ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση 1. Κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. H εξίσωση ταάντωσης του σημείου Ο της θέσης x = 0 (πηγή) είναι y= Aηµω t. Το υικό σημείο Α που απέχει από την πηγή x = Α. έχει γραφική παράσταση απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο όπως στο διάγραμμα α1) α) α3) 1

Β. το σημείο Α έχει φάση β1) μεγαύτερη από το σημείο της θέσης x = 0. β) μικρότερη από το σημείο της θέσης x = 0 κατά ακέραιο ποαπάσιο του π. β3) μικρότερη από το σημείο της θέσης x = 0 κατά π. Να επιέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να αιτιοογήσετε τις επιογές σας. Α. Σωστή απάντηση είναι η α. x Τ Το υικό σημείο Α αρχίζει να τααντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 = = =. υ υ Φυσικά, για t < t1 ισχύει y= 0 Β. Σωστή απάντηση είναι η β3. Το υικό σημείο Α απέχει από την πηγή x = και η φάση του είναι: t t 1 ϕ A = π ϕ A = π T T Άρα η διαφορά φάσης με την πηγή είναι: πt t 1 ϕo-ϕ A = - π -π ϕo-ϕ A =π ϕ A =ϕo-π T T

Ερώτηση. Κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. Το σημείο της θέσης x = 0 τη χρονική στιγμή t = 0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. Τη 5T χρονική στιγμή t = το σημείο της θέσης x = έχει ταχύτητα με μέτρο 4 1) υ= 0. ) υ=υ max (μέγιστη). 3) 0 <υ<υ max. Να επιέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση η 1. Το κύμα για να φτάσει στη θέση x Τ = χρειάζεται χρόνο ίσο με. Άρα το υικό σημείο αυτό αρχίζει να τααντώνεται τη χρονική στιγμή Τ, με θετική ταχύτητα. Συνεπώς, τη χρονική στιγμή 5T T 3T ίσο με t = =. 4 4 5T t' = έχει τααντωθεί για χρονικό διάστημα 4 Άρα το υικό σημείο αυτό θα βρίσκεται σε αρνητική απομάκρυνση με μέγιστο μέτρο (y = A) και η ταχύτητά του θα είναι μηδέν. Β Τρόπος: Με αντικατάσταση των δεδομένων: x t x y= Aηµ π T παίρνουμε: = και 5T t = στη γενική εξίσωση του κύματος 4 5T 5 1 3 3π y= Aηµ π y= Aηµ π y= Aηµ π y= Aηµ 4T 4 4 y = A Άρα, αφού το υικό σημείο βρίσκεται σε ακραία θέση θα έχει ταχύτητα μηδέν. 3

Ερώτηση 3. Κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με φορά προς την κατεύθυνση του θετικού ημιάξονα Οχ. Το σημείο της θέσης x = 0 τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y = 0, 05 ηµ (8π t) (S.I.). Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1, κατά την οποία το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 3m. Η ταχύτητα ( υ ) διάδοσης του κύματος στο εαστικό μέσο, είναι 1) m υ= 8. s ) m υ= 1. s 3 m 3) υ=. 4 π s Να επιέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η 1. Από τη σύγκριση της σχέσης y = 0,05 ηµ (8π t), με τη γενική εξίσωση των απών αρμονικών τααντώσεων, y = A ηµ (π ft) προκύπτει: π ft = 8π t, συνεπώς, f = 4Hz, και 1 T= s. 4 3 Σύμφωνα με το διάγραμμα, το κύμα έχει διανύσει απόσταση x = ή x = 3m, που T 1 1 3 αντιστοιχεί σε χρονικό διάστημα t = T+ ή t = s+ s t = s 4 8 8 4

Άρα x m υ= υ= 8. t s Συνεπώς η απάντηση 1 είναι η σωστή. 5

Ερώτηση 4. Κατά μήκος του χ Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. Το σημείο της θέσης x = 0 τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aηµω t. Η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων που βρίσκονται στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος 1) αυξάνεται σε σχέση με το χρόνο. ) είναι ανεξάρτητη από το χρόνο. 3) μειώνεται σε σχέση με το χρόνο. Να επιέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή είναι η πρόταση. Οι εξισώσεις των φάσεων για τα δύο σημεία A και B είναι: x A t ϕ A = π( ) και T x B t ϕ B = π( ) T Με αφαίρεση προκύπτει: t x t x x x ϕa ϕ B = π( ) π( ) ϕ ϕ = π T T A B B A A B Άρα η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο σημείων είναι ανεξάρτητη του χρόνου. 6

Ερώτηση 5. Το διάγραμμα 1 παριστάνει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος μια δεδομένη χρονική στιγμή t, ενώ το διάγραμμα παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο, ενός δεδομένου σημείου Α του εαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται το παραπάνω κύμα. Από τη μεέτη των δύο διαγραμμάτων προκύπτει ότι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι α) cm 0,1 s. β) cm 1 s. γ) cm s. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Από το 1 ο διάγραμμα προκύπτει: 5 = 5cm = cm Από το ο διάγραμμα προκύπτει: s 1s = T T = 1s f = 1Hz Από τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής προκύπτει: υ= f = cm / s 7

Ερώτηση 6. Το διάγραμμα 1 παριστάνει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος μια δεδομένη χρονική στιγμή t, ενώ το διάγραμμα παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο, ενός δεδομένου σημείου Α του εαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται το παραπάνω κύμα. Τη χρονική στιγμή t που αντιστοιχεί το παραπάνω στιγμιότυπο, η πηγή και το υικό σημείο Α περνούν από τη θέση ισορροπίας τους με α) αρνητική ταχύτητα. β) αντίθετες ταχύτητες. γ) θετική ταχύτητα. Να επιέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι το υικό σημείο Α άρχισε να τααντώνεται τη χρονική στιγμή t = T, οπότε απέχει από την πηγή απόσταση x =. Άρα σημείο Α και πηγή είναι σε συμφωνία φάσης. Το στιγμιότυπο του διαγράμματος 1 δείχνει ότι το κύμα έχει διαδοθεί κατά +, άρα T το στιγμιότυπο αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t = + T. Αυτή τη χρονική στιγμή η 8

πηγή έχει κάνει δύο πήρεις τααντώσεις και μισή επί πέον ταάντωση, άρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με αρνητική ταχύτητα. Την ίδια χρονική στιγμή, το ίδιο κάνει και το σημείο Α, εφόσον είναι σε συμφωνία φάσης με την πηγή, όπως προαναφέρθηκε. 9

Ερώτηση 7. Στο διπανό σχήμα η πηγή Ο παράγει αρμονικό κύμα που διαδίδεται πάνω σε γραμμικό U εαστικό μέσο με ταχύτητα υ. Δύο σημεία Α,Β του μέσου βρίσκονται πάνω στη ευθεία Ο Β Α χ διάδοσης και έχουν φάσεις 4 ϕ = π A και 3 ϕ = π B. 3 Α. Να βρείτε αν υπάρχει άθος στο σχήμα ως προς τις θέσεις των σημείων Α και Β σε σχέση με την πηγή Ο, και αν ναι να το διορθώσετε φτιάχνοντας το σωστό σχήμα. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. Β. Τη χρονική στιγμή που το σημείο Α βρίσκεται στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση, το σημείο Β θα βρίσκεται στη θέση α) y = Α. β) y = Α. γ) y= 0. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. A. Πιο κοντά στην πηγή είναι το υικό σημείο Α. t x Από τη σχέση ϕ= π( - ), φαίνεται ότι όσο πιο μακριά από την πηγή είναι ένα υικό T σημείο τόσο μικρότερη φάση έχει. Συνεπώς το σημείο με τη μεγαύτερη φάση θα είναι πιο κοντά στην πηγή. Η σωστή θέση των σημείων Α και Β φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: U Ο Α Β x 10

B. Σωστή απάντηση είναι η β. Επειδή η διαφορά φάσης των δύο σημείων είναι ίση με π, θα βρίσκονται σε αντίθεση φάσης. Συνεπώς το σημείο Β θα βρίσκεται σε απομάκρυνση y = Α. 11

Ερώτηση 8. Μια πηγή κυμάτων Ο αρχίζει την χρονική στιγμή t = 0, να εκτεεί απή αρμονική ταάντωση, πάτους Α, περιόδου T και αρχικής φάσης ϕ 0 = 0. Το στιγμιότυπο του κύματος, τη χρονική στιγμή t = T, είναι όπως το διάγραμμα Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. 1

Σε χρόνο μιας περιόδου το κύμα διαδίδεται κατά ένα μήκος κύματος. Αυτό συμβαίνει στα στιγμιότυπα β, γ. Σε ένα κύμα κάθε υικό σημείο επανααμβάνει την κίνηση του προηγούμενού του. Στο διάγραμμα β, το σημείο της θέσης x = δείχνεται να ξεκινά ταάντωση προς τα κάτω, ενώ στο διάγραμμα γ, δείχνεται να ξεκινά προς τα πάνω. Επειδή η πηγή τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aηµω t, αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σημείο που φτάνει η διαταραχή αυτό ξενικά αρμονική ταάντωση προς τα θετικά. Άρα σωστό διάγραμμα είναι το γ. 13

Ερώτηση 9. Δύο μεγάφωνα Μ 1 και Μ τροφοδοτούνται από την ίδια γεννήτρια συχνοτήτων και τοποθετούνται όπως στο σχήμα. Ένας ανιχνευτής ήχου τοποθετείται στο σημείο Α. Μ 1 40m A 90 0 9m 41m Μ Καθώς η συχνότητα της γεννήτριας αυξάνεται σιγά - σιγά από 00Hz 1000Hz διαπιστώνεται ότι ο ανιχνευτής Α καταγράφει σειρά ενισχύσεων και αποσβέσεων. Οι 40m M A = 41m, ενώ η αποστάσεις του ανιχνευτή από τις πηγές είναι ( M1A) ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι πρώτη απόσβεση είναι α) 00Hz. β) 510Hz. γ) 850Hz. = και ( ) m 340 s. Η συχνότητα για την οποία παρατηρείται η Να επιέξτε τη σωστή απάντηση. Να αιτιοογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Για να συμβαίνει απόσβεση πρέπει για τα κύματα που φτάνουν από τα δύο μεγάφωνα ( K + 1) υ στον ανιχνευτή να ισχύει η σχέση : r1 r =. Αντικαθιστώντας, =, f m r1 = 41m, r = 40m και υ= 340 παίρνουμε: s υ 340m / s 41m 40m = ( K + 1) 1m = ( K + 1) f = ( K + 1) 170 Hz f f Για K = 0 βρίσκουμε f = 170Hz η οποία απορρίπτεται γιατί είναι μικρότερη από 00Hz. Για K = 1 βρίσκουμε f = 510Hz που είναι η ζητούμενη, ενώ για K = βρίσκουμε f = 850Hz κπ. 14

Ερώτηση 10. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 και Π τααντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με το ίδιο πάτος Α, παράγοντας αρμονικά κύματα συχνότητας f και μήκους κύματος. Ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού απέχει r 1 = 4 από την πηγή Π 1 και r = 7 από την πηγή Π. Το πάτος ταάντωσης του υικού σημείου Σ, αφού συμβάουν σε αυτό τα κύματα, ισούται με: α) Α. β) Α. γ) 3Α. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η διαφορά των αποστάσεων του σημείου από την πηγή είναι 1 r r r 3 = =, δηαδή ακέραιο ποαπάσιο μήκους κύματος. Συνεπώς έχουμε ενισχυτική συμβοή και πάτος ταάντωσης ίσο με Α. 15

Ερώτηση 11. Κατά μήκος χορδής μήκους L, που η μια της άκρη είναι ακόνητα στερεωμένη, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, με το εεύθερο άκρο της να είναι κοιία. Α. Το μήκος της χορδής μπορεί να είναι α) L κ =. κ β) L = +. 4 γ) L = κ. Β. Αν Α είναι το πάτος των αρμονικών κυμάτων που συμβάουν και παράγεται το στάσιμο κύμα, τότε η σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα με την οποία τααντώνονται οι κοιίες, είναι: α) υ max = ωα. β) υ max = ωα. γ) υ max = ωασυνω t. Να επιέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να δικαιοογήσετε τις επιογές σας. Α. Σωστή απάντηση είναι η β. Το ένα άκρο της χορδής είναι ακόνητο, οπότε εκεί θα υπάρχει δεσμός. Στο άο άκρο, σύμφωνα με την εκφώνηση, δημιουργείται κοιία. Η απόσταση μεταξύ μιας κοιίας και ενός δεσμού είναι 4, άρα το μήκος της χορδής θα πρέπει να είναι περιττό ποαπάσιο του 4. Διαιρώντας το μήκος χορδής με το 4 βρίσκουμε περιττό αριθμό μόνο στο β. K (K + 1) L = + = 4 4 Β. Σωστή η απάντηση είναι η β. 16

Η μέγιστη ταχύτητα ενός υικού σημείου που εκτεεί αρμονική ταάντωση δίνεται από τη σχέση = ωα, με A, να δηώνει το πάτος ταάντωσής του. Οι κοιίες υ max τααντώνονται με πάτος Α 0 = Α. Με αντικατάσταση εύκοα προκύπτει υ max = ωα. 17

Ερώτηση 1. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Ο 1 και Ο δημιουργούν κύματα ίδιου πάτους Α και μήκους κύματος από τις πηγές ισχύει r 1 r = 4cm, τότε το σημείο Σ α) τααντώνεται με πάτος Α. β) τααντώνεται με πάτος A. γ) παραμένει ακίνητο. = 0,5cm. Αν για τις αποστάσεις r 1 και r ενός σημείου Σ Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Γνωρίζουμε ότι για να συμβεί ενισχυτική συμβοή πρέπει να ισχύει η σχέση r 1 r = Ν. Αυτό πράγματι ισχύει γιατί r1 r = 4cm r 1 r = 8 0,5cm r 1 r = 8, όπου = 0,5cm. Συνεπώς το υικό σημείο Σ εκτεεί σύνθετη ταάντωση μεγίστου πάτους. 18

Ερώτηση 13. Κατά μήκος χορδής, που έχει στερεωμένο το ένα της άκρο, διαδίδεται ο παμός του σχήματος. Όταν ο παμός φτάσει στο σημείο Κ, τότε ο τοίχος θα ασκήσει δύναμη στο σχοινί που θα έχει την κατεύθυνση της α) F 1. β) F. γ) F 3. δ) F 4. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Σε ένα κύμα (ή παμό) κάθε υικό σημείο επανααμβάνει την κίνηση του προηγούμενού του. Ο παμός του σχήματος κινείται προς τα δεξιά και η μορφή του δηώνει ότι σε κάθε σημείο που φθάνει αυτό κινείται προς τα πάνω. Έτσι, όταν ο παμός φτάσει στο σημείο Κ θα τραβήξει προς τα πάνω το πρώτο μόριο του σημείου στήριξης. Σύμφωνα με τον 3 ο νόμο του Νεύτωνα το σημείο στήριξης θα ασκήσει στο άκρο του σχοινιού αντίθετη δύναμη. 19

Ερώτηση 14. Κατά μήκος ομογενούς εαστικής χορδής αποκαθίσταται στάσιμο κύμα που πx περιγράφεται από την εξίσωση : y= 4 συν( ) ηµ 6π t, όπου x, y σε cm και t σε s. 10 Α. Η συχνότητα των κυμάτων που συμβάουν είναι α) 6Hz. β) 3Hz. γ) 10Hz. Β. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι α) 5cm. β) 1 cm. 5 γ) 10cm. Να επιέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να δικαιοογήσετε τις επιογές σας. Α. Σωστή απάντηση είναι η β. πx Από τη σύγκριση της εξίσωσης y= 4 συν( ) ηµ 6π t με τη γενική εξίσωση των 10 πx πt στάσιμων κυμάτων y = A συν( ) ηµ ( ), έχουμε: T π t = 6 π t π f = 6 π f = 3Hz T Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών σε ένα στάσιμο είναι. 0

πx Από τη σύγκριση της εξίσωσης y= 4 συν( ) ηµ 6π t με τη γενική εξίσωση των 10 πx πt στάσιμων κυμάτων y = A συν( ) ηµ ( ), έχουμε: T πx πx =, από όπου προκύπτει = 0cm. Συνεπώς η απόσταση μεταξύ δύο 10 διαδοχικών δεσμών είναι d = = 10cm. 1

Ερώτηση 15. Δύο κύματα που διαδίδονται πάνω στην ίδια ευθεία έχουν εξισώσεις: π π y1 = 4 ηµ (10π t - x) και y = 5 ηµ (10π t + x). 6 6 Από τη συμβοή των δύο παραπάνω κυμάτων: α) δεν μπορεί να προκύψει στάσιμο κύμα. β) θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, γιατί τα δύο κύματα διαδίδονται στην ίδια διεύθυνση με αντίθετες φορές, έχουν ίδιες συχνότητες και ίδιο μήκος κύματος. γ) θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, γιατί τα δύο κύματα έχουν ίδιες συχνότητες, και διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Για να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, είναι απαραίτητο τα κύματα που συμβάουν να διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις και να έχουν όα τα άα στοιχεία τους (πάτος, συχνότητα, ταχύτητα) ίσα. Τα εν όγω κύματα διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις, έχουν ίσες συχνότητες, ίσες ταχύτητες διάδοσης αά δεν έχουν ίσα πάτη. Συνεπώς θα συμβάουν, αά δεν θα προκύψουν σημεία που να παραμένουν ακίνητα, δηαδή στάσιμο κύμα.

Ερώτηση 16. Στην επιφάνεια υγρού διαδίδονται δύο αρμονικά εγκάρσια κύματα ίδιου πάτους A και ίδιας συχνότητας, που παράγονται από δύο σύγχρονες πηγές Π 1, Π με εξισώσεις ταάντωσης y1 = y = Aημωt. Σε ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού πρώτα φτάνει το κύμα από την πηγή Π 1 και μετά από χρονικό διάστημα 3Τ/4 φτάνει το κύμα από την πηγή Π. Λόγω της συμβοής των δύο κυμάτων το σημείο Μ τααντώνεται με πάτος α) A β) A γ) A Δίνεται: 3π συν = 4 Να αιτιοογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Το πάτος ταάντωσης δίνεται από τη σχέση: A = r r1 Aσυνπ (1) Για τις αποστάσεις του σημείου Μ από τις πηγές ισχύει: r = υt και r = ut 1 1 3T 3T 3 r r1 = υ t1+ υt1 r r1 = υ r r1 = 4 4 4 Με αντικατάσταση στη σχέση (1) παίρνουμε: 3 4 3π A = Aσυνπ = Aσυν = A 4 3

Ερώτηση 17. Κατά μήκος χορδής μεγάου μήκους διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα πάτους Α και μήκους κύματος. Το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1 είναι όπως στο σχήμα. Το σημείο Μ που βρίσκεται στη θέση 5 x = τη χρονική στιγμή t 1 έχει απομάκρυνση 3 α) Α. β) Α/3. γ) -Α/. Να αιτιοογήσετε την απάντησή σας. Δίνεται: π 1 ημ = 6 Σωστή απάντηση είναι η (γ). Το κύμα περιγράφεται από την εξίσωση t x y Aημπ = T (1) Τη χρονική στιγμή t 1 το κύμα έχει προχωρήσει +. Έχοντας υπόψη ότι σε μια 4 T περίοδο το κύμα προχωρά κατά, προκύπτει ότι t1 = T +. 4 Με αντικατάσταση στη σχέση (1), 5 T x = και t 1 = T + έχουμε: 3 4 T 5 T + 4 3 9 5 7π π y= Aημπ = Aημπ = Aημ = Aημ T 4 3 6 6 ή A y = 4

Ερώτηση 18. Δύο εαστικές χορδές 1 και είναι συγκοημένες στο ένα άκρο τους. Ένας κυματοπαμός, ημιτονοειδούς μορφής, οδεύει από τα αριστερά προς τα δεξιά στο μέσο 1 με ταχύτητα υ 1. Στο πάνω στιγμιότυπο φαίνεται ο κυματοπαμός τη στιγμή που φτάνει στο μέσο, ενώ στο κάτω στιγμιότυπο φαίνονται ο ανακώμενος κυματοπαμός, καθώς και αυτός που διαδίδεται στο μέσο, με ταχύτητα υ. Από τη μεέτη των σχημάτων προκύπτει ότι οι ταχύτητες διάδοσης στο μέσο 1 και στο μέσο συνδέονται με τη σχέση α) υ1 < υ β) υ1 = υ γ) υ1 > υ Να αιτιοογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Όταν ένα κύμα αάζει μέσω διάδοσης η συχνότητα παραμένει σταθερή. Από το σχήμα και τον ορισμό του μήκους κύματος, προκύπτει: 1 d = και d =. Επίσης από το σχήμα προκύπτει: d< d άρα και 1 < ή 1f < f ή υ1 < υ. 5

Ερώτηση 19. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1, Π παράγουν κύματα ίδιου πάτους στη επιφάνεια υγρού. Μικρό κομμάτι φεού απέχει r 1 = 5m από την πηγή Π 1 και r = 4,5m από την Π. Το μέγιστο μήκος κύματος που μπορεί να παραχθεί από τις πηγές, προκειμένου να παραμένει ακίνητος ο φεός είναι α) m β) 1m γ) 0,5m Να αιτιοογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Αφού ο φεός παραμένει ακίνητος ισχύει η σχέση (r1 r ) r1 r = (k + 1) = k + 1 Με βάση την παραπάνω σχέση το μέγιστο προκύπτει για το εάχιστο k, δηαδή για k=0. Με αντικατάσταση προκύπτει: (5m 4,5m) = = 1m 0 + 1 6

Ερώτηση 0. Στην επιφάνεια ενός υγρού δύο σύγχρονες πηγές παράγουν κύματα ίδιου πάτους και ίδιας συχνότητας. Για ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού, η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y σε συνάρτηση με το χρόνο t είναι όπως στο διάγραμμα. Αν r 1 και r είναι οι αποστάσεις του Μ από τις δύο πηγές, τότε α) r r 1 =,5 β) r r 1 = 1, 5 γ) r r 1 = 5 Να αιτιοογήσετε την απάντησή σας. Σωστή πρόταση είναι η (β). Παρατηρούμε ότι το σημείο Μ αρχίζει να τααντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 και σταματά να τααντώνεται τη χρονική στιγμή t. Αυτό συμβαίνει γιατί τη χρονική στιγμή t έφτασε το δεύτερο κύμα και προκήθηκε αποσβεστική συμβοή. 3T Από τη γραφική παράσταση προκύπτει: t t1 =. r r1 = υ(t 3T 3T 3 t 1) = υ r r1 = r r1 = T 7

Ερώτηση 1. Σε μια χορδή μήκους L δημιουργείται στάσιμο κύμα, με δεσμούς στα δύο άκρα της και άους δύο ενδιάμεσα. Αν f είναι η συχνότητα ταάντωσης της χορδής, τότε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος στη χορδή είναι α) β) γ) Lf υ = 3 Lf υ = 3 3Lf υ = Να αιτιοογήσετε την απάντησή σας. Σωστή πρόταση είναι η (α). Στα δύο άκρα της χορδής δημιουργούνται δεσμοί, έτσι το μήκος της χορδής και το μήκος L κύματος συνδέονται με τη σχέση: L= 3 = 3 Με αντικατάσταση στη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής παίρνουμε: L L υ = f = f υ = f 3 3 8

Ερώτηση. Οι σεισμοόγοι, προκειμένου να προσδιορίσουν την απόσταση της εστίας ενός σεισμού από ένα σεισμογράφο, χρησιμοποιούν τη διαφορά χρόνου άφιξης με την οποία καταγράφονται από το σεισμογράφο τα διαμήκη και εγκάρσια κύματα που παράγονται στην εστία του σεισμού. Αν Δt η χρονική διαφορά άφιξης των διαμήκων και εγκάρσιων κυμάτων, υ ( δ ε υ δ, υ ε οι ταχύτητες των διαμήκων και εγκαρσίων κυμάτων αντίστοιχα, > υ ), τότε η απόσταση της εστίας του σεισμού από τον σεισμογράφο είναι Σεισμογράφος d υ δ υ ε ΕΣΤΙΑ υ + υ t ( ) δ ε α) υ + υ t β) ( ) δ ε γ) υδ υε t υ υ δ ε Να αιτιοογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Αν με t δ και t ε συμβοίσουμε τους χρόνους που απαιτούνται για να φτάσουν το εγκάρσιο και το διαμήκες κύμα από την εστία του σεισμού έως το σεισμογράφο d d αντίστοιχα, ισχύει: t δ = και tε =, όπου d η απόσταση εστίας σεισμογράφου. υ υ Επειδή υε < υδ θα είναι tδ < tε. δ ε d d Άρα, Δt = t ε t = δ υ υ και από εδώ ύνοντας ως προς d βρίσκουμε: ε δ υδ υε t d = υ υ δ ε. 9

Ερώτηση 3. Σε μια χορδή έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Ένα σημείο Μ της χορδής τααντώνεται A με πάτος Α και τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στη θέση x = κινούμενο προς τη θέση ισορροπίας του. Η χρονική στιγμή που η επιτάχυνσή του γίνεται μηδέν για πρώτη φορά είναι α) T 3. β) T 6. γ) T 1. Να αιτιοογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Οι εξισώσεις κίνησης είναι: x = Aημ ( ωt + φ 0 ) και υ υmaxσυν ( ωt φ0 ) = +. Τη χρονική στιγμή t = 0 είναι: A 1 x = και υ < 0 άρα ημφ0 = και συνφ0 < 0. Επειδή 0 < φ0 < π θα είναι π 5π = =. Η επιτάχυνση μηδενίζεται για 1 η φορά στην θέση x = 0, άρα φ0 π 6 6 5π 0 = Αημ ωt + 6 ή 5π κπ = ωt + ή 6 5π ωt = κπ και για κ = 1 έχουμε: 6 π ωt = 6 ή π t = π ή T 6 T t =. 1 30

Ερώτηση 4. Στα παρακάτω σχήματα βέπουμε τα στιγμιότυπα μέρους μιας χορδής που T τααντώνεται, τις χρονικές στιγμές t 1 και t 1 +. Μεετώντας τα στιγμιότυπα αυτά και 4 έχοντας υπόψη ότι το σημείο της θέσης x = 0 (δεν δείχνεται στο σχήμα) τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aημωt, συμπεραίνουμε ότι α) έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα στη χορδή. β) παριστάνουν αρμονικό κύμα που διαδίδεται προς τ αριστερά. γ) παριστάνουν αρμονικό κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά. Επιέξτε τη σωστή πρόταση και δικαιοογείστε την επιογή σας. Σωστή είναι η (β). Δεν θα μπορούσε να είναι στάσιμο κύμα, γιατί βέπουμε ότι τα σημεία που τη χρονική T στιγμή t 1 βρισκόντουσαν στις θέσεις ισορροπίας, τη χρονική στιγμή t1 + βρίσκονται 4 στις μέγιστες απομακρύνσεις. Για να αποφασίσουμε προς τα πού διαδίδεται το κύμα θα στηριχθούμε στην παρατήρηση ότι σε ένα τρέχον κύμα όα τα σημεία του υικού εκτεούν διαδοχικά την κίνηση του προηγούμενού τους. Αν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά, στο στιγμιότυπο της χρονικής στιγμή t 1 τα προηγούμενα του σημείου Α βρίσκονται σε θετική απομάκρυνση και το σημείο Α μετά από χρονικό διάστημα T/4 θα έπρεπε να βρεθεί στη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά, στο στιγμιότυπο της χρονικής στιγμή t 1 τα προηγούμενα του σημείου Δ βρίσκονται σε θετική απομάκρυνση και το σημείο Δ μετά από χρονικό διάστημα T/4 θα έπρεπε να βρεθεί στη μέγιστη θετική απομάκρυνση, αά αυτό βρίσκεται στο -Α. Από τη συγκριτική μεέτη των δύο γραφημάτων εύκοα προκύπτει ότι το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά. 31

Ερώτηση 5. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώειες κατά μήκος του άξονα x Ox. Το σημείο της θέσης x = 0, τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aημωt. Στο διάγραμμα φαίνεται για ένα σημείο Μ του εαστικού μέσου που απέχει xm = 40cm από την πηγή η απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο H ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι α. 0,1 m/s β. 0, m/s γ. 0,5 m/s Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Από το διάγραμμα προκύπτει ότι το κύμα σε χρονικό διάστημα Δt = 0,8s διανύει απόσταση Δx = 0, 4m. Παίρνοντας υπόψη ότι η ταχύτητα διάδοσης είναι σταθερή έχουμε: Δx 0, 4m υ= = υ = 0,5m / s Δt 0,8s 3

Ερώτηση 6. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώειες κατά μήκος του άξονα x Ox. Το σημείο της θέσης x = 0, τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aημωt. Στο διάγραμμα φαίνεται για ένα σημείο Μ του εαστικού μέσου που απέχει = 40cm από την πηγή η απομάκρυνση σε xm συνάρτηση με το χρόνο.το διάγραμμα της απομάκρυνσης όων των σημείων του εαστικού μέσου (στιγμιότυπο του κύματος) τη χρονική στιγμή t = 0,35s είναι το α. (Ι) β. (ΙΙ) γ. (ΙΙΙ) Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση η (γ). Από το διάγραμμα προκύπτει ότι το χρονικό διάστημα 0,8s έως 1,1s αντιστοιχεί σε 3Τ/. Οπότε έχουμε ή 0,3s = 3Τ/ ή Τ = 0, s. Η χρονική στιγμή t = 0,35s = 0, 0s + 0,15s αντιστοιχεί σε χρονικό διάστημα 7T / 4. Παίρνοντας υπόψη ότι το κύμα σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου προχωρά κατά ένα μήκος κύματος εύκοα προκύπτει ότι σε χρονικό διάστημα 7T / 4 προχωρά κατά Δx = 7 / 4. Άρα σωστό είναι το διάγραμμα (ΙΙΙ). 33

Ερώτηση 7. Κατά μήκος γραμμικού εαστικού μέσου διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα μήκους κύματος κατά τη διεύθυνση του άξονα x Ox. Το σημείο της θέσης x = 0, τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aημωt. Η φάση ενός σημείου Μ του μέσου σε σχέση με το χρόνο δίνεται από τη σχέση φμ = πt 4π (SI) Όταν το σημείο Μ αποκτήσει για τρίτη φορά τη μέγιστη δυναμική του ενέργεια, η επιτάχυνση της πηγής (x=0) θα είναι α. μηδέν β. θετική γ. αρνητική. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Η φάση του σημείου Μ γράφεται: t φ = πt 4π φ = π Από τη σύγκριση με τη γενική εξίσωση της φάσης προκύπτει: Τ = s και x = x = Η πηγή και το σημείο Μ βρίσκονται σε συμφωνία φάσης, αφού απέχουν μεταξύ τους ακέραιο ποαπάσιο του μήκους κύματος και θα έχουν κάθε στιγμή ίδιες απομακρύνσεις. Όταν τo M αποκτά τη μέγιστη δυναμική του ενέργεια για 3 η φορά, βρίσκεται σε απομάκρυνση +Α, επομένως και η πηγή βρίσκεται σε απομάκρυνση +Α. Παίρνοντας υπόψη ότι, α = ωy, προκύπτει ότι το σημείο Μ έχει αρνητική επιτάχυνση. 34

Ερώτηση 8. Στο σχήμα φαίνονται σε κοινό σύστημα αξόνων τα διαγράμματα φάσης απόστασης δύο αρμονικών κυμάτων 1 και που διαδίδονται κατά μήκος δύο γραμμικών εαστικών μέσων τη χρονική στιγμή t ο. Τα κύματα ξεκίνησαν τη χρονική στιγμή t = 0 τη διάδοσή τους από τις πηγές τους χωρίς αρχική φάση. 1 Ο όγος των μηκών κύματος των κυμάτων,, είναι 1 1 α. = 1 β. = 3 1 3 γ. = Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Από τα διαγράμματα βέπουμε ότι: τη στιγμή t ο τα δύο κύματα προχώρησαν μέχρι x1 Eπομένως x1 υ 1 to υ1 1 f1 = = = x υ t υ 3 f 3 o (1) = 4m και x = 6m αντίστοιχα. τη χρονική στιγμή t ο οι φάσεις των πηγών είναι 4π και 3π αντίστοιχα. Επoμένως: φ1 πf1t o 4π f1 f1 4 = = =. φ πf t 3π f f 3 o Με αντικατάσταση στην (1) προκύπτει: 1 f1 1 4 1 1 1 = = = = 3 f 3 3 4 35

Ερώτηση 9. Κατά μήκος γραμμικού εαστικού μέσου διαδίδεται προς την κατεύθυνση του αρνητικού ημιάξονα εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Τη χρονική στιγμή t=0, το σημείο x=0 ξεκινά την ταάντωσή του διερχόμενο από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. To διάγραμμα φάσης-απόστασης τη χρονική στιγμή t 1 φαίνεται στο διπανό σχήμα. Το σημείο Κ βρίσκεται στη θέση α. β. 3 γ. 3 Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Τη χρονική στιγμή t 1 : φκ = 0 και φμ = 3π. Επειδή το κύμα διαδίδεται προς τον αρνητικό ημιάξονα η φάση ενός σημείου δίνεται από t x τη σχέση φ π = + T. Με αντικατάσταση των τιμών για το σημείο Μ τη χρονική στιγμή t 1 παίρνουμε: t1 xm t1 T φm = π + 3π = π + t1 = T T Με αντικατάσταση των τιμών για το σημείο Κ τη χρονική στιγμή t 1 παίρνουμε: t x = = + = T 1 K φk 0 0 π xk 36

Ερώτηση 30. Οι πηγές Ο 1 και Ο του σχήματος βρίσκονται σε συμφωνία φάσης και δημιουργούν στην ήρεμη επιφάνεια υγρού αρμονικά κύματα ίδιου πάτους Α, που διαδίδονται με ταχύτητα μέτρου υ=4 cm/s παράγοντας φαινόμενα συμβοής. Tο σημείο Μ απέχει r 1 =51,5 cm και r =49,5cm από τις πηγές αντίστοιχα. Για να βρίσκεται το σημείο Μ σε υπερβοή ενίσχυσης, θα πρέπει οι πηγές να εκπέμπουν τα κύματα με συχνότητες α. f=1,3,5,7 Hz β. f=,4,6,8 Hz γ. f=1,,3,4,5 Hz Σωστή απάντηση είναι η (β). Για τη διαφορά των αποστάσεων του Μ από τις δύο πηγές ισχύει : r1 r = cm Για να έχουμε ενισχυτική συμβοή πρέπει: υ Nυ N 4cm / s r1 r = N r1 r = N f = = f = N Hz f r1 r cm άρα f =, 4,6..Hz. με Ν = 1,,3. 37

Ερώτηση 31. Οι πηγές Ο 1 και Ο του σχήματος βρίσκονται σε συμφωνία φάσης και δημιουργούν στην ήρεμη επιφάνεια υγρού αρμονικά κύματα ίδιου πάτους Α, που διαδίδονται με ταχύτητα μέτρου υ=6 cm/s παράγοντας φαινόμενα συμβοής. Tο σημείο Μ απέχει r 1 =31,5 cm και r =34,5cm από τις πηγές αντίστοιχα. Για να βρίσκεται το σημείο Μ σε υπερβοή απόσβεσης, θα πρέπει οι πηγές να εκπέμπουν τα κύματα με συχνότητες α. f=1,3,5,7 Hz β. f=,4,6,8 Hz γ. f=1,,3,4,5 Hz Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση η (α). Για τη διαφορά των αποστάσεων του Μ από τις δύο πηγές ισχύει : r1 r = 3cm Για να έχουμε αποσβεστική συμβοή πρέπει: υ (N + 1)υ (N + 1) 6cm / s r1 r = (N + 1) r1 r = (N + 1) f = = f r r 3cm f = (N + 1) Hz με N = 0,1,,3... Άρα f = 1,3,5,7 Hz 1 38

Ερώτηση 3. Σε ένα οριζόντιο σχοινί που έχει το ένα άκρο του εεύθερο και το άο στερεωμένο ακόνητα, δημιουργούμε στάσιμο κύμα στο οποίο στο εεύθερο άκρο σχηματίζεται κοιία. Το μήκος του σχοινιού είναι όπου είναι το μήκος κύματος του στάσιμου. Τη χρονική στιγμή όα τα σημεία του σχοινιού διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους. Η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Β και Γ είναι α. β. γ. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Το πάτος ταάντωσης του τυχαίου σημείου σε ένα στάσιμο δίνεται από τη σχέση, όπου x η οριζόντια απόσταση από μια κοιία, εδώ από το εεύθερο άκρο. To σημείο B απέχει / από την κοιία (x=0), επομένως To σημείο Γ απέχει από την κοιία (x=0), επομένως Τα πρόσημα των όρων Α Β και Α Γ είναι αντίθετα, άρα τα Β και Γ έχουν διαφορά φάσης π. 39

Ερώτηση 33. Σε ένα οριζόντιο σχοινί που έχει το ένα άκρο του εεύθερο και το άο στερεωμένο ακόνητα, δημιουργούμε στάσιμο κύμα σχηματίζοντας στο εεύθερο άκρο κοιία. Το μήκος του σχοινιού είναι όπου είναι το μήκος κύματος του στάσιμου. Τη χρονική στιγμή όα τα σημεία του σχοινιού διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους. Ο όγος των πατών των ταχυτήτων των σημείων Α και Γ είναι αντίστοιχα α. β. γ. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β)., (1) Το πάτος ταάντωσης του τυχαίου σημείου σε ένα στάσιμο δίνεται από τη σχέση, όπου x η οριζόντια απόσταση από μια κοιία, εδώ από το εεύθερο άκρο. Το σημείο Α απέχει οριζόντια /8 από το σημείο x=0 και έχει πάτος. Το σημείο Γ απέχει οριζόντια από το σημείο x=0 και έχει πάτος Α. 40

Η σχέση (1) γίνεται: υmax A AA A υmax A = = = υ A A υ max Γ Γ max Γ 41

Ερώτηση 34. Τα άκρα μιας εαστικής χορδής μήκους L=,5m είναι δεμένα στα σταθερά σημεία Α και Β. Στη χορδή έχουμε δημιουργία στάσιμου κύματος από τρέχοντα κύματα που είχαν ταχύτητα διάδοσης 1 m / s. Η συχνότητα με την οποία ένα σημείο της χορδής τααντώνεται μπορεί να είναι α. 5 Hz β. 4,4 Hz γ. 7, Hz Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Τα άκρα του σχοινιού είναι δεσμοί, άρα το μήκος του σχοινιού πρέπει να είναι ακέραιο ποαπάσιο του /. υ υn 1m / s N L = N = N f = = f =, 4 N SI f L,5m ( ) με Ν = 1,,3, 4, Παρατηρούμε ότι για Ν= 3 παίρνουμε f = 7, Hz 4

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση 1. Κατά μήκος μιας εαστικής χορδής μεγάου μήκους που το ένα άκρο της είναι ακόνητα στερεωμένο, διαδίδονται δύο κύματα, των οποίων οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα: y1 = 10ηµ π(5t x) και y = 10ηµ π (5t + x), όπου y και x είναι μετρημένα σε cm και το t σε s. Στη θέση x = 0, που είναι το εεύθερο άκρο της χορδής δημιουργείται κοιία. α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή. β) Να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που θα δημιουργηθεί από τη συμβοή των δύο αυτών κυμάτων και το πάτος ταάντωσης κάθε υικού σημείου της χορδής, συναρτήσει της απόστασής του από το εεύθερο άκρο της. γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β και Γ, τα οποία απέχουν από το εεύθερο άκρο αντίστοιχα, xa =, xb = και 4 x Γ =, αφού δημιουργηθεί το στάσιμο. δ) Να βρείτε τη σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης κάθε υικού σημείου της χορδής. Μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνεται το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας των υικών σημείων της χορδής; ε) Ποιά είναι η απόσταση από το εεύθερο άκρο της χορδής των σημείων που παραμένουν ακίνητα και των σημείων που πάονται με μέγιστο πάτος; t x α) Η γενική εξίσωση του αρμονικού κύματος είναι y= Aηµ π T. Συγκρίνοντάς την με μία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυμάτων, έστω την εξίσωση y1 = 10ηµ π(5t x), προκύπτει: t 1 5t = T s T = 5 και x = x = 1cm Με αντικατάσταση στη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής προκύπτει: 1cm cm υ= = υ= 5 Τ 1 s s 5 β) Η γενική εξίσωση του στάσιμου κύματος δίνεται από τη σχέση 43

πx πt y = Aσυν ηµ T. Με αντικατάσταση των τιμών των Α, και Τ προκύπτει: y = 0 συν(πx) ηµ (10π t), όπου y και x είναι μετρημένα σε cm και το t σε s. Άρα το πάτος ταάντωσης συναρτήσει της απόστασης είναι: A ' = 0 συνπ x ( cm) γ) Αντικαθιστούμε στην εξίσωση του στάσιμου τις τιμές του x των τριών σημείων. Για το υικό σημείο Α: A ya 0 ( ) (10 t) cm,s ya 0 (10 t) cm,s A x π = sυν π π ( ) = sυν π ( ) ( ) y = 0 0 (10πt) cm,s y = 0cm Το σημείο Α παραμένει ακίνητο, άρα είναι δεσμός. Για το υικό σημείο Β: x A ( ) ( ) B yb = 0 sυν( π ) ηm(10π t) cm,s = 0 sυν( π) ηm(10πt) cm,s, δηαδή yb = 0 ηm10π t (cm,s).άρα το υικό σημείο Β πάεται με μέγιστο πάτος, επομένως είναι κοιία. Για το υικό σημείο Γ: xγ yγ = 0 sυν( π ) ηm(10πt) cm,s yγ = 0 sυν( π) ηm(10πt) cm,s y = 0 ηm 10 π Γ t ( cm,s). ( ) ( ) δηαδή Άρα και το υικό σημείο Γ πάεται με μέγιστο πάτος, επομένως είναι κοιία. Σχόιο: To αρνητικό πρόσημο στην εξίσωση ταάντωσης του σημείου Β σημαίνει ότι το Β βρίσκεται στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του όταν το σημείο Γ βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Λέμε ότι τα δύο σημεία τααντώνονται με διαφορά φάσης Δϕ=π. Οι γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης χρόνου φαίνονται στα διαγράμματα που ακοουθούν. 44

δ) Το τυχαίο υικό σημείο της χορδής τααντώνεται με βάση την εξίσωση y = A ' ηm(10π t) ( cm,s), όπου A ' 0 ( x) ( cm) = συν π. Η μέγιστη ταχύτητα με την οποία τααντώνεται κάθε υικό σημείο θα είναι: υ max = ω Α ' = 00 π sυν(π x) ( cm / s) Επειδή 0 συν(πx) 1, το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας των υικών σημείων cm κυμαίνεται μεταξύ της εάχιστης τιμής υ= 0 και της μέγιστης υ max = 00π s ε) Tα σημεία που παραμένουν ακίνητα απέχουν από το εεύθερο άκρο της χορδής, ( K + 1) ( K + 1) x = = cm, όπου K = 0,1,,3 4 4 K K Για τα σημεία που πάονται με μέγιστο πάτος ισχύει: x = = cm, όπου K = 0,1,,3... 45

Άσκηση. Κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα πx x'0x διαδίδεται αρμονικό κύμα με εξίσωση: y = 0,1 ηµ (4πt ) (S.I.). Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις δυο σημείων (Μ) και (Ν) του μέσου, τα οποία βρίσκονται δεξιά της 10π 17π πηγής (Ο), είναι ϕ Μ = rad και ϕ Ν = rad αντίστοιχα. 3 6 α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του κύματος. β) Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία (Μ), (Ν) είναι πιο κοντά στην πηγή (Ο), καθώς και την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 1s. δ) Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου (Ν) από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που το σημείο (Μ) αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. α) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος θα βρεθεί από τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής υ= f. Συγκρίνοντας την εξίσωση t x y= Aηµ π( - ) T έχουμε ότι: πt 4π t = T = 0,5s f = Hz T πx y = 0,1 ηµ (4π t - ) με τη γενική εξίσωση των κυμάτων, πx πx = = 4m Συνεπώς υ= f = 8m / s t x β) Όπως φαίνεται από τη σχέση που δίνει τη φάση του κύματος ϕ= π( - ), όσο πιο T μακριά είναι ένα σημείο από την πηγή τόσο μικρότερη είναι η φάση του. 10π 0π H φάση του σημείου Μ, ϕ Μ = rad = rad, είναι μεγαύτερη από τη φάση του 3 6 17π σημείου Ν, ϕ Ν = rad. Συνεπώς πιο κοντά στην πηγή είναι το σημείο Μ. 6 46

Ο υποογισμός της απόστασης μεταξύ των σημείων Μ και Ν γίνεται με αφαίρεση των δύο φάσεων. ( x -x ) ( x -x ) ( x - x ) t xμ t x Ν Ν Μ ϕμ -ϕ Ν = π - -π - ϕμ -ϕ Ν = π T T 0π 17π Ν Μ 3π Ν Μ - = π = π ( x Ν - x Μ) = 1m 6 6 6 4m γ) Υποογίζουμε σε πόση απόσταση θα έχει διαδοθεί το κύμα σε χρονικό διάστημα 1s. Σε = =, το κύμα θα έχει διαδοθεί απόσταση ίση με δύο μήκη κύματος ( ) χρόνο t 1s T Βρίσκουμε την κίνηση χαρακτηριστικών υικών σημείων. Τα υικά σημεία στις θέσεις x = 0, x = και x =, θα βρίσκονται σε απομάκρυνση y= 0 και είναι έτοιμα να κινηθούν κατά τη θετική φορά. δ) Επειδή τα σημεία Μ, Ν, απέχουν μεταξύ τους 1m 4 =, παρουσιάζουν διαφορά φάσης π, με το σημείο Μ να προηγείται. Έτσι, όταν το Μ είναι στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης, τότε το Ν περνά από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. 47

Άσκηση 3. Κατά μήκος μιας εαστικής χορδής μήκους L = 16, 5cm διαδίδεται αρμονικό κύμα της πx μορφής: y = 8 ηµ (10πt ) όπου x, y σε cm και t σε s. Το ένα άκρο της χορδής 5 είναι στερεωμένα ακόνητα, με αποτέεσμα το κύμα να ανακαστεί και να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Το άο άκρο της χορδής είναι εεύθερο, δημιουργείται σε αυτό κοιία και θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση x = 0. Η κοιία της θέσης x = 0 εκτεεί απή αρμονική ταάντωση χωρίς αρχική φάση. α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του αρμονικού κύματος. β) Να βρείτε τον αριθμό των κοιιών που δημιουργούνται. γ) Να βρείτε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για την κοιία Κ που απέχει από το σημείο x = 0. δ) Αν ένα σημείο Μ του θετικού ημιάξονα τααντώνεται με πάτος Α 0 = 8 3cm, να υποογίσετε την απόσταση του σημείου αυτού από τον πησιέστερο δεσμό. α) Για να υποογίσουμε την ταχύτητα θα εφαρμόσουμε τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής. Γράφουμε τη δοθείσα εξίσωση σε μορφή αντίστοιχη της γενικής εξίσωσης του x αρμονικού κύματος y = Aηµ π(f t ) Έχουμε πx y = 8 ηµ (10πt ) 5 x y = 8ηm π(5t ) (cm,s) 5 Από τη σύγκριση των δύο εξισώσεων παίρνουμε: π f = 10π, συνεπώς f = 5Hz και π π =, συνεπώς = 5cm 5 Άρα cm υ= f = 5 s β) Το σημείο ανάκασης είναι ακόνητο, άρα σε αυτό δημιουργείται δεσμός. Στο εεύθερο άκρο δημιουργείται κοιία. Επειδή σε ένα στάσιμο, ο δεσμός από την κοιία 48

απέχουν 4 το μήκος της χορδής L συνδέεται με το μήκος κύματος με τη σχέση: κ L = + 4 Με αντικατάσταση του L και του προκύπτει ότι κ= 6. Συνεπώς μεταξύ πρώτου και τεευταίου δεσμού οι κοιίες είναι 6 και δεδομένου ότι στη θέση x = 0 υπάρχει κοιία στο σύνοο δημιουργούνται 7 κοιίες. γ) Η απομάκρυνση των υικών σημείων του μέσου σε ένα στάσιμο δίνονται από τη σχέση πx y= Ασυν ηµωt. Έτσι η κοιία Κ της θέσης x = θα τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση π yκ = 8 sυν ηm10πt yκ = 16 ηm10πt (cm,s) και η ταχύτητα ταάντωσής της θα δίνεται από τη σχέση: υ K = 10 π( 16) sυν(10πt) (cm / s) υ K = 160 π sυν(10πt) (cm / s) δ) Το πάτος συναρτήσει της απόστασης από τη θέση x = 0, δίνεται από τη σχέση: x A' = A συν π συνεπώς συνπx 8 3 = 16 δηαδή 5 πx 3 συν ( ) = ± 5 Άρα π x π = κπ + ή π x π 5κ 5 = κπ, οπότε x = ± cm, όπου x η απόσταση από το 5 6 5 6 1 εεύθερο άκρο της χορδής που πάεται με μέγιστο πάτος (κοιία). Οι κοιίες απέχουν από το εεύθερο άκρο απόσταση x κ κ 5κ = = (cm) Συνεπώς κάθε σημείο που πάεται με πάτος 8 3cm, θα απέχει από την πησιέστερη 5 κοιία απόσταση d1 = cm. 1 Οι δεσμοί απέχουν από το εεύθερο άκρο απόσταση x (κ+ 1) 5κ 5 = = + (cm). 4 4 49

Συνεπώς κάθε σημείο που πάεται με πάτος 8 3cm, θα απέχει από τον πησιέστερο δεσμό απόσταση d για την οποία ισχύει: 5 5 10 d1+ d = d = d1 d = cm cm d = cm 4 4 4 1 1 50

Άσκηση 4. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πάτους 10cm και μήκους κύματος = 1m διαδίδεται κατά τη θετική φορά σε οριζόντια εαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x x. Θεωρούμε ότι το σημείο της χορδής στη θέση x = 0 τη χρονική στιγμή t = 0 έχει μηδενική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και θετική ταχύτητα. Η ταχύτητα m διάδοσης του κύματος είναι υ= 100. s α) Να υποογίσετε την περίοδο ταάντωσης των υικών σημείων της χορδής. β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος στο S.I. και να κάνετε τη γραφική παράσταση απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου, για ένα υικό σημείο Α της χορδής, το οποίο 3 βρίσκεται στη θέση x =. 4 γ) Να υποογίσετε την ενέργεια της ταάντωσης στοιχειώδους τμήματος της χορδής μάζας 0,001 kg. (Να θεωρήσετε το στοιχειώδες τμήμα της χορδής ως υικό σημείο.) δ) Στην παραπάνω χορδή διαδίδεται ταυτόχρονα άο ένα κύμα πανομοιότυπο με το προηγούμενο, αά αντίθετης φοράς, με αποτέεσμα τη δημιουργία στάσιμου κύματος με κοιία στη θέση x = 0. Να υποογίσετε στο θετικό ημιάξονα τη θέση του 5 ου δεσμού του στάσιμου κύματος. Δίνεται: π = 10. α) Με βάση τη σχέση: υ= βρίσκουμε ότι: T 1m = = = υ 100m / s T T 10 s. β) Η γενική εξίσωση κύματος είναι: t x y= Aηµ π( ) T Η συχνότητα είναι rad f = 100Hz, άρα ω= π f = 00π, και = 1m. s Η εξίσωση του αρμονικού κύματος προκύπτει με αντικατάσταση και είναι: y = 0,1ηµ π(100t x) (S.I.) το οποίο βρίσκεται στη θέση 3 x =. 4 51

Η απομάκρυνση του υικού σημείου Α, που βρίσκεται στη θέση 3 3 x = = m 4 4, θα δίνεται από τη σχέση 3 ya = 0,1ηµ π(100t ) (S.I.) 4 Για να φθάσει το κύμα στο σημείο Α, που απέχει από τη πηγή 3/4 χρειάζεται χρόνο ίσο x 0, 75m με t1 = = t1 = 0,75 10 s. Άρα για t < t1 το σημείο Α είναι ακίνητο. Έτσι η υ 100m / s παραπάνω εξίσωση ισχύει για t t1 ή t 0,75 10 s γ) Η ενέργεια της ταάντωσης θα είναι ίση με τη μέγιστη κινητική ενέργεια του υικού 1 σημείου δηαδή: E= Kmax = mυ max rad m υ =ω A = 00π 0,1m υ = 0π s s Όμως, max max Με αντικατάσταση παίρνουμε K = J δ) Από τον τύπο x (k 1) 4 = + που δίνει τις θέσεις των δεσμών σε ένα στάσιμο, βέπουμε ότι ο πρώτος δεσμός προκύπτει για k = 0, οπότε η θέση του πέμπτου δεσμού θα προκύψει για k = 4: x 5 = ( 4 + 1) = 9 x5 =, 5m 4 4 5

Άσκηση 5. Το σημείο Ο ομογενούς εαστικής χορδής μεγάου μήκους, τη χρονική στιγμή t = 0, αρχίζει να εκτεεί απή αρμονική ταάντωση με εξίσωση y = 0,05ηµ 8π t (S.I.) κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Το αρμονικό κύμα που παράγεται διαδίδεται με ταχύτητα μέτρου m / s, κατά τη θετική φορά του άξονα x Οx, κατά μήκος της χορδής. α) Να βρεθούν ο χρόνος που χρειάζεται ένα υικό σημείο του εαστικού μέσου για να εκτεέσει μια πήρη ταάντωση καθώς και το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος που παράγεται και να βρεθούν οι θέσεις όων των σημείων που βρίσκονται σε συμφωνία φάσης με την πηγή. γ) Να γράψετε και να σχεδιάσετε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του 3 χρόνου για ένα υικό σημείο Α που απέχει απόσταση x = από την πηγή. T δ) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές t1 = και 4 3T t =. 4 α) Από την εξίσωση y = 0,05ηµ 8π t (S.I.) βρίσκουμε: Α= 0,05m, ω= 8 π rad / s. H π περίοδος προκύπτει από τη σχέση ω=, άρα T = 0, 5s και συνεπώς η συχνότητα T είναι f = 4Hz. Ο χρόνος που χρειάζεται ένα υικό σημείο να κάνει μια πήρη ταάντωση, είναι η περίοδος ταάντωσης του, δηαδή είναι ίσος με 0, 5s. Το μήκος κύματος προκύπτει από τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής. υ m / s υ=f = = = 0,5m. f 4Hz β) Η γενική εξίσωση του κύματος είναι: των μεγεθών A, T και γίνεται: t x y= Aηµ π( - ), η οποία με αντικατάσταση, T y = 0,05ηµ π(4t x) ( SI) Τα σημεία που είναι σε συμφωνία φάσης με την πηγή απέχουν από αυτή ακέραιο αριθμό μηκών κύματος, δηαδή βρίσκονται σε θέσεις για τις οποίες ισχύει x = k= k 0,5m k = 1,,3,... 53

γ) Η μέγιστη ταχύτητα θα είναι: υ max =ω A = 0, 4 π m / s, ενώ η εξίσωση ταχύτητας ταάντωσης των υικών σημείων είναι: υ = υ max t x συν π( - ) T. Άρα υ = 0,4πσυν π (4t -x) στο (S.I.). Η γενική εξίσωση της ταχύτητας ταάντωσης των υικών σημείων είναι t x υ = υmaxσυν π( - ) T Η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης θα είναι: υ max =ω A = 0, 4 π m / s Με αντικατάσταση στη γενική εξίσωση της ταχύτητας ταάντωσης: T = 0, 5s, 3 3 3 = 0,5m, x = = m παίρνουμε υ A = 0, 4πσυν π (4t - )( SI) 4 3 xa 3 Το κύμα φθάνει στο Α (xa = m) τη χρονική στιγμή ta = = s. Για t < ta το σημείο 4 υ 8 Α παραμένει ακίνητο. Άρα η εξίσωση ταχύτητας χρόνου είναι: υ A = 0,4πσυν π (4t -x) για 3 t s στο S.I. 8 δ) Για να σχεδιάσουμε το στιγμιότυπο, βρίσκουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης συναρτήσει της απόστασης και υποογίζουμε που έχει φθάσει το κύμα την κάθε χρονική στιγμή. Τη χρονική στιγμή T 4, η εξίσωση απομάκρυνσης θέσης είναι: 1 y = 0,05ηµ π ( - x). 4 Τη χρονική στιγμή αυτή το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 54

T x =υ t =υ 0,15m 4 = 4 =, ενώ τη χρονική στιγμή 3T 4 3 θέσης, είναι: y = 0,05ηµ π ( - x). 4, η εξίσωση απομάκρυνσης Τη χρονική στιγμή αυτή το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 3T 3 x =υ t =υ = = 0,375m. 4 4 55

Άσκηση 6. (Η άσκηση δόθηκε από τον εθεοντή κ. Αθανάσιο Παπαδημητρίου) Η εικόνα παριστάνει το στιγμιότυπο ενός γραμμικού αρμονικού κύματος μια χρονική στιγμή t 1, το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x σε ένα ομογενές εαστικό μέσο. Το σημείο της θέσης x = 0 άρχισε να τααντώνεται χωρίς αρχική φάση τη χρονική στιγμή t 0 = 0. Η ταχύτητα διάδοσης του παραπάνω κύματος είναι υ= m / s. α) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t 1. β) Να βρείτε την εξίσωση του κύματος. γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης σε σχέση με τη θέση, ϕ= f( x), για τη χρονική στιγμή t 1. δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή που το σημείο Μ, που βρίσκεται στη θέση x = Μ 3,3m, θα απέχει για πρώτη φορά 0,1m από τη θέση ισορροπίας του. ε) Να γίνουν τα διαγράμματα της φάσης και της απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο, ϕ= f( t) και y= f( t), για το Ν που βρίσκεται στη θέση x = Ν, 4m. α) Από το διάγραμμα του στιγμιότυπου φαίνεται ότι το κύμα διαδόθηκε, από την χρονική στιγμή t 0 = 0 μέχρι την t 1, κατά x =,7m. x,7m Άρα t 1 = = t 1 = 1, 35 s υ m / s 56

β) Από εκφώνηση η εξίσωση ταάντωσης της πηγής είναι y A ηµω t, οπότε η εξίσωση του (τρέχοντος) κύματος θα είναι της μορφής π = t x y= Aηµ π( ). T - Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το πάτος του κύματος είναι Α= 0, m. - Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το κύμα διαδόθηκε, από την χρονική στιγμή t0 = 0 μέχρι την t 1, κατά + = 9, όπου το μήκος κύματος. 4 4 Άρα 9 =, 7m = 1, m. 4 - Από τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής παίρνουμε υ m / s 1 υ= = = = = 1, m 0, 6 1 f f f s T 0, 6s Οπότε η εξίσωση του κύματος θα έχει την μορφή t x y = 0, ηµ π( ) (SI). 0, 6 1, γ) Η φάση του κύματος, για την χρονική στιγμή t1 1, 35 x πx ϕ= π ϕ= π ( 0 x,7m ) 0,6 1, 0,6 συνάρτηση ( ) 4,5 ( SI) = 1, 35 s περιγράφεται από τη Το ζητούμενο διάγραμμα είναι: δ) Από την εξίσωση του κύματος, για x = 3,3m και y = 0,1m έχουμε: t 3,3 t 3,3 1 0,1 = 0, ηµ π( ) ηµ π( ) = οπότε: 0, 6 1, 0, 6 1, t 3,3 π π( ) = kπ+ ή 0, 6 1, 6 t 3,3 5π π( ) = kπ+ 0, 6 1, 6 57

Αφού, για το σημείο Μ, αυτό συμβαίνει για πρώτη φορά, δεκτή γίνεται η πρώτη ύση t 3,3 π και με k = 0. Δηαδή π( ) = από την οποία προκύπτει t = 1,7s. 0, 6 1, 6 ε) Για το σημείο Ν (x Ν =, 4m) η φάση θα δίνεται από τη σχέση: t, 4 ϕ N = π( ) = 0, 6 1, t π( ), με 0,6 x, 4 t = s t 1, s υ Το ζητούμενο διάγραμμα είναι: Για το Ν (x =, 4m) Η εξίσωση της ταάντωσης του σημείου Ν θα είναι: t, 4 t yn = 0, ηµ π( ) = 0, ηµ π( ) ( SI) με 0,6 1, 0,6 x, 4 t = s t 1, s υ Το ζητούμενο διάγραμμα είναι: 58

Άσκηση 7. Μια πηγή κυμάτων Ο αρχίζει να τααντώνεται την χρονική στιγμή t = 0, σύμφωνα με την εξίσωση y = A ηµ (π ft). Το εγκάρσιο κύμα που δημιουργείται διαδίδεται σε ομογενές, γραμμικό εαστικό μέσο κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'οx. Στο σχήμα 1 παριστάνεται το στιγμιότυπο του κύματος μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t', ενώ στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου για ένα υικό σημείο Σ του εαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το εν όγω κύμα. Να βρείτε: α) την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και τη διαφορά φάσης μεταξύ του υικού σημείου Σ και της πηγής κυμάτων. β) τη χρονική στιγμή t' στην οποία αντιστοιχεί το στιγμιότυπο του κύματος. γ) την απομάκρυνσή από τη θέση ισορροπίας του υικού σημείου Σ και της πηγής κυμάτων την δεδομένη χρονική στιγμή t'. δ) τη μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης και τη μέγιστη επιτάχυνση του υικού σημείου Σ. ε) Nα σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης του υικού σημείου Σ συναρτήσει του χρόνου. Δίνεται το πάτος ταάντωσης της πηγής Α= 4 cm και π = 10. (Σχήμα 1) (Σχήμα ) 59

Από τα διαγράμματα προκύπτουν τα παρακάτω: Στο σχήμα 1, παρατηρούμε ότι την χρονική στιγμή t' το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x = 5cm (1). Από το ίδιο σχήμα επίσης προκύπτει ότι η απόσταση αυτή αντιστοιχεί σε 5 x = () Εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και () προκύπτει = cm. Στο σχήμα παρατηρούμε ότι η περίοδος ταάντωσης του υικού σημείου Σ είναι T = 1s, άρα και η συχνότητα θα είναι f = 1Hz. Άρα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: υ= f = cm / s. Επίσης παρατηρούμε ότι το κύμα για να φτάσει στο υικό σημείο Σ έκανε χρόνο t 1 Ο χρόνος αυτός είναι ίσος με την περίοδο του κύματος ( T 1s) = 1s. =, άρα η απόσταση πηγής και σημείου Σ είναι ίση με ένα μήκος κύματος και η διαφορά φάσης μεταξύ της πηγής Ο και του σημείου Σ είναι π, δηαδή ϕ ϕ = π. Ο Σ β) Τη χρονική στιγμή t' το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x = 5cm με ταχύτητα υ= cm / s. Άρα x 5cm 5 t' = = t' = s. υ cm / s 5 T γ) Η πηγή τη χρονική στιγμή t' έχει τααντωθεί για χρονικό διάστημα t = s = T +. Άρα περνά από τη θέση ισορροπίας της κινούμενη κατά την αρνητική φορά. Το υικό σημείο Σ, ξεκινά να τααντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 5 3 T t' έχει τααντωθεί για χρόνο: t = t '- t1 = s - 1s = s = T +. = 1s. Tη χρονική στιγμή Άρα το υικό σημείο Σ τη χρονική στιγμή αυτή έχει κάνει μια πήρη ταάντωση και μισή δηαδή περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο και αυτό κατά την αρνητική φορά. Αυτό ήταν αναμενόμενο, αφού τα δύο σημεία παρουσιάζουν διαφορά φάσης π. δ) Η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης δίνεται από τη σχέση: cm υ max =ω A = πf A υ max = π 1Hz 4cm υ max = 8π s 60

Η μέγιστη επιτάχυνση στη ταάντωση δίνεται από τη σχέση cm a max =ω A = 160 s ε) Η φάση του κύματος δίνεται από τη σχέση ( x = ) θα ισχύει ϕ= π(t 1). H φάση έχει νόημα για t 1s. Διάγραμμα φάσης - χρόνου για το υικό σημείο Σ: t x ϕ= π( ). Για το υικό σημείο Σ T 61

Άσκηση 8. Κατά μήκος ενός γραμμικού, ομογενούς, εαστικού μέσου διαδίδεται στη θετική κατεύθυνση του άξονα χ'οχ ένα αρμονικό κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση: 10πx y = 4 10 ηµ ( 00πt) 17 (S.I.). Δύο σημεία Α και Β βρίσκονται πάνω στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος, απέχουν μεταξύ τους 17m, και γνωρίζουμε ότι το πιο κοντινό σημείο στην πηγή Ο είναι το σημείο Α. α) Nα βρείτε τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Να δείξετε ότι η διαφορά φάσης των σημείων Α και Β είναι ανεξάρτητη του χρόνου και ότι τα σημεία αυτά είναι σε συμφωνία φάσης. γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης χρόνου για τα δύο αυτά υικά σημεία Α και Β, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Α βρίσκεται στη θέση x A = 6,8m. δ) Να βρείτε τη μεταβοή της φάσης του υικού σημείου Α σε χρονική διάρκεια t = 1s. ε) Να βρείτε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σημείου Γ της θέσης x = Γ 3, 4m, τη χρονική στιγμή t που το υικό σημείο Β έχει απομάκρυνση yb =, cm, και αρνητική ταχύτητα. α) Συγκρίνοντας την εξίσωση του συγκεκριμένου κύματος 10πx y = 4 10 ηµ [(00πt) ] με τη γενική εξίσωση του κύματος έχουμε: 17 πx 10πx 17 = = m = 3, 4m 17 5 π f t = 00πt f = 100Hz Με αντικατάσταση στη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε: m υ=f υ= 340 s t β) Οι φάσεις των υικών σημείων Α και Β, δίνονται από τις σχέσεις: ϕ A = π( ) T t x και ϕ ( B B = π ), αντίστοιχα. Αφαιρώντας τις δύο παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε τη T διαφορά φάσης των δύο αυτών σημείων: x A 6

π(xb x A) π(17m) ϕa ϕ B = = ϕa ϕ B = 10π rad 3, 4m Άρα η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο σημείων είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Επειδή ϕa ϕ B = 10π rad = 5 π rad (ακέραιο ποαπάσιο του π) ή x = 5 (ακέραιο ποαπάσιο του μήκους κύματος) τα σημεία αυτά βρίσκονται σε συμφωνία φάσης μεταξύ τους. γ) Το κύμα φτάνει στο σημείο Α τη χρονική στιγμή xa 6,8m 3, 4m t1 = = = t1 = s = T, ενώ το σημείο Β αρχίζει να υ 340m / s 3,4 100m / s 100 τααντώνεται τη χρονική στιγμή xb 17 + 6,8m 7 3, 4m 7 t = = = t = s = 7T υ 340m / s 3, 4 100m / s 100 Και τα δύο σημεία εκτεούν απή αρμονική ταάντωση με εξίσωση ταάντωσης ya 4 10 [(00 t) 4 ] = ηµ π π, όπου = ηµ π π, όπου yb 4 10 [(00 t) 14 ] t s και 100 7 t s, αντίστοιχα. 100 63

δ) ϕ = π f t ϕ = 00πrad Α Α ε) Το σημείο Β βρίσκεται στη θέση xb = 6,8m + 17m = 3,8m και απέχει από το σημείο Γ x B x Γ = 3,8m 3, 4m x B xγ = 0, 4m x B xγ = 6 3,4m x B xγ = 6 Τα δύο σημεία βρίσκονται σε συμφωνία φάσης και έχουν κάθε στιγμή ίδια απομάκρυνση και ίδια ταχύτητα, άρα η απομάκρυνση του σημείου Γ είναι y = Γ, cm. 64

Άσκηση 9. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά σε οριζόντια εαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x Ox. Tο σημείο O της χορδής στη θέση x = 0, τη χρονική στιγμή t = 0, έχει μηδενική απομάκρυνση και θετική ταχύτητα. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ = 1m / s. Για ένα σημείο Ν της εαστικής χορδής, η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στη γραφική παράσταση που ακοουθεί. y Ν (cm) 5 0 4 8 t(s) -5 α. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος στο S.I. β. Να βρείτε πόσο απέχει το σημείο Ν από το Ο. γ. Να βρείτε ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης του σημείου Ν. δ. Να βρείτε τη φάση του σημείου Ο, τη χρονική στιγμή που το σημείο Ν βρίσκεται για πρώτη φορά στην μέγιστή του απομάκρυνση. α. Η εξίσωση που περιγράφει ένα αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική φορά t x του άξονα x Ox είναι: y= Aημπ - T. (1) Πρέπει να υποογίσουμε το πάτος Α, την περίοδο Τ και το μήκος κύματος. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι: Α = 5cm και Τ = 8s 4s = 4s, άρα Τ = s. Από τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής, βρίσκουμε το μήκος κύματος. m υ = f = υt = 1 s = m s Mε αντικατάσταση στην (1) παίρνουμε: t x y= 5ημπ -, (y σε cm, x σε m). 65