Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Transcript

1 Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f <, τότε f < κοντά στο C f C f O α β O α β Παρατήρηση Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Αν για κάθε κοντά στο είναι η f >, δεν έπεται πάντοτε ότι f > για παράδειγμα, αν f, τότε f > για κάθε, ενώ το Αν η f > για κοντά στο και υπάρχει το όριο της f τότε : f o Αν η f < για κοντά στο και υπάρχει το όριο της f τότε f ΘΕΩΡΗΜΑ ο o Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f g κοντά στο, τότε f g o C f C f C g C g O α β O α β Παρατήρηση Αν για κάθε κοντά στο είναι η f < g, και υπάρχουν τα όρια των f, g στο δεν έπεται πάντα ότι f < g, ισχύει όμως ότι : f g o o για παράδειγμα, αν f, και g τότε για κάθε κοντά στο, είναι < g < f ενώ, f g. o o 5

2 Ανάλυση Γ Λυκείου ιδιότητες του ορίου Αν f > g, τότε f g o o > f g > f > g o Αν f < g, τότε f < g, για κοντά στο o o Όρια και πράξεις Τα δύο βασικά όρια, c c και το θεώρημα που ακολουθεί διευκολύνουν τον υπολογισμό των ορίων. Θεώρημα Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, τότε:. f g f g. α f α f, για κάθε σταθερά α. f g f g. f f, µε g g g 5. f f 6. k f k f, εφόσον f κοντά στο. Οι ιδιότητες και του θεωρήματος ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις. άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος, είναι: επομένως και ν ν [ f ] f, ν * Õ ν ν Παρατήρηση Τα αντίστροφα των ιδιοτήτων,,,,5 δεν ισχύουν πάντα, δηλαδή για την., μπορεί να υπάρχει το f g και να μην υπάρχουν τα όρια των f, g στο. Για παράδειγμα, αν f και g, τότε τα όρια των f, g στο δεν υπάρχουν, ισχύουν f όμως f g, f g,, g 6

3 Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο άρα, το όριο του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων f και g μπορεί να υπάρχει, ακόμη και στην περίπτωση που τα όρια των f και g δεν υπάρχουν. όριο πολυωνυμικής συνάρτησης απόδειξη ν ν Έστω το πολυώνυμο f αν αν α α και. σύμφωνα με τις ιδιότητες : Για παράδειγμα, α o α o, α ο α έχουμε: ν ν και ο o ν ν f α α α ν ν ν ν αν αν α ν ν αν αν α ν ν αν αν α f. Επομένως, για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση, ισχύει f f , 5 5 όριο ρητής συνάρτησης Έστω η ρητή συνάρτηση τότε, επομένως, P f, όπου P, Q πολυώνυμα του και Q R { / Q } δηλ. Q. P P P f Q Q Q. P P Q Q, εφόσον Q Q Για παράδειγμα, Να υπολογίσετε τα όρια και 5 επειδή 9, έχουμε 5 5 επειδή, έχουμε 8, 8 9 7

4 Ανάλυση Γ Λυκείου ιδιότητες του ορίου λυμένες ασκήσεις 9 να υπολογίσετε το [ ] έχουµε 9 9 [ ] 9 [ ] 9. 6 να υπολογίσετε το 6 η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το { }, παρατηρούμε ότι για μηδενίζεται τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής για, έχουμε οπότε 6 f f 5 να υπολογίσετε το η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού { ± } παρατηρούμε όμως ότι για μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος, oπότε η συνάρτηση f μετά την παραγοντοποίηση γράφεται : οπότε 5 6 f. f. να υπολογίσετε το η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού {, } παρατηρούμε όμως ότι για µηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος, oπότε η συνάρτηση f μετά την παραγοντοποίηση γράφεται : 8

5 Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο οπότε f f. ß το τριώνυμο ± 9, έχει 9 και ρίζες, και παραγοντοποιείται, ως εξής. πλευρικά όρια 5 Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο της συνάρτησης f με για < έχουμε για > έχουμε 5, < f., f f 9. αφού f f 9, θα είναι f 9., < 6 Έστω η συνάρτηση f α, i Να βρεθεί η τιµή του α, έτσι ώστε να υπάρχει το όριο της f στο. ii Για την τιµή του α που θα βρεθεί, να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f. i για < είναι ενώ για > έχουµε f. f α α α. αφού θέλουµε να υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο, θα πρέπει f f α, άρα α. 9

6 Ανάλυση Γ Λυκείου ii Για α η συνάρτηση γράφεται, < f, και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήµα. ιδιότητες του ορίου 5 γνωστό όριο βοηθητική συνάρτηση O f 7 Αν για τη συνάρτηση f ισχύει, να βρείτε αν υπάρχει το f λύση θεωρούµε συνάρτηση µε g, έχουµε f g, για κοντά στο f g f g επειδή τα όρια των g και, υπάρχουν στο, έχουμε f g g άλλος τρόπος f για κοντά στο, έχουµε f και τα όρια των f και υπάρχουν στο, έχουµε επειδή δεν εφαρμόζεται η ιδιότητα του πηλίκου, επιπλέον δεν γνωρίζω εκ των προτέρων ότι υπάρχει το όριο της f στο o f f f f. 8 Έστω ότι για µια συνάρτηση f ισχύει f 5. Να βρεθεί, αν υπάρχει, το f. λύση θεωρούµε συνάρτηση g f, έχουµε µε g 5 g f f g. όµως g 5 και. δεν γνωρίζω εκ των προτέρων ότι υπάρχει το όριο της f στο o, είναι λάθος να γράψω f 5 5

7 Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο 5 άρα υπάρχει το f και ισχύει f 5 g. όριο άρρητης συνάρτησης 9 να υπολογίσετε το η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού [, { } παρατηρούµε όµως ότι για µηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσµατος, έχουµε f οπότε το f. να υπολογίσετε το η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού { } παρατηρούµε όµως ότι για µηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσµατος, έχουµε f οπότε το 6 f. να υπολογίσετε το η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το [, { } παρατηρούµε όµως ότι για µηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσµατος, από την ταυτότητα α β α β α α β β β β α α β α β α

8 Ανάλυση Γ Λυκείου ιδιότητες του ορίου να υπολογίσετε το f οπότε το f. η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το [,, και το ο µηδενίζει τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του κλάσµατος, α β από την ταυτότητα α β, έχουµε α α β β f και f να υπολογίσετε το η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το [, { } και το ο µηδενίζει και τους δύο όρους του κλάσµατος, f. 5

9 Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο το και το να υπολογίσετε το όριο η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο { ± } και το µηδενίζει και τους δύο όρους του κλάσµατος, κατασκευάζω τον πίνακα προσήµων επειδή το Æ περιοριζόµαστε στο σύνολο,, τότε < η συνάρτηση f γράφεται f οπότε το Æ f 5 να υπολογίσετε το όριο η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο { } και το µηδενίζει και τους δύο όρους του κλάσµατος, το πολυώνυµο, δεν έχει ακέραιες ρίζες, για να βρω το πρόσηµό του χρησιµοποιώ το θεώρηµα όριο και διάταξη < και <, για κοντά στο 5

10 Ανάλυση Γ Λυκείου 6 να υπολογίσετε το όριο ιδιότητες του ορίου το, οπότε < κοντά στο, το, οπότε < κοντά στο το, οπότε > κοντά στο, η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο {, } και το ο µηδενίζει και τους δύο όρους του κλάσµατος, κατασκευάζω τον πίνακα προσήµων Æ Επειδή το Æ περιοριζόµαστε στο σύνολο,, δηλ. κοντά στο, οπότε για κάθε,, η συνάρτηση f γράφεται f οπότε το f 7 να υπολογίσετε το όριο η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο {, } και το ο µηδενίζει και τους δύο όρους του κλάσµατος, κατασκευάζω τον πίνακα προσήµων Æ επειδή το Æ περιοριζόµαστε στο σύνολο,,, δηλ. κοντά στο ß αν, η συνάρτηση f γράφεται f οπότε το f 5

11 Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο 55 ß αν, η συνάρτηση f γράφεται f οπότε το f επειδή το f f, δεν υπάρχει το όριο της f στο.

12 Ανάλυση Γ Λυκείου ιδιότητες του ορίου Σχόλιο Το όριο του αθροίσµατος, του γινοµένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων f και g µπορεί να υπάρχει, ακόµη και στην περίπτωση που τα όρια των f και g δεν υπάρχουν. Για παράδειγμα, αν f και g, τότε f f g, f g,, g ενώ όπως είναι φανερό δεν υπάρχουν τα όρια των f και g στο. όµοια και για τις f και g, στο o. : ηµ, για κάθε η ισότητα ισχύει µόνο όταν ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για προφανώς ισχύει η ισότητα. Για, π από το διπλανό σχήµα έχουµε Άρα ηµ MM < MA < τοξma. ηµ <, για κάθε, π 5 M O A M 56

13 Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο π Για, είναι, π, οπότε λόγω της έχουµε, ηµ < ή, ισοδύναµα, ηµ <. π π π Για, είναι > ηµ, οπότε ηµ <. Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις ισχύει ηµ, µε την ισότητα να ισχύει µόνο για. Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας και του κριτηρίου παρεµβολής θα αποδείξουµε ότι:. ηµ ηµ συν συν ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αρχικά θα αποδείξουµε ότι Πράγµατι: ηµ και συν Σύµφωνα µε την προηγούµενη ανισότητα έχουµε ηµ, οπότε ηµ. Επειδή, σύµφωνα µε το κριτήριο παρεµβολής, θα είναι Γνωρίζουµε ότι συν ηµ, οπότε ηµ. Εποµένως π π συν ηµ, για κάθε,,. συν ηµ ηµ. Θα αποδείξουµε, τώρα, ότι ηµ ηµ. Πράγµατι. έχουµε ηµ ηµ h ηµ συνh συνηµ h ηµ h συνh συν h h ηµ h h ηµ συν ηµ. Ανάλογα αποδεικνύεται και ότι συν συν.. ηµ α συν β 57

14 Ανάλυση Γ Λυκείου ιδιότητες του ορίου ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αν π < <, τότε από το διπλανό σχήµα προκύπτει ότι εµβτριγ ΟΑΜ < εµβτοµ ΟΑΜ < εµβτριγ ΟΑΝ, oπότε έχουµε διαδοχικά: ηµ < ηµ < < εφ. < εφ N 5 M εφ ηµ O A M < < ηµ ηµ συν < <. συν π Αν < <, τότε και άρα π ηµ < <, οπότε έχουµε συν < < ηµ συν < <. π π ηµ Εποµένως, για κάθε,, ισχύει συν < <. ηµ Επειδή συν, από το κριτήριο παρεµβολής προκύπτει ότι. ηµ 5 -π -π -π O π π π β Έχουµε συν συνσυν συν συν συν ηµ συν ΟΡΙΑ 58

15 Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο παρακάτω σχήµα παρουσιάζονται τρία προβλήµατα. Πιθανόν να ξαφνιαστείτε αν µάθετε ότι, παρ όλο που φαίνονται διαφορετικά, τα µαθηµατικά εργαλεία που χρειάζονται για την αντιµετώπισή τους είναι ουσιαστικά τα ίδια. Ο Αγγλος Newton 6-77 και ο Γερµανός Leibniz 66-76, ξεκινώντας από την ανάγκη να µελετήσουν µαθηµατικά, προβλήµατα τέτοιου είδους, ανέπτυξαν την ίδια περίπου εποχή, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, ένα νέο κλάδο των Mαθηµατικών που σήµερα ονοµάζουµε Ανάλυση, g C f O Ο a β Α Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο,. Β Να βρεθεί η στιγµιαία ταχύτητα του σώµατος που πέφτει. Γ Να βρεθεί το εµβαδό της επιφάνειας που περι- κλείεται από τη γραφική παράσταση της g και από τις ευθείες µε εξι- σώσεις α, β αντίστοιχα. Ωστόσο, οι βάσεις της Ανάλυσης είχαν τεθεί ήδη από τους Αρχαίους Έλληνες πριν από 5 χρόνια περίπου. Για παράδειγµα, το τρίτο από τα προβλήµατα εύρεση εµβαδού ενός χωρίου µελετήθηκε από τον Αρχιµήδη 87- π.χ., ο οποίος υπολόγισε τέτοια εµβαδά µε µια µέθοδο που αποδίδεται στον Εύδοξο 8-5 π.χ. και είναι γνωστή ως Μέθοδος της Εξάντλησης. Εκτός από τη λύση των προηγούµενων προβληµάτων, η Ανάλυση µας δίνει τη δυνατότητα να λύσουµε και πολλά άλλα σηµαντικά προβλήµατα. Αρχικά χρησιµοποιήθηκε κυρίως για τη µελέτη των φυσικών φαινοµένων, αλλά στη συνέχεια αποδείχτηκε ένα πανίσχυρο µέσο για την αντι- µετώπιση τόσο πρακτικών όσο και θεωρητικών προβληµάτων σε διάφορους τοµείς όλων σχεδόν των επιστηµών. Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουµε τις έννοιες του ορίου και της συνέχειας συναρτήσεων. Οι έννοιες αυτές µας βοηθούν να περιγράψουµε µε ακρίβεια τη συµπεριφορά των τιµών f µιας συνάρτησης f, όταν το πλησιάζει σε συγκεκριµένο αριθµό καθώς και όταν παίρνει πολύ µεγάλες θετικές ή αρνητικές τιµές. 59

16 Ανάλυση Γ Λυκείου ιδιότητες του ορίου Οι ιδιότητες α και γ ισχύουν και για περισσότερες από δύο πεπερασµένες το πλήθος συναρτήσεις. C h C f C g O Αρκετά χρήσιµο για τον υπολογισµό ορίων είναι και το ακόλουθο θεώρηµα, το οποίο είναι γνωστό ως Κριτήριο Παρεµβολής και παρατίθεται χωρίς απόδειξη. Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν ισχύει g f h κοντά στο και g h, τότε f. o Τέλος, µε τη βοήθεια του κριτηρίου παρεµβολής αποδεικνύεται ότι ηµ ηµ, συν συν ηµ ηµ α και γενικά α για κάθε πραγµατικό αριθµό α το εκφράζεται σε ακτίνια. ηµ 5 ηµ 5 ηµ 5 Για παράδειγµα,

17 Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο.. Ασκήσεις A Οµάδας. Αν f και g να βρείτε τα όρια: i f g ii [ f g ] iii 6 f [ g ] g f. Να βρείτε τα όρια i 5 ii iii. Να βρείτε τα όρια iv i. Έστω η συνάρτηση ii h 5 5 iii h h, αν < f, αν. 8, αν > iv Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια i f f ii vi f f iii f iv Στη συνέχεια να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. 5. Αν f, να βρείτε τα όρια: f v 6

18 Ανάλυση Γ Λυκείου ιδιότητες του ορίου i Β Οµάδας f ii f. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα όρια i 6 ii α β,. Έστω η συνάρτηση f. Να βρείτε τα α, β ώστε να ισχύει f α β, >. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει 5 f 5, να βρείτε το f.,. Έστω η συνάρτηση f α β, < <. Να βρείτε τα αβ,, έτσι ώστε να υπάρχουν τα /, όρια: f και f 5. Να βρείτε το όριο 6. Αν f για κάθε R, να βρείτε το 7. Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύει: Αν είναι γνωστό ότι υπάρχει το αριθµό να βρείτε τον αριθµό. f. f f f ηµ, για κάθε R. f, και ισούται µε τον πραγµατικό 6