ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΗΣ STOKES ΣΕ ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πρωτοπαπάς Ελευθέριος Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Χατζηνικολάου Μαρία ΠΑΤΡΑ Μάιος 9

«Εάν θέλεις να φτάσεις έως το άπειρο, γνώρισε το πεπερασμένο σε όλες τις εκφράσεις του.» Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή

Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 5 Περίληψη... 6 Abstract. 7 Εισαγωγή 8 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Η έννοια του ρευστού. Ιδιότητες των ρευστών... Είδη ρευστών..4 Τύποι ροής. 4.5 Συνθήκη μη ολίσθησης Οριακό στρώμα 6.6 Σύστημα και όγκος ελέγχου.. 7.7 Θεμελιώδεις νόμοι της Ρευστομηχανικής. 8.8 Αριθμός Reyolds..9 Ροή Stokes (έρπουσα ροή) Κεφάλαιο ο : Βασικές εξισώσεις κίνησης ρευστών. Θεώρημα μεταφοράς του Reyolds... Εξίσωση συνέχειας 4. Μακροσκοπικό ισοζύγιο γραμμικής ορμής.. 7.4 Οι εξισώσεις μεταβολής ενός ιξώδους ρευστού 8.5 Εξίσωση σταθερής ροής Stokes.... 5 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες αξονοσυμμετρικών ροών.7 Ο τελεστής Ε. Εισαγωγικές έννοιες..... 7. Σχέση συνάρτησης ροής και ταχύτητας σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων. 9. Ιδιότητες συνάρτησης ροής... 4.4 Συνιστώσες της ταχύτητας συναρτήσει της συνάρτησης ροής σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων.. 44.5 Συνοριακές συνθήκες για τη συνάρτηση ροής.. 47.6 Η εξίσωση για τη συνάρτηση ροής στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων.. 5 για τη ροή Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων. 56.8 Η πίεση για τη ροή Stokes. 6.9 Δύναμη που ασκείται πάνω σε σώμα 6 Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 4 ο : Προβλήματα στη ροή Stokes και λύση τους στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων 4. Κίνηση συμπαγούς σφαίρας με σταθερή ταχύτητα μέσα σε άπειρο ακίνητο ρευστό... 65 4. Ροή γύρω από ακίνητη συμπαγή σφαίρα.. 7 4. Κίνηση ρευστής σφαίρας με σταθερή ταχύτητα μέσα σε άπειρο ακίνητο ρευστό.... 75 4.4 Ομόκεντρες σφαίρες.. 8 4.5 Η γενική λύση στις σφαιρικές συντεταγμένες.. 8 Κεφάλαιο 5 ο : Προβλήματα στη ροή Stokes και λύση τους σε σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων 5. Ροή γύρω από πεπλατυσμένο σφαιροειδείς... 89 5. Ροή γύρω από επίμηκες σφαιροειδείς... 98 5. Διαχωρισιμότητα του τελεστή Ε και ημιδιαχωρισιμότητα του τελεστή Ε 4 στις επιμήκεις σφαιροειδείς συντεταγμένες 5.4 Γεωμετρικός εκφυλισμός.. 6 Κεφάλαιο 6 ο : Εφαρμογές της μεθόδου της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4 στην επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών σε σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων 6. Ροή Stokes για ρευστό κύτταρο ανάμεσα σε δύο ομοεστιακά επιμήκη σφαιροειδή με συνοριακές συνθήκες τύπου Kuwabara... 5 6. Ροή Stokes για ρευστό κύτταρο ανάμεσα σε δύο ομοεστιακά επιμήκη σφαιροειδή με συνοριακές συνθήκες τύπου Happel 5 Κεφάλαιο 7 ο : Συμπεράσματα Συμπεράσματα... 45 Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Παραρτήματα Παράρτημα Α: Βασικές έννοιες Διανυσματικής Ανάλυσης Α. Εσωτερικό Εξωτερικό Μικτό γινόμενο διανυσμάτων 5 Α. Κλίση Απόκλιση Στροβιλισμός Τελεστές και.. 5 Α. Ιδιότητες κλίσης απόκλισης στροβιλισμού τελεστή... 55 Παράρτημα Β: Τανυστές Β. Τανυστής....... 57 Β. Ολικός τανυστής των τάσεων... 59 Παράρτημα Γ: Ειδικές συναρτήσεις Γ. Συναρτήσεις Legedre...... 6 Γ. Συναρτήσεις Gegebauer.. 65 Παράρτημα Δ: Τα θεωρήματα των Gauss και Stokes Δ. Το θεώρημα απόκλισης Gauss.. 7 Δ. Το θεώρημα του Stokes. 7 Παράρτημα E: Καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων Ε. Γενικές έννοιες για τα καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων...... 7 Ε. Καμπυλόγραμμα εκ περιστροφής συστήματα συντεταγμένων... 78 Ε. Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων...... 8 Ε.4 Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.. 8 Ε.5 Επίμηκες σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων.. 84 Ε.6 Πεπλατυσμένο σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων. 86 Παράρτημα ΣΤ: Στοιχεία διαφορικών εξισώσεων ΣΤ. Μορφές συνήθων διαφορικών εξισώσεων 88 ΣΤ. Μέθοδος των σειρών στις ΣΔΕ..... 89 ΣΤ. Μερικές διαφορικές εξισώσεις.. 9 Παράρτημα Ζ: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Ζ. Επίλυση εξίσωσης ου βαθμού.... 9 Ζ. Πλήρης φασματική αποσύνθεση στις ΜΔΕ.. 95 Παράρτημα Η: Τα πρότυπα Happel και Kuwabara H. Το πρότυπο Kuwabara..... 97 H. Το πρότυπο Happel.. 98 Σύμβολα και μονάδες μέτρησης... 99 Πίνακας σχημάτων. Βασικό αγγλοελληνικό λεξιλόγιο.. Βιβλιογραφία Πηγές... 5 Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 4

Ευχαριστίες Προς το Ε.Α.Π., που μου έδωσε την ευκαιρία παρακολούθησης αυτού του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών. Προς την Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Ε.Α.Π κ. Χατζηνικολάου Μαρία, η οποία είχε την επίβλεψη της παρούσας εργασίας και με τις εύστοχες υποδείξεις και παρατηρήσεις της, μου παρείχε ουσιαστική καθοδήγηση, σε όλη τη διάρκεια εκπόνησης της. Προς τον ΣΕΠ του ΕΑΠ, Επίκουρο Καθηγητή του Ε.Μ.Π. κ. Γκιντίδη Δρόσο. Προς την οικογένειά μου για την υποστήριξη και συμπαράσταση που έδειξε κατά τη διάρκεια των σπουδών μου και ιδιαιτέρως την σύζυγό μου Πρωτοψάλτη Δήμητρα, χάρη στην οποία έβρισκα τον απαραίτητο χρόνο για διάβασμα σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Μάιος 9 Πρωτοπαπάς Ελευθέριος Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 5

Περίληψη Η παρούσα εργασία αποτελεί μια κριτική παρουσίαση της επίλυσης της ροής Stokes (έρπουσα ροή) σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων με έμφαση στα σφαιρικά και σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Ξεκινώντας από τις βασικές έννοιες και εξισώσεις Ρευστομηχανικής, ορίζεται ο τελεστής Ε και αποδεικνύεται η βασική εξίσωση της ροής Stokes (Ε 4 ψ = ). Στη συνέχεια επιλύονται τέσσερα προβλήματα στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, παράγεται η αντίστοιχη συνάρτηση ροής, τα χαρακτηριστικά μεγέθη της κίνησης, ενώ τελικά δίνεται η γενική λύση με μορφή σειρών σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, όπου ο τελεστής Ε 4 χωρίζει μεταβλητές. Περνώντας στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων παρουσιάζονται δύο εφαρμογές της έρπουσας ροής σε κύτταρο, χρησιμοποιώντας τα μοντέλα των Happel και Kuwabara. Ο τελεστής της ροής Ε 4 δεν χωρίζει μεταβλητές στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων, ενώ ο Ε χωρίζει μεταβλητές. Στη συνέχεια, εισάγεται η μέθοδος της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4, με την οποία παράγεται η γενική λύση στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αυτό πραγματοποιείται με τη χρήση της γενικευμένης θεωρίας των ιδιοσυναρτήσεων, εκφράζοντας την λύση σαν άθροισμα δύο συναρτήσεων. Η μία εκφράζεται ως ανάπτυγμα σε ιδιοσυναρτήσεις του KerΕ και η δεύτερη ως ανάπτυγμα γενικευμένων ιδιοσυναρτήσεων του KerΕ. Οι γενικευμένες ιδιοσυναρτήσεις εκφράζονται ως άθροισμα συγκεκριμένων γινομένων συναρτήσεων Gegebauer διαφορετικής τάξης. Στη συνέχεια επαληθεύεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών, καταδεικνύοντας ότι στα σφαιροειδή συστήματα η λύση ανάγεται στην γνωστή λύση του σφαιρικού συστήματος, όταν η ημιεστιακή απόσταση του σφαιροειδούς τείνει στο μηδέν. Ακολούθως, εφαρμόζεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού στην επίλυση των προαναφερθέντων προβλημάτων συνοριακών τιμών στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Το χαρακτηριστικό που εμφανίζεται είναι ότι το σύστημα των σταθερών που προκύπτει μετά την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών έχει μόνο περιμετρική λύση, αφού οι εξισώσεις είναι κατά μία λιγότερη από τους αγνώστους. Επιβάλλεται έτσι μια επιπλέον γεωμετρική συνθήκη που αφορά τον εκφυλισμό του σφαιροειδούς σε σφαίρα όταν η ημιεστιακή του απόσταση τείνει στο μηδέν, που οδηγεί στον προσδιορισμό της παραμέτρου. Τέλος, παρατίθενται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την παραπάνω μελέτη και συγκρίνονται οι λύσεις ανάμεσα στο σφαιρικό και στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων αναδεικνύοντας τις ιδιαιτερότητές τους. Λέξεις κλειδιά: ροή Stokes, έρπουσα ροή, ημιδιαχωρισιμότητα, ημιχωρισιμότητα, σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων, αξονοσυμμετρική ροή. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 6

Abstract I the preset work we preset a review of the methods used for solvig Stokes flow (creepig flow) i axisymmetric coordiate systems, maily i the spherical ad the spheroidal oes. We start cosiderig fudametal cocepts ad equatios of Fluid Mechaics. Makig physical assumptios we defie the operator Ε ad we prove the basic equatio i Stokes flow (Ε 4 ψ = ). Next we solve four boudary value problems i the spherical coordiate system. The relative stream fuctio ad the characteristics quatities of the flow are derive. Fially the geeral solutio i spherical coordiates is give as a series expasio where the operator Ε 4 separates variables. Cosiderig spheroidal coordiates, we solve the creepig flow i-cell problem by assumig either Happel or Kuwabara boudary coditios. The operator Ε 4 does ot separate variables i spheroidal coordiate systems, while operator Ε does. The, we itroduce the semiseparatio method for the operator Ε 4, through which we obtai the geeral solutio. We arrive to that by usig the theory of the geeralized eigefuctios, ad expressig the solutio as the sum of the two fuctios. The first oe is expressed as a series of eigefuctios of KerΕ ad the secod oe as a series of geeralized eigefuctios of KerΕ. The geeralized eigefuctios are give through fiite sums of specific products of Gegebauer fuctios. I the ext chapter, we verify the semiseparatio results, by showig that the solutio i spheroidal coordiate systems becomes the equivalet solutio i spherical coordiate system as the semifocal legth teds to zero. I the ed we apply the semiseparatio method to solve the above metioed problems i spheroidal geometry. Whe applyig the boudary coditios, the obtaied system of equatios has oe parametric solutio due to the lack of a equatio. We complete the system by assumig a extra asymptotic coditio. This represets the fact that the spheroidal becomes sphere as the semifocal distace teds to zero. Fially the coclusios of this work are preseted ad comparisos of the solutio i the spherical ad i the spheroidal coordiate systems are made. Key words: Stokes flow, creepig flow, semiseparatio, spherical coordiate system, spheroidal coordiate systems, axisymmetric flow. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 7

Εισαγωγή Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε η Ροή Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων και ειδικά στο σφαιρικό και στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Δίνονται αναλυτικά οι γενικές λύσεις στα δύο αυτά συστήματα συντεταγμένων και συγκρίνονται τα αποτελέσματά τους. Η προσπάθεια που καταβλήθηκε είχε το σκεπτικό η εργασία να είναι αυτάρκης στην ανάγνωση. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικές και απαραίτητες έννοιες της Ρευστομηχανικής, ώστε να είναι σαφής η ορολογία που ακολουθεί. Στο δεύτερο κεφάλαιο παραθέτονται οι διάφορες εξισώσεις που διέπουν την κίνηση ενός ρευστού, ενώ στο τέλος του κεφαλαίου έγινε ο περιορισμός τους στις αντίστοιχες της έρπουσας ροής. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικές έννοιες των αξονοσυμμετρικών ροών. Ορίζονται η έννοια της συνάρτησης ροής, ο τελεστής Ε, η έκφραση του οποίου παράγεται σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται η μελέτη της έρπουσας ροής στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων. Αρχικά λύνονται τέσσερα προβλήματα και στη συνέχεια δίνεται η γενική λύση στις σφαιρικές συντεταγμένες. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετώνται τα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αρχικά λύνονται δύο προβλήματα με συνοριακές συνθήκες τύπου Happel και Kuwabara στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Ακολούθως αναπτύσσεται η μέθοδος της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4, με σκοπό την εύρεση της γενικής λύσης στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αυτό πραγματοποιείται με τη χρήση της γενικευμένης θεωρίας των ιδιοσυναρτήσεων, εκφράζοντας την λύση σαν άθροισμα δύο συναρτήσεων. Η μία εκφράζεται ως ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων του Ε και η δεύτερη ως ανάπτυγμα γενικευμένων ιδιοσυναρτήσεων του Ε. Οι γενικευμένες ιδιοσυναρτήσεις εκφράζονται σαν πεπερασμένος συνδυασμός γινομένων συναρτήσεων Gegebauer διαφορετικής τάξης. Τέλος, επαληθεύεται ότι η παραχθείσα λύση με τη μέθοδο του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων ανάγεται στην γνωστή λύση του σφαιρικού συστήματος όταν η ημιεστιακή απόσταση του σφαιροειδούς τείνει στο μηδέν. Στο έκτο κεφάλαιο εφαρμόζεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών σε συγκεκριμένα προβλήματα συνοριακών τιμών για τα σφαιροειδή συστήματα Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 8

συντεταγμένων. Το παράδοξο που ανακύπτει είναι ότι το σύστημα των σταθερών που προκύπτει δεν είναι επιλύσιμο, αφού οι εξισώσεις είναι κατά μία λιγότερη από τους αγνώστους. Επιβάλλεται έτσι μια επιπλέον γεωμετρική συνθήκη, αυτή του εκφυλισμού του σφαιροειδούς όταν η ημιεστιακή του απόσταση τείνει στο μηδέν προκειμένου να συμπληρωθεί το σύστημα των εξισώσεων. Στο έβδομο κεφάλαιο, καταγράφονται τα συμπεράσματα και γίνονται συγκρίσεις των αποτελεσμάτων στα δύο συστήματα συντεταγμένων. Ακολούθως στα παραρτήματα καταγράφονται βασικά εργαλεία των Μαθηματικών που χρησιμοποιούνται στην εργασία, όπως: βασικά στοιχεία της Διανυσματικής Ανάλυσης, Τανυστές, Ειδικές συναρτήσεις, θεωρήματα Gauss και Stokes, καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων, μερικές χρήσιμες διαφορικές εξισώσεις, βασικά στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και τα πρότυπα των Happel και Kuwabara. Τέλος, παραθέτονται τα σύμβολα που χρησιμοποιήθηκαν και οι μονάδες μέτρησής τους, ο πίνακας των σχημάτων, ένα μικρό αγγλοελληνικό λεξικό όρων, το ευρετήριο των όρων και κάποια βασική βιβλιογραφία και πηγές που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπόνηση της εργασίας. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 9

Κεφάλαιο ο Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Ρευστομηχανική (ή Μηχανική των Ρευστών) είναι ο κλάδος της Μηχανικής που μελετά την κινηματική και τη δυναμική των ρευστών. Η αλματώδης πρόοδος της Ρευστομηχανικής τα τελευταία χρόνια έχει οδηγήσει στην ανάπτυξη της Αεροδυναμικής, της Υδροδυναμικής, της Αεροθερμοδυναμικής, της Χημικής Μηχανικής, της Μαγνητοϋδροδυναμικής, της Ρεολογίας, της Εμβιορευστομηχανικής κ.τ.λ. Οι αντλίες, οι ανεμιστήρες, οι στρόβιλοι ατμού, αέρα ή νερού, οι κινητήρες των αεροσκαφών και των οχημάτων γενικότερα, η ροή των ποταμών και των υπόγειων ρευμάτων, η πτήση των αεροσκαφών, η πτήση των πυραύλων στην ατμόσφαιρα, η κίνηση των πλοίων και των υποβρυχίων είναι μερικές εφαρμογές της Ρευστομηχανικής.. Η έννοια του ρευστού Ρευστό λέγεται κάθε ουσία που έχει την ιδιότητα να παραμορφώνεται συνεχώς (να ρέει) όταν υφίσταται την επίδραση διατμητικών τάσεων (εφαπτομενικών δυνάμεων ανά μονάδα επιφάνειας του ρευστού) οσοδήποτε μικρή και αν είναι η τάση αυτή. Αυτό σημαίνει ότι τα υγρά και τα αέρια χαρακτηρίζονται ως ρευστά. Διατμητική τάση (τ) ενός ρευστού, ονομάζουμε το πηλίκο της δύναμης που ασκείται στο ρευστό προς την επιφάνεια που ασκείται η δύναμη, δηλαδή, F τ (..) A όπου F η δύναμη που ασκείται στο ρευστό πάνω στην επιφάνεια Α. Για να διακρίνουμε τη διαφορά της στερεής από τη ρευστή κατάσταση, θα συγκρίνουμε τη συμπεριφορά ενός στερεού και ενός ρευστού. Ένα στερεό μπορεί να Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής παραμορφώνεται κάτω από την επίδραση μιας διατμητικής τάσης, αλλά η παραμόρφωση δεν είναι μόνιμη, ενώ ένα ρευστό υφίσταται μόνιμη παραμόρφωση κάθε χρονική στιγμή. Για να γίνει κατανοητό αυτό θεωρούμε δύο παράλληλες πλάκες, όπου η κάτω δεν κινείται. Ονομάζουμε Α το κομμάτι της άνω πλάκας που έρχεται σε επαφή με το στερεό ή το υγρό. Εφαρμόζοντας δύναμη F στην επιφάνεια Α, έχουμε τη δημιουργία F διατμητικής τάσης τ. A Σε κάθε στερεό σώμα, όσο η διατμητική τάση παραμένει σταθερή (σχήμα..), η παραμόρφωση του στερεού παραμένει σταθερή (δηλαδή, δεν αλλάζει η γωνία παραμόρφωσης φ), ενώ όταν σταματήσει να επιδρά η διατμητική τάση, το στερεό επανέρχεται στην αρχική του μορφή. Σχήμα..: Συμπεριφορά στερεού υπό την επίδραση μιας συνεχούς διατμητικής τάσης Σε κάθε ρευστό όσο η διατμητική τάση παραμένει σταθερή (Σχήμα..), η παραμόρφωση του ρευστού αλλάζει (δηλαδή, αλλάζει η γωνία παραμόρφωσης φ), ενώ όταν σταματήσει να επιδρά η διατμητική τάση, το ρευστό δεν επανέρχεται στην αρχική του μορφή. Σχήμα..: Συμπεριφορά ρευστού υπό την επίδραση μιας συνεχούς διατμητικής τάσης Τα στερεά χωρίζονται σε κρυσταλλικά και άμορφα, ενώ τα ρευστά σε υγρά και αέρια. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν κάποιες ενδιάμεσες καταστάσεις, όπως η οδοντόκρεμα και τα χρώματα βαφής, τα οποία άλλοτε συμπεριφέρονται σαν στερεά (για διατμητική τάση μικρότερη μιας κρίσιμης τιμής) και άλλοτε σαν ρευστά (για διατμητική τάση μεγαλύτερη αυτής της κρίσιμης τιμής). Διεπιφανειακή τάση (γ) ονομάζουμε την εφαπτόμενη δύναμη που ασκείται στην επιφάνεια μεταξύ δύο ρευστών ή μεταξύ ρευστού και στερεού που προκαλείται από τη διαφορά έλξης ανάμεσα στα μόρια κάθε φάσης. Η διεπιφανειακή τάση εκφράζει δύναμη ανά εμβαδό ή ενέργεια ανά εμβαδό. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Ιδιότητες των ρευστών Η πυκνότητα (ρ) είναι βασικό μέγεθος στα ρευστά. Για να ορίσουμε την πυκνότητα ενός ρευστού, θεωρούμε όγκο δv με αντίστοιχη μάζα δm και για σταθερό χρόνο t πρέπει να υπολογίσουμε τον κρίσιμο όγκο δv *, όπου σταθεροποιείται η τιμή της πυκνότητας και ισχύει: m (x, y, z, t) lim * VV V Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: αν δv << δv * m έχουμε μεγάλες διακυμάνσεις του λόγου και V αν δv δv * δεν έχουμε σχεδόν καμία διακύμανση του λόγου (..) m. V Ιξώδες (ή συνεκτικότητα), που συμβολίζεται με μ, είναι η ιδιότητα των ρευστών που τους δίνει την δυνατότητα να αντιστέκονται σε κάθε προσπάθεια αλλαγής της μορφής τους. Το ιξώδες είναι το ρευστομηχανικό αντίστοιχο της γνωστής τριβής από την Μηχανική. Κινηματικό ιξώδες (ν) λέγεται ο λόγος του ιξώδους μ προς την πυκνότητα του ρευστού ρ, δηλαδή, μ ν= ρ (..) Υπόθεση του συνεχούς μέσου λέγεται η υπόθεση σύμφωνα με την οποία οι ιδιότητες του ρευστού μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο με τρόπο συνεχή. Το μοντέλο αυτό αποτελεί τη βάση της διερεύνησης των προβλημάτων της ροής των ρευστών. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Είδη ρευστών Νευτώνεια και μη Νευτώνεια Ρευστά Νευτώνεια λέγονται τα ρευστά στα οποία η διατμητική τάση (τ) ευθέως ανάλογη της ταχύτητας μεταβολής της γωνιακής παραμόρφωσης (φ), δηλαδή, ισχύει: ή όπου μ είναι το ιξώδες του ρευστού και du dy d τ (..) dt du τ (..) dy η βαθμίδα της ταχύτητας. Τα πιο σπουδαία και τα πιο κοινά ρευστά (νερό, αέρας) είναι Νευτώνεια. Μη Νευτώνεια λέγονται τα ρευστά στα οποία δεν ισχύει ο παραπάνω πειραματικός νόμος του Νεύτωνα (..). Ιδανικό (ανιξώδες) και πραγματικό (ιξώδες) ρευστό Ιδανικό (ή ανιξώδες) λέγεται κάθε ρευστό που έχει ιξώδες ίσο με το μηδέν (μ = ). Στα ιδανικά ρευστά δεν αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις και η μόνη επιφανειακή δύναμη που ενεργεί σε αυτά είναι η πίεση. Πραγματικό (ή ιξώδες) λέγεται κάθε ρευστό που δεν έχει μηδενικό ιξώδες (μ ). Ασυμπίεστο και συμπιεστό ρευστό Ασυμπίεστο λέγεται κάθε ρευστό, στο οποίο οι αλλαγές στον όγκο ή στην πυκνότητα, όταν μεταβάλλεται η πίεση ή η θερμοκρασία είναι αμελητέες. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ένα ρευστό που έχει σταθερή πυκνότητα είναι ασυμπίεστο. Η μαθηματική σχέση που ικανοποιεί ένα ασυμπίεστο ρευστό είναι: v (..4) Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Επιπλέον, όταν το ρευστό είναι ασυμπίεστο δεν υπάρχει αλλαγή της πυκνότητας ούτε στη μεταβολή του χρόνου, ούτε στη μεταβολή των χωρικών συντεταγμένων, δηλαδή,,,, (..5) t x y z Συμπιεστό λέγεται κάθε ρευστό το οποίο παρουσιάζει ελάχιστη αντίσταση σε κάθε μεταβολή του όγκου. Αυτό σημαίνει ότι το συμπιεστό ρευστό αντιδρά σε αλλαγές της πίεσης προσαρμόζοντας τον όγκο και την πυκνότητά του. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ένα ρευστό που δεν έχει αμελητέα πυκνότητα είναι συμπιεστό. Ομογενές και μη ομογενές ρευστό Ομογενές λέγεται κάθε ρευστό με ομοιόμορφες ιδιότητες μέσα έξω. Αυτό σημαίνει ότι η μεταβολή της πυκνότητας είναι συνεχής και ότι η κλίση της πυκνότητας του ρευστού είναι μηδέν, δηλαδή, (..6) Μη ομογενές λέγεται κάθε ρευστό το οποίο δεν έχει ομοιόμορφες ιδιότητες μέσα έξω, οπότε η μεταβολή της πυκνότητας δεν είναι συνεχής..4 Τύποι ροής Ροή λέγεται η κίνηση ενός ρευστού σε μια ορισμένη περιοχή του χώρου, που ονομάζεται πεδίο ροής. Ασυμπίεστη και Συμπιεστή Ροή Ασυμπίεστη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, κατά την οποία οι μεταβολές της πυκνότητας σε όλη την έκταση του πεδίου ροής είναι αμελητέες και ισχύει v (.4.) Συμπιεστή ονομάζεται η ροή στην οποία οι μεταβολές της πυκνότητας είναι σημαντικές. Στη μελέτη ασυμπίεστης ροής σε νευτώνεια ρευστά, χρειαζόμαστε μόνο δύο ιδιότητες, την πυκνότητα ρ και το ιξώδες του ρευστού μ. Αντιθέτως για τα μη νευτώνεια ρευστά χρειαζόμαστε πρόσθετες παραμέτρους για να χαρακτηρισθούν επαρκώς. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 4

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Για να χαρακτηρίσουμε μια ροή ως συμπιεστή ή ασυμπίεστη χρησιμοποιούμε τον αδιάστατο αριθμό Mach (Ν Ma ), για τον οποίο ισχύει: N Ma U (.4.) C όπου U είναι η χαρακτηριστική ταχύτητα της ροής και C η ταχύτητα του ήχου στο ρευστό. Με τη βοήθεια του αριθμού Mach, έχουμε ότι: Αν N Ma., η ροή χαρακτηρίζεται ως ασυμπίεστη, ενώ Αν N Ma >., η ροή χαρακτηρίζεται ως συμπιεστή. Γραμμική (στρωτή) και Τυρβώδης (στροβιλώδης) Ροή Γραμμική (ή στρωτή) ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, κατά την οποία η κίνηση κάθε στοιβάδας του ρευστού είναι ομαλή σε σχέση με τις διπλανές στοιβάδες. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη στρωτή ροή η μόνη κίνηση που παρατηρείται είναι κατά τη διεύθυνση της ροής, αφού κατά την κάθετη διεύθυνση δεν υπάρχει συνιστώσα ταχύτητας. Τυρβώδης (ή στροβιλώδης) ονομάζεται η ροή ενός ρευστού που χαρακτηρίζεται από την χαώδη κίνηση του ρευστού, οπότε και όλα τα σωματίδια κινούνται σε ακανόνιστες τροχιές. Σταθερή και μεταβαλλόμενη ροή Σταθερή ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, στο οποίο δεν υπάρχουν χρονικά μεταβαλλόμενα πεδία. Μεταβαλλόμενη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, στο οποίο τα πεδία ροής εξελίσσονται με τον χρόνο. Μονοδιάστατη, Δισδιάστατη και Τρισδιάστατη Ροή Μονοδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς μία χωρική μεταβλητή, δηλαδή, u = u(x, t). Δισδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς δύο χωρικές μεταβλητές, δηλαδή, u = u(x, y, t). Τρισδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς τρεις χωρικές μεταβλητές, δηλαδή, u = u(x, y, z, t). Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 5

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής u=u(x) u=u(x) u=u(x,y) u=u(x,y) Σχήμα.4.: Μονοδιάσταση ροή ρευστού, Σχήμα.4.4: Δισδιάσταση ροή ρευστού, ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες ανάμεσα σε δύο μη παράλληλες πλάκες Για παράδειγμα οι κινήσεις των αερίων μαζών στην ατμόσφαιρα εξετάζονται στον τρισδιάστατο χώρο, ροές σε κανάλια, ποταμούς κ.τ.λ. θεωρούνται δισδιάστατες, ενώ ροή σε κάθε είδους δίκτυο σωληνώσεων θεωρείται μονοδιάστατη (κατά τη διεύθυνση του άξονα των αγωγών)..5 Συνθήκη μη ολίσθησης Οριακό στρώμα Για τη μελέτη και ανάλυση προβλημάτων ιξώδους ροής, έχουμε μια βασική συνθήκη, τη συνθήκη μη ολίσθησης. Σύμφωνα με αυτή (και κάτω από την υπόθεση του συνεχούς μέσου), η ροή ενός ρευστού επηρεάζεται από την παρουσία στερεών τοιχωμάτων. Το αποτέλεσμα είναι το ρευστό να μην ολισθαίνει πάνω στη στερεή επιφάνεια, δηλαδή, η σχετική ταχύτητα των πραγματικών ρευστών ως προς το στερεό τοίχωμα είναι μηδέν ή ισοδύναμα ότι η εφαπτομενική ταχύτητα κοντά στα τοιχώματα είναι μηδέν. Οριακό στρώμα είναι η στοιχειώδης περιοχή του ρευστού που ακουμπά στην στερεή επιφάνεια και η ροή είναι πιο αργή από ότι στο υπόλοιπο ρευστό. Στο οριακό στρώμα η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται από την τιμή (πάνω στην επιφάνεια) μέχρι την τιμή u που είναι η ταχύτητα του ελεύθερου ρεύματος, όπου η ροή θεωρείται ιδανική. Αλλιώς, είναι το «στρώμα» του ρευστού με ακαθόριστο προφίλ ταχύτητας μέχρι να αποκατασταθεί το αναπτυγμένο. Επιπλέον, πρέπει να γνωρίζουμε ότι καθώς απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια των στερεών τοιχωμάτων, η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται, μέχρι να αποκτήσει μια συγκεκριμένη τιμή, οπότε και παραμένει σταθερή. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 6

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.6 Σύστημα και όγκος ελέγχου Σύστημα ελέγχου είναι το μέρος του ρευστού που περικλείεται από μια επιφάνεια, η οποία απαγορεύει την εισροή ή την εκροή μάζας (δηλαδή, η μάζα της δεν μεταβάλλεται), αλλά μεταβάλλει το σχήμα του με την πάροδο του χρόνου. Ο όγκος του συστήματος λέγεται υλικός όγκος και συμβολίζεται με V m (t), ενώ η επιφάνεια του συστήματος λέγεται υλική επιφάνεια και συμβολίζεται με A m (t). Επειδή, όμως το σχήμα του συστήματος αλλάζει, η γεωμετρία του προβλήματος συχνά γίνεται πολύ δύσκολη, οπότε το σύστημα ελέγχου δεν μας εξυπηρετεί. Για αυτό στα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε, θεωρούμε τον όγκο ελέγχου. Όγκος ελέγχου είναι το μέρος του ρευστού (με σχήμα που μας εξυπηρετεί) που περικλείεται από μια επιφάνεια και ανταλλάσσει μάζα και ενέργεια (με τη μορφή θερμότητας ή έργου) με το περιβάλλον. Για να γίνουν πιο κατανοητές οι έννοιες του συστήματος και του όγκου ελέγχου θεωρούμε μια γραμμική ροή μεταξύ παραλλήλων πλακών, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. t = t = To σύστημα και ο όγκος ελέγχου ταυτίζονται t = t > t t = t > t > t σύστημα ελέγχου όγκος ελέγχου Σχήμα.6.: Συμπεριφορά συστήματος και όγκου ελέγχου σε γραμμική ροή εντός παραλλήλων πλακών Προσέξτε ότι ο όγκος ελέγχου ανταλλάσσει ενέργεια (με τη μορφή θερμότητας ή έργου) με το περιβάλλον, ενώ για το σύστημα ελέγχου αυτό εξαρτάται. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 7

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Επιπλέον, πρέπει να είναι σαφές ότι το σύστημα ελέγχου είναι το φυσικό μέγεθος που μελετάμε, ενώ ο όγκος ελέγχου είναι το αντίστοιχο μαθηματικό μέγεθος. Θερμικά μονωμένο λέγεται το σύστημα το οποίο δεν ανταλλάσσει θερμότητα με το περιβάλλον, παρόλο που έχει διαφορετική θερμοκρασία από το περιβάλλον. Απομονωμένο λέγεται το θερμικά μονωμένο σύστημα που δεν ανταλλάσσει με το περιβάλλον ούτε έργο. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς, ότι ο όγκος ελέγχου δεν είναι θερμικά μονωμένος..7 Θεμελιώδεις νόμοι της Ρευστομηχανικής Αρχή διατήρησης της μάζας Με την κίνηση του ρευστού η μάζα μεταφέρεται με την πάροδο το χρόνου από μια θέση του πεδίου ροής σε άλλη, παραμένει όμως αμετάβλητη. Στα ομογενή ρευστά η αρχή διατήρησης της μάζας οδηγεί στην εξίσωση συνέχειας (σχέση..7), η οποία συνδέει τις μεταβολές, ως προς το χώρο και το χρόνο, της πυκνότητας και της ταχύτητας του ρευστού. Η αρχή διατήρησης της μάζας εκφράζεται από τη σχέση dm (.7.) dt όπου Μ είναι η μάζα του συστήματος Σ. Αρχή διατήρησης της ορμής (αξίωμα κίνησης του Newto) Η παράγωγος της ορμής ενός συστήματος μάζας ως προς το χρόνο, ισούται με την συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό. Η αρχή αυτή, στα ρευστά οδηγεί στις εξισώσεις κίνησης (σχέσεις.4.5,.4.5), οι οποίες συνδέουν την επιτάχυνση με τις δυνάμεις. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 8

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Η αρχή διατήρησης της ορμής εκφράζεται από τη σχέση F. dp dt όπου F. είναι η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων και (.7.) P η ορμή του συστήματος Σ. Επιπλέον, όμως ισχύει ότι: F F F,. όπου F είναι η βαρυτική δύναμη και F είναι η συνισταμένη των επιφανειακών δυνάμεων. Συνεπώς η (.7.) δίνει: dp FF dt (.7.) Αρχή διατήρησης της ενέργειας (ο θερμοδυναμικό αξίωμα) Η συνολική ενέργεια (κινητική, δυναμική, έργο, θερμότητα, κ.τ.λ.) ενός ρευστού παραμένει σταθερή. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας εκφράζεται από τη σχέση: dq de dw (.7.4) όπου το σύστημα έχει ολική ενέργεια Ε, στο σύστημα μάζας προσφέρουμε θερμότητα dq, από την οποία ένα μέρος της καταναλώνεται για την παραγωγή ενός έργου dw, όταν το υπόλοιπο μέρος της θερμότητας καταναλώνεται για τη μεταβολή της ενέργειας de του συστήματος. Πολλές φορές όταν το παραγόμενο έργο θεωρείται αρνητικό, γράφουμε: dq de dw (.7.5) Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 9

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.8 Αριθμός Reyolds O Reyolds το 88 για να αναγνωρίσει το χαρακτηριστικό μιας ροής που μεταβάλει μια ροή από τυρβώδη σε στρωτή, εκτέλεσε ένα πείραμα με το οποίο ξεκίνησε ιστορικά την μελέτη ροής ρευστών σε κυλινδρικούς αγωγούς. Σχήμα.8.: Η αρχική διάταξη που χρησιμοποίησε ο Reyolds Για το πείραμα αυτό χρησιμοποίησε μια συσκευή έκχυσης έγχρωμου υγρού μέσα σε νερό και παρατήρησε την εξέλιξη της ροής σε κυλινδρικό σωλήνα. Το πείραμα αυτό επανέλαβε πολλές φορές και με σωλήνες διαφορετικών διαμέτρων, ώστε να βρει, αλλά και να επαληθεύσει το συμπέρασμά του. Σχήμα.8.: Η στρωτή ροή στο πείραμα Reyolds Σχήμα.8.: Η τυρβώδης ροή στο πείραμα Reyolds Ο Reyolds διαπίστωσε ότι το είδος της ροής καθορίζεται από την τιμή που θα έχει ένας αριθμός. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε αριθμός Reyolds (Ν Re ), ο οποίος είναι αδιάστατος και εκφράζει το λόγο των δυνάμεων αδράνειας (ρ U) προς τις ιξώδες δυνάμεις D. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Σε ένα κυλινδρικό αγωγό ισχύει ότι: όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, U η ταχύτητα του ρευστού, D η διάμετρος του σωλήνα και μ το ιξώδες του ρευστού. Γενικά ο αριθμός Reyolds ορίζεται ως: N N Re Re UD (.8.4) UL (.8.5) όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, U η χαρακτηριστική βαθμωτή ταχύτητα του ρευστού, L το χαρακτηριστικό βαθμωτό μήκος του ρευστού και μ το ιξώδες του ρευστού. Καλό είναι να γνωρίζουμε ότι αναλόγως της γεωμετρίας του προβλήματος η κρίσιμη τιμή του αριθμού Reyolds διαφέρει. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.9 Ροή Stokes (έρπουσα ροή) Ροή Stokes (ή έρπουσα ροή) λέγεται ο τύπος της ροής που οι δυνάμεις αδράνειας είναι πολύ μικρότερες συγκρινόμενες με το ιξώδες, το οποίο έχει ως αποτέλεσμα ο αριθμός Reyolds να είναι πολύ μικρότερος της μονάδας (N Re <<). Σχήμα.9.: Ροή Stokes γύρω από σφαίρα (N Re <<) Από τον ορισμό της ροής Stokes είναι φανερό ότι οι ιξώδεις δυνάμεις κυριαρχούν και ότι δεν υπάρχει διαχωρισμός της ροής. Επιπλέον, η έρπουσα ροή είναι πάντα γραμμική, αναστρέψιμη και έχει μικρή ορμή. Επειδή, οι ταχύτητες στη ροή Stokes είναι πολύ μικρές και το οριακό στρώμα επηρεάζεται από την ταχύτητα, στη ροή Stokes πρακτικά δεν υπάρχει οριακό στρώμα, αφού λόγω της αργής ροής δεν «κολλούν» μόρια του ρευστού στο στερεό. Σχήμα.9.: Ροή γύρω από κύλινδρο Η τιμή του αριθμού Reyolds που καθορίζει την έρπουσα ροή, εξαρτάται από τη γεωμετρία του προβλήματος. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων