Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων

Transcript

1 Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Την διετύπωσε ο Γαλιλαίος εξετάζοντας την περίπτωση της οριζόντιας βολής. «Η µετά χρόνο t θέση ενός κινητού που συµµετέχει σε δύο κινήσεις προσδιορίζονται, εάν φανταστούµε το σώµα να εκτελεί επί χρόνο t πρώτα τη µια κίνηση ανεξάρτητα από την άλλη- και αφού προσδιοριστεί το σηµείο στο οποίο θα βρεθεί να εκτελεί τη δεύτερη κίνηση επί τον ίδιο χρόνο t- προσδιορίζεται το σηµείο στο οποίο θα βρεθεί µετά χρόνο t.» ( Από την ιστοσελίδα ιδακτική της Φυσικής του Ανδρέα Κασσέτα) Πολλοί λένε τι θα πει κάνει δύο κινήσεις αφού µία κίνηση κάνει ; Τι νόηµα έχει η έκφραση «κάνει µια κίνηση» ; εν κάνει µία κίνηση αλλά πολλές ταυτόχρονα, τόσες όσοι είναι οι παρατηρητές. Η δεσποινίς έπεσε από το αεροπλάνο και ο κύριος από «ακίνητο» αερόστατο. Πιλότος, αλεξιπτωτιστής και αγρότης αντιλαµβάνονται για την νεαρά διαφορετικές ταχύτητες και διαφορετικές µετατοπίσεις. V υ υ V u

2 1 Μήπως θα θεωρήσουµε προνοµιακό παρατηρητή τον αγρότη έναντι των άλλων ; Είναι «αντικειµενικά» ακίνητος ; Έχει νόηµα η αναζήτηση αντικειµενικά ακίνητου παρατηρητή ; Θα µου πείτε ότι µόνο ο πιλότος και ο αγρότης είναι αδρανειακοί. Σωστά αλλά αν δεν µας ενδιαφέρουν δυνάµεις επιταχύνεις στην παρούσα φάση ; Μια κίνηση εκτελεί η κοπέλα ; Ως προς κάθε παρατηρητή ναι µία. Κάνω λάθος αν ισχυριστώ ότι η µετατόπιση που αντιλαµβάνεται ο αγρότης είναι το διανυσµατικό άθροισµα των µετατοπίσεων που αντιλαµβάνονται ο αλεξιπτωτιστής και ο πιλότος ;

3 ιαδοχικές Κινήσεις Η αράχνη αντιλαµβάνεται για τη µύγα µετατόπιση. Η µαµά και η κόρη αντιλαµβάνονται για το τετράδιο µετατόπιση 1 1 Η µαµά και η κόρη αντιλαµβάνονται για την µύγα µετατόπιση : = 1 Οι δυο κυρίες θα έβλεπαν την µύγα στο ίδιο σηµείο αν µε την µύγα ακίνητη το τετράδιο µετατοπιζόταν όσο και πριν και κατόπιν ακινητοποιούσαµε το τετράδιο και η µύγα το διέσχιζε.

4 Ισχύει επίσης : = 1 ( Αντιµεταθετική ιδιότητα στην άθροιση διανυσµάτων.) 1 Αυτό σηµαίνει ότι µαµά και κόρη θα έβλεπαν την µύγα στο ίδιο σηµείο αν πρώτα η µύγα διέσχιζε το ακίνητο τετράδιο παρέµενε κατόπιν ακίνητη και έπειτα το τετράδιο µετατοπιζόταν όσο και πριν. Το αποτέλεσµα (τελική θέση και τίποτε άλλο) θα είναι το ίδιο είτε οι κινήσεις εκτελεστούν ταυτόχρονα είτε διαδοχικά µε οιαδήποτε σειρά. Αυτό, φυσικά, συµβαίνει εφ όσον η µια κίνηση αφήνει ανεπηρέαστη την άλλη. Η µύγα δηλαδή περνά από τα ίδια σηµεία του τετραδίου είτε αυτό κινείται, είτε όχι. Επίσης ο άνθρωπος ή µηχανισµός που κινεί το τετράδιο δεν επηρεάζεται από το εάν η µύγα κινείται ή όχι. Το τι συµβαίνει µε δυνάµεις, ενέργειες, έργα, ορµές ας µην µας απασχολήσει ακόµη. Θέλουµε απλά να προβλέπουµε εύκολα την τελική θέση της µύγας.

5 Βεβαίως τα προηγούµενα ισχύουν διότι οι µετατοπίσεις είναι διανύσµατα (αντιµεταθετική ιδιότητα στην πρόσθεση.) Οι στροφές όµως Αν ταξιδέψουµε km βόρεια, στρίψουµε δεξιά 90 ο και ταξιδέψουµε πάλι km θα πάµε από την Αφρική στην Ινδοκίνα. Αλλά Αν αντιστρέψουµε την σειρά εκτέλεσης των κινήσεων θα βρεθούµε στον Βόρειο Πόλο. Ας περιοριστούµε όµως σε Ευκλείδειους χώρους.

6 Φαίνεται ότι έχουµε κάτι καλό στα χέρια µας. Ένα τέχνασµα που λέει περίπου : «Άφησέ το να κάνει την πρώτη κίνηση για χρόνο t, άφησέ το να κάνει την δεύτερη για χρόνο t και έχεις βρει την τελική θέση.» Φυσικά είµαστε πρόθυµοι να την χρησιµοποιήσουµε αν µας διευκολύνει. Όπως, φερ ειπείν είµαστε πρόθυµοι να χρησιµοποιήσουµε θεώρηµα Thevenin αντί κανόνες Kirchhoff και σύστηµα.ε, αν είναι να τελειώνουµε γρήγορα µε ένα χρονοκύκλωµα. Πότε όµως µπορούµε να την εφαρµόσουµε ; Κίνηση υλικού σηµείου στο επίπεδο υπό την επίδραση πεδιακής δύναµης. r Ισχύει ότι : m d r dt = ηλαδή : d ( i j) m = i.. j dt Προφανώς : d m (1) dt = και m d = () dt

7 Αν η είναι συνάρτηση µόνο του και η συνάρτηση µόνο του, οι εξισώσεις (1) και () λύνονται ανεξάρτητα η µία της άλλης. Η µια λύση εξαρτάται από τα o, υ oκαι ( ). Η άλλη λύση εξαρτάται από τα o, υ o και ( ). Τα και δεν είναι µόνον οι συντεταγµένες θέσης ούτε απλώς οι λύσεις των παραπάνω εξισώσεων. Αν το σώµα είχε αρχική θέση o, αρχική ταχύτητα υ oκαι δεχόταν δύναµη ( ) θα είχε θέση την στιγµή t. ηλαδή µετατόπιση o. Αν το σώµα είχε αρχική θέση o, αρχική ταχύτητα υ o και δεχόταν δύναµη ( ) θα είχε θέση την στιγµή t. ηλαδή µετατόπιση o. Φυσικά αν µετατοπιστεί πρώτα στον κατά o και κατόπιν στον κατά oθα βρεθεί στην ίδια θέση. Το ίδιο θα συµβεί και αν οι κινήσεις πραγµατοποιηθούν µε άλλη σειρά. Τα παραπάνω γενικεύονται εύκολα στις τρεις διαστάσεις. Παραδείγµατα 1 ο. Κίνηση σε οµογενές βαρυτικό πεδίο. V V 1 V

8 Ισχύει ότι : = mg (Ανεξάρτητη του ) και = 0 (Ανεξάρτητη του ) Την αφήνουµε πρώτα να πέσει χωρίς αρχική ταχύτητα για χρόνο t και την ακινητοποιούµε, κλείνουµε το βαρυτικό πεδίο και την αφήνουµε να κινηθεί µε σταθερή ταχύτητα V για χρόνο t. Ή : 1 Κλείνουµε πρώτα το βαρυτικό πεδίο και την αφήνουµε να κινηθεί µε σταθερή ταχύτητα V για χρόνο t και την ακινητοποιούµε. Την αφήνουµε κατόπιν να πέσει χωρίς αρχική ταχύτητα για χρόνο. Και στις τρεις περιπτώσεις θα βρεθεί στην ίδια θέση. Αν αυτά φαίνονται κόλπα χωρίς περιεχόµενο (δεν κάνει ταυτόχρονα δύο κινήσεις ) ας σκεφτούµε ότι οι «εξωπραγµατικές» µετατοπίσεις είναι αυτές που αντιλαµβάνονται οι παρατηρητές. Η µετατόπιση που αντιλαµβάνεται ο αγρότης είναι το διανυσµατικό άθροισµα των µετατοπίσεων που αντιλαµβάνονται ο αλεξιπτωτιστής και ο πιλότος ; = = 1 και 1 (Αντιµεταθετική ιδιότητα στην άθροιση διανυσµάτων.)

9 ο. Κίνηση στo βαρυτικό πεδίο της Γης (αντιπαράδειγµα). A GMΓm =. συνϕ =. r r = Οµοίως : = GM m Γ ( ) 3 GM m Γ ( ) 3 Η εξάρτηση της και από το, καθώς και της και από το καθιστά µη εφαρµόσιµη την αρχή της ανεξαρτησίας. Φυσικά µπορούµε να αναλύσουµε την κίνηση στους άξονες αλλά προς τι ; Σε χρόνο µιας περιόδου ο δορυφόρος θα επιστρέψει στο Α. Ποια αλληλουχία κινήσεων θα τον επέστρεφε εκεί ; Στην περίπτωση κυκλικής τροχιάς η κίνηση αναλύεται σε δυο ταλαντώσεις ( Γιάννης Μιχαλόπουλος έφα) αλλά εµείς θέλουµε ένα κόλπο του τύπου : «Άφησέ το να κάνει την πρώτη κίνηση για χρόνο t, άφησέ το να κάνει την δεύτερη για χρόνο t και έχεις βρει την τελική θέση.»

10 3 ο. Κίνηση σε µαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο. υ E B z.. = L συνϕ = Bυ q Επίσης : και = Bυ q. z = E. q Οι κινήσεις και δεν είναι µεταξύ τους ανεξάρτητες αλλά είναι ανεξάρτητες από την z. Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να το αφήσουµε να κάνει την επιταχυνόµενη z για χρόνο t, και κατόπιν να περιστραφεί για χρόνο t σε επίπεδο κάθετο στον z άξονα. E B Κίνηση 1 z Κίνηση

11 3 ο. Κίνηση σε µαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο (αντιπαράδειγµα). Η ανάρτηση του ιονύση Μάργαρη. 4 ο.ένα γιο γιο στο διάστηµα. d ϕ Αρκεί να βρούµε τα και φ. m d dt = και mr d. = R dtϕ Οι ανεξαρτησία των εξισώσεων θα µας επέτρεπε να εφαρµόσουµε την αρχή της επαλληλίας. Αλλά ποιο το όφελος ; Ίσως το κάνουµε υποσυνείδητα όταν ζωγραφίζουµε το γιο-γιο µετατοπισµένο κατά, «στριµµένο» κατά γωνία φ και το σηµείο εφαρµογής της δύναµης µετατοπισµένο κατά R.φ Γιάννης Κυριακόπουλος