ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να λύσει προβλήµατα στα οποία οι περιορισµοί εκφράζονται µε ανισότητες της µορφής g( ) c ή g. ( ) c Ανάλογα µε τη µορφή της συνάρτησης (γραµµική τετραγωνική κτλ.) τη µορφή του συστήµατος περιορισµών (γραµµικό ή µη γραµµικό) το είδος των µεταβλητών και των λοιπών παραµέτρων (συνεχείς, ακέραιες, προσδιοριστικές η στοχαστικές) έχουν αναπτυχθεί διάφορες µέθοδοι Μαθηµατικού προγραµµατισµού όπως είναι ο Γραµµικός Προγραµµατισµός, ο Ακέραιος, ο Μικτός Ακέραιος, ο Τετραγωνικός, ο Στοχαστικός ο Μη Γραµµικός.
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο Γραµµικός Προγραµµατισµός είναι η πιο απλή µορφή Μαθηµατικού Προγραµµατισµού στο οποίον τόσο η συνάρτηση αντικειµενικού σκοπού όσο και οι περιορισµοί είναι γραµµικές συναρτήσεις των µεταβλητών επιλογής ) Ma z = c ) n aij j j= r i n i= j j a) a) Min z = n j = b ij j r n i i= c j j
Πρόβληµα Μεγιστοποίησης - ιαγραµµατική Ma z = 3 + Με περιορισµούς + 6 + 8 + 0, 0. + =8 - + = Άριστη X = z=3 + + =6
Πρόβληµα Ελαχιστοποίησης - ιαγραµµατική Minz = 0.6 + Με περιορισµούς 0 5, + 4 + 5 + 6 0. 0 0 Χ 0 +4 = 0 Άριστη 5 +5 =0 z=0.6 + +6 =0 Χ
Ανάλυση Ευαισθησίας Η ανάλυση ευαισθησίας στον Γραµµικό Προγραµµατισµό είναι στο αντίστοιχο της Συγκριτικής Στατικής Ανάλυσης στα κλασικά υποδείγµατα αριστοποίησης Η ανάλυση ευαισθησίας απαντά σε ερωτήµατα όπως τα παρακάτω.. Πόσο θα µεταβληθείηάριστηλύσηανµεταβληθούν κάποιες παράµετροι;. Μπορούµε ναµειώσουµε κάποιο πόρο (συντελεστή παραγωγής) χωρίς να µεταβληθεί η άριστη λύση; 3. Ποιόν πόρο πρέπει να αυξήσουµε; Στην άριστη λύση κάποιοι πόροι εµφανίζονται να είναι σε αφθονία (πλεόνασµα) και ποιοι άλλοι σε έλλειµµα Για τους πόρους σε έλλειµµα οιγραµµές των αντίστοιχων περιορισµών περνούν από την άριστη λύση, ενώ για τους πόρους σε πλεόνασµα δεν περνούν από την άριστη λύση
X Z Νέα Άριστη + 8 + 6 X z=3 +
X Z Z Νέα Άριστη X + 6 + 8 z=3 +
ΜΕΘΟ ΟΣ SIMPLEX Τυπική µορφή Υποδείγµατος Ma z = 3 + µε περιορισµούς + 6 + 8 + 0, 0. Ma + z= 3 + + 0s + 0s + 0s 3 0s 4 µεπεριορισµούς + + s = 6 + + s = 8 + + s3 = + s4 =,, s, s, s, s 0. 3 4
Εισερχόµενη Μεταβλητές 3 4 5 6 0 z s s s 4 Τρέχουσα ΒΕΛ Γραµµές (r) z -3-0 0 0 0 0 0 s 0 0 0 0 6 s 0 0 0 0 8 0-0 0 0 3 s 4 0 0 0 0 0 4 Στοιχεία κύριας εξίσωσης a rj = arj / ark Εισερχόµενη Όλα τα υπόλοιπα στοιχεία ij a = a (( a )( a )) / a ij ik rj rk Εξερχόµενη ος Μεταβλητές z S s s 4 Τρέχουσα ΒΕΛ z 0 -/ 0 3/ 0 0 s 0 0 3/ -/ 0 0 0 / 0 ½ 0 0 4 Εξερχόµενη 0 0 3/ 0 ½ 0 5 s 4 0 0 0 0 0
Σκιώδεις Τιµές Μέγιστη Τιµή Αντ. Συνάρτησης Μεταβλητέ ς z s s s 4 Τρέχουσα Βασική Εφικτή (Άριστη) z 0 0 /3 4/3 0 0 /3 0 0 /3 -/3 0 0 4/3 0 0 -/3 /3 0 0 0/3 0 0 0-0 3 s 4 0 0 0 -/3 /3 0 /3 Πλεονάσµατα Πόρων Άριστες Λύσεις Σκιώδης τιµή: πόσο θα αυξηθεί η µέγιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης από την χρήση µίας επιπλέον µονάδος του συγκεκριµένου συντελεστή
ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΙΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χρησιµοποιείται σε προβλήµατα ελαχιστοποίησης. Οι µεταβλητές αυτές δεν έχουν κανένα οικονοµικό νόηµα και µας βοηθούνε µόνο να ξεκινήσουµε την Simple. Στην άριστη λύση είναι ίσες µε µηδέν MR MR z Min + + + = 0.,,, 4 + + + R R R R µετυπικήµορφή 0 0 MR MR s s z Min + + + = 0.,,,,, 4 = + = + + R R s s R s R s
ος Πίνακας SIMPLEX Μεταβλητές z s s R R Βασική Εφικτή z Μ- Μ- -Μ -Μ 0 0 6Μ R 0-0 0 R 0 0 0-0 4 ος Πίνακας SIMPLEX Μεταβλητέ ς z s s R R Βασική Εφικτή z 0 Μ- / -/ -Μ -Μ+/ 0 4Μ+6 0 / -/ 0 ½ 0 6 R 0 0 0 0 4
Τελικός Πίνακας Μεταβλητές z S S R R Βασική Εφικτή z 0 0 -/ -/ -Μ+/ - Μ+/ 8 0 0 -/ / / -/ 4 0 0 0-0 0 4
Αρχικό πρόβληµα ΤΟ ΥΪΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ υϊκό πρόβληµα Ma z = 3+ 4 + 33 µε Min z * = y+ 4y µε 3 3 y. και,, 3 0. 4 4 και y, y 0. 4 4 y 3 3 3, και 3 ονοµάζονται Αρχικές µεταβλητές ενώ y και y υϊκές µεταβλητές Για να σχηµατίσουµε το δυϊκό πρόβληµα:. Αλλάζουµε το Ma σε Min. Αλλάζουµε την κατεύθυνση των ανισοτήτων από σε 3. Αναστρέφουµε το διάνυσµα των σταθερών όρων στα δεξιά των περιορισµών του 4. αρχικού προβλήµατος και το πολλαπλασιάζουµε µε το διάνυσµα των δυϊκών µεταβλητών ώστε να σχηµατίσουµε την δυϊκή συνάρτηση αντικειµενικού σκοπού, 5. Αναστρέφουµε τον πίνακα των συντελεστών των περιορισµών στο αρχικό πρόβληµα και τον πολλαπλασιάζουµε µε τις δυϊκές µεταβλητές ώστε να προκύψουν οι περιορισµοί του δυϊκού. Οι σταθεροί όροι των περιορισµών του δυϊκού προβλήµατος είναι το ανάστροφο του διανύσµατος των συντελεστών των µεταβλητών επιλογής της συνάρτησης αντικειµενικού σκοπού στο αρχικό πρόβληµα. 6. Οι δυϊκές µεταβλητές υπόκεινται όπως και οι αρχικές στον περιορισµό ότι δεν είναι αρνητικές.
Μεταβλητέ ς Z s s Άριστη Τελικός πίνακας Αρχικού z 0 0 0.5 36 s 0 0 0 0.33-0.33 0 0 0 0.5 0 6 0 0 0-0.33 0.33 Τελικός πίνακας υϊκού Μεταβλητέ ς z* y y y 3 s s Άριστη z* 0 0 6 36 Y 3 0 0.33 0-0.33 0 Y 0-0.33 0 0.33 5.5
ΥΊΚΗ SIMPLEX Είναι µία εναλλακτική µέθοδος αντιµετώπισης προβληµάτων Min Βήµα : Φέρνουµε το υπόδειγµα στην Κανονική του µορφή Αλλάζουµε την φορά των ανισοτήτων πολλαπλασιάζοντας όλες τις ανισότητες µε. Προσθέτουµε µη αρνητικές µεταβλητές για να τις µετατρέψουµε σε ισότητες Βήµα : Προσδιορισµός της Εξερχόµενης Εξερχόµενη µεταβλητήείναιηβασικήµε την πλέον αρνητική τιµή. Αν όλες οι βασικές είναι µη-αρνητικές τότε η άριστη λύση έχει επιτευχθεί και η διαδικασία τερµατίζεται Βήµα 3: Προσδιορισµός της Εισερχόµενης Σχηµατίζουµε τους λόγους συντελεστών των µη-βασικών µεταβλητών στην γραµµή r=0 (γραµµή της συνάρτησης αντικειµενικού σκοπού) ως προς τους αντίστοιχους συντελεστές στην γραµµή τηςεξερχόµενης µεταβλητές.επιλέγουµε εκείνη την µεταβλητή µε το µικρότερο λόγο. Βήµα 4: Υπολογισµός Νέου Πίνακα
Παράδειγµα: Έστω το πρόβληµα Min z = + 3+ 3 4+ 3 6 + 3, 0. µε Βήµα : Κανονική µορφή Min z = + µε 3 3 4 3 6 + 3, 0.
Πίνακας Μεταβλη τές z s s Βασική Z - - 0 0 0 0 s 0-3 - 0 0-3 s 0-4 -3 0 0-6 0 0 0 3
Πίνακας Μεταβλητ ές z s s Βασική z -/3 0 0 -/3 0 s 0-5/3 0 -/3 0-0 4/3 0 -/3 0 0-5/3 0 0 /3 -
Πίνακας 3 Μεταβλη τές z s s Βασική z 0 0 -/5 -/5 0 /5 0 0-3/5 /5 0 3/5 0 0 4/5-3/5 0 6/5 0 0 0-0