Α. Η ιδιαιτερότητα της απλής αρµονικής ταλάντωσης

Η «σύνθεση απλών αρµονικών ταλαντώσεν ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας» είναι µια απλή πρόσθεση αρχικών συνθηκών (δ µέρος) Α. Η ιδιαιτερότητα της απλής αρµονικής ταλάντσης Πρόταση 1: «Η επαλληλία τν εξισώσεν δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεν ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας, είναι εξίσση απλής αρµονικής ταλάντσης ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας µε τις δύο επιµέρους α.α.τ.» Μιλώντας «αδόκιµα» θα διατύπνα την πρόταση έτσι: «Η σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεν ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας είναι απλή αρµονική ταλάντση ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας µε τις επιµέρους ταλαντώσεις» Απόδειξη Το ότι έχουµε επαλληλία στην ίδια διεύθυνση, σηµαίνει ότι οι «συνιστώσες» εξισώσεις κίνησης («συνιστώσες κινήσεις») αφορούν και οι δύο τον ίδιο άξονα, ας πούµε τον x. Συνεπώς η γραφή τους θα είναι x 1 (t) και x (t) (δε θα εµπλέκεται δηλαδή καθόλου ο άξονας y) και θα ισχύει x(t)= x 1 (t)+ x (t) ή πιο απλά x= x 1 + x (1) Το ότι οι x 1 (t) και x (t) είναι απλές αρµονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, σηµαίνει ότι η κάθε µια οφείλεται σε χροεξαρτώµενη δύναµη της µορφής F = Dx () που δρα στη µάζα m και ότι η κάθε µια από τις x 1 και x πληροί διαφορική εξίσση της µορφής d x m + Dx = (3) dt (Το D είναι ίδιο γιατί και η µάζα m και η συχνότητα είναι ίδιες) Συνεπώς θα πληρούνται οι διαφορικές εξισώσεις d x1 m + Dx1 = (4) dt d x m + Dx = (5) dt ( * ) Τα ίδια συµπεράσµατα ισχύουν και για επαλληλία περισσοτέρν εξισώσεν α.α.τ. 1

Προσθέτ τις (4) και (5) κατά µέλη ( + ) d x1 x ( ) m + D x1+ x = (6) dt Η (6) λόγ της (1) δίνει d x m + Dx= (7) dt Παρατηρώντας τις σχέσεις (4), (5) και (7) διαπιστώνουµε ότι η εξίσση κίνησης x και οι εξισώσεις κίνησης x 1 και x τν οποίν η επαλληλία δίνει τη x, πληρούν ακριβώς την ίδια διαφορική εξίσση (3). (Η απόδειξη θα µπορούσε να γίνει και ς εξής: Επειδή οι x 1 και x είναι α.α.τ. οι δυνάµεις στις οποίες οφείλονται θα είναι χροεξαρτώµενες F = Dx και F = Dx 1 1 Όµς x= x 1 + x και µε διπλή παραγώγηση προκύπτει d x d x1 d x m = m + m F =Dx 1 Dx F = D( x1+ x) F = Dx dt dt dt Η x οφείλεται σε χροεξαρτώµενη δύναµη της µορφής F = Dx. Άρα η x είναι α.α.τ.) Άρα: «Η επαλληλία (η σύνθεση) x δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεν x 1 και x ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, είναι απλή αρµονική ταλάντση ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας µε τις x 1 και x» Σηµείση: Με τρόµο είδα διάφορα βιβλία (φροντιστηριακά και µη) να «αποδεικνύουν» την παραπάν πρόταση µε άλλους τρόπους, οι οποίοι όταν δεν ήταν λανθασµένοι µαθηµατικά, όταν δεν ήταν συλλογιστικά σαθρότατοι, ήταν τουλάχιστον κµικοί µιας και χρησιµοποιούσαν... περιστρεφόµενα διανύσµατα(!!!) Οι παραλογισµοί, τα λάθη, οι συλλογιστικές αναίτιες ανατροπές, τα κενά και οι α-νοησίες δίνονταν µε τέτοια σοβαροφάνεια που κυριολεκτικά µε άφησαν άφνο! Στο τέλος το µόνο που σκέφτηκα, ήταν αν έχουµε δικαίµα να αδιαφορούµε για τη µαθηµατική αυστηρότητα όταν αγγίζουµε τη Φυσική και µέχρι πού έχουµε δικαίµα να εξθήσουµε τα... περιστρεφόµενα διανύσµατα, λανσάροντάς τα ς «µαθηµατικά φερέγγυα» δήθεν, εργαλεία; Φίλοι µου θα πρέπει κάποια στιγµή να συνειδητοποιήσουµε επιτέλους ότι τα περιστρεφόµενα... διανύσµατα είναι ένα α- πλό τρυκ. εν έχουν µαθηµατική δοµή και συνεπώς είναι εντελώς ανίκανα να στοιχειοθετήσουν σοβαρή απόδειξη οποιασδήποτε σοβαρής πρότασης όπς π.χ. η παραπάν πρόταση 1. Έτσι ας ξαναγκρινιάξ ότι πρέπει να µπει κάποιο φρένο στην «ευφυή» χρήση τν περιστρεφόµενν, χρίς παράλληλα να επισηµαίνουµε τις οριοθετήσεις τους. Έχει ήδη γίνει και γίνεται ακόµη και τώρα που µιλάµε, αρκετή ζηµιά στη σκέψη και τν µαθητών και τν καθηγητών. Αρκετοί Φυσικοί πιστεύουν ότι τα «περιστρεφόµενα«είναι ένα σοβαρό µαθηµατικό εργαλείο που µπορεί να χρησιµοποιηθεί όπου να ναι. Νοµίζουν ότι µπορούν να χρησιµοποιηθούν ακόµη και στην απόδειξη µαθηµατικών προτάσεν δοµής όπς π.χ. είναι η (1). Αλλά ας αφήσ τα περιστρεφόµενα µιας και θα ήταν κρίµα να εκτραπεί αλλού η κουβέντα. Τα ανέφερα γιατί µου έκανε µεγάλη εντύπση η προσπάθεια να χρησιµοποιηθούν ακόµη και σε θέµατα δοµής.

Πρόταση : «Έστ x µια εξίσση κίνησης που είναι επαλληλία δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεν x 1 και x ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας. Να αποδειχτεί ότι: α) Οι x, x 1 και x είναι εξισώσεις της ίδιας ακριβώς απλής αρµονικής ταλάντσης οι οποίες διαφοροποιούνται µεταξύ τους µόνο ς προς τις αρχικές συνθήκες. β) Το άθροισµα τν αρχικών συνθηκών τν x 1 και x είναι οι αρχικές συνθήκες της x» Απόδειξη α) Όπς αποδείχτηκε στην πρόταση 1 οι συναρτήσεις x 1 και x, καθώς και η επαλληλία τους, η συνάρτηση x δηλαδή, πληρούν την ίδια ακριβώς διαφορική εξίσση (3). Επειδή όµς η διαφορική εξίσση (3) έχει µία και µόνο µία γενική λύση θα πρέπει οι x 1, x και x, να είναι ουσιαστικά η ίδια συνάρτηση ( * ) υ = + t (8) x x συν t ηµ t όπου x και υ είναι οι αρχικές συνθήκες (η αρχική θέση και η αρχική ταχύτητα του υλικού σηµείου µάζας m). Συνεπώς η µόνη δυνατή διαφοροποίηση µεταξύ τν x, x 1 και x είναι οι αρχικές συνθήκες! Άλλη δυνατότητα διαφοροποίησης µεταξύ τν x 1, x και της επαλληλίας τους, της x δηλαδή, δεν υπάρχει! β) Οι εξισώσεις που αποδίδουν τις παραπάν συναρτήσεις θα είναι υ = + (9) 1 x1 x 1 συνt ηµt και υ = + (1) x x συνt ηµt υ x= x συνt+ ηµt (11) Παίρνοντας υπόψη τις σχέσεις (9), (1) και (11), η σύνθεση τν x 1 και x δίνει υ υ1+ υ x= x1+ x xσυνt+ ηµt = ( x1+ x ) συνt+ ηµt (1) Για να ισχύει η (1) για όλες τις χρονικές στιγµές πρέπει x = x1 + x και υ = υ 1 + υ (13) ( * ) Η συνάρτηση αυτή µπορεί να αποδοθεί µε τρεις ισοδύναµες µορφές. Οι µορφές αυτές έχουν ήδη αναφερθεί στις προηγού- µενες αναρτήσεις µου σε αυτή τη συζήτηση. Επιλέγ για τα παρακάτ τη µορφή (8) Οποιαδήποτε όµς από τις τρεις µορφές και να χρησιµοποιηθεί, τα συµπεράσµατα δεν αλλάζουν. Απλά η µορφή (8) είναι η πιο εύγλττη και η πιο διάφανης γι αυτή την αναζήτηση! 3

Το άθροισµα τν αρχικών συνθηκών τν x 1 και x είναι οι αρχικές συνθήκες της x. Αυτό βέβαια ήταν αναµενόµενο µιας και συµβαίνει σε οποιαδήποτε σύνθεση, αλλά το τονίσαµε όχι απλά για να δούµε τη συνέπεια τν συλλογισµών µας, αλλά κυρίς για να δούµε (και αυτό είναι το απόλυτα σηµαντικό) ότι η (13) ισχύει παράλληλα µε το γεγονός ότι οι x, x 1 και x είναι η ίδια κίνηση, αλλά µε άλλες αρχικές συνθήκες Άρα α) Οι εξισώσεις x 1 και x καθώς και η επαλληλία τους είναι η ίδια ακριβώς απλή αρµονική ταλάντση µε µόνη διαφοροποίηση τις αρχικές τους συνθήκες. β) Oι αρχικές της συνθήκες της x είναι το άθροισµα τν αρχικών συνθηκών τν συνιστσών ταλαντώσεν x 1 και x γ) Όταν προσθέτ α.α.τ. ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας η εξίσση κίνησης παραµένει ακριβώς ίδια. Η πρόσθεση µιας τέτοιας α.α.τ. στην παλιά α.α.τ. το µόνο που κάνει είναι να αλλάζει τις αρχικές συνθήκες και µάλιστα µε βίαιο, α-νόητο και πάντα αφύσικο τρόπο... Σηµειώσεις: 1) Τα παραπάν συµπεράσµατα ισχύουν και στην περίπτση που έχουµε να συνθέσουµε περισσότερες από δύο εξισώσεις κίνησης απλών αρµονικών ταλαντώσεν ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας. Η επαλληλία τους είναι επίσης α.α.τ. ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας µε εκείνης τν συνιστσών α.α.τ. και αρχικές συνθήκες το άθροισµα τν αρχικών τους συνθηκών. Τελικά η επαλληλία τους και οι επιµέρους εξισώσεις είναι η ίδια α.α.τ. Στο µόνο που διαφέρουν είναι οι αρχικές συνθήκες. Με λίγα λόγια όταν συνθέτουµε α.α.τ το µόνο που κάνουµε είναι στην ίδια εξίσση κίνησης, να παίζουµε µε τις αρχικές συνθήκες. Η πρόσθεση α.α.τ. είναι πρόσθεση (αλλαγή) αρχικών συνθηκών και τίποτε άλλο. ) Μπορούµε βέβαια να προχρήσουµε και αντίστροφα. Αν την εξίσση κίνησης x=ασυνt+βηµt µιας τυχαίας απλής αρµονικής ταλάντσης γράψουµε µε κατάλληλο τρόπο, π.χ. υ1+ υ+... + υν x= ( x1 + x +... + xν ) συνt+ ηµt = 1 xν και υ1 + υ+... + υν B= τότε ο κίνδυνος τν παρανοήσεν είναι υπαρκτός. Βλέποντας κάποιος τις προσθέσεις πιθανώς η ασκησιολαγνεία του να τον εξθήσει να θερήσει τη µια και µόνο µια αρχική α.α.τ., σύνθεση (επαλληλία) ν εξισώσεν κίνησης απλών αρµονικών ταλαντώσεν µε προφανείς τις αρχικές συνθήκες της κάθε µιας εξίσσης κίνησης. Επειδή ο αριθµός τν προσθετέν στις παρενθέσεις της παραπάν σχέσης είναι καθαρά δικιά µας επιλογή, µπορούµε να ηδονιστούµε βλέποντας σε µια απλή αρµονική ταλάντση τη σύνθεση (επαλληλία) ΟΣΩΝ απλών αρµονικών ταλαντώσεν ίδιας συχνότητας και ίδιας διεύθυνσης θέλουµε (ακόµη και άπειρν). Στο τέλος ίσς δούµε τόσες πολλές α.α.τ. που δε θα βλέπουµε τίποτε άλλο µπροστά µας ς Φυσικοί... ώστε Α ( x + x +... + ) 3) Αναγκαία και ικανή συνθήκη: Το ότι οι αρχικές συνθήκες µιας σύνθεσης είναι ίσες µε το άθροισµα τν αρχικών συνθηκών τν συνιστσών δεν είναι κάτι καινούριο. Ισχύει σε κάθε σύνθεση εξισώσεν κίνησης. Εκείνο που κάνει ξεχριστή την κατάσταση εδώ µε τις α.α.τ. είναι ότι οι συνιστώσες εξισώσεις κίνησης και η συνισταµένη πληρούν την ίδια διαφορική εξίσση µε αποτέλεσµα να υπάρχει µια αναγκαία και ικανή συνθήκη που δε συναντάµε απαραίτητα στις άλλες επαλληλίες. Ας τη δούµε για δυο α.α.τ. αν και εύκολα επεκτείνεται σε περισσότερες: Αν η εξίσση κίνησης µιας α.α.τ. µε στοιχεία m, D, x 1, υ 1 είναι η x 1 =Α 1 ηµ( t+φ 1 ) και η εξίσση κίνησης µιας άλλης α.α.τ. µε στοιχεία m, D, x, υ είναι η x =Α ηµ( t+φ ) τότε ισχύει Μια α.α.τ. µε στοιχεία m, D, x =x 1 +x, υ =υ 1 +υ εξίσση κίνησης x=x 1 +x Βέβαια µπορούσαµε να απαιτήσουµε ς κοινό στοιχείο τν συνιστσών εξισώσεν κίνησης, όχι ξεχριστά τα m και D, αλλά την. Αυτό µας τρβά έξ από τις α.α.τ. και έχει δραµατικές επιπτώσεις στα κύµατα... 4

Πρόταση 3: «Σε οποιαδήποτε επαλληλία (σύνθεση) εξισώσεν κίνησης η σχέση x=x 1 +x α) Οδηγεί άµεσα στις x = x1 + x και υ = υ1+ υ β) ε µπορούµε να πούµε ότι κάθε σύνθεση κινήσεν είναι σύνθεση αρχικών συνθηκών» Απόδειξη α) Η σχέση x=x 1 +x ισχύει για κάθε χρονική στιγµή. Άρα ισχύει και για την αρχή τν χρόνν, δηλαδή για τις αρχικές συνθήκες. Άρα ισχύει x = x1 + x και υ = υ1+ υ. β) Η σύνθεση αρχικών συνθηκών είναι ιδιότητα της επαλληλίας τν α.α.τ. αλλά δεν είναι γενική ιδιότητα οποιασδήποτε επαλληλίας. Ας επιχειρήσουµε να το διευκρινίσουµε: Για να πούµε ότι η σύνθεση τν x 1 και x είναι σύνθεση αρχικών συνθηκών πρέπει αθροίζοντας τις αρχικές τους συνθήκες x 1 + x και υ 1+ υ και αντικαθιστώντας τα αθροίσµατα στην αντίστοιχη θέση τν αρχικών συνθηκών οποιασδήποτε από τις x 1 ή x να προκύπτει η σύνθεσή τους x 1 +x. Αυτό µε τη σειρά του σηµαίνει ότι οι x 1, x και x 1 +x αποτελούν λύσεις της ίδιας διαφορικής εξίσσης και ότι διαφοροποιούνται απλώς µεταξύ τους από τις αρχικές συνθήκες. Η διαφορική εξίσση µε τη σειρά της είναι µια διαφορική µε την ιδιότητα το άθροισµα δύο λύσεών της να αποτελεί πάλι λύση της κάτι που συµβαίνει για παράδειγµα στις οµογενείς γραµµικές διαφορικές. (Η διαφορική του α.α.τ είναι οµογενής γραµµική δευτέρας τάξες) Γενικά δεν είναι δυνατό να βρούµε µια εξίσση κίνησης x για την οποία να ισχύουν συγχρόνς τα 1. x=x 1 +x.. Οι x 1, x και x=x 1 +x πληρούν την ίδια διαφορική Για να το καταλάβουµε ακόµη καλύτερα ας δούµε ένα αντι-παράδειγµα: Ας υποθέσουµε ότι σε µια σύνθεση x=x 1 +x οι επιµέρους εξισώσεις κίνησης x 1 και x πληρούν την ίδια διαφορική εξίσση. Τότε Lx 1 =F Lx =F όπου L γραµµικός διαφορικός τελεστής Προσθέτοντας κατά µέλη και µε δεδοµένη τη γραµµικότητα του L προκύπτει και συνεπώς L(x 1 +x )=F Lx=F Η διαφορική λοιπόν που πληροί η σύνθεση x=x 1 +x δεν είναι ίδια µε τη διαφορική που πληρούν οι x 1 και x µόνες τους. Αν απαιτήσουµε να γίνουν ίδιες πρέπει F=, δηλαδή οι διαφορικές να γίνουν οµογενείς. Φορµαλιστικά λοιπόν όταν λέµε ότι µια επαλληλία εξισώσεν κίνησης είναι επαλληλία (πρόσθεση, σύνθεση) αρχικών συνθηκών εννοούµε ότι : 1. Ισχύει x=x 1 +x. Η εξίσση κίνησης x πληροί την ίδια ακριβώς διαφορική εξίσση που πληρούν και οι εξισώσεις κίνησης x 1 και x 5

Η επαλληλία τν εξισώσεν κίνησης δύο ή περισσοτέρν απλών αρµονικών ταλαντώσεν ίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης και που πραγµατοποιούνται γύρ από την ίδια θέσης ισορροπίας πληροί όλα τα παραπάν. Άρα η επαλληλία τν εξισώσεν κίνησης αυτών τν απλών αρµονικών ταλαντώσεν είναι µια επαλληλία (απλή πρόσθεση) αρχικών συνθηκών. Β. Μια α-νόητη διδακτική ενότητα του σχολικού βιβλίου Μετά από όλα τα παραπάν φαίνεται ξεκάθαρα ότι κατά τη µελέτη της κίνησης ενός υλικού σηµείου, κανένας παρατηρητής (είτε λύνοντας διαφορικές εξισώσεις µόνος του είτε χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµούς και πληροφορίες άλλν παρατηρητών) δεν είναι δυνατό να ισχυριστεί ότι η τελική εξίσση στα χέρια του είναι επαλληλία δύο ή περισσοτέρν εξισώσεν απλών αρµονικών ταλαντώσεν ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, γιατί απλά θα είναι µία και µόνο µία α.α.τ. Αν τα µαθηµατικά που χρησιµοποίησα δεν είχαν λάθος και η συλλογιστική µου δεν είχε κενά θα πρέπει όχι µόνο να µην ψάχνουµε φαινόµενα σύνθεσης τέτοιν α.α.τ. αλλά θα πρέπει να περιοριστούν και οι φιλοδοξίες τν πειραµατιστών να στήσουν κινήσεις όπου ένα υλικό σηµείο θα εκτελεί σύνθεση α.α.τ. ίδιας συχνότητας και ίδιας διεύθυνσης. Όταν σε µια α.α.τ. προσθέτουµε µια α.α.τ. ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας το µόνο που κάνουµε είναι να αλλάζουµε «βίαια», αναίτια και αφύσικα (χρίς να δηµιουργούµε φαινό- µενο αλλά µαθηµατικές προσθέσεις) τις αρχικές συνθήκες της αρχικής ταλάντσης. Θα πρέπει επίσης κάποια στιγµή να συνειδητοποιήσουµε ότι το στυλ «βάζουµε αυτό κάτ και βάζουµε από πάν του εκείνο και µετά το άλλο και το άλλο κ.λ.π.», πιστεύοντας ότι θα µας γλιτώσει µια διάτρητη, ανυπόληπτη και απόλυτα λανθασµένη «αρχή της ανεξαρτησίας τν κινήσεν» δεν είναι δόκιµο. Με όλα όσα βάλαµε το ένα πάν στο άλλο όχι µόνο δε θα θα προκαλέσουµε σύνθεση α.α.τ., αλλά το πιο πιθανό είναι να διαλύσουµε και έννοιες και ορισµούς και φαινόµενα! Αξίζει να κρατήσουµε και να προβληµατιστούµε µε τον αυθορµητισµό του µαθητή του ηµήτρη Γκενέ «...Πριν χρόνια τελειώνοντας τα διακροτήµατα µε ρώτησε ένας µαθητής: ηλαδή αν συνδέσουµε δυο απέναντι πλευρές ενός σώµατος µε δυο ελατήρια διαφορετικού k, µετά σταθεροποιήσουµε τα άλλα άκρα σε ακλόνητα σηµεία ώστε τα ελατήρια να είναι σε θέση φυσικού µήκους και κατόπιν εκτρέψουµε το σώµα κατά Α θα παρατηρήσουµε διακροτήµατα και µε ποια ;" Τότε ίδρσα µέχρι να τον πείσ ότι αυτό δεν είναι επαλληλία...έφαγα όλη την ώρα να δείξ ότι το σώµα απλά εκτελεί (µία και µόνο µία) ΑΑΤ και ότι για να δ διακροτήµατα θα πρέπει να...» Συµπέρασµα: Η παρουσίαση του σχολικού βιβλίου «... Α. Σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεν της ίδιας συχνότητας, που γίνονται γύρ από το ίδιο σηµείο στην ίδια διεύθυνση. Έστ ότι ένα σώµα Σ κάνει ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις µε εξισώσεις x 1 =A 1 ηµt x =A ηµ(t+φ)...» («Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Τάξη Γενικού Λυκείου» σελίδα 5) 6

είναι χρίς κανένα απολύτς νόηµα! Δεν αφορά κανέναν παρατηρητή, κανένα απολύτς φυσικό φαινόµενο και κανένα πείραµα! Γ. Και µε τα κύµατα τί γίνεται; α) Οι περισσότεροι Φυσικοί που άκουσαν ότι δε νοείται σύνθεση ευθυγράµµν οµαλών κινήσεν, αρχικά το αρνήθηκαν φέρνοντας ς επιχείρηµα µετασχηµατισµούς Γαλιλαίου και διάφορους συνεργαζόµενους παρατηρητές... Ένα βαπόρι π.χ. που ταξιδεύει ευθύγραµµα και οµαλά και ένα σώµα που κινείται ευθύγραµµα και οµαλά στο κατάστρµα κ.λ.π. Τέτοιου είδους συνειρµούς όµς νοµίζ ότι θα πρέπει να τους επανεξετάσουµε και να τους απορρίψουµε ς σύνθεση γιατί µας οδηγεί σε κµικά πράγµατα. Έδσα την απόρριψη αυτών τν ισχυρισµών στην ανάρτησή µου µέρος γ. β) Οι περισσότεροι Φυσικοί που άκουσαν ότι δε νοείται σύνθεση α.α.τ. ίδιας συχνότητας και διεύθυνσης το αρνήθηκαν φέρνοντας ς επιχείρηµα τα κύµατα και τη συµβολή. Τέτοιου είδους συνειρµούς, επίσης πρέπει να τους επανεξετάσουµε µε άλλη µεθοδολογία: Εκείνο που αποδείχτηκε µέχρι εδώ ήταν η Πρόταση «Δεν είναι δυνατό να προκύψει ΠΟΤΕ εξίσση κίνησης υλικού σηµείου η οποία να µπορεί να θερηθεί επαλληλία εξισώσεν κίνησης δύο ή περισσοτέρν α.α.τ. ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας» Εποµένς το θέµα της αντίρρησης στην παραπάν πρόταση επιβάλλει τις εξής στάσεις Κάποιος αποδεικνύει ότι έχ λάθη στα µαθηµατικά που χρησιµοποίησα και κενά στις συλλογιστικές µου διαδροµές. Κάποιος αποδεικνύει ότι τα κύµατα που διδάσκουµε α) είναι α.α.τ. (δηλαδή ταλαντώσεις που οφείλονται αποκλειστικά σε χροεξαρτώ- µενη δύναµη F=-Dx) β) είναι α.α.τ. που αντιτίθενται σε όσα υποστήριξα. Αφού γίνουν αυτά θα πρέπει µετά να βρεθούν τα λάθη στις µαθηµατικές µου αποδείξεις και τα κενά στους συλλογισµούς µου. ηλαδή η ουσία που έθεσα είναι αν είναι ή όχι λάθος η ενότητα που διδάσκουµε βάσει του σχολικού βιβλίου και εποµένς θα µε αδικήσει µια στάση του στυλ «Θρασύβουλε δεν κοιτάµε τη δουλειά σου γιατί υπάρχουν τα κύµατα και η συµβολή τν κυµάτν». Αυτή η στάση δε θα είναι καθόλου γόνιµη και το µόνο που θα κάνει είναι να µας αφήσει όλους ίδιους εκεί που είµαστε και τώρα. Στα λάθη, κατά τη γνώµη µου... Σας παρακαλώ φίλοι µου µη µου πείτε ς επιχείρηµα «Θρασύβουλε υπάρχουν και τα κύµατα, άρα κάνεις λάθος...», γιατί τέτοια πράγµατα όχι απλά δε µου λένε τίποτε, όχι γιατί µε στεναχρεί αν αν αγνοήσετε αυτή τη δουλειά που έδσα, αλλά και γιατί εγώ θα σας π 7

«τί µε νοιάζουν τα κύµατα στην παρούσα φάση. Μίλησα εγώ για κύµατα; Εγώ µίλησα για α.α.τ. Αν εσείς µου αποδείξετε ότι τα κύµατα είναι α.α.τ. που η σύνθεσή τους ανατρέπει όσα ισχυρίστηκα τότε πάµε να ψάξουµε για το λάθος µου στα Μαθηµατικά που σας ανέφερα...» Νοµίζ ότι δεν πρέπει να ασχοληθούµε προς το παρόν ούτε µε κύµατα (αν δεν αποδείξου- µε ότι είναι α.α.τ. που αντιτίθενται σε όσα υποστήριξα), ούτε µε γενικές αρµονικές ταλαντώσεις (π.χ. εξαναγκασµένν ταλανττών), ούτε µε διαφορετικές συχνότητες και διακροτήµατα κ.λ.π... Μπορούµε να το κάνουµε στη συνέχεια της συζήτησης... Δ. Η σοβαρότητα της έννοιας της επαλληλίας εξισώσεν κίνησης Με όλα τα παραπάν η έννοια της επαλληλίας εξισώσεν κίνησης απέκτησε και σοβαρότητα θέσης και αυστηρότητα ορισµού. Ας γίν πιο σαφής: Η επαλληλία εξισώσεν κίνησης είναι µια µέθοδος, δηλαδή µια τελείς προσπική υπόθεση και κυρίς µια διδακτική επιλογή. εν είναι ούτε κάτι αναγκαίο, ούτε κάτι υποχρετικό. Αν κάποιος έχει λόγους µπορεί σε µια εξίσση κίνησης να δει επαλληλία άλλν εξισώσεν κίνησης. Αν θέλει δε το κάνει. Το σηµαντικό όµς που προέκυψε από τη δουλειά µου είναι ότι αν σε µια εξίσση κίνησης επιλέξουµε να δούµε επαλληλία άλλν εξισώσεν κίνησης θα πρέπει να σκεφτούµε πολύ καλά τις οριοθετήσεις που επισηµάναµε παραπάν, ώστε να αποφύγουµε αναίτιες γελοιοποιήσεις τόσο προσπικές όσο και της Φυσικής. Ας υποθέσουµε για παράδειγµα, ότι µελετώντας την κίνηση ενός υλικού σηµείου κάτ από την επίδραση διαφόρν χροεξαρτηµένν δυνάµεν µας προέκυψε ς εξίσση κίνησης η ρ x( t ) = A συν t + B ηµt (14) m Cg όπου τα Α, Β, C, ρ είναι διάφορες σταθερές και m είναι τη µάζα του ταλανττή Αν έχουµε λόγους να µιλήσουµε για απλή ή απλές αρµονικές ταλαντώσεις τότε, βλέποντας την (14) θα πρέπει να σκεφτούµε τα εξής: 1. Είναι τελείς προσπική µας υπόθεση και απόλυτα δικιά µας επιλογή να θερήσουµε την παραπάν εξίσση, επαλληλία εξισώσεν κίνησης. Αν θέλουµε τη θερούµε επαλληλία, αν δε θέλουµε δε τη θερούµε. Και οι δύο στάσεις είναι ισοδύναµες και αποδεκτές.. Αν επιλέξουµε να δούµε στην παραπάν εξίσση κίνησης επαλληλίες α.α.τ., θα πρέπει τουλάχιστον να σκεφτούµε τα εξής: Μια χρίς νόηµα επιλογή επαλληλίας εξισώσεν κίνησης: Η εξίσση κίνησης (14) ρ x( t ) = A συν t + B ηµt m Cg είναι επαλληλία τν εξισώσεν κίνησης δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεν, ίδιας διεύθυνσης και ίδιας κυκλικής συχνότητας, που γίνονται γύρ από το ίδιο 8

σηµείο. Οι «επιµέρους» εξισώσεις είναι: και x ( t ) = A συν t 1 ρ x ( t ) = B ηµt m Cg Μια ακόµη πιο α-νόητη επιλογή επαλληλίας εξισώσεν κίνησης: Η εξίσση κίνησης (14) ρ x( t ) = A συν t + B ηµt m Cg είναι επαλληλία τν εξισώσεν κίνησης τριών απλών αρµονικών ταλαντώσεν, ίδιας διεύθυνσης και ίδιας κυκλικής συχνότητας, που γίνονται γύρ από το ίδιο σηµείο: π x 1( t ) = A ηµ t + και x ( t ) = B ηµt ρ x 3( t ) = ηµ(t + π ) m Cg Η µόνη σοβαρή και συνεπώς αποδεκτή επιλογή Η εξίσση κίνησης (14) δε µπορεί να θερηθεί επαλληλία άλλν εξισώσεν κίνησης ρ x( t ) = A συν t + B ηµt m Cg Η εξίσση (14) είναι εξίσση µιας και µόνο µιας απλής αρµονικής ταλάντσης που γίνεται στον άξονα x, µε κυκλική συχνότητα και µε θέση ισορροπίας την x=. Οι αρχικές συνθήκες της απλής αυτής αρµονικής ταλάντσης είναι αρχική θέση x =A αρχική ταχύτητα ρ υ = B m Cg 9

Ε. Επίλογος... Ο Θρασύβουλος Μαχαίρας, µέλος του δικτύου ylikonet «Καταγγέλλει» στα µέλη του δικτύου ότι στη «Σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεν ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας» της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου σελίδα 5, γράφονται ς Φυσική πράγµατα τα οποία δεν υφίστανται καν. Γράφονται δηλαδή «πράγµατα» που δεν υπάρχουν! «Καταγγέλλει» ότι Φυσικοί εµείς, αναγκαζόµαστε να διδάξουµε ς δήθεν εξίσση κίνησης υλικού σηµείου κάτι ανύπαρκτο! ιδάσκουµε στα παιδιά λάθη και ψέ- µατα! Καµιά εξίσση κίνησης υλικού σηµείου δεν είναι δυνατό να θερηθεί επαλληλία α.α.τ. ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας. Ζητά την συµπαράστασή σας στο να βρεθεί η αλήθεια όσν διδάσκουµε ή το λάθος που κάν... Το δίκτυο έχει ούτς ή άλλς τη δύναµη του λόγου και την ευθύνη, έστ για τα µέλη του. Και θα πάρει θέση.. Αλλά όλα αυτά είναι µια προσπική γνώµη και συνεπώς δεν είναι δυνατό να επιβάλλει α- πολύτς τίποτε σε κανέναν... ε είναι δυνατό να εξαναγκάσει κανέναν σε τίποτε... Να είστε καλά φίλοι µου και Χρόνια σας Πολλά Πήλιο, Κυριακή 3 Δεκεµβρίου 1 Θρασύβουλος Κν. Μαχαίρας tmachairas@sch.gr 1