1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται δίπλα. Το πολύγωνο λέγεται βάση της πυραµίδας. Τα τρίγωνα Κ, Κ, Κ, Κ λέγονται παράπλευρες έδρες και η επιφάνεια που ορίζουν λέγεται παράπλευρη επιφάνεια. Το σηµείο Κ το λέµε κορυφή της πυραµίδας. Το κάθετο τµήµα ΚΟ που φέρνουµε από την κορυφή στη βάση της πυραµίδας το λέµε ύψος της πυραµίδας. Μία πυραµίδα την ονοµάζουµε ανάλογα µε την µορφή του πολυγώνου της βάσης της Στο παραπάνω σχήµα η πρώτη είναι µία τριγωνική πυραµίδα ενώ η δεύτερη είναι µία τετραπλευρική πυραµίδα. Στην τριγωνική πυραµίδα οποιαδήποτε έδρα της µπορεί να θεωρηθεί σαν βάση γι αυτό την τριγωνική πυραµίδα την λέµε και τετράεδρο. Κ Ο. Κανονική πυραµίδα : Η πυραµίδα που η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η προβολή της κορυφής στη βάση είναι το κέντρο του πολυγώνου της βάσης.. Ιδιότητα της κανονικής πυραµίδας : Όλες οι παράπλευρες έδρες είναι ίσα ισοσκελή τρίγωνα. 4. πόστηµα κανονικής πυραµίδας : Ονοµάζεται το ύψος µιας οποιασδήποτε παράπλευρης έδρας 5. Εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας πυραµίδας Είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των τριγώνων της παράπλευρης επιφάνειας.
6. Εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας κανονικής πυραµίδας Ε παράπλευρης = 1 (περίµετρος βάσης) (απόστηµ 7. Εµβαδόν ολικής επιφάνειας πυραµίδας : Ε ολικό = Ε παράπλευρης + Ε βάσης 8. Όγκος πυραµίδας : Όγκος = 1 (εµβαδόν βάσης ) (ύψος) ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες Στο τετράεδρο όλες οι έδρες είναι τρίγωνα. Η πενταγωνική πυραµίδα έχει πέντε έδρες. γ) Η κανονική εξαγωνική πυραµίδα έχει παράπλευρες έδρες ισόπλευρα τρίγωνα. δ) εν υπάρχει κανονική πυραµίδα µε παράπλευρες έδρες σκαληνά τρίγωνα. ε) εν υπάρχει κανονική πυραµίδα µε βάση εικοσάγωνο. Σωστό, αφού στο τετράεδρο όλες οι έδρες είναι τρίγωνα. Λάθος, έχει πέντε παράπλευρες και την βάση δηλαδή έξη. γ) Λάθος, έχει παράπλευρες έδρες ισοσκελή τρίγωνα. Θεωρία 1-- δ) Σωστό, αφού στην κανονική πυραµίδα οι παράπλευρες έδρες είναι ισοσκελή τρίγωνα. ε) Λάθος, αφού υπάρχει κανονικό εικοσάγωνο.. Κανονική πενταγωνική πυραµίδα έχει πλευρά βάσης 8 m και απόστηµα 6 m. Να βρείτε την παράπλευρη ακµή το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ν είναι µία από τις παράπλευρες έδρες της πυραµίδας και το απόστηµα αυτής, τότε, από το ορθογώνιο τρίγωνο µε το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε = + = = 6 + 4 =5 άρα = 5 m Ε παράπλευρης = 1 (περίµετρος βάσης ) (απόστηµ = 1 5 8 6 = 10 m
. Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει πλευρά βάσης 10 m και απόστηµα 1 m. Να βρείτε Το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας Το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας γ) Τον όγκο της πυραµίδας O Ε παράπλευρης = 1 (περίµετρος βάσης ) (απόστηµ = = 1 4 10 1 = 40 m Ε βάσης = 10 = 100 m Ε ολικό = Ε π + Ε β = 40 + 100 = 40m γ) πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΗ έχουµε ότι ΟΚ = ΟΗ ΚΗ = = 1 5 = = 144 5 = = 119 άρα ΟΚ = 119 K Η Ο όγκος V είναι V = 1 ( εµβαδόν βάσης ) (ύψος) = = 1 10 119 = 100 119 m
4 4. Τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα αναφέρονται σε κανονική τετραγωνική πυραµίδα. Να τον συµπληρώσετε. Ύψος 84 cm 8 mm 1000 cm Πλευρά βάσης 8cm 10 mm 10 m πόστηµα 1dm 664 mm 10 dm Ε παράπλευρης 160 cm 40 664 mm 40 m Όγκος 64 84 cm 8,4cm 1000 m 1 η στήλη 1dm = 10cm Όπως στην άσκηση () βρίσκουµε ότι Ύψος ΟΚ = 84 cm Ε παράπλευρης = 1 (περίµετρος βάσης ) (απόστηµ = O K Η = 1 4 8 10 = 160 cm Όγκος = 1 (εµβαδόν βάσης ) (ύψος) = 1 8 84 = η στήλη 8,4cm = 8400 mm Ε βάσης = 10 = 14400 mm 64 84 cm. Όγκος = 1 1 ( εµβαδόν βάσης ) (ύψος) άρα 8400 = υ άρα υ = 8mm 14400 πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΗ της άσκησης () έχουµε ότι ΟΗ = ΟΚ + ΚΗ = 8 + 60 = 64 + 600 = 664 άρα ΟΗ = 664 mm Οπότε Ε παράπλευρης = 1 (περίµετρος βάσης ) (απόστηµ = = 1 4 10 664 = 40 664 mm η στήλη 1000cm = 10m, 10dm = 1m Έστω x η πλευρά της βάσης. Ο τύπος Ε παράπλευρης = 1 (περίµετρος βάσης ) (απόστηµ δίνει 40 = 1 4 x 1 απ όπου x = 10 m V = 1 (εµβαδόν βάσης) (ύψος) = 1 10 10 = 1000 m Συµπληρωµένος ο πίνακας φαίνεται παραπάνω. Τα κόκκινα είναι τα στοιχεία που λείπουν.
5 5. Κανονική οκταγωνική πυραµίδα έχει πλευρά βάσης 8 cm και παράπλευρη ακµή 1 cm. Να βρείτε το απόστηµα το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ν είναι µία από τις παράπλευρες έδρες της πυραµίδας και το απόστηµα αυτής, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο µε το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε = = = 1 4 = =18 άρα = 18 cm Ε παράπλευρης = 1 (περίµετρος βάσης) (απόστηµ = = 1 8 8 18 = 18 cm 6. Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει πλευρά βάσης 16 cm και παράπλευρη ακµή 17 cm. Να βρείτε το ύψος της πυραµίδας τον όγκο της πυραµίδας O πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΗ έχουµε ΟΗ = Ο Η = = 17 8 = = 5 άρα ΟΗ = 15 πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΗ έχουµε K Η ΟΚ = ΟΗ ΚΗ = = 15 8 = = 161 άρα ΟΚ = 161 cm Ο όγκος V της πυραµίδας είναι V = 1 ( εµβαδόν βάσης ) (ύψος) = 1 16 161 = 56 161 m
6 7. Κανονικού τετραέδρου όλες οι ακµές είναι ίσες µε 5cm η κάθε µία. Να βρείτε την ολική επιφάνεια του τετράεδρου. ν ο όγκος είναι 4,1 cm, να βρείτε το ύψος του τετραέδρου. ν είναι µία από τις έδρες του τετραέδρου και το απόστηµα αυτής, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο µε το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε = = = 5,5 = =18,75 άρα = 18,75 4,cm 5 4, Το εµβαδόν Ε της έδρας είναι Ε = = = 10, 85 cm και επειδή όλες οι έδρες είναι ίσες, η ολική επιφάνεια είναι Ε ολικό = 4 10,85 = = 4,cm Ο τύπος V = 1 ( εµβαδόν βάσης ) (ύψος) δίνει 4,1 = 1 10, 85 υ απ όπου υ 1,14 cm 8. Κανονική εξαγωνική πυραµίδα έχει πλευρά βάσης 1cm και παράπλευρη ακµή 10 cm. Να βρείτε το απόστηµα της πυραµίδας το Ε παράπλευρης Όπως στην άσκηση (7), το απόστηµα είναι = 8cm Ε παράπλευρης = 1 (περίµετρος βάσης ) (απόστηµ = 1 6 1 8 = 88cm
7 9. Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει απόστηµα ίσο µε τα 5 της πλευράς της βάσης 6 και το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας είναι 84cm. Να βρείτε την πλευρά της βάσης και τον όγκο της πυραµίδας. ν x είναι η πλευρά της βάσης τότε το απόστηµα είναι 5 6 x O πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΗ έχουµε ΟΚ = ΟΗ ΚΗ 5 = x 6 = 5 6 x x = x 4 = 16 6 x K Η Άρα ΟΚ = 4 6 x Ε βάσης = x και Ε παράπλευρο = 1 (περίµετρος βάσης ) (απόστηµ = = 1 4 x 5 6 x = 5 x Ε ολικό = 5 x + x = 8 x και από την υπόθεση 84 = 8 x άρα 4 Οπότε ύψος ΟΚ = = 8cm 6 1 x = 144 x = 1cm Ο όγκος V της πυραµίδας είναι V = 1 ( εµβαδόν βάσης ) (ύψος) = 1 1 8 = 84cm
8 10. πό τον διπλανό κύβο ακµής 10cm αφαιρέσαµε τις δύο πυραµίδες Ο και ΟΕΖΗΘ, όπου Ο το µέσο του ΚΛ. Να βρείτε τον όγκο και την επιφάνεια του στερεού που έµεινε. Ο όγκος V π κάθε µίας πυραµίδας που αφαιρέσαµε είναι V π = 1 (εµβαδόν βάσης ) (ύψος) = = 1 = 10 5 500 cm Ο όγκος V κ του κύβου είναι V κ =10 = 1000 cm Ο όγκος V υ του στερεού που µένει µετά την αφαίρεση είναι V υ = 1000 500 = 000 cm Η επιφάνεια του στερεού είναι ίση µε το άθροισµα των εµβαδών των τεσσάρων γύρω γύρω εδρών του κύβου συν το εµβαδόν του εσωτερικού του κύβου το οποίο είναι ίσο µε το εµβαδό των δύο παραπλεύρων εδρών των πυραµίδων που αφαιρέσαµε. Ε τεσσάρων εδρών του κύβου = 4 10 = 400 cm Κάθε παράπλευρη ακµή µιας πυραµίδας που αφαιρέσαµε είναι ίση µε το µισό της διαγωνίου του κύβου. Επειδή η διαγώνιος δ του κύβου είναι ίση µε δ = 00 = 10 (δες την άσκηση 11 του 4.) η παράπλευρη ακµή είναι ίση µε 10 = 5 ν ΟΜ είναι το απόστηµα της παράπλευρης έδρας Ο Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΜ έχουµε ότι ΟΜ = Ο Μ =( 5 ) 5 =50 άρα ΟΜ = 50 = 5 τότε Ο Ε παράπλευρης πυραµίδας = 1 (περίµετρος βάσης ) (απόστηµ = Μ = 1 4 10 5 = 100 cm Το εσωτερικό του κύβου έχει εµβαδόν 100 = 00 cm Τελικά η επιφάνεια του στερεού που αποµένει έχει εµβαδόν Ε στ = 400 + 00 cm