ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1

Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης, Περικλής Γιαννουλάτος Κώστας Ζυγούρης, Χρήστος Ντάβας, Γιώργος Ρίζος Ηλίας Καμπελής, Νίκος Φραγκάκης,Αντώνης Βρέντζος, Γιώργος Γαβριλόπουλος, lafkasd, Περικλής Παντούλας, Κώστας Μαλλιάκας, Γιώργος Λέκκας, Θεοδωρής Καραμεσάλης, Χρήστος Κανάβης Επιμέλεια : Τσιφάκης Χρήστος Αφιερωμένο σε όλους τους μαθητές της Α Λυκείου Τεύχος 3ο Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα

ΘΕΜΑ 80 Δίνεται ευθεία ( ) και δυο σημεία εκτός, αυτής έτσι ώστε η ευθεία να μην είναι κάθετη στην ( ). Φέρουμε, κάθετες στην ( ) και, μέσα των και αντίστοιχα. α) Αν τα είναι, στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ( ) i) να εξετάσετε αν το τετράπλευρο είναι, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την απάντησή σας: 1). (Μονάδες 4) ). (Μονάδες 4) ii) να εκφράσετε το τμήμα σε σχέση με τα τμήματα, στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6) β) Αν η ευθεία( ) τέμνει το τμήμα στο μέσο του να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο) και να δείξετε ότι τα ταυτίζονται., Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9+) α) i) Στην περίπτωση 1) όπου, έχουμε και //. Όμως οι // δεν είναι παράλληλες διότι αν ήταν το τετράπλευρο θα ήταν παραλληλόγραμμο άρα. Άτοπο. Επομένως το τετράπλευρο θα είναι τραπέζιο. αφού και Στην περίπτωση ) είναι Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 3

και //, επομένως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης 0 είναι ˆ 90 συνεπώς το είναι ορθογώνιο. ii) Στην περίπτωση 1) όπου το είναι τραπέζιο η είναι διάμεσος και επομένως. Στην περίπτωση ) όπου το είναι ορθογώνιο θα είναι. β) Είναι //. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα,. Είναι 1) ˆ ˆ 90 0 ) αφού μέσο της. ˆ ˆ ως κατακορυφήν 3) 1 επομένως σύμφωνα με τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και. Συνεπώς το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Οπότε οι διαγώνιοι του, διχοτομούνται και επομένως είναι. Οπότε το μέσο της είναι το και αφού σύμφωνα με την υπόθεση το είναι το μέσο της, συμπερασματικά τα σημεία, ταυτίζονται. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 4

ΘΕΜΑ 3695 Έστω ΑΒΓ τρίγωνο και τα ύψη του BE και που αντιστοιχούν στις πλευρές A και ABαντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση: Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με AB=A, τότε τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα. α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 10) β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να αποδείξετε ότι ισχύει. (Μονάδες 10) γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση. α) Αρκεί να δείξουμε ότι BE. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα Bκαι EB είναι ορθογώνια ˆ E 90 o έχουν την πλευρά Bκοινή και τις γωνίες Bκαι ˆίσες (καθώς το AB είναι ισοσκελές με βάση B), συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα -οξεία γωνία) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα BE. (Μονάδες 5) β) Πρόταση: Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με βάση B, αν τα ύψη του BE και είναι ίσα μεταξύ τους τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 5

Αρκεί να δείξουμε ότι οι γωνίες Bκαι ˆίσες. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα B και EB ˆ E 90 o έχουν την πλευρά Bκοινή και τις πλευρές BE είναι ορθογώνια και ίσες, συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα -κάθετη πλευρά) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα και τις γωνίες Bκαι ˆίσες μεταξύ τους. γ) Μια διατύπωση: Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη του είναι ίσα. ΘΕΜΑ 3697 α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα πλευρών ισοσκελούς τριγώνου είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ανάλογη πρόταση για i. ισόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδες 8) ii. ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. (Μονάδες 9) α) Υποθέτουμε ότι,, είναι τα μέσα του ισοσκελούς τριγώνου ( ) τότε: AB EZ/ / E, Z έ A,B,Zέ AB,B AΓ Z/ / ABA EZ Z. Άρα το είναι ισοσκελές. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 6

β) i. Υποθέτουμε ότι τα,, είναι τα μέσα του ισόπλευρου τριγώνου, τότε: AB EZ/ / E,Z A,B έ A,Z έ AB,B Z/ /,E έ AB,A B E / / ABA B EZ Z E. Άρα το είναι ισόπλευρο. ii) Υποθέτουμε ότι τα,, είναι τα μέσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου, A 90 o τότε: Γνωρίζουμε ότι το σχηματιζόμενο τρίγωνο είναι ισοσκελές από το ερώτημα (α), μένει να δείξουμε ότι είναι ορθογώνιο. o Z AE A90 ZE A A ZE# Z 90 o. ΘΕΜΑ 3699 Έστω παραλληλόγραμμο AB. Αν τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8) β) AE BZ. (Μονάδες 8) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 7

γ) Οι E και τριχοτομούν τη διαγώνιο A του παραλληλογράμμου (Μονάδες 7) AB. α) AB EB Z, οπότε το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. β) Θα δείξω ότι. Πράγματι, (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB, που τέμνονται από την E) και (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB, που τέμνονται από τη.άρα, δηλαδή AE BZ. γ) Έστω, τα σημεία τομής της A με τις E, ZB αντίστοιχα. Θα δείξω ότι AM MN N. Στο τρίγωνο έχουμε: E είναι το μέσο της και //. Άρα, M είναι το μέσο της. Οπότε: AM MN Στο τρίγωνο Mέχουμε: Z είναι το μέσο της και μέσο της M. Οπότε: MN M. Επομένως, AM MN N. Β τρόπος ZN M. Άρα, N είναι το Ας πούμε το μήκος της πλευράς AB aa, 0 τότε προφανώς θα είναι : AE EB Z Z. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 8

α) το τετράπλευρο EBZ έχει τις απέναντι πλευρές του Z,EB παράλληλες γιατί από την υπόθεση το τετράπλευρο AB είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης Z EB. Δηλαδή Z / / EB που μας εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο και άρα : β) E / / ZB, οι δε απέναντι γωνίες του είναι ίσες, συνεπώς ZB EB. Επειδή τα παραπληρώματα ίσων γωνιών είναι ίσα από: 0 0 ZB EB 180 ZB 180 EB 1. γ) Φέρνουμε από το παράλληλη στην ZBκαι θα κόψει την ευθεία ABστο. Άμεση συνέπεια: και το τετράπλευρο ZB είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει ανά δύο τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Θα είναι επομένως ίσες, οπότε: Z B. Ας είναι τώρα K, τα σημεία τομής της Aμε τις E,ZB αντίστοιχα. Οι ευθείες E,ZB, είναι παράλληλες και τα τμήματα AE EB B θα είναι λοιπόν και AK K. Αφού ως γνωστόν: Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και κάθε άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών είναι ίσα. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 9

ΘΕΜΑ 3704 Έστω ( 1),( ) δυο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο Ο και τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου που δεν ανήκει στις ευθείες. α) Αν M 1 είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την ( 1) και M το συμμετρικό του M 1 ως προς την i. OM OM 1. ( ), να αποδείξετε ότι: ii. Τα σημεία Μ, Ο και M είναι συνευθειακά. iii. Το τρίγωνο MM1M είναι ορθογώνιο. β) Αν M 3 είναι το συμμετρικό σημείο του M ως προς την ( 1), τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το MM1M M 3; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (α) (i) Αφού η ( 1) είναι μεσοκάθετος του MM 1, (λόγω της συμμετρίας), θα έχουμε OM OM. 1 (ii) Αφού και η ( ) είναι μεσοκάθετος της MM 1 άρα και το τρίγωνο OM1M είναι ισοσκελές. Αφού λοιπόν τα τρίγωνα OMM 1 και OM1M είναι ισοσκελή, άρα τα ύψη τους θα είναι και διχοτόμοι των γωνιών των κορυφών τους. Άρα O1 O και O3 O 4. Όμως 3 90 o o O O O O 3 180 o MOM M OM 180 MOM 180. o 1 1 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 10

Άρα τα σημεία M, O, M είναι συνευθειακά. (iii) Επίσης λόγω των ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε πιο πάνω, είναι MO OM1OM. Άρα στο τρίγωνο MOM η διάμεσος MO 1 ισούται με το μισό της αντίστοιχης πλευράς. Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με MM 1M 90 (β) Με όμοιο τρόπο όπως και στο (ii) δείχνουμε ότι τα σημεία M3, O, M 1 είναι επίσης συνευθειακά και ότι το τρίγωνο OM M 3 είναι και αυτό ισοσκελές. Άρα λόγων και των άλλων ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε στα προηγούμενα, θα έχουμε: OM 3 OM OM1 OM. Συνεπώς στο τετράπλευρο MM1M M 3 οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες και άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 3705 Δίνεται ορθογώνιο AB και έξω από αυτό, κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ABE, BZ, H, A. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος. (Μονάδες 15) β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο, τότε τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το EZH ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 0 ˆH 150. α) ˆ H 360 0 ˆ A A ˆ H ˆ 360 0 60 0 90 0 60 0 (Μονάδες 10) o Ομοίως αποδεικνύεται ότι: 0 AE ZBE ZH 150. ˆ Έχουμε ακόμα: H AE EB H και A BZ Z. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 11

Άρα τα τρίγωνα H, AE, BZE, ZH είναι ίσα (Π-Γ-Π). Οπότε, EZ ZH H E. Δηλαδή το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος. β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο, τότε τα ίσα τρίγωνα του προηγούμενου ερωτήματος 0 θα είναι ισοσκελή, οπότε H ˆ AˆE 15. Hˆ E Hˆ ˆ A Aˆ E 15 60 15 HˆE 90 0 0 0 0. Άρα το EZH είναι τετράγωνο, αφού είναι ρόμβος με μία γωνία ορθή. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1

ΘΕΜΑ 3706 Θεωρούμε ευθεία ( ) και δυο σημεία A και B εκτός αυτής, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ( ) έτσι ώστε, η ευθεία να μην είναι κάθετη στην (). Έστω και τα συμμετρικά σημεία των A και B αντίστοιχα ως προς την ευθεία ( ). α) Αν η μεσοκάθετος του τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο K, να αποδείξετε ότι το K ανήκει και στη μεσοκάθετο του. (Μονάδες 10) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε την σχέση των ευθειών και της ευθείας () ώστε το τετράπλευρο να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) α) Τα συμμετρικά των,, ως προς ( ) είναι τα,,. Άρα KA KA KB KB, AB AB. Αλλά ( ) μεσοκάθετος του. Άρα KA KB. Επομένως KA KB. Συνεπώς K ανήκει στη μεσοκάθετο του. β) Από ορισμό συμμετρίας, έχω ότι AA και BB. Άρα AA/ / BB (1). 1η περίπτωση: Αν AB AB τότε εξ ορισμού είναι τραπέζιο. (και μάλιστα ισοσκελές αφού AB AB ). Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 13

η περίπτωση: Αν AB AB τότε εξ ορισμού είναι παραλληλόγραμμο. AA BB Άρα AA BB.Έτσι AM BN. Συνεπώς ορθογώνιο γιατί έχουμε ακόμη ότι AA. Τότε, AB AA. Επομένως είναι ορθογώνιο. γ) Όπως προκύπτει από το β), πρέπει A / /( ). Όπως προκύπτει από την παραπάνω διερεύνηση τα ερωτήματα β), γ) δεν είναι σωστά.(ένα τραπέζιο στο β) ερώτημα γίνεται ορθογώνιο στο γ). ΘΕΜΑ 3711 Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο AB, A 90 και το ύψος του. Έστω και E τα συμμετρικά σημεία του H ως προς τις ευθείες και Aαντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ό τι: I. AH A AE (Μονάδες 6) II. Το τρίγωνο EH είναι ορθογώνιο (Μονάδες 6) III. Τα σημεία, και είναι συνευθειακά. (Μονάδες 6) β) Τα τρίγωνα ABκαι EH είναι ίσα; Αν ναι, να το αποδείξετε. Αν όχι, κάτω από ποιες αρχικές προϋποθέσεις θα μπορούσε να είναι ίσα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) ΣΧΟΛΙΟ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 14

Ζητείται πρώτα να δειχτεί ότι το τρίγωνο EH είναι ορθογώνιο και κατόπιν (!) ότι Τα σημεία, και είναι συνευθειακά. Εδώ, προφανώς είναι λάθος η σειρά των ερωτημάτων. Αν ένας μαθητής δεν αποδείξει πρώτα το (ΙΙΙ), θα έχει κάνει λάθος, αν θεωρήσει (αναπόδεικτα) ότι η E διέρχεται από το A. Αν ένας μαθητής φέρει τη E, δίχως να περνά από το A θα πελαγώσει... Δίνω μια λύση, παρατηρώντας ότι το ερώτημα (β) θα μπορούσε να απαντηθεί ευκολότερα αν χρησιμοποιούνταν ομοιότητα τριγώνων ή Μετρικές σχέσεις (ύλη Β Λυκείου). Αναρωτιέμαι αν υπάρχει λύση δίχως Απαγωγή σε άτοπο. α) Ι)Λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα A, B, είναι A AH. Ομοίως, λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα A,, είναι AE AH. ΙΙΙ) Λόγω συμμετρίας είναι A1 A, A3 A4 και αφού AA3 90, θα είναι A1 A A3 A4 180, οπότε τα E, A, είναι συνευθειακά. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 15

ΙΙ) Αφού στο τρίγωνο EH η διάμεσός του HAείναι το μισό της πλευράς E, θα είναι H 90. β) Για να ήταν με ακρίβεια διατυπωμένη η εκφώνηση, θα έπρεπε να αναφέρεται: "Τα τρίγωνα ABκαι EH είναι σε κάθε περίπτωση ίσα;" Είναι B ˆ, E ˆ αφού έχουν πλευρές κάθετες. Για να είναι ίσα, αρκεί να έχουν ίσες υποτείνουσες, δηλαδή αρκεί να είναι B AH. B Αν M μέσο της B, διαφορετικό σημείο από το H, είναι AM. Επειδή το είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα AM, είναι αδύνατο να είναι AH AM. Οπότε, τα τρίγωνα ABκαι EH είναι ίσα, μόνο όταν το ABείναι και ισοσκελές. ΘΕΜΑ 3713 Δίνεται τρίγωνο με και η διχοτόμος της γωνίας. Από το μέσο M της A φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο B που τέμνει την πλευρά B στο N. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο B είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5) β) Το τρίγωνο MN είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) γ) AN B. (Μονάδες 10) α) Bˆ B ˆ, οπότε το τρίγωνο B είναι ισοσκελές με B. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 16

β) MN B ˆ, γιατί οι γωνίες MN, B είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων B,. Άρα το τρίγωνο MN είναι ισοσκελές με. γ) Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε MN M A. ANείναι ορθογώνιο με AN N AN B. Δηλαδή η διάμεσος του τριγώνου AN ισούται με το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο ΘΕΜΑ 3714 Σε κύκλο κέντρου θεωρούμε τα ίσα τόξα και, το καθένα ίσο με 10. Έστω και τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα και να υπολογίσετε τις γωνίες τους. γ) Η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και. α) Είναι 60 ως εγγεγραμμένες σε τόξα 10. Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού δύο γωνίες 60. β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα από διότι έχουν: Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 17

3 και 4. ως χορδές με ίσα αντίστοιχα τόξα 60, 30 1 και 30 ως εγγεγραμμένες σε τόξα 60. Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων είναι και Το τρίγωνο έχει και 60. 5 Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν από δύο γωνίες ίσες με 30 τότε οι τρίτες γωνίες τους είναι: 180 30 10. γ) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή αφού έχουν από δύο γωνίες ίσες (β ερώτημα) έτσι είναι: 4. από το ισόπλευρο τρίγωνο, οπότε Έτσι από τις σχέσεις 3, 4, 5 δηλαδή η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και. ΘΕΜΑ 3715 Δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις 1 και : 1: Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. : Αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 18

α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προτάσεις 1 και αιτιολογώντας πλήρως την απάντησή σας. (Μονάδες 0) β) Στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως μια ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5) α) Έστω παραλληλόγραμμο AB και, οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του. 1: Το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. Τα τρίγωνα ABE, BZ είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, AB B (διαδοχικές πλευρές ρόμβου) και A (απέναντι ˆ γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα BE BZ, οπότε η πρόταση ισχύει. : Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου είναι ίσες. Τα τρίγωνα ABE, BZ είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, BE BZ (από υπόθεση) και A (απέναντι ˆ γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα AB B. Δηλαδή το παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος και η πρόταση ισχύει. β) Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν και μόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 19

ΘΕΜΑ 3717 Δίνεται τρίγωνο και Έστω τα, μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. α) Θεωρούμε τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου και τα, συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι //. β) Στην περίπτωση που το σημείο είναι το μέσο της πλευράς, και τα, συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά. α) Αφού τα είναι, τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου θα ισχύει και. / / 1 Τα είναι, και τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου έτσι Από 1, 3 / /.. / / 3 και 4 β) Αν το είναι το μέσο της πλευράς τότε: Το είναι παραλληλόγραμμο αφού / / / / 5. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 0

Το είναι παραλληλόγραμμο αφού / / / / επειδή το ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου. Άρα. / / 6 Από 5, 6 / / / /. Ομοίως / / / /. Άρα τα σημεία και, είναι συνευθειακά αφού από το μόνο μια παράλληλη διέρχεται προς το. ΘΕΜΑ 3718 Το τετράπλευρο του παρακάτω σχήματος είναι ρόμβος. Θεωρούμε AZ και AE B. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) β) Η ευθεία είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (Μονάδες 9) γ) Αν και τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10) α) Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ZAκαι AEB: Είναι ορθογώνια καθώς Z E 90 o έχουν ίσες υποτείνουσες A,AB (πλευρές ρόμβου) και έχουν ίσες οξείες γωνίες ˆ,B(απέναντι παραλληλογράμμου),άρα είναι ίσα συνεπώς όλα τα στοιχεία τους θα είναι ίσα, άρα AZ AE και το τρίγωνο ZAE είναι ισοσκελές. β) Θα δείξουμε ότι τα σημεία A, ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος ZE. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1

Πράγματι, από το ερώτημα α) προκύπτει Z Z B BE E, άρα το σημείο ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ZE. Ομοίως το σημείο A ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ZE, άρα τα σημεία A, ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος ZE. γ) Τα σημεία M,N είναι μέσα υποτεινουσών των ίσων τριγώνων ZAκαι AEB, άρα οι διάμεσοι ZM,EN θα είναι ίσες μεταξύ τους. Μένει να δείξουμε ότι MN/ /ZE. Στο τρίγωνο AB: Τα M,N είναι μέσα των πλευρών Aκαι ABαντίστοιχα, συνεπώς: MN/ / B. Από το ερώτημα β) ZE A ZE / / B. A B Από τις παραπάνω λαμβάνουμε ότι MN/ /ZE. Τέλος αν επιχειρήσουμε να δείξουμε ότι οι πλευρές ZM,ENδεν είναι παράλληλες θα συλλάβουμε ότι υπάρχει περίπτωση να είναι παράλληλες, είναι η περίπτωση που ο ρόμβος έχει μια γωνία εξήντα μοιρών. Τι κάνουμε τώρα γιατρέ μου; Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα

ΘΕΜΑ 370 0 Δίνεται ρόμβος AB με ˆ 10. Έστω ότι και είναι οι αποστάσεις του σημείου A στις πλευρές και B αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και B αντίστοιχα. (Μονάδες 8) ii) A EZ. (Μονάδες 8) β) Αν M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) α) i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν 0 τις γωνίες του. Άρα ˆA AˆB 60. Τα τρίγωνα λοιπόν A, AB, ως 0 ισοσκελή με μία γωνία 60, θα είναι ισόπλευρα. Άρα τα ύψη, θα είναι και διάμεσοι. Οπότε, τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και B αντίστοιχα. α. ii) EZ B (Λόγω του προηγούμενου ερωτήματος). Επειδή όμως οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες, θα είναι A EZ. B B β) MN ( M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα). Αλλά και EZ. Οπότε MN EZ, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο και έχει πλευρές Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 3

παράλληλες με τις διαγώνιες του ρόμβου. Επειδή όμως A B, θα είναι και EZ EM. Άρα, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. ΘΕΜΑ 371 Στο ισοσκελές τρίγωνο AB ( AB A ) φέρουμε τις διαμέσους B και E. Μία ευθεία παράλληλη στη βάση B τέμνει τις πλευρές και A στα Z και H αντίστοιχα και τις διαμέσους B και E στα σημεία και K αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) BZ H. (Μονάδες 8) β) τα τρίγωνα ZB και HK είναι ίσα. (Μονάδες 9) γ) ZK H. (Μονάδες 8) α) Αφού B και BZ,H τέμνονται στο Α, το τετράπλευρο ZHB είναι τραπέζιο. Αφού τρίγωνο AB ισοσκελές, τότε B ˆ ˆ. Συνεπώς ZHB είναι ισοσκελές τραπέζιο. Επομένως BZ H (1). AE A ˆ ˆ () ˆ ˆ A A β) A AB AE A B 1 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 4

Αφού B και B ˆ ˆ τότε Zˆ ˆ 1 H (3) (ως παραπληρώματα ίσων γωνιών-εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες). Από (1),(),(3) και το κριτήριο ( ), τα τρίγωνα γ) Συνεπώς ZKH. Άρα ZK ZK KH K H. ΘΕΜΑ 37 ZB και HK είναι ίσα. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο με και. Να αποδείξτε ότι: α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β) Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα. γ) Το τετράπλευρο που έχει για κορυφές τα μέσα των πλευρών του είναι ορθογώνιο. α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές επειδή έτσι 1. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 5

, 1 οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με. β) Επειδή και τα σημεία, ισαπέχουν από τα άκρα της οπότε η είναι η μεσοκάθετος της δηλαδή. γ) Αν,,, τα μέσα των,,, αντίστοιχα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο (γνωστή εφαρμογή). Είναι // και // αφού τα, ενώνουν τα μέσα δύο πλευρών των τριγώνων και αντίστοιχα, έτσι 90 ως παράλληλες σε κάθετες ευθείες. Άρα το είναι ορθογώνιο. ΘΕΜΑ 374 Δίνεται κύκλος (O, R ) με διάμετρο AB και δυο ευθείες 1, εφαπτόμενες του κύκλου στα άκρα της διαμέτρου AB. Έστω ότι, μια τρίτη ευθεία εφάπτεται του κύκλου σε ένα σημείο του Eκαι τέμνει τις 1, στα αντίστοιχα., α) Αν το σημείο Eδεν είναι το μέσο του τόξου AB, να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο AB είναι τραπέζιο. ii. A B. β) Αν το σημείο E βρίσκεται στο μέσον του τόξου AB, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο A B είναι ορθογώνιο. Στην περίπτωση αυτή να εκφράσετε την περίμετρο του ορθογωνίου ABως συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 6

α) i) Είναι A / / B ως κάθετες στην AB. Ακόμα η δεν είναι παράλληλη στην AB, διότι σε αντίθετη περίπτωση το AB θα ήταν παραλληλόγραμμο με μία ορθή, άρα ορθογώνιο. Τότε η EO ως κάθετη στην θα είναι κάθετη στην AB. Τότε τα AOE,BOE είναι τετράγωνα, οπότε το E θα ήταν μέσον της, που είναι άτοπο. ii) Αφού τα εφαπτόμενα τμήματα είναι ίσα, έχουμε: A BE E. β) Απαντήθηκε στο α (ι) ότι είναι ορθογώνιο. Η περίμετρός του είναι 6R. ΘΕΜΑ 375 Στο τετράγωνο ονομάζουμε το κέντρο του και θεωρούμε τυχαίο σημείο του τμήματος. Φέρνουμε την κάθετη από το στην, που τέμνει το τμήμα στο. Να αποδείξετε ότι: α) Οι γωνίες και του παρακάτω σχήματος είναι ίσες. β) και. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 7

γ) Το τμήμα είναι κάθετο στο. α) Είναι ως οξείες με κάθετες πλευρές, β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν και ως μισά των ίσων διαγωνίων, του τετραγώνου. Έτσι είναι και Τα και είναι ίσα από γιατί έχουν : ως πλευρές του τετραγώνου από (α) ερώτημα και ως αθροίσματα των ίσων γωνιών και με 45 Οπότε γ) Στο τρίγωνο τα τμήματα, είναι ύψη του που τέμνονται στο, δηλαδή το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, άρα και το είναι το τρίτο ύψος του δηλαδή το είναι κάθετο στο. ΘΕΜΑ 376 Θεωρούμε δύο σημεία A και B τα οποία βρίσκονται στο ίδιο μέρος ως προς μια / ευθεία ( ) τέτοια ώστε η ευθεία AB δεν είναι κάθετη στην (). Έστω A το συμμετρικό του A ως προς την ευθεία (). Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 8

/ (α) Αν η AB τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο O, να αποδείξετε ότι: / (i) Η ευθεία ( ) διχοτομεί την γωνία AOA. (ii) Οι ημιευθείες OA και OB σχηματίζουν ίσες οξείες γωνίες με την ευθεία (). (β) Αν K είναι ένα άλλο σημείο πάνω στην ευθεία () να αποδείξετε ότι: (i) KA KA. (ii) KA KB AO OB. (α) (i) Αφού το A είναι το συμμετρικό του A ως προς την (), η () είναι μεσοκάθετος του AA και άρα OA OA, οπότε το τρίγωνο AOA είναι ισοσκελές. Άρα το ύψος του OE είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του, δηλαδή η ( ) διχοτομεί την γωνία AOA. (ii) Έχουμε Άρα EOA AOE EOA, όπως δείξαμε στο (i) και BOK EOA, ως κατακορυφήν. BOK (β) (i) Αφού είδαμε ότι η ευθεία () είναι μεσοκάθετος του AA, θα είναι και KA K. (ii) Έχουμε: KA KB KA KB BA λόγω της τριγωνικής ανισότητας στο / τρίγωνο KBA. Συνεπώς: KA KB BA BO OA BO OA. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 9

Β τρόπος α) i. Επειδή τα και ' είναι συμμετρικά ως προς την η ευθεία είναι μεσοκάθετος του οπότε τρίγωνο ισοσκελές. ' '1 και το ' είναι Έτσι η μεσοκάθετος του τριγώνου είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής δηλαδή της '. ii. Αν είναι το σημείο τομής του ' με την, η οξεία γωνία που σχηματίζει η ημιευθεία με την και η οξεία γωνία της με την, τότε: ' αφού η μεσοκάθετος του ισοσκελούς τριγώνου ' ' είναι και διχοτόμος. Όμως ' ως κατακορυφήν. β) i. Αφού το είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος '3. ii. Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ' ισχύει: ' θα ισχύει Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 30

3 1 ' ' ' 4. Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο είναι: Από 4, 5 (μεταβατική ιδιότητα). 5. ΘΕΜΑ 377 Στο τετράγωνο προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα και την πλευρά κατά τμήμα. α) Να αποδείξετε ότι: i). ii). β) Αν το συμμετρικό σημείο του ως προς την ευθεία, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τετράγωνο. α) i. Έστω είναι η πλευρά του τετραγώνου. Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν: και Άρα και ii. Είναι 1, 3 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από τη. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 31

90. β) Αν είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε το τμήμα είναι μεσοκάθετος του, αφού το το συμμετρικό σημείο του ως προς Άρα 3 και 4 3, 4 1 Οπότε το είναι τετράγωνο αφού έχει όλες τις πλευρές του ίσες, κάθετες διαγώνιες και μία ορθή γωνία 90. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 3

ΘΕΜΑ 378 Έστω ότι ο κύκλος ( O, ) εφάπτεται των πλευρών του τριγώνου PE στα σημεία A, και B. α) Να αποδείξετε ότι: i. P AP. (Μονάδες 6) ii. P PE E. (Μονάδες 8) β) Αν ABE, να αποδείξετε ότι i. το τρίγωνο PE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) ii. Τα σημεία, και είναι συνευθειακά. (Μονάδες 5) α. i) Επειδή τα εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο από ένα σημείο εκτός κύκλου είναι ίσα, θα είναι: PA PB, A και E EB. Οπότε: P PA A PA. α. ii) P AP PB PE BE PE E ABE β. i) P PA A PB BE P PE. Άρα το τρίγωνο PE είναι ισοσκελές. β. ii) Είναι O E (ακτίνα κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής). Επειδή όμως κύκλος ( O, ) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου PE και το τρίγωνο είναι ισοσκελές, η διχοτόμος από την κορυφή A διέρχεται από το σημείο O και είναι και ύψος. Δηλαδή, PO E. Από το σημείο όμως, υπάρχει μόνο μία κάθετη στη E. Άρα, τα σημεία και, είναι συνευθειακά. ο του ΘΕΜΑ 379 Θεωρούμε κύκλο κέντρου και εξωτερικό σημείο του. Από το φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήμα και. Η διακεντρική ευθεία τέμνει τον κύκλο στο Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 33

σημείο. Η εφαπτόμενη του κύκλου στο τέμνει τα και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β). (Μονάδες 8) γ) η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με. (Μονάδες 7) α) Αρκεί να δείξουμε ότι P P. Γνωρίζουμε ότι η διακεντρική ευθεία POδιχοτομεί την γωνία APB που σχηματίστηκε από τα εφαπτόμενα τμήματα PAκαι PB. Συνεπώς : APO BPO. Αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα P και P διαπιστώνουμε ότι είναι ορθογώνια ˆ 90 o έχουν κοινή κάθετη πλευρά P και όπως δείξαμε πριν έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες APO BPO. Συνεπώς είναι ίσα τρίγωνα, άρα έχουν όλα τα στοιχεία τους ίσα, θα είναι λοιπόν P P. β) Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα, άρα PA PB συνεπώς συνδυάζοντας και το συμπέρασμα του προηγούμενου ερωτήματος: A PA P PB P B. γ) Τα σημεία, είναι εξωτερικά του κύκλου και τα τμήματα A, και, B είναι εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από αυτά, άρα ίσα μεταξύ τους. Έχουμε: A, B PP P P PA BP PA PB. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 34

ΘΕΜΑ 373 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB και το ύψος του A. Στο A θεωρούμε σημείο H τέτοιο ώστε HA HB.Έστω ότι E είναι το σημείο τομής της με την A. Φέρνουμε την κάθετη στην, η οποία τέμνει την πλευρά B στο. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα HBκαι είναι ίσα. (Μονάδες 6) ii) Z. (Μονάδες 6) iii) Η ευθεία H είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (Μονάδες 6) β)ποιο από τα σημεία του σχήματος είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) α) i)τα τρίγωνα HB και είναι ίσα, επειδή είναι ορθογώνια και έχουν (από υπόθεση) και BH AHZ (ως κατακορυφήν). HB HA α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), προκύπτει ότι HHZ. Άρα η H είναι διχοτόμος της γωνίας A ˆ B ( Το σημείο H ισαπέχει από τις πλευρές της). Επομένως τα ορθογώνια τρίγωνα H και ZH είναι ίσα (έχουν κοινή υποτείνουσα και H ˆ H ˆZ). Άρα Z. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 35

α. iii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), έχουμε ακόμα BAZ. B B AZ Z B A, οπότε το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές. Άρα η H που διχοτομεί τη γωνία A ˆ B, θα είναι μεσοκάθετος της. α) Στο τρίγωνο, τα ύψη AZ, B τέμνονται στο σημείο, που είναι και το ορθόκεντρο του τριγώνου. ΘΕΜΑ 3734 Σε ισοσκελές τραπέζιο ( // ) είναι. α) Να αποδείξετε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας. (Μονάδες 7) β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου, ώστε το τετράπλευρο να είναι ρόμβος. (Μονάδες 10) γ) Αν επιπλέον είναι γωνία 10 και οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται στο σημείο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου. (Μονάδες 8) α) Γνωρίζουμε ότι AB A άρα το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές, συνεπώς A BAB. Τα ευθύγραμμα τμήματα AB, είναι παράλληλα και τέμνονται από την B, άρα οι γωνίες AB, B είναι ίσες μεταξύ τους ως εντός Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 36

εναλλάξ. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι AB B που οδηγεί στο συμπέρασμα. β) Γράφουμε κύκλο με κέντρο το και ακτίνα A, έστω E το σημείο τομής του με την πλευρά, θα δείξουμε ότι το τετράπλευρο ABEείναι ρόμβος. Το ευθύγραμμα τμήματα AB, είναι παράλληλα (παράλληλες πλευρές τραπεζίου), άρα θα είναι και τα τμήματα AB και E παράλληλα, επιπλέον AB A E,συνεπώς είναι ίσα, δείξαμε έτσι ότι το τετράπλευρο ABE είναι παραλληλόγραμμο. Οι απέναντι πλευρές του A,BE θα είναι ίσες,άρα ισχύει: AB AE BE και το τετράπλευρο είναι ρόμβος. γ) Θα δείξουμε προπαρασκευαστικά ότι το τρίγωνο EB είναι ισόπλευρο. Πράγματι είναι ισοσκελές καθώς: B A BE, οι γωνίες AB και EB είναι ίσες ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου και η BE είναι παραπληρωματική της EB, άρα ίση με 60 o, συνεπώς το ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες βάσεων 60 o είναι ισόπλευρο. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 37

Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις απέναντι γωνίες, όπως και ότι οι διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές. Άρα: O 90 o. 1 1 OB ABE EB 60 60 90 B E 60 o, 0 o o, 1 1 EO EB BE 60 10 10 ΘΕΜΑ 3735 o o o. Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB<ΑΓ. Έστω Αx η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A. α) Να αποδείξετε ότι: i. A 180, όπου A και παριστάνουν τις εξωτερικές γωνίες των, A, αντίστοιχα. (Μονάδες 10) ii. Η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A τέμνει την προέκταση της πλευράς (προς το μέρος του ) σε σημείο. (Μονάδες 8) β) Αν το τρίγωνο ABΓ είναι ορθογώνιο στο A και 15, να αποδείξετε ότι BΓ=ΑΒ. (Μονάδες 7) α) i) A 180 180. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 38

ii) B x AB B B 180 180, 45 0 45 0 Α Z 15 0 Β 60 0 30 0 Γ x γιατί AB<ΑΓ 0, οπότε αφού οι εντός και επί τα αυτά μέρη των x και που τέμνονται από την έχουν άθροισμα μικρότερο των 180 η x και η θα τέμνονται στο ημιεπίπεδο της που δεν περιέχει το. 90 β) Είναι 15 60, ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο οπότε 30 και έτσι θα είναι, δηλαδή BΓ=ΑΒ. ΘΕΜΑ 3741 Σε παραλληλόγραμμο AB με γωνία A αμβλεία, ισχύει AB A. Τα σημεία E και Z είναι μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. Από το φέρουμε την H κάθετη στην προέκταση της B. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο AEZ είναι ρόμβος. (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 39

γ) Το τμήμα είναι διχοτόμος της γωνίας ZH. (Μονάδες 8) α) AB A AE A EZ AZ. Άρα το τετράπλευρο ρόμβος. AEZ είναι β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο H η είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, οπότε ZH ZA ZE. Άρα, τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Από το ισοσκελές τρίγωνο, έχουμε HEZ EHZ. Αλλά, HEZ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων, που τέμνονται από την. Άρα διχοτόμος της γωνίας ZH. ΘΕΜΑ 3745, δηλαδή το τμήμα είναι Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και το ύψος του στην πλευρά. Στην προέκταση του θεωρούμε τμήμα. Στην προέκταση του προς το μέρος του θεωρούμε τμήμα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ρόμβος. β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 40

γ) Το σημείο είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου. α) Αφού το είναι ύψος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου θα είναι και διάμεσος. Έτσι το είναι ρόμβος αφού οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και δύο διαδοχικές του πλευρές είναι ίσες β) Το είναι μεσοκάθετος του, έτσι οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Στο τρίγωνο το τμήμα είναι διάμεσός του και ισχύει: οπότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου. 3 ΘΕΜΑ 3747 Δίνεται τρίγωνο με γωνία ίση με 10 και γωνία είναι ίση με 45. Στην προέκταση της προς το, παίρνουμε τμήμα. Από το φέρνουμε την κάθετη στην που την τέμνει στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία είναι ίση με 30. β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 41

γ) Αν το μέσο της, τότε 90. δ) Το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος. α) 60 ως παραπληρωματική της 10. Από το ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι 30 β) Αφού στο ο ορθογώνιο τρίγωνο είναι 30 τότε άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές. γ) Είναι και η διάμεσός του είναι άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο αφού η διάμεσος του ισούται με το μισό της αντίστοιχής πλευράς, με υποτείνουσα, οπότε 90. δ) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν: και άρα είναι και δηλαδή το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος αφού ισαπέχει από τα άκρα του. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 4

ΘΕΜΑ 3751 Δίνεται τυχαίο τρίγωνο και η διάμεσός του. Έστω ότι είναι το μέσο της τέτοιο ώστε και γωνία 10. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6) γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 6) δ) Αν το σημείο είναι η προβολή του στην, να αποδείξετε ότι. (Μονάδες 8) ΑΡΧΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ: Η εκφώνηση «τυχαίο τρίγωνο» είναι εντελώς άστοχη και η λέξη τυχαίο πρέπει να παραληφθεί αφού για να ισχύουν όλα τα δεδομένα πρέπει τελικά να είναι ορθογώνιο στο!!! α) 60 ως παραπληρωματική της 10., οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με μια γωνία 60, άρα ισόπλευρο και όλες του οι γωνίες θα είναι 60. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 43

β) Η είναι διάμεσος του τριγώνου και ισχύει από (α) οπότε το τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο στο. γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατί έχουν: 1), αφού μέσο της. ), αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, 3) 10, ως παραπληρωματική της 60 (κριτήριο Π-Γ-Π) δ) Στο ισόπλευρο τρίγωνο είναι ύψος άρα και διχοτόμος και διάμεσος. Άρα, οπότε. Δούρειος ίππος. Το τρίγωνο AB όχι μόνο δεν είναι τυχαίο αλλά είναι ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο, ( 0 B 90 ) αφού οι πλευρές του συνδέονται με τις σχέσεις: 3 7,,. Το ότι από ψευδές μπορούμε να έχουμε αληθές και το κακέκτυπο (γιατί άραγε σχεδιασμένο με το χέρι;) σχήμα που δίδεται δεν απαλλάσσει τον θεματοδότη από τις ευθύνες του. Αν δεν είναι ανικανότητα τότε είναι «ανεντιμότητα» απέναντι στα παιδιά μας. ΘΕΜΑ 3754 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Από την κορυφή φέρουμε. Έστω, τα μέσα των πλευρών και αντιστοίχως, τότε: α) Να αποδείξετε ότι: i. 90. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 44

ii.. γ) Αν 30, να αποδείξετε ότι. α) i. Τα τμήματα, είναι διάμεσοι στις υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων και αντίστοιχα, οπότε: και δηλαδή τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή, οπότε: 1 και. 1, 90. ii. Το τμήμα ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου, έτσι: 3. β) Αν 30. τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο θα ισχύει: 4 Από 3, 4. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 45

ΘΕΜΑ 3757 Δίνεται ορθογώνιο με κέντρο και,. Στην προέκταση της πλευράς (προς το ) παίρνουμε σημείο ώστε. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8) ii. Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 9) β) Αν η τέμνει την πλευρά στο σημείο, να αποδείξετε ότι. (Μονάδες 8) α) i. Αφού EA A B / / A θα είναι και EA / / B συνεπώς το τετράπλευρο AEB έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες και επομένως είναι παραλληλόγραμμο. Άμεση συνέπεια: EB / / A (1) ii. Οι διαγώνιες του ορθογωνίου είναι ίσες, έτσι αν θέσουμε B θα είναι: A B και λόγω της (1) ( προηγούμενο ερώτημα) BE. Επίσης από την υπόθεση E A E B E. Δηλαδή το τρίγωνο EB έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες άρα είναι ισόπλευρο και ως γνωστό κάθε 0 γωνία του είναι από 60. β) Στο ισόπλευρο τώρα EB η EO είναι διάμεσος γιατί οι διαγώνιοι του ορθογωνίου AB διχοτομούνται. Έτσι όμως το EO είναι και ύψος στο Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 46

τρίγωνο αυτό και άρα προφανές ότι το Z είναι το ορθόκεντρο του, οπότε αναγκαστικά η Z ο φορές του τρίτου ύψους του και άρα Z EB. Παρατηρήσεις: Η άσκηση λύνεται και με άλλους τρόπους ( π.χ. με υπολογισμό γωνιών κ. λ. π.) επέλεξα τον πιο πάνω τρόπο για να δοθεί έμφαση αφ ενός ότι ή απάντηση κάθε ερωτήματος προκύπτει συνήθως από το ή τα προηγούμενα άλλα και αφ ετέρου στην αξιοποίηση του ορθοκέντρου σε ασκήσεις καθετότητας που συνήθως δεν περνά από τη σκέψη μεγάλης μερίδας ( και δικαιολογημένα ) μαθητών. ΘΕΜΑ 3787 Έστω AB,,συνευθειακά σημεία με AB B. Θεωρούμε το μέσο M της. Προς το ίδιο ημιεπίπεδο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα AB, BE. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο AEBείναι τραπέζιο ( A BE ). (Μονάδες 9) β) Τα τρίγωνα MB, EBείναι ίσα. (Μονάδες 8) γ) Το τετράπλευρο MBE είναι εγγράψιμο. (Μονάδες 8) 0 0 α) BA EB 60 BE 60. 0 Άρα A BE 60 κι επειδή είναι εντός εναλλάξ, τότε A BE ( A BE ), οπότε το τετράπλευρο AEB είναι τραπέζιο. β) AB B MB B EB. Τα τρίγωνα MB, EB έχουν τη B κοινή, Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 47

0 MB BE και BM EB 60. Άρα είναι ίσα. γ) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι 0 EB MB 90 (στο ισόπλευρο τρίγωνο κάθε διάμεσος είναι και ύψος). Το τετράπλευρο MBE είναι λοιπόν εγγράψιμο, αφού δύο από τις απέναντι γωνίες του είναι ορθές. ΘΕΜΑ 3789 Δίνεται παραλληλόγραμμο AB. Θεωρούμε το μέσο M της πλευράς A και E κάθετος από τη κορυφή στην ευθεία MB E MB. Η παράλληλη από την κορυφή στην ευθεία MB x / /MB τέμνει τις B και E στα σημεία N,Z αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο MBN είναι παραλληλόγραμμο. β) Το σημείο Z είναι μέσον του ευθυγράμμου τμήματος E. γ) E. α) Είναι MB/ / Z και M / /BZ, οπότε το MBN είναι παραλληλόγραμμο. β) Από το MBN είναι: A AB B BN M δηλαδή το N είναι μέσο του B. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 48

Στο τρίγωνο BEτο N είναι μέσο του B και NZ/ /BEάρα το Z είναι μέσον του ευθυγράμμου τμήματος E. γ) Είναι Z/ /ME και ME E άρα και Z E. Στο τρίγωνο E το Z είναι ύψος και διάμεσος οπότε είναι ισοσκελές, δηλαδή E. ΘΕΜΑ 3793 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο AB. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα ισόπλευρα τρίγωνα, A. Ονομάζουμε Z το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων B, E. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα AE και AB είναι ίσα και να γράψετε τα ζεύγη των ίσων γωνιών. (Μονάδες 10) β) Τα τετράπλευρα AZ, είναι εγγράψιμα. (Μονάδες 10) γ) Η γωνία BZ είναι 10 o. (Μονάδες 5) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 49

α)αφού τρίγωνα, A ισόπλευρα, έχουν ίσες πλευρές και γωνίες 60 o. Έχω: AE AB A A AE AB. Άρα ˆ 1 ˆ και ˆ 1 ˆ. ˆ O 60 ˆ ˆ EA A BA β) Το τετράπλευρο AZ είναι εγγράψιμο αφού ˆ ˆ (η πλευρά 1 φαίνεται από τις απέναντι κορυφές, υπό ίση γωνία). Όμοια το τετράπλευρο. γ) Αφού AZ είναι εγγράψιμο τότε Z ˆ ˆ 60 o (ίση με απέναντι εσωτερική). Όμοια, ˆ ˆ o Z1 E 60. Συνεπώς ˆ ˆ ˆ o BZ Z1 Z 10. ΘΕΜΑ 3796 Δίνονται οξυγώνιο τρίγωνο AB, BE, Z τα ύψη από τις κορυφές B, αντίστοιχα και H το ορθόκεντρο του τριγώνου. Επίσης δίνονται τα M, N, K, μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων AB, A, H, BH αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. MN K. (Μονάδες 6) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 50

ii. NK M AH. (Μονάδες 6) iii. Το τετράπλευρο MNK είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6) β) Αν το O είναι το μέσο της B, να αποδείξετε ότι MOK ˆ 90 o. (Μονάδες 7) α) Στο τρίγωνο, M oab AH M (1). obh Όμοια στα τρίγωνα AH, AB, BH, BH έχω: KN AH (), MN B (3), K B (4), KO BH (5), OM B (6). i) Από(3),(4) MN K (7). ii) Από(1),() NK M AH. iii) Λόγω της (7) το τετράπλευρο MNK είναι παραλληλόγραμμο. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 51

Αφού H ορθόκεντρο, συνεπώς M K. AH B. Όμως K B. Άρα AH K. Είναι AH M, Επομένως το παραλληλόγραμμο MNK έχοντας μια ορθή γωνία, είναι ορθογώνιο. β) Αφού BH B (H ορθόκεντρο ) και ισχύουν οι (5),(6) έχω MO OK δηλαδή MOK ˆ 90 o (όπως β. iii) ή γωνίες με πλευρές κάθετες). ΘΕΜΑ 3798 0 Δίνεται ορθή γωνία xoy ˆ 90 και, σημεία των ημιευθειών y,ox αντίστοιχα, με OA OB. Η ( ) είναι ευθεία που διέρχεται από την κορυφή O και αφήνει τις ημιευθείες y,ox στο ίδιο ημιεπίπεδο. Η κάθετη από το σημείο A στην ( ) την τέμνει στο και η κάθετη από το σημείο B στην ( ) την τέμνει στο E. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα OA και είναι ίσα. (Μονάδες 7) β) A BE E. (Μονάδες 7) γ) MN E, όπου, είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των E και. (Μονάδες 7) δ) Το τρίγωνο ME είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. (Μονάδες 4) Α) Τα ορθογώνια τρίγωνα OA και έχουν OA OB και (είναι οξείες και έχουν τις πλευρές τους κάθετες). Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 5

β) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι: OBE και OE A. Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε A BE E γ) Από την υπόθεση η είναι διάμεσος του τραπεζίου AEB, οπότε: A BE E MN. δ) Το τρίγωνο ME είναι ορθογώνιο επειδή από το ερώτημα (γ), η διάμεσός του είναι ίση με το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί. Η είναι όμως μεσοκάθετος του E, οπότε το τρίγωνο είναι και ισοσκελές. Σε περίπτωση που είναι AB E, τότε το AEB είναι ορθογώνιο, τα σημεία, συμπίπτουν και είναι MN A. Τότε όμως το τετράπλευρο ANM είναι τετράγωνο, οπότε MN N NE E. Παρατήρηση: Το AEB δεν είναι απαραίτητα τραπέζιο. Αν AB, τότε N O και Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 53

MA N, MNEB τετράγωνα. Οπότε ΘΕΜΑ 3800 MN N NE E Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο AB και τα σημεία και E των πλευρών και A αντίστοιχα, ώστε να είναι A E. Έστω O το σημείο τομής των και. α) Να αποδείξετε ότι: i) BEˆ ˆA. (Μονάδες 10) ii) ˆ o BO 10. (Μονάδες 10) β) Να εξετάσετε αν το τετράπλευρο AEO είναι εγγράψιμο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5) α) Αφού το τρίγωνο AB είναι ισόπλευρο έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες με 60 o. Τα τρίγωνα BE και A είναι ίσα (κριτήριο ΠΓΠ) γιατί έχουν: E A (υπόθεση), ˆ o A 60 ˆ και B A. i) Επομένως ˆ ˆ 1 δηλ. το i. και ˆ ˆ (1) 1 o. o ii) Είναι, ˆ 60 ˆ o o 60 (). Στο τρίγωνο BO, (1),() 1180 o 1 ˆ 180 o 60 o 10 o Oˆ ˆ ˆ ˆ. β) Είναι ˆ ˆ 10 o O1O ως κατακορυφήν. Στο τετράπλευρο AEO έχω ˆ ˆ o o o AO 60 10 180 και AO ˆ, ˆ είναι Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 54

απέναντι γωνίες του, άρα είναι εγγράψιμο. ΘΕΜΑ 3806 Δίνεται το τετράγωνο AB. Στη διαγώνιο A θεωρούμε σημεία I, O, H ώστε AI IO OH H. Αν E, και Z τα μέσα των πλευρών, AB και B αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο OZE είναι τετράγωνο. β) ZH A. 4 γ) Το τετράπλευρο IZH είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, με Z ZH. (α) Στο τρίγωνο AB η OZ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του. Άρα OZ // AB. Επίσης E // AB (διότι το E είναι μέσον του ). Άρα OZ //E και συνεπώς το τετράπλευρο OZE είναι παραλληλόγραμμο. Και αφού η γωνία ZE είναι ορθή, άρα είναι ορθογώνιο. Επίσης έχουμε: B AB Z OZ. Άρα το πιο πάνω ορθογώνιο, είναι τετράγωνο, αφού έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. (β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο OZ, η ZH είναι διάμεσος στην υποτείνουσα. Άρα 1 1 1 A ZH O. A. 4 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 55

(γ) Στο τρίγωνο BA, η Z ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του. Άρα Z // A. A AO O. IO. OH ( IO OH ). IH Όμως IH. Δείξαμε λοιπόν, ότι Z // IH και άρα το τετράπλευρο IZH είναι παραλληλόγραμμο. Φέρνουμε τώρα την διαγώνιο B του δοσμένου τετραγώνου και αφού το O είναι το μέσον της μιας διαγωνίου του άρα θα είναι το κέντρο του τετραγώνου και άρα και η άλλη διαγώνιος θα περάσει από το O. Επίσης είναι γνωστό ότι οι διαγώνιοι του τετραγώνου τέμνονται καθέτως. Τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνο BO η ZH ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του. Άρα ZH // BO και άρα η ZH είναι κάθετη στην O και άρα το παραλληλόγραμμο ZHI είναι ορθογώνιο, αφού έχει μια γωνία ορθή. Τέλος, A έχουμε: Z IH (ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου) : Όμως IH O ZH (διότι από το (β) ερώτημα είδαμε ότι λοιπόν ότι Z ZH. ΘΕΜΑ 3808 Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ZH O ). Συμπεραίνουμε 0 AB ( A 90 ), τα μέσα, EZ, των πλευρών του και το ύψος του AK. Έστω το σημείο τομής των AZ και E. α) Να αποδείξετε ότι: i) Το τετράπλευρο AZE είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8) ii) B A E. (Μονάδες 7) 4 0 γ) Αν επιπλέον είναι ˆ 30 i) να βρείτε τη γωνία AZB. (Μονάδες 5) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 56

ii) να αποδείξετε ότι B BK. (Μονάδες 5) 4 α) i) Αφού, EZ, είναι τα μέσα των πλευρών AB, A, B αντίστοιχα, του τριγώνου AB, το τετράπλευρο AZE είναι παραλληλόγραμμο, κι επειδή έχει μία γωνία ορθή, θα είναι ορθογώνιο. α. ii) Είναι από το προηγούμενο ερώτημα AZ E (διαγώνιοι ορθογωνίου). Οπότε: E A E. Αλλά B B E A E. 4 β. i) 0 A90 0 0 ˆ 30 B 60 AZ ZB (διάμεσος ορθογωνίου 0 τριγώνου). Άρα: ZAB B 60. Δηλαδή το τρίγωνο ABZ είναι 0 ισόπλευρο, οπότε AZB 60 β. ii) Το ύψος AKτου τριγώνου AB είναι διάμεσος του ισοπλεύρου τριγώνου ABZ. Άρα: BZ B BK. 4 ΘΕΜΑ 3810 Σε τραπέζιο AB (AB/ / ) ισχύει AB A. Αν η διχοτόμος της γωνίας A τέμνει την Bστο E και την προέκταση της στο Z, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) Το E είναι το μέσο του B (Μονάδες 10) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 57

γ) Η E είναι διχοτόμος της γωνίας του τραπεζίου. (Μονάδες 8) α) Αφού A1A Z (εντός εναλλάξ),έπεται ότι το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές β) Είναι : Z Z A AB AB Επομένως το ABZ είναι παραλληλόγραμμο κι αφού οι διαγώνιες διχοτομούνται, το E είναι το μέσο του B. γ) Αφού το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές και η E είναι διάμεσος, θα είναι και διχοτόμος της γωνίας του τραπεζίου. ΘΕΜΑ 3811 Δίνεται τραπέζιο AEB, με A // BE και O το μέσον της E. Θεωρούμε σημείο Z στην AB τέτοιο ώστε AZ A και BZ BE. Αν η γωνία AZ, (α) να εκφράσετε την γωνία συνάρτηση με την AZ σε (β) Να εκφράσετε την γωνία EZB σε συνάρτηση με την (γ) Να αποδείξετε ότι οι OA και OB είναι μεσοκάθετοι των τμημάτων Z και ZE αντίστοιχα. (α) Το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές από την υπόθεση και άρα AZ ZA. Από το τρίγωνο AZ έχουμε: Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 58

180 o o AZ Z A AZ 180 AZ 90 (β) Το τρίγωνο EZB είναι και αυτό ισοσκελές από την υπόθεση και άρα EZB ZEB. Όμως από το τρίγωνο ZEB έχουμε: ˆ 180 o o EZB ZEB B EZB 180 B ˆ, (ΣΧΕΣΗ 1) Αλλά ˆ ˆ o AB 180 ( ως εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων A και BE που τέμνονται από την AB. Συνεπώς έχουμε: ˆ180 o o B 180 Bˆ, (ΣΧΕΣΗ ) Από τις σχέσεις 1 και, παίρνουμε EZB EZB (γ) Προεκτείνουμε την EZ μέχρι να συναντήσει την ευθεία A στο σημείο P. Τότε έχουμε Z1 Z ως κατακορυφήν. Επίσης E Z, ως παρά την βάση γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου EZB. Όμως είναι και E P ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων P και EB που τέμνονται από την EP. Από τα ανωτέρω συμπεραίνουμε ότι Z1 P και άρα το τρίγωνο AZP είναι ισοσκελές, δηλαδή AZ AP και αφού από την υπόθεση είναι και AZ A άρα ZA AP A και συνεπώς το τρίγωνο ZP είναι ορθογώνιο με κορυφή της ορθής γωνίας το Z. Τώρα στο τρίγωνο PE, η AO ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του και άρα θα είναι παράλληλη με την PE. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 59

Αφού λοιπόν PE κάθετη στην Z, άρα θα είναι και AO κάθετη στην Z. Επίσης από το τρίγωνο PZ έχουμε ότι η AO περνάει από το μέσον της πλευράς AP είναι και παράλληλη με την PZ, άρα θα περνάει και από το μέσον της Z. Δείξαμε λοιπόν ότι η AO είναι μεσοκάθετος της Z. Όμοια δείχνουμε ότι και η BO είναι μεσοκάθετος της ZE. ΘΕΜΑ 381 Δίνεται παραλληλόγραμμο AB, με AB A. Θεωρούμε σημεία K, των A και AB αντίστοιχα ώστε AK A. Έστω M το μέσο του K και η προέκταση του AM (προς το M) τέμνει τη στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι: α) A E. β) BE AB. γ) BA K α) Το τρίγωνο A Kείναι ισοσκελές αφού AK Aοπότε η διάμεσος του AM είναι και διχοτόμος δηλαδή KAM MA 1 AE MA ως εντός και εναλλάξ. 1, KAM AE οπότε το τρίγωνο AE είναι ισοσκελές με A E 3 β) 3 AB BE AE AE E BE AB. γ) Από το παραλληλόγραμμο AB είναι B 180 A 4 Από το ισοσκελές τρίγωνο AK είναι. AK AK 5 και Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 60

AAK 180 AK 180 AAK B. ΘΕΜΑ 3815 4 Δίνεται παραλληλόγραμμο AB με AB B, τη γωνία A αμβλεία και M το μέσο της. Φέρουμε κάθετη στην A στο σημείο A, η οποία τέμνει την B στο H. Αν η προέκταση της HM τέμνει την προέκταση της A στο E, να αποδείξετε ότι: α) Η AM είναι διχοτόμος της γωνίας AB. β) Τα τμήματα EH, διχοτομούνται. γ) E MA. AB α) Είναι A B και το τρίγωνο AM είναι ισοσκελές οπότε Όμως MA AM 1 MA MAB ως εντός και εναλλάξ. 1, MAB AM δηλαδή η AM είναι διχοτόμος της γωνίας AB. AB AB M M οπότε είναι A M δηλαδή β) Τα τρίγωνα ME και MH είναι ίσα από αφού έχουν: M M επειδή M το μέσο της ME MH ως κατακορυφήν και Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 61

EM H M ως εντός και εναλλάξ Έτσι EM MH οπότε το M είναι και μέσο της EH δηλαδή τα EH, διχοτομούνται. γ) Το AM είναι διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AEH οπότε: EH AM EM δηλαδή το τρίγωνο AME είναι ισοσκελές και ΘΕΜΑ 3994 1 E AM E MA. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABμε AB Aκαι,Eτα μέσα των πλευρών του AB και Aαντίστοιχα. Στην προέκταση της E(προς το E) θεωρούμε σημείο ώστε EAE και στην προέκταση της E(προς το ) θεωρούμε σημείο Kτέτοιο ώστε K A. Να αποδείξετε ότι: α) K E. β) Τα τρίγωνα AKBκαι A είναι ορθογώνια. γ) Τα τρίγωνα AKBκαι A είναι ίσα. AB A. α) Είναι K A 1 και E AE ABA 1, E K 3. β) Στο τρίγωνο A η E είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην Aκαι είναι A E, δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 6

Για τον ίδιο λόγο και το τρίγωνο AKB είναι ορθογώνιο. γ) Τα τρίγωνα A και AEK είναι ίσα από αφού έχουν: A AE ως μισά των ίσων τμημάτων AB,A, KE ως αθροίσματα των ίσων τμημάτων E,K με το, E AE A E ως γωνίες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου AE. Άρα και A AK 3. Οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα AKBκαι A είναι ίσα αφού έχουν AB Aκαι A AK. ΘΕΜΑ 481 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABΓ με AΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε το BΓ(προς το Γ) κατά τμήμα ΓΔ=BΓ. Φέρουμε τις διαμέσους και του τριγώνου ABΓ που τέμνονται στο. Το προεκτεινόμενο, τέμνει το στο και το στο. Να αποδείξετε ότι: α) Το είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) β). (Μονάδες 9) γ). (Μονάδες 7) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 63

α) Θ κέντρο βάρους του ABΓ, άρα ΒΚ διάμεσος, οπότε Κ μέσον του ΑΓ. Ζ, Κ μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντιστοίχως του τριγώνου ΑΒΓ. Επομένως: // παραλληλόγραμμο. β) Ζ,Γ μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΔ αντιστοίχως του τριγώνου ΑΒΔ. Επομένως: / / / /. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΚΗ, ΚΘΓ. Έχουν: 1) ΑΚ = ΚΓ (Κ μέσον ΑΓ). ˆ ˆ (ως εντός ) 1 1 εναλλάξ των παραλλήλων ΘΓ, ΑΗ που τέμνονται από την ΑΓ. ˆ ˆ (ως 3) 1 κατακορυφήν). Επομένως (Γ-Π-Γ) τα τρίγωνα ΑΚΗ, ΚΘΓ είναι ίσα. Οπότε ΘΚ = ΚΗ. Στο τετράπλευρο ΑΘΓΗ, οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα ΑΘΓΗ παραλληλόγραμμο, οπότε ΑΗ = ΘΓ. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 64

γ) ΑΘΓΗ παραλληλόγραμμο, επομένως : 3 1 Θ 3 ί 3 μέσον ΒΗ οπότε ΖΘ//= ΑΗ=ΖΘ. ό.έ.δ. ΘΕΜΑ 4559 Δίνονται δυο παράλληλες ευθείες και, και μια τρίτη που τις τέμνει στα σημεία A και B αντίστοιχα. Θεωρούμε τις διχοτόμους των εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών που σχηματίζονται, οι οποίες τέμνονται σε σημείο. Αν Mείναι το μέσον του AB, να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία BA είναι ορθή. β) BM M A. γ) M / /. α) Είναι BAx ABy 180 BA AB 90, αφού οι γωνίες BA x,aby είναι παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά. Έτσι το τρίγωνο A Bείναι ορθογώνιο αφού έχει τις δύο γωνίες του συμπληρωματικές, οπότε BA 90. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 65

Σημείωση Μπορούμε να επικαλεστούμε ότι το ζητούμενο ισχύει λόγω της εφαρμογής στη σελ. 79 του σχολικού βιβλίου. β) Η M είναι διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AM AB δηλαδή M AM MB και το τρίγωνο AM είναι ισοσκελές οπότε. M A MA 1 Η BM είναι εξωτερική του τριγώνου AM και είναι: 1 BM MA MA BM M A. γ) Από το ισοσκελές τρίγωνο MB M MB είναι MB M B MB Bx 3 Από, 3 MB Bx 3 Άρα M / / γιατί σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. ΘΕΜΑ 4588 και Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABΓκαι στην προέκταση της ΓΒ(προς το B) θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε ΒΔ=BΓ, ενώ στην προέκταση της BΓ(προς το Γ) θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε ΓΕ=BΓ. Φέρουμε την κάθετη στην στο σημείο, η οποία τέμνει την προέκταση της στο. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΓΑΕκαι BΔΑ. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι η ΓΖ είναι μεσοκάθετος του AΕ. (Μονάδες 1) γ) Να αποδείξετε ότι ΑΒ//ΓΖ. (Μονάδες 5) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 66

α) Το τρίγωνο ABείναι ισόπλευρο, άρα AB B A (1) και ˆ 0 AB AB AB 60 (). Δίνεται ακόμα ότι B B E (3). Από (1),(3) προκύπτει ότι: AB B A B E (4). Από την σχέση (4) προκύπτει ότι στο τρίγωνο ABEη Aείναι διάμεσος της BE BE και μάλιστα A. Συνεπώς το τρίγωνο ABEείναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την BE. ΕΥΡΕΣΗ ΓΩΝΙΩΝ τριγώνου AE. 0 0 0 0 0 Από τα παραπάνω AE 180 90 AB 90 60 30. 0 0 0 Επίσης AE BAE BA 90 60 30 (ή λόγω του ισοσκελούς - από (4) - AE : 0 0 0 0 0 AE AE 30 ). Τέλος, AˆE 180 BˆA 180 60 10. ΕΥΡΕΣΗ ΓΩΝΙΩΝ τριγώνου B A. 0 0 0 0 BA 180 AB 180 60 10, επειδή δε το τρίγωνο ΒΔΑ είναι (από (4) ) Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 67

0 0 180 10 0 ισοσκελές, θα είναι και Bˆ A AB 30. 0 0 0 β) Είναι AB BA 30 60 90, οπότε A ύψος του τριγώνου Z, άρα 0 AZ 90. 0 Αφού AE EA 30, (από (α)) οι συμπληρωματικές τους αντιστοίχως θα είναι 60. Άρα το τρίγωνο ZAE είναι ισόπλευρο. Επειδή: A E o o oo AE Z o o oo AE Z AZ ZE μεσοκάθετος του AE. 0 γ) Είναι AB AE (αφού BAE 90 ) (5) και Z μεσοκάθετος του AE (6). Από (5),(6) συμπεραίνουμε ότι AB/ / Z. ό.έ.δ. ΘΕΜΑ 4593 Δίνεται τρίγωνο ZE (προς το E) κατά τμήμα α)τοπ τετράπλευρο AB και οι διάμεσοί του A, BE και Z. Προεκτείνουμε το τμήμα EH ZE. Να αποδείξετε ότι: EHBείναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8) β) Η περίμετρος του τριγώνου AH είναι ίση με το άθροισμα των διαμέσων του τριγώνου AB. (Μονάδες 9) γ) Οι ευθείες BE και H τριχοτομούν το τμήμα Z. (Μονάδες 8) α)αφού A, BE, Z διάμεσοι του τριγώνου AB τότε EZ,, μέσα των πλευρών του και G βαρύκεντρο. Άρα GZ 1 Z και G Z (1). 3 3 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 68

B Αφού Z,Eμέσα AB, A αντίστοιχα, τότε από θεώρημα, ZE. Αλλά από υπόθεση ZE EH. Έτσι EH / / B () και E μέσο ZH (3). Από () το τετράπλευρο EHBείναι παραλληλόγραμμο. Συνεπώς H BE (4). β) Λόγω (3) και E μέσο A τα A, ZH διχοτομούνται. Άρα AHZ είναι παραλληλόγραμμο. Επομένως AH Z (5). Από (4),(5) το β) είναι προφανές. γ)στο τρίγωνο BG, μέσο B και BG (λόγω παραλληλογράμμου EHB). Άρα μέσο G. Τότε από 1 (1) GZ G Z. 3 Άρα, οι ευθείες BE και H τριχοτομούν το τμήμα Z. ΘΕΜΑ 4753 Δίνεται κύκλος με κέντρο O και ακτίνα. Έστω σημείο A εξωτερικό του κύκλου και τα εφαπτόμενα τμήματα AB και A ώστε να ισχύει BA 60. Έστω ότι η εφαπτόμενη του κύκλου στο τέμνει τις AB και Aστα E και H αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ABOείναι εγγράψιμο με OA OB. β) Το τρίγωνο AEH είναι ισόπλευρο. γ) ZB AZ. Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 69