', των οποίων. και d E!

Λεπτό µεταλλικό σύρµα έχει σχήµα περιφέρειας, ακτίνας R και φέρει θετικό φορτίο q, που είναι οµοιόµορφα κατα νεµηµένο πάνω σ αυτό. Eάν το σύρµα βρίσκεται µέσα στον αέρα, να βρεθεί η ένταση και το δυναµικό του ηλεκτροστατικού πεδίου του φορτισµένου σύρµατος, σ ένα σηµείο της ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του O και είναι κάθετη στο επίπεδό του, σε συνάρτηση µε την απόσταση x του σηµείου από το O. ΛYΣH: Διαµερίζουµε το µεταλλικό σύρµα σε στοιχειώδη τµήµατα και θεωρού µε δύο από αυτά που έχουν το ίδιο µήκος dl και βρίσκοται σε συµµετρικές θέσεις A και A, ως προς το κέντρο O του σύρµατος (σχ 1). Tα στοιχειώδη αυτά τµήµατα θα φέρουν ίσα στοιχειώδη φορτία dq και θα δηµιουργούν στο τυχαίο σηµείο M της ευθείας x x τις στοιχειώδεις εντάσεις d E και d E ', των οποίων Σχήµα 1 τα διανύσµατα βρίσκονται επί του επιπέδου A MA. Oι στοιχειώδεις αυτές εντάσεις αναλύονται σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες, εκ των οποίων η µία έχει

την διεύθυνση της ευθείας x x, ενώ η άλλη είναι κάθετη στη διεύθυνση αυτή. Oι συνιστώσες κατά την διεύθυνση που είναι κάθετη στην xx είναι µεταξύ τους αντίθετες και αλληλοαναιρούνται, ενώ οι συνιστώσες κατά την διεύθυνση xx είναι οµόρροπες. Aυτό σηµαίνει ότι, η συνολική ένταση E του ηλεκτρο στατικού πεδίου που δηµιουργούν στο σηµείο M όλα τα στοιχειώδη τµήµατα του σύρµατος θα έχει φορέα την ευθεία xx, φορά προς τα πάνω και µέτρο ίσο προς το αλγεβρικό άθροισµα των µέτρων των στοιχειωδών εντάσεων, κατά την διεύθυνση xx, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: E = % (de x ) = % (de"#$) (1) Όµως για το µέτρο της στοιχειώδους έντασης d E ισχύει: de = 1 dq 4" r = 1 #dl (2) 2 4" r 2 όπου r η απόσταση του M από το στοιχειώδες τµήµα dl και σ η γραµµική πυκ νότητα φορτίου του σύρµατος, η οποία είναι ίση µε το πηλίκο q/2πr. Έτσι η σχέση (2) γράφεται: de = q 8 2 " R dl r 2 (3) Eξάλλου για την γωνία φ ισχύει: "#$ = OM/r = x/r (4) Συνδυάζοντας τις (1), (3) και (4) παίρνουµε την σχέση: # 1 xdl& 1 # xdl& E = ) % ( = ) % ( (5) $ 8 2 " R r 3 ' 8 2 " R $ r 3 ' Eπειδή όλα τα στοιχειώδη τµήµατα του σύρµατος απέχουν την ίδια απόσταση από το σηµείο M, στο άθροισµα Σ(xdL/r 3 ) το x/r 3 είναι κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του, οπότε η σχέση (5) παίρνει την µορφή: E = q 8 2 " R x r 3 # ( dl) = q 8 2 " R x r 3 2R = qx 4" r 3 (6) Oµως από το ορθογώνιο τρίγωνο MAO έχουµε: r = (x 2 + R 2 ) 1/2 r 3 = (x 2 + R 2 ) 3/2 οπότε η σχέση (6) γράφεται: E = q x (7) 4" (x 2 + R 2 3/2 )

Eξάλλου το δυναµικό στο σηµείο M του ηλεκτρικού πεδίου του σύρµατος, είναι ίσο µε το αλγεβρικό άθροισµα των στοιχειωδών δυναµικών που δηµιουργούν στο σηµείο M τα στοιχειώδη ηλεκτρικά φορτία στα οποία διαµερίστηκε το όλο φορτίο q του σύρµατος, δηλαδή ισχύει η σχέση: V = ( dv) = $ 1 dq' & ) % 4"# r ( V = 1 # dq & ) % ( = 4" $ (x 2 + R 2 ) 1/2 ' 1 ) (dq) 4" (x 2 + R 2 ) 1/2 V = q q 4" (x 2 + R 2 ) 3/2 P.M. fysikos Xρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα του προηγούµε νου παραδείγµατος για το µέτρο της έντασης του ηλεκτροστατικού πεδίου, σ ένα σηµείο του γεωµετρικού άξονα οµοιόµορφα φορτισµέ νου λεπτού κυκλικού σύρµατος και την αρχή της επαλληλίας, να δεί ξετε ότι το ηλεκτρικό πεδό που δηµιουργεί ένα λεπτό µεταλικό φύλ λο απείρων διαστάσεων, οµοιόµορφα φορτισµένο µε επιφανειακή πυ κνότητα φορτίου σ, είναι οµογενές και να βρείτε την έντασή του. Yπόδειξη: Nα διαµερίσετε το φύλλο σε οµόκεντρους δακτυλίους απει ροστού εύρους και να εξετάσετε το ηλεκτρικό πεδίο που δηµιουρ γούν σ ένα σηµείο που βρίσκεται ακριβώς πάνω από το κέντρο τους. ΛYΣH: Θεωρούµε ένα σηµείο M που βρίσκεται σε απόσταση x από το οµοιό µορφα ηλεκτρισµένο µεταλικό φύλλο. Διαµερίζουµε το φύλλο σε οµόκεντρους δακτυλίους πολύ µικρού εύρους, των οποίων το κέντρο είναι η προβολή O του M πάνω στο επίπεδο του φύλλου. Θεωρώντας ένα τέτοιο δακτύλιο ακτίνας R και εύρους dr, παρατηρούµε ότι κατά µήκος αυτού είναι οµοιόµορφα διανε µηµένο ένα στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο dq, για το οποίο ισχύει η σχέση: dq = σ ds = 2σπR dr (1) όπου ds το εµβαδόν επί του οποίου φέρεται το φορτίο dq. Σύµφωνα µε το προη γούµενο παράδειγµα το φορτίο dq δηµιουργεί στο σηµείο M µία στοιχειώδη ένταση d E, η οποία έχει την διεύθυνση και την φορά που φαίνεται στο σχήµα (2) το δε µέτρο της δίνεται από την σχέση: de = (1) 1 xdq 4" (x 2 + R 2 ) 3/2 de = 2"RdR x (2) 4# (x 2 + R 2 3/2 ) Eάν r είναι η απόσταση του σηµείου M από τα σηµεία του δακτυλίου και φ η γωνία υπό την οποία φαίνεται µια ακτίνα του δακτυλίου από το σηµείο M, θα ισχύουν οι σχέσεις r 2 =x 2 +R 2, x=rσυνφ και R=rηµφ, οπότε η (2) γράφεται:

de = r#µ$ r%&$dr = #µ$ %&$dr 2" r 3 2" r (3) Όµως ισχύει και η σχέση R=xεφφ, η οποία µε διαφόριση δίνει: dr = xd("#) = xd# $%& 2 # dr = x d$ "#$ "#$ = rd$ "#$ (4) Σχήµα 2 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε την σχέση: de = #µ$ %&$ 2" r rd$ %&$ = #µ$d$ (5) 2" H oλική ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο M θα είναι, σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας, ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα όλων των στοιχειω δών εντάσεων d E που δηµιουργούν στο M οι οµόκεντροι δακτύλιοι στους οποίους διαµερίστηκε το φορτισµένο µεταλικό φύλλο. Όµως όλα τα στοιχειώ δη διανύσµατα d E είναι οµόρροπα µεταξύ τους, οπότε το µέτρο της E θα είναι: E = + / 2 % (, ' #µ$d$* = (#µ$d$) & 2" ) 2", + / 2 E = & /2 [-#$%] = (#$& /2 + #$) = (6) 2" 2" 2" Aπό την (6) παρατηρούµε ότι το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο M είναι ανεξάρτητο της απόστασής του x από το επίπεδο του φορτισµέ νου φύλλου, δηλαδή το ηλεκτρικό πεδίο στον χώρο που βρίσκεται υπεράνω του φύλλου είναι οµογενές. P.M. fysikos

Λεπτό µεταλλικό σύρµα έχει την µορφή ηµιπεριφέ ρειας ακτίνας R και φέρει ηλεκτρικό φορτίο οµοιόµορφα κατανεµη µένο σε όλο το µήκος του, µε γραµµική πυκνότητα φορτίου σ. Nα υπολογίσετε το δυναµικό του ηλεκτροστατικού πεδίου που δηµιουρ γεί το σύρµα στο σηµείο M, το οποίο σηµείο βρίσκεται στον άξονα συµµετρίας του σύρµατος σε απόσταση 2R από το µέσο του O και πρός το κοίλο µέρος αυτού. ΛYΣH: Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα ds του φορτισµένου σύρµατος, του οποίου η θέση καθορίζεται ως πρός το κέντρο του O από την γωνία φ, το δε µήκος του ds αντιστοιχεί στην στοιχειώδη επίκεντρη γωνία dφ. Tο στοιχείο αυτό φέρει φορτίο dq=σds και δηµιουργεί στο σηµείο M στοιχειώδες δυναµικό dv, που υπολογίζεται από την σχέση: dv = 1 dq 4" r = 1 #ds 4" r = 1 #Rd$ 4" r (1) όπου r η απόσταση του M από το θεωρούµενο στοιχείο ds. Όµως γιά την απόσ ταση r ισχύει και η σχέση: r = (Rµ") 2 +(R+R#$%") 2 = R 2 µ 2 " +R 2 +R 2 #$% 2 " +2R 2 #$%" Σχήµα 3 r = 2R 2 +2R 2 "#$ = 2R 2 (1+"#$)= 2R 2 2%µ 2 ($/2)=2R%µ($ /2) (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) καί (2) παίρνουµε την σχέση: dv = 1 #Rd$ 4" 2R%µ($ /2) = # d$ 8" %µ($ /2) (3) Oλοκληρώνοντας την (3), µε όρια ολοκλήρωσης -π/2 καί π/2 υπολογίζουµε το δυναµικό V στο σηµείο M, οπότε θα έχουµε:

+"/2 & d$ ) V = 8"#, ( ' %µ ($ /2) + = * -"/2 +"/2 & 2d($ / 2) ) 8"#, ( ' %µ($ /2) + * -"/2 V = +"/2 & d($ / 2) ) 4"#, ( ' %µ ($ /2) + = * -"/2 & ( $ 4"# 2 %µ - / $. 21 2 + 1 - - / $ (. 2 2 1 ' 2 ) + + * +"/2 -"/2 V = + " 4"# 4 $µ % " ( ' * + 1 - " 2 & 4) 8 + " 4 $µ % " ( ' * - 1 - " 2. - & 4) 8,- / " V = 4"# 2 $µ % " ( ' * = 2 & 4) 16# P.M. fysikos Kυλινδρικός αγωγός ακτίνας r και πολύ µεγάλου µήκους, περιβάλλεται οµοαξονικά από λεπτό κοίλο µεταλλικό κύλιν δρο, επίσης πολύ µεγάλου µήκους και ακτίνας R, µε R>r. Eάν V * είναι η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στους δύο κυλίνδρους να δείξε τε ότι, το µέτρο της έντασης του ηλεκτροστατικού πεδίου σ' ένα σηµείο που η απόστασή του από τον γεωµετρικό άξονα των δύο κυλίν δρων είναι x, µε r<x<r, δίνεται από την σχέση: E = V * 1$ # & ln(r / r) " x% Nα δεχθείτε ότι, τα ηλεκτρικά φορτία που φέρουν οι δύο αγωγοί είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα στις κυλινδρικές τους επιφάνειες. ΛYΣH: Aς υποθέσουµε ότι ο εσωτερικός κυλινδρικός αγωγός φέρει θετικό φορτίο στην εξωτερική του επιφάνεια και ο εξωτερικός αρνητικό φορτίο. Tα φορτία αυτά είναι κατανεµηµένα οµοιόµορφα στις αντικρυστές κυλινδρικές επιφάνειες των δύο αγωγών, οπότε µπορούµε να ισχυριστούµε ότι το ηλεκτρο στατικό πεδίο που σχηµατίζεται ανάµεσα στις επιφάνειες αυτές παρουσιάζει ακτινική συµµετρία, δηλαδή οι δυναµικές του γραµµές είναι ευθείες που τέµ νουν κάθετα τις δύο κυλινδρικές επιφάνειες, δηλαδή προεκτεινόµενες συναν τούν τον γεωµετρικό τους άξονα (σχ. 4.α). Γιά να υπολογίσουµε το µέτρο της έντασης του ηλεκτροστατικού πεδίου σε απόσταση x από άξονα, µε r<x<r, θεωρούµε νοητή κυλινδρική επιφάνεια (S) ακτίνας x καί µήκους L (σχ 4.β), η οποία είναι οµοαξονική των δύο κυλινδρικών αγωγών. H επιφάνεια αυτή περικλείει φορτίο Q=2πrLσ και η ένταση του πεδίου σε όλα τα σηµεία της έχει το ίδιο µέτρο E, το δε διάνυσµα της έχει φορά προς το κυρτό της µέρος και την τέµνει κάθετα. Eάν εφαρµόσουµε για την επιφάνεια αυτή τον νόµο του Gauss, παίρνουµε την σχέση:

" ( E d S ) = Q/# $ [E ds"#( E, n )] = Q/% (S) (S) E (ds) = 2"rL#/$ E2xL = 2rL"/# E =r/" x (1) (S) Eξάλλου κατά µήκος µιάς οποιασδήποτε δυναµικής γραµµής, που ξεκινά από τον εσωτερικό κύλινδρο και καταλήγει στον εξωτερικό, µπορούµε να υπολογί σουµε την αντίστοιχη πτώση δυναµικού µέσω της σχέσεως: Σχήµα 4.α Σχήµα 4.β V " - V # = - $ (Edx) R r (1) R # rdx& -V * = -) % ( $ " x ' r R V * = r # dx& " ) % ( V $ x * = r # ln R & % ( ' " $ r ' r Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) καί (2) παίρνουµε: " = V * ln(r / r) (2) E = V * r$ # & E = r ln(r / r) " x% V * 1$ # & ln(r / r) " x% P.M. fysikos Δίνεται σφαιρικός αγωγός ακτίνας R, που φέρει στην εξωτερική του επιφάνεια θετικό ηλεκτρικό φορτίο οµοιόµορφα διανεµηµένο, µε επιφανειακή πυκνότητα σ. Xωρίς να χρησιµοποιηθεί ο νόµος του Gauss να υπολογισθεί το δυναµικό του ηλεκτροστατικού πεδίου σ ένα εξωτερικό σηµείο του σφαιρικού αγωγού, σε συνάρτη ση µε την απόστασή x του σηµείου από το κέντρο του αγωγού. ΛYΣH: Θεωρούµε επί της εξωτερικής επιφάνειας του σφαιρικού αγωγού µία κυκλική ζώνη ακτίνας ρ καί απειροστού (πολύ µικρού) εύρους, της οποίας το

επίπεδο είναι κάθετο στην ευθεία που ενώνει ένα τυχαίο εξωτερικό σηµείο M του αγωγού µε το κέντρο του O (σχ. 5). Eπί της κυκλικής αυτής ζώνης υπάρχει στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο dq, οµοιόµορφα κατανεµηµένο σε όλο το µήκος της 2πρ, το οποίο δηµιουργεί στο σηµείο M ένα στοιχειώδες δυναµικό dv, που υπολογίζεται από την σχέση: dv = dq /4" r (1) όπου r η απόσταση του M από τα σηµεία της περιµέτρου της ζώνης. Eξάλλου, εάν x είναι η απόσταση του M από το κέντρο O του αγωγού και φ η γωνία που σχηµατίζει η OM µε µια γενέτειρα του κώνου που έχει κορυφή το O και βάση την θεωρούµενη κυκλική ζώνη, τότε εφαρµόζοντας στο τρίγωνο OAM τον νόµο του συνηµιτόνου παίρνουµε: r 2 = R 2 +x 2-2Rx"#$ r = R 2 +x 2-2Rx"#$ (2) Aκόµη για το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο dq ισχύει: dq = 2"# d$ =2"R%µ& d$ (3) όπου dα το εύρος της κυκλικής ζώνης. Όµως, εάν dφ είναι η στοιχειώδης γωνί α υπό την οποία φαίνεται εκ του O το εύρος dα, τότε θα έχουµε dα=rdφ, οπότε η σχέση (3) γράφεται: Σχήµα 5 dq = 2"R 2 #µ$ d$ (4) Συνδυάζοντας τις (1), (2) καί (4) παίρνουµε την σχέση: dv = 1 2#R 2 $µ% d% 4" R 2 +x 2-2Rx#&'% = - #R2 2" d(#&'%) R 2 +x 2-2Rx#&'%

dv = R2 2" d(r 2 +x 2-2Rx#$%) 2Rx(R 2 +x 2-2Rx#$%) 1 / 2 dv = R 4" x d(r 2 +x 2-2Rx#$%) (R 2 +x 2-2Rx#$%) 1 / 2 (5) Oλοκληρώνοντας την σχέση (5) µε όρια ολοκλήρωσης καί π, ώστε να καλυφ θεί ολόκληρη η επιφάνεια του σφαιρικού αγωγού, παίρνουµε την σχέση: V = R 4" x, & d(r 2 +x 2-2Rx#$%) ) - ( ' (R 2 +x 2-2Rx#$%) 1 / 2 + * V = R 4" x 2(R2 +x 2-2Rx#$%) 1 & / 2 [ ] V = R 4" x [(R+x) - (x - R) ] = R2 " x δηλαδή το δυναµικό σε ένα εξωτερικό σηµείο του σφαιρικού αγωγού είναι αντιστρόφως ανάλογo της απόστασής του x από το κέντρο O του αγωγού. P.M. fysikos Nα υπολογιστεί η ηλεκτρική δυναµική ενέργεια µιάς σφαιρικής κατανοµής ηλεκτρικού φορτίου, σταθερής χωρικής πυκνότητας σ και ακτίνας R. ΛYΣH: Mπορούµε να υποθέσουµε ότι η σφαιρική κατανοµή ηλεκτρικού φορ τίου δηµιουργείται µε µεταφορά στοιχειωδών ηλεκτρικών φορτίων εκ του απείρου, τα οποία ταξινοµούνται κατά σφαιρικούς φλοιούς. Eάν dq είναι το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο που κατανέµεται στον σφαιρικό φλοιό ακτίνας r και πάχους dr, τότε το αντίστοιχο έργο dw των ηλεκτρικών δυνάµεων που δέχεται το φορτίο αυτό, απο το ηλεκτρικό πεδίο που δηµιουργεί η σφαιρική κατανοµή φορτίων ακτίνας r, υπολογίζεται από την σχέση: dw = dq( - V r ) = -V r dq (1) όπου V r το δυναµικό των σηµείων που βρίσκονται σε απόσταση r απο το κέν τρο O της σφαιρικής κατανοµής. Όµως για το δυναµικό V r ισχύει η σχέση: V r = k C q r r = k C 4r3 " 3r = 4k C "r2 3 (2) όπου k C η σταθερά του νόµου του Coulomb. Eξάλλου το φορτίο dq που είναι εντοπισµένο στον φλοιό ακτίνας r και πάχους dr είναι:

dq = σ 4πr 2 dr (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), (2) και (3) παίρνουµε: dw = - 4k C"r 2 4"r 2 dr 3 = - 16k C 2 " 2 r 4 dr 3 (4) Tο συνολικό έργο W των ηλεκτρικών δυνάµεων, όταν η σφαιρική κατανοµή αποκτήσει ακτίνα R θα βρεθεί µε ολοκλήρωση της σχέσεως (4), όπου τα όρια της µεταβλητής r είναι και R, οπότε θα έχουµε: W = R (dw) (4 ) W = - 16k C 2 " 2 3 R (r 4 dr) = - 16k C 2 " 2 R 5 15 (5) Σχήµα 6 Eίναι προφανές ότι, για να δηµιουργηθεί η σφαιρική αυτή κατανοµή φορτίων πρέπει να υπερνικηθούν οι ηλεκτρικές δυνάµεις που αντιτίθενται στην µεταφο ρά φορτίων από το άπειρο, δηλαδή πρέπει να προσφερθεί στα µεταφερόµενα φορτία ενέργεια -W, η οποία αποθηκεύεται στο ηλεκτρικό πεδίο της σφαιρικής κατανοµής, µε την µορφή ηλεκτρικής δυναµικής ενέργειας. Έτσι η ζητούµενη δυναµική ενέργεια της σφαιρικής κατανοµής είναι: U = -W (5 ) U = 16k C 2 " 2 R 5 15 P.M. fysikos Mια λεπτή ράβδος µήκους 2L, είναι ηλεκτρισµένη η δε γραµµική πυκνότητα του φορτίου της µεταβάλλεται µε την από σταση x από το µέσο της O σύµφωνα µε την σχέση: λ = α x όπου α θετική και σταθερή ποσότητα. i) Nα βρείτε την ένταση των σηµείων της µεσοκάθετης της ράβδου

ii) Eάν ένα θετικό ιόν µάζας m και φορτίου q βρεθεί ακίνητο σ' ένα σηµείο της µεσοκάθετης, που απέχει από την ράβδο απόσταση y, µε ποιά ταχύτητα θα εξέλθει από το ηλεκτροστατικό πεδίο της φορτισ µένης ράβδου; ΛYΣH: i) Θεωρούµε ένα σηµείο M της µεσοκάθετης yy' της φορτισµένης ράβδου, του οποίου η θέση καθορίζεται από την µεταβλητή y (-<y< +). Στο σηµείο αυτό ένα στοιχειώδες τµήµα dx της ράβδου που βρίσκεται στην θέση x σε σχέση µε το µέσον της O, δηµιουργεί στοιχειώδες δυναµικό dv, που υπολο γίζεται από την σχέση: dv = dq 4" r = 1 #dx = 4" (x 2 +$ 2 ) 1/2 1 # x dx (1) 4" (x 2 +$ 2 ) 1/2 Tο δυναµικό V + στο σηµείο M, που οφείλεται στο τµήµα της ράβδου που βρίσκεται δεξιά του µέσου της θα προκύψει µε ολοκλήρωση της σχέσεως (1), όπου τα όρια της µεταβλητής x είναι και L, οπότε θα έχουµε: V + = L x dx = 4"# (x 2 + y 2 ) 1/2 L xdx 4"# διότι x > (2) (x 2 + y 2 ) 1/2 Σχήµα 7 Tο ολοκλήρωµα του δεύτερου µέλους της σχέσεως (2) είναι ένα τυπικό ολοκλή ρωµα, για το οποίο ισχύει: L xdx (x 2 + y 2 ) 1/2 = L2 + y 2 - y Έτσι η σχέση (2) γράφεται: V + = L 2 + y 2 - y 4"# ( ) (3) Eίναι προφανές ότι, το δυναµικό V που οφείλεται σ' ολόκληρη την φορτισµένη

ράβδο είναι διπλάσιο του V +, οπότε θα έχουµε: V = L 2 + y 2 - y 2"# ( ) (4) Eξάλλου η ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου της ράβδου στο σηµείο M έχει για λόγους συµµετρίας την διεύθυνση του άξονα yy', υπολογίζεται δε από την σχέ ση: ή E = - V " y j = - y 2"# L 2 + y ± 1 % $ ' # 2 & E = ( ) - y/ L 2 + y 2-1 j $% y > # 2"# " # - y/ L 2 + y 2-1 2"# ( ) j $% y < $ # ii) Όταν ένα θετικό ιόν βρεθεί σε ηρεµία στο σηµείο M, θα δεχθεί από την φορ τισµένη ράβδο απωστική δύναµη κατά την διεύθυνση yy', µε αποτέλεσµα να αποµακρύνεται µε κατεύθυνση προς το άπειρο. Eφαρµόζοντας για το ιόν το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ των σηµείων M και άπειρο παίρνου µε την σχέση: mv 2 /2 - = q(v - V ) v = qv/m (4 ) j v = 2q m ( ) = L 2 + y 2 2"# - - y ( ) q L 2 + y 2 "m# - - y όπου v η ζητούµενη ταχύτητα του ιόντος P.M. fysikos Mια κυλινδρική κατανοµή ηλεκτρικού φορτίου, ακ τίνας R και πολύ µεγάλου µήκους, έχει σχηµατιστεί στον κενό χώρο. i) Xρησιµοποιώντας τον νόµο του Gauss, να εκφράσετε σε συνάρτηση µε την απόσταση r από τον άξονα συµµετρίας της κυλινδρικής κατα νοµής, το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού της πεδίου και να σχεδι άσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ii) Mε την βοήθεια της σχέσεως αυτής να υπολογίσετε την συνάρτηση V= f(r), που παρέχει το δυναµικό των σηµείων του πεδίου, θεωρώντας µηδενικό το δυναµικό σε απόσταση R από τον άξονα συµµετρίας και να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. ΛYΣH: i) Λόγω της συµµετρίας που παρουσιάζει η κυλινδρική κατανοµή φορ τίων γύρω απο τον γεωµετρικό της άξονα yy, είναι λογικό να δεχθούµε ότι, το

δυναµικό σε ίσες αποστάσεις από τον άξονα αυτόν έχει την ίδια τιµή. Aυτό ση µαίνει ότι, οι ισοδυναµικές επιφάνειες του ηλεκτρικού πεδίου της κατανοµής είναι κυλινδρικές µε άξονα τον yy'. H ένταση του πεδίου σ' ένα οποιοδήποτε σηµείο, ως κάθετη επί την ισοδυναµική επιφάνεια που διέρχεται από το σηµείο αυτό, θα έχει φορέα που διέρχεται από τον yy' και θα τον τέµνει κάθετα, το δε µέτρο της είναι συνάρτηση της απόστασης r του σηµείου από τον άξονα yy'. Για να υπολογίσουµε το µέτρο της έντασης του πεδίου σ' ένα εσωτερικό σηµείο M της κατανοµής, δηλαδή σε απόσταση r<r από τον άξονά της, θεωρούµε µια κλει στή επιφάνεια η οποία αποτελείται από την παράπλευρη επιφάνεια και τις δύο βάσεις S 1 και S 2 ενός κυλίνδρου, ύψους L και ακτίνας r, του οποίου ο άξονας ταυτίζεται µε τον yy'. Eφαρµόζοντας για την κλειστή αυτή επιφάνεια τον νόµο του Gauss παίρνουµε την σχέση: "# = Q "# /$ (S) + (S1 ) + (S 1 ) = Q "# /$ (1) Σχήµα 8.α όπου Q ολ το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείει η κλειστή επιφάνεια. Όµως Φ(S 1 )=Φ(S 2 )= και Q ολ =σ Lπr 2, οπότε η σχέση (1) γράφεται: (S) = "L#r 2 /$ (2) Eξάλλου, η ηλεκτρική ροή Φ (S) δια µέσου της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου υπολογίζεται από την σχέση: = E (ds) (S) = (EdS"#$%) (S) = E2rL (3) (S) όπου E το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση r απο τον άξονα yy'. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε: E2rL = "Lr 2 /# E = r/2" µε r R (4) Eργαζόµενοι µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο για ένα εξωτερικό σηµείο της κυλινδ ρικής κατανοµής (r>r) καταλήγουµε στην σχέση: E = R2 2" r µε R r <+ (5) Aκόµη για το µέτρο της έντασης παρατηρούµε τα εξής:

A" (4) lim(e)= #R/2$ # % r" - R $ A" (5) lim(e) = #R/2$ &% r" + R lim(e) = lim(e) = R/2" r - R r + R δηλαδή η συνάρτηση E=E(r) είναι συνεχής στο σηµείο r=r και έχει την µορφή: E = #% $ &% r/2", r R R 2 /2" r, R r < +" (6) H γραφική παράσταση της (6) φαίνεται στο σχήµα (8.β). ii) Tο δυναµικό V σε απόσταση r από τον άξονα yy' προκύπτει από την σχέση: E = -dv/dr dv = -Edr (7) Για r R η (7) λόγω της πρώτης εκ των (6) γράφεται: dv = - rdr V = - 2" 2" (rdr) V = - r2 2" 2 + C 1 (8) όπου C 1 σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία θα υπολογιστεί από την σύµβαση ότι, το δυναµικό σε απόσταση R από τον άξονα yy' είναι µηδενικό. Έτσι θα έχουµε: Σχήµα 8.β Σχήµα 8.γ = - R2 2" 2 + C 1 C 1 = R2 2" 2 οπότε η (8) δίνει: V = - 2" r2 2 + 2" R2 2 = - (R2 - r 2 ) 4" µε r R (9)

Για R r<+ η (7) λόγω της δεύτερης εκ των (6) γράφεται: dv = - R2 dr 2" r V = - R2 2" (dr/r) = - R2 "lnr + C 2" 2 (1) όπου C 2 µια σταθερά ολοκλήρωσης, που θα προκύψει από την οριακή συνθήκη V= για r=r. Έτσι θα έχουµε: = - R2 2" lnr + C 2 C 2 = R2 2" lnr οπότε η σχέση (1) δίνει: V = - R2 lnr + R2 lnr V = - R2 ln r $ # & µε R r< + (11) 2" 2" 2" " R% A" (9) lim(v)= # % r" - R $ A" (11) lim (V) = &% r" + R lim(v)= lim(v)= r - R r + R που σηµαίνει ότι η συνάρτηση V=V(r) είναι συνεχής στο σηµείο r=r, έχει δε την µορφή: # % V = $ % & % - 4" (r 2 - R 2 ), r R - R2 2" ln(r/r), R r < +" H γραφική παράσταση της συνάρτησης V=f(r) φαίνεται στο σχήµα (8.γ). P.M. fysikos Σε µια περιοχή του χώρου υπάρχει ηλεκτρικό πε δίο, του οποίου η ένταση E ικανοποιεί την σχέση: E = (y i + x j ) όπου λ σταθερή θετική ποσότητα και των αξόνων Ox και Oy αντιστοίχως. i) Nα δείξετε ότι το πεδίο είναι ηλεκτροστατικό. i, j τα µοναδιαία διανύσµατα ii) Nα βρείτε την συνάρτηση δυναµικού του πεδίου, θεωρώντας µηδε νικό το δυναµικό της αρχής O των αξόνων.

iii) Nα βρείτε την εξίσωση των δυναµικών γραµµών του πεδίου και να σχεδιάσετε µερικές από αυτές. ΛYΣH: i) Για να διαπιστώσουµε αν το πεδίο είναι ηλεκτροστατικό ή όχι υπο λογίζουµε τον στροβιλισµο της έντασης, οπότε θα έχουµε: ( " E ) = i j k # /#x # /#y # /#z y x o δήλαδη το πεδίο είναι ηλεκτροστατικό = i ( - ) + j ( - ) + k (1-1) = ii) Θεωρούµε ένα τυχαίο σηµείο M(x,y) του επιπέδου xy και υπολογίζουµε το έργο της ηλεκτρικής δύναµης που δέχεται ένα θετικό υπόθεµα q, κατά την µετακίνησή του από την αρχη O των αξόνων στο M, ακολουθώντας την διαδρο µή O A M του σχήµατος (9.α). Για το έργο αυτό θα έχουµε: A W O,M = W O,A + W A,M = ( F " "d L M ) + ( F " "d L ) O x W O,M = q E y x dx + q E y y dy = + qx dy A Σχήµα 9.α Σχήµα 9.β y W O,M = qx dy = qxy (1) H διαφορά δυναµικού VO-VM εξ ορισµού είναι ίση µε WO,M/q, δηλαδή ισχύει: (1) V O - V M = W O,M /q V O - V M = xy - V(x,y) = xy V(x,y) = -xy (2)

iii) H διαφορική εξίσωση των δυναµικών γραµµών του πεδίου έχει την µορφή: dx E x = dy E y dx y = dy x x dx = ydy (3) Oλοκληρώνωντας την (3) παίρνουµε την σχέση: x 2 2 = y2 2 + C2 x 2 2 ( 2C) - y 2 ( 2C) 2 = 1 (4) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία επέχει θέση παραµέτρου. H (4) εκφράζει µια µονοπαραµετρική οικογένεια ισοσκελών υπερβολών µε πλάγιες ασυµπτώ τους της µορφής y=±x. Στο σχήµα (9.β) φαίνονται µερικές από τις υπερβολές αυτές. P.M. fysikos Δίνεται µια σφαιρική κατανοµή ηλεκτρικών φορ τίων ακτίνας α, της οποίας η χωρική πυκνότητα είναι συνάρτηση της απόστασης r από το κέντρο της κατανοµής. i) Eάν V είναι το δυναµικό σε απόσταση r<α από το κέντρο και σ(r) η αντίστοιχη πυκνότητα φορτίου, να δείξετε την σχέση: d 2 V dr 2 + 2 r dv dr = - (r) " ii) Eάν η συνάρτηση δυναµικού στο εσωτερικό της σφαιρικής κατα νοµής έχει την µορφή: V(r) = V e -r/ όπου V θετική και σταθερή ποσότητα, να βρεθεί το ηλεκτρικό φορτί ο της σφαιρικής κατανοµής και η συνάρτηση της πυκνότητας φορ τίου. ΛYΣH: i) H ένταση E σε κάθε εσωτερικό σηµείο του ηλεκτρικού πεδίου της σφαιρικής κατανοµής φορτίων έχει φορέα την ευθεία που συνδέει το σηµείο µε το κέντρο της κατανοµής, η δε αλγεβρική της τιµή είναι η αρνητική παράγω γος του δυναµικού ως πρός την απόσταση r του σηµείου, από το κέντρο της κατανοµής, δηλαδή ισχύει η σχέση: E = - dv dr de dr = - d2 V dr 2 (1) Όµως, εάν Q είναι το ηλεκτρικό φορτίο που περιέχεται στην σφαίρα ακτίνας r, θα ισχύει:

E = Q/4" r 2 Er 2 = Q/4" (2) Διαφορίζοντας την σχέση (2) έχουµε: r 2 de + 2rEdr = dq de r 2 4" dr + 2rE = 1 dq 4" dr (3) Όµως το φορτίο dq περιέχεται σ ένα σφαιρικό δακτύλιο ακτίνας r και πάχους dr, οπότε θα ισχύει: dq = (r )4"r 2 dr dq dr = 4r2 "(r) (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (4) παίρνουµε: r 2 de dr + 2rE = 4r2 "(r) 4# de dr + 2 r - dv $ # & " dr % = (r) " (1) - d2 V dr 2-2 r dv dr = (r) d2 V " dr 2 + 2 r dv dr = - (r) " (5) ii) Eάν E είναι ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στην εξωτερική επιφάνεια της σφαιρικής κατανοµής, δηλαδή σε απόσταση α από το κέντρο της, θα ισχύει: E = - dv $ # & " dr % r= = - V # " 'e -r/ $ & % r= = V e (6) Eξάλλου, εάν Q είναι το ηλεκτρικό φορτίο που περιέχεται σε όλη την κατανο µή, θα ισχύει και η σχέση: E = Q 4" # 2 (6 ) V e = Q 4"# 2 Q = 4" V # e (7) Παραγωγίζοντας την συνάρτηση δυναµικού δύο φορές έχουµε: dv dr = - V e -r/ και d2 V dr 2 = V 2 e -r/ οπότε η σχέση (5) γράφεται: V e -r/ + 2 " 2 r - V $ # e -r/ (r) = " V 2# # # 2 " r - 1 $ & e -r/# % % ' = - "(r) V e -r/ # 1-2 & # 2 " r $ & = - "(r) % # P.M. fysikos