ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑ ΤΡΩΝ ΣΠΟΥ ΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΩΝ ΤΟΜΟΣ 2 ΑΚΑΔΗΜΑίΚΟ ΕΤΟΣ 1975-1976 ΠΑΤΡΑ 1976 /,
ΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΚΩΣΤΑΣ Α. ΔΡΟΣΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΉΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Ο. Περίληψη. Ή όμιλία αύτή έχει σάν σκοπό,νi άνciδερμάνει τό ένδιαφέρον γιά τά προβλήματα καί τίς σχέσεις πού ύπάρχουν, μεταεύ ένός χώρου μέτρου καί μιάς τοπολογικης δομης. Στή συνέχεια περιορι6όμαστε σέ μιά έκδεση των σnουδαιοτέρων άποτελεσμάτων, ή ά πόδειεη των όποίων δίδεται στό [8]. l. Είσαγωγή. Είναι γνωστό οτι κάδε τοπολογία, διαισδητ~ κά, έκφρά6ει ένα γενικευμένο είδος "κοντινότητας". Έ πειδή ομως κάδε "κοντινότητα" περιέχει σύμφυτα καί μιά έννοια τοϋ "μικροϋ", μπορqϋμε νά ποϋμε οτι κάδε τοπολογία έκφρά6ει καί μιii έννοια "μικροϋ". Άπό τήν άλλη μεριά, aτούς χώρους μέτρου ύπάρχει μιά δομή ( Ω, Α), ομοια μέ τήν τοπολογία, ή όποία καλείται μετρήσιμος χώρος καί άποτελεϊται άπό ένα μή κενό σύνολο Ω καί μιά κλάση ύποσυνόλων Α τοϋ Ω. Μέ κάδε μετρήσιμο χώρο μπορούμε νά έχουμε καί μ ι ά έννοια τοu "μικροϋ", μέ τήν είσαγωγή έ: νός μέτρου. Τό πρώτο πρόβλημα, πού μπορεί νά δέσει κ α νείς είναι: Μπορεί νά όρισδη ένα μέτρο, πάνω στή σ-άλ -
180 γεβρα τοu Borel 1 πoύ παράγεται άπό μιά δοσμένη τοπολογί~ έτσι ώστε ή έννοια του "μικρού" πού έκφρά~εται άπό τό μ& τρο αδτό, νά είναι συμβιβαστ~ μέ τ~ν έννοια τοu"μικροu" πού σύμφ.uτα συνυπάρχει μέ κάθε τοπολογία; Η άπάντηση ατό έρώτημα αδτό είναι θετικ~ καί ή διαπραγμάτευσ~ της θά μας άπασχολ~σει στ~ συνέχεια. Γνωρί~ουμε έπίσης, ότι άν (χ,α) καί(υ,$)είναι δυό δομές όπου Χ, Υ είναι μ~ κενά σύνολα καί Α ς 2Χ, $ ι; 2Υ καί f (Χ, Α ) -+ (Υ,$) μιά συνάρτηση, τότε ή f θά λέγεται Α-$ μετρ~σιμη έάνν (έάν καί μόνον έάν) f- 1 (B) ε Α γιά κάθε Β ε$. Ν Αν τώρα ή Α καί $είναι τοπολογίες, τότε ο παραπάνω ορισμός ταυτί~εται μέ τόν ορισμό τfις συνέχειας. Ή διερεύνηση των,σχέσεων των έννοιων τfις μετρησιμότητας καί τfις συνέχειας είναι ενα άλλο σπουδαϊο πρόβλημα, μέ τό όποϊο έχουν άσχοληθεϊ μεγάλοι μαθηματικοί. Από τά παραπάνω φαίνεται ή άνάγκη μελέτης δομών τη; μορφfις (Χ, Α ) όπου Χ ένα μ~ κενό σύνολο καί Α ς_ 2Χ. Τί έκφρά~ουν άραγε ο ί δομές τfις μορφfις (Χ, Α ) ; Μιά προσπάθεια νά μελετηθούν αδτές οί δομές, είναι καί οί πλακοστρώσεις (pavings) πού έμφανί~ονται στ~ θεωρία χωρητικοτ~των (capacities) του Choquet, βλέπε [7], [2],[14]. Μέ τίς πλα~οστρώσεις yίνεται ή προσπάθεια νά έρευνη~οuν δομές τfjς μορφfις (Ε, ε),όπου Ε 'f φ καί ε ς_ 2Ε, οί όnοϊες περιέχουν σάν ύποπεριπτώσεις τίς δομές καί των τοπολογικων χώρων καί των μετρησίμων χώρων. Μιά πλακόστρωση (paving) ε έπί τού συνόλου Ε είναι μιά συλλογή ύποσυνόλων του Ε πού περιέχει τό κενό σύνολο. Τό ~εuγος (Ε,ε) λέγεται πλακόστρωτο σύνολο.
181 Εστω τ~ρα (F,~) ~να πλακόστρωτο σόνολο δπου ~ ε[ ναι μιά ~(υπ, nπ) πλακόστρωση, δηλαδή κλειστή ώς πρός τίς πεπερασμένες έν~σεις καί τομές. Μιά~-χωρητικότητα τοϋ Choquet ε[ναι μιά συνολοσυνάρτηση μέ τίς παρακάτω ίδιότητες: (i) BS.A::::::::? Ι(Β) < Ι(Α) (ii) Γιά κά~ε αύςουσα άκολου~ία {Αη}οοη = l ~ 2F, 00 Ι(UΑη) η = l (iii) Γιά κά~ε φθίνουσα άκολουθία {Αη}~ = l ς 2F, 00 Ι ( Π Α )= iηf Ι (Αη) η = l η η UΕνα ύποσόνολο Α ς F ~ά λέγεται χωρητικοποιήσιμο (c~ pacitable) άν Ι(Α) supi(b) Β ε δ Β S. Α δπου ~δ ε[ναι τό κλείσιμο τf'j~ ~ ώς πρός τίς άρι~μήσιμες τομές, δηλαδή ~δ = ~ ( n α). Ή ~εωρία των χωρητικοτήτων τοϋ Choquet ε[ναι πολό χρήσιμη στή ~εωρία δυναμικων, όλόκληρη δέ ή ~εωρία μέτρου μπορεt νά παραχ~η άπ τή ~εωρία χωρητικοτήτων. Άλλά άς έλ~ουμε τ~ρα στή ~εωρία μέτρου, ή όποία,ώς γνωστόν, μπορεt νά άναπτυχ~η κατά δόο κυρίως τρόπους: (i) Τόν τρόπο της άφηρημένης μετρο~εωρίας καί
182 ( ii) Τόν τρόπο της θεωρία ς των μέτρων τοϋ R.adon σέ το- πικά συμπαγείς τοπολογικούς χώρους. Ό τρόπος τfiς άφηρημένης μετροθεωρίας βασί6εται στήν άντίληψη, οτι ή τοπολογίά., a priori, δέν έχει Ήαμμ.ιά σχέ.:. ση μέ τό κυρίως πρόβλημα τοϋ μέτρου. Άπό τήν άλλη μεριά, ή θεωρία των μέτρων τοϋ Radon, πάνω σέ τοπικά συμπαγείς τοπολογικούς χώρους, δικαιολογείται άπό τό γεγονός, οτι στήν άνάλυση, κάθε σύνολο παρουσιά6εται έφωδίασμένο μέ μιά τουλάχιστον τοπολογία. Έπίσης, τά μέτρα, πού όρί6ονται πάνω σέ τοπικά συμπαγείς χώρους έχουν. ί διότητες ομοιες μέ αύτές τοϋ μέτρου τοϋ Lebesque πάνω στήν εύθεία γραμμή. Καί οί δυό μέθοδοι έχουν όρισμένα μέιονεκτήματα.τά μειονεκτήματα τfiς άφηρημένης θεωρίας μέτρου είναι κυρίως: (i) Ή κα~ροφή της είκόνας τοϋ μέτρου (image measure catastrophe), καί (ii) Τό γινόμενο σ-άλγεβρών τοϋ Borel ένός τοπολογικοϋ χώρου τοϋ Hausdorff, γενικά δέν είναι ή σ-άλγεβρα τοϋ Borel, πού παράγεται άπ'τήν τοπολογία γινόμενο. Ή καταστροφή τfiς είκόνας τοϋ μέτρου, μπορεί νά κατανοηθfi μέ τόν παρακάτω τρόπο~ 'Έστω f: ( Ω, Α,Ρ) -+ (JR,S,Pf) μιά μετρήσιμη συνάρτηση οπου S = { Α ς JR: f- 1 (Α) Ε Α} καί P(f- 1 (Α)), Α Ε S
183 τfjς;; f καί μf τό άτιό τήν. Ff. "Αν σίμων ώς;; τιρός;; τό Lebesque-Stiltjes μέτρο τιού έτιά~εται sf εrναι ή κλάση των συνόλων των μετρημέτρο μf τότε άτιοδεικνύεται, ότι s,;. s f δηλαδή ε r να ι δυνατόν νά ύτιάρ!;ουν σύνολα Α ς: JR,ΠΩύ f - 1 (Α) νά εrναι Ρ-μετρήσιμα άλλά τό Α νά μήν εrναι μf μετρήσιμο. "Ετσι, άν f- 1 (f(ω)) =Ω εrναι Ρ-μετρήσιμο, αύτό δέν σημαίνει ότι τό f(ω) εrναι μf-μετρήσιμο, δηλαδή ή είκόνα τοϋ μέτρου Ρ μέσω τfiς;; ~ δέν συγκεντρώνεται έnί τοϋ f(ω). Καί αύτό άκριβώς;; μτιορεϊ νά εrναι καταστροφικό. Βλέτιε καί [12], σελ. 30. Μέτρα Ρ γιά τά ότιοϊα Sf = S, γιά κάθε μετρήσιμη συνάρτηση f, λέγονται. τέλεια μέτρα (Perfect measures). Άκριβώς;; λοιτιόν γιά τήν άτιαλοιφή τοϋ ~ ι του μειονεκτήματος;;, είσήχθησαν ύτιό των Gnedenko καί Kolmogorov τά τέλεια μέτρα. Γιά τόν τιεριορισμό τοϋ δευτέρου μειονεκτήματος, τιρέτιε ι νά τιεριοριστοϋμε σέ διαχωρίσιμους;; (separable) μετρικούς;; χώρους;;, στούς;; ότιοίους;; συμβαίνει σ{{jί} χσ{~ 2 } = σ{~ 1 χ~ 2 } ότιου σ{~} εrναι ή σ-άλγεβρα τιού τιαράγεται άτι'τήν τοτιολογία ~. Τό κύριο μειονέκτημα τοϋ δεύτερου τρότιου άνατιτύςεως;; τfjς;; θεωρίας;; μέτρου, δηλαδή τών μέτρων τοϋ Radon, εrναι ότι οί χώροι συναρτήσεων, τιού τιαρουσιά~ονται στή Θεωρία Πιθανοτήτων (Στοχαστικές;; Διαδικασίες;;), δέν εrναι τοτιικώς;; συμτιαγεϊς;;. Τό μειονέκτημα αύτό, τιού τιαρουσία~ε ή δεύτερη αύτή μέθοδος;;, άνάγκασε τούς;; τιιθανοθεωρητικούς;; νά στραφοϋν κυρίως;; στή τιρώτη μέθοδο. Οί τιροστιάθειες;; των τιιθανοθεωρητικων γιά τή λύση των δύο κυρίως;; τιροβλημάτων τους;;, της;; ά σθενοϋς;; συγκλήσεως;; τιιθανοθεωρητικών μέτρων σέ τοτιολογι-
184 κούς χώρους [1], [9],[14] καί τοu όρισμοu πιθανοθεωρητικων μέτρων σέ χώρους συναρτήσεων [3],[4],[9],[13],εtχαν σάν ύποπροϊόν, μιά μεγάλη παραγωγή σέ άποτελέσμα.ταπάνω στή γενική τοπολογική θεωρία μέτρου [14], [9],[1], [7), [3), [4], [13]. 'Από τήν πλευρά τfiς δεύτερης; μεθόδου, ύπfίρεε πρόσφατα μιά πολύ σπουδαία έργασία τοu L.Schwartz [12],ή ό ποία ένωποιεί μέ άριστοτεχνικό τρόπο καί τούς δύο κύριους τρόπους κατασκευfjς μιας; θεωρίας μέτρου. ΆΕί~ει νά σημειωθfj, ότι είς τό [12] ύπάρχει μιά πρώτη διαπραγμάτευση της Θεωρίας; των Στοχαστικών Διαδικασιων,μέ τή χρήση τfjς Θεωρίας; των Κατηγοριών. Στή συνέχεια δέν θά άσχοληθοuμε τόσο μέ τήν τοπολογική Θεωρία μέτρου, όσο μέ τή σύγκριση καί τήν εϋρεση διαφορών καί όμοιοτήτων μεταςύ χώρων μέτρου καί τοπολογικων χώρων. Ή σύγκριση αύτή βασί~εται κυρίως στό βιβλίο [8], τό όποίο εtναι ή σύνθεση προσπαθειών των μεγαλυτέρων Μαθηματικών στίς τελευταίες 10 δεκαετίες. Ή σύνθεση αύτή θά βοηθήσει πολύ στήν κατανόηση τfjς φύσης; των τοπολογικων χώρων καθώς; καί των χώρων μέτρου,καίστήν παραπέρα άνάπτυςη τfjς μαθηματικfjς αύτfjς; δραστηριότητας;. 2. Σύγκριση χώρων μέτρου καί τοπολογικων χώρων. 2.1. Σύνολα πρώτης κατηγορίας Οί παρακάτω όρισμοί εrναι βασικοί γιά τήν άνάπτυςη τοο θέματος;. ΟΡΙΣΜΟΙ: 1) u Ενα σύνολο Α ~Χ ένός τοπολογ ι κοu χώρου Χ λέγεται πουθενά πυκνό στό Χ έάνν (Α) 0 = Φ, δηλαδή,
έάννα δέν περιέχει μή κενά άνοικτά σύνολα. 185 2) VΕνα σύνολο Α ~ Χ ένά~ τοπολ. χώρου Χ, λέγεται~ 00 τη~ κατηγορία~ έάν Α = [j Α η οπου Α ε r να ι Ε: να που&ενά n=1 η πυκνό σύνολο, διά κά&ε n=1,2,... "Αν Α δέν εrναι πρώτη~ κατηγορία~, τότε λέγεται δευτέρα~ κατηγορία~. 3) "Εστω J ς 2χ.Τότε J λέγεται ίδεατό (ideal),έάνν (i) Α Ε J & Β ς Α ==} Β Ε J ( ii) Α Ε J & Β Ε J ==? Α U Β E J (iii)(zj Ε J. Ή δυϊκή έννοια τοο ίδεατοϋ εrναι αύτή τοο Φίλτρου. "Αν :;-ς_ 2χ, τότε :F λέγεται φίλτρο, έάνν ι. ( i )* Α Ε ~ & Β 2 Α ==} Β Ε j" (ii)* Α Ε :f" & Β Ε!f" ==} Α n Β Ε j" (iii)*(zj ~ :F "Αν ή (ii) ίσχύει γιά άρι&μήσιμο πχη&ο~ συνόλων,τότε έ χουμε τήν έννοια τοϋ σ-ίδεατοϋ. Εύκολα τώρα άποδεικνύονται οί παρακάτω προτάσει~. Πρόταση 2.1. 1. 'Η κλάση~ 0 των που&ενά πυκνών συνόλων εrναι ενα ίδεατό. ; Πpόταση 2. 1. 2. Εστω J1 ή Κ λάση των συνόλων πρώτης κατηγορία~. Τότε ή J 1 εrναι έ:να σ-~δεατό Πρόταση 2.1.3. "Εστω Jfή κλάση των μ-μηδενικών συνόλων ένά~ πλήρου~ χώρου μέτρου (Ω,.i'ι, μ). Τότε ή Jfεrναι ενα σ-ίδεατό.
186 Οί έννοιες τοϋ μ-μηδενικοϋ συνόλου καί τοϋ συνόλου πρώτης κατηγορίας έκφρά!:ουν, σέ μιά πρώτη προσέγγ ι ση, καί κατά δύο ποιοτικά διαφορετικούg τρόπους, τήν έννοια τοϋ "μικροϋ" συνόλου. Ή ποιοτική διαφορά τfjς έννοίας τοϋ "μικροϋ", πού έκφρά!:ουν οί δύο παραπάνω έννοιες, άντιστοιχεϊ σέ μιά ποιοτική διαφορά μεταςύ των χώρων μέτρου καί των τοπολογικών χώρων. Γιά νά καταλάβουμε πόσο διαφορετική στήν ποιότητα μπορεϊ νά εrναι αύτή ή διαφορά, άρκεϊ νά δοϋμε ότι εrναι δυνατόν νά ύπάρςουν σύνολα πού νά εrναι "μικρά" κατά τή μία έννοια καί "μεγάλα"ήατά τήν άλλη. Τό παρακάτω σπουδαϊο &εώρημα, δείχνει άκριβώς αύτό καί συνδέει τίς δύο αύτές έννοιες στήν περίπτωση των πραγματικών άρι&μών. Θεώρημα 2.1.4. Οί πραγματικοί άρι&μοί m μποροϋν νά άναλυ&οϋν σέ δύο συμπληρωματικά σύνολα Α καί Β,τέτοια w στε, τό Α νά ε[ναι πρώτης κατηγορίας καί τό Β νά ε[ναι σύνολο μηδενικοϋ μέτρου. 'Απόδ. Βλέπε [8], σελ. 4 ΝΑσκηση. Σέ κά&ε μετρικό χώρο, ή κλάση όλων τωνααόλων πρώτης κατηγορίας εrναι ένας σ-δακτύλιος, ή δέ κλάση των συνόλων Α, γιά τά όποϊα ίσχύει, ότι, είτε Α, είτε Ac ε[ναι πρώτης κατηγορίας, άποτελεϊ μιά σ-άλγεβρα. Άπό τά παραπάνω παρατηροϋμε ότι οί έννοιες τοϋ μ-μτr δενικοϋ συνόλου καί τοϋ συνόλου πρώτης κατηγορίας,θά wrοροϋσαν νά ε[ναι δυϊκές σέ σχέση μέ τούς χώρους μέτρου Ήαί τούς τοπολογικούς χώρους άντίστοιχα. Στή συνέχεια θά δοϋμε ότι ύπάρχει ένας περισσότερο έκτεταμένος δυϊσμός μεταςύ χώρων μέτρου καί τοπολογικών χώρων.
187 Στό έπόμενο τμημα δά όρlσουμε μιά ίδιότητα ύποσυνόλων ένός τοπολογικοϋ χώρου, πού δά άποτελέσει μιά δυϊκη έννοια γιά τούς τοπολογικούς χώρους, της έννοίας των μετρησίμων συνόλων γιά χώρους μέτρου. 2.2. Ή ίδιότητα τοϋ Baire ΟΡΙΣΜΟΣ. VΕνα ύποσύνολο Α ένός τοπολογικοϋ χώρου Χ, έχει την ίδιότητα τοϋ Baire, έάνν μπορεϊ νά παρασταδη μέ τή μορφή Α = G Δ Ρ όπου G ε'ίναι ένα άνοικτό σύνολο καί Ρ ι ε{ναι πρώτης κατηγορίας.. Ισοδυνάμως, έά:νν Α = F Δ Q, όπου F ε{ναι ένα κλειστό σύνολο, καί Q ε{ναι πρώτης κατηγορίας. Θεώρημα 2.2.1. Ή κλάση των συνόλων, πού έχουν τήν ίδιότητα τοϋ Baire, ε[ναι μιά σ-dλγεβρα. Ε[ναι ~ σ-dλγε- ~ βρα πού παράγεται άπό τά άνοικτά σύνολα, μdζύ μέ τά σύνολα πρώτης κατηγορίας. Δηλαδή, dν $ ε[ναι ~ κλάση των - α συνόλων πού έχουν την ίδιότητα τοϋ Baire, τότε $ = σ{:f υ J } α 1 Απόδ. Βλ. [8], σελ. 19. --' ~ I ι Θεώρημα 2.2.2. Κάδε σύνολο δετικοϋ έεωτερικοϋ μέτρου, έχει ένα μή-μετρήσιμο ύποσύνολο. Κάδε σύνολο δευτέρας κατηγορίας έχει ένα ύποσύνολο, πού δέν έχει τήν ί- - διότητα τοϋ Baire. Άπόδ. Βλ. [8], σελ. 24, 2. 3. Συναρτήσει ς πρώτη ς κλάσεως ΟΡΙΣΜΟΣ. Μία συνάρτηση f ε[ναι πρώτης κλάσεως (τοϋ
188 Baire), έάvν μπορεί νά nαρασταθη σάν όριο μιας παντου συγκλίνουσας άκολουθίας συνεχών συναρτήσεων. Αν τώραf εtναι πρώτης κλάσεως διά κάθε η καί fη-+ f,μέ f όχι πρώτης κλάσεως, τότε ή f λέγεται δευτέρας κλάσεως, κ.ο.κ. η Παρατήρηση. Ύπάρχουν συναρτήσεις πού δέν άvήκουν σέ καμμιά κλάση του Baire. Παράδειγμα. Ή συνάρτηση του Dirichlet f(x) = { 1 ο άν χ ε ιq άν χ rf- ιq εtναι δευτέρας κλάσεως όπως φαίνεται καί άπό τόν παρακάτω τύπο. f (χ) lim m lim (cosm~ η πχ) 2η Θεώρημα 2.3.1. Αν ή συνάρτηση f εtναι πρώτης κλάσε~, τότε ή f εtναι συνεχής, έκτός ένδεχομένως έπί ένός συνόλου πρώτης κατηγορίας. Απόδ. Βλ. [a], σελ. 32. 2.4. Θεωρήματα τοϋ Lusiη καί του Eqoroff ΟΡΙΣΜΟΙ. "Εστω f: (JR,A) -+ (JR, $) μιά Α-$ μετρήσιμη συνάρτηση, όπου$ ~rναι ή σ-άλγεβρα τοϋ Borel. Αν Α =.Λ(,, όπου.λ(, ή σ-άλγεβρα τών. κατά Lebesque μετρησί μων συνόλων, τότε ή f λέγεται,_r;ebesque μετρήσιμη. Αν Α= = $, όπου$ ή σ-άλγεβρα των συνόλων, πού έχουν τήν ί- α α διότητα τοϋ Baire, τότε ή f θά λέγεται ότι έχει τήν ί- διότητα τοϋ Baire. Μέ άλλη διατύπωση,ή f θά λέγεται ότι έχει τήν ίδιότητα του Baire έcj:..n εtναι $ -$μετρήσιμη. α
189 Τό Θεώρημα τοϋ Lusin συσχετί~ει τήν έννοια "συνεχής; συνάρτηση".μέ τήν έννοια "μετρήσιμη συνάρτηση". Θεώρημα L.. 4. l (Lu'sin) Ή συνάρτηση f: (α, b] -+ ΊR ε ί ναι μετρήσιμη, έάvν, διά κάθε ε>ο, ύπάρχει ένα σύνολο Ε., '- μέ m(e) <ε, έτσι wστε ό περιορισμός; τfjς; f στό Ec νά είναι συνεχής; συνάρτηση. Μέ άλλα λόγια, ~ ύπάρχει συνεχής; συνάρτηση φ: (α, b]-+ ΊR έτσι wστε m { χ : f ( χ) rfφ (χ ) } < ε Τό άντ ίστο ι χ ο θεώρημα πού άναφέρεται στήν περί πτωση τfjς; κατηγορίας; τοϋ Βaire,είναι πιό ίκανοποιητικό καί πιό κομψό. Θεώρημα 2. 4. 2. Ή συνάρτηση f: (α, b] -+ ΊR έχε ι τήν ί διότητα τοϋ Baireι έάvν ύπάρχει ένα σύνολο Ρ πρώτης; κατηγορίας;, ~τσι ωστε ό περιορισμός; τfjς; f στό pc νά είναι συνεχής; συνάρτηση. Απόδ. Βλ. [8], σελ. 36. ΠαρΌλο πού τό Θεώρημα τοϋ Lusin έχει ένα πολύ ί κανοποιητικό άντίστοιχο, τό Θεώρημα τοϋ Egoroff δέν ί σχύει στήν άντίστοιχη περίπτωση τfjς; κατηγορίας; τοϋ Baire. Γιά ένα άντιπαράδειγμα βλέπε [8], σελ. 38. 2.5. Μετασχηματισμός; συνόλων πρώτης; κατηγορίας; σέ μηδενικά σύνολα Ί ι Η ~ {h:i -+ Ilh είναι ένας; αύτομορφισμός;, πού έχει σταθερά σημεϊα τό Ο καί 1, οπου Ι= [Ο, l] } Τότε έχουμε τό άκόλουθο σnουδαϊο θεώρημα.
190 Θεώρημα 2. 5. 1. Διά κά{jε ύnοσύνολό Α ς_ [ο, 1] πρώτης; κατηγορίας;, ύπάρχει h Ε Η, έτσι ώστε h(a} νά εrναι ένα μηδενικό σύνολο. Τό σύνολο τών τέτοιων h ε Η ε[ναι πυκνό είς; τό Η; ώς; πρός; τό μετρικό χώρο (Η,ρ) όπου ρ(g,h)= max \g (χ) -h (χ)\ Απόδ. Βλ. [8], σελ. 50. Τό έπόμενο {Jεώρημα χαρακτηρί~ει τά σύνολα ήρώ~ης; κατηγορίας;, σάν αύτά, πού τοπολογικά εrναι ίσοδύναμα,μέ ένα είδικό ε[δος; μηδενικών συνόλων. Θεώρημα 2.5.2. Τό σύνολο Ας :rn. ε[ναι πρώτης; κατηγορίας;, έάvν ύπάρχει ένας; όμοιομορφισμός; h::ffi.-+m, έτσι ώ στε h(a) νά περιέχεται σ'ένα ~ μηδενικό σύνολο. σ Απόδ. Βλ. [8],σελ. 51. 3. Ή Άρχή της δυαδικότητας Μέχρι τώρα παρατηρήσαμε μιά καταπληκτική άντιστοιχία μεταεύ χώρων μέτρου καί τοπολογικών χώρων. Τό έρώτημα πού δημιουργείται άμέσως; ε[ναι κατά πόσο μποροϋμε, τήν άντιστοιχία αύτή, νά τήν έπεκτείνουμε σέ μιά άρχή δυαδικότητας; μεταεύ μέτρου καί κατηγορίας; τοϋ Baire. Ή άπάντηση ε[ναι καταφατική ώς; ένα ένα σημείο καί - δίδεται μέσω τοϋ Θεωρήματος; δυαδικότητας; των Sierpinski Erdos. Πρίν ό~ς; προχωρήσουμε στή διατύπωση της; άρχ~ς; της; δυαδικότητας;, {Jά ~ταν έποικοδομητικό, άν άνακεφαλαιώναμε τίς; όμοιότητες; καί τίς; διαφορές; πού γνωρί~ουμε.
χωροι Μέτρου (πλήρεις:) Τοnολογικοί χωροι 191 (i) σ-ιδεατό των συνόλων μέ- (i)* τρου μηδενός:. (ii) σύνολα δετικοϋ μέτρου. (iii)σ-άλγεβρα μων των συνόλων. σ-ιδεατό των συνόλων nρώτης κατηγορίας:. έ!;ωτερικοu ' ( ii)* σύνολα δευτέρας: κατηγορίας;. μ-μετρησί- (iii) σ-άλγεβρα των συνόλων nού έχουν τήν ι διότητα τοϋ Baire. (iv) Μετρήσιμες: συναρτήσεις; (iv)* συναρτήσεις; μέ τήν ι διότητα τοu Baire. (v) (vi) (vii) Θεώρημα τοϋ Lusin. Η σνν- (v)* αρτηση f:[a,b] ~ m εrναι μετρήσιμη tάνν (έάν καί μόνον έάν) διά κάδε ε>ο ύπάρχει ένα σύνολο Ε, μέ μ(ε) < ε,έτσι ωστε fiec νά εrναι συνεχής:. Θεωρημα Fubini. Η Αν Ε ~ JR 2, (vl' >* μέτρου μηδενός;,τότε η τομή τοu Ε στό χ Ε χ ={y: (χ,y)εε} εrναι ένα μηδενικό ύποσύνολο τfjς; ΊR, γ ιά ολα τά χ έκτός; ένό~ συνόλου μέτρου μηδενός;. - Θεώρημα(Sierpinski,1924). Κάδε ύποσύνολο Ες:ΊR δετικοu έ!;ωτερικοu μέτρου ε- χει ένα ύποσύνολο Ν,πληδικοϋ άριδμοϋ c, έτσι ώ:πε, κάδt μή-άριδ~ήσιμο ύποσύνολο τοο Ν έχει δετικό έ!;ωτερικό μέτρο. (vii)* (viii) Θεώρημα. Ύπάρχε ι μιά 1-1 (viii)* άντιστοιχία f:m~:m. έτσι ωστε, f(ε)έχει δετικό έ!;ωτερικό μέτρο, όποτεδήποτε Ε εrναι μή-άριδμήσιμο. Η σύνάρτηση f :[a, b]~ :IR έχε ι τήν ιδιότητα τοϋ Baire ~ ύπάρχει έ να σύνολο Ρ, τq:ώτης; κατηγgρίας;, έτσι ωστε fip νά εrναι συνεχή;;. Θεώρημα Kuvatowski Ulam. ΗΑν E!OiR2 ε(ναι ενα σύνολο πρώτης; κατηγορίας; τότε Ε εrναι ένα ύποσύνο~ο τfiς: ΊRπρώτης; κατηγορίας: γ ιά ολα τά χ, έκτός; έ νός; συνόλου πρώτης: κατηγορίας;. Θεώρημα(Lusiη, 914). Καδε ύποσυνολο ΕΠR., δευτέρας; κατηγορίας; έχει ένα ύποσύνολο ~ πληδικοϋ άριδμοϋ c, έτσι ωστε, κάδε μήάριδμήσιμο ύποσύνολο τοu Ν εrναι δευτέρας; κατηγορίας;. Θεώρημα. Υπάρχει μιά 1-1 άντισrοιχία f :R+JR ~τσι ωστε f(e) εrναι δευτέρας: κατηγορίας: όποτεδήποτε Ε εrναι μή-άριδμήσιμο.
192 (ix) Θεώρημα. ΗΕστω E9R. Η Αν (ix)* θεώρημα. "Εστω Ε~. κάδε ύποσύνολο τοu Ε.ε Ι ναι μετρήσιμο, τότε τό Ε έχει μέτρο μηδέν. ΗΑν κάδε ύποσύνολο τοu Ε, έχε~ τήν t διότητα τοu Baire, τότε τό Ε ειναι ~ της κατηγορίας. Οί δύο κλάσεις των σ-ίδεατων, των μηδενικών Όυνόλων καί των συνόλων πρώτης κατηγορίας, έχουν καί άλλες όμοιότητες; καί διαφορές. Όμοιότητες;. (i) Καί οί δύο κλάσεις περιέχουν όλα τά άριδμήσιμα σύνολα. (ii)περιέχουν μερικά σύνολα πληδικοu άριδμοu c. (iii)ηεχουν πληδικό άριδμό 2c (άντίδετα άπό τό ο-ίδεατό των άριδμησίμων συνόλων πού έχει πληδικό ά ριμό c). (iv) Καμμιa κλάση δέν περιέχει διαστήματα. (ν) Τό συμπλήρωμα κάδε συνόλου, τ~ς; μιάς; η της άλλης κλάσεως εrναι πυκνό στόm. (vi) Καί οί δύο κλάσεις εrνά.ι άναλλοίωτες; ώς; πρός; τή μεταφορά. (vii) Κάδε στοιχείο καί των δύο κλάσεων, περιέχεται σ Ενα σύνολο τοu Borel της αύτης; κλάσεως. (iix) Τό συμπλήρωμα κ?-δε μηδεν ι κοu σύνόλου (συνόλου πρώτης κατηγορίας} περιέχει ενα μηδενικό σύνολο (σύνολο πρώτης κατηγορίας) nληδικοu άριδμοu c. Διeiφ<?ρές. (i) Καμμιά άπό τίς κλάσεις δέν rιεριέχει τήν άλλη. (ii) Κάδε μηδενικό σύνολο περιέχεται σ ~να Gδ μηδενι-
193 κό σύνολο, ένω κάθε σύνολο πρώτη~ κατηγορία~ περι.έχεται σ'έ:να Fσ σύνολο πρώτη~ κατηγορία~. (iii) Οί πραγματικοί άριθμοί μποροϋν νά άναλυθοϋν σέ δύο συμπληρωματικά σύνολα" ενα πρώrη~ κατηγορία~ καί ενα μέτρου μηδενό~. Ό Sierpinski, όρμώμενο~ άπ'τί~ παραπάνω όμοιότητε~, άπέδειεε τό 1934 έ:να θεώρημα, τό όποίο ίσχυροποίησε άκόμη περισσότερο τό 1943 ό Erdos. θεώρημα 3.1. (Sierpinski-Erdos).Μέ τήν παραδοχή τ~~ ύποθέσεω~ τοο συνεχοο~, ύπάρχει μιά 1-1 άντιστοιχία f:r-+ JR τέτοια ώστε, (i) f (ii) f(e) εrναι έ:να μηδενικό σύνολο ~Ε εrναι πρώτη~ κατηγορί α~. ('Από τί~ ίδιότητε~ επεται έπίση~ ότι f(e) εrναι πρώτη~ κατηγορία~~ Ε εrναι μηδενικό σύνολο). 'Απόδ. Βλ. [8] σελ. 74-77. Ή σπουδαιότητα τοϋ παραπάνω Θεωρήματα~ εrναι στό ό τι άποκαλύπτει μιά πολύ ένδιαφέρουσα άρχή δυαδικότητα~μεταεύ των χώρων μέτρου καί των τοπολογικων χώρων. Ή άρχή αύτή διατυπώνεται ώ~ έε~~: 'Αρχή τ~~ δυαδικότητα~ (Duality Principle). -Εστω Ρ μιά τυχοοσα πρόταση, πού περιέχει μόνον τί~ ~ννοιε~ "σύνολο μέτρου μηδενό~", "σύνολο πρώτη~ κατηγορία~" καί έν- * νοιε~ καθαρά συνολοθεωρητικέ~. -Εστω Ρ ή πρόταση,πού προκύπτει άπ'τήν Ρ, άν έναλλάεουμε τί~ ~ννοιε~ "σύνολο μέτρου μηδενό~" και "σύνολο πρώτη~ κατηγορία~" όποτεδήποτε έμφανί~ονται. Τότε ύποθέτοντε~ τήν ύπόθεση τοϋ συνεχοϋ~, οί προτάσει~ Ρ καί Ρ * εrναι ίσοδύναμε~, δηλαδή: Ρ * #Ρ. 13
194 Στή συνέχεια θά δώσουμε μεpικά παραδείγματα της άρχης της δυαδικότητας, ή άπόδειεη των όποίων (Βλ. Wl σελ. 78-81) προϋποθέτει τήν ύπόθεση τοο συνεχοος. * (i) Κάθε ύποσύνολο Ε ~JΒ.,δευ- (i). Κάθε ύποσύνολο Ε ~IR τέρας κατηγορίας!χει ένα ύ- θετικοο έεωτερικοο μέτρου! ποσύνολο Ν, πληθικοο άριθμοο χει ένα ύποσύνολο Ν, πληθιc, έτσι ωστε κάθε μή-άριθμή- κοο άριθμοο c, έτσι ωστε,κάσιμο ύποσύνολο τοο Ν εrναι θε μή-άριθμήσιμο ύποσύνολο δευτέρας κατηγορίας. (Lusin, τοο Ν!χει θετικό έεωτερικό 1914). μέτρο. (Sierpinski 1924). * (ii). Ύπάρχει μιά 1-1 άντι...,. (ii) Ύπάρχει μιά 1-1 άντιστοιχία f:jr-+jr, έτσι ωστε στοιχία f:jr-+jr, έτσι ωστε, f(e) εrναι δευτέρας κατηγο- f(e) έχει θετικό έεωτερικό ρίας, όποτεδήποτε Ε εrναι μ' μέτρο, όποτεδήποτε Ε εrναι άριθμήσιμο. μή-άριθμήσιμο. * (iii). Κάθε ύποσύνολο Ει;;. JR, (iii) :&ίθε ύnοσύνολο Ε ~IR, θεδευτέρας κατηγορίας περιέχει τικοο έεωτερικοο μέτρου πεc, Εένα μεταεύ τους ύποσύνο- ριέχει c~ Εένα μεταεύ τους λα δευτέρας κατηγορίας. ύποσύνολα θετικοο έεωτερικοο μέτρου. 'Από όλα τά παραπάνω φαίνεται ότι οί έννοιες, "σύνολο πρώτης κατηγορίας" καί "σύνολο μέτρου μηδενός" εrναι δυϊκές έννοιες. Τό έρώτημα πού δημιουργείται τώρα εrναι κατά πόσο οί έννοιεςτfjς "ίδιότητας τόο Baire" καί τfjς μετρησιμότητας" θά μποροοσαν νά εrναι δυ ίκές!ννοιες σέ μιά έπεκτεταμένη άρχή δυαδικότητας. περιπτώσεις πού συμβαίνει αύτό, ύπάρχουν, όπως π.χ. ή παρακάτω: (iv)ηεστω Ες:m.RΑν κάθείπτοού-\(iv)* RΕστω Ε ςr. Αν κάθε νολο τοϋ Ε ~χει τήν ί~ ύποσύνολο τοο Ε εrναι με-
195 διότητα του Βaire,τότε τό Ε ι τρήσιμο, τότε τό Ε ε"χει μέεrναι πρώτης κατηγορίας. τρο μηδέν. Ή έπεκτεταμένη άρχή της δυαδικότητας θά όφειλε νά στηρί6εται έπί της παρακάτω προτάσεως. "Ύπάρχει μιά 1-1 άντιστοιχία f: ΊR -+ΊR, τέτοια wστε f(e) εrναι μετρήσιμο, έάνν τό Ε έχει τήν ίδιότητατουβaire καί έτσι wστε f (Ε) εrναι μηδενικό σύνολο έάvν Ε εrναι τrρ:.& της κατηγορίας". Τέτοια ομως πρόταση, γιά τήν περίπτωση των πραγματικών άριθμwν, άποδεικνύεται (Szpilrajn, Fund.Math. 22, 303-311,1934) οτι ε[ναι άδύνατη. Ή άπόδειςη στηρί6εται, κυρίως, στήν ϋπαρςη της άναλύσεως του Θεωρήματος 2.1.4. ΠαρΌλα αύτά ύπάρχει πάντοτε ή δυνατότητα σέ γενικώτερους τοπολ. χώρους νά μπορεί νά καταqκευασθη μιά τέτοια άντιστοιχία καί έπομένως νά εrναι άδύνατη ή άνάλυση σέ δύο συμπληρωματικά σύνολα, πού τό ενα νά εrναι μηδενικό σύνολο καί τό άλλο νά εrναι πρώτης κατηγορίας. n:ι:χlγματι ύπάρχουν τέτοιοι τοπολογικοί χώροι άλλά έχουν παράςενες τοπολογικές ίδιότητες. Άςί6ει νά σημειωθη οτι εrναι ~να άνοικτό πρόβλημα ή άνακάλυψη ένός κριτηρίου, πού κάτω άπό δοσμένες τοπολογικές συνθηκες, θά μάς έπέτρεπε νά άναγνωρί6ουμε πότε ενα θεώρημα μέτρου έχει ενα ίσχυον κατηγορικό άντίστοιχο καί άντίστροφα. ΠαρΌλο δτι ή έπεκτεταμένη άρχή της δυαδικότητας δέν ίσχύει γενικά,μπορεί πολλές φορές νά γίνει όδηγός γιά τήν άνακάλυψη κα~ ~πόδειςη καινούργιων άποτελεσμάτω~ Μιά τέτοια πρόταση, πού άνακαλύφθηκε μέ τόν τρόπο αύτό, εrναι καί τό άνάλογο του 0-1 νόμου του Kolmogorov. Γιά τή διατύπωση της προτάσεως αύτης, χρεια6όμαστε τήν έν-
196 νοια τοο "συνόλου οορdς" (tail set). ''Εστω {Χη fη=l μιά άκολου&ία τυχαίων μεταβλητών οπου Χη: (Ω, Α,Ρ) - (IR,$,Pxn), η=l,2,... ΗΕστω έπίσης σ{χ 1, Χη} ή έλαχίστη σ-άλγεβρα πού περιέχει τήν κλάση των συνόλων C=_{Χη (Β): Βε$, η=l, 2,... η}. Τότε σ{χ 1,,Χη} ς_ Α, σ{χ 1,...,Χik}ς σ{χ 1,.,Χη},διάΉά.- &ε ύπόσύνολο δεικτών (11,i~,... ik) ς (1,2,... η), καί ε- χουμε άκόμη Ή σ-άλγεβρα ~ καλείται σ-άλγεβρα ούρdς. Τάσύνο.λα τf'jς ~ λέγονται σύνολα ούρdς. ΜnοροΟμε τώρα νά διατυπώσουμε τ(ς άνάλογες προτάσεις τοο 0-1 νόμου τοο Kolmogorov. (v}αν Εε~,τότε fi Ρ(Ε)=Ο fip(e)= (vj ΗΑν Εε5"' καίε έχει τήν ίδιότητα τοο Βaire,τότε τό E 1 fi εrναι πρώτης κατηγορίάς1fi εrναι ύπόλοιπο σύνολο (residual set),δηλαδή εrναι τό συμπλήρωμα tνός συνόλου πρώτης κατηγορίας. ΠαρΌλο πού ό 0-1 νόμος ίσχύει καί στίς δύο περιπτ~ σεις. τό τοπολογικό άνάλογο τοο ίσχυροϋ νόμου των μεγάλων άρι&μών δέν ίσχύει, βλέπε[8], σελ. 85. Στή συνέχεια &ά έξετάσουμε τό πρόβλημα τf'jς εύρέσεως τοπολογιών, γιά τίς όποϊες ή έπεκτεταμένη άρχή τf'jς δυαδικότητας ίσχύει.
197 4. κατηγορικοί χωροι μέτρου καί τοπολογίες; πυκνότητας; Τό πρόβλημα πού δά έξετάσουμε στή συνέχεια; είναι: Δοθέντος; ένός; πλήρους; χώροu μέτρου, είναι δυνατόν νά ό ρίσουμε μιά τοπολογία έπί τοϋ βασικοϋ συνό~ου ~τσι ωστε νά ίσχύει ή άρχή της; έπεκτεταμένης; δυαδικότητας;; Γιά τό σκοπό αύτό θά όρίσουμε πρωτα, τούς; κατηγορικούς; χώρους; μέτρου. ΟΡΙΣΜΟΣ. Εστω Χ είναι ενας; τοπολογικός; χwρος; καί μ ενα πεπερασμένο μέτρο ώρισμένο πάνω στή σ-άλγεβρα $α' των συνόλων, πού fχουν τήν ίδιότητα τοϋ Baire. Aν μ(ε)= =Ο, tάνν Ε είναι πρώτης; κατηγορίας;, τότε ό (Χ,$,μ) λέα γεται κατηγορικός; χωρος; μέτρου καί τό μ κατηγορικό μέτρο. Μερικές; ίδιότητες; των κατηγορικων χώρων μέτρου~ήν περίπτωση των όμαλων (regular) τοπολ. χώρων, είναι καί οί παρακάτω: Πρόταση 4.1. Εστω μ Ενα κατηγορικό μέτρο σ εναν ό μαλό χwρο τοϋ Baire Χ. Γιά κάδε άνοικτό σύνολοg καίε > Ο, ύπάρχει Ενα κλειστό σύνολο F,τέτοιο ωστε F c G καί μ(f)> > μ(g)-ε,καί γιά κάθε κλειστό σύνολο F ύπάρχει ενα ά νοικτό σύνολο G τέτοιο ωστε F c G καί μ(g)< μ(f) +ε. Άπόδ. Βλ. [ 8] σελ. 8 6. Πρόταση 4.2. Αν Χ είναι έ:νας; όμαλός; χ(j)ρος;_ τοϋβaire καί μ είναι ενα κατηγορικό μέτρο έπί τοϋ Χ, τότε κάδε σύνολο πρώτης; κατηγορίας; στό Χ είναι πουδενά πυκνό. Απόδ. Βλ. [8], σελ. 87. Πρόταση 4.3. Αν μ είναι έ:να κατηγορικό μέτρο, έπί
19 8 ένός όμαλοϋ χώρου τοϋ Baire Χ, τότε γ ιά κά-θε σύνολο Ε μέ τήν ίδιότητα τοϋ Baire, ~χουμε καί μ(ε) μ(ε) = c-c μ(ε) = μ(ε ) inf{l-(g): Ε c G, G άνοικτό} { sup{μ(f): Ε=> F, F κλειστό} Απόδ. Ελ. [ 8], σελ. 8 7. ΕΙναι φανερό, ότι γιά τούς κατηγορικούς χώρους μέτρου, ή έπεκτεταμένη άρχή της δυαδικότητας όχι μόνον ί σχύει, άλλά εtναι μιά ταυτολογία: Ύπάρχει όμως τό πρόβλημα τ~ς ύπάρ~εως τwν κατηγορικών χώρων μέτρου. Τό πρόβλημα αύtό εtναι ίσοδύναμο μέ τήν ϋπαρςη μιάς τοπολογίας, ώς πρός τήν όποία, τό δοσμένο πεπερασμένο καί πληρες μέτροι γίνεται ~να κατηγορικό μέτρο. Τέτοιες τοπολογίες όρί~ονται μέ τή βοή-θεια των κάτω πυκνοτήτων. ΟΡ~ΣΜΟΣ. Δο-θέντος ένός πλήρους καί πεπερασμένου χώρου μέτρου (Χ,Α,μ) ή συνάρτηση Φ: Α -+Α -θά καλείται κάτω πυκνότητα, ~. (i) Φ(Α) ""Α, όπου Α"-'Β σημαίνει ότι μ(αδβ) = μ [<Α-Β) υ (B- A)l = Ο (ii) Α"' Β=?Φ(Α) = Φ{Β) ( iii) Φ ( Φ) = \(j ι Φ (Χ) = Χ (iv) Φ (Α n Β) = Φ (Α) n Φ (Β) (v) Α ς Β :=:::} Φ (Α) ς Φ (Β) 'Άν τώρα.ν'παριστάνει τήν κλάση των μ-μηδενικών συνόλων, τότε ή τοπολογία πυκνότητας, ώς πρός τήν Φ,όρί~ε -
199 ται wς ~ ={Φ(Α) -Ν: Α Ε Α 1 Ν Ε.Ν'} τι Πρόταση 4.4. ~ εrναι μιά τοτιολογία. τι Άτιόδ. Βλ. [8], σελ. 88. Μέ τόν τρότιο αύτό, τό τιρόβλημα ύτιάρςεως μιάς τοτιολογίας, ώς τιρός τήν ότιοία ενας δοσμένος τιλήρης καί τιετιερασμένος χώρος μέτρου γίνεται κατηγορικός, μετατοτιί ~εται στό τιρόβλημα ύτιάρςεως μιάς κάτω τιυκνότητας."η ϋ τιαρςη αύτή ομως άτιοτελεϊ τό θεώρημα τών von Newmann καί Maharam. Θεώρημα 4.5. (von Newmann - Maharam). Δοθέντος έ νός τιλήρους καί τιετιερασμένου χώρου μέτρου, ύτιάρχει μιά κάτω τιυκνότητα. Ατιόδ. Βλ. [6], chap. IV. Μερικές ίδιότητες της τοτιολογίας τιυκνότητας εrναι: ναι Πρόταση 4.6. uενα σύνολο Ν~ Χ εrναι τιουθενά τιυκνό τιρός. τήν ~ ι έάνν Ν Ε..Ν'. Κάθε τιουθενά τιυκνό σύνολο ε r τι κλειστό. 'Ατιόδ. Βλ. [8] ι σελ. 89. Πρόταση 4.7. uενα σύyολο Α ~ χ fχει τήν ίδιότητα τοό Baire έάνν Α Ε J{;. 'Ατιόδ. Βλ [8] ι σελ. 89. Οί τοτιολογίες τιυκνότητας έχουν είδικά μελετηθη στό [6], κεφ. 5. Στήν τιερίτιτωdη των τιετιερασμένων Εύκλειδίων χώρων ή τοτιολογία τιυκνότητας καί άλλες σχετικές τοπολογίες καί τιροβλήματα, έχουν μελετηθη στίς τιαρακάτω τρεϊς έργασίες:
200 l) c. Goffmaη aηd D. Watermaη: Approximately coηtiηuous traηsformatioηs. Proc. of AMS, 12, (1961). 2) C. Goffmaη, C.J. Neugebauer, Τ. Nishiura: Deηsity topology aηd approximate coηtiηuity. Duke Math. J. 28, 497-505 (1961). 3) S. Scheiηberg.Topologies which geηerate a complete measure Algebra. Advaηces iη Math., 7, 231-239 ( 1971). Τά κύρια σημεία των παραπάνω έργασιων εrναι τά παρακάτω. η η ΗΕστω (JR, $,m) ό χώρος; μέτρου τοϋ Lebesque.. Τότε ή κάτω μετρική πυκνότητα τοϋ Lebesgue τοϋ συνόλου Β ε$η στό σημείο p όρί~εται ώς; Q(p;B) ορσ lim η-+οο. f{m(b n Q) l~ m (Q) 1 m Q < n' Ρ ε Q} άντιστοίχως; ή άνω μετρική πυκνότητα τοϋ Lebesgue τοϋ συνόλου Β ε $ η στό ση με ίο p όρί ζε ται. ώς; D(p;B) οοσ lim sup{rn (Β n Q) m Q < 1 p ε Q} Q m (Q), n' Η Αν D(p,B) = D (p;b) D(p;B), τότε, ή κοινή τιμή D(p;B) λέγεται μετρίκή πυκνότητα τοϋ Lebesgue τοϋ συνόλου Β στό σημείο p. ΗΑν Β ε $ η, χ ε JR.η καί D(x,B) ύπάρχει καί ίωuται μέ 1 τότε λέμε, οτι τό σύνολο Β έχει πυκνότητα l στό χ. Όρί~ουμε τώρα τή συνάρτηση Φ: $η -+ $η
201 Φ (Β) ={χ ε :IRn :D (.χ; Bl ύπάρ_χε ι. καί =.1} 'Η συνάρτηση Φ λέγεται κάτω πυκνότητα τσg Lebesg:ue. Πρόταση 4. 8. Ή Φ είναι μιά κάτω πυκνότητα. Άπόδ. Βλ. [8], σελ. 16-18. Έκτός άπό τόν όρισμό, πού δόσαμε γιά τίς τοπολογίες πυκνότητας, ή τοπολογία, πού άντιστοιχει στήν ~πυκνότητα, θά μποροϋσε νά όρισθή καί ώς εςης: ΟΡΙΣΜΟΣ. ΝΕστω Α ε :IRn, τότε Α ε ~ έάνν Α ε Α καί D(x,A)= 1,χεΑ.'Επομένως ή π f. περιέχει ολα τά τυπικά ά π νοικτά σύνολα. Είναι δυνατόν νά δειχθη οτι ή~ είναι πλήπ ρως όμαλή (cornpletely regular) άλλά δέν είναι κανονική, (Norrnal). Άκόμα, μπορει νά δειχθή, οτι τά σύνολα τοϋβοr~l, ώς πρός τήν Τ, είναι άκριβwς τά κατά Lebesaue μεπ τρήσιμα σύνολα. Μέ τήν τοπολογία ~π' τό μέτρο τοϋ Lebesque σέ πεπερασμέν?υς χώρους γίνεται ενα κατηγορικό μέτρο. Μιά άλλη έννοια πού είναι στενά συσχετισμένη μέ τήν τοπολογία πυκνότητας ~π' είναι καί ή έννοια των προσεγγιστικά συνεχών συναρτήσεων (approxirnately continuous functions). Ιο, ά fn v... v ΟΡ ΣΜ Σ. Μια συν ρτηση ::IR +Χ, οπου Χ ε ι ναι EνC1b τοnολογικός χώρος, θά λέγεται προσεγγιστικά συνεχής στό σημειο p, ~ γιά κάθε άνοικτό σύνολο G πού περιέχει τό f(p), τό σύνολο f- 1 (G)έχει μετρική πυκνότητα 1 στό p,δη- -1 λαδή D ( p ; f ( G) ) = 1 l άν χ ε Q Γιά παράδειγμα, ή συνάρτηση f(x) = { 0 είάν χ</; Q ναι παντοϋ άσυνεχής, άλλά είναι προσεγγιστικά συνεχής
σέ κάθε Ο.ρρητο, Είνα~ έn~σης;, γν<;>στή_ καc ή παρακάτω πp9- ταση. Πρόταση 4. 9. Ή άναγκαία χσ,ί ίχανή συνθήκη Ύ ιό. μι Ο. συνάρτηση f έπί τοϋ JRn νά είναι μετρήσιμη εrναι νa είναι προσεγγιστικό. συνεχής σ.π. Είναι δυνατόν νά δειχθη ότι οί προσεγγιστικό. συνεχείς συναρτήσεις είναι συνεχείς ώς πρός τήν τοπολογίαnυκνότητας. Δυό Ο.λλες τοπολογίες πού σχετί~ονται μέ τήν τοπολογία πυκνότητας είναι καί οί άκόλουθες. ΟΡΙΣΜΟΣ. Α ε~' έάνν Α ίσοϋται μέ έ:να τυπικό άνοικτό σύνολο μείον ενα σύνολο μέτρου μηδενός. Καί στήν τοπολογία ~ -rά ~ -Borel σύνολα έ:ίναι τά κατά Lebesque μετρήσιμα σύνολα. Ή δεύτερη τοπολογία πού συνδέεται περισσότερο μέτήν τοπολογία πυκνότητας, είναι ή Ο-τοπολογία, πού παράγεται μέ μιά maximal έπέκταση της ~π-τοπολογίας. Ή Ο-τοπολογία έχει τήν ίδιότητα, ότι κάθε φραγμένη μετρήσιμη συνάρτηση ίσοϋται σ.π. μέ μιά μοναδικά άvτιστοιχοϋσα U-συνεχη συνάρτηση. Ή έπέκταση, μέ τήν όποία παρaγεται ή u, έχει ώς έ Εης: ΝΕστω ~Ο ή κλaση όλων των μετρησίμων συνόλων Β πού έχουν πυκνότητα D(O,B)=l στό σημείο ο. Τό ~Ο είναι ενα φίλτρο στήν κλaσηjι όλων των μετρησίμων συνόλων τοϋ JR, 'Επεκτείνουμε τό :;- 0 σ'ένα ύπερφίλτρο'u, 0 στό Jι (ύποτίθεται ότι ίσχύε ι τό Λημμα τοϋ Zorn). Tό'LL 0 έχε ι τ ίς '"lταρακάτω ίδιότητες;
203 (ii} ~Αν Β ε.λί τότε ή τό Β ή τό Bc (ό,λλα όχι χαί τά δυό) ό,νήχουν στό 'll 0 (iii) Α, Β ε '\1 0 ==}Α n Β ε'll 0 (iv) "Αν Α ε 'LL 0 χαί Β ε.λί μέ Β2Α τότε Βε'\1 0 (ν) "Αν Α ε.λ(, χαί D(O,A)=l τότε Αε'\1.~ Αν δέ D(O,A) = O 0 τότε Α jt'\1 0 (vi) "Αν Β ε.λί χαί Β n Α =f (β, \;j Αε'\1 τότε Β ε 'll ο ο "Εστω τώρα'\1t ή μεταφορά χατά t του '\1 0 Τότε χ ή Μέ ΟΡΙΣΜΟΣ. Θά λέμε ότι τό σύνολο G εrναι μιά υ-τιεριοτου t έάνν I το G τιεριέχει I το t χαί χάτιοιο μέλος: του 'LLt. τόν τ ρ ότι ο αύτό οί, τιεριοχές: του t όρίk:ουν χαί τήν το- τιολογία υ. Μεριχές: ίδιότητες: της: τοτιολογίας: εrναι: Τά υ- Βοrel σύνολα εrναι άκριβώς: τά χατά Lebesque μετρήσιμα σύνολα. Ή τοτιολογία υ εrναι τιλήρως: όμαλή. 'Αναχεφαλαιώνον τας: λοιτιόν, είδαμε ότι ή διαδιχασία γιά νά χάνουμε ένα τιετιερασμένο χαί τιλήρη χώρο μέτρου (Χ, Α,μ), χατηyοριχό χώρο μέτρου εrναι ή τιαραχάτω. (i) Βρίσκουμε μιά συνάρτηση Φ: Jί -+ Α τιού νά εrναι τιι.rκνότητα. (Τέτοια συνάρτηση ύπάρχει πάντοτε άπό τό Θεώρημα τών Von Newmann-Maharam). (ii) Βρίσκουμε μιά κατάλληλη ύτιοκλάση των μ- μηδενικών συνόλων Jfπού ~ά παίεει τό ρόλο των τιου~ενά τιυκνων κλειστών συνόλων (π.χ. μπορουμε νά πάρουμε τό ίδιο τόjf). (iii) Όρίk:ουμε τήν τοπολογία πυκνότητας: ώς: ~ = { Φ (Α) - Ν : Α ε Jί, Ν ε Jf} τι
204 \ ΒΑΣΙΚΗ ΒΙΒΔΙΟΓΡΑΦΙΑ [ 1 ] Ρ. Billingsley: Convergence of Probabillty measures. Wiley, 1968. [ 2] J.P.R. Christensen: Topology and Borel structure. North-Holland, 1974. [ 3 ] J. L. Doob: Stochastic processes. Wiley. [4] Ι.Ι Gihman-A. V. Skorohod: The Theory of Stochastic Processes, vol. Ι. springer 1974. [s] Hoffmann-Jorgensen: The Theory of Analytic Spaces, Various Publications series no. 10, Matematisk Institut,Adrthus Univer., 1970. [6] Α. & C., Ionescu-Tulcea: Topics in the Theory of lifting, Springer, 1969. [7] Ρ.Α. Meyer: Probability and Potentials. Blaisdell, 1966. [*s] J.C. Oxtoby: Measure and Category. Springer,1971. [9] Κ. R. Parthasarathy: Probability measures on Metric spaces. Academic press. 1967. J. Pfanzagl - W.Pierlo: Compact systems of sets. Springer 1966. [ 11 ] [*12] [13] C.A. Rogers: Hausdorff Heasures. Cambridge, 1970. L. Schwartz: Radon Measures on Arbitrary Topologi- 1 cal Spaces and Cylidrical Medsures. Oxford, 1973. A.V. Skorohod; Integration in Hilbest space. Sprlir ger, :1974. F. Topsoe: Topology and Measure. Springer, 1970.