1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

Transcript

1 . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε Β αντιστοιχίζεται στο (), την οποία ονοµάζουµε παράγωγο της. Η παράγωγος της λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συµβολίζεται µε. Τύποι παραγώγων βασικών συναρτήσεων (c) 0 () Κανόνες παραγώγισης (c ()) c () (() + g()) () + g () ( ρ ) ρ ρ- (() g()) ()g() + g ()() ( ) (ηµ) συν ( ) (συν) ηµ ( (g())) ' (εφ) συν (e ) e (ln). ' () ()g() g ()() g() ( g() ) ' ' µ µ ν µ µ ν ν ν (g()) g ()

2 . Η ταχύτητα και η επιτάχυνση ως συνάρτηση του χρόνου Αν (t) είναι η τετµηµένη ενός σώµατος που κινείται ευθύγραµµα τότε η ταχύτητά του είναι υ(t) (t) Αν η συνάρτηση υ(t) είναι επίσης παραγωγίσιµη, τότε η επιτάχυνσή του είναι α(t) υ (t) ή α(t) (t). 4. Aν θέλω να βρω την παράγωγο µιας συνάρτησης σε ένα σηµείο, πρώτα βρίσκω τον τύπο της παραγώγου και στο αποτέλεσµα αντικαθιστώ όπου το

3 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Τύποι βασικών σύνθετων συναρτήσεων [(()) ν ] ν(()) ν- () ' ' ( ()) () () i (ηµ()) συν() () iv) (συν()) ηµ() () v) ' (εφ()) () συν () v () ' () ' ( e ) e () v ' (ln()) () (). Φορά κίνησης κινητού Το σώµα κινείται προς τα δεξιά ( θετική φορά του άξονα ), όταν υ(t) > 0 Tο σώµα κινείται προς τα αριστερά, όταν υ(t) < 0 T σώµα είναι στιγµιαία ακίνητο, όταν υ(t) 0. Επιταχυνόµενη επιβραδυνόµενη κίνηση Η κίνηση είναι επιταχυνόµενη όταν α(t) > 0 H κίνηση είναι επιβραδυνόµενη όταν α(t) < 0 T σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα ή είναι ακίνητο όταν α(t) 0 4. Συνολικό διάστηµα κινητού Έστω (t) η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη σώµατος που κινείται πάνω σε άξονα, Όταν η κίνηση γίνεται µόνο προς τα δεξιά ή µόνο προς τα αριστερά, τότε S ολ (t τελ ) ( t ) Όταν το σώµα κινείται άλλοτε προς τα δεξιά και άλλοτε προς τα αριστερά, τότε βρίσκουµε τις τιµές t, t,..., t κ µηδενισµού της ταχύτητας υ(t), οπότε S ολ (t ) (t ) + (t ) (t ) (t τελ ) (t κ )

4 4 5. Παράγωγος και εφαπτοµένη Έστω συνάρτηση y (), και Α(, ( )) ένα σηµείο της γραφικής της παράστασης. Για την εφαπτοµένη στο Α ισχύουν Η εφαπτοµένη είναι παράλληλη στον άξονα των όταν ( ) 0 Η εφαπτοµένη είναι παράλληλη στην ευθεία y λ + β όταν ( ) λ Η εφαπτοµένη είναι κάθετη στην ευθεία y λ + β όταν ( ) λ Αν ω είναι η γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη µε τον άξονα των τότε ( ) εφω 6. Εξίσωση εφαπτοµένης Για να βρούµε την εξίσωση της εφαπτοµένης της βρίσκουµε τα ( ), ( ), και τα αντικαθιστάµε στον τύπο y ( ) ( )( ) C στο σηµείο Α(, ( )), 7. Εφαπτοµένη και παράµετροι Για να βρούµε τις τιµές παραµέτρων ώστε η εφαπτοµένη Α(, ( C στο σηµείο )) ταυτίζεται µε την ευθεία y λ + β, υποχρεώνουµε να είναι ( ) λ και ( ) λ + β 8. Για να βρούµε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C, που άγεται από σηµείο Α(κ, λ), γράφουµε την εξίσωση της εφαπτοµένης στο τυχαίο σηµείο Κ(, ( )) και την επαληθεύουµε από το Α.

5 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων () , () + ln + 5, i (t) t + e t () ( ) () ( + ln + 5 ) i (t) ( t t t + e ) + e t. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων (u) lnu + e u () e α συν + εφ (u) (lnu + e u u ) e u + () (e α συν + εφ) 0+ ηµ + ηµ + συν συν. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων () 5ηµ ln () () (5ηµ ln ) 5 συν 5συν + () ( + ) ( + ) + +

6 6 4. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων () e ln (t) tlnt + 5t () (e ln) (e ) ln + (ln) e e ln + e (t) (t lnt + 5t ) (t lnt) +(5 t ) t lnt + t(lnt) +0t lnt + t + 0t ln t 0t t Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων () e ln () ( )ηµ συν () ( e ln ) ( e ) ( ln) [( ) e + (e ) ] [( ) ln + (ln) ] e + e ln e + e ln iv) () [( )ηµ συν] [( )ηµ] (συν) ( ) ηµ + ( )(ηµ) + ηµ ( )ηµ + ( )συν + ηµ

7 7 6. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων e () () ln () ' ( 5 + 6) () ( 5 + 6) () e () ln ( 5) ( 5 + 6) 4 (e ) ln (ln ) e (ln ) ln 4 e ln e e ln e ln 7. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων ηµ () () ( )( ) e () ηµ ηµ ηµ e (e ) ( ) e (e ) () [( )( )] ( +). e συν e ηµ συν ηµ e e 8. Για τις παρακάτω συναρτήσεις να βρείτε την παράγωγο στο αναγραφόµενο () π + 6, () ηµ + συν, 4 () ( + 6) +, οπότε ( ) ( ) + 4 π () (ηµ + συν) συν ηµ οπότε 4 π π συν ηµ 0 4 4

8 8 9. Για τις παρακάτω συναρτήσεις να βρείτε την παράγωγο στο αναγραφόµενο ο () ( +)ln, () ( ), 4 () [( +)ln] ( +) ln + (ln) ( +) ln + ( + ) Οπότε () ln+ 0 + () [( ) ] ( ) + ( )( ) ( ) + ( ) Άρα (4) ( 6 ) + (64 8) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης () ηµ + συν στο σηµείο 0 ' ηµ () + συν ( ηµ ) ( + συν) ( + συν) ηµ ( + συν) συν ( + συν) ( ηµ ) ηµ ( + συν) συν + συν + ηµ + συν ( + συν) ( + συν) Οπότε (0) + συν0 + συν

9 9. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων () ( +) 5 () ηµ( ) i () ln( ) () [( + ) 5 ] 5( + ) 4 ( + ) 5( + ) 4 4 0( + ) 4 () (ηµ( )) συν( ) ( ) συν( ) i () (ln( )) ( ). Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων () ηµ () συν ( 4 + 5) () (ηµ ) ((ηµ) ) 6ηµ(ηµ) 6ηµσυν () (συν ( 4 + 5)) [(συν( 4 + 5)) ] (συν( 4 + 5)) (συν( 4 + 5)) συν ( 4 + 5)( ηµ( 4 + 5))( 4 + 5) συν ( 4 + 5)( ηµ( 4 + 5))(4 ) συν ( 4 + 5)ηµ( 4 + 5)

10 0. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων () e -+ () () (e -+ ) e -+ ( +) e -+ ( ) e -+ () ( ) ( ) Για τις συναρτήσεις και g ισχύουν (), g(), () 4, () 8 και g () Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων (g()) και g(()) στο ( (g())) ' (g()) g () Άρα ( (g()) ) ' (g()) g () ( ) 8 4 ( g( ())) ' g (()) () Άρα ( g( ()) ) ' g (()) () g () 4 4

11 5. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη, να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων g() ( +5) g() (e ) i g() (ηµ) iv) g() (ln) () g () [( +5)] ( +5)( +5) ( +5)( 4) g () [(e )] (e ) (e ) (e ) e i g () [(ηµ)] (ηµ) (ηµ) (ηµ) συν iv) g () [(ln) ()] [(ln)] [()] (ln) (ln) () () (ln) () 6. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων () e + 5 () ln( + ) () ( e ) e ( + 5) e + () ( ln( + )) (ln( )) ln( + ) + ( ) ln( + ) + + ( + ) ln( + )

12 7. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων α e + e () () ln e e () + e e α ' ηµ α ' ' α (e + e ) e (e ) (e + e ) (e ) ' ' α (e () + 0)e e ( ) (e + e ) (e ) Σχόλιο () (ln α e e + e (e + e ) (e ) α e (e + e + e ) (e ) α α e + e + e e + e e ' ' ηµ ) ( ηµ ) ηµ ( ηµ ) ηµ ηµ e ' συν σφ ηµ 8. Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων () 5 6 ii ) () ηµ συν () ( 5 6) 0 () ( 0) 6 0 () (ηµ συν) συν + ηµ () (συν + ηµ) ηµ + συν

13 9. Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων () e e () ln ηµ () (e e ) e e () (e e ) 4e e () (ln ηµ) (ln) συν ln + (ln) συν () (ln + συν) + ηµ ln+ συν ln + συν 0. Έστω η συνάρτηση (θ) ηµθ συνθ. Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της όταν θ π (θ) συνθ + ηµθ άρα ο ρυθµός µεταβολής της όταν θ π είναι (π) συνπ +ηµπ ( ) + 0., Σχόλιο

14 4. Ένα σηµείο Μ κινείται στην ευθεία y. Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της απόστασης αυτού από την αρχή των αξόνων όταν 5 Οι συντεταγµένες του Μ προφανώς είναι Μ(, ) οπότε η απόσταση αυτού από την αρχή O(0,0) είναι g() + ( ) , Σχόλιο 7 g () ( ) Για 5, ο ρυθµός µεταβολής της απόστασης ΟΜ είναι g (5) 06. Έστω η συνάρτηση () Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο σηµείο Α(, ()). () () 5, άρα () 5 Οπότε η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y ( ) y + 5

15 5. ίνεται η συνάρτηση () Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Έστω C, η οποία σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία 60 ο. (ε) : y ( ) ( ) ( ) η ζητούµενη εφαπτοµένη, όπου Α(, ( )) Τότε το σηµείο επαφής. ( ) εφ60 ο () Σχόλια 5, 6 Αλλά () 5 ( ) 5 Η () γίνεται ( ) () () Η (ε) γίνεται y ( 6 + 6) ( ) y y 9 + 6

16 6 4. Έστω η συνάρτηση (). Να βρείτε την εξίσωση κάθε εφαπτοµένης της C, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) : y Έστω (η) : y ( ) ( ) ( ) ζητούµενη εφαπτοµένη, όπου Α(, ( )) το σηµείο επαφής. η // ε ( ) 4 () Σχόλια 5, 6 Αλλά () ( ) Η () γίνεται ( ) 4 ' ( ) ( ) ( ) 4 Όταν ( ) 5 ( ) 5 4 Οπότε (η) : y y Όταν ) ( ) ( Οπότε (η) : y ή 5 ή y y y + 4 8

17 7 5. Έστω η συνάρτηση (). Να βρείτε την εξίσωση κάθε εφαπτοµένης της 5 C, η οποία είναι κάθετη στην ευθεία (ε) : y + 6 Ακολούθησε την άσκηση 4 έχοντας ( ) () Τελικά, η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι y + ή y + 6. Έστω η συνάρτηση () Να βρείτε Τα σηµεία της C στα οποία οι εφαπτοµένες είναι παράλληλες στον άξονα Τις εξισώσεις των εφαπτοµένων αυτών Έστω Α(, ( ) το σηµείο επαφής. Τότε ( ) 0 () Όµως () Η () γίνεται ή Σχόλιο 5 Άρα ( ) () ή ( ) () Οπότε τα σηµεία επαφής είναι Α(, ) ή Α (, 0) Η εφαπτοµένη στο Α έχει εξίσωση y H εφαπτοµένη στο Α έχει εξίσωση y 0 Σχόλιο 6

18 8 7. Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (), στα οποία οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες στην ευθεία y +. Έστω (, ( ) σηµείο επαφής. Τότε ( ). () ( ) 4 ( ) 4 Σχόλιο 5 Εποµένως ή Για Για είναι ( ) () είναι ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα τα ζητούµενα σηµεία είναι Α(, ), Β(, ) 7 8. Έστω η συνάρτηση () ηµ συνηµ. Να βρείτε την εξίσωση της π εφαπτοµένης της C στο σηµείο της Α, που έχει τετµηµένη. Η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι y π π π () π π π π ηµ συν ηµ 0 Σχόλιο 6 () (ηµ συνηµ) ηµσυν ( ηµ ηµ + συν συν) ηµσυν + ηµ συν. π π π άρα π π ηµ συν + ηµ συν 0 + 0

19 9 Η () γίνεται y π y π + 9. Έστω η συνάρτηση () + α + β. Να βείτε τα α, β ώστε η εφαπτοµένη της C στο σηµείο µε τετµηµένη να είναι η ευθεία y Έστω Α(, ()) το σηµείο επαφής. H εφαπτοµένη σ αυτό θα είναι y () ()( ) () () + α + β 9 + α + β () + α άρα () 6 + α. Η () γίνεται y (9 + α + β) (6 + α)( ) y (6 + α) 8 α α + β y (6 + α) 9 + β Σχόλιο 6 Για να συµπίπτει λοιπόν η ευθεία αυτή µε την y πρέπει 6 + α και 9 + β Σχόλιο 7 α 5 και β 7 0. Έστω η συνάρτηση () α + β + 9. Να βρείτε τα α και β ώστε το σηµείο Α(, 0) να ανήκει στη γραφική παράσταση της και ο ρυθµός µεταβολής της, όταν, να είναι ίσος µε. () α + β + 9 Πρέπει να ισχύουν () 0 και () () Αλλά () α + β + 9 α 8 + β α + 4β + 6 () α 4 + β + 9 α + 4β + 9 Οι () γίνονται 8α + 4β και α + 4β + 9 8α + 4β 6 και α + 4β α + β 4 και α + β Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε α και β 6

20 0. Έστω η συνάρηση (). Να βρείτε τις εφαπτοµένες της διέρχονται από το σηµείο Α(0, ). C, οι οποίες Το σηµείο Α δεν επαληθεύει τον τύπο της συνάρτησης, άρα δεν ανήκει στη C. Αν λοιπόν (, ( ) είναι το σηµείο επαφής, τότε η εφαπτοµένη σ αυτό έχει εξίσωση ( ) y ( ) ( )( ) () Σχόλιο 6 () άρα ( ) Η () γίνεται y ( ) y y () Αφού η εφαπτοµένη διέρχεται από το σηµείο Α(0, ), θα επαληθεύεται από αυτό. Άρα 0 ή Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές στην (), οι ζητούµενες εφαπτόµενες θα είναι οι y ή ψ

21 . ίνεται η συνάρτηση () αln β µε α, β R Να βρείτε το πεδίο ορισµού Να βρείτε την παράγωγο της i Να βρείτε τα α, β, ώστε η εφαπτοµένη της C στο σηµείο Α(, ) να είναι η ευθεία y iv) Για τις παραπάνω τιµές των α, β, να βρείτε το lim( ()) Πρέπει > 0. Άρα το πεδίο ορισµού είναι το διάστηµα (0, + ) () (αln β ) (αln) (β ) i Η εφαπτοµένη στο Α(, ()) είναι y () ()( ) () Όµως () αln β α 0 β β α β Θυµήσου τύπους και κανόνες παραγώγισης Σχόλιο 6 και () α β α β Οπότε η () γίνεται y + β (α β)( ) y (α β) α + β β y (α β) α + β Για να ταυτίζεται η ευθεία αυτή µε την y, πρέπει α β και α + β α β + και (β + ) + β α β + και β + β α β + και β α β + και β α ( ) + και β α και β iν) Σχόλιο 7 Γι αυτές τις τιµές των α και β η γίνεται () + οπότε lim( ()) lim + 4 lim( + ) 4+ 6

22 . Έστω η συνάρτηση () Να βρείτε το πεδίο ορισµού της Να δείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής της όταν ισούται µε i Να υπολογίσετε το Πρέπει να είναι 0 () lim ή 4 Οπότε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι Α (, ] [, + ) ( ) ( ' ) Θυµήσου τον Ορισµό του ρυθµού µεταβολής ( ) i () lim 9 8 lim lim ( )( + ) + ( )( ) Θυµήσου άρση απροσδιοριστίας τέτοιας µορφής lim ( )( + ) lim 4 ( )( ) lim + ( )( + ) ( )( + ) lim ( + ) 4 +

23 4. Έστω η συνάρτηση () ηµ (α), R και α R Να βρείτε την τιµή του α ώστε να ισχύει () + 4α () () ( ηµ (α)) (ηµα)(ηµα) (ηµα)(συνα)(α) α (ηµα)(συνα) () (α (ηµα)(συνα)) α (ηµα) (συνα) + α (συνα) (ηµα) Οπότε α (συνα)(α) (συνα) + α ( ηµα)(α) (ηµα) α συν α α ηµ α () + 4α () α συν α α ηµ α+4α ηµ α α συν α+α ηµ α α (συν α+ηµ α) α α α ± 5. Έστω η συνάρτηση () e α Να βρείτε τις,. Να βρείτε το α R, ώστε να ισχύει () (e α ) α e α () (α e α ) α e α () + () () α e α + α e α e α e α (α +α ) 0 () + () () α ή α αφού e α 0 Σχόλιο

24 4 6. α Έστω η συνάρτηση () Να βρείτε την γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της C στο σηµείο Α(α, (α)) µε τον άξονα των. Να βρείτε την εξίσωση της παραπάνω εφαπτοµένης. i Να βρείτε το εµβαδό του τριγώνου που σχηµατίζει η εφαπτοµένη µε τους άξονες. Σχόλιο 5 ' α α α () άρα (α) α Αν ω είναι η γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη στο Α µε τον άξονα των τότε εφω (α) ω 5 ο Η εφαπτοµένη στο Α είναι (ε) : y (α) (α)( α) Αλλά (α) α α α, οπότε (ε) : y α ( α) y α + α y + α y Σχόλιο 6 i Η παραπάνω εφαπτοµένη τέµνει τον άξονα των σηµείο Κ(α, 0) και τον άξονα των y στο σηµείο Λ( 0, α) Το ζητούµενο εµβαδόν είναι ΟΚ ΟΛ α α 4α Ε α Λ(0, α) Ο Κ(α, 0)

25 5 7. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης () e στο 0 () ( e Οπότε (0) ) ( e + + ) e e + + e e + + e + +. Θυµήσου την παράγωγο σύνθετης συνάρτησης Σχόλιο 8. Έστω παραγωγίσιµη συνάρτηση, τέτοια ώστε, για κάθε (0, + ) να ισχύει ( + 5) + 7 ln. Nα βρείτε το (6). Να βρείτε το (6) και την εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο Μ(6, (6)). Για έχουµε ( + 5 ) + 7 ln (6) Παραγωγίζοντας τα δύο µέλη της δοσµένης ισότητας έχουµε [( + 5)] ( + 7ln) ( + 5) ( + 5) Σχόλιο ( + 5) ( + 5) Για έχουµε (6) 7 (6) 7 Η εφαπτοµένη στο Μ είναι η y (6) (6)( 6) y ( 6) 7 5 y 7 7 Σχόλιο 6

26 6 9. Έστω συνάρτηση g, δύο φορές παραγωγίσηµη στο R και τέτοια, ώστε g( ) 7. Αν () ( ) g( 5), δείξτε ότι () 4. () [( ) g( 5)] [( ) ] g( 5) + [g( 5)] (( ) ) 6( ) g( 5) + g ( 5)() (( ) ) 6( )g( 5) + g ( 5) ( ) 6( )g( 5) + 6 g ( 5)( ) () [6( )g( 5)+6g ( 5)( ) ] [6( )g( 5)] + [6g ( 5)( ) ] 6g( 5) + ( )g ( 5) + g ( 5)( ) + g ( 5)( ) Άρα () 6g( ) g( )

27 7 40. Η τετµηµένη ενός σώµατος που κινείται ευθύγραµµα πάνω σ έναν άξονα δίνεται από την συνάρτηση (t) t 6t + 9t, όπου ο χρόνος t µετριέται σε δευτερόλεπτα και το σε µέτρα. Να βρεθούν : Η ταχύτητα του σηµείου την χρονική στιγµή t. Η επιτάχυνση του σηµείου την χρονική στιγµή t. i Πότε το σηµείο κινείται προς τα δεξιά, πότε προς τα αριστερά και πότε είναι στιγµιαία ακίνητο. iv) Ποια είναι η ταχύτητα του σηµείου όταν t s και όταν t 4s. v) Ποια είναι η επιτάχυνση του σηµείου τις χρονικές στιγµές κατά τις οποίες είναι στιγµιαία ακίνητο. v Πότε η κίνηση είναι επιταχυνόµενη και πότε επιβραδυνόµενη. v Ποιο είναι το ολικό διάστηµα που διήνυσε το σηµείο στη διάρκεια των πρώτων 5 s. υ(t) (t) (t 6t + 9t) t t + 9 α(t) υ (t) (t t + 9) 6t i Βρίσκουµε το πρόσηµο της ταχύτητας υ(t) t t + 9 t 0 + Προσ Σχόλιο Εποµένως το σηµείο κινείται προς τα δεξιά όταν t (0, ) (, + ) Κινείται προς τα αριστερά όταν t (, ) Και είναι στιγµιαία ακίνητο όταν t ή t iv) Όταν t s, η ταχύτητα είναι υ() m/s και όταν t s, είναι υ() 9m/s (το αρνητικό πρόσηµο δείχνει ότι το σώµα κινείται προς τα αριστερά ) v) Όταν t s, η επιτάχυνση είναι α() 6 6m/s Όταν t s, η επιτάχυνση είναι α() 6 6m/s v Βρίσκουµε το πρόσηµο της επιτάχυνσης α(t) 6t α(t) 0 6t 0 t. Το πρόσηµο φαίνεται στον πίνακα t 0 + Προσ. 0 + Σχόλιο

28 8 Oπότε, όταν t < η κίνηση είναι επιβραδυνόµενη και όταν t > η κίνηση είναι επιταχυνόµενη v Το ολικό διάστηµα S, τα 5 πρώτα δευτερόλεπτα της κίνησης είναι S () (0) + () () + (5) () m. Σχόλιο 4

29 9 4. Έστω η συνάρτηση () ln( ) + κ + λ µε κ, λ R Να βρείτε το πεδίο ορισµού αυτής. Να βρείτε την (). i Να βρείτε τα κ, λ, ώστε η εφαπτοµένη της να είναι η ευθεία y. iv) Για την τιµή του κ που βρήκατε παραπάνω να βρεθούν : Ο ρυθµός µεταβολής της όταν Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης στο σηµείο Πρέπει > 0 ( ) > 0 C στο σηµείο Α(, ()) B, Το πρόσηµο του γινόµενου και οι λύσεις της ανίσωσης φαίνονται στον πίνακα προσ Άρα 0 < < Οπότε, το πεδίο ορισµού είναι το διάστηµα (0, ) () [ ln( )+κ + λ ] i Πρέπει () και () y() 0 + κ και 0 + κ + λ κ και λ iv) Για κ είναι () + κ + κ ( ) Σχόλιο 7 Σχόλιο 4,.