Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης
|
|
- Θέτις Σκλαβούνος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι», αφού και οι δύο έννοιες που ε- µπλέκονται δεν αφορούν το φαινόµενο αυτό καθ εαυτό, την ταλάντωση δηλαδή, αλλά την εξίσωση κίνησης που επιλέξαµε για να περιγράψουµε την ταλάντωση. Νόηµα έχουν µόνο φράσεις του τύπου «η φάση της αποµάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης τάδε είναι» ή «η αρχική φάση της αποµάκρυνσης στην τάδε εξίσωση κίνησης είναι» Οι ορισµοί των εννοιών «φάση» και «αρχική φάση» πρέπει να αντληθούν από τη διαφορική εξίσωση και τη λύση της (την εξίσωση κίνησης δηλαδή) και όχι να τεθούν αυθαίρετα και εκ των προτέρων. Οποιαδήποτε συνάρτηση και να γράψουµε στη Φυσική, για οποιοδήποτε µέγεθος, επιβάλλεται να δώσουµε και το πεδίο ορισµού της Ενδιάµεσες εµπειρίες κατά τη ροή του κειµένου, υποστηρίζουν τις θέσεις Οι γενικές µορφές των εξισώσεων κίνησης είναι αυτές των µαθηµατικών. Οι ειδικές µορφές τους εξαρτώνται από τις υποθέσεις που θα κάνουµε, τις επιλογές στις οποίες θα καταλήξουµε και τις συνθήκες που δίνονται στο συγκεκριµένο πρόβληµα Η γενική µορφή της εξίσωσης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι x=c +C µε 0 Τα C και C, γενικά, δεν είναι η αρχική ταχύτητα υ 0 και η αρχική θέση x 0 του υλικού σηµείου, αλλά ούτε και συνδυασµοί τους. Είναι συνδυασµός των δύο συνθηκών που απαιτείται να µας δίνει η άσκηση, αν δε µας δίνει απευθείας την εξίσωση Ο λόγος ύπαρξης, η τοποθεσία άντλησης και η πορεία των ορισµών δεν είναι ίδια και αυτό δε γίνεται να αγνοηθεί ούτε κατά την παρουσίασή τους, ούτε κατά τη χρήση τους Σε µια εξίσωση κίνησης γενικά, ίσως αποδειχτεί πολύ επικίνδυνο να επεµβαίνουµε και να αλλάζουµε τη µεταβλητή από σε - 0. Μπορούµε απλά να βάζουµε το πεδίο ορισµού της
2 Γενικά Συνεχίζοντας, έστω και µε µεγάλη καθυστέρηση, την κουβέντα για τη «φάση» και την «αρχική φάση», θα προσπαθήσω να συνεισφέρω κι εγώ στην αναζήτηση του σωστού ορισµού της αρχικής φάσης που έθεσε ο ιονύσης, πιστεύοντας ότι οι σωστοί ορισµοί είναι, όχι απλά απαίτηση µιας σωστής Φυσικής, αλλά απαραίτητη προϋπόθεση µιας σωστής σκέψης. Στην αναζήτηση αυτή τη συγκεκριµένη, επιβάλλεται να ανατρέξουµε στην ξεχωριστή εκείνη εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων, µε την οποία διάφορες ποσότητες (µεγέθη) ορίζονται καθώς αποκαλύπτονται στο φυσικό, αλλά όχι στο µαθηµατικό. Ας αρχίσουµε µε παράδειγµα απλό: Η εξίσωση κίνησης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση Για κάποιον αδρανειακό παρατηρητή, η συνισταµένη των δυνάµεων που δρουν σε υλικό σηµείο µάζας m είναι µηδέν. Τη χρονική στιγµή 0 αρχίζει να µελετά την κίνηση. Να βρεθεί η γενική µορφή της εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου. Η εξίσωση κίνησης x() ή πιο απλά x, του υλικού σηµείου, προσδιορίζεται από το ο νόµο του Νεύτωνα d x ma = 0 = 0 µε 0 () d Η διαφορική αυτή εξίσωση είναι γραµµική δευτέρου βαθµού και άρα η λύση της θα απαιτήσει δύο προσδιοριστέες για τον φυσικό σταθερές C και C (µη προσδιοριστέες για το µαθηµατικό, µιας και αυτός συνήθως δεν ενδιαφέρεται για τον προσδιορισµό τους, αλλά µόνο για την παρουσία τους στη λύση). Πράγµατι η λύση της διαφορικής εξίσωσης () και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι x=c +C µε 0 Εποµένως, Η γενική µορφή της εξίσωσης κίνησης υλικού σηµείου που για 0 R εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι Στην παραπάνω γενική εξίσωση κίνησης x=c +C µε 0 () εν απαιτείται καµιά δικιά µας εκ των υστέρων τροποποίηση στο χρόνο, να γίνει δηλαδή - 0 ή κάτι άλλο, παρά µόνο ο προσδιορισµός των σταθερών C και C συναρτήσει των συνθηκών που θα µας δώσουν
3 Οι σταθερές C και C, γενικά, όχι µόνο δεν είναι η αρχική ταχύτητα υ 0 και η αρχική θέση x 0 του υλικού σηµείου, αλλά ούτε και συνδυασµοί τους. Είναι εκφράσεις, αποκλειστικά των συγκεκριµένων συνθηκών που θα µας δώσουν και επιβάλλεται να µας δώσουν. Οι συνθήκες αυτές δεν είναι κατ ανάγκη οι αρχικές συνθήκες, η αρχική θέση x 0 και η αρχική ταχύτητα υ 0 δηλαδή. Για να γίνει αυτό κατανοητό, ας δούµε κάποια παραδείγµατα: ο παράδειγµα: Για κάποιον αδρανειακό παρατηρητή, η συνισταµένη των δυνάµεων που δρουν σε υλικό ση- µείο µάζας m είναι µηδέν. Τη χρονική στιγµή 0 που αρχίζει να µελετά την κίνηση το υλικό ση- µείο βρίσκεται στη θέση x 0 (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα υ 0 (αρχική ταχύτητα). Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου. ( ίνονται δύο συγκεκριµένες συνθήκες. Οι αρχικές) Λύση Το σηµείο για 0 R εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Η γενική µορφή της εξίσωσης κίνησής του είναι η σχέση () Εποµένως η εξίσωση της ταχύτητας είναι Για = 0 οι () και (3) γίνονται x=c +C µε 0 () dx υ = = C µε 0 (3) d x 0 = C 0 +C και υ 0 =C από όπου προκύπτει C =υ 0 και = x υ C Συµπέρασµα: Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης ενός υλικού σηµείου, που αρχίζουµε να το παρατηρούµε τη χρονική στιγµή 0 R όταν αυτό βρισκόταν στη θέση x 0 R και είχε ταχύτητα υ 0 R, είναι x= υ µε 0 (4) 0+ x0 υ 00 3
4 ο παράδειγµα: Υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Τη χρονική στιγµή 0 αρχίζουµε να µελετάµε την κίνησή του. Το υλικό σηµείο τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 έχει ταχύτητα υ. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησής του. ( ίνονται δύο συγκεκριµένες συνθήκες. Οι x και υ ) Λύση Το υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση και εποµένως η γενική µορφή της εξίσωσής του είναι Η εξίσωση της ταχύτητας είναι Βάσει των δεδοµένων οι σχέσεις (5) και (6) δίνουν x=c +C µε 0 (5) dx υ = = C µε 0 (6) d x =C +C από όπου τελικά υ =C C = υ C = x -υ (Εσκεµµένα δεν έγινε αναφορά στο γεγονός ότι η ταχύτητα είναι σταθερή (βλέπε σχέση 6) προκειµένου να δοθεί έµφαση στο τρόπο χειρισµού των «πραγµάτων». Της µεθοδολογίας δηλαδή που θα χρησιµοποιήσουµε σε πιο δύσκολες περιπτώσεις. Σαφώς και αποδεικνύεται ότι στην ευθ. οµαλή κίνηση το C πάντα ισούται µε την σταθερή έτσι κι αλλιώς ταχύτητα του υλικού σηµείου. Το αποφεύγω όµως να το τονίσω, µόνο και µόνο για να κάνω ανάγλυφο τον τρόπο αντιµετώπισης πιο δύσκολων περιπτώσεων ) Συµπέρασµα: Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης ενός υλικού σηµείου, που αρχίζουµε να το παρατηρούµε τη χρονική στιγµή 0 R και που τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 έχει ταχύτητα υ είναι x= υ + x -υ µε 0 (7) 3 ο παράδειγµα: Υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Τη χρονική στιγµή 0 αρχίζουµε να µελετάµε την κίνησή του. Το υλικό σηµείο τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου. ( ίνονται δύο συγκεκριµένες συνθήκες. Οι x και x ) 4
5 Λύση Το υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση και συνεπώς η γενική µορφή της εξίσωσής του είναι Βάσει των δεδοµένων η σχέση (8) δίνει x=c +C µε 0 (8) x =C +C από όπου προκύπτει x =C +C C x = και x C = x x Συµπέρασµα: Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης ενός υλικού σηµείου, που αρχίζουµε να το παρατηρούµε τη χρονική στιγµή 0 R και που τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 στη θέση x είναι x x = + (9) x x x (Ας δούµε και µερικά αριθµητικά παραδείγµατα, ξεκινώντας από τη λύση της παρακάτω άσκησης, που δανείστηκα από το ιονύση και την τροποποίησα για τους σκοπούς του κειµένου) 4 ο παράδειγµα: «Αρχίζουµε να παρατηρούµε υλικό σηµείο που τη χρονική στιγµή 0 =3 sec βρίσκεται στη θέση x 0 =40 m και κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου υ=4 m/sec. α) Ποια είναι η εξίσωση της κίνησής του β) Ποια είναι η θέση του κινητού τη χρονική στιγµή = sec γ) Ποια είναι τη χρονική στιγµή =4 sec;» Λύση Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης είναι Η εξίσωση της ταχύτητάς του είναι x=c +C (SI) µε 3 sec (0) dx υ = = C (SI) µε 3 sec () d Με βάσει τις δεδοµένες συνθήκες για = 0 =3sec οι παραπάνω σχέσεις γίνονται -40=C 3+C (SI) 4=C (SI) 5
6 από όπου C =4 και C =-5 Άρα: α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι x=45 3 sec (SI) () β) Η χρονική στιγµή = sec δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού της εξίσωσης κίνησης () και συνεπώς δεν µπορούµε να πούµε που βρισκόταν το κινητό αυτή τη χρονική στιγµή. γ) Τη χρονική στιγµή =4 sec το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση x =4 45=36m 5 ο παράδειγµα: «Υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε εξίσωση κίνησης x=45 3 sec (SI) Να βρεθεί: α) Η αρχική του θέση β) Η θέση του τη χρονική στιγµή = sec γ) Η θέση του τη χρονική στιγµή =4 sec δ) Η ταχύτητά του» Λύση α) Η αρχική θέση του κινητού, είναι η θέση του, όταν αρχίζουµε να παρατηρούµε την κίνησή του. ηλαδή η θέση του τη χρονική στιγµή 0 =3 sec x 0 =4 35=40m β) Η θέση του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή = sec δεν είναι δυνατό να βρεθεί γιατί η τιµή = sec είναι εκτός πεδίου ορισµού. γ) Η θέση του σηµείου τη χρονική στιγµή =4 sec είναι δ) Η ταχύτητά του είναι υ=4m/sec x =4 45=-36m Με όλα τα παραπάνω θέλουµε να τονίσουµε το γεγονός ότι στη µεθοδολογία µε την οποία αντιµετωπίζεται η εξίσωση κίνησης (), γενικά δεν είναι αυτονόητο και δεν πρέπει να είναι αυτονόητο ότι η αρχική ταχύτητα είναι C και ότι η αρχική θέση είναι C. 6
7 Τα C και C δεν είναι τίποτε άλλο παρά πραγµατικοί αριθµοί, που θα προσδιοριστούν από τις δύο συνθήκες που πρέπει απαραίτητα να µας δίνει πρόβληµα και που δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές Παρατηρήσεις: α) Συγκρίνοντας τη σχέση (4) µε τη σχέση () καταλαβαίνουµε, ότι η γραφή ή αλλιώς η x= υ µε 0 0+ x0 υ 00 x =υ + µε 0 0 ( 0 ) x0 είναι ειδική µορφή της εξίσωσης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης, µιας και το x δίνεται συναρτήσει των αρχικών συνθηκών x 0 και υ 0, δηλαδή συναρτήσει συγκεκριµένων συνθηκών. Προφανώς η εξίσωση κίνησης x =υ + µε 0 sec 0 x 0 είναι ακόµη πιο ειδική µορφή και αναφέρεται όχι µόνο σε τελείως συγκεκριµένες «συνθήκες» (στις αρχικές), αλλά και στο γεγονός ότι η παρατήρησή µας άρχισε τη χρονική στιγµή 0 =0 sec β) Η εξίσωση κίνησης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης συναρτήσει των αρχικών συνθηκών x 0 και υ 0 είναι η (4), δηλαδή η Η εξίσωση αυτή µπορεί να γραφεί x= υ µε 0 (4) 0+ x0 υ00 x = υ + x µε 0 0 ( 0 ) 0 ή αλλιώς x = υ + µε 0 sec (3) 0 x 0 Η εξίσωση (3) όμως, πρέπει να αποφεύγεται για τους παρακάτω λόγους: Οι εξισώσεις κίνησης αποτελούν λύσεις διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες συνηθίζεται να µην περιέχουν χρονικές διαφορές, αλλά αυτή καθ εαυτή τη µεταβλητή και το πεδίο ορισµού της. Ο λόγος είναι προφανής γρήγορα το θα καταλήξει σε d, γεγονός το οποίο θα δηµιουργήσει έντονες παρανοήσεις, µιας και η λύση της διαφορικής εξίσωσης (η ε- ξίσωση κίνησης δηλαδή) θα εµφανίζεται να περιέχει διαφορικά όπως και η διαφορική. Τότε θα χρειαστεί πολύ µεγάλη προσοχή από αυτόν που χειρίζεται τα «πράµατα» και ο οποίος βέβαια είναι απίθανο να είναι µαθητής. 7
8 Η εξίσωση (3) είναι πιο «σκοτεινή» από την (4), αφού µας καθιστά µεν ικανούς να απαντήσουµε στο ερώτηµα «πού βρίσκεται το υλικό σηµείο µετά από χρόνο Δ αφότου αρχίσαµε να µελετάµε την κίνησή του», αλλά µας καθιστά τελείως ανίκανους να απαντήσουµε στο ερώτηµα «πού βρίσκεται το κινητό την τυχαία χρονική στιγµή», µιας και δε ξέρουµε την χρονική στιγµή που αρχίσαµε να µελετάµε την κίνηση. γ) Συμφωνώ απόλυτα με το Διονύση ότι η χρονική στιγµή 0 R, που έχει ληφθεί ως αρχή των χρόνων, έχει αξία στην ψηλάφηση της εξίσωσης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης τόσο για την εννοιολογική όσο και για τη µαθηµατική ανάδειξη του φαινοµένου. Τι σηµαίνει αυτό;;; Σηµαίνει ότι είναι τελείως ελλιπές το να µας δοθεί µια εξίσωση ευθύγραµµης οµαλής κίνησης χωρίς το πεδίο ορισµού της µεταβλητής. Για παράδειγµα, αν µας δοθεί ως εξίσωση κίνησης «σκέτα» η x=3+4 (SI) (4) δε µπορούµε να ανακαλύψουµε λεπτοµέρειες της κίνησης. Ή για να είµαστε πιο αυστηροί, η γραφή αυτή δε µας λέει απολύτως τίποτε, µιας και είναι αδύνατο να προβλέψουµε είτε πού βρίσκεται το κινητό την τυχαία χρονική στιγµή, είτε πού βρισκόταν όταν αρχίσαµε να το παρατηρούµε. Και τούτο, γιατί δεν ξέρουµε ποιες τιµές του χρόνου είναι δεκτές και ποιες όχι. Από την (6) δηλαδή λείπει το πεδίο ορισµού της. Προφανώς στη σχέση (6) η αρχική θέση δεν είναι η 4m, µιας και κάτι τέτοιο θα υπονοούσε ότι η παρατήρησή µας ξεκίνησε τη χρονική στιγµή 0 =0 sec κάτι το οποίο δε δίνεται. Με λίγα λόγια, στις εξισώσεις κίνησης, όπως και σε κάθε συνάρτηση τόσο της Φυσικής όσο και των Μαθηματικών, πρέπει απαραιτήτως να δοθεί το πεδίο ορισμού. Αλλιώς κινδυνεύουµε να εµπλακούµε στις α-νοησίες του θέµατος που αφορούσε τα κύµατα στις πανελλαδικές εξετάσεις του 009. Εκεί δε ξέραµε ούτε που ξεκινάει, ούτε που καταλήγει το «κύµα», ούτε πότε άρχισε, ούτε., ούτε Όλα τα υπονοούσαµε και τα εννοούσαµε µεταξύ µας σα να µασταν φυλή φυσικών που µιλά δικιά της διάλεκτο. Τελικά συµπεράσµατα ) Η εξίσωση κίνησης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης είναι x=c +C µε 0 Οι σταθερές C και C, γενικά δεν είναι ούτε η αρχική θέση, ούτε η αρχική ταχύτητα. Οι σταθερές C και C θα προσδιοριστούν από τις δύο οποιεσδήποτε συνθήκες που θα µας δώσουν. Επιβάλλεται να µας τις δώσουν και να είναι δύο. 8
9 ) Αν µας δώσουν την εξίσωση κίνησης µε νούµερα µια αντικατάσταση, εφόσον είναι µέσα στο πεδίο ορισµού της, αρκεί για να µας δώσει ό,τι ζητάµε. 3) Στη γραφή της εξίσωσης κίνησης βάζουµε υποχρεωτικά το πεδίο ορισµού και δε χρειάζεται να επεµβαίνουµε από «µηχανής» και να χαλάµε τη µεταβλητή αντικαθιστώντας την µε άλλες παραστάσεις όπως - 0 κ.λ.π. Αν το κάνουµε θα πρέπει να το συνοδεύσουµε µε κανόνες κάτι που θα δηµιουργήσει φοβίες. Μπορούµε τώρα να κάνουµε µια πρώτη επαφή µε τη διαδροµή ή όχι των ορισµών µέσα από τις διαφορικές εξισώσεις και από τις εξισώσεις κίνησης. Ξέρω ότι είναι κουραστικό που το επαναλαµβάνω, αλλά αξίζει να προσέξουμε τούτο: Στην εξίσωσης κίνησης υλικού σηµείου που για 0 R εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, δηλαδή στην x=c +C µε 0 τα C και C είναι απαίτηση της διαφορικής εξίσωσης και συνδέονται µε τις δύο «συνθήκες» που πρέπει οπωσδήποτε να µας δώσουν, αλλά δεν είναι γενικά οι δύο αυτές συνθήκες. Οι δύο συνθήκες που συνήθως µας δίνουν είναι οι αρχικές x 0 και υ 0. Αυτό ό- µως όπως είδαµε δεν είναι απαραίτητο. Για να αρχίσει να διαφαίνεται ο βαθύτερος λόγος για τον οποίο γράφτηκαν όλα τα παραπάνω, ας φέρουµε στο προσκήνιο κάποιους ορισµούς και ας δούµε τη σύνδεσή τους ή όχι µε τη διαφορική και την εξίσωση κίνησης. Αρχική θέση: Η θέση του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή 0 που αρχίζουµε την παρατήρηση της κίνησής του. Αρχική ταχύτητα: Η ταχύτητα του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή 0 που αρχίζουµε την παρατήρηση της κίνησής του. Οι ορισµοί των εννοιών «αρχική θέση x 0» και «αρχική ταχύτητα υ 0» µπορεί να είναι εύκολοι έως αυτονόητοι, όµως το σηµαντικότερο είναι ότι, όχι απλά προϋπάρχουν της διαφορικής και της εξίσωσης κίνησης, αλλά ότι µπορούν να καθορίσουν την ειδική µορφή της λύσης της διαφορικής, δηλαδή την ειδική µορφή που θα πάρει η εξίσωση κίνησης. Εκτός των άλλων, µε αυτό θέλω να πω και το εξής: Οι παραπάνω ορισµοί των εννοιών «αρχική θέση» και «αρχική ταχύτητα» προϋπάρχουν των σταθερών C και C που χρειάζεται η λύση της διαφορικής. Εποµένως δεν εξαρτώνται από τη διαφορική και από τη λύση της ή από τη µορφή λύσης που θα επιλέξουµε. 9
10 Το κυριότερο όµως είναι ότι τα x 0 και υ 0 µπορούν να προσδιορίσουν τις C και C αν είναι οι δεδοµένες συνθήκες του προβλήµατος και συνεπώς να προσδιορίσουν την τελική µορφή της εξίσωσης κίνησης. Το αντίθετο ακριβώς, όπως θα δούµε, συµβαίνει µε τη φάση και την αρχική φάση. Οι έννοιες αυτές ορίζονται και άρα υπάρχουν σε απόλυτη εξάρτηση από τη διαφορική και από τη µορφή της συνάρτησης που θα επιλέξουµε ως λύση της διαφορικής, µιας και εξαρτώνται απόλυτα από τις σταθερές C και C που θα χρησιµοποιήσουµε και από τη µορφή της λύσης που θα επιλέξουµε. Με τα παραπάνω θέλω να πω το εξής: Όπως υπάρχουν ορισµοί που προσδιορίζουν τις σταθερές της εξίσωσης κίνησης, υπάρχουν και ορισµοί που προκύπτουν από τη µορφή της εξίσωσης κίνησης που θα επιλέξουµε, γεγονός που καθιστά όχι µόνο την ύπαρξη τους, αλλά και τη συµπεριφορά και τους µαθηµατικούς περιορισµούς τους, απόλυτα συνδεδεµένους µε την εξίσωση που επιλέξαµε και όχι µε το φαινόµενο. Η διαφορετικότητα αυτή των ορισµών πρέπει να αντανακλάται οπωσδήποτε και στην αντι- µετώπιση που θα τύχουν από µας. Εποµένως, ο παραλληλισµός αρχικής θέσης και αρχικής φάσης, καθώς και η αποσύνδεση του ορισµού της φάσης και της αρχικής φάσης από την εξίσωση κίνησης, νοµίζω ότι είναι επισφαλής και γρήγορα, αν δεν υπάρξει η κατάλληλη εµπειρία και η ξεχωριστή ικανότητα, θα οδηγήσει τον φυσικό και όχι µόνο, σε παρανοήσεις τόσο του φαινοµένου, όσο και του εννοιολογικού του εξοπλισµού και της µαθηµατικής του επεξεργασίας. Τα μεγέθη πολλές φορές έχουν, όχι απλά άλλη ποιότητα, αλλά ακολουθούν τελείως διαφορετικές εννοιολογικές και φορμαλιστικές διαδρομές, με αποτέλεσμα οι ορισμοί τους να συνδέονται άμεσα με αυτές τις διαδρομές και ο χειρισμός τους να αντανακλά αυτές τις διαδρομές. Θα δούµε όµως καλύτερα όλα αυτά σε επόµενη ανάρτηση, όπου θα επιχειρήσουµε να εντοπίσουµε τους ορισµούς φάση και αρχική φάση µέσα από τη διαφορετικότητα της ποιότητάς τους και την ξεχωριστή διαδροµή που ακολουθούν. (συνεχίζεται) Τρίτη, 5 Οκτωβρίου 00 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Άγιος Βλάσιος Πηλίου s7-kmgh@oene.gr 0
Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση
Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που έχει αναπτυχθεί, σχετικά µε το «... Αν η αποµάκρυνση x του σώµατος δίνεται από τη σχέση x=αηµ(ωt+φ) η κίνηση του σώµατος ονοµάζεται
Διαβάστε περισσότεραΌταν χαλά η γλώσσα, χαλάει η σκέψη
Όταν χαλά η γλώσσα, χαλάει η σκέψη (γ µέρος) Πριν από καιρό έγραφα σε κάποιο βιβλίο... «... Η ανησυχία µου, εκτός των άλλων, βρίσκεται και στο γεγονός ότι στο σχολικό βιβλίο και κατά συνέπεια στα εξωσχολικά
Διαβάστε περισσότεραΕίναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;
Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΔιαβάζοντας το βιβλίο του Θρασύβουλου εγώ εστιάζω στο εξής:
Φίλε Λάµπρο σε κάποια θα συµφωνήσω και σε κάποια θα διαφωνήσω. Θα συµφωνήσω ότι στις περιπτώσεις που αναφέρεις και οι τρεις κινήσεις έχουν τα χαρακτηριστικά της ευθύγραµµης οµαλά µεταβαλλόµενης κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΤρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται
Διαβάστε περισσότεραΑπάντηση 7. Ναι αυτό δήλωσα ιονύση και αυτό το οποίο λες και συ, νοµίζω είναι το σωστό
Απάντηση 7 1) Γράφεις Διονύση: «...Με ξαφνιάζεις Θρασύβουλε. πρόσεξε τι δήλωσες παραπάνω ότι συµφωνείς: «βλέπω µόνο ένα παράθυρο και θέλω να ξέρω αν οι φάσεις των δύο σηµείων Β και Γ, θα ικανοποιούν την
Διαβάστε περισσότεραΠερί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων»
Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Παρακολουθώ στο δίκτυο τις τελευταίες µέρες να γίνεται συζήτηση για την «Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων» ή την «επαλληλία εξισώσεων κίνησης». Προσπαθώ στο µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΟι θέσεις µου... Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου και άρα κάνει µία µόνο κίνηση.
Οι θέσεις µου... ) Η παράγραφος.7α του σχολικού βιβλίου Κατεύθυνσης Γ Λυκείου είναι λάθος, γιατί σύνθεση απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας ίδιας διεύθυνσης ούτε υπάρχει ούτε υποστηρίζεται θεωρητικά.
Διαβάστε περισσότεραΣ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1
Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν
Διαβάστε περισσότεραΠροβληματισμοί κατά τη διδασκαλία της σύνθεσης κινήσεων
Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Προβληματισμοί κατά τη διδασκαλία της σύνθεσης κινήσεων (α μέρος) 1 Σκοπός αυτής της σειράς διαφανειών είναι να αναδείξει την αξία που έχει η επιλογή της μορφής της εξίσωσης ενός
Διαβάστε περισσότεραe-mail@p-theodoropoulos.gr
Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση µε απλά εκκρεµή και κρούση και άλλα πολλά (για φυσικούς όµως)
Άσκηση µε απλά εκκρεµή και κρούση και άλλα πολλά (για φυσικούς όµως) Δύο σώµατα µε µάζες m =kg και m =3Kg ηρεµούν στην ίδια οριζόντια ευθεία, κρεµασµένα από δύο σχοινιά ώστε να αποτελούν α- πλά εκκρεµή
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΗ Ισορροπία στη Μηχανική
Η Ισορροπία στη Μηχανική Α. Οδοιπορικό Ένα οδοιπορικό και στα δύο δίκτυα µε έκανε να συνειδητοποιήσω ότι η ουσία των θεµάτων αρκετών συζητήσεων, από το καλοκαίρι µέχρι και σήµερα, βρισκόταν στον εντοπισµό
Διαβάστε περισσότεραΚύµα µε αρχική φάση. αυτή είναι και η µόνη περίπτωση που περιγράφει το σχολικό βιβλίο και συνεπώς η πλειοψηφία των περιπτώσεων που µελετάµε. max.
Για την µελέτη ενός κύµατος Κύµα µε αρχική φάση 1) Χρειαζόµαστε ένα σηµείο αναφοράς δηλ. µία αρχή που συνήθως επιλέγεται το x = 0. Στο x = 0 συνήθως βρίσκεται και η πηγή του κύµατος χωρίς αυτό να είναι
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscourseswordpresscom/ Βασικές έννοιες Ένα σώμα δεν κινείται πάντα με σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΗ αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων
Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Την διετύπωσε ο Γαλιλαίος εξετάζοντας την περίπτωση της οριζόντιας βολής. «Η µετά χρόνο t θέση ενός κινητού που συµµετέχει σε δύο κινήσεις προσδιορίζονται, εάν φανταστούµε
Διαβάστε περισσότερα2. Missing Data mechanisms
Κεφάλαιο 2 ο 2. Missing Data mechanisms 2.1 Εισαγωγή Στην προηγούµενη ενότητα περιγράψαµε κάποια από τα βασικά µοτίβα εµφάνισης των χαµένων τιµών σε σύνολα δεδοµένων. Ένα άλλο ζήτηµα που µας απασχολεί
Διαβάστε περισσότεραΧρονοεξαρτώµενη «Δυναµική Ενέργεια»
Χρονοεξαρτώµενη «Δυναµική Ενέργεια» Άσκηση Σώµα µάζας m στερεώνεται στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο Ζ εκτελεί αρµονική ταλάντωση της µορφής x1 = Bηµω t. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΠροσπάθεια για µια πιο σωστή επίλυση ενός προβλήµατος
Προσπάθεια για µια πιο σστή επίλυση ενός προβλήµατος Η λύση που δίνεται στο παρακάτ πρόβληµα είναι λάθος για πολλούς λόγους. Κάποιους ανέφερα σε προηγούµενή µου ανάρτηση. Αρκετοί βέβαια από αυτούς τους
Διαβάστε περισσότεραΕξίσωση γραμμικού αρμονικού κύματος
Εξίσωση γραμμικού αρμονικού κύματος Το γραμμικό αρμονικό κύμα έχει εξ ορισμού τα εξής γνωρίσματα: Κύμα = Διάδοση ενέργειας χωρίς μεταφορά ύλης. Επιτρεπτή η συμμετοχή της ύλης στον κυματικό μηχανισμό. Απαραίτητη
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 5. Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός. Θεµατικές ενότητες: 1. Συνέχεια συνάρτησης
Μάθηµα 5 Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισµός Θεµατικές ενότητες: Συνέχεια συνάρτησης Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σηµείο («σηµείο» σηµαίνει «τιµή του χ») του πεδίου ορισµού της; Ορισµός: Μια
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss
Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική;
ράφει το σχολικό βιβλίο: Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική; Μια πρώτη ένσταση θα µπορούσε να διατυπωθεί, για την απουσία της δυναµικής ενέργειας από τον παραπάνω ορισµό. ιατί να µην
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 5 Ιανουαρίου 07 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Για τις ηµιτελείς προτάσεις Α - Α4 να µεταφέρετε στο απαντητικό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει
Διαβάστε περισσότεραΗ γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής
Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.
Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
Διαβάστε περισσότερα4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:
4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση
Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:
Διαβάστε περισσότεραΑ. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού
Εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Το καλοκαίρι που πέρασε, η «περιπέτεια» της φθίνουσας κλόνισε την πίστη µου στην αυθεντία των πανεπιστηµιακών µας βιβλίων. Σοκαρίστηκα διαπιστώνοντας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότεραΑ. Η ιδιαιτερότητα της απλής αρµονικής ταλάντωσης
Η «σύνθεση απλών αρµονικών ταλαντώσεν ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας» είναι µια απλή πρόσθεση αρχικών συνθηκών (δ µέρος) Α. Η ιδιαιτερότητα της απλής αρµονικής ταλάντσης Πρόταση 1: «Η επαλληλία
Διαβάστε περισσότεραΗ ανατοµία ενός λανθασµένου ορισµού
Η ανατοµία ενός λανθασµένου ορισµού Όταν σε έναν ορισµό της Φυσικής εµπλέκεται ποσοτική σχέση, είναι πολύ πιο δύσκολο να δοθεί αυτός ο ορισµός, από ότι ένας αντίστοιχος ορισµός στα Μαθηµατικά Για πολλούς
Διαβάστε περισσότερα1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1
1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει
Διαβάστε περισσότεραΒ Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11
Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =
Διαβάστε περισσότερα2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού.
. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. Σε όλα τα σηµεία ενός αγωγού, σε ηλεκτροστατική ισορροπία, το δυναµικό είναι σταθερό. Για παράδειγµα, στην φορτισµένη σφαίρα του διπλανού σχήµατος τα σηµεία Α και Β
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα
Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Μέρος α : Εξισώσεις κίνησης και συμπεράσματα) Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής
Διαβάστε περισσότεραΟρισµοί και εξισώσεις κίνησης
Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης (β µέρος) Εξίσωση κίνησης στην απλή αρµονική ταλάντωση Σε υλικό σηµείο µάζας m που κινείται, δρα αποκλειστικά δύναµη επαναφοράς F= Dx. Την κίνηση του υλικού σηµείου, που ονοµάζεται
Διαβάστε περισσότερα4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss
4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί
Διαβάστε περισσότερα2.1 Γιατί µας ενδιαφέρει η µελέτη της κίνησης;
Κεφάλαιο 2 Κίνηση 2.1 Γιατί µας ενδιαφέρει η µελέτη της κίνησης; Φυσικά ϕαινόµενα και κίνηση. Ποια σώµατα κινούνται; Μα αφού αυτά τα ξέρουµε! Πάρα πολλά από τα ϕυσικά ϕαινόµενα που παρατηρούµε γύρω µας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012
ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 5 Μαίου 2012 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε
Διαβάστε περισσότεραΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ
ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.
Διαβάστε περισσότεραΚαµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως
Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότεραΗ αξία του πεδίου ορισμού Οι έννοιες «Φάση» και «Αρχική Φάση»
Γενικό Λύκειο Αγριάς Μαγνησίας Η αξία του πεδίου ορισμού Οι έννοιες «Φάση» και «Αρχική Φάση»... ενίοτε επιβάλλεται να ανατρέχουμε στην ξεχωριστή εκείνη εσωτερική λειτουργία των εξισώσεων κίνησης, με την
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων.
Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων. ύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 που απέχουν απόσταση d=8m, παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρµονικά κύµατα που έχουν ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Η εξίσωση της
Διαβάστε περισσότεραΗ άσκηση μιας ιστορίας
Η άσκηση μιας ιστορίας Η άσκηση (Σχολικό βιβλίο Φυσικής Α Λυκείου Άσκηση 14 / Σελίδα 158) «Ένα όχημα έχει λάστιχα διαμέτρου 0,8 m. Βρείτε την ταχύτητα και την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου στο πέλμα
Διαβάστε περισσότεραα) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση
Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΠοια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;
Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο
Διαβάστε περισσότεραβ. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2
1) Ένα κινητό εκτελεί συγχρόνως δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας με εξισώσεις : x 1 = 3 ημ [(2 π) t] και x 2 = 4 ημ [(2 π) t + φ], (S.I.).
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟΝ ΑΠΛΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟΝ ΑΠΛΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Μια πρόταση δυναµικής µελέτης Προϋπόθεση ώστε να εκτελεί Ελεύθερη Αρµονική Ταλάντωση χωρίς απόσβεση ή Απλή Αρµονική Ταλάντωση (ΑΑΤ), ένα υλικό σηµείο µάζας
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. υ = σταθερη (1) - Με διάγραμμα :
Πρότυπο Πρότυπα ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Η Φυσική για να ερμηνεύσει τα φαινόμενα, δημιουργεί τα πρότυπα ή μοντέλα. Τα πρότυπα αποτελούνται από ένα πλέγμα
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη Απριλίου 07 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α - Α4 να γράψετε να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στη συµβολή κυµάτων
Ασκήσεις στη συµβολή κυµάτων. Οι δύο σύγχρονες πηγές Π και Π παράγουν την ίδια στιγµή κύµατα, συχνότητας f=0 Hz, τα οποία διαδίδονται στο ελαστικό µέσο µε ταχύτητα υ=30 m/s. Σε όλα τα σηµεία της µεσοκαθέτου
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση τροχιάς. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.5
Σχεδίαση τροχιάς Η πιο απλή κίνηση ενός βραχίονα είναι από σηµείο σε σηµείο. Με την µέθοδο αυτή το ροµπότ κινείται από µία αρχική θέση σε µία τελική θέση χωρίς να µας ενδιαφέρει η ενδιάµεση διαδροµή που
Διαβάστε περισσότεραΒασικές ασκήσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 1. Να δίνονται βασικά στοιχεία της κίνησης.
Βασικές ασκήσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 1. Να δίνονται βασικά στοιχεία της κίνησης. 1 η Άσκηση Μικρό αυτοκινητάκι κινείται σε ευθεία γραµµή, που ταυτίζεται µε τον άξονα Ο, µε σταθερή ταχύτητα µέτρου
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΠαρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου*
Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου* Κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου το οποίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ χ, διαδίδονται κατά αντίθετη φορά, δύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα, ίδιου πλάτους και ίδιας
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε
Διαβάστε περισσότεραΣχόλια για το Θέμα Γ των σημερινών Πανελλαδικών Εξετάσεων Φυσικής Ημερήσιου Γενικού Λυκείου
Σχόλια για το Θέμα Γ των σημερινών Πανελλαδικών Εξετάσεων Φυσικής Ημερήσιου Γενικού Λυκείου 1) Στα τρέχοντα ημιτονοειδή ή αρμονικά κύματα y= Aηµ π που διδάσκουμε στο Λύκειο η κινητική ενέργεια δκ, η δυναμική
Διαβάστε περισσότεραΕξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;
Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler.
Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler. Ε. Κορφιάτης Με αφορμή την συζήτηση που γίνεται για το θέμα Α4 αποφάσισα να γράψω το κείμενο που ακολουθεί. Σαν φοιτητής η σχέση που
Διαβάστε περισσότεραΗ ευθύνη του σχολικού βιβλίου είναι να είναι βέλτιστο
Η Διάλογοι Με αφορμή τοποθετήσεις και προβληματισμούς συναδέλφων, ανάρτησα στο δίκτυο συνεργαζόμενων καθηγητών http://ylikonetningcom διάφορες απαντήσεις Υπήρξαν και απαντήσεις που δόθηκαν χωρίς να περάσουν
Διαβάστε περισσότεραΖ. Κύκλος αναφοράς και περιστρεφόµενα διανύσµατα
Ζ. Κύκλος αναφοράς και περιστρεφόµενα διανύσµατα Δυο βήµατα µέχρι τον κύκλο, τρία µέχρι τα περιστρεφόµενα, ένα ακόµη βήµα ασταθές κι ένας πειρασµός.. Ο πειρασµός Τα παραπάνω βάζουν αρκετούς στον πειρασµό
Διαβάστε περισσότερα. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται
Διαβάστε περισσότεραΤηλ./Fax: , Τηλ: Λεωφόρος Μαραθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης 3, 1
. 1. Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση: α. ευθύγραµµη οµαλή β. ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη γ. οµαλή κυκλική δ. ευθύγραµµη περιοδική. Η φάση της αποµάκρυνσης στην απλή αρµονική ταλάντωση: α. αυξάνεται
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση στερεού σώματος (rigid body) δύο υλικών σημείων σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή.
Κίνηση στερεού σώματος (rigi oy) δύο υλικών σημείων σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή. Δύο σφαίρες αμελητέων διαστάσεων με μάζες m και m αποτελούν στερεό σώμα (rigi oy) με απόσταση μεταξύ τους. Το σώμα κινείται
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στη παρακάτω πρόταση :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στη παρακάτω πρόταση : Η απλή αρμονική κίνηση α. ευθύγραμμη ομαλή. β. ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη. γ. ομαλή κυκλική. δ. ευθύγραμμη περιοδική. Σημειακό
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:
ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή
Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 20/5/2000 Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Είδαµε ότι όταν η Χαµιλτονιανή συνάρτηση δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο τότε αυτή διατηρείται κατά την κίνηση και εποµένως
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΤαλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.
σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ
Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραΚάθε φορά, που νιώθουμε τρελή λαχτάρα να μιλήσουμε για ευθείες, φανταζόμαστε εξισώσεις της παρακάτω μορφής : y = αx + β
ΕΥΘΕΙΕΣ Κάθε φορά, που νιώθουμε τρελή λαχτάρα να μιλήσουμε για ευθείες, φανταζόμαστε εξισώσεις της παρακάτω μορφής : y = αx + β Η εξίσωση αυτή θα πρέπει να γίνει στο μυαλό μας συνώνυμη της λέξης και του
Διαβάστε περισσότεραΜέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.
Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται
Διαβάστε περισσότερα1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ.
1.1. Οµάδα Γ. 1.1.21. Πληροφορίες από το διάγραµµα θέσης-χρόνου..ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και στο διάγραµµα βλέπετε τη θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. i) Βρείτε την κλίση στο διάγραµµα x-t στις
Διαβάστε περισσότερα, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι
Διαβάστε περισσότερα4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(,.
1. Τι ξέρετε για τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων της μορφής ; Πώς ονομάζεται το ; Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων της μορφής, είναι ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Το ονομάζεται
Διαβάστε περισσότεραx = A ηµ(ω t+φ ο ), υ = A ω συν(ω t+φ ο ) και α = A ω² ηµ(ω t+φ ο )
Η ΦΑΣΗ και η ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο προηγούµενο σχόλιο υποστήριξα τη θέση ότι, παρόλο που η Γραµµική Αρµονική Ταλάντωση (ΓΑΤ) ενός κινητού µπορεί να περιγραφεί µαθηµατικά µε διάφορες εναλλακτικές
Διαβάστε περισσότερα