. # Container is a cube L on a side gray = (0.7,0.7,0.7) # color of edges of container Raxes = 0.005 # radius of lines drawn on edges of cube Matom =4,002*1,66E-27 # helium mass Ratom = 0.05 # wildly exaggerated size of helium atom Ratom=.05 k = 1.4E-23 # Boltzmann constant T = 300. # around room temperature ##calculated parameters: V=(L-Ratom)**3 ##available volume pressure=k*t/((v/natoms)-(k*tc/(8*pc)))- 27*k*(TC*Natoms)**2/(64*PC*V**2)#Van der Waals print 'Number of Atoms',Natoms print 'Temperature', T print 'Volume', V print 'Pressure', pressure
ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΗΛΙΟ Το He ως ιδανικό αέριο Το He ως πραγµατικό αέριο Με σταθερό όγκο T(K) P(N/ m 2 ) P(N/ m 2 ) V=2 m 3 200 1,4000549800E-19 1,0000996771E-19 300 2,1000824701E-19 2,1000237125E-19 400 2,8001099601E-19 2,8000374572E-19 500 3,5001374501E-19 3,5000512019E-19 600 4,2001649401E-19 4,2000649467E-19 700 4,9001924301E-19 4,9000786914E-19 800 5,6002199201E-19 5,6000924361E-19 900 6,3002474101E-19 6,3001061809E-19 1000 7,0002749002E-19 7,0001199256E-19 1100 7,7003023902E-19 7,7001336704E-19 Με σταθερή θερµοκρασία V(m 3 ) P(N/m 2 ) P(N/ m 2 ) T=300 K 2 2,1000824701E-19 2,1000237125E-19 2,2 1,9091590659E-19 1,9091105062E-19 2,4 1,7500572705E-19 1,7500164670E-19 2,6 1,6154334138E-19 1,6153986464E-19 2,8 1,5000420761E-19 1,5000120982E-19 3 1,4000366529E-19 1,4000105389E-19 3,2 1,3125322144E-19 1,3125092627E-19 3,4 1,2353226535E-19 1,2353023226E-19 3,6 1,1666921199E-19 1,1666739853E-19 3,8 1,1052860024E-19 1,1052697264E-19 4 1,0500206171E-19 1,0500059281E-19
P-T(με όγκο V=2m 3 ) 1,E-17 P(N/m2) 1,E-18 1,E-19 200300400 500 600 700 800 900 1000 Το He ως ιδανικό αέριο T(K) Το He ως πραγματικό αέριο 1100 P-V(με T=300K) 1,E-17 P(N/m2) 1,E-18 1,E-19 Το He ως ιδανικό αέριο 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 V(m 3 ) 4 Το He ως πραγματικό αέριο
Νέο Το Ne ως ιδανικό αέριο Το Ne ως πραγματικό αέριο Με σταθερό όγκο T(K) P(N/m 2 ) P(N/m 2 ) V=2 m 3 200 1,4000549800E-19 1,2945582662E-19 300 2,1000824701E-19 1,9945720110E-19 400 2,8001099601E-19 2,6945857557E-19 500 3,5001374501E-19 3,3945995004E-19 600 4,2001649401E-19 4,0946132452E-19 700 4,9001924301E-19 4,7946269899E-19 800 5,6002199201E-19 5,4946407347E-19 900 6,3002474101E-19 6,1946544794E-19 1000 7,0002749002E-19 6,8946682241E-19 1100 7,7003023902E-19 7,5946819689E-19 Με σταθερή θερμοκρασία V(m 3 ) P(N/m 2 ) P(N/m 2 ) T=300 K 2 2,1000824701E-19 1,9945720110E-19 2,2 1,9091590659E-19 1,8219606508E-19 2,4 1,7500572705E-19 1,6767865980E-19 2,6 1,6154334138E-19 1,5530017554E-19 2,8 1,5000420761E-19 1,4462108133E-19 3 1,4000366529E-19 1,3531437295E-19 3,2 1,3125322144E-19 1,2713177984E-19 3,4 1,2353226535E-19 1,1988144346E-19 3,6 1,1666921199E-19 1,1341277319E-19 3,8 1,1052860024E-19 1,0760592722E-19 4 1,0500206171E-19 1,0236435204E-19
200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 1,E-17 P-T(με V=2m 3 ) P(N/m 2 ) 1,E-18 1,E-19 T(K) Το Ne ως ιδανικό αέριο Το Ne ως πραγματικό αέριο P-V(με T=300K) 1,E-17 P(N/m 2 ) 1,E-18 1,E-19 V(m 3 ) Το Ne ως ιδανικό αέριο Το Ne ως πραγματικό αέριο
Αργό Το Αr ως ιδανικό αέριο Το Αr ως πραγματικό αέριο Με σταθερό όγκο T(K) P(N/m 2 ) P(N/m 2 ) V=2 m 3 200 1,4000549800E-19 7,0868408690E-20 300 2,1000824701E-19 1,4086978316E-19 400 2,8001099601E-19 2,1087115764E-19 500 3,5001374501E-19 2,8087253211E-19 600 4,2001649401E-19 3,5087390659E-19 700 4,9001924301E-19 4,2087528106E-19 800 5,6002199201E-19 4,9087665553E-19 900 6,3002474101E-19 5,6087803001E-19 1000 7,0002749002E-19 6,3087940448E-19 1100 7,7003023902E-19 7,0088077895E-19 Με σταθερή θερμοκρασία V(m 3 ) P(N/m 2 ) P(N/m 2 ) T=300 K 2 2,1000824701E-19 1,4086978316E-19 2,2 1,9091590659E-19 1,3377688427E-19 2,4 1,7500572705E-19 1,2699321920E-19 2,6 1,6154334138E-19 1,2063337850E-19 2,8 1,5000420761E-19 1,1472987696E-19 3 1,4000366529E-19 1,0927586138E-19 3,2 1,3125322144E-19 1,0424640673E-19 3,4 1,2353226535E-19 9,9609308318E-20 3,6 1,1666921199E-19 9,5330552394E-20 3,8 1,1052860024E-19 9,1377027462E-20 4 1,0500206171E-19 8,7717785145E-20
2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 P-V(με T=300K) P(N/m 2 ) 3,E-17 6,E-18 1,E-18 3,E-19 5,E-20 1,E-20 Το Αr ως ιδανικό αέριο V(m 3 ) Το Αr ως πραγματικό αέριο Συµπεράσµατα : Από τις µετρήσεις παρατηρήσαµε ότι όσο µεγαλώνει η µάζα του ατόµου τόσο µεγαλύτερη η διαφορά µεταξύ των αποτελεσµάτων του τύπου της καταστατικής και του van Der Waals. Βρήκαµε αξιοσηµείωτες διαφορές στην πίεση όταν αυτή µετρήθηκε µε την καταστατική, τον τύπο του van Der Waals και µέσα από την προσοµοίωση. Αυτό συνέβη γιατί ο τύπος της καταστατικής ισχύει µόνο για ιδανικά αέρια (και µόνο το ήλιο πλησιάζει τις ιδιότητες αυτών), ενώ ο τύπος του van Der Waals υπολογίζει και τις ενδοµοριακές δυνάµεις. 3 Όταν το πλήθος των ατόµων στο δοχείο ήταν πολύ µεγάλο (10000 σε µόλις 2m ) ο τύπος του van Der Waals µας έδωσε αρνητικές τιµές. Συµπεραίνουµε λοιπόν, πως σε ρεαλιστικές συνθήκες προβλέπεται ένα είδος «αρνητικής πίεσης», όταν οι ενδοµοριακές δυνάµεις γίνονται πολύ µεγάλες. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θέλουμε να ευχαριστήσουμε τους καθηγητές του ενιαίου γενικού λυκείου «Ο Απόστολος Παύλος», για την ενθάρρυνση και την βοήθειά τους σε όλη την διάρκεια της εκπόνησης της εργασίας μας. Ήταν μια πρωτόγνωρη εμπειρία για μας η όλη διαδικασία.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Φυσική Κατεύθυνσης Β Λυκείου (ΟΕΔΒ) Διαδίκτυο: www.physics4u.gr, www.wikipedia.org, http://vpython.org/contents/download_windows.html