EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΚΗΣ V ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ (Μέρος ΙΙ) Μ. Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ 003

i ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7. ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΕ ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΦΟΡΤΙA... 7. Γενικές αρχές και παραδοχές αντισεισµικού σχεδιασµού µε «ισοδύναµη» στατική ελαστική ανάλυση... 7. Μέθοδοι αντισεισµικού σχεδιασµού µε την «ισοδύναµη» στατική ελαστική ανάλυση... 4 7.. υναµική φασµατική µέθοδος... 4 7.. Απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος.... 8 7.3Μέθοδοι αποτίµησης της σεισµικής συµπεριφορας κτηρίων... 8 7.3. Μέθοδος της φασµατικής ικανότητας..... 9 8. ΥΠΕΡΩΘΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (PUSH-OVER ANALYSIS) ΦΟΡΕΩΝ... 8 8. Προσοµοίωση των οριζόντιων φορτίων...8 8.. Οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής αναλογίας....8 8.. Οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µεταβαλλόµενης αναλογίας... 8..3 Οριζόντια φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής ή µεταβαλλόµενης αναλογίας... 8. Στατική Υπερωθητική Ανάλυση...3 8.. ΣΥΑ µε γραµµικοποιηµένη οριακή ανάλυση.....4 8.. ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση....5

ii 9. ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΛΑΙΣΙΑΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΗ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ...35 9. Κατανεµηµένη πλαστικότητα µε πολυστρωµατική θεώρηση...36 9.. Προσαυξητική-επαναληπτική µέθοδος κατανεµηµένης πλαστικότητας µε πολυστρωµατική θεώρηση...37 9.. Υπολογισµός επικόµβιων εσωτερικών δράσεων...40 9..3 Εφαπτοµενικό µητρώο στιβαρότητας...44 9. Κατανεµηµένη πλαστικότητα µε ισοδύναµο ελαστικό κόµβο...53 9.. Μητρώο στιβαρότητας στοιχείου µε στροφικά ελατήρια...53 9.. Μετελαστική ανάλυση µε ισοδύναµο ελαστικό κόµβο...56 9..3 Υπερωθητική ανάλυση µε ισοδύναµο ελαστικό κόµβο.....6

7 ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΕ ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 7. Γενικές αρχές και παραδοχές αντισεισµικού σχεδιασµού µε «ισοδύναµη» στατική ελαστική ανάλυση Για τον υπολογισµό της σεισµικής απόκρισης µιας κατασκευής απαιτείται η επίλυση των δυναµικών εξισώσεων ισορροπίας η οποία µπορεί να γίνει είτε µε τη µέθοδο της επαλληλίας των ιδιοµορφών (mode superposition method), είτε µε την άµεση χρονική ολοκλήρωση των δυναµικών εξισώσεων ισορροπίας (direct integration method). Με δεδοµένη την εξωτερική φόρτιση ενός συγκεκριµένου σεισµού υπολογίζονται τα εντατικά και µετατοπισιακά/παραµορφωσιακά µεγέθη της κατασκευής σε κάθε χρονική στιγµή του σεισµικού συµβάντος. Όταν όµως καλούµαστε να κάνουµε σχεδιασµό, δηλαδή να επιλέξουµε τις διατοµές του φορέα ώστε να αντέχει στα φορτία που αναµένεται να παραλάβει, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη όλους τους πιθανούς σεισµούς οι οποίοι ενδέχεται να πλήξουν την κατασκευή κατά τη διάρκεια της ζωής της. Με δεδοµένη την αδυναµία πρόβλεψης µε την απαιτούµενη ακρίβεια των χαρακτηριστικών µελλοντικών σεισµών το όλο πρόβληµα αντιµετωπίζεται µε πιθανοτικές θεωρήσεις οι οποίες βρίσκονται σε ερευνητικό στάδιο και δεν έχουν ακόµη χρησιµοποιηθεί από τη διεθνή επιστηµονική κοινότητα των µηχανικών ως εργαλείο σχεδιασµού για συνήθεις κατασκευές. Προς την κατεύθυση της πλήρους πιθανοτικής θεώρησης χωρίς ουσιώδεις παραδοχές έχει παρουσιαστεί πρόσφατα µία µέθοδος βέλτιστου σχεδιασµού κατασκευών σε σεισµικά φορτία όπου λαµβάνεται υπόψη τόσο ο τυχηµατικός χαρακτήρας της σεισµικής διέγερσης όσο και η µη γραµµική συµπεριφορά της κατασκευής σε οριακές καταστάσεις φορτίσεως. Η µέθοδος αυτή έχει υψηλή αξιοπιστία διότι ελαχιστοποιεί τις όποιες παραδοχές ως προς το είδος της σεισµικής φόρτισης και την απόκριση της κατασκευής εξακολουθεί όµως να είναι υπολογιστικά χρονοβόρα και να απαιτεί τη χρήση προηγµένων υπολογιστικών µεθόδων επιλύσεως των χαρακτηριστικών εξισώσεων της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων. Με δεδοµένες τις παραπάνω αδυναµίες, οι αντισεισµικοί κανονισµοί, µεταξύ των οποίων και ο Ελληνικός Αντισεισµικός Κανονισµός (ΕΑΚ 000), έχουν θεσπίσει απλοποιητικές µεθόδους για τόν αντισεισµικό σχεδιασµό κατασκευών, οι οποίες δεν απαιτούν πλήρη δυναµική ανάλυση της κατασκευής και δεν λαµβάνουν υπόψη ευθέως την επιρροή των µη γραµµικοτήτων της γεωµετρίας και του υλικού. Οι µέθοδοι αυτές βασίζονται σε απλοποιητικές παραδοχές, που ισχύουν κατά κανόνα σε συµβατικές κατασκευές κανονικού τύπου χωρίς σηµαντικές ιδιαιτερότητες των δυναµικών τους χαρακτηριστικών, και οι οποίες καταλήγουν σε µία «ισοδύναµη» στατική ελαστική ανάλυση αντί της πλήρους δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης. Πεδίο εφαρµογής αυτών των απλοποιητικών µεθόδων είναι ο αντισεισµικός N. Lagaros, Y. Tsompanais, M. Papadraais, Optimum design of structures with inelastic behavior under seismic loading, V. European Conference on Structural Dynamics, Munich, 00.

σχεδιασµός κτηριακών κυρίως κατασκευών των οποίων η σεισµική απόκριση προκαλεί µη-γραµµικότητες του υλικού και περιορισµένες γεωµετρικές µη γραµµικότητες, ενώ περιγράφεται ικανοποιητικά από την πρώτη τους ιδιοµορφή. Η ισοδύναµη στατική ελαστική ανάλυση βασίζεται στην παρακάτω παραδοχή: Η κατασκευή θεωρείται ως ένα ιδεατό ελαστικό σύστηµα του οποίου η µέγιστη απόκριση υπολογίζεται από το ελαστικό φάσµα απόκρισης (φάσµα σχεδιασµού µε q=). H σεισµική φόρτιση σχεδιασµού της κατασκευής P d λαµβάνεται ίση προς Pd = P e /q, όπου P e είναι η µέγιστη σεισµική φόρτιση που θα παραλάβει η κατασκευή και q είναι ο συντελεστής συµπεριφοράς. Θεωρείται δηλαδή ότι η κατασκευή µπορεί να σχεδιαστεί µε µικρότερη φόρτιση, από εκείνη που αναµένεται να παραλάβει, λόγω της δυνατότητάς της να παραµορφωθεί αρκετά πέραν της ελαστικής περιοχής χωρίς να καταρρεύσει. Ο συντελεστής συµπεριφοράς q εκφράζει την ικανότητα της κατασκευής να απορροφά ενέργεια µε πλαστική συµπεριφορά χωρίς να µειώνεται δραστικά η αντοχή της. Στους αντισεισµικούς κανονισµούς ο δείκτης συµπεριφοράς ορίζεται µε ενιαία τιµή για ολόκληρο το κτήριο και καθορίζεται εµπειρικά µε βάση τις βλάβες που έχουν παρατηρηθεί σε κτήρια έπειτα από καταστρεπτικούς σεισµούς. Η τιµή του q εξαρτάται από τον τρόπο ανάπτυξης των µετελαστικών περιοχών, τον βαθµό υπερστατικότητας, την υστερητική και ιξώδη απόσβεση, καθώς και από άλλα χαρακτηριστικά της κατασκευής. Στο προσεχές µέλλον, µε τις ακριβέστερες προσοµοιώσεις των κατασκευών µε µη γραµµικά πεπερασµένα στοιχεία σε συνδυασµό µε τη χρήση προηγµένων υπλογιστικών µεθόδων επιλύσεως των δυναµικών προβληµάτων, θα καταστεί δυνατός ο υπολογισµός του πραγµατικού δείκτη συµπεριφοράς για οποιαδήποτε κτηριακή κατασκευή χωρίς περιορισµούς στη µορφή και το είδος της. Μία ποσοτική εκτίµηση του δείκτη συµπεριφοράς q δίνεται από τις σχέσεις q P P P = e e u q q d 0 P = y Pu P = (7.) y P U P U q, q e e u u = = = = (7. α,β) d 0 Pu Uu Py Uy όπου Py και P u είναι τα φορτία που αντιστοιχούν στο τέλος της ελαστικής συµπεριφοράς και στο οριακό φορτίο καταρρεύσεως, ενώ U y, U e και U u είναι οι µετατοπίσεις της κορυφής του κτηρίου που αντιστοιχούν στα φορτία P y, P e και P u, αντίστοιχα.

3 Σχήµα 7. Πραγµατική µη γραµµική και ιδεατή γραµµικώς-ελαστική καµπύλη φορτίου- µετατόπισης. (α) Εύκαµπτο κτήριο, (β) δύσκαµπτο κτήριο Σε εύκαµπτα συστήµατα µε θεµελιώδη ιδιοπερίοδο T > 0.6s έχει παρατηρηθεί ότι ισχύει Uu Ue (βλ. σχήµα 7.α), οπότε ο συντελεστής συµπεριφοράς δίνεται από τη σχέση: q= q 0 (7.3) Για πιο δύσκαµπτα συστήµατα (0.s < T < 0.6 s) οι µετελαστικές µετατοπίσεις είναι µεγαλύτερες από τις ελαστικές (βλ. σχήµα 7.β). Η εµπειρική σχέση που συνδέει τις δύο αυτές χαρακτηριστικές µετατοπίσεις βασίζεται στην αρχή των ίσων ενεργειών (βλ. γραµµοσκιασµένες περιοχές του σχήµατος 7.β) και έχει τη µορφή: µ U Uu = U e, µ= µ U u s (7.4 α,β) και q= q µ < q q (7.5) 0 d 0 όπου µ είναι ο δείκτης πλαστιµότητας ως προς τις µετατοπίσεις και ελαστική µετατόπιση που αντιστοιχεί στο οριακό φορτίο P u. U s είναι η

4 Για τον υπολογισµό των «πραγµατικών» (µετελαστικών) µετατοπίσεων του συστήµατος, οι µετακινήσεις που προκύπτουν από την ισοδύναµη γραµµική ελαστική ανάλυση µε τη σεισµική δράση σχεδιασµού θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν µε τον αντίστοιχο συντελεστή συµπεριφοράς q. 7. Μέθοδοι αντισεισµικού σχεδιασµού µε την «ισοδύναµη» στατική ελαστική ανάλυση Από τον ΕΑΚ προβλέπεται η εφαρµογή δύο προσεγγιστικών µεθόδων για τον αντισεισµικό σχεδιασµό µε την ισοδύναµη στατική ελαστική ανάλυση: (i) Η (δυναµική) φασµατική µέθοδος, (ii) η απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος, γνωστή και ως ισοδύναµη στατική µέθοδος από παλαιότερες εκδόσεις του ΕΑΚ. Η απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος στηρίζεται σε προσεγγιστική θεώρηση της θεµελιώδους µόνο ιδιοµορφής, ενώ η δυναµική φασµατική µέθοδος απαιτεί τον υπολογισµό ικανού αριθµού ιδιοµορφών του συστήµατος. Η µέγιστη σεισµική απόκριση που αντιστοιχεί στη θεµελιώδη ιδιοµορφή υπολογίζεται µετά τον υπολογισµό της µέγιστης σεισµικής επιτάχυνσης από το φάσµα σχεδιασµού, ενώ για τη δυναµική φασµατική µέθοδο η µέγιστη συνολική απόκριση υπολογίζεται µε την τετραγωνική επαλληλία των µέγιστων αποκρίσεων που αντιστοιχούν σε όλες τις ιδιοµορφές που εξετάζονται. 7.. ( υναµική) φασµατική µέθοδος Η δυναµική φασµατική µέθοδος ανάλυσης είναι µια απλοποιηµένη µέθοδος επαλληλίας των ιδιοµορών η οποία βασίζεται στην αποφυγή του υπολογισµού των χρονοϊστοριών που απαιτούνται τόσο µε τη µέθοδο της επαλληλίας των ιδιοµορφών, όσο και µε την άµεση χρονική ολοκλήρωση των δυναµικών εξισώσεων κινήσεως. Μέθοδος επαλληλίας ιδιοµορφών Σύµφωνα µε τη µέθοδο της επαλληλίας των ιδιοµορφών η δυναµική εξίσωση ισορροπίας µετασχηµατίζεται στην όπου [M]{U(t)} + [C]{U(t)} + [K]{U(t)} = {P(t)} (7.6) [M]{X(t)} + [C]{X(t)} + [K]{X(t)} = {P(t)} (7.7)

5 {U(t)} = [ Φ ]{X(t)} (7.8) T T [M] [ ] [M][ ], [C] [ ] [C][ ] =Φ Φ =Φ Φ (7.9 α,β) { } T T [K] [ ] [K][ ], {P(t)} [ ] P(t) =Φ Φ =Φ (7.0α,β) τα µητρώα [Μ], [C], [K] είναι τα (Ν N) µητρώα µάζας, απόσβεσης, στιβαρότητας, αντίστοιχα, και {P(t)} είναι το διάνυσµα εξωτερικής φόρτισης της κατασκευής. Το µητρώο [Φ] είναι ένα µητρώο µετασχηµατισµού το οποίο στην περίπτωση της µεθόδου της επαλληλίας την ιδιοµορφών ισούται µε το µητρώο των ιδιοµορφών του προβλήµατος των ιδιοτιµών: µε [K]{ ϕ } =ω [ Μ]{ ϕ }, i =, N (7.) i i i [ Φ ] = [{ ϕ}{ ϕ}...{ ϕn}] (7.3) ω [ ω Ω ] = ω N (7.5) T Λαµβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες ορθογωνικότητας j [ ] T { ϕ }[ K ]{ ϕ } = 0 για j i j i µετασχηµατίζονται ως εξής: { ϕ } M { ϕ } = 0, και, των ιδιοµορφών, οι σχέσεις (7.9α) και (7.0α) i [M] = m m [K], = m N N (7.α,β) όπου [ ] m = { ϕ } M { ϕ }, =ω m (7.5α,β) T j j j j j j Στην περίπτωση της µηδενικής απόσβεσης η µητρωική εξίσωση (7.7) εκφυλίζεται σε Ν ασύζευκτες βαθµωτές εξισώσεις της µορφής

6 µε T {P(t)} x(t) j +ω jx(t) j = { ϕ j}, j=,n (7.6) m T { X(t) } [ x (t) x (t)... x (t)] N j = (7.7) οι οποίες µπορούν να επιλυθούν είτε µε κάποια µέθοδο αριθµητικής ολοκλήρωσης δυναµικών εξισώσεων, είτε µε χρήση του ολοκληρώµατος Duhamel. Η χρονοϊστορία του τελικού διανύσµατος των µετατοπίσεων προκύπτει από τη σχέση {U(t)} = [ Φ ]{X(t)} (7.8) Φασµατική µέθοδος Στη (δυναµική) φασµατική µέθοδο, για την αποφυγή της χρονοβόρας διαδικασίας ευρέσεως των χρονοϊστοριών των ανεξάρτητων βαθµωτών εξισώσεων κινήσεως (7.6), υπολογίζονται οι φασµατικές τιµές { Ui, max} των αποκρίσεων των µετατοπίσεων που αντιστοιχούν σε κάθε µία ιδιοµορφή. Στη συνέχεια υπογίζεται µία προσέγγιση της µέγιστης απόκρισης του φορέα. Η πλέον συνήθης µέθοδος υπολογισµού της µέγιστης απόκρισης είναι η τετραγωνική ρίζα του αθροίσµατος των τετραγώνων (Square Root of the Sum of the Squares-SRSS): max,max,max N,max {U } = [{U } + {U } +... + {U } ] (7.9) η οποία ισχύει όταν οι ιδιοπερίοδοι του συστήµατος δεν έχουν κοντινές τιµές. Η (δυναµική) φασµατική µέθοδος ακολουθεί παρακάτω βήµατα: Βήµα : Υπολογισµός m<< N ιδιοµορφών και ιδιοδιανυσµάτων του προβλήµατος ιδιοτιµών [K]{ ϕ } =ω [M]{ ϕ }, i =, m (7.0) i i i ω ω [Ω m ]=, [Φ m ]=[{ }{ }...{ m }] ϕ ϕ ϕ ω m (7. α,β) Το πλήθος m την απαιτούµενων ιδιοµορφών καθορίζεται εµµέσως στο βήµα 6. Βήµα : Υπολογισµός των γενικευµένων µαζών κάθε ιδιοµορφής

7 m = { ϕ } [M]{ ϕ }, j=, m (7.) T j j j Βήµα 3: Υπολογισµός του συντελεστή L j T L j { j} [M]{r} = ϕ (7.3) όπου το διάνυσµα {r} είναι το στατικό διάνυσµα επιρροής και δίνεται από το διάνυσµα των µετατοπίσεων του φορέα για µοναδιαία µετατόπιση του εδάφους κατά τη διεύθυνση του σεισµού. Βήµα 4: Υπολογισµός του συντελεστή συµµετοχής της κάθε ιδιοµορφής L j j = m j Γ (7.4) Βήµα 5: Υπολογισµός της δρώσας µάζας της κάθε ιδιοµορφής eff j L j m j m = (7.5) Βήµα 6: Υπολογισµός των < m<< N σηµαντικών ιδιοµορφών j= m eff j δ m tot (7.6) όπου m tot είναι η συνολική ταλαντούµενη µάζα του συστήµατος και ο συντελεστής δ καθορίζει το ποσοστό της συνολικής µάζας που πρέπει να καλύπτεται από τις δρώσες µάζες των ιδιοµορφών και ο οποίος κυµαίνεται γύρω στο 90%.

8 Σχήµα 7. Φάσµατα απόκρισης για διαφορετικές κατηγορίες εδαφών Βήµα 7: Υπολογισµός της φασµατικής επιτάχυνσης S a(tj ) από το φάσµα απόκρισης που αντιστοιχεί στη j ιδιοµορφή µε ιδιοπερίοδο T j (βλ. Σχήµα 7.). Βήµα 8: Υπολογισµός του µέγιστου διανύσµατος µετατοπίσεων του φορέα που αντιστοιχεί στη j ιδιοµορφή Sa(T ) {U } =Γ { ϕ} j j,max j j ωj (7.7) Βήµα 9: Υπολογισµός του τελικού διανύσµατος της µετατόπισης µέσω της επαλληλίας SRSS {U } = [{U } + {U } + + {U } ] (7.8) / max i,max,max,max Από το τελικό διάνυσµα { U max } της απόκρισης θα υπολογιστούν τα εντατικά µεγέθη των µελών του φορέα και στη συνέχεια θα γίνει η επιλογή των κατάλληλων διατοµών. 7.. Απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος Η απλοποιηµένη φασµατική µέθοδος προκύπτει από τη (δυναµική) φασµατική µέθοδο εάν θεωρήσουµε τη θεµελιώδη µόνο ιδιοµορφή ( = ) µε m = mtot. Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µία γραµµική προσέγγιση της θεµελειώδους ιδιοµορφής. Τα αποτελέσµατα της απλοποιηµένης φασµατικής µεθόδου πλησιάζουν εκείνα της δυναµικής φασµατικής µεθόδου όταν η δυναµική απόκριση της κατασκευής κυριαρχείται από την πρώτη ιδιοµορφή.

9 7.3 Μέθοδοι αποτίµησης της σεισµικής συµπεριφορας κτηρίων Προκείµενου να γίνει η αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς ενος κτηρίου που σχεδιαστηκε σύµφωνα µε τους κανονισµούς, εφαρµόζονται µέθοδοι υπολογισµού της µετελαστικής του συµπεριφοράς. Οι µέθοδοι αυτές έχουν έως τώρα εφαρµοστεί για την αποτίµηση της φέρουσας ικανότητας υπαρχόντων κατασκευών και τον έλεγχο των παραδοχών που έγιναν κατά τον σχεδιασµό τους. Μπορεί όµως να αποτελέσουν και µεθόδους ανάλυσης πάνω στις οποίες θα βασιστεί ένας αλγόριθµος αυτόµατου σχεδιασµού µε ταυτόχρονη ικανοποίηση των κριτηρίων αντοχής και λειτουργικότητας που ορίζουν οι κανονισµοί. Οι µέθοδοι αποτίµησης της σεισµικής συµπεριφοράς διακρίνονται σε στατικές και δυναµικές ανάλογα µε τον τρόπο επιβολής της διέγερσης. Στη Στατική Υπερωθητική Ανάλυση (ΣΥΑ) (static push-over) το αποτέλεσµα της σεισµικής δράσης προσοµοιώνεται µε στατικά επιβαλλόµενες µετατοπίσεις ή στατικά φορτία σταδιακά αυξανόµενα µέχρι την κατάρρευση. Ενώ στη Προσαυξητική υναµική Ανάλυση (Π Α) (incremental dynamic analysis) επιβάλλονται σεισµικές δράσεις η ένταση των οποίων αυξάνεται σταδιακά µέχρι την κατάρρευση. Ο πλέον αξιόπιστος έλεγχος της σεισµικής συµπεριφοράς των κτηρίων µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε τον ακριβή υπολογισµό των µετελαστικών παραµορφώσεων και εντατικών µεγεθών για ένα σύνολο σεισµικών διεγέρσεων που είναι πιθανό να πλήξουν την κατασκευή. Ο υπολογισµός αυτός είναι εφικτός µόνο µε τη διενέργεια του ανελαστικού δυναµικού υπολογισµού µε την άµεση χρονική ολοκλήρωση των δυναµικών εξισώσεων κινήσεως. Ένας τέτοιος υπολογισµός εξακολουθεί να έχει µεγάλες απαιτήσεις υπολογιστικής ισχύος ακόµη και για συνήθεις κατασκευές, παρά τη ραγδαία βελτίωση της ταχύτητας των Η/Υ. Επιπρόσθετα προσκρούει σε προβλήµατα προσοµοίωσης της µετελαστικής ανακυκλικής συµπεριφοράς των µελών της κατασκευής η οποία βρίσκεται στο στάδιο της διερεύνησης και της πειραµατικής επαλήθευσης. Οι αντισεισµικοί κανονισµοί, µεταξύ των οποίων και ο ΕΑΚ, επιτρέπουν τον σχεδιασµό των κατασκευών µε ισοδύναµες ελαστικές αναλύσεις επειδή ο σχεδιασµός µε σεισµικά φορτία και δυναµική µη γραµµική ανάλυση της κατασκευής είναι πολύπλοκος και απαιτεί υπερβολικό υπολογιστικό χρόνο ακόµα και για συνήθεις κατασκευές. Για τον λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί προσεγγιστικές µέθοδοι αποτίµησης-ελέγχου της σεισµικής συµπεριφοράς των κτηρίων οι οποίες µετατρέπουν το ανελαστικό δυναµικό πρόβληµα σε ανελαστικό στατικό µέσω των οποίων υπολογίζονται χαρακτηριστικές παράµετροι της απόκρισης της κατασκευής (µετακινήσεις, στροφές, εντατικά µεγέθη, κλπ). Οι τιµές των χαρακτηριστικών παραµέτρων, όπως υπολογίζονται από τις αναλύσεις αυτές, αντιστοιχούν στις M. Papadraais, N. Lagaros, V. Plevris, Optimum design of space frames under seismic loading, International Journal of Structural Stability and Dynamics, 00

0 διατιθέµενες τιµές της κατασκευής οι οποίες συγκρίνονται µε τις απαιτούµενες τιµές που προκύπτουν λογιστικά µέσω των κανονιστικών διατάξεων. ύο προσεγγιστικές µέθοδοι µε ευρεία αποδοχή, οι οποίες βασίζονται στη στατική υπερωθητική ανάλυση, είναι η µέθοδος της σεισµικής αποτίµησης και σχεδιαµού µε επιβολή µετατοπίσεων (displacement-based seismic design method) και η µέθοδος της φασµατικής ικανότητας (capacity spectrum method) µε επιβολή δυνάµεων. Η µέθοδος της φασµατικής ικανότητας θεωρείται ότι είναι πιο κοντά στη δυναµική ανάλυση στην οποία επιβάλλονται αδρανειακές δυνάµεις και έχει υιοθετηθεί από τους αµερικάνικους κανονισµούς ATC-40 και FEMA 73. Η µέθοδος αυτή παρουσιάζεται αναλυτικά στη συνέχεια. 7.. Μέθοδος της φασµατικής ικανότητας Σκοπός της µεθόδου της φασµατικής ικανότητας είναι η σύγκριση της διατιθέµενης αντοχής της κατασκευής, η οποία εκφράζεται από την καµπύλη φορτίου-µετατόπισης P-U, µε την απαιτούµενη αντοχή, η οποία προκύπτει από το φάσµα σχεδιασµού. Προκειµένου να γίνει η σύγκριση αυτών των δύο χαρακτηριστικών αντοχών πρέπει τόσο η καµπύλη P-U όσο και το φάσµα σχεδιασµού να µετατραπούν στο διάγραµµα των φασµατικών συνταταγµένων Sa- Sd. Σχήµα 7.3 (α) Παραµόρφωση κτηρίου, (β) καµπύλη συµπεριφοράς ή καµπύλη ικανότητας (ΣΥΑ P-U) Η µέθοδος της φασµατικής ικανότητας συνοψίζεται στα παρακάτω βήµατα: Βήµα : Ανάλυση και διαστασιολόγηση του φορέα και εκτέλεση της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης (ΣΥΑ).

Μετά τη διαστασιολόγηση του φορέα, εφόσον προκειται για νέα κατασκευή, εκτελείται η στατική υπερωθητική ανάλυση µε µία από τις µεθόδους που αναπτύσσονται στο κεφάλαιο 5 του Α τεύχους και στο κεφάλαιο 8 του παρόντος τεύχους. Με τη ΣΥΑ υπολογίζεται και σχεδιάζεται η καµπύλη συµπεριφοράς ή καµπύλη ΣΥΑ P-U ή καµπύλης ικανότητας (capacity curve) του κτηρίου, όπου P=V b είναι η τέµνουσα βάσης και U είναι συνήθως η οριζόντια µετακίνηση της κορυφής του κτηρίου (βλ. σχήµα 7.3). Μέσα από αυτή την ανάλυση είναι δυνατή η εύρεση του µηχανισµού καταρρεύσεως του φορέα για µονοτονική στατική φόρτιση µε ταυτόχρονη δράση των κατακόρυφων φορτίων και των σταδιακά αυξανόµενων οριζόντιων φορτίων, που προσοµοιώνουν τα σεισµικά, και η εκτίµηση του δείκτη πλαστιµότητας των µετατοπίσεων του φορέα. Βήµα : Ορισµός ισοδύναµου Ιδεατού Μονοβάθµιου Συστήµατος (ΙΜΣ) - Καµπύλη ικανότητας φάσµατος. Στο βήµα αυτό µετατρέπεται η καµπύλη ικανότητας ενός πολυβάθµιου κτηρίου (µε n ορόφους και ndf (number of degrees of freedom) βαθµούς ελευθερίας) στην καµπύλη φασµατικής συµπεριφοράς ή καµπύλη φασµατικής ικανότητας (capacity spectrum) ενός ισοδύναµου ιδεατού µονοβάθµιου συστήµατος. Η µετατροπή αυτή γίνεται για να µπορέσουµε να συγκρίνουµε τη διατιθέµενη ικανότητα του κτηρίου µε την απαιτούµενη από τους κανονισµούς, όπως προκύπτει µέσα από το φάσµα σχεδιασµού. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η χρήση ενός ισοδύναµου ιδεατού µονοβάθµιου συστήµατος αποτελεί µία παραδοχή µε σηµαντικές αβεβαιότητες. Η αξιοπιστία του ΙΜΣ επηρεάζεται από τη µορφή και τον τύπο της κατασκευής και τις µετελαστικές παραµορφώσεις που αναπτύσσονται κατά τη σεισµική καταπόνηση.. Υπολογισµός της θεµελιώδους ιδιοµορφής { φ }, της αντίστοιχης ιδιοσυχνότητας ω και ιδιοπεριόδου Τ του πολυβάθµιου φορέα για ελαστική απόκριση.. Υπολογισµός της µάζας ˆm του ιδεατού-ισοδύναµου µονοβάθµιου συστήµατος ˆm=am tot (7.9) όπου m tot είναι η συνολική µάζα του φορέα και α είναι ένας συντελεστής ισοδυναµίας µαζών µεταξύ του πολυβάθµιου και του ΙΜΣ συστήµατος. Ο συντελεστής αυτός υπολογίζεται ύστερα από πρόταση του Freeman (998) από τη σχέση

( ) ( ) α = Σ(m φ ) Σm Σ(m φ ), i =,n (7.30) i i i i i i i όπου m,φ i i είναι η συγκεντρωµένη µάζα και η συνιστώσα της κανονικοποιηµένης θεµελιώδους ιδιοµορφής στον όροφο i του κτηρίου, αντίστοιχα..3 Υπολογισµός της φασµατικής επιτάχυνσης και µετατόπισης του ΙΜΣ Sa = P/mˆ Sd = U/a (7.3, 7.3) όπου a είναι ο συντελεστής ισοδυναµίας µετατοπίσεων. Ο συντελεστής αυτός δίνεται από τη σχέση a = Σ(mφ ) Σ (m φ ) (7.33) i i i i i i.4 Υπολογισµός και σχεδίαση της καµπύλης ικανότητας φάσµατος (Sa,Sd ).5 Υπολογισµός της στιβαρότητας και της ιδιοπεριόδου του ΙΜΣ =msa ˆ ˆ y Sd T= ˆ π mˆ ˆ y (7.34, 7.35) όπου Sa y = y m ˆ, Sd y = Uy a Ρ είναι η ιδεατή φασµατική επιτάχυνση και η ιδεατή µετατόπιση που αντιστοιχούν στο οριακό σηµείο της ελαστικής συµπεριφοράς του κτηρίου (βλ. σχήµα 7.4α,β). Σχήµα 7.4 Μετάβαση από την καµπύλη ικανότητας (α) στην καµπύλη φασµατικής ικανότητας (β) ενός ιδεατού ισοδύναµου µονοβάθµου συστήµατος

3 Βήµα 3: Υπολογισµός της δρώσας απόσβεσης του φορέα. Προκειµένου να υπολογίσουµε το διάγραµµα της φασµατικής απόκρισης (Acceleration Displacement Response Spectrum-ADRS), που ονοµάζεται και διάγραµµα απαιτούµενου φάσµατος (demand spectrum), από το οποίο θα προκύψει η απαιτούµενη ικανότητα της κατασκευής, είναι απαραίτητος ο υπολογισµός της δρώσας απόσβεσης του φορέα. Η δρώσα απόσβεση είναι διαφορετική από εκείνη που αντιστοιχεί στο αρχικό ελαστικό σύστηµα και είναι συνάρτηση της ιξώδους απόσβεσης που αναπτύσσεται κατά την ελαστική απόκριση και της υστερητικής απόσβεσης η οποία εξαρτάται από το µέγεθος των µετελαστικών παραµορφώσεων και του τύπου του µηχανισµού κατάρρευσης της κατασκευής. Ο Priestley (995) µετά από σειρά πειραµάτων σε κατασκευές οπλισµένου σκυροδέµατος πρότεινε τον υπολογισµό της δρώσας απόσβεσης του φορέα από τη σχέση ζ eff = ζ el +cζ u (7.36) όπου ζ el είναι η ισοδύναµη ιξώδης απόσβεση η οποία δίνεται από τον κανονισµό (συνήθως ζ el =5% για οπλισµένο σκυρόδεµα), ζ u είναι η ισοδύναµη υστερητική απόσβεση η οποία δίνεται από τον τύπο ζ u =(µ-) (πµ) (7.37) όπου µ=uu U y είναι ο δείκτης πλαστιµότητας ως προς τις µετατοπίσεις. Η µετατόπιση U u αντιστοιχεί στην κορυφή του κτηρίου µε την ολοκλήρωση του πλάστιµου µηχανισµού καταρρεύσεως και U y είναι η αντίστοιχη µετατόπιση τη στιγµή της εµφάνισης της πρώτης πλαστικής άρθρωσης του φορέα (βλ. σχήµα 7.4α). Τέλος ο συντελεστής c της σχέσης (7.36) εξαρτάται από τον τύπο του µηχανισµού καταρρεύσεως ανάλογα µε τις θέσεις σχηµατισµού των πλαστικών αρθρώσεων. Εάν είναι µηχανισµός µε πλαστικές αρθρώσεις κυρίως στις δοκούς τότε c 0.60, ενώ εάν οι πλαστικές αρθρώσεις εντοπίζονται κυρίως στα υποστυλώµατα τότε c 0.40. Η σχέση (7.37) προέκυψε από τη συσχέτιση της ενέργειας που εκλύεται σε µία ανελαστική ανακύκλιση µε την αντίστοιχη ελαστική ενέργεια. Ο διορθωτικός συντελεστής απόσβεσης η, µε τον οποίο τροποποιούνται οι ελαστικές φασµατικές τιµές απόκρισης, υπολογίζεται από τη σχέση η = 7 ( +ζeff ) 0.7 (7.38)

4 Σχήµα 7.5 Μετάβαση από το φάσµα σχεδιασµού (α) στο διάγραµµα απαιτούµενου φάσµατος (β) Βήµα 4: ιάγραµµα απαιτούµενου φάσµατος απόκρισης ADRS. ή φασµατικής ανελαστικής Μετά τον υπολογισµό του διορθωτικού συντελεστή απόσβεσης η από τη σχέση (7.38) σχεδιάζεται το απαιτούµενο φάσµα, που ονοµάζεται και διάγραµµα φασµατικής απόκρισης ADRS, για µετελαστική συµπεριφορά. Έτσι από τα αντίστοιχα ελαστικά φάσµατα σχεδιασµού προκύπτουν τα διαγράµµατα φασµατικής µετελαστικής απόκρισης για κάθε συντελεστή απόσβεσης η (βλ. σχήµα 7.5). Οι νέες τιµές Sa, Sd υπολογίζονται από τις σχέσεις: Sa = ηsa el (7.39) Sd = ηsd el (7.40) το διάγραµµα ADRS (Sa,Sd) προκύπτει από το ανελαστικό φάσµα απόκρισης (Sa,T) από τη σχέση T Sd = Sa 4π (7.4)

5 Σχήµα 7.6 Γραφικός υπολογισµός του σηµείου επιτελεστικότητας E Στο διάγραµµα ADRS µπορούν να παρασταθούν ακτινικά οι τιµές των ιδιοπεριόδων που συνδέονται µε τις τιµές των Sa,Sd (βλ. Σχήµα 7.5). Βήµα 5: Υπολογισµός της µέγιστης απαιτούµενης µετελαστικής µετακίνησης. Για τον υπολογισµό της µέγιστης απαιτούµενης µετελαστικής µετακίνησης ακολουθούνται τα παρακάτω στάδια: (βλ. σχήµα 7.6). 5. Εύρεση της φασµατικής µετατόπισης που αντιστοιχεί στην ιδιοπερίοδο T του κτηρίου και στο απαιτούµενο φάσµα για ζeff = ζ el : ( ) ζ = ζ Sd T,ζ (7.4) eff el i el 5. Υπολογισµός του δείκτη πλαστιµότητας µ, της ισοδύναµης ιδιοπεριόδου T eq, της ισοδύναµης δρώσας απόσβεσης ζ eff και του συντελεστή απόσβεσης η µ=sd Sd i y (7.43) T eq =Τ µ (7.44) ( ) ζ = µ- πµ ζ = ζ +cζ (7.45 α,β) u eff el u

6 η = 7 ( +ζ eff ) (7.46) 5.3 Εύρεση της νέας µετατόπισης Sd i που αντιστοιχεί στο ζεύγος ( T eq, ζ eff ). Για την εύρεση της νέας φασµατικής µετατόπισης Sd i σχεδιάζεται το νέο διάγραµµα της φασµατικής απόκρισης ADRS( ζeff ) το οποίο προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό των τιµών του ελαστικού διαγράµµατος µε τον διορθωτικό συντελεστή απόσβεσης η. Το σηµείο τοµής της ευθείας που αντιστοιχεί στην ιδιοπερίοδο T eq µε την καµπύλη της φασµατικής απόκρισης αποτελεί τη µέγιστη απαιτούµενη φασµατική µετατόπιση για τη µετελαστική συµπεριφορά της ισοδύναµης ιδιοπεριόδου T eq. 5.4 Υπολογισµός του σηµείου επιτελεστικότητας (performance point). Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία του σταδίου 5.3 και σχηµατίζουµε την καµπύλη των σηµείων τοµής των ευθειών T eq µε τα αντίστοιχα διαγράµµατα φασµατικής απόκρισης ADRS( ζ eff ). Η τοµή της καµπύλης αυτής µε την καµπύλη φασµατικής ικανότητας της κατασκευής µας δίνει το σηµείο επιτελεστικότητας E(Sa d,sd d) το οποίο θα δώσει τη µέγιστη απαιτούµενη µετελαστική µετακίνηση στην κορυφή του κτηρίου. Στην περίπτωση που η καµπύλη αυτή δεν τέµνει το διάγραµµα φασµατικής ικανότητας τότε η διατιθέµενη µέγιστη µετελαστική µετακίνηση υπολείπεται της απαιτούµενης. Eάν πρόκειται για νέα κατασκευή θα πρέπει να επανασχεδιασθεί ο φορέας, ενώ για υφιστάµενη κατασκευή θα πρέπει να ενισχυθεί για την αύξηση της στιβαρότητας και της αντοχής της, ώστε η διατιθέµενη µετελαστική µετακίνηση να γίνει µεγαλύτερη της απαιτούµενης. Από τα παραπάνω συνάγεται ότι για να καταστεί δυνατή η αποτίµηση-έλεγχος της σεισµικής συµπεριφοράς ενός κτηρίου θα πρέπει η καµπύλη της φασµατικής ικανότητας του κτηρίου και η καµπύλη της φασµατικής απόκρισης να αναφέρονται στο ίδιο ποσοστό ισοδύναµης δρώσας απόσβεσης ζ eff. Σε κάθε σηµείο της καµπύλης φασµατικής ικανότητας αντιστοιχεί µία ισοδύναµη ιδιοπερίοδος T eq, µία ισοδύναµη δρώσα απόσβεση και ένα διάγραµµα φασµατικής απόκρισης. Για τον υπολογισµό του σηµείου τοµής της καµπύλης φασµατικής ικανότητας µε το διάγραµµα της φασµατικής απόκρισης, έτσι ώστε η δρώσα απόσβεση του σηµείου τοµής να είναι η ίδια για τα δύο διαγράµµατα, ακολουθείται η παρακάτω επαναληπτική διαδικασία (βλ. Σχήµα 7.7):

7 Σχήµα 7.7 Επαναληπτική διαδικασία υπολογισµού του σηµείου επιτελεστικότητας E. Υπολογίζεται το ποσοστό της ισοδύναµης δρώσας απόσβεσης ζ eff από τη σχέση (7.45β) και ο διορθωτικός συντελεστής απόσβεσης η από τη σχέση (7.46) για το ακρότατο σηµείο Sdu = U u / α (διατιθέµενη τιµή) της καµπύλης φασµατικής ικανότητας του κτηρίου.. Σχεδιάζεται το διάγραµµα φασµατικής απόκρισης ADRS( ζ eff,u ) µέσω των σχέσεων (7.39), (7.40), το οποίο µπορεί να τέµνει ή να µην τέµνει το διάγραµµα φασµατικής ικανότητας του κτηρίου. 3. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει σηµείο τοµής τότε η κατασκευή δεν είναι σε θέση να ανταπεξέλθει στη συγκεκριµένη σεισµική διέγερση που αντιστοιχεί στο ADRS( ζ eff,u ). 4. Στην περίπτωση που το σηµείο τοµής είναι διαφορετικό του ακρότατου σηµείου της καµπύλης φασµατικής ικανότητας, τότε υπολογίζεται ο δείκτης πλαστιµότητας µ (σχέση 7.43) και το ποσοστό ζ eff (7.45β) που αντιστοιχούν στο σηµείο τοµής, επανασχεδιάζεται το διάγραµµα ADRS και υπολογίζεται το νεό σηµείο τοµής των δύο διαγραµµάτων. Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται έως ότου δύο διαδοχικά σηµεία τοµής ταυτιστούν σε ικανοποιητικό βαθµό. Έτσι, ορίζεται η φασµατική απαιτούµενη της µετελαστικής µετατόπιση Sd. d Μετά τον υπολογισµό της Sd d και της Sa d από το διάγραµµα φασµατικής ικανότητας, υπολογίζονται η µέγιστη απαιτούµενη µετατόπιση του τελευταίου ορόφου του κτηρίου και η τέµνουσα βάσεως από τις σχέσεις

8 U d =α Sdd (7.47) V b =α mtot Sad (7.48) όπου α, α είναι οι συντελεστές των σχέσεων (7.30) και (7.33).

9 8 ΥΠΕΡΩΘΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (PUSH-OVER ANALYSIS) ΦΟΡΕΩΝ Όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο η υπερωθητική ανάλυση διακρίνεται σε στατική και δυναµική ανάλογα µε τον τρόπο επιβολής της διέγερσης. Στη Στατική Υπερωθητική Ανάλυση (ΣΥΑ) (static push-over analysis) το αποτέλεσµα της σεισµικής δράσης προσοµοιώνεται µε στατικά επιβαλλόµενες µετατοπίσεις ή στατικά φορτία σταδιακά αυξανόµενα µέχρι την κατάρρευση. Ενώ στην Προσαυξητική υναµική Ανάλυση (Π Α) (incremental dynamic analysis) επιβάλλονται σεισµικές καταγραφές µε µορφή επιταχυνσιογραφηµάτων η ένταση των οποίων αυξάνεται σταδιακά µέχρι την κατάρρευση. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τη ΣΥΑ µε επιβολή φορτίων η οποία είναι η πλέον διαδεδοµένη µέθοδος υπερωθητικής ανάλυσης σήµερα. 8. Προσοµοίωση των οριζόντιων φορτίων H Στατική Υπερωθητική Ανάλυση (ΣΥΑ) διακρίνεται, ανάλογα µε τη µορφή και τον τρόπο επιβολής των οριζόντιων φορτίων σε: (i) ΣΥΑ µε φορτία γραµµικής κατανοµής σταθερής αναλογίας, (ii) ΣΥΑ µε φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής αναλογίας, (iii) ΣΥΑ µε φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µεταβαλλόµενης αναλογίας, (iv) ΣΥΑ µε φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής ή µεταβαλλόµενης αναλογίας. 8.. Οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής αναλογίας Η µέθοδος αυτή υπολογισµού των στατικών οριζόντιων φορτίων βασίζεται στις παραδοχές της ισοδύναµης στατικής µεθόδου για τον αντισεισµικό σχεδιασµό κατασκευών όπου οι αδρανειακές δυνάµεις προσδιορίζονται µε βάση τη θεµελιώδη ιδιοπερίοδo του κτηρίου και το φάσµα σχεδιασµού. Οι δυνάµεις κατανέµονται καθύψος του κτηρίου ώστε να προσεγγίζουν τις αδρανειακές δυνάµεις που αναπτύσσονται κατά τη σεισµική διέγερση. Μετά τη µόρφωση του µητρώου στιβαρότητας και του µητρώου µάζας του κτηρίου, υπολογίζονται η θεµελιώδης ιδιοµορφή και η ιδιοπερίοδος από την επίλυση του γενικευµένου προβλήµατος ιδιοτιµών [ K ]{ } = λ [ M]{ } ϕ ϕ (8.) Η θεµελιώδης ιδιοπερίοδος προκύπτει από τη σχέση T=π/ω min (8.) ω = λ (8.3) min

0 και ( },ωmin) ιδιοµορφής { ϕ } και της αντίστοιχης ιδιοσυχνότητος min {ϕ είναι το ζητούµενο ιδιοζεύγος της πρώτης ή θεµελιώδους ω. Στη συνέχεια υπολογίζεται η τέµνουσα βάσεως από το φάσµα σχεδιασµού και την τιµή της θεµελιώδους ιδιοπεριόδου. Το φάσµα σχεδιασµού του κανονισµού αποτελεί συνήθως µία περιβάλλουσα φασµάτων τα οποία προέρχονται από µία σειρά χαρακτηριστικών επιταχυνσιογαφηµάτων. Η δε µορφή του επηρεάζεται από τη γεωγραφική θέση, το είδος του κτηρίου και από τα εδαφοτεχνικά χαρακτηριστικά της περιοχής. Σχήµα 8. Κατανοµή σεισµικών φορτίων σύµφωνα µε τη θεµελιώδη ιδιοµορφή Η τέµνουσα βάσεως υπολογίζεται από τη σχέση V =Sa w /g (8.4) b όπου = n, n είναι ο συνολικός αριθµός ορόφων και Sa = Sa(T ) είναι η φασµατική επιτάχυνση σχεδιασµού που αντιστοιχεί στην θεµελίωση ιδιοπερίοδο και προκύπτει από το φάσµα σχεδιασµού (βλ. σχήµα 7.). Η τέµνουσα βάσεως κατανέµεται στη στάθµη των ορόφων του κτηρίου έτσι ώστε να προσεγγίζονται οι αδρανειακές δυνάµεις που αντιστοιχούν στη θεµελιώδη ιδιοµορφή. Έτσι η οριζόντια αδρανειακή δύναµη που αντιστοιχεί στον όροφο ενός κτηρίου µπορεί να εκφραστεί από τη σχέση w είναι το βάρος του ορόφου ( )

w ϕ w ϕ Q = V, =,n b (8.5) όπου το διάνυσµα { } Τ n φ = φ φ φ φ (8.6) έχει ως συνιστώσες τις τιµές της θεµελιώδους ιδιοµορφής στις στάθµες των ορόφων =,,,n του κτηρίου (βλ. Σχήµα 8.α). Σχήµα 8. (α) Προσέγγιση θεµελιώδους ιδιοµορφής µε γραµµική κατατοµή, (β) γραµµική κατανοµή των οριζόντιων αδρανειακών δυνάµεων Μία προσέγγιση της καθύψος κατανοµής των σεισµικών φορτιών µε βάση την πρώτη ιδιοµορφή µπορεί να γίνει από µία τριγωνική καθύψος κατανοµή (βλ. σχήµα 8.α) Τότε οι συνιστώσες της θεµελιώδους ιδιοµορφής στους ορόφους του κτηρίου δίνονται από τη σχέση = h / h n ϕ (8.7) όπου h είναι το ύψος του ορόφου από το έδαφος. Με την παραδοχή ότι η τέµνουσα δύναµη Q υπολογίζεται από τη σχέση wh wh Q = V b (8.8)

η οποία για ίδιες τιµές w ανά όροφο και ίσα ύψη ορόφων δίνει την τριγωνική κατανοµή των σεισµικών φορτίων του σχήµατος 8.β. Τα οριζόντια φορτία ανά όροφο που προέκυψαν από τις σχέσεις (8.8) και (8.5) θα αποτελέσουν, είτε αυτούσια είτε µετά από κάποια κλιµάκωση, τα φορτία εκκίνησης της οριακής προσαυξητικής ανάλυσης µε τη µέθοδο βήµα-προς-βήµα προκειµένου να υπολογιστεί η καµπύλη ικανότητας του κτηρίου και τα άλλα χαρακτηριστικά µεγέθη τα οποία θα χρησιµοποιηθούν για τη στατική υπερωθητική ανάλυση. Τα φορτία εκκίνησης αυξάνονται σταδιακά µέχρι την πλήρη κατάρρευση του φορέα, ενώ η αναλογία των φορτίων εκκίνησης µεταξύ των ορόφων παραµένει σταθερή κατά τη διάρκεια της προσαυξητικής ανάλυσης. 8.. Οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µεταβαλλόµενης αναλογίας Κατά την προϊούσα φόρτιση του φορέα µε τα σταθερά κατακόρυφα φορτία και σταδιακά αυξανόµενα οριζόντια φορτία µεταβάλλεται τόσο η θεµελιώδης ιδιοπερίοδος όσο και η θεµελιώδης ιδιοµορφή του φορέα λόγω του σταδιακού σχηµατισµού πλαστικών αρθρώσεων. Μία ακριβέστερη προσοµοίωση των σεισµικών οριζόντιων δράσεων επιτυγχάνεται µε την προσαρµογή της καθύψος κατανοµής των σεισµικών φορτίων σύµφωνα µε την τρέχουσα πρώτη ιδιοµορφή του αντίστοιχου βήµατος φόρτισης λαµβάνοντας υπόψη τον διαδοχικό σχηµατισµό πλαστικών αρθρώσεων στον φορέα. 8.. Οριζόντια φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής σταθερής ή µεραβαλλόµενης αναλογίας Σε φορείς των οποίων η δυναµική τους απόκριση επηρεάζεται σηµαντικά και από ανώτερες, πέραν της θεµελιώδους, ιδιοµορφές θα πρέπει να λαµβάνεται υπόψη η επιρροή ικανού αριθµού ιδιοµορφών και κατά την εφαρµογή της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης. Υπενθυµίζεται ότι στη δυναµική φασµατική µέθοδο αναλύσεως ο αριθµός των ιδιοµορφών που λαµβάνονται υπόψη εξαρτάται από το άθροισµα των αντίστοιχων ιδιοµορφικών µαζών τους. ρώσα ιδιοµορφική µάζα είναι το µέρος της συνολικής ταλαντούµενης µάζας που ενεργοποιείται για κάθε ιδιοµορφή ταλάντωσης. Έτσι όλες οι ιδιοµορφές των οποίων το άθροισµα των δρωσών ιδιοµορφικών µαζών αντιστοιχεί σε ένα ποσοστό (συνήθως στο 90%) της συνολικής ταλαντούµενης µάζας θεωρούνται ότι συµµετέχουν ενεργά στη δυναµική απόκριση του συστήµατος (βλ. εδάφιο 7..). Στην περίπτωση της ΣΥΑ µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η κατανοµή των οριζόντιων φορτίων επηρεάζεται από έναν αριθµό, µικρό σχετικά, ιδιοµορφών και να υπολογίσουµε τα αντίστοιχα οριζόντια φορτία ανά όροφο που αντιστοιχούν σε αυτές τις ιδιοµορφές. Στη

3 συνέχεια η αναλογία των φορτίων εκκίνησης µπορεί να παραµείνει σταθερή καθόλη τη διάρκεια της οριακής ανάλυσης ή να προσαρµόζεται ανάλογα µε τον σταδιακό σχηµατισµό των πλαστικών αρθρώσεων. Για τον υπολογισµό των οριζόντιων σεισµικών φορτίων εκκίνησης µε σταθερά φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής µε τη συµµετοχή πλήθους ιδιοµορφών ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Βήµα : Υπολογισµός ικανού αριθµού m ιδιοπεριόδων και ιδιοµορφών από την επίλυση του γενικευµένου προβλήµατος ιδιοτιµών [ K]{ φ} = λ[ Μ]{ φ} (8.9) T, T,..., T m (8.0α) { φ }, { },...,{ φ } ϕ (8.0β) m Βήµα : Υπολογισµός της δρώσας µάζας κάθε ιδιοµορφής m = { ϕ } [M]{ ϕ }, j=, m (8.) T j j j (8.) T L j = { ϕ j} [M]{r} eff j L j m j m = (8.3) Βήµα 3: Υπολογισµός του αριθµού των ενεργών ή σηµαντικών ιδιοµορφών που αντιστοιχεί στο απαιτούµενο ποσοστό της συνολικής ταλαντούµενης µάζας του συστήµατος για τη ΣΥΑ j= m eff j δ m tot (8.4) Βήµα 4: Υπολογισµός της φασµατικής επιτάχυνσης Sa(Τ j ), για j=, και στη συνέχεια της συνολικής οριζόντιας φόρτισης στον όροφο V =Sa w /g, j=,, =,n (8.5) b, j j

4 Q j = w j ϕj w ϕ V b,j (8.6) Q = ( Q j ) j / (8.7) Στην περίπτωση που η αναλογία των φορτίων µεταβάλλεται ακολουθείται η µεθοδολογία του εδαφίου 8.. της πρώτης ιδιοµορφής µε τη διαφορά ότι τα οριζόντια φορτία προκύπτουν από το σύνολο των ιδιοµορφών και υπολογίζονται σε κάθε βήµα m φόρτισης από τη σχέση ( / j,m) και =,n (8.8) j Q m = Q, j=, Όπου τα φορτία Q m του κάθε ορόφου υπολογίζονται µέσω των βηµάτων έως 4 του παρόντος εδαφίου σε κάθε βήµα m της φόρτισης. 8. Στατική Υπερωθητική Ανάλυση Τα βήµατα της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης µε οριζόντια φορτία σταθερής ή µεταβαλλόµενης αναλογίας, επηρεάζονται από τη θεώρηση που υιοθετείται για την προσοµοίωση της µη γραµµικής συµπεριφοράς του φορέα. Στο εδάφιο αυτό θα αναπτυχθεί η µέθοδος της γραµµικοποιηµένης οριακής ανάλυσης µε τη µέθοδο βήµα προς βήµα µε οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής και µεταβαλλόµενης αναλογίας. Η περίπτωση των οριζόντιων φορτίων σταθερής αναλογίας προκύπτει ως υποπερίπτωση της µεταβαλλόµενης αναλογίας. Σχήµα 8.3 Προσαυξητικά βήµατα ΣΥΑ µε γραµµικοποιηµένη πλαστικότητα

5 8.. ΣΥΑ µε γραµµικοποιηµένη οριακή ανάλυση Η ΣΥΑ, µε γραµµικοποιηµένη οριακή ανάλυση (βλ. κεφάλαιο 5 του Α τεύχους) και οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µεταβαλλόµενης αναλογίας, περιγράφεται από τα παρακάτω βήµατα. (βλ. σχήµα 8.3): Βήµα α: Υπολογισµός της θεµελιώδους ιδιοπεριόδου και ιδιοµορφής που αντιστοιχούν σε ελαστική συµπεριφορά [ ]{ } [ ]{ } K ϕ =λ Μ ϕ Τ,{ ϕ } (8.9) 0,, όπου οι κάτω δείκτες µετά το κόµµα αντιστοιχούν στο τρέχον βήµα φόρτισης. β: Yπολογισµός της τέµνουσας βάσεως και της καθύψος κατανοµής των οριζόντιων σεισµικών φορτίων V =Sa w /g (8.0) b,, w ϕ, = b, wiϕ, Q V, =, n { } T n Q Q Q Q (8.) = (8.) γ: Υπολογισµός του κλασµατικού φορτίου εκκίνησης { } { Q } q = (8.3) R όπου R είναι ο µειωτικός συντελεστής των αρχικών οριζόντιων σεισµικών φορτίων. δ: Υπολογισµός του φορτίου σχηµατισµού της πλαστικής άρθρωσης στο βήµα [ ] { } { } i,j i,j K δu = q δλ λ =min δλ, (8.4) 0 για κάθε άκρο j της ράβδου i. { P} { q } = λ (8.5)

6 Βήµατα, 3,, m - Βήµα m α: Υπολογισµός της θεµελιώδους ιδιοπεριόδου και ιδιοµορφής [ ]{ } [ ]{ } K ϕ = λ M ϕ T, {φ } (8.6) m- m m m,m,m β: Υπολογισµός της τέµνουσας βάσεως και της καθύψος κατανοµής των οριζόντιων σεισµικών φορτίων εκκίνησης V =Sa w /g (8.7) b,m,m m w ϕ,m wiϕ,m Q = V, =,n b,m (8.8) { } T n Q Q, Q,,Q = (8.9) m m m m { q } m { Q } m = (8.30) R γ: Υπολογισµός του φορτίου σχηµατισµού της πλαστικής άρθρωσης στο βήµα m i,j i,j i,j i,j i,j K δu = q δλ M = M + δλ δm [ m] { m} { m} m p ( 3 ) m ( 3 ) m i,j m m m m m m { } { } { } λ = min δλ P = P + λ Q m (8.3) Εάν ο φορέας παραµένει ευσταθής τότε θέτουµε m= m+ και συνεχίζουµε στο βήµα m έως ότου ο φορέας γίνει µηχανισµός. 8.. ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση Η γραµµικοποιηµένη µέθοδος βήµα προς βήµα υπολογισµού της καµπύλης ικανότητας προϋποθέτει τη γραµµική συµπεριφορά του φορέα µέσα σε κάθε προσαυξητικό βήµα φόρτισης. Αυτή η παραδοχή ισχύει µε τη θεώρηση της συγκεντρωµένης πλαστικότητας και του ακαριαίου σχηµατισµού των πλαστικών αρθρώσεων µέσω µιας ελαστικής-απολύτως πλαστικής θεώρησης. Στην πλέον ρεαλιστική θεώρηση της κατανεµηµένης πλαστικότητας κατά την οποία η

7 πλαστικοποίηση πραγµατοποιείται σταδιακά καθύψος της διατοµής και κατά τον διαµήκη άξονα των ράβδων του φορέα µε αποτέλεσµα ο φορέας να συµπεριφέρεται µη γραµµική σε κάθε προσαυξητικό βήµα φόρτισης. Στην περίπτωση αυτή ακολουθείται µία προσαυξητική-επαναληπτική διαδικασία για τον υπολογισµό της καµπύλης φορτίου-µετατόπισης. Ο υπολογισµός των εφαπτοµενικών µητρώων και των ακραίων εντατικών µεγεθών στην κατανεµηµένη πλαστικότητα περιγράφεται αναλυτικά στο κεφάλαιο 9. Σχήµα 8.4 ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση Σχήµα 8.5 Επαναληπτική µη γραµµική διαδικασία εντός του προσαυξητικού βήµατος φόρτισης m

8 α. Οριζόντια φορτία σταθερής αναλογίας Η στατική υπερωθητική ανάλυση µε οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µε τη µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική µέθοδο περιγράφεται από τα παρακάτω βήµατα (βλ. σχήµατα 8.4 και 8.5): Βήµα : α: Υπολογισµός της τέµνουσας βάσεως και της καθύψος κατανοµής των οριζόντιων σεισµικών φορτίων της ελαστικής απόκρισης [ ]{ } [ ]{ } V { Q } K ϕ =λ Μ ϕ Τ, { ϕ } 0,, b, (8.3) β: Υπολογισµός του κλασµατικού φορτίου εκκίνησης {q } { Q } = (8.33) R Βήµα : Εκτέλεσης της µη γραµµικής προσαυξητικής-επαναληπτικής διαδικασίας α: Επαναλήψεις εντός του κλασµατικού φορτίου { q } Επανάληψη { } { } { } () () () { U } { U } { F } (0) () () K 0 δu = q δu (8.34) () όπου { } F είναι το διάνυσµα των επικόµβιων δράσεων λόγω των ακραίων εντατικών µεγεθών των ράβδων του φορέα που αντιστοιχούν στη γραµµική λύση της επανάληψης (βλ. σχήµα 8.5 για το βήµα φόρτισης m ).... Επανάληψη { } { } { } { } ( ) ( ) ( ) { U } { U } { F } ( ) ( ) ( ) ( ) K 0 δu = q F δu (8.35)...

9 (j) Σύγκλιση στην επανάληψη j : { } Όπου {q } F {q } ε (8.36) 6 ε είναι µία παράµετρος ανοχής σφάλµατος ( ε = 0 ~ 0 ) β: Επαναλήψεις εντός του κλασµατικού φορτίου m{q } (m ){ q } Επανάληψη... { } { } { } { } () () () { Um } { Um } { Fm } (0) () (0) () K m- δu m = q - Fm δum (8.37) Επανάληψη... { } { } { } { } ( ) ( ) ( ) { Um } { Um } { Fm } (0) ( ) ( -) ( ) K m- δum = q Fm δum (8.38) Σύγκλιση στην επανάληψη j: m{q }- F (j) { } m { } m q ε (8.39) β. Οριζόντια φορτία µεταβαλλόµενης αναλογίας Σχήµα 8.6 Κατανοµή σεισµικών φορτίων σύµφωνα µε την τρέχουσα θεµελιώδη ιδιοµορφή. (α) Βήµα φόρτισης, (β) Βήµα φόρτισης m

30 Σχήµα 8.7 Προσαυξητικά βήµατα φόρτισης µεταβαλλόµενης αναλογίας Η στατική υπερωθητική ανάλυση, µε τη µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική µέθοδο και µε προσαρµοστικά οριζόντια φορτία ιδιοµορφικής κατανοµής µεταβαλλόµενης αναλογίας (βλ. σχήµα 8.6), περιγράφεται από τα παρακάτω βήµατα (βλ. σχήµατα 8.7, 8.8 και 8.9): Σχήµα 8.8 Επαναληπτική µη γραµµική διαδικασία εντός του προσαυξητικού βήµατος φόρτισης i

3 Βήµα : α: Υπολογισµός της αρχική τέµνουσας βάσεως και της καθύψος κατανοµής των σεισµικών οριζόντιων φορτίων της ελαστικής απόκρισης [K ]{ ϕ } = λ [M]{ ϕ } T { ϕ } 0,, V {Q } b, (8.40) β: Υπολογισµός του αρχικού προσαυξητικού κλασµατικού φορτίου { q } { Q } = (8.4) R Βήµα : Εκτέλεση της µη γραµµικής προσαυξητικής-επαναληπτικής διαδικασίας εντός του κλασµατικού προσαυξητικού φορτίου q } Επανάληψη : {... { } { } { } () () () { U } { U } { F } (0) () () K 0 δu = q δu (8.4) Επανάληψη : { } { } { } { } ( ) ( ) ( ) { U } { U } { F } ( ) ( ) ( ) ( ) K 0 δ U = q F δu (8.43)... Σύγκλιση στην επανάληψη j: {q } {F } (j) {q } ε (8.44)

3 Σχήµα 8.9 Επαναληπτική µη γραµµική διαδικασία εντός του προσαυξητικού βήµατος φόρτισης m+ Βήµα 3: Επαναλήψεις εντός του προσαυξητικού φορτίου i{q } (i ){q } (βλ. σχήµα 8.9) Επανάληψη : { } { } { } { } () () () { Ui } { Ui } { Fi } (0) () (0) () K i- δu i =i q - Fi δui (8.45)... Επανάληψη :... { } i{ } { } { } ( ) ( ) ( ) { Ui } { Ui } { Fi } ( ) ( ) ( ) ( ) K i δ U = q F δui (j) Σύγκλιση στην επανάληψη j : { } (8.46) i{q } F {iq } ε (8.47)

33 Βήµα 4: Έλεγχος κριτηρίου µεταβολής στιβαρότητας (βλ. σχήµατα 8.7 και 8.9) Αρχικό µέτρο στιβαρότητας: {q } { U } = (8.48) { U }{ U } T T Τρέχον µέτρο στιβαρότητας: i {q } { U } = (8.49) { U } { U } T i T i i Kριτήριο µεταβολής στιβαρότητας : i < ε (8.50) όπου ε είναι η παράµετρος αποµείωσης στιβαρότητας( ε = 0.5 ~ 0.). Eάν ισχύει το κριτήριο πήγαινε στο επόµενο βήµα 5 θέτοντας i= m. Εάν όχι τότε συνέχισε στο βήµα 3 θέτοντας i = i +. Βήµα 5: α: Υπολογισµός της τρέχουσας τέµνουσας βάσεως και της καθύψος κατανοµής των σεισµικών οριζόντιων φορτίων (Βλ. Σχήµα 8.9) [ K ]{ } λ [ M]{ } m m+ m+ m+ { + } T, ϕ V ϕ = ϕ,m+,m { Q } b, m+ m+ (8.5) β: Υπολογισµός του τρέχοντος προσαυξητικού κλασµατικού φορτίου {q } {Q } R m+ = (8.5) Βήµα 6: Εκτέλεση της προσαυξητικής-επαναληπτικής διαδικασίας εντός του προσαυξητικού κλασµατικού φορτίου { q }(βλ. σχήµα 8.9) Επανάληψη : { } { } { } () () () { Um+} { Um+} { Fm+} (0) () () K m δu m+ = q δum+ (8.53)...

34 Επανάληψη :... { } { } { } { } K δu = mq +q F δu ( ) ( ) ( -) ( ) m m+ m+ m+ { U ( ) } { ( ) } { ( ) m+ U m+ F m+} (8.54) Σύγκλιση στην επανάληψη j: {mq + q } {F } (j) m+ {mq + q } ε (8.55) Βήµα 7: Επαναλήψεις εντός του πραυσαξητικού φορτίου ( {q } i{q }) ( m{q } + (i ){q }) m + (βλ. σχήµα 8.7) Επανάληψη :... { } { } (0) () (0) K m+i- δu m+i = m{q }+i{q }- Fm+ { δu () } { () } { () } { () m+i Um+ Um+i Fm+i } (8.56) Επανάληψη :... { } { } ( -) ( ) ( -) K m+i- δu m+i = m{q }+i{q }- Fm+ { ( ) } { ( ) } { ( ) } { ( δu ) m+i Um+i Um+i Fm+i} (8.57) Σύγκλιση στην επανάληψη j: { } { mq + iq } (j) m+i mq + iq -{F } ε (8.58)

35 Βήµα 8: Έλεγχος κριτηρίου µεταβολής στιβαρότητας. Μέτρο στιβαρότητας στο βήµα m+: m T m T m m {q } { U } = (8.59) { U } { U } Τρέχον µέτρο στιβαρότητας: m+i T m+i T m+i m+i {q } { U } = (8.60) { U } { U } Κριτήριο µεταβολής στιβαρότητας: m+ i ε (8.6) Εάν ισχύει το κριτήριο πήγαινε στο βήµα 5 θέτοντας m=n. Εάν όχι τότε συνέχισε στο Βήµα 7 θέτοντας i=i+. m Η ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση τερµατίζεται µε την κατάρρευση του φορέα. Το σηµείο καταρρεύσεως της καµπύλης P-U ανιχνεύεται αριθµητικά κατά την επίλυση την εξισώσεων (8.38) ή (8.56) από το πρόγραµµα ανάλυσης του Η/Υ µε µία από τις τρεις ενδείξεις: (i) αδυναµία παραγοντοποίησης του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας (ανίχνευση µηδενικού διαγώνιου όρου), (ii) αδυναµία σύγκλισης της επαναληπτικής διαδικασίας, (iii) υπολογισµός µεγάλων προσαυξητικών µετατοπίσεων από τη λύση των εξισώσεων (8.38) ή (8.56). γ. Οριζόντια φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής Για τη ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση και σταθερά οριζόντια φορτία πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής ακολουθούνται τα ίδια βήµατα µε εκείνα της κατανοµής των φορτίων σύµφωνα µε την πρώτη ιδιοµορφή µε τη διαφορά ότι τα φορτία εκκίνησης υπολογίζονται από τη σχέση (8.7) αντί της σχέσης (86) µε j=. Αντίστοιχα, για τη ΣΥΑ µε µη γραµµική προσαυξητικήεπαναληπτική οριακή ανάλυση και µεταβαλλόµενα οριζόντια φορτία εκκίνησης πολυ-ιδιοµορφικής κατανοµής τα φορτία εκκίνησης σε κάθε προσαρµογή των τιµών τους υπολογίζονται από τη σχέση (8.8).

36

37 9. ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΛΑΙΣΙΑΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΗ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ H ελαστοπλαστική ανάλυση πλαισιακών φορέων µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε δύο θεωρήσεις: (i) Θεώρηση συγκεντρωµένης πλαστικότητας (concentrated plasticity), όπου η διαρροή επέρχεται ταυτοχρόνως σε όλα τα σηµεία της διατοµής µόλις τα εντατικά µεγέθη της διατοµής ικανοποιήσουν το κριτήριο διαρροής (βλ. κεφάλαιο 5, Α τεύχους). Η ανάλυση που βασίζεται στη θεώρηση αυτή ονοµάζεται και µέθοδος του πλαστικού κόµβου (plastic node). (ii) Θεώρηση κατανεµηµένης πλαστικότητας (distributed plasticity) κατά την οποία η πλαστικοποίηση των διατοµών πραγµατοποιείται σταδιακά ανάλογα µε την ικανοποίηση του κριτηρίου διαρροής σε χαρακτηριστικά σηµεία καθύψος της διατοµής. Η θεώρηση της συγκεντρωµένης πλαστικότητας έχει το πλεονέκτηµα της γραµµικής συµπεριφοράς του φορέα µεταξύ του σχηµατισµού δυο διαδοχικών πλαστικών κόµβων και έτσι µας δίνεται η δυνατότητα να εφαρµόσουµε γραµµικοποιηµένες µέθοδους υπολογισµού της καµπύλης ικανότητας P-U. Αδυνατεί όµως να προσοµοιώσει την κατανοµή της πλαστικοποίησης καθύψος της διατοµής και κατά µήκος των µελών του φορέα. Η κατανεµηµένη πλαστικότητα µπορεί να προσοµοιωθεί είτε µέσω της σχέσης ροπών-καµπυλοτήτων της διατοµής και της θεώρησης ενός ισοδύναµου ελαστικού κόµβου, είτε µέσω της πολυστρωµατικής θεώρησης όπου τα στοιχεία δοκού υποδιαιρούνται σε λεπτές στρώσεις, παράλληλες προς τον διαµήκη άξονά τους, καθεµία εκ των οποίων συµπεριφέρεται ανεξάρτητα από τις άλλες. Με τη θεώρηση του ισοδύναµου ελαστικού κόµβου έχουµε τη δυνατότητα προσοµοίωσης της κατανοµής της πλαστικότητας καθύψος της κρίσιµης διατοµής, ενώ µε την πολυστρωµατική θεώρηση η κατανοµή της πλαστικοποίησης επιτυγχάνεται τόσο καθύψος όσο και κατά µήκος των ράβδων του πλαισιακού φορέα. Η θεώρηση της κατανεµηµένης πλαστικότητας έχει το πλεονέκτηµα της δυνατότητας γενίκευσης, χωρίς σηµαντικές διαφοροποιήσεις, τόσο σε φορείς από χάλυβα όσο και από οπλισµένο σκυρόδεµα. Επίσης, µπορεί να επεκταθεί µε µικρές τροποποιήσεις σε ανακυκλική ή σεισµική φόρτιση. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η πολυστρωµατική θεώρηση είναι υπολογιστικά χρονοβόρα πλην όµως είναι κατά κανόνα πιο αξιόπιστη. Σχήµα 9. Πολυστρωµατική δοκός διπλού ταυ

38 9. Κατανεµηµένη πλαστικότητα µε πολυστρωµατική θεώρηση Στην πολυστρωµατική θεώρηση η δοκός υποδιαιρείται σε ένα πλήθος στρώσεων παράλληλων προς τον διαµήκη άξονα, όπως φαίνεται στο σχήµα 9.. Η πλαστικοποίηση µιας στρώσης επέρχεται µόλις ικανοποιηθεί το κριτήριο διαρροής ενώ οι υπόλοιπες στρώσεις του πυρήνα παραµένουν στην ελαστική περιοχή (βλ. σχήµα 9.). Σχήµα 9. ιαδοχική διαρροή των στρώσεων πολυστρωµατικής δοκού Η πολυστρωµατική θεώρηση βασίζεται σε κριτήρια διαρροής µε τασικά µεγέθη f ( σ, σ, σ, σ, σ, σ, σ ) 0 σε αντίθεση µε τα κριτήρια διαρροής που 33 3 3 y = χρησιµοποιήσαµε στο κεφάλαιο 5, του Α τεύχους της συγκεντρωµένης πλαστικότητας, τα οποία διατυπώνονται συναρτήσει των εντατικών µεγεθών f(f,f,f,m,m,m,σ ) = 0. Εάν αγνοήσουµε την αλληλεπίδραση ορθών και 3 3 y διατµητικών τάσεων, το κριτήριο διαρροής ικανοποιείται όταν η ορθή τάση µιας στρώσης γίνει ίση µε την τάση διαρροής. Στο διάγραµµα σ ε µε γραµµική κράτυνση του σχήµατος 9.3 η συνολική προσαυξητική ανηγµένη παραµόρφωση d{ ε } αποτελείται, ως γνωστόν, από µία ελαστική και µία πλαστική συνιστώσα : el pl d{ ε } = d{ ε } + d{ ε } (9.)

39 Σχήµα 9.3 ιάγραµµα σ-ε µε γραµµική κράτυνση Το εφαπτοµενικό µέτρο ελαστικότητας Ε Τ και το µέτρο κράτυνσης Η δίνονται από τις σχέσεις (βλ. σχήµα 9.3) E T dσ dσ = = H= pl dε dε (9.α,β) Επειδή όµως el pl dσ dσ dσ =E (dε +dε )=E + T T E H (9.3) προκύπτει ότι EH E E = = E - T E+H E+H (9.4) Το εφαπτοµενικό µέτρο ελαστικότητας E και όχι το αρχικό E θα T χρησιµοποιηθεί στη συνέχεια για τον υπολογισµό και του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας των ακραίων εντατικών µεγεθών όπως θα δούµε στα εδάφια 9. και 9.3. 9.. Προσαυξητική-επαναληπτική µέθοδος κατανεµηµένης πλαστικότητας µε πολυστρωµατική θεώρηση Σε αντίθεση µε την ελαστική απολύτως πλαστική θεώρηση κατά την οποία ο φορέας συµπεριφέρεται γραµµικά µέχρι τον σχηµατισµό της επόµενης πλαστικής άρθρωσης, στην πολυστρωµατική θεώρηση της κατανεµηµένης πλαστικότητας ο φορέας συµπεριφέρεται µη γραµµικά αµέσως µετά την πλαστικοποίηση της

40 ακρότατης ίνας της διατοµής του πρώτου στοιχείου του φορέα που πλαστικοποιείται και παραµένει στη µη γραµµική περιοχή µέχρι την τελική κατάρρευση. Κατά συνέπεια, προκειµένου να προσδιοριστεί η καµπύλη φορτίου- µετατόπισης και να υπολογιστεί το φορτίο καταρρεύσεως θα πρέπει να εφαρµοστεί µία προσαυξητική-επαναληπτική διαδικασία όπου σε κάθε προσαυξητικό βήµα φόρτισης οι εξισώσεις ισορροπίας είναι µη γραµµικές. Η επίλυση των µη γραµµικών εξισώσεων ισορροπίας γίνεται µε κατάλληλες µεθόδους οι οποίες επιλύουν διαδοχικά γραµµικοποιηµένα προβλήµατα µέχρι την ικανοποίηση του κριτηρίου σύγκλισης στο συγκεκριµένο βήµα φόρτισης. Η πλέον διαδεδοµένη µέθοδος επίλυσης µη γραµµικών εξισώσεων ισορροπίας είναι η µέθοδος Newton- Raphson η οποία περιγράφεται σχηµατικά στο σχήµα (9.4) και ακολουθεί τα παρακάτω βήµατα: Σχήµα 9.4 Η µη γραµµική µέθοδος Newton-Raphson α. Αλγοριθµική περιγραφή της µεθόδου Newton-Raphson στο βήµα m+ Bήµα : Υπολογισµός του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας [K m-] στο σηµείο ισορροπίας m-. Bήµα : Πρώτη επανάληψη µη γραµµικής διαδικασίας α: Υπολογισµός του εφαπτοµενικού µητρώου στιβαρότητας (βλ. εδάφιο 9..3) (0) K m- =[K m-] (9.5)