1 Πολυπολικ η αν απτυξη του βαρυτικο υ δυναµικο υ

Πολ υπολα και το σχ ηµα της Γης Π. Ιω αννου & Θ. Αποστολ ατου Πολυπολικ η αν απτυξη του βαρυτικο υ δυναµικο υ Ε ιδαµε οτι το βαρυτικ ο δυναµικ ο πουπροκαλε ιται απ ο µ ια σφαιρικ η κατανοµ η µ αζας οτι ε ιναι ισο µε φ = GM/r σε κ αθε σηµε ιο εξω απ οσφα ιρα που βρ ισκεται απ οσταση r απ οτοκ εντρο της και M ηολικ η µ αζα του σ ωµατος. Επειδ η ταουρ ανια σ ωµατα δεν ε ιναι ακρι ως σφαιρικ α συµµετρικ α αναµ ενουµε να υπ αρξουν διορθ ωσεις στην απλ ηαυτ η εκφραση του δυµαµικο υ. Θα υπολογ ισουµε τις διορθ ωσεις αυτ ες. Αναµ ενουµε οτι αν βρεθο υµε πολ υ µακρι α απ ο τοσ ωµα οτι το σ ωµα θα φα ινεται σαν σφα ιρα κα ι οτι σε πρ ωτη προσ εγγιση το δυναµικ ο θαε ιναι κατα προσ εγγιση ισο µε φ = GM/r εφ οσον r>>a οπου a ητυπικ η δι ασταση του σ ωµατος. Απ ο τηναρχ η τηςεπαλληλ ιας το δυναµικ ο στοσηµε ιο x που προκαλε ιται απ ο κατανοµ η µ αζας πυκν οτητας ρ ε ιναι: φ( x = G ρ( x x x d, οπου x τα σηµε ια του σ ωµατος που εχει ογκο και d στοιχε ιο του ογκου του σωµατος που εχει στο σηµε ιο x µ αζα ρ( x d. Ε ιναι φυσικ οναδιαλ εξουµε ως αρχ ητουσυστ ηµατος αναφορ ας κ αποιο σηµε ιο µ εσα στο σ ωµα. Σε αποστ ασεις r = x >> a x οπου a ηµ εγιστη απ οσταση µεταξ υ τωνσηµε ιων του σ ωµατος (που θεωρε ιται οτι εχει πεπερασµ ενες διαστ ασεις και δεν διαχ εεται σε ολο το χ ωρο µπορο υµε να γρ αψουµε x x = r x i x i κ ανοντας χρ ηση του θεωρ ηµατος Taylor ( r s( x x =s(x x s( x i x i + 2 2! x i x j x i x j ( r, + 2! x ix 2 s( x j. x i x j Αντικαθιστ ωντας τ ωρα στο δυναµικ ο εχουµε: ( ( φ( x = G ρ( x r x i + ( 2 x i r 2! x i x j x i x j r ( ( ( = G ρ( x d r + G x i ρ(( x d + x i r ( ( G x i 2! x j ρ( x d 2 x i x j r = GM ( ( r GD 2 i GQ ij. x i r 2! x i x j r d, οπου M, D i, Q ij κ.ο.κοιδι αφορες ροπ ες της κατανοµ ης της µ αζας του σ ωµατος. Ηµηδενικ ηροπ η M = ρ( x d ε ιναι η συνολικ ηµ αζα του σ ωµατος. Ηροπ η πρ ωτης τ αξης λ εγεται η διπολικ ηροπ η D i = x i ρ( x d

που ε ιναι ενα δι ανυσµα και προδιορ ιζεται απ οτρε ις αριθµο υς. Ηροπ ηδε υτερης τ αξης λ εγεται τετραπολικ η (και οχι τριπολικ η και ε ιναι ο συµµετρικ ος π ινακας Q ij = x i x j ρ( x d που προσδιορ ιζεται απ ο 6 αριθµο υς, και µε τον ιδιο τρ οπο ορ ιζονται οι αν ωτερες πολυπολικ ες ροπ ες. Τα παραπ ανω ισχ υουν γενικ οτερα σε κ αθε πρ ο ληµα που το πεδ ιο του δι επεται απ οτηνεξ ισωση Poisson οπως π.χ. στην Ηλεκτροστατικ η ηστηνυδροδυναµικ η. Στη βαρ υτητα η εξ ισωση Poisson πα ιρνει τη µορφ η 2 φ =4πGρ. Αντ ιθετα µε την πυκν οτητα φορτ ιου, ηπυκν οτητα µ αζας στη βαρ υτητα εχει µ ονο θετικ οπρ οσηµο ρ>και ετσι µπορο υµε να αγνο ησουµε τον διπολικ ο ορο αν λ α ουµε την αρχ ηστοκ εντρο µ αζας του σ ωµατος. Σηµει ωνουµε οτι ο διπολικ ος ορος ε ιναι τ αξης O(/r 2 δι οτι x i ( r = x i r 3. Πρ αγµατι αν µετατοπ ισουµε την αρχ η τωναξ ονων κατ α X i και τα σηµε ια του σ ωµατος γ ινουν x i = x i X i, ηδιπολικ ηροπ η µετασχηµατ ιζεται στην ( D i = x i ρ( x d ρ( x d X i = D i MX i. Επειδ ηστηβαρ υτητα ε ιναι π αντοτε M>και το κ εντρο µ αζας ορ ιζεται ως MR i = x iρ(( x d, αν λ α ουµε X i = R i οδιπολικ ος ορος µηδενιζεται. Συνεπ ως θα λαµ ανουµε την αρχ η τωναξ ονων στο κ εντρο µ αζας του σ ωµατος. Παρατηρ ηστε οτι αν ε ιχαµε και αρνητικ ες πυκν οτητες και το συνολικ ο φορτ ιο τ ωρα ηταν M =, τ οτε η διπολικ ηροπ η εχει τιµ ηανεξ αρτητη απ ο τοσηµε ιο αναφορ ας. Παρατηρο υµε οτι το δυναµικ ο φ( x = G M ( r GQ 2 ij 2! x i x j r ε ιναι σε µεγ αλες αποστ ασεις το δυναµικ οπουθαπρο εκυπτε απ οσηµειακ ο ( ησφαιρικ ο σ ωµα µ αζας M µε πρ ωτη δι ορθωση τη τετραπολικ η δι ορθωση η οπο ια ε ιναι τ αξης O(/r 3 δι οτι ( 2 = 3x ix j δ ij r 2. x i x j r r Απ οαυτ οτοαν απτυγµα ε ιναι ε υκολο να επι ε αι ωσετε οτι η ε ιναι αρµονικ ησυν αρτηση (καθ ως και r ολες οι παρ αγωγοι της δι οτι: ( ( 2 2 = r x i x j r = 3x ix i δ ii r 2 r = 3r2 3r 2 r =. Με τη παρατηρ ηση αυτ η οτετραπολικ ος ορος µπορε ι ναγραφε ι ισοδ υναµα ως: φ 4 = G (3Q ij δ ij Q kk 3x ix j δ ij r 2 6r. Με τη γραφ η αυτ η οσυµµετρικ ος π ινακας D ij =3Q ij δ ij Q kk εχει µηδενικ ο ιχνος ( αθροισµα των διαγων ιων του στοιχε ιων. Οπ ινακας αυτ ος µπορε ι ναδιαγωνοποιηθε ι καιτ οτε σε αυτο υς τους αξονες µ ονο δ υο αριθµο ι περιγρ αφουν την τετραπολικ η ροπ η δεδοµ ενου οτι το ιχνος του π ινακα ε ιναι µηδενικ ο. 2

Θα υπολογ ισουµε τ ωρα τη τετραπολικ η ροπ η σεσ ωµατα που εµφαν ιζουν αξονικ η συµµετρ ια δηλαδ η σεσ ωµατα που εχουν κ αποιο αξονα συµµετρ ιας. Θα δε ιξουµε οτι σε αυτ η τηπερ ιπτωση µ ονο ενας αριθµ ος αρκε ι γιαναπεριγρ αψει τη τετραπολικ η ροπ η. Επιλ εξτε καρτεσιαν ο σ υστηµα αξ ονων, µε αξονα z τον αξονα συµµετρ ιας, δηλαδ η ηπυκν οτητα θα ε ιναι συν αρτηση µ ονο του ρ(z, x 2 + y 2. Γρ αφουµε τα στοιχε ια του π ινακα D ij. Το D = (2x 2 y 2 z 2 ρ(z, x 2 + y 2 d, λ ογω της αξονικ ης συµµετρ ιας (εναλλ αξτε το xyκαι το παραπ ανω ολοκλ ηρωµα ε ιναι το ιδιο θα ε ιναι ισο µε το D 22 = (2y 2 x 2 z 2 ρ(z, x 2 + y 2 d, δηλαδ η D = D 22, επειδ η y 2 ρd = x 2 ρd. Επειδ η το ιχνος του π ινακα ε ιναι µηδενικ ο τοτρ ιτο διαγ ωνιο στοιχε ιο θα ε ιναι D 33 = 2D. Συ- µπερα ινουµε οτι τα διαγ ωνια στοιχε ια προσδιορ ιζονται απ ο ενα αριθµ ο. Θα αποδε ιξουµε τ ωρα οτι ο π ινακας D ε ιναι στη περ ιπτωση αξονικ ασυµµετρικο υ σ ωµατος διαγ ωνιος. Για να το δο υµε αυτ ο πιο ε υκολα εργαζ οµαστε σε σφαιρικ ες πολικ ες συντεταγµ ενες, οπου η πολικ ηγων ια υπολογ ιζεται απ οτον αξονα συµµετρ ιας z. Οπ οτε θα ε ιναι: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ cos φ και z = r cos θ και το στοιχε ιο του ογκου d = r 2 sin θdrdθdφ. Επειδ η τοσ ωµα ε ιναι αξονικ α συµµετρικ ο ηπυκν οτητα ρ(r, θ θα εξαρτ αται µ ονο απ ο τηναπ οσταση απ ο τηναρχ ητωναξ ονων (το κ εντρο µ αζας του σ ωµατος, r, και τη πολικ ηγων ια θ. Τα διαγ ωνια στοιχε ια ε ιναι ολα µηδενικ α. ι οτι: D 2 = 3 xyρd = 3 = 3 =, π π R(θ sin θdθ sin 3 θdθ R(θ r 4 2π r 2 dr ρ(r, θdr dφ ρ(r, θ r sin θ cos φrsin θ sin φ ( 2π dφ cos φ sin φ και D 3 = 3 = 3 = 3 = π π xzρd R(θ sin θdθ sin 2 θ cos θdθ 2π r 2 dr R(θ r 4 dφ ρ(r, θ r sin θ cos φ rcos θ ( 2π ρ(r, θdr dφ cos φ και µε τον ιδιο τρ οπο αποδεικν υεται οτι D 23 =3 yzρd =. Συνεπ ως µ ονο ο αριθµ ος Q απαιτε ιται για να προσδιορισθε ι ητετραπολικ η δι ορθωση και ο π ινακας D ε ιναι: D = Q 2 2 3

οπου Q = 2 (2x 2 y 2 z 2 ρd = 2 (x 2 z 2 ρd = (x 2 + y 2 2z 2 ρd = (2z 2 x 2 y 2 ρd. Τελικ αητετραπολικ η δι ορθωση πα ιρνει τη µορφ η: φ 4 = GD ij 3x i x j δ ij r 2 οπου, επαναλαµ ανουµε το Q ε ιναι: Q = 6r = GQ 2r ( 3x 2 + r 2 3y 2 + r 2 +6z 2 2r 2 = GQ 4r ( 2z 2 x 2 y 2 = GQ 4r 3 ( 3cos 2 θ (2z 2 x 2 y 2 ρd Υπενθυµ ιζουµε οτι η γων ια θ ε ιναι η πολικ η γων ια που σχηµατ ιζεται µε τον αξονα συµµετρ ιας. Παρατηρο υµε οτι οταν βρισκ οµαστε µακρυ ααπ οτοσ ωµα το δυναµικ οσεπρ ωτη προσ εγγιση ε ιναι αυτ ο που θα πρ οεκυπτε απ ο µ ια σηµειακ η µ αζα M. ηλαδ η ανβρισκ οµαστε µακρυ α απ ο ενα σ ωµα µπορο υµε να εκτιµ ησουµε σε πρ ωτη τ αξη τη µ αζα του µακρυνο υ σ ωµατος µετρ ωντας τη βαρυτικ η ελξη. Αν οµως το σ ωµα δεν ε ιναι σφαιρικ οθαυπ αρχουν διορθ ωσεις και η βαρυτικ η ελξη δεν θα ε ιναι µ ονο στη κατ ε υθυνση του κ εντρου µ αζας του σ ωµατος (δεν θα ε ιναι κεντρικ η πουσυνεπ αγεται τη µη διατ ηρηση της στροφορµ ης. Ηπρ ωτη δι ορθωση θα ε ιναι η τετραπολικ ηδι ορθωση η οπο ια φθ ινει µε την απ οσταση ως /r 3. Για µ ια σφαιρικ η κατανοµ η υλης ε ιναι ε υκολο να δε ιτε οτι για λ ογους συµµετρ ιας Q =. Το ιδιο ισχ υει για τους πολυπολικο υς ορους. Το Q µετρ α π οσο πεπλατυσµ ενο ε ιναι το σ ωµα. Αν το σ ωµα ε ιναι σαν λεµ ονι τ οτε Q> εν ω ανε ιναι σαν πορτοκ αλι τ οτε το Q<. ΗΓ η ε ιναι σαν πορτοκ αλι οπως προ ε λεψε ο Νε υτων, και αποδε ιχθηκε απο τις µετρ ησεις του Cassini και του de Maupertois. Πριν προχωρ ησουµε στον υπολογισµ ο τουσχ ηµατος της Γης ας υπολογ ισουµε τον τετραπολικ ο ορο στη περ ιπτωση οµογενο υς ελλειψοειδο υς σ ωµατος, µε εξωτερικ ηεπιφ ανεια που ορ ιζεται απ οτην: x 2 + y 2 a 2 + z2 c 2 =. Γι τον υπολογισµ ο ε ιναι χρ ησιµο να αλλ αξουµε τις µετα λητ ες στις x = aξ, y = aη, z = cζ, οπ οτε η ολοκλ ηρωση γ ινεται στο εσωτερικ ο τηςσφα ιρας: ξ 2 + η 2 + ζ 2 =. Σε αυτ ες τις µετα λητ ες Q = (2z 2 x 2 y 2 ρd = ρa 2 c dξdηdζ (2c 2 ζ 2 a 2 ξ 2 a 2 η 2, ξ 2 +η 2 +ζ 2 4

Λ ογω της σφαιρικ ης συµµετρ ιας θα ε ιναι: dξdηdζ ζ 2 = οπ οτε ξ 2 +η 2 +ζ 2 ξ 2 +η 2 +ζ 2 Ο ογκος του ελλειψοειδο υς ε ιναι: dξdηdζ ζ 2 = ξ 2 +η 2 +ζ 2 = 4π 3 = 4π dξdηdζ η 2 = ξ 2 +η 2 +ζ 2 = 4π 3 a2 c r 4 dr ξ 2 +η 2 +ζ 2 dξdηdζ ζ 2 + η 2 + ξ 2 3 dξdηdζ ξ 2, και συνεπ ως βρ ισκουµε οτι: Q = ρa 2 c 4π (2c2 2a 2 = ρa 2 c 8π (c2 a 2 = 2 M(c2 a 2 2 Το σχ ηµα της Γης ΗΓ η δενε ιναι απ ολυτα σφαιρικ η ηπολικ η δι αµετρος (απ οσταση βορε ιου και νοτ ιου π ολου ε ιναι 2c =274km εν ω ηδι αµετρος στον ισηµεριν οε ιναι περ ι τα2a =276km. Οβαθµ ος πεπλ ατυνσης εν ος σ ωµατος ορ ιζεται ως ϵ = a c a και για τη Γ η ε ιναι ϵ /3. Ηπλ ατυνση προκ υπτει κυρ ιως λ ογω της περιστροφ ης της Γης, οπως παρατηρ ησε ο Νε υτων. Το φυγοκεντρικ οδυναµικ ο ε ιναι Φ= ω2 2 (x2 + y 2 οπ οτε η επιφ ανεια της Γης πρ επει να ε ιναι µ ια ισοδυναµικ η επιφ ανεια, οπ οτε αν φ ε ιναι το βαρυτικ ο δυναµικ ο, επ ιτηςεπιφανε ιας της Γης θα ισχ υει: φ +Φ= σταθερ ο. Αν το βαρυτικ οδυναµικ ογραφε ι µε τη τετραπολικ η δ ιορθωσ ητου, γρ αφουµε τη τετραπολικ η ροπ η ως Q = 2Ma 2 J 2. µε J 2 µ ια αδι αστατη σταθερ α. Στην περ ιπτωση που το σχ ηµα ε ιναι ενα οµογεν ες ελλειψοειδ ες εκ περιστροφ ης θα ε ιναι. Q = 2Ma2 a 2 c 2 οπ οτε η σταθερ α θαε ιναι ιση µε J 2 =2ϵ/ a 2 = 2Ma2 a c a + c a a 2Ma 2 2ϵ

Αν υποθ εσουµε λοιπ ον οτι η επιφ ανεια ε ιναι ισοδυναµικ ηεπιφ ανεια (που ε ιναι πολ υκαλ ηπροσ εγγιση τ οτε το σχ ηµα της επιφανε ιας R(θ λαµ ανοντας υπ οψη µ ονο τετραπολικο υς ορους και θεωρ ωντας οτι η Γ η ε ιναι συµµετρικ η ωςπροςτον αξονα περιστροφ ης της θα δ ινεται απ ο τηνεξ ισωση: C = GM R + GMa2 J 2 2R 3 ( 3cos 2 θ ω2 2 r2 sin 2 θ, οπου C µ ια σταθερ α. Εξισ ωνοντας τη τιµ ητουδυναµικο υστονπ ολο (θ = και στον ισηµεριν ο (θ = π/2 θα πρ επει να ισχ υει: Επειδ η GM c + GMa2 J 2 = GM c 3 a GMJ 2 ω2 2a 2 a2 c = a( ϵ και επειδ η ϵ<< µπορο υµε να γρ αψουµε /c ( + ϵ/a και επειδ η J 2 = O(ϵ σε πρ ωτη τ αξη ως προς ϵ ηπαραπ ανω σχ εση ε ιναι: GMϵ a + 3GMJ 2 2a = ω2 2 a2. Αν g e = GM/a 2 ε ιναι η επιτ αχυνση της βαρ υτητας στον ισηµεριν ο προκ υπτει η ισ οτης: η 2g e aϵ 3J 2 g e a = ω 2 a 2. ω 2 a g e =2ϵ 3J 2. Ησχ εση αυτ η δ ινει µ ια σχ εση µεταξ υ τωνσταθερ ων ϵj 2. Αν υποθ εσουµς οτι ε ιναι ενα οµογεν ες ελλειψοειδ ες τ οτε J 2 =2ϵ/ και ϵ = ω2 a 4g e, που ε ιναι ϵ =/23 αρκετ α µεγαλ υτερο απ ο τοπαρατηρο υµενο ϵ =/3. ΗΓ η δεν εχει στη πραγ- µατικ οτητα σταθερ η πυκν οτητα και στο κ εντρο της υπ αρχει ενα πιο συµπαγ ης περιοχ η. 3 Ηκ ινηση εν ος σ ωµατος σε πεδ ιο βαρ υτητας µε τετραπολικ ηδι- ορθωση Ε αν k µοναδια ιο δι ανυσµα στη διε υθυνση του αξονα συµµετρ ιας το βαρυτικ οδυναµικ οθαε ιναι: φ = GM r GQ 4r ( 3( x k 2 R 2 και η δ υναµη F = φ που ασκε ιται στο σ ωµα δεν ε ιναι πλ εον κεντρικ ηο υτε αντιστρ οφου τετραγ ωνου. Ηεξ ισωση κ ινησης του σ ωµατος θα ε ιναι: ( d 2 x GM dt = 2GQ x 2 r 2 r 4 r GQ ( x 4r k 2 x 6 r + 3GQ 2r ( x k k. Ηεξ ισωση αυτ ηδεν εχει απλ ηλ υση. Ηµηκεντρικ οτητα της δ υναµης (υπ αρχει συνιστ ωσα της δ υνα- µης στη διε υθυνση του αξονα συµµετρ ιας του σ ωµατος καθ ως και οι οροι O(/r 4 που προστ ιθενται στη δ υναµη αντιστρ οφου τετραγ ωνου εξαρτ ωνται απ ο τητετραπολοκ η ροπ η καιτηναπ οσταση απ ο, 6

το κεντρικ οσ ωµα. Ηεπ ιπτωση της τετραπολοκ ης ρολης µει ωνεται µε την απ οσταση απ οτοκεντρικ ο σ ωµα. Οταν το σ ωµα κινε ιται υπ οτηνεπ ιδραση κεντρικ ης δ υναµης αντιστρ οφου τετραγ ωνου τ οτε η κ ινηση ε ιναι επ ιπεδη και η τροχι αελλειπτικ ησε ενα επ ιπεδο. Υπ οτηνεπ ιδραση του τετραπολοκο υ ορου ηκ ινηση δεν θα παραµε ινει ελλειπτικ ηο υτε θα περιορ ιζεται σε ενα επ ιπεδο. Αναµ ενουµε οµως επειδ η το τετραπολικ οδυναµικ οε ιναι µ ια διαταραχ ηστηκεντρικ ηβαρυτικ ηδ υναµη /r 2 οτι η κ ινηση του σ ω- µατος ( οταν ε ιναι φραγµ ενη να διαγρ αφει µ ια αργ α µετα αλ οµενη ελλειπτικ η τροχι α επ ι εν ος αργ α µετα αλλ οµενου επιπ εδου. Τι εννοο υµε µε τον ορο αργ α µετα αλλ οµενου ; Εννοο υµε οτι αν T ε ιναι ηπερ ιοδος περιστροφ ης του σ ωµατος περ ι τονπλαν ητη η τροχι ασεχρ ονους της τ αξης της περι οδου περιστροφ ης κε ιται σε ενα επ ιπεδο και ε ιναι ελλειπτικ η. Ηαλλαγ η τηςτροχι ας και του επιπ εδου της τροχι ας πραγµατοποιε ιται σε χρ ονους πολ υ µεγαλ υτερους απ ο τοχρ ονο περιστροφ ης. 3. Οκλονισµ ος του επιπ εδου της τροχι ας Θα αναλ υσουµε πρ ωτα τη κ ινηση του επιπ εδου της τροχι ας. Προς το υτο θα αναλ υσουµε την εξ ελιξη της στροφορµ ης του σ ωµατος L = m x x οπου m ηµ αζα του σ ωµατος η οπο ια δεν διατηρε ιται πλ εον λ ογω της υπαρηγς µη κεντρικο υ ορου στη δ υναµη. Πολλαπλασι αζοντας εξωτερικ ατηνεξ ισωση κ ινησης µε το δι ανυσµα θ εσης βρ ισκουµε οτι η χρονικ ηµετα ολ η τηςστροφορµ ης ε ιναι: d L dt = 3mGQ 2r ( x k k x. ηοπο ια ε ιναι αν αλογη της τετραπολικ ης ροπ ης Q και επιτελε ιται µικρ ηµετα ολ η τηςστροφορµ ης σε µ ια περιστροφ η, δηλαδ η L L TdL/dt <<, L (εκτιµε ιστε π οσο µετα αλλεται η στροφορµ ησεµ ια περιστροφ η. Οπ οτε το επ ιπεδο κ ινησης θα µετα- αλλεται αργ α. Ας υπολογ ισουµε τ ωρα τον τρ οπο που µετα αλλεται το επ ιπεδο κ ινησης του σ ωµατος. Για να απλοποι ησουµε τους υπολογισµο υς ας θεωρ ησουµε οτι το σ ωµα εκτελε ι κυκλικ η κ ινηση (θα δο υµε σε λ ιγο πως µετα αλλεται η ελειπτικ η τροχι α τουσ ωµατος σε ενα επ ιπεδο που σχηµατ ιζει γων ια α µε το επ ιπεδο του ισηµερινο υ ( οπως ε ιπαµε αυτ η ηγων ια θα αλλ αζει πολ υ αργ α και n µοναδια ιο δι ανυσµα κ αθετο στο επ ιπεδο το οπο ιο και αυτ ο θασχηµατ ιζει γων ια α µε το µοναδια ιο δι ανυσµα k που ε ιναι στη κατε υθυνση του αξονα συµµετρ ιας του σ ωµατος, οπ οτε k n =cosα. Ορ ιζουµε τ ωρα στο επ ιπεδο κ ινησης του σ ωµατος δ υο µοναδια ια διαν υσµατα ˆx = k n και ŷ = n ˆx οπ οτε τα (ˆx, ŷ, n σχηµατ ιζουν µ ια ορθοκανονικ η β αση, και τα δ υο πρ ωτα διαν υσµατα µπορο υν να ορ ισουν ολα τα σηµε ια του επιπ εδου. Επ ισης παρατηρο υµε οτι τα διαν υσµατα k, n και ŷ κε ινται στο ιδιο επ ιπεδο, και συνεπ ως k =cosα n+sinα ŷ. Υποθ ετουµε, οτι η τροχι α ε ιναι κυκλικ ηοπ οτε η θ εση του σ ωµατος ε ιναι x = r(cos ψˆx +sinψŷ, οπου ψ ηγων ια που σχηµατ ιζει το δι ανυσµα θ εσης µε τον αξονα ˆx. Οπ οτε k x = ˆx ŷ n sinα cos α r cos ψ r sin ψ = r cos α sin ψ ˆx + r cos α cos ψ ŷ r sin α cos ψ n και k x = r sin α sin ψ 7

Αντικαθιστ ωντας αυτ ες τις εκφρ ασεις στην εξ ισωση εξ ελιξης της στροφορµ ης εχουµε: d L dt = 3mGQ 2r 3 ( cos α sin α sin 2 ψ ˆx + cosα sin α sin ψ cos ψ ŷ sin 2 α sin ψ cos ψ n. Αυτ η η εκφραση µπορε ι νααπλοποιηθε ι παρατηρ ωντας οτι οι οροι sin ψ cos ψ µηδεν ιζονται σε µ ια περιστροφ η, εχουν µηδενικ οµ εσο ορο και δεν συµ αλουν σε πρ ωτη τ αξη στην αργ ηεξ ελιξη της στροφορµ ης, ηοπο ια αλλ αζει σε χρ ονους πολ υµεγαλ υτερους απ οτοχρ ονο περιστροφ ης. Ηκ υρια συµ ολ η στην εξ ελιξη της στροφορµ ης πρ οερχεται απ οτον ορο sin 2 ψ =/2 cos 2ψ, οοπο ιος αποτελε ιται απ ο το µ εσο ορο /2 και ενα ταλαντωτικ ο ορο που και αυτ ος δεν συµ αλει στην αργ η εξ ελιξη της στροφορµ ης. Συνεπ ως σε καλ ηπροσ εγγιση η στροφορµ η εξελ ισσεται σ υµφωνα µε την εξ ισωση: d L dt = 3mGQ 4r 3 cos α sin α ˆx = 3GQ 4r ω cos α k L = Ω L δεδοµ ενου οτι L = mr 2 ω µε ω = ψ. Βλ επουµε οτι το δι ανυσµα της στροφορµ ης περιστρ εφεται γ υρω απ ο τον αξονα συµµετρ ιας του σ ωµατος k µε γωνιακ ηταχ υτητα: Ω = 3GQ 4r ω cos α k, οπου µπορο υµε να προσεγγ ισουµε τη γωνιακ ηταχ υτητα περιστροφ ης του σ ωµατος µε ω = GM/r 3/2. Αν θ εσουµε Q = 2Ma 2 J 2 λαµ ανουµε οτι η κ αθετος του επιπ εδου της τροχι ας θα περιστρ εφεται περι τον αξονα συµµετρ ιας µε γωνιακ ηταχ υτητα Ω = 3J 2ω 2 cos α ( a 2 k. Οκλονισµ ος το υ επιπ εδου της τροχι ας ε ιναι αντ ιθετος στη διε υθυνση περιστροφ ης του σ ωµατος, και ε ιναι µεγαλ υτερος για κιν ησεις πλησ ιον του ισηµερινο υ καιεξαφαν ιζεται αν το σ ωµα τεθε ι σεπολικ η τροχι α. Ητ αξη µεγ εθους του κλονισµο υτουεπιπ εδου της τροχι ας για τροχι ας κοντ αστοεπ ιπεδο του ισηµερινο υκαισε υψος της τ αξης των km απ οτηνεπιφ ανεια της γης ε ιναι ενας ηδ υο µ ηνες (υπολογ ιστε το!. 3.2 Ηµετ απτωση του περιηλ ιου της ελλειπτικ ης τροχι ας (κε ιµενο γραµµ ενο απ ο τονφοιτητ η Ν. Κωνσταντ ινου r 2 8