Παρουσίαση ερευνητικής εργασίας µε θέµα: Η διερεύνηση της έννοιας του απείρου διαβάζοντας κείµενα µαθηµατικής λογοτεχνίας. ΒΑΣΙΛΗΣ «Από αµνηµόνευτους χρόνους, το άπειρο συγκινούσε τη ψυχή του ανθρώπου περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο ζήτηµα. Είναι δύσκολο να βρει κανείς µια ιδέα που να έχει ερεθίσει τόσο γόνιµα τη νόηση όσο η ιδέα του απείρου. Αλλά και καµία άλλη έννοια δεν χρήζει οριστικής διασάφησης περισσότερο από αυτήν». Με αφορµή τον παραπάνω ισχυρισµό του D.Hilbert, ξεκινάµε ένα ταξίδι στο χρόνο, µε τη βοήθεια του Logicomix, και στόχο να συναντηθούµε µε το µαθηµατικό άπειρο µετρώντας τις δυνάµεις µας ΣΤΕΦΑΝΙ Το Logicomix είναι ένα µυθιστόρηµα σε µορφή κόµικς, το οποίο ασχολείται µε την αναζήτηση των θεµελίων των µαθηµατικών και είναι γραµµένο από τον Απόστολο οξιάδη, το Χρίστο Παπαδηµητρίου, τον Αλέκο Παπαδάτο και την Annie Di Donna. Αφηγητής είναι ο Bertrand Arthur William Russell, ο οποίος γεννήθηκε το 187 στην Αγγλία από αριστοκρατική οικογένεια και υπήρξε σπουδαίος επιστήµονας της Λογικής, µαθηµατικός, ειρηνιστής και πολιτικός ακτιβιστής. Άνθρωπος µε έντονα πάθη, µας ταξιδεύει µέσω της βιογραφίας του στον κόσµο της Λογικής. ΓΙΑΝΝΗΣ Στις 4 Σεπτεµβρίου του 1939, την ηµέρα που το Ηνωµένο Βασίλειο κήρυξε τον πόλεµο στη Γερµανία, ο Ράσελ καλείται από ένα αµερικανικό Πανεπιστήµιο να δώσει µία οµιλία µε θέµα: «ο ρόλος της λογικής στα ανθρώπινα πράγµατα». Έξω από το Πανεπιστήµιο οι αποµονωτιστές ζητούν από τον Ράσελ να διαδηλώσει µαζί τους ενάντια στη συµµετοχή των ΗΠΑ στον Β Παγκόσµιο πόλεµο. Ο Ράσελ τους πείθει ότι παρακολουθώντας την οµιλία του θα µπορέσουν να βρουν τις απαντήσεις σχετικά µε το αν η στάση τους απέναντι στον πόλεµο είναι σωστή. Ο Ράσελ θα µιλήσει για τις αρχές που διέπουν τη Λογική, µέσω των αρχών της δικής του ζωής. Έζησε, λοιπόν, τα παιδικά του χρόνια (1880) στο σπίτι της γιαγιάς και του παππού του. Η γιαγιά του ήταν πολύ αυστηρή και θρησκόληπτη, σε αντίθεση µε τον παππού του που ήταν ένας άνθρωπος ανοιχτόµυαλος και µορφωµένος. Η γιαγιά καθώς δεν εµπιστευόταν την δηµόσια εκπαίδευση, προσέλαβε δασκάλους, οι οποίοι ανέλαβαν την εκπαίδευση του Ράσελ. Ο τελευταίος, χάρη στην κρυφή βιβλιοθήκη του παππού του, τέως πρωθυπουργού της Αγγλίας, και στην καθοδήγηση του καθηγητή των Μαθηµατικών, ήρθε σε επαφή µε τον Ευκλείδη. Στο έργο του βρήκε, ό,τι µάταια αναζητούσε ως τότε στη θρησκεία της γιαγιάς. (ο Γεράσιµος σηκώνεται και κάνει την απόδειξη) Ο Ευκλείδης του έδειξε το δρόµο που θα τον οδηγούσε στην αλήθεια: τη Λογική, στη αγκαλιά της οποίας γνώρισε για πρώτη φορά την ηδονή της απόλυτης βεβαιότητας. Η απόδειξη ήταν η "βασιλική οδός"!(γεράσιµος: µε αφορµή µια απόδειξη που στηρίζεται στο αξίωµα των παραλλήλων δηλαδή µια απόδειξη που στηρίζεται στο αναπόδεικτο, απογοητεύεται.)
Με το θάνατο του παππού του βρίσκει το κουράγιο να αντιταχθεί στη γιαγιά του και επιτέλους να µάθει όλα τα στοιχεία για την οικογένειά του, που εκείνη του κράταγε κρυφά τόσα χρόνια. Οι κραυγές που άκουγε τα βράδια, και των οποίων όλοι αρνούνταν την ύπαρξη, ήταν του θείου που ήταν σχιζοφρενής και κλεισµένος σε ένα δωµάτιο του σπιτιού. Ο Ράσελ είδε στα µάτια του την τρέλα, έναν εφιάλτη που θα τον κυνηγούσε σε όλη του τη ζωή. ΕΙΡΗΝΗ Με την είσοδο του στο Μαθηµατικό τµήµα του πανεπιστηµίου του Cambridge, ο Ράσελ παρατηρεί κενά στον ορισµό εννοιών, όπως εκείνον του απειροστού. (Καραγιάννης: Ο Απειροστικός Λογισµός, µε τα παράδοξα του απείρου στον πυρήνα του, υπήρξε επανάσταση στα µαθηµατικά. Κίνητρο για την αλµατώδη εξέλιξη του απειροστικού λογισµού, σ ένα µεγάλο βαθµό, ήταν προβλήµατα όπως αυτό του ορισµού της εφαπτοµένης καµπύλης σε σηµείο αυτής. Το 17 ο αιώνα, δύο εξέχουσες προσωπικότητες που ανέπτυξαν συστηµατικές µεθόδους επίλυσης αυτού του προβλήµατος, ήταν οι Newton και Leibniz, δηµιουργώντας ανεξάρτητα αυτό που αποκαλούµε σήµερα Απειροστικό Λογισµό. Το 1684 ο Leibniz, δηµοσίευσε µερικές απλές εφαρµογές του διαφορικού λογισµού, στις οποίες φαίνεται να χρησιµοποιεί ποσότητες dx,dy τις οποίες θεωρεί διάφορες του µηδενός ενώ ταυτόχρονα µικρότερες από κάθε πραγµατικό θετικό αριθµό. Ένα παράδειγµα της χρησιµοποίησης τους είναι για τον υπολογισµό του ρυθµού µεταβολής της συνάρτησης y=x : Έστω ότι η µεταβολή του x είναι dx τότε ο ρυθµός µεταβολής της συνάρτησης είναι: ( x+ dx) x ( x+ dx) x = x + xdx+ ( dx) dx x = xdx+ ( dx) dx = dx(x+ dx) dx = x+ dx x (αφού το dx είναι απείρως µικρότερο του x) Παρόλη την κριτική που τους ασκήθηκε και την ασαφή φύση τους, τα απειροστά χρησιµοποιήθηκαν ευρέως για αρκετό καιρό κυρίως κατά τον 17 ο -18 ο αιώνα. Την προσπάθεια για αυστηρή θεµελίωση του Απειροστικού Λογισµού, εξοβελίζοντας τα απειροστά από τα τυπικά µαθηµατικά, συµπλήρωσε ο Weierstrass που θεµελίωσε την Aνάλυση σε καθαρά αριθµητική βάση). Απογοητευµένος απ' τα Μαθηµατικά, ο Ράσελ στρέφεται στη λογοτεχνία, τη φιλοσοφία και το θέατρο. Έρχεται σε επαφή µε τη φύση, απαλλάσσεται από τις δεισιδαιµονίες της παιδικής του ηλικίας και γνωρίζει την Άλις, τη γυναίκα που θα παντρευόταν, παρά τις αντιρρήσεις της γιαγιάς του. Έχοντας τελειώσει τις σπουδές µε άριστα, έχει πια πεισθεί ότι τα θεµέλια των Μαθηµατικών θα υποχωρήσουν και το µαθηµατικό οικοδόµηµα θα καταρρεύσει. Παράλληλα, δεν βρίσκει στη Φιλοσοφία την Αλήθεια που έψαχνε. Ο Λογικιστικός Λογισµός του Leibniz και το σχετικό έργο του Μπούλ, τον κάνουν να καταλάβει, ότι ανήκει στη Λογική. Συνοδοιπόρος του στην αναζήτηση των αρχών της Νέας Λογικής και κατά συνέπεια των σταθερών θεµελίων των Μαθηµατικών, ο Alfred Whitehead, που έµελλε να γίνει µέντορας και φίλος του.
ΤΕΚΤΟΝΙ ΗΣ Ο Russell, µε προτροπή του Whitehead, αποφασίζει να ταξιδέψει στην Ευρώπη για να γνωρίσει τους νέους αστέρες της Λογικής. Επισκέπτεται στην Γερµανία τον Frege, του οποίου το όνειρο είναι να φτιάξει µία τέλεια λογική γλώσσα, ικανή για να χτίσει τα θεµέλια των Μαθηµατικών (η αλήθεια είναι ότι ο Frege τις είχε τις παραξενιές του.). Συναντά τον Cantor σε ένα σε ψυχιατρικό άσυλο, γεγονός που τον σοκάρει ενώ οι εφιάλτες του επιστρέφουν (Λογική και τρέλα-παράξενο ζευγάρι).(σωκράτης: O Georg Cantor υπήρξε Γερµανός µαθηµατικός και στοχαστής. Καθιερώθηκε ως ο δηµιουργός και θεµελιωτής της θεωρίας των συνόλων. Οι ιδέες που εισήγαγε στα µαθηµατικά υπήρξαν τόσο νεωτεριστικές για την εποχή του, ώστε προκάλεσαν πολλές κριτικές από τους σύγχρονούς του µαθηµατικούς. Το έργο του ανακίνησε τα θεµέλια των Mαθηµατικών, επιδρώντας αποφασιστικά στη διαµόρφωση της µαθηµατικής σκέψης και έκφρασης. Ιδιαίτερα σε αυτό συνετέλεσε το γεγονός ότι οι µέθοδοι του Cantor οδήγησαν στα λεγόµενα παράδοξα της θεωρίας των συνόλων, απ όπου προέκυψε η ανάγκη για την κριτική επανεξέταση των θεµελίων των Μαθηµατικών. Κατά τη διάρκεια της ζωής του απέδειξε, µεταξύ άλλων, δύο σηµαντικά θεωρήµατα: i. Αρχικά, απέδειξε ότι το σύνολο των ρητών αριθµών είναι δυνατόν να τεθεί σε αντιστοιχία «1 1» µε το σύνολο τον φυσικών. ηλαδή, ένα στοιχείο από το σύνολο των ρητών µπορεί να αντιστοιχηθεί µε ένα και µόνο ένα στοιχείο από το σύνολο των φυσικών. Αυτό καθιστά το σύνολο των ρητών αριθµήσιµο. ii. Στη συνέχεια απέδειξε (µε χρήση του διαγώνιου επιχειρήµατος) ότι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών δεν µπορεί να υποστεί πανόµοια διαδικασία µε το σύνολο των φυσικών, οπότε το σύνολο τον πραγµατικών αριθµών δεν είναι αριθµήσιµο και µάλιστα είναι άπειρο αµέσως µεγαλύτερο από εκείνο των φυσικών. Αυτά τα δύο θεωρήµατα οδήγησαν στην παραδοχή της ύπαρξης δύο ειδών απείρου, του αριθµήσιµου ℵ 0 και του πρώτου µη αριθµήσιµο απείρου ℵ 1. Ο Cantor περνά την υπόλοιπη µαθηµατική του ζωή προσπαθώντας να αποδείξει την περίφηµη «Υπόθεση του Συνεχούς», δηλαδή ότι δεν υπάρχει κάποιο τρίτο είδος απείρου που να ιεραρχείται ανάµεσα στα δύο, χωρίς όµως να το καταφέρει (ο Cohen απέδειξε το 1963, ότι δεν µπορεί να αποδειχθεί η «Υπόθεση του Συνεχούς», ούτε όµως και η άρνησή της στο υπάρχον αξιωµατικό σύστηµα της θεωρίας συνόλων). Ο Cantor υπέφερε από σοβαρά ψυχικά νοσήµατα και νοσηλεύθηκε για µακρά χρονικά διαστήµατα µε τη διάγνωση της µελαγχολίας, προβλήµατα που µπορούν να αποδοθούν στην πολεµική που δέχθηκε η θεωρία συνόλων από µέρος της µαθηµατικής κοινότητας. Ο Cantor ήταν ο πρώτος που κοίταξε το άπειρο κατάµατα, δεν ήταν όµως ο πρώτος που ασχολήθηκε µε αυτό. Πρέπει να ταξιδέψουµε για λίγο πίσω στο χρόνο να συναντήσουµε τους Αρχαίους Έλληνες µαθηµατικούς και φιλοσόφους που ασχολήθηκαν πρώτοι µε το άπειρο. (Ελένη-Ναταλία-Ρένα: Αναξίµανδρος ο Μιλήσιος: επίκεντρο της φιλοσοφίας του ήταν το άπειρο, για το οποίο δίνει δυο ορισµούς: α+πέρας: δίχως τέλος α+περάω: αδιαπέραστο. Με αυτές τις έννοιες υπογραµµίζει ότι το άπειρο είναι στοιχείο «άφθαρτο, αγέννητο και αθάνατο». Είναι το βασικό κοσµικό στοιχείο.
Πυθαγόρειοι (6 ος αιώνας): Για του Πυθαγόρειους το άπειρο είναι ακατανόητο, αόριστο, χωρίς την αρµονία και την οµορφιά που περιέβαλε τον κόσµο, τον οποίο οι Πυθαγόρειοι ερµήνευσαν πάνω στην αφηρηµένη έννοια του αριθµού. Ανακάλυψαν την ασυµµετρία, δηλαδή ότι υπάρχουν γεωµετρικά µεγέθη αποτελούµενα από απείρως µικρά τµήµατα των οποίων ο αριθµός είναι άπειρος. Η ανακάλυψη αυτή οδηγεί στη διάλυση της σχολής των Πυθαγορείων. Ατοµικοί Φιλόσοφοι: πίστευαν ότι η ύλη αποτελείται από αδιάσπαστα, άφθαρτα, αόρατα στοιχεία, τα άτοµα, τα οποία γεννήθηκαν τυχαία, έλκονται και σχηµατίζουν νέους κόσµους. Υποστήριζαν ότι στον κόσµο µας δεν υπάρχει ένα είδος απείρου, και ότι από ένα σύνολο απείρου µπορεί να απορρέει ένα ή και περισσότερα σύνολα απείρων. Τέλος, πίστευαν πως ένα τµήµα του σύµπαντος το οποίο είναι άπειρο, είναι άδειο και αραιό, ενώ το άλλο είναι γεµάτο και στερεό. Συµπεραίνουµε από αυτό, πως θεωρούσαν ότι το άπειρο µπορεί να διαιρεθεί. Ζήνων ο Ελεάτης: Με τα περίφηµα παράδοξα (το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας, το παράδοξο της διχοτοµίας, του βέλους και του σταδίου) αποκάλυψε τη σύγκρουση ανάµεσα στο συνεχές και το διακριτό. Ο Ζήνωνας, ως µαθητής του Παρµενίδη, δίδασκε πως η κίνηση είναι φαινοµενική, εκφράζοντας τη αντίληψη ότι ο χώρος στην πραγµατικότητα δεν αποτελείται από σηµεία. Θεωρούσε λοιπόν το χώρο ως µη διαιρέσιµο όλον, το οποίο δεν µπορεί να διασπασθεί σε µέρη. Αριστοτέλης: Ο Αριστοτέλης έθεσε το ερώτηµα αν υπάρχει άπειρο, τι είναι και τι ακριβώς σηµαίνει. Έθεσε κάποιες υποχρεωτικές παραδοχές: Α. ο χρόνος δεν έχει τέλος, είναι άπειρος Β. υπάρχουν άπειροι τρόποι τοµής τµηµάτων, άπειρες φορές Γ. η γέννηση και η φθορά υπήρχαν, υπάρχουν και θα υπάρχουν στο µέλλον, δηλαδή στο άπειρο. όλα τα πράγµατα στον κόσµο οριοθετούνται από άλλα µεγαλύτερα πράγµατα, όµως οι φορές οριοθέτησης είναι άπειρες Ε. η σκέψη του ανθρώπινου νου είναι απεριόριστη άρα και οι εφευρέσεις είναι άπειρες αέναες. Αυτό που είναι αδύνατο για τον Αριστοτέλη είναι η θεώρηση αντικειµένων απείρων διαστάσεων, άπειρα αντικείµενα δεν υπάρχουν. Άπειρες ολότητες αντικειµένων µπορούν αν εξετασθούν µόνο εσωτερικά, πράγµα που σηµαίνει ότι για τον Αριστοτέλη έχει νόηµα µόνο η δυνητική σπουδή του απείρου, ενώ το πραγµατικό άπειρο, σαν αντικείµενο, είναι αποτέλεσµα νοητικού άλµατος, που είναι µια διαδικασία µη επιτρεπτή. Το σύµπαν δεν περιέχει άπειρα αντικείµενα, ο άνθρωπος δε µπορεί να τελειώσει καµία άπειρη διαδικασία. Νόηµα έχει µόνο η δυνητική σπουδή του απείρου. Το νοητικό άλµα της αντικειµενοποίησης του απείρου (ενεργεία άπειρο) είναι, από την ίδια τη φύση των πραγµάτων, µια διαδικασία µη επιτρεπτή Εύδοξος :Ο Εύδοξος γεννήθηκε το 408 π.χ. στη Μικρά Ασία. Όταν πήγε στην Αθήνα ήρθε σε επαφή µε τον Πλάτωνα και έγινε µαθητής του. Εισήγαγε για πρώτη φορά την έννοια του µεγέθους (ευθύγραµµα τµήµατα, εµβαδά κλπ.). Από τα πιο σπουδαία έργα του είναι η γενική θεωρία των λόγων, µια γεωµετρική θεωρία που έκανε µη αναγκαία την αναφορά σε σύµµετρα και ασύµµετρα µεγέθη.
Αρχιµήδης: Γεννήθηκε στις Συρακούσες το 87 π.χ. Τα µεγαλύτερα επιτεύγµατά του στον κόσµο των µαθηµατικών ανήκουν στον ολοκληρωτικό λογισµό. Επίσης ασχολήθηκε µε τα θεωρήµατα των εµβαδών επίπεδων σχηµάτων και τους όγκους στερεών σχηµάτων. Γύρω στο 5 π.χ. πραγµατοποίησε τον τετραγωνισµό της παραβολής. Επόµενος σταθµός του ταξιδιού του το 1900, είναι το Παρίσι, όπου παραβρίσκεται στο Παγκόσµιο Συνέδριο, τη σπουδαιότερη σύναξη µαθηµατικών στον κόσµο. Όλοι οι νέοι ήρωες του Russell είναι εκεί (ο Klein, ο Dedekind, o Poincaré και βέβαια ο Hilbert). (Πασχάλης: Ο David Hilbert γεννήθηκε το 186 στη Γερµανία. Υπήρξε µαθηµατικός και ασχολήθηκε ιδιαίτερα µε το άπειρο. Θα παρουσιάσουµε το παράδοξο του «άπειρου ξενοδοχείου». Είναι µια καταπληκτική ιστορία που αποδίδεται στον Hilbert (δεν αναφέρεται όµως σε κανένα από τα συγγράµµατά του). Συνοπτικά, η ιστορία αναφέρεται σε ένα ξενοδοχείο µε άπειρο αριθµό δωµατίων το οποίο είναι γεµάτο. Ενώ µοιάζει να µην χωράνε άλλοι επισκέπτες, εµφανίζονται στο ξενοδοχείο καταρχήν ένας νέος επισκέπτης και στη συνέχεια πούλµαν µε άπειρους επισκέπτες. Το ερώτηµα είναι πώς, αν βέβαια είναι δυνατόν, θα χωρέσουν όλοι οι επισκέπτες στο ξενοδοχείο. Για να φιλοξενηθεί ο ένας νέος επισκέπτης, αρκεί να µετακινηθούν όλοι στο διπλανό δωµάτιο( ο άνθρωπος από το δωµάτιο 1 να πάει στο, αυτός από το να πάει στο 3 και κ.λ.π). Στη συνέχεια, για να φιλοξενηθούν άπειροι επισκέπτες, αρκεί ο άνθρωπος από το δωµάτιο να πάει στο 4,και αυτός από το 3 να πάει στο 6 και τελικά να µετακινηθεί ο άνθρωπος από το ν- οστό δωµάτιο και να πάει στο δωµάτιο µε αριθµό ν. Το πρώτο video που θα παρακολουθήσουµε εξηγεί αναλυτικά τα παραπάνω και το δεύτερο είναι ένα δείγµα από τη δική µας.πάλη µε τα απειροσύνολα.) Στο Παρίσι, λοιπόν, ο Ράσελ βρίσκει και τον Whitehead µε τη σύζυγό του Evelyn, µε τον οποίο παρακολούθησαν τη διαµάχη µεταξύ Poincaré και Hilbert. Το αντικείµενο της διαµάχης ήταν η αξία της θεωρίας συνόλων και το αν αυτή θα έπαιζε ή όχι κεντρικό ρόλο στη θεµελίωση των Μαθηµατικών. Ο Poincaré θεωρεί τη θεωρία συνόλων ασθένεια (πίστευε µε πάθος στην ανθρώπινη διαίσθηση) ενώ ο Hilbert, φανατικός της αυστηρά ακριβόλογης µεθοδολογίας, πιστεύει ότι: «κανείς δεν θα µας διώξει από τον παράδεισο που δηµιούργησε µε τη θεωρία συνόλων ο Cantor για µας». Πίστευε ότι στα Μαθηµατικά "δεν υπάρχει ignorabimus", εµπνέοντας έτσι τον Russell να αντιµετωπίσει τα όχι και τόσο προφανή κατά τη γνώµη του αξιώµατα του Ευκλείδη. ΧΡΗΣΤΟΣ Ο Russell, ξανά στο Cambridge, στην προσπάθειά του να επιλύσει τα προβλήµατα των Θεµελίων (και να ξεπεράσει τον Ευκλείδη!!) µε το βιβλίο του "Αρχές των Μαθηµατικών", ασχολήθηκε µε τα σύνολα και ανακάλυψε ένα παράδοξο. ( ανάη: το περίφηµο ποια παράδοξο του Russell είναι το εξής: το σύνολο των συνόλων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους, περιέχει τον εαυτό του; Αν ναι, τότε δεν τον περιέχει. Αν όχι, τότε τον περιέχει. Είναι ένα παράδοξο παρόµοιο µε εκείνο του κουρέα: όποιος δεν ξυρίζεται µόνος του, τον ξυρίζει ο κουρέας. Ποιος ξυρίζει τον κουρέα;) Κάποιοι είδαν το παραπάνω παράδοξο µε χαρά (όπως ο
Poincaré και ο Cantor), άλλοι δεν χάρηκαν και τόσο µε την ανακάλυψή του (Peano, Hilbert, Frege). O Russell, για να αντιµετωπίσει το «πρόβληµα» που δηµιούργησε, αποφασίζει να γράψει ένα έργο µε τον Whitehead, τo «Principia Mathematica» µε το οποίο θα «ξαναέχτιζαν τη Λογική από το µηδέν». ούλεψαν σκληρά σχεδόν για δέκα χρόνια όµως δεν κατάφεραν τίποτα. Ούτε η µετακόµιση στο σπίτι των Whitehead διευκόλυνε την κατάσταση, καθώς οι προστριβές και οι αντιθέσεις στις απόψεις των δυο θεµελιωτών ήταν πολλές. Βρίσκουν µάλιστα απόλυτο εκφραστή του επιχειρήµατός τους τις αναΐδες, καταδικασµένες σε ένα ανώφελο έργο χωρίς τέλος. Αποφασίζουν λοιπόν να εκδώσουν την ανύπαρκτη σχεδόν πρόοδό τους, µε τους εκδότες να συµφωνούν στο εγχείρηµα αυτό, µε την προϋπόθεση της κάλυψης των εξόδων έκδοσης από τους ίδιους τους συγγραφείς. Κύριο και απόλυτα βάσιµο ήταν το επιχείρηµά τους, πως κανείς δε θα αγόραζε το βιβλίο εφόσον κανείς δε θα δεχόταν να το διαβάσει επί πληρωµή. ΑΓΓΕΛΟΣ Με το κλείσιµο του κεφαλαίου των Principia στη ζωή του Russell, η πραγµατικότητα εισβάλλει ορµητικά. Έχει ήδη χωρίσει την γυναίκα του η οποία είναι έγκλειστη σε ιδρύµατα, ενώ έχει οµολογήσει τον έρωτά του στην Evelyn Whitehead, γυναίκα του φίλου του. Την περίοδο που ακολουθεί, γνωρίζει τον Ludwig Wittgenstein, ο οποίος απευθύνεται στο Russell για να τον διδάξει τη Λογική. Επιθυµούσε διακαώς τη στήριξη των θεµελίων της Λογικής, αποκλείοντας εντελώς την παρεµβολή παραγόντων εµπειρικών, της έννοιας του συνόλου σε επίπεδο µη πεπερασµένο, και φυσικά της έννοιας του απείρου, ερχόµενος σε απόλυτη αντίθεση µε τις απόψεις του Russell, ο οποίος νιώθει τελικά όλο του το έργο να καταρρέει. Ο παραλίγο θάνατος της Evelyn, έγινε αφορµή για ένα µεγάλο άνοιγµα προς τη ζωή. Ο πόλεµος άλλωστε ήταν προ των πυλών, µε τον οξύ εθνικισµό να διασχίζει ταχύτατα τη Μάγχη. Στις 4 Αυγούστου του 1914 η Αγγλία κηρύσσει τον πόλεµο στη Γερµανία, ο µικρός γιός Whitehead και ο Wittgenstein κατατάσσονται στο στρατό, και ο ίδιος φυλακίζεται εξαιτίας ενός ειρηνευτικού άρθρου του. ΒΑΣΙΛΗΣ Μετά τον πόλεµο, επικρατεί το χάος. Οι άνθρωποι αποτινάσσουν το ζυγό των παλιών αξιών καθώς θεωρούν πως αυτές τους οδήγησαν στον πόλεµο. Το έργο του Wittgenstein, αρχίζει να γίνεται όλο και πιο γνωστό, ενώ ο ίδιος αποσύρεται για να ασχοληθεί µε την διδασκαλία, µονοπάτι που ακολούθησε και ο Russell µε τη νέα γυναίκα του, µε την οποία απέκτησε και ένα γιό. Καθώς όµως ο πρώτος είναι πολύ αυστηρός και ο δεύτερος πολύ προοδευτικός, αποτυγχάνουν και οι δύο. Εν τω µεταξύ, στη Βιέννη ο Russell συναντά τον Gödel, τον µοναδικό αναγνώστη των Principia, ο οποίος παρατηρεί ότι τα Principia στηρίζονται στο αξίωµα ότι: το αληθινό είναι και αποδείξιµο (στα Μαθηµατικά, βλέπετε, δεν υπάρχει ignorabimus). Έτσι, ο Russell δεν καταφέρνει να ξεπεράσει τον Ευκλείδη, και ο Gödel µε το περίφηµο θεώρηµα της µη πληρότητας, αποδεικνύει ότι πάντα θα υπάρχουν κάποιες ερωτήσεις που δεν θα απαντηθούν. Τετέλεσται Ήταν το τέλος ενός ονείρου που είχε θεολογική καταγωγή, και το πιστεύω του είχε γραφτεί στα ελληνικά πριν είκοσι τρείς αιώνες. (ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ-ΟΡΕΣΤΗΣ διαβάζουν τις σελίδες 95 (Μας φώναξες )-96-97)