1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει η Κινηµατική η οποία περιγράφει τις κινήσεις των σωµάτων. Στο κεφάλαιο αυτό θα µελετήσουµε την ευθύγραµµη κίνηση, δηλαδή την κίνηση που γίνεται σε ευθεία γραµµή. Θα αναζητήσουµε τις σχέσεις µεταξύ ταχύτητας - χρόνου και θέσης - χρόνου, ώστε να µπορούµε σε κάθε χρονική στιγµή να προσδιορίζουµε τη θέση και την ταχύτητα ενός κινητού. Έτσι θα αποκτήσουµε τη δυνατότητα να απαντάµε σε ερωτήµατα που εµφανίζονται στην καθηµερινή µας ζωή και έχουν σχέση µε την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη θέση ή το χρόνο κίνησης ενός κινητού. 1.1.1 Ύλη και κίνηση Μια χαρακτηριστική ιδιότητα της ύλης είναι η κίνηση. Τόσο στα µικροσκοπικά σωµάτια (στο µικρόκοσµο), όσο και στα σώµατα αισθητών διαστάσεων (στο µακρόκοσµο). Τα άτοµα του ακίνητου βιβλίου που έχετε µπροστά σας ταλαντώνονται γύρω από µια θέση ισορροπίας. Τα στοιχειώδη σωµάτια από τα οποία αποτελείται το άτοµο (ηλεκτρόνια, πρωτόνια κ.α.) κινούνται κι αυτά. Τα µόρια των ρευστών (υγρών και αερίων) βρίσκονται σε µία διαρκή άτακτη κίνηση. Αλλά και στο µακρόκοσµο η κίνηση είναι το χαρακτηριστικό γνώρισµα της ύλης. Τα σώµατα που βρίσκονται πάνω στη Γη και φαίνονται ακίνητα, στην πραγµατικότητα κινούνται, αφού συµµετέχουν στην περιστροφή της γύρω από τον άξονα της, αλλά και στην περιφορά της γύρω από τον ήλιο. Σε µεγαλύτερη κλίµακα ο ήλιος και οι πλανήτες κινούνται µέσα στο γαλαξία και όλοι οι γαλαξίες κινούνται αιώνια µέσα στο σύµπαν. εν υπάρχει ύλη που να παραµένει ακίνητη στο σύµπαν ή περισσότερο φιλοσοφικά: η κίνηση είναι τρόπος ύπαρξης της ύλης.
2 Η κίνηση είναι έννοια σχετική, δηλαδή η περιγραφή της εξαρτάται από το σύστηµα στο οποίο αναφερόµαστε. ηλαδή ένα σώµα θα λέµε ότι κινείται, όταν αλλάζει συνεχώς θέσεις, ως προς ένα παρατηρητή (σύστηµα αναφοράς) που θεωρούµε ακίνητο. Η τροχιά ενός σώµατος που κινείται είναι το σύνολο των διαδοχικών θέσεων από τις οποίες διέρχεται το σώµα. Αν η τροχιά είναι ευθεία, τότε η κίνηση χαρακτηρίζεται ως ευθύγραµµη, ενώ αν είναι καµπύλη ως καµπυλόγραµµη. 1.1.2 Ο προσδιορισµός της θέσης ενός σωµατίου α. Η έννοια του σωµατίου ή σηµειακού αντικειµένου. Σωµάτιο ή σηµειακό αντικείµενο είναι η αναπαράσταση (µοντέλο) ενός αντικειµένου µε ένα σηµείο. Στη συνέχεια, για λόγους απλότητας, τα σώµατα των οποίων µελετάµε την κίνηση θα τα ονοµάζουµε κινητά ή σωµάτια ανεξάρτητα από τις διαστάσεις τους. β. Προσδιορισµός της θέσης σωµατίου σε ευθεία γραµµή. Για να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σωµατίου, που βρίσκεται ή κινείται σε ευθεία γραµµή, πρέπει να ορίσουµε ένα σηµείο αναφοράς ή αρχή, για τις µετρήσεις µας. Επίσης πρέπει να προσδιορίσουµε, αν το σωµάτιο κινείται δεξιά ή αριστερά, σε σχέση µε την αρχή. Μπορούµε κατά σύµβαση να συµβολίσουµε το δεξιά µε (+) και το αριστερά µε (-). Οι δύο ηµιάξονες µαζί µε το σηµείο Ο (αρχή), αποτελούν το σύστηµα αναφοράς. Η θέση του σωµατίου στο συγκεκριµένο σύστηµα αναφοράς, προσδιορίζεται µε έναν αριθµό, ο οποίος συµβολίζεται µε το γράµµα x και ο οποίος µπορεί να πάρει θετικές ή αρνητικές τιµές. γ. Προσδιορισµός της θέσης στο επίπεδο. Η θέση του σωµατίου Μ, προσδιορίζεται µε δύο αριθµούς (x, y) που ονοµάζονται συντεταγµένες του Μ. Για να βρούµε παραδείγµατος χάρη, τη θέση του σηµείου Μ, φέρνουµε από αυτό κάθετες πάνω στους άξονες x, y. Τα ίχνη των καθέτων αυτών πάνω στους άξονες x, y,αντιστοιχούν στους αριθµούς 4 και 3. Το διατεταγµένο ζεύγος αριθµών (4, 3) αποτελεί τις συντεταγµένες του σηµείου Μ,και προσδιορίζει τη θέση του στο επίπεδο.
1.1.3 Οι έννοιες της χρονικής στιγµής, του συµβάντος και της χρονικής διάρκειας α. Χρονική στιγµή. Η έννοια της χρονικής στιγµής στη Φυσική αντιστοιχεί στην ένδειξη του ρολογιού ή του χρονοµέτρου και δεν έχει διάρκεια, αντίθετα µε την καθηµερινή ζωή όπου η έκφραση περίµενε µια στιγµή, µπορεί να σηµαίνει, περίµενε µερικά λεπτά ή ακόµη περισσότερο. Η χρονική στιγµή συµβολίζεται µε το γράµµα t. β. Χρονική διάρκεια. Ας υποθέσουµε πως ένα κινητό κινείται στον άξονα xx, και διέρχεται από τις θέσεις x1 και x2τις χρονικές στιγµές t1και t2 αντίστοιχα. Η µεταβολή των χρονικών στιγµών διέλευσης του κινητού από τις παραπάνω θέσεις, ονοµάζεται χρονική διάρκεια της κίνησής του µεταξύ των θέσεων αυτών. ηλαδή: 3 = t 2 - t 1 1.1.4 Η µετατόπιση σωµατίου πάνω σε άξονα Ορίζουµε ως µετατόπιση x του σωµατίου πάνω στην ευθεία κίνησής του τη διαφορά x2 - x1. ηλαδή: x = x 2 x 1 Η µετατόπιση είναι διάνυσµα που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική του θέση. Σηµείωση: Μπορούµε να καθορίσουµε τη θέση ενός κινητού µε ένα διάνυσµα x r, που έχει αρχή το σηµείο αναφοράς (Ο) και τέλος το σηµείο Μ στο οποίο βρίσκεται το κινητό. Στην περίπτωση αυτή η µετατόπιση x r του κινητού από µια θέση µέχρι µια άλλη θέση ορίζεται ως: x r = x r 2- x r 1. Κατά τη διάρκεια µιας ευθύγραµµης κίνησης είναι δυνατόν η φορά της να αντιστραφεί. Το διάστηµα δεν ταυτίζεται πάντοτε µε τη µετατόπιση του κινητού. Γενικεύοντας τονίζουµε ότι, το συµπέρασµα στο οποίο καταλήξαµε ισχύει για όλες τις κινήσεις, εκτός από την ευθύγραµµη κίνηση σταθερής φοράς, όπου το διάστηµα και η µετατόπιση ταυτίζονται. Επιπλέον το διάστηµα (απόσταση) είναι µέγεθος µονόµετρο,
ενώ η µετατόπιση είναι µέγεθος διανυσµατικό. 4 1.1.5 Η έννοια της ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση Ορισµός της έννοιας της ταχύτητας υ, Η ταχύτητα υ ορίζεται ως το πηλίκο της µετατόπισης προς την αντίστοιχη χρονική x διάρκεια. ηλαδή: υ= (m/s) στο S.I. Έτσι µπορούµε να απαντάµε στην ερώτηση ποιο κινητό κινείται γρηγορότερα. Για να απαντήσουµε και στο ερώτηµα προς τα πού κινείται το κινητό, πρέπει να λάβουµε υπόψη, ότι η µετατόπιση είναι µέγεθος διανυσµατικό ( x r ), άρα και η ταχύτητα θα είναι επίσης µέγεθος διανυσµατικό. ηλαδή: υ r x r = Η µονάδα της ταχύτητας στο ιεθνές Σύστηµα S.I. είναι το 1m/s. Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση Η σχέση υ r x r = δίνει την ταχύτητα στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, όπου η ταχύτητα υ r είναι σταθερή, µε αποτέλεσµα σε ίσους χρόνους να διανύονται ίσες µετατοπίσεις. Από την εξίσωση ορισµού της ταχύτητας προκύπτει ότι η µετατόπιση x είναι: x = υ ή x = υ t. Η ευθύγραµµη οµαλή κίνηση περιγράφεται µε τη σχέση: x = υ t µε την οποία βρίσκουµε κάθε χρονική στιγµή τη µετατόπιση του κινητού, εφόσον γνωρίζουµε την ταχύτητά του. Η σχέση αυτή ονοµάζεται εξίσωση κίνησης. Η κλίση της ευθείας στο διάγραµµα της µετατόπισης σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνει την ταχύτητα στην ευθύγραµµη κίνηση. Μπορούµε λοιπόν από τη γραφική παράσταση υ = f(t) να υπολογίζουµε τη µετατόπιση x, βρίσκοντας το αντίστοιχο εµβαδόν που περικλείεται µεταξύ των αξόνων υ, t και της ευθείας που παριστά την ταχύτητα.
1.1.6 Η έννοια της µέσης ταχύτητας 5 Το πηλίκο t s το ονοµάζουµε µέση αριθµητική ταχύτητα του κινητού και το συµβολίζουµε µε υ ή υ µ. ηλαδή: υ =υ µ = t s Η µέση ταχύτητα είναι µονόµετρο µέγεθος. Πολλές φορές αναφέρεται η µέση διανυσµατική ταχύτητα, υ r µ, η οποία ορίζεται από το πηλίκο υ r x r µ=, όπου x r η µετατόπιση και ο αντίστοιχος χρόνος και είναι βέβαια διανυσµατικό µέγεθος. 1.1.7 Η έννοια της στιγµιαίας ταχύτητας Αν η χρονική διάρκεια κίνησης του κινητού γίνει πάρα πολύ µικρή ( 0), δηλαδή µια χρονική στιγµή (t), τότε η υπολογιζόµενη ταχύτητα λέγεται στιγµιαία και ταυτίζεται µε αυτή που δείχνει το ταχύµετρο σε µία τυχαία χρονική στιγµή. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην περίπτωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης η στιγµιαία και η µέση ταχύτητα συµπίπτουν. 1.1.8 Η έννοια της επιτάχυνσης στην ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση υ Το πηλίκο το ονοµάζουµε επιτάχυνση και το συµβολίζουµε µε το γράµµα α, υ δηλαδή: α=. Μονάδα επιτάχυνσης στο ιεθνές Σύστηµα S.I. είναι το 1m/s 2. Οι κινήσεις που η ταχύτητά τους αλλάζει το ίδιο στη µονάδα του χρόνου ή αλλάζει όπως λέµε µε σταθερό ρυθµό, δηλαδή σε κινήσεις στις οποίες η επιτάχυνση υ α= είναι σταθερή τις ονοµάζουµε ευθύγραµµες οµαλά µεταβαλλόµενες. Στις κινήσεις αυτές διακρίνουµε δυο περιπτώσεις: α) η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται, οπότε η κίνηση ονοµάζεται οµαλά επιταχυνόµενη.
β) η ταχύτητα του κινητού µειώνεται, οπότε η κίνηση ονοµάζεται οµαλά επιβραδυνόµενη. Επειδή όµως η επιτάχυνση α r είναι διανυσµατικό µέγεθος γενικά: Ορίζουµε ως επιτάχυνση α r σε µια ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση, το διανυσµατικό µέγεθος του οποίου η τιµή ισούται µε το πηλίκο της µεταβολής υ r της ταχύτητας δια του χρόνου στον οποίο γίνεται η µεταβολή αυτή. Στη γλώσσα των µαθηµατικών µπορούµε να γράψουµε: 6 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: α r = υ r. Η επιτάχυνση έχει την ίδια κατεύθυνση µε την ταχύτητα υ r στην οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση και αντίθετη κατεύθυνση µε αυτήν στην οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση. Πάντοτε όµως η κατεύθυνση της επιτάχυνσης α r είναι ίδια µε την κατεύθυνση της µεταβολής της ταχύτητας υ r. 1.1.9 Οι εξισώσεις προσδιορισµού της ταχύτητας και της θέσης ενός κινητού στην ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση α) Η εξίσωση της ταχύτητας. Από τον ορισµό της επιτάχυνσης α r υ r = προκύπτει ότι η µεταβολή υ r της ταχύτητας στο χρόνο είναι: υ r =α r. Αν τη χρονική στιγµή µηδέν, η ταχύτητα του κινητού είναι υ0 (αρχική ταχύτητα) και τη χρονική στιγµή t είναι υ, τότε η µεταβολή υ r είναι: υ r -υ r 0=α r (t-0) υ r =υ r 0+α r t. Επειδή τα διανύσµατα υ r 0,υ r,α r είναι συγγραµµικά στην ευθύγραµµη κίνηση, η πρόσθεσή τους ανάγεται σε αλγεβρική πρόσθεση των τιµών τους. Μπορούµε λοιπόν να καθορίσουµε θετική και αρνητική φορά και να οδηγηθούµε στην αλγεβρική µορφή των προηγούµενων εξισώσεων: στην επιταχυνόµενη κίνηση: υ = υ0 + α t στην επιβραδυνόµενη κίνηση: υ = υ0 - α t Αν η αρχική ταχύτητα είναι υ0=0 από τη σχέση υ = υ0 + α t προκύπτει: υ = α t. Η εξίσωση της ταχύτητας σε σχέση µε το χρόνο, είναι εξίσωση πρώτου βαθµού και µπορεί να παρασταθεί γραφικά σε διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου µε ευθεία γραµµή.
7 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Τίθεται το ερώτηµα: ποια είναι η φυσική σηµασία της κλίσης της ευθείας στο διάγραµµα της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο; Επειδή η κλίση προκύπτει ως το πηλίκο της µεταβολής της ταχύτητας µε το χρόνο, υ, µε το οποίο έχουµε ορίσει την επιτάχυνση, συµπεραίνουµε ότι η κλίση της ευθείας στο διάγραµµα της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο, δίνει την επιτάχυνση στην ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση. Η γραφική παράσταση της σταθερής επιτάχυνσης στην ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση του αυτοκινήτου που µελετάµε, θα είναι ευθεία γραµµή, παράλληλη στον άξονα του χρόνου t. Ποια µπορεί να είναι η φυσική σηµασία για το εµβαδόν µεταξύ της γραφικής παράστασης (ευθείας) της επιτάχυνσης και του χρόνου; Το εµβαδό, µεταξύ της ευθείας που αναπαριστά την επιτάχυνση σε συνάρτηση µε το χρόνο, και των αξόνων επιτάχυνσης και χρόνου, είναι αριθµητικά ίσο µε τη µεταβολή της ταχύτητας υ. β) Η εξίσωση της κίνησης. Στην οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση προκύπτει ότι: x=υ 0 t+ 2 1 αt 2 Οµοίως στην οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση προκύπτει ότι: x=υ 0 t- 2 1 αt 2. Όπως προκύπτει από τη σχέση x=υ 0 t± 2 1 αt 2, η εξίσωση της θέσης x, σε συνάρτηση µε το χρόνο στην ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση, είναι δευτέρου βαθµού ως προς το χρόνο, άρα η γραφική παράσταση είναι καµπύλη γραµµή (παραβολή). Στην οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα προκύπτει ότι: x= 2 1 αt 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Στην οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση, είναι οι εξής: υ = υ0 + αt : Εξίσωση ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. υ = υ0 - αt : Εξίσωση ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση. x = υ0 t + 2 1 αt 2 : Εξίσωση κίνησης στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. x = υ0 t - 2 1 αt 2 : Εξίσωση κίνησης στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση.