Ένα γιο γιο σε ταλάντωση Ομογενής κύλινδρος Σ, (γιο γιο) ισορροπεί έχοντας το νήμα τυλιγμένο γύρω της πολλές φορές. Η μία άκρη του νήματος είναι στερεωμένη στην οροφή Ο και η άλλη στο σώμα Σ, το οποίο ισορροπεί κρεμασμένο από κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς =0Ν/m, που είναι στερεωμένο στην οροφή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μάζα του γιο γιο είναι m =0,8kg και η ακτίνα του R=0,m. Η ροπή αδράνειας του γιο γιο, ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας του δίνεται από σχέση Ι cm = ½ m R. Το σώμα Σ θεωρείται σημειακό αντικείμενο μάζας m =0,kg. Το νήμα και το ελατήριο έχουν αμελητέες μάζες. Σ B i. Να υπολογίσετε την επιμήκυνση d 0 του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος στη θέση που ισορροπεί το σύστημα. Σχήμα ατόπιν ανυψώνουμε το σώμα Σ από τη θέση που ισορροπεί κατά d =0,m προς τα πάνω και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί μια χρονική στιγμή t που θεωρείται η t=0. ii. Να βρεθεί η ενέργεια που προσφέρθηκε στο σύστημα για την ανύψωση των σωμάτων. iii. Να υπολογίσετε την κατακόρυφη απόσταση y του γιο γιο που θα βρεθεί κάτω από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητα του σώματος Σ για πρώτη φορά. iv. Nα βρείτε τη θέση που το σώμα Σ αποκτά μέγιστη ταχύτητα και να την υπολογίσετε. v. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου και ο ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του Σ και του γιο γιο, τη στιγμή που έχουν μέγιστη ταχύτητα για πρώτη φορά. vi. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος τη στιγμή που τα σώματα αποκτούν μέγιστες ταχύτητες για πρώτη φορά. + extra Δίνονται: το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g 0 m s. Το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας και είναι συνεχώς τεντωμένο. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. www.ylikonet.gr
Απάντηση i. Από την ισορροπία του γιο γιο προκύπτει: ( ) ( K ) 0 T,0 RT,0 R 0 T,0 T,0 () ( ) () w F 0 w T,0 T,0 0T,0 () Τ,0 = Τ,0, (αβαρές νήμα) (3) Από την ισορροπία του σώματος Σ προκύπτει: ( ) (3) w F 0 w T,0 F,0 0 F,0 w ( m m / )g d0 (4) K Με αντικατάσταση d 0 =0,5m T,0 Θ.Ι. m Α Σχήμα F,0 Θ.Ι. m T w w,0 T,0 Β d 0 (+) Φ.Μ. ii. Εφαρμόζουμε τη διατήρηση της ενέργειας από τη στιγμή που αρχίζει να ανυψώνεται το σύστημα μέσω του χεριού μας, έως την θέση που το Σ ανυψώθηκε από την αρχική του θέση κατακόρυφα κατά d =0,m. Ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας ορίζεται η θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου. Το νήμα σε κάθε πλευρά του μένει συνεχώς τεντωμένο. Έτσι κάθε στιγμή θα ισχύει: Θ.Ι. m Φ.Μ. d 0 Θ.Ι. m υ =0 Σ υ =0 B U Βαρ =0 h h d =d / Δl υ =0 d Σ υ =0 B () Σχήμα 3 () υ 0 =υ Α 0=υ cm, υ γ =0 υ cm, =ωr υ =ωr και υ Β =υ υ cm, +υ γ = υ cm, υ cm, =υ cm, υ =υ y =y και α =α Επομένως όταν το σώμα Σ ανυψωθεί κατά d =0,m το γιο γιο ανυψώνεται κατά d =d /=0,m. Ε μηχ () +Ε προσφ. Ε απωλ. =Ε μηχ () U βαρ.m () + U βαρ.m () +U ελ. () +Ε προσφ. Ε απωλ. = U βαρ.m () + U βαρ.m () + U ελ. () www.ylikonet.gr
m g (h +d ) m g d 0 +½ d 0 +Ε προσφ 0 = m gh m gh + ½ K Δl (h = d 0 d ) Ε προσφ. = m g d + m g d ½ K d 0 +½ h d 0 =0,5m, Δl = h =d 0 d =0,3m, d =d / =0,m Ε προσφ. = 0,8 0 0, + 0, 0 0, ½ 0 0,5 +½ 0 0,3 Ε προσφ. = 0,8 + 0.,5+ 0,45 Ε προσφ. = 0,J iii. Τα σχοινιά είναι ιδανικά και δεν ολισθαίνουν στο αυλάκι του γιο γιο. Το συνολικό έργο των τάσεων είναι μηδενικό. Επειδή δεν αναπτύσσονται απώλειες ενέργειας η μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή. Εφαρμόζουμε τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας από τη θέση που αφήνεται ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί την t=0, έως την πρώτη στιγμή που μηδενίζονται οι ταχύτητες των σωμάτων. Επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας ορίζεται η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Φ.Μ. U βαρ =0 Δl υ =0 h d 0 Θ.Ι. m d υ =0 Σ h Σ υ, max y Δl max Θ.Ι. m t=0 B υ, max ω max B y = y / d =d / Σ B υ =0 υ =0 (3) (4) (5) Σχήμα 4 Δεδομένου ότι κάθε στιγμή ισχύει υ =υ και υ =ωr οι ταχύτητες των σωμάτων μηδενίζονται ταυτόχρονα. Όταν το σώμα Σ ανυψώνεται κατά d =0,m το κέντρο μάζας του γιο γιο ανυψώνεται κατά d =d /=0,m. Ε μηχ (3) =Ε μηχ (5) U βαρ.m (3) + U βαρ.m (3) +U ελ. (3) = U βαρ.m (5) + U βαρ.m (5) + U ελ. (5) www.ylikonet.gr 3
m g h m g h +½ Δl = m g(h +d +y ) m g(h +d +y ) + ½ K Δl max ½ Δl = m g(d +y ) m g(d +y ) + ½ K Δl max Δl = h =d 0 d =0,3m, d =d / =0,m, y =y, Δl max = d 0 +y =0,5+y ½ 0 0,3 = 0,8 0(0,+ y ) 0, 0(0,+y ) + ½ 0 (0,5+y ) 0,45= 0,8 8y 0, y +5(0,5+y +4y ) 0,45= 0y +,5+0y +0y 0y 0,=0 y = 0,0 y =± 0,m y = 0,m Αυτό σημαίνει το γιο γιο θα κατέβει κάτω από τη θέση ισορροπίας του κατά 0cm και το σώμα Σ κατά 0cm. Δεδομένου ότι στο σύστημα δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας το γιο γιο θα ανέρχεται πάνω από τη θέση ισορροπίας και κάτω από αυτή κατά 0cm. Το σώμα Σ θα ανέρχεται και θα κατέρχεται πάνω και κάτω από τη θέση ισορροπίας του κατά 0cm. Έτσι προκύπτει ότι το κάθε σώμα εκτελεί ταλάντωση. iv. Από το προηγούμενο ερώτημα προέκυψε ότι το κάθε σώμα τερματίζει στιγμιαία την κίνησή του σε θέσεις που ισαπέχουν πάνω και κάτω από την αντίστοιχη θέση ισορροπίας του. Αυτό σημαίνει ότι όταν το κάθε σώμα ξεκινά να κινείται με μηδενική ταχύτητα και καταλήξει πάλι με μηδενική ταχύτητα στην άλλη ακραία του θέση, θα πρέπει αρχικά να επιταχυνθεί και κατόπιν να επιβραδυνθεί ώστε να σταματήσει στιγμιαία να κινείται. Η μέγιστη ταχύτητα επιτυγχάνεται όταν η επιτάχυνση είναι μηδενική δηλ. ισχύει ΣF=0 και από επιταχυνόμενη κίνηση μεταβαίνει σε επιβραδυνόμενη. Αυτό συμβαίνει στις θέσεις ισορροπίας των σωμάτων. Το σώμα Σ εκτελεί μεταφορική κίνηση. Το γιο γιο εκτελεί σύνθετη, την οποία θεωρούμε μεταφορική με την ταχύτητα του κέντρου μάζας του γιο γιο και στροφική περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του γιο γιο. Εφαρμόζουμε τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας από τη θέση που αφήνεται το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί την t=0 έως την πρώτη στιγμή που το κάθε σώμα βρεθεί στη θέση ισορροπίας του. Επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας ορίζεται η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Ε (3) μηχ =Ε (4) μηχ U (3) βαρ.m + U (3) (3) βαρ.m + U ελ. = U (4) βαρ.m + U (4) (4) βαρ.m + U ελ. +, μετ +,στρ + m g h m g h + ½ Δl = m g (h +d ) m g (h +d )+ ½ K d 0 + + ½ m υ,max + ½ ½ m R ω max + ½ m υ,max ½ Δl = m g d m g d + ½ K d 0 + ½ m υ,max + ½ ½ m R ω max + ½ m υ,max www.ylikonet.gr 4
h = Δl =0,3m, d =0,m, d =0,m, d 0 =0,5m, υ,max =υ max, υ max =ω max R ½ 0 0,3 = 0,8 0 0, 0, 0 0, + ½ 0 0,5 +½ 0,8 υ,max + ¼ 0,8υ,max + ½ 0, υ,max 0,45= 0,8 0, +,5+ 0,4 υ,max +0,υ,max + 0,05 υ,max 0,= 0,5 υ,max + 0,05 υ,max 0,= 0, υ,max υ,max = υ,max =m/s v. Το έργο της δύναμης του ελατηρίου ως συντηρητική δύναμη εκφράζεται ως διαφορά δυναμικής ενέργειας. W Fελ =U ελ, αρχ U ελ,τελ = ΔU ελ du dwf dwf du dt dt du F dl dt dt du du F F dt dt Στη θέση ισορροπίας το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά d 0 =0,5m και το μέτρο της δύναμης είναι F ελ =Kd 0 =5N. Η ταχύτητα του άκρου του ίση με υ,max =m/s. Η γωνία που σχηματίζουν η ταχύτητα υ,max και η δύναμη F ελ είναι θ=80 ο και έτσι συνθ=. T Θ.Ι. m Α F Θ.Ι. m T w ω max w T Β Φ.Μ. d 0 υ, max υ, max Με αντικατάσταση du ελ /dt=5j/s Σχήμα 5 Το έργο της δύναμης του βάρους ως συντηρητική δύναμη εκφράζεται ως διαφορά δυναμικής ενέργειας. W βαρ =U βαρ, αρχ U βαρ,τελ = ΔU βαρ. du. dw dw du dt dt du wdy du du. w w dt dt dt dt Στη θέση ισορροπίας το γιο γιο έχει ταχύτητα υ max =0,5m/s. Η γωνία που σχηματίζουν η ταχύτητα υ,max και η δύναμη w είναι θ=0 ο και έτσι συνθ=. Με αντικατάσταση du βαρ,m /dt= 4J/s Στη θέση ισορροπίας το Σ έχει ταχύτητα υ max =m/s. Η γωνία που σχηματίζουν η ταχύτητα υ,max και η δύναμη w είναι θ=0 ο και έτσι συνθ=. www.ylikonet.gr 5
Με αντικατάσταση du βαρ,m /dt= J/s vi. Στη θέση ισορροπίας που τα σώματα έχουν μέγιστες ταχύτητες η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι μέγιστη και επομένως ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος είναι μηδέν. Αναλυτικά Η μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή σε κάθε θέση. Επομένως m m m m m U U U. m m du du m m m du ή d d d d dt dt dt dt dt dt dt m m m m d du du d du du du du 0 dt dt dt dt dt dt dt dt d d ( ) ( 4) 5 0 dt dt Extra Ερωτήματα + Σχόλια. Να αποδείξετε ότι το γιο γιο εκτελεί αρμονική ταλάντωση. ατόπιν να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ότι η τιμή t=0 αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή που αφέθηκε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί. Θεωρείστε θετική φορά απομάκρυνσης την προς τα κάτω. Απάντηση Προκύπτει με βάση τα προηγούμενα ότι το κάθε σώμα εκτελεί ταλάντωση μεταξύ των ακραίων θέσεών του που τερματίζει στιγμιαία την κίνησή του γύρω από τη θέση που αρχικά ηρεμούσε (θέση ισορροπίας). Στην τυχαία θέση του γιο γιο: a ( ) T R T R ( K ) cm m R T T m (5) ( ) F m a w T T m a (6) Θ.Ι. m F,0 Θ.Ι. m T,0 w T,0,0 T y T y Φ.Μ. d 0 F T w (+) T w 3m (4)+(5) T a 4 (7) Τ = Τ (αβαρές νήμα) (8) w Σχήμα 6 w www.ylikonet.gr 6
Στην τυχαία θέση του σώματος Σ προκύπτει: ( ) (7),(8) w 3m a a F ma w T F ma w a( d0 y) ma y y 4 (4) w 3m 3m w ad0y m a a y ma 4 4 3m ma a y a y (9) 4 3m m 8 Ο ος Νόμος του Νεύτωνα για το γιο γιο δίνει: m ΣF =m α ΣF = y F 0y (0) 3m m 8 Επομένως το γιο γιο εκτελεί αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D =0N/m και γωνιακή συχνότητα: D 0 5 r / s () m 0,8 Από τη σχέση (7) προκύπτει: a a y y a y a y a y 3m 3m 3m m m m 8 8 8 () Ο ος Νόμος του Νεύτωνα για το σώμα Σ δίνει: m ΣF =m α ΣF = y F,5y (3) 3m m 8 Επομένως και το σώμα Σ εκτελεί αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D =,5N/m και γωνιακή συχνότητα D,5 5 r / s (4) m 0, Από την (9) και την () προκύπτει Ω =Ω =Ω=5r/s (5) Το κάθε σώμα ξεκινά την ταλάντωσή του από ακραία θέση. Το πλάτος του Σ ισούται με την αρχική του απομάκρυνση Α = d =0,m. Ξεκινώντας από την ακραία αρνητική απομάκρυνση η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ είναι: y = ημ(ωt+3π/) y =0,ημ(5t+3π/) S.I. (6) Ενώ για το γιο γιο y = ημ(ωt+3π/) y =0,ημ(5t+3π/) S.I. (7) www.ylikonet.gr 7
. Να βρείτε το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος ταλάντωσης του Σ για να μη λυγίσει το νήμα. Απάντηση Η σχέση (7) με τη βοήθεια της σχέσης (9) δίνει: w 3m T y T 45y 4 3m m 8 Η ελάχιστη τιμή της τάσης προκύπτει στην θέση y = Α από όπου η σχέση (5) γίνεται: Τ = 4 5 (9) ια να μη λυγίσει το νήμα θα πρέπει : (8) Τ 0 4 5 0 4 5 Α 4/5m Α,max =4/5m Άρα Α,max =,max =8/5m Α,max =0,53m 3. Να βρείτε την εξίσωση που δίνει τη στροφορμή του γιο γιο περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του συναρτήσει του χρόνου. Απάντηση άθε στιγμή η ταχύτητα του σώματος Σ είναι διπλάσια από την ταχύτητα του γιο γιο. υ =υ =ωr ω=υ /R H εξίσωση της ταχύτητας του σώματος Σ είναι: υ =ΩΑ συν(ωt+3π/) υ =συν(5t+3π/) S.I. (0) Επομένως: ω= 5συν(5t+3π/) S.I. () Η στροφορμή περί το κέντρο μάζας του γιο γιο δίνεται από τη σχέση: L (K) =I cm ω L (K) = ½ m R ω L (K) = ½ 0,8 0, 5συν(5t+3π/) L (K) = 0,0συν(5t+3π/) S.I. () www.ylikonet.gr 8
Σχόλιa. Από τη σχέση (7) προκύπτει: aa R a y a y 3 S R R R a m 3m 3m m m m 8 8 8 (3) (0) mr ( cm) ( cm) cm m R ( cm) 3m 3m 3m m m m 8 8 8 0,8 0, 0 0,8 0, 0 ( cm) ( cm) ( cm) 0, S.I. (4) 3 0,8 3 0,8 0, 0, 8 8 Η παραπάνω σχέση είναι της μορφής D ɶ που σημαίνει ότι η τροχαλία εκτελεί στροφική ταλάντωση περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της με σταθερά D ɶ 0, N m. Η στροφική ταλάντωση είναι η στροφική κίνηση ενός στερεού σώματος κατά την οποία μεταβάλλεται η φορά περιστροφής του και εκδηλώνεται περιοδικότητα. ατά την εξέλιξη της κίνησης εκδηλώνεται ροπή επαναφοράς. Από τη σχέση y R προκύπτει: y y 0, ( 5t 3 / ) 3 R 0, R 5 t S. I. ια τη γωνιακή θέση ισχύει θ=θ 0 ημ(ω t+φ 0 ), όπου το θ 0 είναι η μέγιστη γωνία στροφής, (κατ αντιστοιχία με τις μηχανικές θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι το πλάτος της γωνιακής μετατόπισης) και το Ω =Ω είναι η κυκλική συχνότητα της στροφικής ταλάντωσης και δεν έχει σχέση με τη γωνιακή ταχύτητα ω. (S.I.) (5) D 0 5 r / s m 0,8 Dɶ 0, 5 r / s Icm 0,8 0, (6) θ-θ 0 0 Θ.Ι. m -Α Σχήμα 7 θ 0 +Α www.ylikonet.gr 9
Επιπλέον αν συγκρίνουμε με τη γωνιακή ταχύτητα ισχύει: η γωνιακή θέση θ= θ 0 ημ( Ωt +φ 0 ) θ=ημ(5t+3π/) S.I. (7) η γωνιακή ταχύτητα ω = dθ/dt = Ω θ 0 συν(ωt +φ 0 ) ω= 5συν(5t+3π/)S.I. (8) η γωνιακή επιτάχυνση α γ = d θ/dt = Ω θ 0 ημ(ωt +φ 0 ) = Ω θ α γ = 5ημ(5t +3π/) = 5θ S.I. (9) η ροπή επαναφοράς Στ = ΙΩ θ Στ = 0,θ (30) η σταθερά επαναφοράς D ɶ I =0,N m (3) η περίοδος T = π D ɶ =0,4πs (3). Τα σώματα αρχικά ηρεμούσαν στη θέση ισορροπίας τους. Η ενέργεια που προσφέρθηκε στο σύστημα μέσω της άσκησης δύναμης F από εμάς για την ανύψωσή του, έγινε ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, ενέργεια ταλάντωσης του γιο γιο και στροφική ενέργεια ταλάντωσης του γιο γιο. αι βέβαια είναι λογικό αφού στην ουσία η δύναμη F ήταν η αιτία εκτροπής των σωμάτων από την αρχική θέση ισορροπίας τους. E προσφ. =0,J Ε ταλ.m =½ D =½,5 0, =0,05J E ταλ.m =½ D =½ 0 0, =0,J E ταλ, στρ =½ D ɶ θ 0 = ½ 0, = 0,05J Χ. Αγριόδημας chagriodimas@yahoo.gr chagriodimas@gmail.com www.ylikonet.gr 0