Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους"

Transcript

1 Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους Οι αντιλήψεις για τη φύση και το ρόλο των μαθηματικών που υπάρχουν στην κοινωνία μας έχουν μια σημαντική επίδραση στην ανάπτυξη των προγραμμάτων των σχολικών μαθηματικών, τη διδασκαλία και την έρευνα. Η κατανόηση των διαφορετικών αντιλήψεων των μαθηματικών είναι εξίσου σημαντική τόσο για την ανάπτυξη και την επιτυχή εφαρμογή των προγραμμάτων των σχολικών μαθηματικών όσο και για τη διεξαγωγή και ερμηνεία των ερευνητικών μελετών. Στη βιβλιογραφία των μεταρρυθμίσεων στην εκπαίδευση των μαθηματικών και της φυσικής, τα μαθηματικά εμφανίζονται ως ένα δυναμικός και αναπτυσσόμενος τομέας έρευνας. Ενώ άλλες αντιλήψεις θεωρούν τα μαθηματικά ως μια στατική επιστήμη με ένα γνωστό σύνολο εννοιών αρχών και δεξιοτήτων. Η έρευνα δείχνει ότι αυτές οι διαφορετικές αντιλήψεις έχουν επίδραση στους τρόπους με τους οποίους οι εκπαιδευτικοί και οι μαθηματικοί προσεγγίζουν τη διδασκαλία και την ανάπτυξη των μαθηματικών. Κάποιοι βλέπουν τα μαθηματικά ως μια στατική επιστήμη που αναπτύσσεται αφηρημένα. Άλλοι βλέπουν τα μαθηματικά ως μια δυναμική επιστήμη, που αλλάζει συνεχώς, ως αποτέλεσμα των νέων ανακαλύψεων από τον πειραματισμό και την εφαρμογή. Ακολουθεί μια επισκόπηση των αντιλήψεων αυτών για τα μαθηματικά και τις τρέχουσες και δυνητικές επιπτώσεις τους για τη φύση και την πορεία της μαθηματικής εκπαίδευσης. Αντιλήψεις για τα μαθηματικά Ιστορία: Πλατωνική και Αριστοτελική αντίληψη Η συζήτηση για τη φύση των μαθηματικών χρονολογείται από τον 4 ο π.χ. αιώνα όπου μεταξύ των πρώτων που συνέβαλαν σε αυτόν τον διάλογο ήταν ο Πλάτωνας και ο μαθητής του ο Αριστοτέλης.

2 Η θέση του Πλάτωνα ήταν ότι τα αντικείμενα των μαθηματικών έχουν μια αυθύπαρκτη ύπαρξη στον εξωτερικό κόσμο, πέρα από το μυαλό. Με τον τρόπο αυτό, ο Πλάτων κάνει σαφή διάκριση μεταξύ των ιδεών του νου και των αναπαραστάσεων τους που γίνονται αντιληπτές από τον εξωτερικό κόσμο μέσω των αισθήσεων. Εξαιτίας αυτού ο Πλάτωνας κάνει διάκριση μεταξύ της αριθμητικής της θεωρίας των αριθμών - και της λογιστικής- τις τεχνικές υπολογισμού που απαιτούνται από τους εμπόρους. Στη Δημοκρατία (1952), ο Πλάτωνας υποστήριξε ότι η μελέτη της αριθμητικής έχει θετική επίδραση στα άτομα, τους αναγκάζει να αιτιολογήσουν σχετικά με τους αφηρημένους αριθμούς. Ο Πλάτων θεωρούσε παγίως την άποψη αυτή, δείχνοντας αγανάκτηση στη χρήση από τους τεχνίτες των φυσικών επιχειρημάτων για να "αποδείξουν" αποτελέσματα σε εφαρμοσμένες καταστάσεις. Για τον Πλάτωνα, τα μαθηματικά φτάνουν να "είναι ταυτόσημα με τη φιλοσοφία από σύγχρονους στοχαστές, αν και λένε ότι θα πρέπει αυτά να μελετηθούν για χάρη άλλων πραγμάτων (Αριστοτέλης, 1952, 510 σελ.). Αυτή η προωθημένη θέση για τα μαθηματικά ως μια αφηρημένη διανοητική δραστηριότητα στα εξωτερικά υπάρχοντα αντικείμενα που έχουν μόνο αναπαραστάσεις στον κόσμο των αισθήσεων παρατηρείται επίσης και στις συζητήσεις του Πλάτωνα στα πέντε κανονικά στερεά στον Τίμαιο (1952b) και την υποστήριξη και εμψύχωση για την ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αθήνα (Boyer, 1968). Ο Αριστοτέλης, ο μαθητής του Πλάτωνα, είδε τα μαθηματικά ως ένα από τα τρία γένη, στα οποία η γνώση θα μπορούσε να διαιρεθεί: το φυσικό, το μαθηματικό και το θεολογικό: [Τα Μαθηματικά είναι αυτά), τα οποία εμφανίζουν ποιότητα σε σχέση με τις μορφές και τις τοπικές κινήσεις, που αναζητούν το σχήμα, τον αριθμό, και το μέγεθος, καθώς και τον τόπο, το χρόνο, και παρόμοια πράγματα... Μια τέτοια ουσία εμπίπτει, όπως είναι, μεταξύ των άλλων δύο, όχι μόνο επειδή μπορεί να συλληφθεί τόσο μέσω των αισθήσεων όσο και χωρίς τις αισθήσεις. (Πτολεμαίος, 1952, σελ. 5) Αυτή η δήλωση του για το ρόλο των αισθήσεων ως πηγή για την αφαίρεση των ιδεών σχετικά με τα μαθηματικά ήταν διαφορετική από

3 την άποψη του δάσκαλου του, του Πλάτωνα. Η άποψη του Αριστοτέλη για τα μαθηματικά δεν βασίζονταν σε μια θεωρία ενός εξωτερικού, ανεξάρτητου, μη παρατηρήσιμου σώματος της γνώσης. Αντίθετα, βασίζονταν στη βιωμένη πραγματικότητα, όπου η γνώση αποκτάται από τον πειραματισμό, την παρατήρηση, και την αφαίρεση. Η άποψη αυτή υποστηρίζει την αντίληψη ότι κάποιος κατασκευάζει τις σχέσεις που είναι συνυφασμένες σε μια δεδομένη μαθηματική κατάσταση. Κατά την άποψη του Αριστοτέλη, η κατασκευή μιας μαθηματικής ιδέας έρχεται μέσα από τις εξιδανικεύσεις που πραγματοποιούνται από τον μαθηματικό, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας με τα αντικείμενα. Έτσι, οι δηλώσεις στα εφαρμοσμένα Μαθηματικά, είναι προσεγγίσεις θεωρημάτων στα καθαρά μαθηματικά (Korner, 1960). Ο Αριστοτέλης προσπάθησε να κατανοήσει τις μαθηματικές σχέσεις μέσα από την συλλογή και την ταξινόμηση των εμπειρικών αποτελεσμάτων που προέρχονται από πειράματα και παρατηρήσεις και, στη συνέχεια, από την αφαίρεση ενός συστήματος για να εξηγήσει τις εγγενείς σχέσεις στα δεδομένα. Έτσι, τα έργα και οι ιδέες του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη μορφοποιούν δύο από τα μεγαλύτερα αντίθετα θέματα σχετικά με τη φύση των μαθηματικών. Από τον Μεσαίωνα, το έργο του Αριστοτέλη έγινε γνωστό για τη συμβολή του στη λογική και τη χρήση του για την τεκμηρίωση επιστημονικών ισχυρισμών. Αν και αυτό δεν ήταν αντίθετο προς τον τρόπο με τον οποίο ο Αριστοτέλης είχε χρησιμοποιήσει τις μεθόδους του λογικού συλλογισμού, όσοι χρησιμοποίησαν τις αρχές του αυτές τις χρησιμοποίησαν συχνά για να επιχειρηματολογήσουν εναντίον της παραγωγής των αποδεικτικών στοιχείων από εμπειρικές έρευνες. Ο Αριστοτέλης χάραξε καθαρές γραμμές μεταξύ των ιδεατών μορφών που οραματίστηκε ο Πλάτωνας και των εμπειρικών τους επιτευγμάτων στα κοσμικά αντικείμενα. Οι διακρίσεις μεταξύ αυτών των δύο σχολών της μαθηματικής σκέψης σχολιάζονται περαιτέρω από τον Francis Bacon στις αρχές του 1500, όταν χώρισε τα μαθηματικά σε καθαρά και μικτά μαθηματικά. Η συζήτηση αυτή σχετικά με τη φύση των μαθηματικών επανέρχεται από τον Jean D'Alembert τον 18 ο αιώνα.

4 Ο Καρτέσιος εργάστηκε για να κινήσει τα μαθηματικά πίσω στην πορεία της αφαίρεσης από τα αποδεκτά αξιώματα. Αν και ο ίδιος πειραματίζεται σε βιολογικά θέματα, ο Καρτέσιος απέρριψε την είσοδο από τον πειραματισμό και τις αισθήσεις σε θέματα μαθηματικών, γιατί θα μπορούσε ενδεχομένως να παραπλανούν αυτόν που τα εκλαμβάνει. Η θεώρηση του Καρτέσιου για τα μαθηματικά τα διαχωρίζει από τις αισθήσεις. Αυτή η πάλη μεταξύ των ορθολογιστών και των πειραματιστών επηρεάζει όλες τις κατευθύνσεις της επιστήμης σε όλη τη διάρκεια του 17 ου και 18 ου αιώνα. Ο γερμανός φιλόσοφος Ιμμάνουελ Καντ έφερε τη συζήτηση για τη φύση των μαθηματικών, κυρίως για τη φύση της γεωμετρίας, πίσω στο επίκεντρο με το έργο του Κριτική του Καθαρού Λόγου (1952). Ενώ ο ίδιος επιβεβαίωσε ότι όλα τα αξιώματα και τα θεωρήματα των μαθηματικών ήταν αλήθειες, είχε την άποψη ότι η φύση του χώρου που αντιλαμβανόμαστε ήταν Ευκλείδεια και ότι το περιεχόμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ήταν a priori κατανοητό από τον ανθρώπινο νου. Αυτό ήταν σε άμεση αντίθεση με τις αναδυόμενες αντιλήψεις της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Η καθιέρωση της συνέπειας της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας, στα μέσα της δεκαετίας του 1800 ελευθέρωσε τελικά τα Μαθηματικά από τον περιοριστικό ζυγό ενός ενιαίου συνόλου αξιωμάτων που πιστεύεται ότι είναι το μοναδικό μοντέλο για τον εξωτερικό κόσμο. Η ύπαρξη των συνεπών μη Ευκλείδειων γεωμετριών έδειξε τη δύναμη του μυαλού του ανθρώπου να κατασκευάζει νέες μαθηματικές δομές, απαλλαγμένες από τα όρια ενός εξωτερικά υφιστάμενου κόσμου που ελέγχει (Eves, 1981; Kline, 1972, 1985; Komer, 1960). Αυτή η συναρπαστική ανακάλυψη, έφερε μαζί της μια νέα έννοια της «αλήθειας», που ήταν θαμμένη στην αποδοχή ενός αξιώματος ή ένα σύνολο αξιωμάτων που ορίζει ένα μοντέλο για μια περιοχή της έρευνας. Οι μαθηματικοί αμέσως άρχισαν να εφαρμόζουν τη νέα αυτή ελευθερία και την αξιωματική μέθοδο για τη μελέτη των μαθηματικών.

5 Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Οι νέες έρευνες στα μαθηματικά, απελευθερώθηκαν από την εξάρτηση από τον πειραματισμό και την αίσθηση, σύντομα αντιμετώπισαν νέα προβλήματα με την εμφάνιση των παραδόξων στο σύστημα των πραγματικών αριθμών και τη θεωρία των συνόλων. Σε αυτό το σημείο, τρεις νέες απόψεις των μαθηματικών προέκυψαν για την αντιμετώπιση των αντιληπτικών προβλημάτων. Η πρώτη ήταν η Σχολή του λογικισμού, που ιδρύθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Gottlob Frege το Αυτή η σχολή, μια απόφυση της Πλατωνικής Σχολής, έθεσε ως στόχο να δείξει ότι οι ιδέες των μαθηματικών θα μπορούσε να θεωρηθούν ως ένα υποσύνολο των ιδεών της λογικής. Οι υποστηρικτές της λογικισμού έθεσαν ως στόχο να αποδείξουν ότι οι μαθηματικές προτάσεις θα μπορούσαν να εκφραστούν ως εντελώς γενικές προτάσεις των οποίων η αλήθεια ακολουθείται από τη μορφή τους και όχι από την ερμηνεία τους σε μια συγκεκριμένη ρύθμιση του πλαισίου. Οι Α, Ν Whitehead και ο Bertrand Russell ( ) έθεσαν ως στόχο να το δείξουν αυτό στο έργο-ορόσημο τους, Principia Mathematica. Έτσι προσπάθησαν να δημιουργήσουν τα κλασικά μαθηματικά από τους όρους των αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων που αναπτύχθηκε από το Zermelo και το Frankel. Αυτή η προσέγγιση, όπως αυτή του Frege, χτίστηκε επάνω στην αποδοχή της ύπαρξης εξωτερικών μαθηματικών, και ως εκ τούτου ήταν ένα άμεσο ανάπτυγμα της Πλατωνικής Σχολής. Η προσέγγιση των Whitehead και Russell απέτυχε μέσω της αδυναμίας της να θεσπίσει τα αξιώματα του απείρου και της επιλογής σε μια κατάσταση πλήρους γενικότητας χωρίς πλαίσιο. Αυτή η Πλατωνική προσέγγιση απέτυχε επίσης από τα παράδοξα του συστήματος. Οι οπαδοί του Ολλανδού μαθηματικού L. E. J. Brouwer, από την άλλη πλευρά, δεν δέχθηκαν την ύπαρξη οποιασδήποτε ιδέας των κλασικών μαθηματικών, χωρίς να μπορούσε να κατασκευαστεί μέσω ενός συνδυασμού των σαφών επαγωγικών βημάτων από τις πρώτες αρχές. Τα μέλη της σχολής σκέψης του Brouwer, που ονομάζονται ιντουισιονιστές,

6 τους αφορούσε ιδιαίτερα η εμφάνιση των παραδόξων στη θεωρία συνόλων και οι πιθανές επιπτώσεις τους για το σύνολο των κλασικών μαθηματικών. Σε αντίθεση με τους λογικιστές, οι οποίοι δέχθηκαν τα περιεχόμενα των κλασικών μαθηματικών, οι ιντουισιονιστές δέχονταν μόνο τα μαθηματικά που θα μπορούσαν να αναπτυχθούν από τους φυσικούς αριθμούς προωθούμενα από τις διανοητικές δραστηριότητες των κατασκευαστικών αποδείξεων. Αυτή η προσέγγιση δεν επιτρέπει τη χρήση του νόμου του αποκλειόμενου μέσου. Αυτή η λογική μορφή υποστηρίζει ότι η δήλωση PV ~ P είναι αληθής και κάνει δυνατή την εις άτοπον απαγωγή. Με πολλούς τρόπους, οι ιδέες που διατυπώνονται από Brouwer βασίστηκαν σε μια θεμελίωση που δεν είναι σε αντίθεση με ότι πρεσβεύει ο Καντ. Ο Brouwer δεν υποστηρίζει «τον έλεγχο των εξωτερικών αντικειμένων, αλλά τη στενή ενδοσκόπηση» (Korner, 1960, σελ.120). Αυτή η αντίληψη παρουσιάζει τα μαθηματικά, ως τα αντικείμενα, που προκύπτουν από τις "έγκυρες" αποδείξεις. Οι μαθηματικές ιδέες υπήρχαν μόνο στο βαθμό που ήταν οικοδομήσιμες από το ανθρώπινο μυαλό. Η επιμονή στην κατασκευή τοποθετεί τα μαθηματικά των ιντουισιονιστών στην Αριστοτελική παράδοση. Αυτή η άποψη θεωρεί τη λογική ως ένα υποσύνολο των μαθηματικών. Τα επιτεύγματα των ιντουισιονιστών οδήγησαν σε μια σειρά θεωρημάτων και αντιλήψεων διαφορετικών από εκείνα των κλασικών μαθηματικών. Σύμφωνα με τα κριτήριά τους για την ύπαρξη και την εγκυρότητα, είναι δυνατό να αποδειχθεί ότι κάθε πραγματική συνάρτηση που ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς είναι συνεχής. Περιττό να πούμε, ότι αυτό και άλλες διαφορές από τα κλασικά μαθηματικά δεν έχουν προσελκύσει ένα μεγάλο αριθμό υποστηρικτών του ιντουισιονισμού. Η τρίτη αντίληψη των μαθηματικών εμφανίζεται κοντά στην αρχή του 20ου αιώνα και είναι αυτή του φορμαλισμού. Η σχολή αυτή διαμορφώθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό David Hilbert. Οι απόψεις του Hilbert, όπως και αυτές του Brouwer, ήταν περισσότερο σύμφωνες με την Αριστοτελική παράδοση από ό, τι με τον Πλατωνισμό. Ο Hilbert δεν δέχτηκε την καντιανή έννοια ότι η δομή της αριθμητικής

7 και της γεωμετρίας υπήρχαν ως περιγραφές μιας πρότερης γνώσης στον ίδιο βαθμό που το έκανε και ο Brouwer. Ωστόσο, ο ίδιος έβλεπε τα μαθηματικά, να προκύπτουν από τη διαίσθηση που βασίζεται στα αντικείμενα που θα μπορούσαν τουλάχιστον να θεωρηθούν ότι έχουν συγκεκριμένες αναπαραστάσεις στο μυαλό. O φορμαλισμός θεμελιώθηκε με τις προσπάθειες να χαρακτηριστούν οι μαθηματικές ιδέες με τους όρους των τυπικών (Formal) αξιωματικών συστημάτων. Αυτή η προσπάθεια να ελευθερώσει τα μαθηματικά από τις αντιφάσεις χτίστηκε γύρω από την κατασκευή ενός συνόλου αξιωμάτων για έναν κλάδο των μαθηματικών όπου επιτρέπονται για το θέμα να συζητηθεί σε μια γλώσσα πρώτης τάξης. Σημαντική πρόοδος σημειώθηκε σε διάφορους τομείς υπό την αιγίδα του φορμαλισμού πριν από τη διάλυσή της, ως αποτέλεσμα του άρθρου ορόσημου του Kurt Gödel το Ο Γκέντελ (1931) διαπίστωσε ότι είναι αδύνατο στα αξιωματικά συστήματα του τύπου Hilbert που προτείνονται να αποδειχθούν τυπικά ότι το σύστημα είναι απαλλαγμένο από αντιφάσεις. Ο Gödel απέδειξε επίσης ότι είναι αδύνατο να διαπιστώσει τη συνέπεια ενός συστήματος που χρησιμοποιεί τη συνήθη λογική και θεωρία αριθμών, αν κάποιος χρησιμοποιεί μόνο τις κύριες έννοιες και μεθόδους από την παραδοσιακή θεωρία αριθμών. Τα ευρήματα αυτά σταμάτησαν την προσπάθεια, να τυποποιήσει όλα τα μαθηματικά, αν και η φορμαλιστική σχολή συνέχισε να έχει ισχυρό αντίκτυπο στην ανάπτυξη των μαθηματικών (Benacerraf & Pumam, 1964; van Heijenoort, 1967; Snapper, 1979a, 1979b). Οι τρεις μεγάλες σχολές σκέψης που δημιουργήθηκαν στις αρχές της δεκαετίας του 1900 για να αντιμετωπίσουν τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν στα τέλη του 19ου αιώνα προχώρησαν τη συζήτηση για τη φύση των μαθηματικών, αλλά καμία από αυτές δεν παρείχε μια ευρέως υιοθετημένη θεμελίωση για τη φύση των μαθηματικών. Και οι τρεις τους είχαν την τάση να βλέπουν τα περιεχόμενα των μαθηματικών ως προϊόντα. Στο λογικισμό, τα περιεχόμενα ήταν τα στοιχεία του σώματος των κλασικών μαθηματικών, οι ορισμοί του, τα αξιώματα του, και τα θεωρήματα του. Στον ιντουισιονισμό, τα περιεχόμενα ήταν τα θεωρήματα που είχαν κατασκευαστεί από τις πρώτες αρχές μέσω

8 «έγκυρων» προτύπων της συλλογιστικής. Στο φορμαλισμό, τα Μαθηματικά αποτελούνταν από τις τυπικές αξιωματικές δομές που είχαν αναπτυχθεί για να απαλλαγούν τα κλασικά μαθηματικά από τις ελλείψεις τους. Η επιρροή των πλατωνικών και η αριστοτελικών αντιλήψεων εξακολουθούν να λειτουργούν ως ένα ισχυρό υπόγειο ρεύμα μέσα από αυτές τις θεωρίες. Η προέλευση του «προϊόντος» -είτε ως προϋπάρχον εξωτερικό αντικείμενο ή ενός αντικειμένου που δημιουργήθηκε μέσα από την εμπειρία από τις αντιλήψεις των αισθήσεων ή πειραματισμού, παρέμεινε ένα ζήτημα. Σύγχρονες οπτικές Οι μαθηματικοί συνήθως δε θέτουν το ερώτημα της φύσης των μαθηματικών και έχουν μια ισχυρή πλατωνική άποψη σχετικά με την ύπαρξη των μαθηματικών εννοιών εκτός του ανθρώπινου μυαλού. Όταν πιέζονται να ξεκαθαρίσουν την αντίληψή τους σχετικά με τα μαθηματικά οι περισσότεροι καταφεύγουν σε μια φορμαλιστική ή Αριστοτελική θέση ως ένα παιχνίδι που παίζεται με τα συστήματα των συμβόλων σύμφωνα με ένα σύνολο κοινωνικά αποδεκτών κανόνων. Η φορμαλιστική παράδοση διατηρεί μια ισχυρή επίδραση στην ανάπτυξη των μαθηματικών (Benacerraf & Putnam, 1964; Tymoczko, 1986). Η αντίληψη των μαθηματικών που έχει ο εκπαιδευτικός επιδρά ισχυρά στον τρόπο με τον οποίο προσεγγίζει τα μαθηματικά στην τάξη (Cooney, 1985). Ένας δάσκαλος που έχει μια φορμαλιστική φιλοσοφία θα παρουσιάσει το περιεχόμενο σε μια δομική μορφή, καλώντας σε μια θεωρητική γλώσσα και αντιλήψεις (Hersh, 1986). Μια τέτοια φορμαλιστική προσέγγιση μπορεί να είναι ένα καλό καταφύγιο για το άτομο που δεν κατανοεί το υλικό αρκετά καλά για να παρέχει μια διορατική εποικοδομητική οπτική. Τα μαθηματικά πρέπει να θεωρηθούν ως μια ανθρώπινη δραστηριότητα, μια δραστηριότητα που δεν οδηγείτε στενά από καμία σχολή σκέψης (λογιστική, φορμαλιστική ή κονστρουκτιβιστική). Μια τέτοια προσέγγιση θα απαντήσει στην ερώτηση τι είναι μαθηματικά λέγοντας τα εξής:

9 Τα Μαθηματικά ασχολούνται με τις ιδέες. Όχι με σημάδια από το μολύβι ή σημάδια κιμωλίας, ούτε φυσικά τρίγωνα ή φυσικά σύνολα, αλλά με ιδέες (η οποίες μπορεί να αντιπροσωπεύονται ή να προτείνονται από τα φυσικά αντικείμενα). Ποιες είναι οι κύριες ιδιότητες της μαθηματικής δραστηριότητας ή της μαθηματικής γνώση, όπως είναι γνωστές σε όλους μας από την καθημερινή εμπειρία; 1. Τα μαθηματικά αντικείμενα ανακαλύπτονται ή δημιουργούνται από τους ανθρώπους. 2. Δεν δημιουργούνται αυθαίρετα αλλά προκύπτουν από τη δραστικότητα με τα ήδη υπάρχουσα μαθηματικά αντικείμενα, και από τις ανάγκες της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. 3. Μόλις δημιουργηθούν, τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν ιδιότητες οι οποίες είναι καλά προσδιορισμένες, τις οποίες μπορεί να έχουμε μεγάλη δυσκολία να ανακαλύψουμε, αλλά οι οποίες είναι διαθέσιμες ανεξάρτητα από τις γνώσεις μας γι αυτές. (Hersh, 1986, σ. 22)

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Καθηγητή Χάρη Βάρβογλη 1 / 6 Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων

αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων Ο χαρακτηρισµός των Μαθηµατικών ως αντικειµενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων έχει αποτελέσει αντικείµενο έντονων αντιπαραθέσεων µεταξύ των ερευνητών. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ: «ΕΜΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ» ΜΑΘΗΤΡΙΑ: ΠΡΙΑΜΗ ΒΑΓΙΑ, Β4 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΝΤΑΒΑΡΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2016 17 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: 2

ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: 2 ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: 2 Η ιστορία της φιλοσοφίας από την Αρχαία Ελλάδα μέχρι σήμερα μπορεί να θεωρηθεί ως μια διαδικασία αναζήτησης μιας απάντησης στο ερώτημα, «τι είναι γνώση;» Οι Δυτικοί φιλόσοφοι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΓΝΩΣΗΣ. ΤΕΙ ΑΜΘ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΣ Γεώργιος Θερίου

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΓΝΩΣΗΣ. ΤΕΙ ΑΜΘ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΣ Γεώργιος Θερίου ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΓΝΩΣΗΣ ΤΕΙ ΑΜΘ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΣ Γεώργιος Θερίου ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: 2 Η ιστορία της φιλοσοφίας από την Αρχαία Ελλάδα μέχρι σήμερα μπορεί να θεωρηθεί ως μια διαδικασία αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις.

Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις. Με Αφορμή το θεώρημα του Morley: Η απόδειξη στο σχολικό περιβάλλον. Νομιμοποιεί το σχήμα την απόδειξη; Διδακτικές προτάσεις. ΠΙΤΣΑΣ ΚΩΣΤΑΣ 4 ο ΓΕΛ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Αθήνα 2017 ΘΕΩΡΗΜΑ MORLEY Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΛΛΑΖΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Ιστοσελίδα:  Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση

1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση 1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογίσιμες Συναρτήσεις

Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Σ Π Υ Ρ Ι Δ Ω Ν Τ Ζ Ι Μ Α Σ Δ Τ Ο Μ Ε Α Σ Τ Μ Η Μ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Σ Χ Ο Λ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Ι Ω Α Ν Ν Ι Ν Ω Ν Υπολογίσιμες Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας .2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής

Διαβάστε περισσότερα

το πλαίσιο της άσκησης των μαθητών στις διαδικασίες της επιστημονικής μεθόδου

το πλαίσιο της άσκησης των μαθητών στις διαδικασίες της επιστημονικής μεθόδου το πλαίσιο της άσκησης των μαθητών στις διαδικασίες της επιστημονικής μεθόδου από τον διαδικτυακό τόπο το Πανεπιστημιακό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Αθηνών (διδακτική τω Φυσικών Επιστημών).

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ.

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. 2 ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ (Ι) ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ; Στο μάθημα «Κοινωνική Θεωρία της Γνώσης (I)» (όπως και στο (ΙΙ) που ακολουθεί) παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΤΩΝ ΑΓΓΛΩΝ ΕΜΠΕΙΡΙΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΓΝΩΣΗ

ΟΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΤΩΝ ΑΓΓΛΩΝ ΕΜΠΕΙΡΙΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΓΝΩΣΗ 33 ΟΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΤΩΝ ΑΓΓΛΩΝ ΕΜΠΕΙΡΙΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΓΝΩΣΗ JOHN LOCKE (1632-1704) Το ιστορικό πλαίσιο. Την εποχή του Locke είχε αναβιώσει ο αρχαίος ελληνικός σκεπτικισμός. Ο σκεπτικισμός για τον Locke οδηγούσε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΑΔΑ Α ΘΕΜΑ Α1 Α.1.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση & Εξερεύνηση στο περιβάλλον του Μουσείου

Μάθηση & Εξερεύνηση στο περιβάλλον του Μουσείου Βασίλειος Κωτούλας vaskotoulas@sch.gr h=p://dipe.kar.sch.gr/grss Αρχαιολογικό Μουσείο Καρδίτσας Μάθηση & Εξερεύνηση στο περιβάλλον του Μουσείου Η Δομή της εισήγησης 1 2 3 Δυο λόγια για Στόχοι των Ερευνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής

ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής ΗΥ 180 - Λογική Διδάσκων: Καθηγητής E-mail: dp@csd.uoc.gr Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα, Τετάρτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες φροντιστηρίου: Πέμπτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες γραφείου: Δευτέρα, Τετάρτη 2-4 μμ, Κ.307 Web site:

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ο 19ος αιώνας Είδαμε ότι πρώτοι ιστορικο-συγκριτικοί επιστήμονες είχαν στόχο να εξηγήσουν τις ομοιότητες που παρατηρούσαν ανάμεσα στις γλώσσες. Είδαμε

Ο 19ος αιώνας Είδαμε ότι πρώτοι ιστορικο-συγκριτικοί επιστήμονες είχαν στόχο να εξηγήσουν τις ομοιότητες που παρατηρούσαν ανάμεσα στις γλώσσες. Είδαμε Ο 19ος αιώνας Είδαμε ότι πρώτοι ιστορικο-συγκριτικοί επιστήμονες είχαν στόχο να εξηγήσουν τις ομοιότητες που παρατηρούσαν ανάμεσα στις γλώσσες. Είδαμε επίσης ότι η ομοιότητα βασικών λέξεων οδήγησε στην

Διαβάστε περισσότερα

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Κουλακίδου Π. Ιστορία των Μαθηματικών Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Χ. Χαραλάμπους Εισαγωγή David Hilbert (1862 Königsberg - 1943 Göttingen). Διδακτορικό το 1885 υπό την επίβλεψη του Ferdinand von Lindemann με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ 2011 ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Τα σύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: ISBN: 960 631 539 8. 1 601 00. 23510 33535, 6946967552 E-mail: gperdikis@kat.forthnet.gr ,,.2121/1993,. 100/1975., , 51. 2121/1993.

Copyright: ISBN: 960 631 539 8. 1 601 00. 23510 33535, 6946967552 E-mail: gperdikis@kat.forthnet.gr ,,.2121/1993,. 100/1975., , 51. 2121/1993. 2006 Copyright: - / 1 601 00. 23510 33535, 6946967552 E-mail: gperdikis@kat.forthnet.gr ISBN: 960 631 539 8,,.2121/1993,. 100/1975.,,,,, 51. 2121/1993. , ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ......σελ. 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Τα ερωτήματα Δύο σώματα έχουν το ίδιο σχήμα και τις ίδιες διαστάσεις με το ένα να είναι βαρύτερο του άλλου. Την ίδια στιγμή τα δύο σώματα αφήνονται ελεύθερα να πέσουν μέσα στον

Διαβάστε περισσότερα

των σχολικών μαθηματικών

των σχολικών μαθηματικών Μια σύγχρονη διδακτική θεώρηση των σχολικών μαθηματικών «Οι περισσότερες σημαντικές έννοιες και διαδικασίες των μαθηματικών διδάσκονται καλύτερα μέσω της επίλυσης προβλημάτων (ΕΠ)» Παραδοσιακή προσέγγιση:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Η ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Κυριακή Ιορδανίδου, ΠΕ03 Μαθηματικών ΣΧΟΛΕΙΟ 1 ο Γυμνάσιο Χαριλάου Θεσσαλονίκη, 2018 Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Σε αυτή την

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MANAGEMENT ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ. Ορισμοί

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MANAGEMENT ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ. Ορισμοί Ορισμοί Ηγεσία είναι η διαδικασία με την οποία ένα άτομο επηρεάζει άλλα άτομα για την επίτευξη επιθυμητών στόχων. Σε μια επιχείρηση, η διαδικασία της ηγεσίας υλοποιείται από ένα στέλεχος που κατευθύνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Λέξεις και νόημα Η γλώσσα αποτελείται από λέξεις. Η λέξη είναι το μικρότερο τμήμα της γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Μαθηματικών Ρόδος 2017

Επιμόρφωση Μαθηματικών Ρόδος 2017 Επιμόρφωση Μαθηματικών Ρόδος 2017 Διδακτική Ευκλείδειας Γεωμετρίας Διδασκαλία με χρήση Geogebra Δραστηριότητες Κώστας Μαλλιάκας, Μαθηματικός 1 ο Γενικό Λύκειο Ρόδου Βενετόκλειο kmath1967@gmail.com Διδασκαλία

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΔΟΜΕΣ Δομή Ομάδας Σύνολο Α και μια πράξη η πράξη είναι κλειστή ισχύει η προσεταιριστική ιδότητα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο υπάρχει αντίστροφο στοιχείο ισχύει η αντιμεταθετική

Διαβάστε περισσότερα

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) Πέτρος Ρούσσος ΔΙΑΛΕΞΗ 5 Έννοιες και Κλασική Θεωρία Εννοιών Έννοιες : Θεμελιώδη στοιχεία από τα οποία αποτελείται το γνωστικό σύστημα Κλασική θεωρία [ή θεωρία καθοριστικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών

Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών Αριστείδης Αραγεώργης Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 1. «Παράδοξο» και «λύση» παραδόξου

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Μάθηση και γνώση: μια συνεχής και καθοριστική αλληλοεπίδραση Αντώνης Λιοναράκης Στην παρουσίαση που θα ακολουθήσει θα μιλήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΜΙΣΑΗΛΙΔΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΜΙΣΑΗΛΙΔΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ C ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΜΙΣΑΗΛΙΔΟΥ Χριστίνα Μισαηλίδου C.Misailidou@primedu.uoa.gr Γραφείο: Ιπποκράτους 20, 3 ος όροφος Ώρες Γραφείου: Τρίτη 13.00-15.30 Παρασκευή 10-12 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΦΩΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ. Το άρθρο αυτό έχει ως σκοπό την παράθεση των αποτελεσμάτων πάνω σε μια έρευνα με τίτλο, οι ιδέες των παιδιών σχετικά με το

Διαβάστε περισσότερα

Η εξέλιξη της έννοιας του αριθμού: οι συνέπειες των θέσεων του Frege- Σύγκριση των θέσεων του Benacerraf, της Maddy και των στρουκτουραλιστών

Η εξέλιξη της έννοιας του αριθμού: οι συνέπειες των θέσεων του Frege- Σύγκριση των θέσεων του Benacerraf, της Maddy και των στρουκτουραλιστών Η εξέλιξη της έννοιας του αριθμού: οι συνέπειες των θέσεων του Frege- Σύγκριση των θέσεων του Benacerraf, της Maddy και των στρουκτουραλιστών Διατμηματικό μεταπτυχιακό πρόγραμμα «Ιστορία και Φιλοσοφία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΕΠΟ 22 2 ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΣΧΕΔΙΟ ΕΠΟ 22 2 ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΧΕΔΙΟ ΕΠΟ 22 2 ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο ορθολογισμός έχει βασικό κριτήριο γνώσης την ανθρώπινη νόηση και όχι την εμπειρία.η νόηση με τις έμφυτες και τους λογικούς νόμους αποτελεί αξιόπιστη πηγή γνώσης. Σύμφωνα

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο μαθήματος. Περιεχόμενο μαθήματος. Αναφέρατε συνοπτικά το περιεχόμενο του μαθήματος (φαινόμενο, έννοιες, νόμοι, θεωρήματα) Διδακτικοί στόχοι

Σχέδιο μαθήματος. Περιεχόμενο μαθήματος. Αναφέρατε συνοπτικά το περιεχόμενο του μαθήματος (φαινόμενο, έννοιες, νόμοι, θεωρήματα) Διδακτικοί στόχοι 1 Σχέδιο μαθήματος Περιεχόμενο μαθήματος Αναφέρατε συνοπτικά το περιεχόμενο του μαθήματος (φαινόμενο, έννοιες, νόμοι, θεωρήματα) Διδακτικοί στόχοι Να αναφέρετε τους διδακτικούς στόχους. Στη διατύπωση των

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο. Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση

Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο. Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση Αντιπαράθεση φύσης ανατροφής η ανάπτυξη είναι προκαθορισμένη κατά την γέννηση από την

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000)

Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Πρόκειται για την έρευνα που διεξάγουν οι επιστήμονες. Είναι μια πολύπλοκη δραστηριότητα που απαιτεί ειδικό ακριβό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα:

Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα: Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα: Μαθηματικά Ο σκοπός της έρευνας είναι η αναζήτηση για

Διαβάστε περισσότερα

Είναι τα πράγματα όπως τα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας;

Είναι τα πράγματα όπως τα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας; Είναι τα πράγματα όπως τα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας; Εμείς που αντιλαμβανόμαστε είμαστε όλοι φτιαγμένοι από το ίδιο υλικό; Πώς βρεθήκαμε σ αυτόν τον κόσμο; Ο θάνατός μας σημαίνει το τέλος ή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΑΠO ΤΟ ΑΙΣΘΗΤO ΣΤΟ ΝΟΗΤO

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΑΠO ΤΟ ΑΙΣΘΗΤO ΣΤΟ ΝΟΗΤO ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Λίστα πινάκων................................................ 13 Λίστα σχηµάτων............................................... 15 Πρελούδιο...................................................

Διαβάστε περισσότερα

Math. Mathematics Μαθηματικά. Φυσικές Επιστήμες. Εφαρμοσμένη Μηχανική

Math. Mathematics Μαθηματικά. Φυσικές Επιστήμες. Εφαρμοσμένη Μηχανική Math Science, Technology, Engineering Φυσικές Επιστήμες Τεχνολογία Εφαρμοσμένη Μηχανική Mathematics Μαθηματικά STEM EDUCATION Κατεχάκη 52, 115 25 Αθήνα Τηλ. 210 6777285 e-mail: info@stem.edu.gr www.stem.edu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία

Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία Ενότητα 1: Εισαγωγή Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών ένα απλό πρόβλημα Η οικογένεια

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ:

ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ: ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ: σύγχρονες αναγνώσεις Καβάλα 14/11/2015 ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΤΖΕΚΑΚΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2 Γιατί αλλαγές; 1 3 Για ουσιαστική μαθηματική ανάπτυξη, Σύγχρονο πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ Κατερίνα Σάλτα ΔιΧηΝΕΤ 2017-2018 ΘΕΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ Διεπιστημονικότητα Ιστορία & Φιλοσοφία της Χημείας Γλωσσολογία Χημεία Διδακτική της Χημείας Παιδαγωγική Ψυχολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΟΣ ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ & ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΕΠΙΔΟΣΗ

ΧΡΟΝΟΣ ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ & ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΕΠΙΔΟΣΗ Σελ.1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Υπάρχει τεράστια διαφορά μεταξύ Νοημοσύνης και Λογικής. Λογική είναι οι γνώσεις και οι εμπειρίες από το παρελθόν. Η Λογική έχει σχέση με το μέρος εκείνο της

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Η πλειοψηφία θεωρεί πως η Νόηση είναι μια διεργασία που συμβαίνει στον ανθρώπινο εγκέφαλο.

Διαβάστε περισσότερα

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης Ενημερωτική Συνάντηση Ομάδων Εργασίας Ν.Α.Π. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Λευκωσία, 8 Μαΐου 2012 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Θεωρία και Έρευνα

Λογιστική Θεωρία και Έρευνα Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα στη Λογιστική & Χρηματοοικονομική Master of Science (MSc) in Accounting and Finance ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Λογιστική Θεωρία και Έρευνα Εισαγωγή στη Λογιστική Έρευνα Η αναζήτηση της αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία του Piaget για την εξέλιξη της νοημοσύνης

Η Θεωρία του Piaget για την εξέλιξη της νοημοσύνης Η Θεωρία του Piaget για την εξέλιξη της νοημοσύνης Σύμφωνα με τον Piaget, η νοημοσύνη είναι ένας δυναμικός παράγοντας ο οποίος οικοδομείται προοδευτικά, έχοντας σαν βάση την κληρονομικότητα, αλλά συγχρόνως

Διαβάστε περισσότερα

Το Αληθινό, το Όμορφο και η απόλυτη σχέση τους με την Νοημοσύνη και τη Δημιουργία Σελ.1

Το Αληθινό, το Όμορφο και η απόλυτη σχέση τους με την Νοημοσύνη και τη Δημιουργία Σελ.1 Το Αληθινό, το Όμορφο και η απόλυτη σχέση τους με την Νοημοσύνη και τη Δημιουργία Σελ.1 (ΕΠΙΦΥΛΛΙΔΑ - ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ) Μια σύνοψη: Κατανοώντας ορισμένες λέξεις και έννοιες προκύπτει μια ανυπολόγιστη αξία διαμορφώνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Τομέας Ανθρωπιστικών Κοινωνικών Επιστημών και Δικαίου Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΝΩΣΙΟΛΟΓΙΑΣ Κώστας Θεολόγου ΑΔΕΙΑ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ. Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος

ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ. Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΕΚΜΗΡΙΑ (ΜΕΣΑ ΠΕΙΘΟΥΣ ΕΠΙΚΛΗΣΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ) Όταν θέλουμε να πείσουμε με λογικές αποδείξεις, τότε χρησιμοποιούμε:

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Επιστήμης του ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ

Περί της Επιστήμης του ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Επιστήμης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Τι είναι Μαθηματικά; Ποια είναι η αξία τους καθημερινή ζωή ανάπτυξη λογικής σκέψης αισθητική αξία και διανοητική απόλαυση ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι

Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι Ενότητα 4: Θεωρίες διδασκαλίας μάθησης στη διδακτική των Φ.Ε. Σπύρος Κόλλας (Βασισμένο στις σημειώσεις του Βασίλη Τσελφέ)

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ 3.4. ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ Σε μια κοινωνία που η ζωή της οργανώνεται μέσω θεσμών, η Ψυχολογία έρχεται να δώσει λύσεις σε προβλήματα που δεν λύνονται από τους θεσμούς, και ν αναλύσει τις

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Πέρα όµως από την Γνωσιακή/Εννοιολογική ανάλυση της δοµής και του περιεχοµένου των σχολικών εγχειριδίων των Μαθηµατικών του Δηµοτικού ως προς τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. 1 η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ. Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών. ΤΕΙ Πελοποννήσου

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. 1 η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ. Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών. ΤΕΙ Πελοποννήσου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ 1 η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών. ΤΕΙ Πελοποννήσου Κάποιες έννοιες Επιστήμη : κάθε συστηματικό πεδίο μελέτης ή σύστημα γνώσης που έχει ως σκοπό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ

ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΡΕΥΝΑΣ (# 252) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ 9 η ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΔΗ ΕΡΕΥΝΑΣ I: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΛΙΓΗ ΘΕΩΡΙΑ Στην προηγούμενη διάλεξη μάθαμε ότι υπάρχουν διάφορες μορφές έρευνας

Διαβάστε περισσότερα