ΤΧΥΤΗΤ-ΕΠΙΤΧΥΝΣΗ ν x= x(t) είναι η συνάρτηση θέσης κινητού την χρονική στιγμή t τοτε θα έχω υ(t) = x (t) και α(t) =x (t)=υ (t) υ(t) Η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t α(t) Η επιτάχυνση του κινητού την χρονική στιγμή t ΠΡΔΕΙΓΜ. Το διάστημα x που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t sec είναι xt t t t, t 6 Να βρείτε Ι) Το ρυθμό μεταβολής της μετατόπισης την χρονική στιγμή t = sec ΙΙ) Την αρχική ταχύτητα του κινητού ΙΙΙ) Την χρονική στιγμή που το κινητό έχει ταχύτητα 6 m/ sec Ι) Ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f στο σημείο x ο = Παράγωγος της f στο σημείο x ο x t t t t [ F (x) + G(x) ] = F (x) + G (x) [ F (x) G(x) ] = F (x) + G (x) [ cf (x) ] = c F (x), c Σταθερά ( c ) =, c Σταθερά (x) = (x α ) = α x α t t t t t t t t t t Οπότε x (t) = t t +, t 6 Ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης την χρονική στιγμή t = sec θα είναι x () = + = 4 + = 4 + = + 4 = 4 4 = m/ sec ΙΙ) υ(t) = x (t) υ(t) Η ταχύτητα του σώματος την χρονική στιγμή t x(t) Η συνάρτηση θέσης κινητού την χρονική στιγμή t
Η ταχύτητα του σώματος την χρονική στιγμή t θα είναι υ(t) = x (t) = t t + Οπότε υ(t) = t t +, t 6 Η αρχική ταχύτητα του σώματος θα είναι η ταχύτητα που θα έχει το σώμα την χρονική στιγμή t =. Άρα η αρχική ταχύτητα του σώματος θα είναι υ() = + = m/ sec ΙΙΙ)Έστω την χρονική στιγμή t το κινητό έχει ταχύτητα 6 m/ sec. Τότε θα έχω t 6 t t 6 t t 6 ά ό ά t t t 4t t 4t 4 4 4 6 4 ή ά ί έ ί έ ά 4 sec( ή t6) t, sec( ή t6). Το διάστημα x = x(t) σε m που διανύει μια πέτρα όταν εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω δίνεται απο την σχέση x(t) = t t όπου t ο χρόνος σε sec Ι)Nα βρείτε την ταχύτητα της πέτρας όταν t = sec ΙΙ) Τι συμβαίνει όταν t = 6 sec ΙΙΙ) Nα βρείτε το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει η πέτρα Ι)Η ταχύτητα του σώματος την χρονική στιγμή t θα είναι υ(t) = x (t) = ( t - t ) = ( t) - ( t ) = (t) (t ) = = t= t Η ταχύτητα της πέτρας την χρονική στιγμή t = sec θα είναι υ =υ()= = 4=6 m/ sec ΙΙ) Η ταχύτητα της πέτρας την χρονική στιγμή t = 6 sec θα είναι υ =υ()= 6= = m/ sec Επειδή υ < το σώμα κατεβαίνει προς τα κάτω ΙΙΙ)Έστω την χρονική στιγμή t το σώμα φτάνει στο μέγιστο ύψος τότε θα ισχύει t t t t t sec ό έ ύ ά έ ί xmax x() m
. Δυο αυτοκίνητα κινούνται κατά μήκος των δρόμων Γ και Γ με ταχύτητες 7km/h και 6km/h αντίστοιχα.να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ως προς το χρόνο t την χρονική στιγμή t ο κατά την οποία το πρώτο αυτοκίνητο απέχει από την διασταύρωση 8m και το δεύτερο 6m Γ x(t) Γ υ = 7km/h y(t) υ = 6km/h Έπειδή η ταχύτητα του κινητού είναι υ = 7km/h θα έχω x (t) = υ = 7km/h Έπειδή η ταχύτητα του κινητού είναι υ = 6km/h θα έχω y (t) = υ = 6km/h Το τρίγωνο Γ είναι ορθογώνιο στο Γ9.Οπότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχω x t y t x t y t ώ ά f t x t y t, t t έ f t x t y t
4 f t x t y t x t y t x t y t x t y t x t y t x t x t y t y t x t y t xt x t y t y t x t x t y t y t x t y t x t y t,,, a a f a f f f x g x f x gx a, a ό f t * x t y t x t x t y t y t ή ή t έ m ί km ώ m ί km ώ 8 xt 8m km,8km 6 y t 8m km, 6km ό ή ό ή ή t έ x t x t y t y t,8 7, 6 6 6 6 9 f t 9 km / h,8, 6, 64,6 x t y t 4. Ένας άνθρωπος πλησιάζει τη βάση ενός πύργου που έχει ύψος h = m με ταχύτητα 8 km/h.να βρεθεί με τι ταχύτητα πλησιάζει την κορυφή του όταν βρίσκεται σε απόσταση m από την βάση του.
h=km υ = 8 km/h s(t) x(t) Κ m ί km ώ h m, km Επειδή ο άνθρωπος πλησιάζει τη βάση ενός πύργου με ταχύτητα υ = 8 km/h θα έχω x (t) = υ = 8 km/h Το τρίγωνο Κ είναι ορθογώνιο στο 9.Οπότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχω h x t, x t t, x t, x t s t, x t ό s t x t t,, t έ s t, x t st, x t, x t, x t, x x t x, t x t, x t x t x t, x t,,, a a f a f f f x g x f x gx *
6 c c ά, a, a xt x ό st, t, t x t ή ή t έ m ί km ώ xt m,km ύ ί ά ά ή ή ή t ί x t x t, 8, 8 st, x t,,,,,96,96,96 96 km / h,, 44, 69,. Μια σκάλα μήκους m είναι πλάγια στερεωμένη στον τοίχο Κάποια στιγμή η σκάλα γλιστράει και όταν το άκρο της βρίσκεται σε απόσταση m από τον τοίχο ο ρυθμός κίνησης είναι m/s Να βρείτε τον ρυθμό πτώσης του άκρου της εκείνη τη χρονική στιγμή y(t) x(t) Ο Επειδή το άκρο της σκάλας πλησιάζει τον τοίχο με ρυθμό κίνησης είναι m/s θα έχω x (t) = m/ s
7 Το τρίγωνο Κ είναι ορθογώνιο στο 9.Οπότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχω x t y t x t y t 69 ό x t y t t 69, f xgx f xgx f, g ί ήύ ή ό ί!!! x t y t 69 x t y t 69 x t y t x t x t y t y t x t x t y t y t x t x t y t y t ό x t x t y t y t, t c c ά, f x g x f x gx a a f a f f ή ή t ύ x t m. ό έ έ x t y t 69 y t 69 y t 69 y t 69 yt y t 44 y t 44 y t m έ ό t t έ x t x t y t y t y t ά ό ά 4y t 4y t y t m / s 4 ό ώ ά ή ή t ί y t m / s 4 ΣΚΗΣΕΙΣ. ά x ύ έ ό ό t sec ί 7 xt t t t, t 4y t
8 ί ( ) ό ή ό ή ή t 4s ( ) ή ύ ύ ( ) ή ή ό έ ύ m / s. Το διάστημα x = x(t) σε m που διανύει μια πέτρα όταν εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω δίνεται απο την σχέση x(t) = t t όπου t ο χρόνος σε sec Ι)Nα βρείτε την ταχύτητα της πέτρας όταν t = 7 sec ΙΙ) Τι συμβαίνει όταν t = sec ΙΙΙ) Nα βρείτε το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει η πέτρα. Δυο αυτοκίνητα κινούνται κατά μήκος των δρόμων Γ και Γ με ταχύτητες km/h και km/h αντίστοιχα.να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ως προς το χρόνο t την χρονική στιγμή t ο κατά την οποία το πρώτο αυτοκίνητο απέχει από την διασταύρωση 4m και το δεύτερο m Γ 4. Ένας άνθρωπος πλησιάζει τη βάση ενός πύργου που έχει ύψος h = 8m με ταχύτητα km/h.να βρεθεί με τι ταχύτητα πλησιάζει την κορυφή του όταν βρίσκεται σε απόσταση 6m από την βάση του.. Μια σκάλα μήκους m είναι πλάγια στερεωμένη στον τοίχο Κάποια στιγμή η σκάλα γλιστράει και όταν το άκρο της βρίσκεται σε απόσταση m από τον τοίχο ο ρυθμός κίνησης είναι m/s Να βρείτε τον ρυθμό πτώσης του άκρου της εκείνη τη χρονική στιγμή y(t) x(t) Ο