Και αν κόβαμε το νήμα Δ; Θέμα Δ 017 μια παραλλαγή Μία ομογενής άκαμπτη ράβδος Α μήκους L=m σταθερής διατομής έχει μάζα Μ=4Kg. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και το άκρο της Α συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο της ράβδου συνδέεται μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος Δ με τον κατακόρυφο τοίχο. Το νήμα σχηματίζει με τη ράβδο γωνία φ. ύρω από ένα λεπτό ομογενή δίσκο κέντρου Κ, μάζας m=kg και ακτίνας R=0,1m είναι τυλιγμένο πολλές φορές ένα λεπτό μη εκτατό αβαρές νήμα. Το ελεύθερο άκρο του νήματος έχει στερεωθεί στο άκρο της ράβδου Α, όπως φαίνεται στο σχήμα Δ Α φ Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ο δίσκος αφήνεται να κινηθεί και το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει. i. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του δίσκου, καθώς αυτός κατέρχεται. ii. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος Α στο άκρο της από το νήμα Δ, όταν ο δίσκος κατέρχεται καθώς και τη δύναμη από την άρθρωση. iii. Τη χρονική στιγμή που το κέντρο μάζας Κ του δίσκου έχει κατέλθει κατακόρυφα κατά h 1 =0,m να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του, και το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου. Κ iv. Τη χρονική στιγμή t=0,s κόβουμε το σχοινί που συνδέει τον δίσκο με τη ράβδο. Να γίνει η γραφική παράσταση του λόγου της μεταφορικής κινητικής ενέργειας του δίσκου προς την στροφική κινητική ενέργειά του συναρτήσει του χρόνου. v. Αν δεν κοβόταν το σχοινί που συνδέει τον δίσκο με τη ράβδο αλλά το νήμα Δ που συνδέει τη ράβδο με τον τοίχο, τότε να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του δίσκου και της ράβδου περί τον άξονα περιστροφής τους τη στιγμή που κόβεται το νήμα. Δίνονται: το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g = 10m/s η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του Ι CM = 1/ mr η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του Ι CM = 1/1 ML συνφ= 0.6, ημφ =0.8 ο άξονας περιστροφής του δίσκου παραμένει συνεχώς οριζόντιος και κινείται σε κατακόρυφη τροχιά σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του ο δίσκος δεν φτάνει στο έδαφος στη διάρκεια του φαινομένου. www.ylikonet.gr 1
Απάντηση i. Όλα τα σημεία του σχοινιού Ζ έχουν ίδιο μέτρο ταχύτητας επειδή το σχοινί είναι μη εκτατό. Συνεπώς υ =υ Ζ 0=υ cm ωr υ cm = ωr α cm = α γ R (1) Δίσκος F mcm mg T1 m cm () (1) 1 1 (cm) cm1 R mr T1 m cm () Δ ()() mg= / mα cm α cm =g/α cm =0/m/s και α γ =00/ r/s και F y F Τ T 1 =0/N ii. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το σχοινί είναι αβαρές Τ 1 = Τ 1 έχουμε για τη ράβδο: Α θ F x T x φ T y T 1 L (A) 0 w 1 L yl 0 Mg 0 80 1 y y 0y N W Ρ cm W m T 1 Z 80 80 80 y N ( ) 0,8 100 100 x ( ) 0,6x 0N ( ) Fx 0 Fx x 0 Fx 0N ( ) 0 80 Fy 0 Fy y w T 1 0 Fy 40 Fy 0N F= F x F y F=0 N και εφ(θ)=1 θ=π/4rad iii. h 1 = ½ α cm t t=0.sec υ cm =α cm t υ 0.s =m/s ω=α γ r ω 0.s =0r/s Έτσι η στροφορμή περί άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του δίσκου είναι: L=I cm ω L= ½ 0,1 0 L= 0,kg m /s. Η κινητική ενέργεια του δίσκου τόσο η στροφική όσο και η μεταφορική αυξάνεται. Επομένως ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας θα είναι θετικός. www.ylikonet.gr
F cm.. (mg T 1) cm T1 R mg cm T 1 cm T1 cm mg cm 40 J / s Ο τροφοδότης του συστήματος είναι η αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια του δίσκου. Καθώς ο δίσκος κατέρχεται ελαττώνεται η βαρυτική δυναμική ενέργεια και αυξάνεται η μεταφορική και η στροφική του κινητική ενέργεια. Συνολικά η τάση Τ 1 του νήματος δεν προσφέρει ούτε αφαιρεί ενέργεια από το σύστημα. Τη στιγμή t=0,s αφαιρεί ενέργεια από τη μεταφορική κίνηση του δίσκου με ρυθμό Ρ T = Τ 1 υ cm = 40/ J/s και προσφέρει το ποσό αυτό μέσω της ροπής της P ττ =Τ R ω=40/j/s στη στροφική κινητική ενέργεια του δίσκου. vi. [0 0,s] Πριν κοπεί το νήμα ο λόγος της μεταφορικής κινητικής ενέργειας προς την στροφική 1 m cm. κινητική ενέργεια είναι m R 1. 1 Icm mr t 0,s Όταν κοπεί το νήμα ο δίσκος δεν δέχεται ροπή περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του καθώς ασκείται μόνο το βάρος του με αποτέλεσμα στροφικά να εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=0r/s. Μεταφορικά θα εκτελέσει κατακόρυφη βολή προς τα κάτω με αρχική ταχύτητα υ αρχ. =m/s. υ cm =υ αρχ α cm (t 0,) υ cm =10(t 0,) 1 1 m cm [ 10(t 0,)]. [10(t 0,)] 1. 1 1 I 0,1 0 cm παράσταση τριωνύμου που είναι γραφική Kμ/Κστ 10 8 6 4 0.1 0. 0. 0.4 0.5 0.6 t(s) www.ylikonet.gr
v. Τη στιγμή που κόβεται το νήμα Δ η ράβδος θα στραφεί δεξιόστροφα ενώ ο δίσκος θα συνεχίσει να στρέφεται αριστερόστροφα και να κατέρχεται με αλλαγή των μέτρων των επιταχύνσεων. Υποθέτοντας ότι το νήμα που συνδέει τη ράβδο με το δίσκο είναι τεντωμένο όλα τα σημεία του σχοινιού θα Α F x έχουν ίσες ταχύτητες και ίσες επιταχύνσεις. Έστω ω 1 η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου και ω του δίσκου. W Ρ T υ =υ Ζ ω 1 L=υ cm ω R α γ1 L=α cm α γ R α γ1 L=α cm α ε,ζ (1) Ράβδος L 1 (A) 1 w L ML1 (1) Mg 1 Mg 1 ML1 M( cm, ) Mg 1 1 Mcm M, () T Z W m Δίσκος 1 1 (cm) cm R mr T m,, () m F mcm mg T mcm cm g (4) m Λαμβάνοντας υπόψη ότι το σχοινί είναι αβαρές Τ = Τ () Mg M T Mg g M M T () (g ) (4) m m m m Mg g M Mg g M Mg M T T(1 ) m m 6 m Mg T (5) M 6(1 ) m Και η (5) δίνει Τ= 0/9Ν Επειδή η τάση είναι αρνητική σημαίνει ότι το νήμα δεν μένει τεντωμένο. Έτσι η ράβδος στρέφεται σαν να μην υπάρχει το σχοινί. Ο δίσκος κάνει σύνθετη κίνηση μια ομαλή στροφική περί άξονα που διέρχεται από το cm μιας και δεν υπάρχει ροπή ως προς αυτό το σημείο και μεταφορικά κατακόρυφη βολή προς τα κάτω με επιτάχυνση g. Έτσι dl 0,(cm) και dl dl L w 40kg m / s,( ),( ) www.ylikonet.gr 4
Σχόλιο Που θα έπρεπε να δεθεί το νήμα που συνδέει τη ράβδο και το δίσκο ώστε τη στιγμή που κόβεται το νήμα Δ να μη λυγίσει το σχοινί; Τη στιγμή που κόβεται το νήμα Δ η ράβδος θα στραφεί δεξιόστροφα ενώ ο δίσκος θα συνεχίσει να στρέφεται αριστερόστροφα και να κατέρχεται με αλλαγή των μέτρων των επιταχύνσεων. Υποθέτοντας ότι το νήμα που συνδέει τη ράβδο με το δίσκο είναι τεντωμένο όλα τα σημεία του σχοινιού θα έχουν ίσες ταχύτητες και ίσες επιταχύνσεις. Έστω ω 1 η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου και ω του δίσκου. υ Μ =υ Ζ ω 1 x=υ cm ω R α γ1 x=α cm α γ R α γ1 x=α cm α ε,ζ (1) Α x W Ρ Μ T T Z W m Ράβδος L 1 (A) 1 w x ML1 (1) Mg x 1 Mg x ML ML 1 ( cm, ) () L L x Δίσκος 1 1 (cm) cm R mr T m,, () m F mcm mg T mcm cm g (4) m Λαμβάνοντας υπόψη ότι το σχοινί είναι αβαρές Τ = Τ () Mg x ML () (g ) (4) L x m m Mg x ML Mg x MLg ML (g ) T L x m L x mx x ML MLg Mg mx ML L x T T Mg L mx x mxl 6x L x Mg 6x M m gl(l x) T (5) mx ML 6(mx ML ) mxl ια να μη λυγίσει το σχοινί θα πρέπει: www.ylikonet.gr 5
(5) M m gl(l x) 6(mx ML ) 0 M m gl0 T 0 0 M m gl(l x) 0 6(mx ML ) L L x 0 L x x Επομένως για να μη λυγίσει το σχοινί τη στιγμή που κόβεται το νήμα Δ θα πρέπει L να έχει δεθεί σε απόσταση x από το άκρο Α της ράβδου. Η μετέπειτα εξέλιξη του φαινομένου είναι αρκετά σύνθετη. Με αντικατάσταση τις τιμές του προβλήματος επιβεβαιώνονται τα αποτελέσματα της άσκησης. 4 10 ( x) 80(4 x) 0 40x (5) T T T 6(x 4 ) (x 16) 6x 48 (6) ια Τ=0 από την (6) προκύπτει: x*=4/m=1,m 80(4 x) 160 0 ια x=m από την (6) προκύπτει: T N (x 16) 4 9 Με τη βοήθεια του προγράμματος graph προκύπτει η γραφική παράσταση της τάσης Τ συναρτήσει της θέσης x όπως δίνεται από τη σχέση (6). 7 6 5 4 1-1 - T(N) x(m) 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 ια x>4/m η τάση είναι αρνητική που σημαίνει ότι το σχοινί είναι λυγισμένο. Χ. Αγριόδημας chagriodimas@yahoo.gr chagriodimas@gmail.com www.ylikonet.gr 6