= 5 2cm. 1 64, = ,6 cm

Transcript

1 8. α) V ( +β + β ) Θ Η cm β 0.00 cm Ε Ζ β cm Υπολογισµός το πό το Ζ φέροµε κάθετη ΖΛ πάνω στη βάση η οποία τέµνει την Κ στο σηµείο Λ. Θα είναι Λ Κ - ΚΛ ή 70 Λ cm πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΖΛ έχοµε: Κ Λ ΖΛ Ζ - Λ 45 - (5 ) cm Άρα ΖΛ 4, cm V 4, ( ) 4, , cm 05

2 9. Η διαφορά το όγκο είναι ( + β) - ( + β + β) [ ( + β) - ( + β + β)] ( - β + β) ( - β ) > 0. Άρα > 0. Ο εργολάβος αδίκησε τον ιδιοκτήτη κατά ( - β ) (, - 0, ) (, - 0,) m. Ο εργολάβος χρέωνε παραπάνω m µπετόν σε κάθε πέλµα. 0. α) V Eβ m β) Η πέτρα πο χρειάστηκε είναι χιλιοστά το όγκο της πραµίδας, δηλαδή 0, m γ) Είναι t περίπο. ν R είναι η ακτίνα της βάσης και το ύψος το κλίνδρο, τότε η παράπλερη επιφάνεια το πρίσµατος έχει εµβαδό Ε π λ R. Άρα R, δηλαδή R. Το εµβαδό Ε π της παράπλερης επιφάνειας το κλίνδρο θα είναι Ε π πr π. + R. Έχοµε + ή R R ή R ( + R) V πr, ο όγκος το κλίνδρο. Ε πr ( + R), η ολική επιφάνεια το κλίνδρο. V πr Άρα E πr ( + R) πr ( + R) πr ( + R) 0

3 . α) Ε ολ Ε π + Ε β Ε π πr R δ 0 R 5 cm Ε π, cm Ε β πr,4 5 78,5 cm Ε ολ , cm β) V πr,4 5 0, cm 4. α) Ο αρχικός κύλινδρος έχει R cm και 5 cm και ατός πο αφαιρούµε R,5 cm και 5 cm. Το στερεό πο απέµεινε έχει όγκο V V - V πr - πr ή V π (R - R ) ή V π ( -,5 ) 5 8,75π 7,475 cm και εποµένως το βάρος το είναι 7,475 7,4 0, gr R R Κ Κ β) E E + + (E - ) ή π E π β E β E π (R + R ) + π (R - R ) π (R + R ) ( + R - R ) ή Ε π ( +,5) (5 + -,5) 8,5 π cm ή Ε 0,89 cm 5. α) Θα βρούµε πρώτα τον όγκο V, V των κλίνδρων. πό τον όγκο 0 V π ( ) π mm 5,π cm το εξωτερικού κλίνδρο θα αφαιρέσοµε 0 τον όγκο V π ( ) 8,π cm το εσωτερικού. Είναι V 5,π -,π 8,9π 59,4 cm 0 mm 0 mm 07

4 Άρα το βάρος το εξαρτήµατος είναι 7,8 59,4 4,4 gr β) Η επιφάνεια το εξαρτήµατος αποτελείται από τις κρτές επιφάνειες των δύο κλίνδρων και από τις επιφάνειες των βάσεών το πο είναι σαν της διατοµής. Άρα Ε ολ π π 8 + π ( ) 0 - π ( ) 80π + 840π + 800π -450π 870π mm 8,7π cm,58 cm. Το µήκος το σωλήνα είναι cm και η ακτίνα το cm. Oπότε Ε πρ, cm Εποµένως τα (00-5)% 95% της ταινίας είναι 9400 cm και αν x cm 95 είναι όλη η ταινία τότε x ,95x 9400, x 9400, x cm, x 9,958 0 m 0,95 7. α) Ε ολ πr (h + R) ή 9,4 π (h + ) ή τελικά h (περίπο) β) h - R ή ή γ) Ε π πrh,4,8 m (περίπο) δ) V πr,4,8 m h (περίπο) R 08

5 8. Το εµβαδό το ισοπλεύρο τριγώνο είναι α. Άρα 4 α 9 ή 4 α m. Η ακτίνα το κύκλο το εγγεγραµµένο σε ισόπλερο τρίγωνο πλεράς α είναι ίση µε R το κώνο είναι Ε β π ( α άρα R. Το εµβαδό της βάσης ) π m. Το ύψος το κώνο είναι m, άρα ο όγκος V το κώνο θα είναι V π π 8,84 m. 9. α) ν R η ακτίνα της βάσης το κώνο, τότε η περίµετρος της βάσης είναι πr. Άρα πr π ή R m h OA R ή h R m Κ 0 h h - R - 7 m 5,9 m Ε π πrh 5,5 m O R β) V πr 48,88 m 0 A 40. Ε πr (h + R) ή 8 πr ( + R) ή πr + πr ή,4r +,8 R ή R 0,88 cm V πr,4 (0,88), m. 09

6 4. α) Ε π πrh ή 5,5,4 R 8 ή R β) h - R 5,5 5,5 0 dm dm h γ) V πr, dm 4. V κλ πr και επειδή R θα είναι V κλ πr R πr R V σφ 4 πr Η ολική επιφάνεια το κλίνδρο είναι Ε κλ πr + πr πr R + πr 4πR + πr πr R R R Ε σφ 4πR Θα έχοµε λοιπόν: V V κλ σφ πr 4 πr 4 4 E E κλ σφ V πr. Εποµένως κλ 4πR 4 Vσφ E E κλ σφ. 4. ν V, V, V οι όγκοι των σφαιρών πο προκύπτον µε περιστροφή των ηµικκλίων διαµέτρων,, αντίστοιχα, τότε ο ζητούµενος όγκος είναι A V V - V - V π - π - π π [(α) - (α) - α ] π8α πα 0

7 44. V κων πρ α µε V 00π cm ρ α cm και ρ η ακτίνα της βάσης το κώνο, πο είναι και ακτίνα της επίπεδης τοµής της σφαίρας. Ο τύπος το όγκο δίνει ρ V απ R α Κ R ρ + α. Άρα R V + α ή απ R 00π cm ή R cm π 45. α) ν A είναι η προβολή το πάνω στη, τότε V π + + π π ( + ) π π π β) Ε + Ε π + π π α (β +γ) π 5 55π, αφού β + γ 0 - α 4. α) Είναι R 0 cm και ρ 8 cm. Τότε R + ρ 8 cm. Επειδή ΟΟ cm είναι R + ρ > ΟΟ και R - ρ < ΟΟ. Άρα οι σφαίρες τέµνονται κατά κύκλο, το οποίο το επίπεδο είναι κάθετο στην ΟΟ Ο Ο στο σηµείο, το οποίο είναι και το κέντρο της τοµής. Το εµβαδό ατού το κύκλο είναι π. β) Θα πολογίσοµε την ακτίνα. νωρίζοµε τις πλερές το τριγώνο ΟΟ εποµένως το εµβαδό το είναι:

8 Ε τ (τ - α) (τ - β) (τ - γ) cm. λλά OO Ε, ώστε 5 7 και Το εµβαδό το κύκλο τοµής είναι π 5 7 π π cm. cm.

9 R 47. δ α ή R α ή α δ α (R) R 4R 4R 48. Η διάµετρος R της σφαίρας της εγγεγραµµένης στον κύβο είναι ίση µε την α ακµή το α, δηλαδή R α ή R. H επιφάνεια της εγγεγραµµένης σφαίρας είναι ίση µε 4π α πα. Η διάµετρος της σφαίρας της περιγεγραµµένης περί τον κύβο ακµής α είναι ίση µε τη διαγώνιο το κύβο, δηλαδή µε α και εποµένως το εµβαδό της περιγεγραµµένης σφαίρας είναι 4π α πα. Η διαφορά των επιφανειών είναι πα - πα πα. 49. Ε 4πR πr ή 4π R E π E π ή 7,85π 4,9 m 50. 4π π. ν R είναι η ακτίνα της σφαίρας µε διπλάσια επιφάνεια το εµβαδό της θα είναι 4πR. Άρα 4 πr π ή R 8 άρα R,8 m. 5. Ε 4πR, πr, R, E 4π π 4π π

10 5. α) V V + V π + π π ( + ) π. Επειδή B 0 είναι A 0 ή cm και AB - B cm, οπότε Άρα + ( + ) cm, οπότε A - cm. V π ( + ) 8π ( + ) cm β) Ε + Ε π + π π ( + ) π 0 0π cm 4