ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1
Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης, Περικλής Γιαννουλάτος Κώστας Ζυγούρης, Χρήστος Ντάβας, Γιώργος Ρίζος Ηλίας Καμπελής, Νίκος Φραγκάκης,Αντώνης Βρέντζος, Γιώργος Γαβριλόπουλος, lafkasd Επιμέλεια : Τσιφάκης Χρήστος Αφιερωμένο σε όλους τους μαθητές της Α Λυκείου Τεύχος 1ο Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα
ΘΕΜΑ 787 Στο τρίγωνο AB του παρακάτω σχήματος η κάθετη από το μέσο M της B τέμνει την προέκταση της διχοτόμου A στο σημείο E. Αν, Z είναι οι προβολές του E στις AB, A, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο EB είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5) β) Τα τρίγωνα BE, ZE είναι ίσα. (Μονάδες 8) γ) Aˆ E ABE 18. (Μονάδες 1) α) Το τρίγωνο EB είναι ισοσκελές, επειδή η είναι μεσοκάθετος του B. β) Τα τρίγωνα BE, ZE είναι ορθογώνια και έχουν EB E και EEZ (κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας). γ) Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων προκύπτει ότι E1 E (1). Είναι ακόμα: ˆ AE 9 E και ABE 9 E1 (ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο EB ). Άρα: (1) 1 Aˆ E ABE 9 E 9 E Aˆ E ABE 18. ΘΕΜΑ 788 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB( A 9 ) B 5, το ύψος του A και σημείο E, ώστε E B. Το σημείο Z είναι η προβολή του στην. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3
α) Να αποδείξετε ότι: i) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) ii) AE 1. (Μονάδες 1) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. (Μονάδες 9) α.i) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, επειδή η A είναι μεσοκάθετος του. α.ii) B 5, οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο AB και από το ισοσκελές, έχουμε διαδοχικά: ˆ 4 και AE ˆ5. Αλλά η AE ˆ είναι εξωτερική στο τρίγωνο AE, άρα: AEB ˆ AE AE ˆ 1. β) Είναι ˆ Z 9, EZ ˆ 5 (ως κατακορυφήν της AE ), οπότε, Eˆ Z 4. ΘΕΜΑ 79 Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB και στο εσωτερικό του θεωρούμε τα σημεία, ώστε να ισχύει A B. Επίσης θεωρούμε σημείο Oεκτός του ευθυγράμμου τμήματος AB έτσι ώστε να ισχύουν O AΓ και O B. α) Να αποδείξετε ότι: i. η γωνία O 6 (Μονάδες 9) ii. οι γωνίες OA,OB είναι ίσες και κάθε μια ίση με 3. (Μονάδες 9) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4
β) Αν το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος AB, να αποδείξετε ότι OM OA. (Μονάδες 7) α) Το τρίγωνο Oείναι ισόπλευρο εκ κατασκευής και το ζητούμενο έπεται άμεσα β) Τα τρίγωνα OA,OB είναι ισοσκελή, οπότε οι γωνίες που πρόσκεινται σε κάθε βάση είναι ίσες κι αφού οι εξωτερικές τους γωνίες O O 6, το ζητούμενο έπεται άμεσα. γ) Το OMείναι διάμεσος στο ισόπλευρο τρίγωνο, άρα και ύψος, οπότε το OA τρίγωνο MOA είναι ορθογώνιο με A 3, άρα OM OA OM. ΘΕΜΑ 794 Σε τραπέζιο AB AB/ / είναι AB. Επίσης τα Z,H,E είναι τα μέσα των A,B και αντίστοιχα. Ακόμη η ZHτέμνει τις AE,BE στα σημεία,i αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο AB Eείναι παραλληλόγραμμο. β) Να δείξετε ότι, τα σημεία,i είναι μέσα των AE,BE αντίστοιχα. γ) Να δείξετε ότι 3 ZH AB. αφού το E είναι μέσο του και α) Είναι E 1 1 AB/ / AB/ / E, Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5
έτσι το AB E είναι παραλληλόγραμμο. β) Το ZHείναι διάμεσος του τραπεζίου AB, οπότε ZH/ /AB/ / και AB ZH. Στο τρίγωνο AE το Z είναι μέσο της A και Z / / E, έτσι το είναι μέσο του AE. Ομοίως, στο τρίγωνο BE είναι H μέσο του B και HI / / E, έτσι το I είναι μέσο του BE. γ) Από ΘΕΜΑ 796 AB AB AB AB 3AB ZH ZH ZH. Δίνεται κύκλος με κέντρο O και έστω AB μία διάμετρός του, το μέσο του ενός ημικυκλίου και τυχαίο σημείο του άλλου. Στην προέκταση της B(προς το B) θεωρούμε σημείο E ώστε BE A. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα A, BE είναι ίσα. (Μονάδες 8) ii) Η είναι κάθετη στηe. (Μονάδες 8) β) Να αιτιολογήσετε γιατί στην περίπτωση που το σημείο είναι αντιδιαμετρικό του, η E είναι εφαπτομένη του κύκλου. (Μονάδες 9) α. i) Επειδή το είναι μέσο του ημικυκλίου, θα είναι A B και Aˆ B 9. Τα τρίγωνα A, BE έχουν: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6
A B ABE (από υπόθεση) A EB (η γωνία εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι ίση με την απέναντι εξωτερική). Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα (Π-Γ-Π). α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι. ˆ ˆ E. E AB AB 9 β) Είναι από το προηγούμενο ερώτημα ˆE 9 και επειδή η είναι διάμετρος του κύκλου, η E θα είναι εφαπτομένη. ΘΕΜΑ 797 Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Aˆ B και έστω A ύψος και BE διχοτόμος του τριγώνου που τέμνονται στο Z. α) Να αποδείξετε ότι: i. B 6 και AZ BZ. (Μονάδες 1) ii. 3 A BZ (Μονάδες 8) β) Αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο AZE είναι ισόπλευρο, να υπολογίσετε τις άλλες γωνίες του τριγώνου AB. (Μονάδες 7) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7
α) i. Aˆ B ABˆ 3B 3B 18 B 6. Από το ορθογώνιο τρίγωνο AB, έχουμε ότι A 3 κι ακόμα 1 6 B 3 το ABZ είναι ισοσκελές, άρα AZ BZ. 1, οπότε από το BZ με B 3, έχουμε ότι: BZ Z, ii. Αφού AZ BZ και έπεται ότι: BZ 3 A AZ Z BZ BZ. β) Αφού το τρίγωνο ΑZEείναι ισόπλευρο, έχουμε ότι A 6, οπότε A 3 6 9. Επίσης B 6, οπότε ˆ 3. ΘΕΜΑ 799 Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου A,B, Z, H,ZK,H που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά A,B,,,,E,M,H,K,,Z. Αν το σημείο, είναι μέσο των τμημάτων A και B ενώ το σημείο E είναι μέσο των τμημάτων Z και H, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο HZ είναι ορθογώνιο. β) Τα σημεία B,,Z είναι συνευθειακά. γ) Το τετράπλευρο AZ είναι παραλληλόγραμμο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8
α) Το τετράπλευρο HZ είναι ορθογώνιο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται στο E και είναι ίσες λόγω της υπόθεσης. β) Για τον ίδιο λόγο και το AB είναι ορθογώνιο, έτσι: B Z 9 9 18 άρα τα σημεία B,,Z είναι συνευθειακά. γ) Για τον ίδιο λόγο και τα σημεία A,,H είναι συνευθειακά, οπότε A / / Z 1. Το τετράπλευρο E είναι ρόμβος αφού και οι τέσσερεις πλευρές του είναι ίσες ως μισά ίσων τμημάτων, οπότε E. Τα τρίγωνα A και EZ είναι ίσα από αφού έχουν: A E και ZE ως μισά ίσων τμημάτων και A EZ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών E. Έτσι A Z. Από 1, A / / Z άρα το AZ είναι παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 8 Δίνεται ευθεία ( ) και δυο σημεία εκτός, αυτής έτσι ώστε η ευθεία να μην είναι κάθετη στην ( ). Φέρουμε, κάθετες στην ( ) και μέσα, τωνκαι αντίστοιχα. α) Αν τα είναι, στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ( ), i) να εξετάσετε αν το τετράπλευρο είναι, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την απάντησή σας: 1). (Μονάδες 4) ). (Μονάδες 4) ii) να εκφράσετε το τμήμα σε σχέση με τα τμήματα, στις δυο Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9
προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6) β) Αν η ευθεία( ) τέμνει το τμήμα στο μέσο του να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο) και να δείξετε ότι τα ταυτίζονται., Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9+) α) i) Στην περίπτωση 1) όπου, έχουμε και //. Όμως οι // δεν είναι παράλληλες διότι αν ήταν το τετράπλευρο θα ήταν παραλληλόγραμμο άρα. Άτοπο. Επομένως το τετράπλευρο θα είναι τραπέζιο. αφού και Στην περίπτωση ) είναι και //, επομένως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης είναι ˆ 9 συνεπώς το είναι ορθογώνιο. ii) Στην περίπτωση 1) όπου το είναι τραπέζιο η είναι διάμεσος και επομένως. Στην περίπτωση ) όπου το είναι ορθογώνιο θα είναι. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1
β) Είναι //. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα,. Είναι 1) ˆ ˆ 9. ) αφού μέσο της. ˆ ˆ ως κατακορυφήν, 3) 1 επομένως σύμφωνα με τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και. Συνεπώς το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Οπότε οι διαγώνιοι του, διχοτομούνται και επομένως είναι. Οπότε το μέσο της είναι το και αφού σύμφωνα με την υπόθεση το είναι το μέσο της, συμπερασματικά τα σημεία, ταυτίζονται. ΘΕΜΑ 84 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο AB, τα ύψη του B και E που τέμνονται στο σημείο H και το μέσο M της πλευράς B. α) Να αποδείξετε ότι: i) MME. (Μονάδες 1) ii) Η ευθεία τέμνει κάθετα τη B και AH, ˆ όπου ˆ η γωνία του τριγώνου AB. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου. (Μονάδες 1) α.i. Τα ορθογώνια τρίγωνα B, EB έχουν αντίστοιχες διαμέσους M, EM. Άρα: B M ME. α. ii) Το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AB, οπότε και το τρίτο ύψος θα διέρχεται από το σημείο H. Δηλαδή, AH B. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 11
Τα τρίγωνα AH, AZ είναι ισογώνια, επειδή είναι ορθογώνια και έχουν κοινή τη γωνία A 1. Άρα: ˆ AH. γ) Το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου. (Πόρισμα του σχολικού βιβλίου). ΘΕΜΑ 86 Δύο κύκλοι ( K, ),(, R) τέμνονται στα σημεία A, B. Αν και είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του A στους δύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι: α) AB 9 (Μονάδες 5) β) Τα σημεία, B, είναι συνευθειακά. (Μονάδες 1) γ) Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία K,,, είναι τραπέζιο. α) Στον κύκλο (, ) η γωνία είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, οπότε 9. β) Ομοίως είναι και AB 9 (ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο του κύκλου ( ). Άρα B 18, δηλαδή τα σημεία, B, είναι συνευθειακά. (Μονάδες 1) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1
γ) Τα σημεία K, είναι τα μέσα των πλευρών A, A αντίστοιχα, του τριγώνου. Το τετράπλευρο λοιπόν, με κορυφές τα K είναι τραπέζιο (δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο, αφού A. Άρα K και K σημεία,,, K ). ΘΕΜΑ 88 Θεωρούμε παραλληλόγραμμο AB,,, αντίστοιχα, σε μία ευθεία (). AB και τις προβολές AB,,, των κορυφών α) Αν η ευθεία () αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράμμου στο ίδιο ημιεπίπεδο και είναι AA 3, BB, 5, τότε: i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου O του παραλληλογράμμου από την ευθεία () είναι ίση με 4. (Μονάδες 8) ii) Να βρείτε την απόσταση. (Μονάδες 9) β) Αν η ευθεία ( ) διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις AA, BB,, ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) α. i) Έστω ' η προβολή του O στην ευθεία (). Το τετράπλευρο AA είναι τραπέζιο (δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο γιατί AA ) και είναι η διάμεσός του (Αφού είναι το μέσο του A και AA 35 OO AA ). Άρα: OO OO 4 α. ii) Ομοίως το τετράπλευρο BB είναι Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 13
τραπέζιο και OO είναι η διάμεσός του. Άρα: 6. BB OO 4 β) Οι αποστάσεις είναι ίσες. Πράγματι, η ευθεία () διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και έστω ότι είναι παράλληλη στις AB,. Άρα θα είναι η μεσοπαράλληλή τους, οπότε θα ισαπέχει από αυτές, άρα από τις κορυφές του παραλληλογράμμου. και ΘΕΜΑ 81 Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο AB που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο O και ακτίνα. Τα τμήματα Z και είναι τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα σημεία και B αντίστοιχα. Αν το τμήμα H είναι κάθετο στο τμήμα στο Z, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ZB είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 7 ) β) Το τετράπλευρο AZB είναι ρόμβος. (Μονάδες 8) γ) Το τετράπλευρο BH είναι τραπέζιο με BBZ και H B. α) Bˆ Z BZ 6 (είναι γωνίες χορδής και (Μονάδες 1) εφαπτομένης ίσες με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη A 6 ). Επομένως το τρίγωνο ZB είναι ισόπλευρο. β) Τα τρίγωνα AB και ZB είναι ισόπλευρα, οπότε όλες οι πλευρές του τετραπλεύρου AZB είναι ίσες μεταξύ Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 14
τους, άρα είναι ρόμβος. γ) AZ B (ως διαγώνιες ρόμβου) και AZ H (από υπόθεση). Άρα B H, δηλαδή το τετράπλευρο BH είναι τραπέζιο, αφού οι B, H τέμνονται στο σημείο A. Αν M είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου AZB, τότε θα είναι το μέσο της B, άρα τα σημεία B, είναι τα μέσα των πλευρών A, AH αντίστοιχα, του τριγώνου AH. Επομένως: H B και B AB A BZ. Σημείωση Το κέντρο O του κύκλου και η ακτίνα που δίνονται στην εκφώνηση, και το σημείο E που δίνεται στο σχήμα, δεν χρησιμεύουν πουθενά. ΘΕΜΑ 3691 Οι κύκλοι ( K, ) και (,3 ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A. Μία ευθεία εφάπτεται εξωτερικά και στους δυο κύκλους στα σημεία B και αντίστοιχα και τέμνει την προέκταση της διακέντρου K στο σημείο E. Φέρουμε από το σημείο K παράλληλο τμήμα στην που τέμνει το τμήμα στο. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BK είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 9) β) Να αποδείξετε ότι η γωνία K ˆ είναι 3 o. (Μονάδες 8) γ) Να αποδείξετε ότι το τμήμα E6, όπου η ακτίνα του κύκλου ( K, ). α) Αφού είναι κοινή εφαπτομένη έχω BK και. (Μονάδες 8) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 15
Άρα B και ˆ o B 9 ˆ. Είναι άρα K (υπόθεση )και, K δηλ. ˆ 9 o. Τότε το τετράπλευρο BK είναι ορθογώνιο αφού έχει τρεις ορθές γωνίες. β) Λόγω του α) BK ως απέναντι πλευρές ορθογωνίου. Έτσι, 3. Τότε στο ορθογώνιο ( ˆ 9 o ) τρίγωνο K, K από θεώρημα, 1ˆ 3 o.. Άρα γ) Αλλά ˆ ˆ 1 3 o ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες, των παραλλήλων K που τέμνονται από E.Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο E, ˆ 3 o E. Επομένως E 6. ΘΕΜΑ 3693 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( 9 ), και η διχοτόμος του B. Από το φέρνουμε την κάθετη στην και ονομάζουμε το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει την προέκταση της. Να αποδείξετε ότι: (α) Το τρίγωνο E είναι ισοσκελές. (β) Τα τρίγωνα και BEZ είναι ίσα. (γ) Η ευθεία B είναι μεσοκάθετη των τμημάτων AE και Z. (δ) Το τετράπλευρο AE Z είναι ισοσκελές τραπέζιο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 16
(α) Τα ορθογώνια τρίγωνα AB και EB έχουν την υποτείνουσα B κοινή και AB EB. Άρα είναι ίσα και άρα θα έχουν και BA BE, δηλαδή το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές. (β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και BEZ έχουν: BA BE (όπως είδαμε στο (α) ερώτημα) και την γωνία ABE κοινή. Άρα είναι ίσα. (γ) Αφού το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές και η B είναι διχοτόμος της γωνίας B, άρα η B είναι μεσοκάθετος του AE, διότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή του είναι και διάμεσος και ύψος. Επίσης αφού και τα τρίγωνα και BEZ είναι ίσα (όπως δείξαμε στο (β) ερώτημα), θα έχουμε ότι BBZ και άρα και το τρίγωνο BZ είναι ισοσκελές με κορυφή το B. Συνεπώς η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή Bθα είναι η μεσοκάθετος του Z. (δ) Οι ευθείες AE, Z είναι παράλληλες ως κάθετες στην ίδια ευθεία B. Kαι εφόσον οι ευθείες E, ZAτέμνονται (στο ) συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο AE Z είναι τραπέζιο. Επίσης από τα προηγούμενα ερωτήματα έχουμε ότι: BBZ και BE BA. Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη παίρνουμε : E AZ, οπότε το πιο πάνω τραπέζιο είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ 3694 Δίνεται τρίγωνο ( B) και η διχοτόμος. Φέρουμε από το B κάθετη στην που τέμνει την στο E και την πλευρά Aστο H. Αν M είναι το μέσο της πλευράς Bνα αποδείξετε ότι: α)το τρίγωνο ABH είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 17
β) EM // H. (Μονάδες 8) γ). (Μονάδες 8) α) Στο τρίγωνο αυτό η AE είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι ισοσκελές β) Στο ισοσκελές τρίγωνο ABHη AE είναι και διάμεσος, δηλαδή το είναι μέσο του BH. Έτσι, από το τρίγωνο BH προκύπτει ότι EM // H. γ) Είναι, διότι AH AB, αφού το τρίγωνο ABH είναι ισοσκελές από το πρώτο ερώτημα. ΘΕΜΑ 3695 Έστω ΑΒΓ τρίγωνο και τα ύψη του BEκαι που αντιστοιχούν στις πλευρές A και AB αντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση: Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με AB=A, τότε τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα. α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 1) β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να αποδείξετε ότι ισχύει. (Μονάδες 1) γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 18
(Μονάδες 5) α) Αρκεί να δείξουμε ότι BE. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα Bκαι EB είναι ορθογώνια ˆ E 9 o έχουν την πλευρά Bκοινή και τις γωνίες Bκαι ˆ ίσες (καθώς το ABείναι ισοσκελές με βάση B), συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα - οξεία γωνία) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα BE. β) Πρόταση: Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με βάση B, αν τα ύψη του BE και είναι ίσα μεταξύ τους τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Αρκεί να δείξουμε ότι οι γωνίες Bκαι ˆίσες. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα B και EB ˆ E 9 o έχουν την πλευρά Bκοινή και τις είναι ορθογώνια πλευρές BE και ίσες, συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα - κάθετη πλευρά) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα και τις γωνίες Bκαι ˆίσες μεταξύ τους. γ) Μια διατύπωση: Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη του είναι ίσα. ΘΕΜΑ 3696 Δίνεται οξεία γωνία xoy ˆ και δύο ομόκεντροι κύκλοι ( O, 1) και ( O, ) με, που τέμνουν την x στα σημεία K, A και την y στα,b αντίστοιχα. 1 Να αποδείξετε ότι: α) A BK. (Μονάδες 8) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 19
β) Το τρίγωνο APB είναι ισοσκελές, όπου P το σημείο τομής των Aκαι BK. (Μονάδες 8) γ) Η O διχοτομεί την γωνία ˆ xoy. (Μονάδες 9) α) Συγκρίνω τα τρίγωνα O K B και OA. Έχουν: OK O 1 OB OA OKB OA (Π-Γ-Π). Άρα, Oˆ Oˆ A BK και 1 (1). β) Συγκρίνω τα τρίγωνα KAP και PB. Έχουν: AK B 1 1 KAP PB K11(*) (Γ-Π-Γ). (*) ισχύει λόγω (1), P 1 P (κατακορυφήν) και άθροισμα γωνιών τριγώνου 18 o. Άρα PA PB (), δηλ. PAB ισοσκελές. γ) Συγκρίνω τα τρίγωνα OAP και OBP. Έχουν: (Π-Π-Π). Άρα, 1 δηλ. ΟΡ διχοτόμος xoy ˆ. OB OA PA PB() OAP OBP OP ΘΕΜΑ 3697 α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα πλευρών ισοσκελούς τριγώνου είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ανάλογη πρόταση για Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα
i. ισόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδες 8) ii. ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. (Μονάδες 9) α) Υποθέτουμε ότι,, είναι τα μέσα του ισοσκελούς τριγώνου ( ) τότε: AB EZ/ / E, Z έ A,B,Zέ AB,B AΓ Z/ / ABA EZ Z. Άρα το είναι ισοσκελές. β) i. Υποθέτουμε ότι τα,, είναι τα μέσα του ισόπλευρου τριγώνου, τότε: AB EZ/ / E,Z A,B έ A,Z έ AB,B Z/ /,E έ AB,A B E / / AB A B EZ Z E. Άρα το είναι ισόπλευρο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1
ii) Υποθέτουμε ότι τα,, είναι τα μέσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου, A 9 o τότε: Γνωρίζουμε ότι το σχηματιζόμενο τρίγωνο είναι ισοσκελές από το ερώτημα (α), μένει να δείξουμε ότι είναι ορθογώνιο. o Z AE A9 ZE A A ZE# Z 9 o. ΘΕΜΑ 3698 Δίνεται τραπέζιο AB με O AB, A= ˆ ˆ=9, AB και B ˆ 3ˆ.Από το B φέρνουμε κάθετη στη που τέμνει την A στο σημείο K και την A στο E. Επίσης φέρνουμε την AE που τέμνει τη B στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: O α) ˆ 45. (Μονάδες 8) β) BAE. (Μονάδες 9) γ) 1 K. (Μονάδες 8) 4 α) Αφού AB τότε Bˆ 3ˆ o ˆ ˆ 18 ˆ o B 45 ως εντός και επί τα αυτά μέρη (...). β) Αφού BE, BEA ˆ BE ˆ 9 o. Τότε: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα
Το τετράπλευρο ABE είναι ορθογώνιο αφού και A ˆ ˆ 9 o (τρεις ορθές). Άρα AE B (διαγώνιες ορθογωνίου ίσες). Ακόμη AE, B διχοτομούνται. Άρα μέσο του $AE$. Λόγω του ορθογωνίου ακόμη, E AB (απέναντι πλευρές ορθογωνίου). Τότε E E. τρίγωνο? BE ορθογώνιο με ˆ 45. Άρα ισοσκελές, με BE E. 1 γ) Έτσι έχουμε AB E. Άρα το τετράπλευρο AB E είναι παραλληλόγραμμο. Έτσι A, BE διχοτομούνται. Άρα K μέσο A. Τότε στο τρίγωνο AE τα K, είναι μέσα, άρα E K. 4 ΘΕΜΑ 3699 Έστω παραλληλόγραμμο AB. Αν τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8) β) AE BZ. (Μονάδες 8) γ) Οι E και τριχοτομούν τη διαγώνιο A του παραλληλογράμμου (Μονάδες 7) AB. α) AB EB Z, οπότε το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. β) Θα δείξω ότι. Πράγματι, (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB, που τέμνονται από την E) και (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB, που τέμνονται από Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3
τη. Άρα, δηλαδή AE BZ. γ) Έστω, τα σημεία τομής της A με τις E, ZB αντίστοιχα. Θα δείξω ότι AM MN N. Στο τρίγωνο έχουμε: E είναι το μέσο της και //. Άρα, M είναι το μέσο της. Οπότε: AM MN. Στο τρίγωνο Mέχουμε: Z είναι το μέσο της και το μέσο της M. Οπότε: MN M. Επομένως, AM MN N. ZN M. Άρα, N είναι Β τρόπος Ας πούμε το μήκος της πλευράς AB aa, τότε προφανώς θα είναι : AE EB Z Z. α) το τετράπλευρο EBZ έχει τις απέναντι πλευρές του Z,EB παράλληλες γιατί από την υπόθεση το Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4
τετράπλευρο AB είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης Z EB. Δηλαδή Z / / EB που μας εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο και άρα : β) E / / ZB, οι δε απέναντι γωνίες του είναι ίσες, συνεπώς ZB EB. Επειδή τα παραπληρώματα ίσων γωνιών είναι ίσα από: ZB EB 18 ZB 18 EB 1. γ) Φέρνουμε από το παράλληλη στην ZBκαι θα κόψει την ευθεία ABστο. Άμεση συνέπεια: και το τετράπλευρο ZB είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει ανά δύο τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Θα είναι επομένως ίσες, οπότε: Z B. Ας είναι τώρα K, τα σημεία τομής της Aμε τις E,ZB αντίστοιχα. Οι ευθείες E,ZB, είναι παράλληλες και τα τμήματα AE EB B θα είναι λοιπόν και AK K. Αφού ως γνωστόν: Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και κάθε άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών είναι ίσα. ΘΕΜΑ 37 Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι 3 και το κέντρο του. Φέρουμε. α) Να αποδείξετε ότι η γωνία χωρίζεται από τη και τη διαγώνιο σε τρείς ίσες γωνίες. (Μονάδες 13) β) Φέρουμε κάθετη στην στο σημείο η οποία τέμνει την προέκταση της στο. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 1) 6 γιατί 9 9 3 6. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5
Στο τρίγωνο έχουμε 18 3.Άρα 6. Στο τρίγωνο έχουμε 3. Στο τρίγωνο έχουμε 6. Άρα 6 (ως κατακορυφήν). Στο τρίγωνο έχουμε 3. Στο τρίγωνο έχουμε ( ισοσκελές ) άρα 3. β) Επειδή και 6 τότε ισόπλευρο. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν, Άρα είναι ίσα. ΘΕΜΑ 371. Έστω ότι E,Z είναι τα μέσα των πλευρών AB, παραλληλογράμμου AB αντίστοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο AB επιπλέον ισχύει AB A, να εξετάσετε αν είναι αληθείς ή όχι οι ακόλουθοι ισχυρισμοί: Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. Ισχυρισμός : AE =BZ Ισχυρισμός 3: Οι E, BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών,b. α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον αποδείξετε. (Μονάδες 16) β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6
α) Ισχυρισμός 1: Είναι αληθής αφού : Z/ /EB και Z EB ως μισά ίσων τμημάτων. Άρα τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει ένα ζεύγος πλευρές ίσες και παράλληλες. Ισχυρισμός : Είναι αληθής αφού : AE =EBZ (εντός,εκτός και επί τα αυτά των E//BZ ), EBZ=BZ (εντός εναλλάξ των / /AB ). Επομένως : AE =BZ. Ισχυρισμός 3: Οι E, BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών,b. Αν υποτεθεί ότι αυτό συμβαίνει, τότε ˆ ˆ 1 AE,οπότε το τρίγωνο AE θα είναι ισοσκελές, άρα 1 A AE AB. Η τελευταία σχέση, εφόσον A AB μπορεί να είναι είτε αληθής, είτε ψευδής. Άρα ο ισχυρισμός ότι Οι E,BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών,b είναι άλλοτε αληθής κι άλλοτε ψευδής. Ομοίως για την BZ β) Ισχυρισμός 3: Ο ισχυρισμός είναι αληθής εφόσον, όπως είδαμε στο (α), 1 ισχύει : A AB. ΘΕΜΑ 374 Έστω ( 1),( ) δυο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο Ο και τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου που δεν ανήκει στις ευθείες. α) Αν M 1 είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την ( 1) και M το συμμετρικό του M 1 ως προς την i. OM OM 1. ( ), να αποδείξετε ότι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7
ii. Τα σημεία Μ, Ο και M είναι συνευθειακά. iii. Το τρίγωνο MM1M είναι ορθογώνιο. β) Αν M 3 είναι το συμμετρικό σημείο του M ως προς την ( 1), τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το MM1M M 3; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (α) (i) Αφού η ( 1) είναι μεσοκάθετος του MM 1, (λόγω της συμμετρίας), θα έχουμε OM OM. 1 (ii) Αφού και η ( ) είναι μεσοκάθετος της MM 1 άρα και το τρίγωνο OM1M είναι ισοσκελές. Αφού λοιπόν τα τρίγωνα OMM 1 και OM1M είναι ισοσκελή, άρα τα ύψη τους θα είναι και διχοτόμοι των γωνιών των κορυφών τους. Άρα O1 O και O3 O 4. Όμως 3 9 o o O O O O 3 18 o MOM M OM 18 MOM 18. o 1 1 Άρα τα σημεία M, O, M είναι συνευθειακά. (iii) Επίσης λόγω των ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε πιο πάνω, είναι MO OM1OM. Άρα στο τρίγωνο MOM η διάμεσος MO 1 ισούται με το μισό της αντίστοιχης πλευράς. Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με MM M. 1 9 o (β) Με όμοιο τρόπο όπως και στο (ii) δείχνουμε ότι τα σημεία M3, O, M1είναι επίσης συνευθειακά και ότι το τρίγωνο OM M 3 είναι και αυτό ισοσκελές. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8
Άρα λόγων και των άλλων ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε στα προηγούμενα, θα έχουμε: OM 3 OM OM1 OM. Συνεπώς στο τετράπλευρο MM1M M 3 οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες και άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 375 Δίνεται ορθογώνιο AB και έξω από αυτό, κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ABE, BZ, H, A. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος. (Μονάδες 15) β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο, τότε τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το EZH ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. ˆH 15. α) ˆ H 36 ˆ A A ˆ H ˆ 36 6 9 6 Ομοίως αποδεικνύεται ότι: AE ZBE Zˆ H 15. Έχουμε ακόμα: H AE EB H και A BZ Z. Άρα τα τρίγωνα H, AE, BZE, ZH είναι ίσα (Π-Γ-Π). Οπότε, EZ ZH H E. Δηλαδή το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος. (Μονάδες 1) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9
β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο, τότε τα ίσα τρίγωνα του προηγούμενου ερωτήματος θα είναι ισοσκελή, οπότε H ˆ AˆE 15. Hˆ E Hˆ ˆ A Aˆ E 15 6 15 HˆE 9. Άρα το EZH είναι τετράγωνο, αφού είναι ρόμβος με μία γωνία ορθή. ΘΕΜΑ 376 Θεωρούμε ευθεία ( ) και δυο σημεία A και B εκτός αυτής, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ( ) έτσι ώστε, η ευθεία να μην είναι κάθετη στην (). Έστω και τα συμμετρικά σημεία των A και B αντίστοιχα ως προς την ευθεία (). α) Αν η μεσοκάθετος του τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο K, να αποδείξετε ότι το K ανήκει και στη μεσοκάθετο του. (Μονάδες 1) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3
γ) Να βρείτε την σχέση των ευθειών και της ευθείας () ώστε το τετράπλευρο να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) α) Τα συμμετρικά των,, ως προς ( ) είναι τα,,. Άρα KA KA KB KB, AB AB. Αλλά ( ) μεσοκάθετος του. Άρα KA KB. Επομένως KA KB. Συνεπώς K ανήκει στη μεσοκάθετο του. β) Από ορισμό συμμετρίας, έχω ότι AA και BB. Άρα AA/ / BB (1). 1η περίπτωση: Αν AB AB τότε εξ ορισμού είναι τραπέζιο. (και μάλιστα ισοσκελές αφού AB AB ). η περίπτωση: Αν AB AB τότε εξ ορισμού είναι παραλληλόγραμμο. AA BB Άρα AA BB.Έτσι AM BN. Συνεπώς το ορθογώνιο γιατί έχουμε ακόμη ότι AA. Τότε, AB AA. Επομένως το είναι ορθογώνιο. γ) Όπως προκύπτει από το β), πρέπει A / /( ). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 31
Όπως προκύπτει από την παραπάνω διερεύνηση τα ερωτήματα β), γ) δεν είναι σωστά.(ένα τραπέζιο στο β) ερώτημα γίνεται ορθογώνιο στο γ). ΘΕΜΑ 378 Δίνεται τραπέζιο ( // ) με τη γωνία ίση με 3 ο και έστω τα, μέσα των διαγωνίων του. Οι μη παράλληλες πλευρές του και προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: α) (Μονάδες 1) β) (Μονάδες 1) γ) Σε ποια περίπτωση το είναι παραλληλόγραμμο; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 5) Επειδή AB/ / θα είναι ˆ 3. 1 Ας πούμε AB a, b,k x,a y AE u. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο EAB επειδή η κάθετη πλευρά AE βρίσκεται απέναντι των 3 θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή AB AE ή a u (1). β) Με όμοιο τρόπο από το ορθογώνιο τρίγωνο E προκύπτει : AE ή b ( y u) (). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3
Από τις (1) και () έχουμε : AB ba ( y u) u y (3). Όμως για το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγώνιων τραπεζίου ξέρουμε ότι είναι παράλληλο στις βάσεις και ισούται με την (θετική) ημιδιαφορά τους. Δηλαδή και λόγω της (3), ba y K x y A. γ) Το AB K είναι παραλληλόγραμμο όταν εναλλακτικά : a y δηλαδή όταν. Έστω τώρα ότι το AB K είναι παραλληλόγραμμο. Τότε AB / / K και άρα a x a y ( λόγω του β ερωτήματος). Μα τότε το τρίγωνο AB θα είναι ισοσκελές με κορυφή το A και άρα 4. Όμως 3 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB που τέμνονται από την B. Έτσι και λόγω μεταβατικότητας 3 4. Δηλαδή η Bδιχοτόμος της γωνίας των 6 του ορθογωνίου τριγώνου E. Κάποιες παρατηρήσεις που προφανώς δεν υποχρεούται ο μαθητής να τις γράψει.η όλη κατασκευή του σχήματος ακολουθεί την παρακάτω πορεία. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 33
Με διάμετρο ευθύγραμμο τμήμα γράφουμε ημικύκλιο. Ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει το ημικύκλιο στο E. Από τυχαίο σημείο B του E φέρνουμε παράλληλη στην και τέμνει την E στο A. Στην περίπτωση που το AB K είναι παραλληλόγραμμο το σημείο B επιλέγεται ως τομή της E με τη μεσοκάθετο του B. ΘΕΜΑ 379 Δίνεται τραπέζιο ABCD με AB/ /CD και o C 3. Αν KLτα, μέσα των διαγωνίων BD, AC αντίστοιχα και αν οι πλευρές DA, CB προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο E να αποδειχθεί ότι: i). ii) L AD. iii) Σε ποια περίπτωση το τετράπλευρο ABKL είναι παραλληλόγραμμο; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. i) DCB ABE 3 ως εντός εναλλάξ. Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο ABE η πλευρά AE βρίσκεται απέναντι από γωνία 3 κι έτσι είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας που είναι η AB. AB Τελικά AE AB AE. ii) Στο ορθογώνιο τρίγωνο CDE η CD πλευρά DE βρίσκεται απέναντι από γωνία 3 άρα DE. Ως γνωστόν το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων δηλαδή ) CD AB CD AB KL i DE AE AD όπως θέλαμε. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 34
iii) Η KL γνωρίζουμε ότι είναι παράλληλη στην AB θα πρέπει όμως να είναι και ίση με αυτήν δηλαδή ii) KL AB AD AB. Αυτό δηλαδή συμβαίνει όταν AD AB. ΘΕΜΑ 3711 Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο AB, A 9 και το ύψος του. Έστω και E τα συμμετρικά σημεία του H ως προς τις ευθείες και Aαντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ό τι: I. AH A AE. (Μονάδες 6) II. Το τρίγωνο EH είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6) III. Τα σημεία, και είναι συνευθειακά. (Μονάδες 6) β) Τα τρίγωνα ABκαι EH είναι ίσα; Αν ναι, να το αποδείξετε. Αν όχι, κάτω από ποιες αρχικές προϋποθέσεις θα μπορούσε να είναι ίσα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) ΣΧΟΛΙΟ Ζητείται πρώτα να δειχτεί ότι το τρίγωνο EH είναι ορθογώνιο και κατόπιν (!) ότι Τα σημεία, και είναι συνευθειακά. Εδώ, προφανώς είναι λάθος η σειρά των ερωτημάτων. Αν ένας μαθητής δεν αποδείξει πρώτα το (ΙΙΙ), θα έχει κάνει λάθος, αν θεωρήσει (αναπόδεικτα) ότι η E διέρχεται από το A. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 35
Αν ένας μαθητής φέρει τη E, δίχως να περνά από το A θα πελαγώσει... Δίνω μια λύση, παρατηρώντας ότι το ερώτημα (β) θα μπορούσε να απαντηθεί ευκολότερα αν χρησιμοποιούνταν ομοιότητα τριγώνων ή Μετρικές σχέσεις (ύλη Β Λυκείου). Αναρωτιέμαι αν υπάρχει λύση δίχως Απαγωγή σε άτοπο. α) Ι)Λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα A, B, είναι A AH. Ομοίως, λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα A,, είναι AE AH. ΙΙΙ) Λόγω συμμετρίας είναι A1 A, A3 A4 και αφού AA3 9, θα είναι A1 A A3 A4 18, οπότε τα E, A, είναι συνευθειακά. ΙΙ) Αφού στο τρίγωνο EH η διάμεσός του HAείναι το μισό της πλευράς E, θα είναι H 9. β) Για να ήταν με ακρίβεια διατυπωμένη η εκφώνηση, θα έπρεπε να αναφέρεται: "Τα τρίγωνα ABκαι EH είναι σε κάθε περίπτωση ίσα;" Είναι B ˆ, E ˆ αφού έχουν πλευρές κάθετες. Για να είναι ίσα, αρκεί να έχουν ίσες υποτείνουσες, δηλαδή αρκεί να είναι B AH. B Αν M μέσο της B, διαφορετικό σημείο από το H, είναι AM. Επειδή το είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα AM, είναι αδύνατο να είναι AH AM. Οπότε, τα τρίγωνα ABκαι EH είναι ίσα, μόνο όταν το ABείναι και ισοσκελές. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 36
ΘΕΜΑ 3713 Δίνεται τρίγωνο με και η διχοτόμος της γωνίας. Από το μέσο M της A φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο B που τέμνει την πλευρά B στο N. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο B είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5) β) Το τρίγωνο MN είναι ισοσκελές. (Μονάδες 1) γ) AN B. (Μονάδες 1) α) Bˆ B ˆ, οπότε το τρίγωνο B είναι ισοσκελές με B. β) MN B ˆ, γιατί οι γωνίες MN, B είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων B,. Άρα το τρίγωνο MN είναι ισοσκελές με. γ) Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε MN M A. ANείναι ορθογώνιο με AN N AN B. Δηλαδή η διάμεσος του τριγώνου AN ισούται με το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο ΘΕΜΑ 3714 Σε κύκλο κέντρου θεωρούμε τα ίσα τόξα και, το καθένα ίσο με 1. Έστω και τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 37
α) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα και να υπολογίσετε τις γωνίες τους. γ) Η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και. α) Είναι 6 ως εγγεγραμμένες σε τόξα 1. Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού δύο γωνίες 6. β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα από διότι έχουν: 3 και 4. Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων είναι και Το τρίγωνο έχει και 6 5 ως χορδές με ίσα αντίστοιχα τόξα 6, 3 1 και 3 ως εγγεγραμμένες σε τόξα 6. Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν από δύο γωνίες ίσες με 3 τότε οι τρίτες γωνίες τους είναι: 18 3 1. γ) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή αφού έχουν από δύο γωνίες ίσες (β ερώτημα) έτσι είναι: 4. από το ισόπλευρο τρίγωνο, οπότε άρα το είναι και αυτό ισόπλευρο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 38
Έτσι από τις σχέσεις 3, 4, 5 δηλαδή η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και. ΘΕΜΑ 3715 Δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις 1 και : 1: Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. : Αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προτάσεις 1 και αιτιολογώντας πλήρως την απάντησή σας. (Μονάδες ) β) Στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως μια ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5) α) Έστω παραλληλόγραμμο AB και, οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του. 1: Το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. Τα τρίγωνα ABE, BZ είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, AB B (διαδοχικές πλευρές ρόμβου) και A (απέναντι ˆ γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα BE BZ, οπότε η πρόταση ισχύει. : Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου είναι ίσες. Τα τρίγωνα ABE, BZ είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, BE BZ (από υπόθεση) και A (απέναντι ˆ γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα AB B. Δηλαδή το Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 39
παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος και η πρόταση ισχύει. β) Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν και μόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. ΘΕΜΑ 3717 Δίνεται τρίγωνο και Έστω τα, μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. α) Θεωρούμε τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου και τα, συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι //. β) Στην περίπτωση που το σημείο είναι το μέσο της πλευράς, και τα, συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά. α) Αφού τα είναι, τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου θα ισχύει / / 1 και. Τα είναι, και τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου έτσι Από 1, 3 / /.. / / 3 και 4 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4
β) Αν το είναι το μέσο της πλευράς τότε: Το είναι παραλληλόγραμμο αφού / / / / 5. Το είναι παραλληλόγραμμο αφού / / / / επειδή το ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου. Άρα. / / 6 Από 5, 6 / / / /. Ομοίως / / / /. Άρα τα σημεία και, είναι συνευθειακά αφού από το μόνο μια παράλληλη διέρχεται προς το. ΘΕΜΑ 3718 Το τετράπλευρο του παρακάτω σχήματος είναι ρόμβος. Θεωρούμε AZ και AE B. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) β) Η ευθεία είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (Μονάδες 9) γ) Αν και τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 1) α) Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ZAκαι AEB: Είναι ορθογώνια καθώς Z E 9 o έχουν ίσες υποτείνουσες A,AB (πλευρές ρόμβου) και έχουν ίσες οξείες γωνίες ˆ,B(απέναντι παραλληλογράμμου),άρα είναι ίσα συνεπώς όλα τα στοιχεία τους θα είναι ίσα, άρα AZ AE και το τρίγωνο ZAE είναι ισοσκελές. β) Θα δείξουμε ότι τα σημεία A, ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος ZE. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 41
Πράγματι, από το ερώτημα α) προκύπτει Z Z B BE E, άρα το σημείο ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ZE. Ομοίως το σημείο A ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ZE, άρα τα σημεία A, ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος ZE. γ) Τα σημεία M,N είναι μέσα υποτεινουσών των ίσων τριγώνων ZAκαι AEB, άρα οι διάμεσοι ZM,EN θα είναι ίσες μεταξύ τους. Μένει να δείξουμε ότι MN/ /ZE. Στο τρίγωνο AB: Τα M,N είναι μέσα των πλευρών Aκαι ABαντίστοιχα, συνεπώς: MN/ / B. Από το ερώτημα β) ZE A ZE / / B. A B Από τις παραπάνω λαμβάνουμε ότι MN/ /ZE. Τέλος αν επιχειρήσουμε να δείξουμε ότι οι πλευρές ZM,ENδεν είναι παράλληλες θα συλλάβουμε ότι υπάρχει περίπτωση να είναι παράλληλες, είναι η περίπτωση που ο ρόμβος έχει μια γωνία εξήντα μοιρών. Τι κάνουμε τώρα γιατρέ μου; ΘΕΜΑ 37 Δίνεται ρόμβος AB με ˆ 1. Έστω ότι και είναι οι αποστάσεις του σημείου A στις πλευρές και B αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4
i) Τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και B αντίστοιχα. (Μονάδες 8) ii) A EZ. (Μονάδες 8) β) Αν M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) α) i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. Άρα ˆA AˆB 6. Τα τρίγωνα λοιπόν A, AB, ως ισοσκελή με μία γωνία 6, θα είναι ισόπλευρα. Άρα τα ύψη, θα είναι και διάμεσοι. Οπότε, τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και B αντίστοιχα. α. ii) EZ B (Λόγω του προηγούμενου ερωτήματος). Επειδή όμως οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες, θα είναι A EZ. B β) MN ( M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα). Αλλά και B EZ. Οπότε MN EZ, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο και έχει πλευρές παράλληλες με τις διαγώνιες του ρόμβου. Επειδή όμως A B, θα είναι και EZ EM. Άρα, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 371 Στο ισοσκελές τρίγωνο AB ( AB A ) φέρουμε τις διαμέσους B και E. Μία ευθεία παράλληλη στη βάση B τέμνει τις πλευρές και A στα Z και H αντίστοιχα και τις διαμέσους B και E στα σημεία και K αντίστοιχα. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 43
Να αποδείξετε ότι: α) BZ H. (Μονάδες 8) β) τα τρίγωνα ZB και HK είναι ίσα. (Μονάδες 9) γ) ZK H. (Μονάδες 8) α) Αφού B και BZ,H τέμνονται στο Α, το τετράπλευρο ZHB είναι τραπέζιο. Αφού τρίγωνο AB ισοσκελές, τότε B ˆ ˆ. Συνεπώς ZHB είναι ισοσκελές τραπέζιο. Επομένως BZ H (1). AE A ˆ ˆ A A β) A AB AE A B 1 ˆ ˆ () Αφού B και B ˆ ˆ τότε Zˆ ˆ 1 H (3) (ως παραπληρώματα ίσων γωνιών-εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες). Από (1),(),(3) και το κριτήριο ( ), τα τρίγωνα γ) Συνεπώς ZKH. Άρα ZK ZK KH K H. ΘΕΜΑ 37 ZB και HK είναι ίσα. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο με και. Να αποδείξτε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β) Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 44
γ) Το τετράπλευρο που έχει για κορυφές τα μέσα των πλευρών του είναι ορθογώνιο. α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές επειδή έτσι 1., 1 οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με. β) Επειδή και τα σημεία, ισαπέχουν από τα άκρα της οπότε η είναι η μεσοκάθετος της δηλαδή. γ) Αν,,, τα μέσα των,,, αντίστοιχα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο (γνωστή εφαρμογή). Είναι // και // αφού τα, ενώνουν τα μέσα δύο πλευρών των τριγώνων και αντίστοιχα, έτσι 9 ως παράλληλες σε κάθετες ευθείες. Άρα το είναι ορθογώνιο. ΘΕΜΑ 373 Στο κυρτό εξάγωνο ABEZ ισχύουν τα εξής: ˆ, ˆ ˆ ˆ και ˆ ˆ. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 45
(α) Να υπολογίσετε το άθροισμα ˆ ˆ ˆ. (8 Μονάδες) (β) Αν οι πλευρές και E προεκτεινόμενες τέμνονται στο H και οι πλευρές και προεκτεινόμενες τέμνονται στο, να αποδείξετε ότι: (i.) Οι γωνίες A και H είναι παραπληρωματικές. (1 Μονάδες) (ii.) Το τετράπλευρο AH είναι παραλληλόγραμμο. (7 Μονάδες) (α) Οι γωνίες κυρτού εξαγώνου έχουν άθροισμα 6 4 8 ορθές, δηλ. 8 9 7. Αφού ˆ, ˆ ˆ ˆ και ˆ ˆ 7, είναι ˆ ˆ ˆ 36. (β) (i) Είναι Aˆ Hˆ ˆ (18 HZE ˆ HEZ ˆ ) ˆ ˆ HEZ ˆ ˆ ˆ (18 ˆ ) ˆ ˆ ˆ 18 ˆ ˆ ˆ 18 36 18 18 ος τρόπος Το κυρτό πεντάγωνο ABH έχει άθροισμα γωνιών 5 4 6 ορθές, δηλ. 6 9 54. Συνεπώς, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H 54, κι άρα ˆ ˆ H 54 ( ˆ ˆ ˆ ) 54 36 18. Αφού ˆA, ˆ έπεται ότι και A ˆ H ˆ 18. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 46
(ii) Από το προηγούμενο υποερώτημα είναι A// H. Επίσης, ˆ ˆ ˆ ˆ H A H 18, κι άρα AH //. Συνεπώς, οι απέναντι πλευρές του AH είναι παράλληλες, κι άρα είναι παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 374 Δίνεται κύκλος (O, R ) με διάμετρο AB και δυο ευθείες 1, εφαπτόμενες του κύκλου στα άκρα της διαμέτρου AB. Έστω ότι, μια τρίτη ευθεία εφάπτεται του κύκλου σε ένα σημείο του Eκαι τέμνει τις 1, στα αντίστοιχα., α) Αν το σημείο Eδεν είναι το μέσο του τόξου AB, να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο AB είναι τραπέζιο. ii. A B. β) Αν το σημείο E βρίσκεται στο μέσον του τόξου AB, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο A B είναι ορθογώνιο. Στην περίπτωση αυτή να εκφράσετε την περίμετρο του ορθογωνίου ABως συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 47
α) i) Είναι A / / B ως κάθετες στην AB. Ακόμα η δεν είναι παράλληλη στην AB, διότι σε αντίθετη περίπτωση το AB θα ήταν παραλληλόγραμμο με μία ορθή, άρα ορθογώνιο. Τότε η EO ως κάθετη στην θα είναι κάθετη στην AB. Τότε τα AOE,BOE είναι τετράγωνα, οπότε το E θα ήταν μέσον της, που είναι άτοπο. ii) Αφού τα εφαπτόμενα τμήματα είναι ίσα, έχουμε: A BE E. β) Απαντήθηκε στο α (i) ότι είναι ορθογώνιο. Η περίμετρός του είναι 6R. ΘΕΜΑ 375 Στο τετράγωνο ονομάζουμε το κέντρο του και θεωρούμε τυχαίο σημείο του τμήματος. Φέρνουμε την κάθετη από το στην, που τέμνει το τμήμα στο. Να αποδείξετε ότι: α) Οι γωνίες και του παρακάτω σχήματος είναι ίσες. β) και. γ) Το τμήμα είναι κάθετο στο. α) Είναι ως οξείες με κάθετες πλευρές,. β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν και ως μισά των ίσων διαγωνίων, του τετραγώνου. Έτσι είναι και. Τα και είναι ίσα από γιατί έχουν : ως πλευρές του τετραγώνου, Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 48
από (α) ερώτημα και ως αθροίσματα των ίσων γωνιών και με 45. Οπότε. γ) Στο τρίγωνο τα τμήματα, είναι ύψη του που τέμνονται στο, δηλαδή το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, άρα και το είναι το τρίτο ύψος του δηλαδή το είναι κάθετο στο. ΘΕΜΑ 376 Θεωρούμε δύο σημεία A και B τα οποία βρίσκονται στο ίδιο μέρος ως προς / μια ευθεία () τέτοια ώστε η ευθεία AB δεν είναι κάθετη στην (). Έστω A το συμμετρικό του A ως προς την ευθεία (). / (α) Αν η AB τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο O, να αποδείξετε ότι: / (i) Η ευθεία ( ) διχοτομεί την γωνία AOA. (ii) Οι ημιευθείες OA και OB σχηματίζουν ίσες οξείες γωνίες με την ευθεία (). (β) Αν K είναι ένα άλλο σημείο πάνω στην ευθεία () να αποδείξετε ότι: (i) KA KA. (ii) KA KB AO OB. (α) (i) Αφού το A είναι το συμμετρικό του A ως προς την (), η () είναι μεσοκάθετος του AA και άρα OA OA, οπότε το τρίγωνο AOA είναι Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 49
ισοσκελές. Άρα το ύψος του OE είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του, δηλαδή η () διχοτομεί την γωνία AOA. (ii) Έχουμε AOE EOA, όπως δείξαμε στο (i) και BOK EOA, ως κατακορυφήν. Άρα EOA BOK. (β) (i) Αφού είδαμε ότι η ευθεία () είναι μεσοκάθετος του AA, θα είναι και KA K. (ii) Έχουμε: KA KB KA KB BA λόγω της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο KBA. Συνεπώς: KA KB BA BO OA BO OA. Β τρόπος α) i. Επειδή τα και ' είναι συμμετρικά ως προς την η ευθεία είναι μεσοκάθετος του οπότε το τρίγωνο ισοσκελές. ' ' 1 και ' είναι Έτσι η μεσοκάθετος του τριγώνου είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής δηλαδή της '. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5
ii. Αν είναι το σημείο τομής του ' με την, η οξεία γωνία που σχηματίζει η ημιευθεία με την και η οξεία γωνία της με την, τότε: ' αφού η μεσοκάθετος του ισοσκελούς τριγώνου ' ' είναι και διχοτόμος. Όμως ' ως κατακορυφήν. β) i. Αφού το είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος 3. ii. Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ' ισχύει: ' θα ισχύει 3 1 4. Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο είναι: Από 4, 5 (μεταβατική ιδιότητα). 5. ΘΕΜΑ 377 Στο τετράγωνο προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα και την πλευρά κατά τμήμα. α) Να αποδείξετε ότι: i). ii). β) Αν το συμμετρικό σημείο του ως προς την ευθεία, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τετράγωνο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 51
α) i. Έστω είναι η πλευρά του τετραγώνου. Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν: και. Άρα και, 1. ii. Είναι ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από τη. 3 9. β) Αν είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε το τμήμα είναι μεσοκάθετος του, αφού το το συμμετρικό σημείο του ως προς. Άρα 4 και 5 1 4, 5.. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5
Οπότε το είναι τετράγωνο αφού έχει όλες τις πλευρές του ίσες, κάθετες διαγώνιες και μία ορθή γωνία 9. ΘΕΜΑ 378 Έστω ότι ο κύκλος ( O, ) εφάπτεται των πλευρών του τριγώνου PE στα σημεία A, και B. α) Να αποδείξετε ότι: i. P AP. (Μονάδες 6) ii. P PE E. (Μονάδες 8) β) Αν ABE, να αποδείξετε ότι i. το τρίγωνο PE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) ii. Τα σημεία, και είναι συνευθειακά. (Μονάδες 5) α. i) Επειδή τα εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο από ένα σημείο εκτός κύκλου είναι ίσα, θα είναι: PA PB, A και E EB. Οπότε: P PA A PA. α. ii) P AP PB PE BE PE E ABE β. i) P PA A PB BE P PE. Άρα το τρίγωνο PE είναι ισοσκελές. β. ii) Είναι O E (ακτίνα κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής). Επειδή όμως ο κύκλος ( O, ) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου PE και το τρίγωνο είναι ισοσκελές, η διχοτόμος από την κορυφή A διέρχεται από το σημείο O και είναι και ύψος. Δηλαδή, PO E. Από το σημείο όμως, υπάρχει μόνο μία κάθετη στη E. Άρα, τα σημεία και, είναι συνευθειακά. ΘΕΜΑ 379 Θεωρούμε κύκλο κέντρου και εξωτερικό σημείο του. Από το φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήμα και. Η διακεντρική ευθεία τέμνει τον κύκλο Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 53
στο σημείο. Η εφαπτόμενη του κύκλου στο τέμνει τα και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 1) β). (Μονάδες 8) γ) η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με. (Μονάδες 7) α) Αρκεί να δείξουμε ότι P P. Γνωρίζουμε ότι η διακεντρική ευθεία POδιχοτομεί την γωνία APB που σχηματίστηκε από τα εφαπτόμενα τμήματα PAκαι PB. Συνεπώς : APO BPO. Αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα P και P διαπιστώνουμε ότι είναι ορθογώνια ˆ 9 o έχουν κοινή κάθετη πλευρά P και όπως δείξαμε πριν έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες APO BPO. Συνεπώς είναι ίσα τρίγωνα, άρα έχουν όλα τα στοιχεία τους ίσα, θα είναι λοιπόν P P. β) Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα, άρα PA PB συνεπώς συνδυάζοντας και το συμπέρασμα του προηγούμενου ερωτήματος: A PA P PB P B. γ) Τα σημεία, είναι εξωτερικά του κύκλου και τα τμήματα A, και, B είναι εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από αυτά, άρα ίσα μεταξύ τους. Έχουμε: A, B PP P P PA BP PA PB. ΘΕΜΑ 373 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB και το ύψος του A. Στο A θεωρούμε σημείο H τέτοιο ώστε HA HB.Έστω ότι E είναι το σημείο τομής της με την A. Φέρνουμε την κάθετη στην, η οποία τέμνει την πλευρά B στο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 54
α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα HBκαι είναι ίσα. (Μονάδες 6) ii) Z. (Μονάδες 6) iii) Η ευθεία H είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (Μονάδες 6) β)ποιο από τα σημεία του σχήματος είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) α) i)τα τρίγωνα HB και είναι ίσα, επειδή είναι ορθογώνια και έχουν (από υπόθεση) και BH AHZ (ως κατακορυφήν). HB HA α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), προκύπτει ότι HHZ. Άρα η H είναι διχοτόμος της γωνίας A ˆ B ( Το σημείο H ισαπέχει από τις πλευρές της). Επομένως τα ορθογώνια τρίγωνα H και ZH είναι ίσα (έχουν κοινή υποτείνουσα και H ˆ H ˆZ). Άρα Z. α. iii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), έχουμε ακόμα BAZ. B B AZ Z B A, οπότε το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές. Άρα η H που διχοτομεί τη γωνία A ˆ B, θα είναι μεσοκάθετος της. α) Στο τρίγωνο, τα ύψη AZ, B τέμνονται στο σημείο, που είναι και το ορθόκεντρο του τριγώνου. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 55
ΘΕΜΑ 3734 Σε ισοσκελές τραπέζιο ( // ) είναι. α) Να αποδείξετε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας. (Μονάδες 7) β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου, ώστε το τετράπλευρο να είναι ρόμβος. (Μονάδες 1) γ) Αν επιπλέον είναι γωνία 1 και οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται στο σημείο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου. (Μονάδες 8) α) Γνωρίζουμε ότι AB A άρα το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές, συνεπώς A BAB. Τα ευθύγραμμα τμήματα AB, είναι παράλληλα και τέμνονται από την B, άρα οι γωνίες AB, B είναι ίσες μεταξύ τους ως εντός εναλλάξ. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι AB B που οδηγεί στο συμπέρασμα. β) Γράφουμε κύκλο με κέντρο το και ακτίνα A, έστω E το σημείο τομής του με την πλευρά, θα δείξουμε ότι το τετράπλευρο ABEείναι ρόμβος. Το ευθύγραμμα τμήματα AB, Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 56
είναι παράλληλα (παράλληλες πλευρές τραπεζίου), άρα θα είναι και τα τμήματα AB και E παράλληλα, επιπλέον AB A E,συνεπώς είναι ίσα, δείξαμε έτσι ότι το τετράπλευρο ABE είναι παραλληλόγραμμο. Οι απέναντι πλευρές του A,BE θα είναι ίσες,άρα ισχύει: AB AE BE και το τετράπλευρο είναι ρόμβος. γ) Θα δείξουμε προπαρασκευαστικά ότι το τρίγωνο EB είναι ισόπλευρο. Πράγματι είναι ισοσκελές καθώς: B A BE, οι γωνίες AB και EB είναι ίσες ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου και η BE είναι παραπληρωματική της EB, άρα ίση με 6 o, συνεπώς το ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες βάσεων 6 o είναι ισόπλευρο. Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις απέναντι γωνίες, όπως και ότι οι διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές. Άρα: O 9 o. 1 1 OB ABE EB 6 6 9 B E 6 o, o o, 1 1 EO EB BE 6 1 1 ΘΕΜΑ 3735 o o o. Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB<ΑΓ. Έστω Αx η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A. α) Να αποδείξετε ότι: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 57
i. A 18, όπου A και παριστάνουν τις εξωτερικές γωνίες των, A, αντίστοιχα. 1) (Μονάδες ii. Η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A τέμνει την προέκταση της πλευράς (προς το μέρος του ) σε σημείο. (Μονάδες 8) β) Αν το τρίγωνο ABΓ είναι ορθογώνιο στο A και 15, να αποδείξετε ότι BΓ=ΑΒ. (Μονάδες 7) α) i) A 18 18. ii) B x AB B B 18 18, 45 45 Α Z 15 Β 6 3 Γ x γιατί AB<ΑΓ, οπότε αφού οι εντός και επί τα αυτά μέρη των x και που τέμνονται από την έχουν άθροισμα μικρότερο των 18 η x και η θα τέμνονται στο ημιεπίπεδο της που δεν περιέχει το. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 58
9 β) Είναι 15 6, ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο οπότε 3 και έτσι θα είναι, δηλαδή BΓ=ΑΒ. ΘΕΜΑ 3737 Δίνεται τραπέζιο AB, τέτοιο ώστε A ˆ 9, Επιπλέον φέρνουμε BE. 1 AB και 4 1 AB A. 3 α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ABE ορθογώνιο. (Μονάδες 6 ) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο BE είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. (Μονάδες 1) γ) Αν K, είναι τα μέσα των και A αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η A διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος. (Μονάδες 9) α)το τετράπλευρο ABE είναι ορθογώνιο επειδή έχει τρεις γωνίες ορθές. β) Είναι 4AB, BE A 3AB, AB E. Άρα, E E 3AB. Δηλαδή, BE E, οπότε το τρίγωνο BE είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. γ) Το τετράπλευρο AB E είναι τραπέζιο και το τμήμα του. K ενώνει τα μέσα των διαγωνίων Άρα K K AB. AB και E AB 3AB AB K Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 59
Επομένως το AB K είναι παραλληλόγραμμο και αν M είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε θα είναι το μέσο του. ΘΕΜΑ 3741 Σε παραλληλόγραμμο AB με γωνία A αμβλεία, ισχύει AB A. Τα σημεία E και Z είναι μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. Από το φέρουμε την H κάθετη στην προέκταση της B. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο AEZ είναι ρόμβος. (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) γ) Το τμήμα είναι διχοτόμος της γωνίας ZH. (Μονάδες 8) α) AB A AE A EZ AZ. Άρα το τετράπλευρο ρόμβος. AEZ είναι β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο H η είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, οπότε ZH ZA ZE. Άρα, τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Από το ισοσκελές τρίγωνο, έχουμε HEZ EHZ. Αλλά, HEZ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από την. Άρα διχοτόμος της γωνίας ZH., δηλαδή το τμήμα είναι Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6
ΘΕΜΑ 3745 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και το ύψος του στην πλευρά. Στην προέκταση του θεωρούμε τμήμα. Στην προέκταση του προς το μέρος του θεωρούμε τμήμα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ρόμβος. β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Το σημείο είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου. α) Αφού το είναι ύψος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου θα είναι και διάμεσος. Έτσι το είναι ρόμβος αφού οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και δύο διαδοχικές του πλευρές είναι ίσες β) Το είναι μεσοκάθετος του, έτσι οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Στο τρίγωνο το τμήμα είναι διάμεσός του και ισχύει: οπότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου 3. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 61
ΘΕΜΑ 3747 Δίνεται τρίγωνο με γωνία ίση με 1 και γωνία είναι ίση με 45. Στην προέκταση της προς το, παίρνουμε τμήμα. Από το φέρνουμε την κάθετη στην που την τέμνει στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία είναι ίση με 3. β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Αν το μέσο της, τότε 9. δ) Το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος. α) 6 ως παραπληρωματική της 1. Από το ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι 3. β) Αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι 3 τότε άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Είναι και η διάμεσός του είναι, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο αφού η διάμεσος του ισούται με το μισό της αντίστοιχής πλευράς, με υποτείνουσα, οπότε 9. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6
δ) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν: και άρα είναι και δηλαδή το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος αφού ισαπέχει από τα άκρα του. ΘΕΜΑ 3751 Δίνεται τυχαίο τρίγωνο και η διάμεσός του. Έστω ότι είναι το μέσο της τέτοιο ώστε και γωνία 1. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6) γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 6) δ) Αν το σημείο είναι η προβολή του στην, να αποδείξετε ότι. (Μονάδες 8) ΑΡΧΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ: Η εκφώνηση «τυχαίο τρίγωνο» είναι εντελώς άστοχη και η λέξη τυχαίο πρέπει να παραληφθεί αφού για να ισχύουν όλα τα δεδομένα πρέπει τελικά να είναι ορθογώνιο στο!!! α) 6 ως παραπληρωματική της 1. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 63
, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με μια γωνία 6, άρα ισόπλευρο και όλες του οι γωνίες θα είναι 6. β) Η είναι διάμεσος του τριγώνου και ισχύει από (α) οπότε το τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο στο. γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατί έχουν: 1), αφού μέσο της. ), αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο., 3) 1, ως παραπληρωματική της 6 (κριτήριο Π-Γ-Π) δ) Στο ισόπλευρο τρίγωνο είναι ύψος άρα και διχοτόμος και διάμεσος. Άρα, οπότε. Δούρειος ίππος. Το τρίγωνο AB όχι μόνο δεν είναι τυχαίο αλλά είναι ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο, ( B 9 ) αφού οι πλευρές του συνδέονται με τις σχέσεις: 3 7,,. Το ότι από ψευδές μπορούμε να έχουμε αληθές και το κακέκτυπο (γιατί άραγε σχεδιασμένο με το χέρι;) σχήμα που δίδεται δεν απαλλάσσει τον θεματοδότη από τις ευθύνες του. Αν δεν είναι ανικανότητα τότε είναι «ανεντιμότητα» απέναντι στα παιδιά μας. ΘΕΜΑ 3754 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Από την κορυφή φέρουμε. Έστω, τα μέσα των πλευρών και αντιστοίχως, τότε: Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 64
α) Να αποδείξετε ότι: i. 9. ii.. γ) Αν 3, να αποδείξετε ότι. α) i. Τα τμήματα, είναι διάμεσοι στις υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων και αντίστοιχα, οπότε: και δηλαδή τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή, οπότε: 1 και. 1, 9. ii. Το τμήμα ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου, έτσι: 3. β) Αν 3. τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο θα ισχύει: 4 Από 3, 4. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 65