ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

Transcript

1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΙΚΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΓΡΜΜΙΚΟΥ ΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΤΟΣ 1η Ερώτηση 1.Στα διαγράμματα του σχήματος απεικονίζονται τα στιγμιότυπα ενός αρμονικού κύματος, που διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος εαστικού μέσου που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα Ο, τις χρονικές στιγμές = και =,5 s. Τη χρονική στιγμή =,5s που το σημείο Κ ( Κ = m) έχει διανύσει μήκος τροχιάς s=,6 m, το σημείο Λ ( Λ = 6m) έχει ταχύτητα: α. V = -π m / s β. V = π m / s γ. V = π m / s δ. V = -π m / s. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. y (m) K Λ 6 1 =s (m) =,5s (m) η Ερώτηση Β 1. Δύο αρμονικά κύματα της μορφής y=ημπ( + T ), φ (ra) διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα σε δύο διαφορετικές χορδές,που ταυτίζονται σε κάθε περίπτωση με τον άξονα Ο, κατά την αρνητική φορά του άξονα και φθάνουν τη 3π χρονική στιγμή = στη θέση Ο(=), η οποία τααντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=ημω. Στο διάγραμμα του σχήματος απεικονίζονται οι φάσεις φ και φ Β των δύο κυμάτων σε συνάρτηση με τη συντεταγμένη σε κοινούς άξονες,για την ίδια χρονική στιγμή. Για τις συχνότητες f και f των δύο κυμάτων ισχύει: α. f =f β. f =3f γ. f = 1 3 f Β. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. φ () φ Β () (m) 3η Ερώτηση Γ 1. Κατά μήκος ομογενούς γραμμικού εαστικού μέσου που εκτείνεται στη διεύθυνση του άξονα Ο, διαδίδεται κάθε φορά κατά τη θετική φορά και με την ίδια ταχύτητα διάδοσης,ένα από τα τρία αρμονικά κύματα με εξισώσεις: y 1 =ημ π( - T ), y =ημπ ( - T ), y 3 =ημπ ( - T ).Για τις τιμές των ισχύων που μεταφέρει το κάθε κύμα Ρ 1, Ρ και Ρ 3 αντίστοιχα ισχύει : Ρ α. Ρ 1 = = Ρ 3 β. Ρ 1 = Ρ = Ρ 3 γ. Ρ 1 = Ρ = Ρ 3 Γ. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. η Ερώτηση Δ 1.Ένας φάρος ανααμπών φωτοβοεί «στιγμιαία» κάθε 1,5s.Κάποια χρονική στιγμή που ο φάρος φωτοβοεί, ο φαροφύακας που στέκεται στην ίδια κατακόρυφη με την εστία φωτισμού, παρατηρεί ότι από μπροστά του διέρχεται το όρος ενός κύματος που θεωρείται εγκάρσιο αρμονικό και σταθερού πάτους, ενώ μια σημαδούρα που βρίσκεται στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος και σε οριζόντια απόσταση από το φαροφύακα, βρίσκεται σε κοιάδα του κύματος. Ο φαροφύακας επίσης παρατήρησε ότι ο χρόνος που μεσοαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών διεεύσεων όρους από μπροστά του είναι s. Το κύμα διανύει την 1

2 απόσταση σε χρόνο που αντιστοιχεί σε τρεις διαδοχικές ανααμπές του φάρου. Κατά μήκος της απόστασης σχηματίζονται : α.1 όρη β. 11 όρη γ. 1 όρη Δ. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. 5η Ερώτηση Ε 1.Εγκάρσιο αρμονικό κύμα με μήκος κύματος =, m διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση σε εαστικό μέσο Ο. Το κύμα τη χρονική στιγμή =, βρίσκεται στη θέση Ο (=) η οποία αρχίζει να τααντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=ημω. Δύο σημεία και Β του εαστικού μέσου που απέχουν =3 βρίσκονται στη μέγιστη δυνατή απόσταση, η οποία είναι ma =,5m, κάθε,1s. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταάντωσης των σημείων του εαστικού μέσου είναι: α. 3π m / s β. π m / s γ. π m / s Ε. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. 6η Ερώτηση ΣΤ 1. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά σε εαστικό μέσο Ο. Το κύμα τη χρονική στιγμή = βρίσκεται στη θέση Ο (=), η οποία αρχίζει να τααντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=ημω. Τη χρονική στιγμή 1 =s το κύμα φτάνει σε σημείο του εαστικού μέσου, ενώ τη χρονική στιγμή =s που το κύμα φθάνει σε σημείο Β που βρίσκεται δεξιότερα του, το σημείο Ο έχει φάση φ (Ο) =8 π ra. ν τα σημεία και Β απέχουν =6m, τότε τη χρονική στιγμή τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ τους και έχουν απομάκρυνση y=+ είναι: α. β. γ. 3 ΣΤ. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. ΠΝΤΗΣΕΙΣ 1. α.πό τo στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή =,5 s προκύπτει ότι: Κ Λ = =(6-) =8m. Ο χρόνος ταάντωσης του σημείου Κ είναι 3T =, συνεπώς το μήκος της τροχιάς ταάντωσης του Κ είναι s= 3,6= 3 =,m () Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ= υ= 1 υ= m/s (3), 5 πό τη θεμειώδη σχέση της κυματικής: υ= f f= υ f=,5 Hz () (3) Ο χρόνος ταάντωσης του σημείου Λ τη χρονική στιγμή =,5s= 5T είναι Δ= T = T και η ταχύτητα του σημείου Λ είναι V=-V ma, διότι όπως φαίνεται στο στιγμιότυπο του κύματος, τα σημεία αρχίζουν να τααντώνονται προς τη θετική κατεύθυνση. Άρα V=-ω V=-πf V= -π m/s. () () *Η συχνότητα f μπορεί να υποογιστεί και ως εξής: =,5s 5T =,5s T=,s f=,5 Hz

3 Β 1. β Β.πό την εξίσωση του πρώτου κύματος προκύπτει ότι η φάση δίνεται από τη σχέση φ =π( + ).Άρα τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή (=σταθ): T φ π = - 3π 3 - = π 3π= π = 3 m πό την εξίσωση του δεύτερου κύματος αντίστοιχα προκύπτει ότι: φ Β =π( + ).Άρα τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή (=σταθ): T φ π = - 3π 6-9 = π π π= = m () Τα δύο κύματα έχουν την ίδια ταχύτητα διάδοσης υ: υ= f = f () Γ 1.α Γ.πό τη σύγκριση των εξισώσεων των τριών κυμάτων προκύπτει ότι: y 1 =ημ π( - T ), με f 1=f, 1 = () y =ημπ( - T ) y =ημπ ( - T ), με f =f 1 =f (3), = () y 3 =ημπ ( - T ), με f 3=f (5), 3 = (6) f =3 f Η ισχύς που μεταφέρει ένα κύμα, ορίζεται ως το πηίκο της ενέργειας E που έχει μεταφέρει στο μέσο διάδοσης του σε χρόνο προς το χρόνο : P= E.Όμως η ενέργεια E είναι ίση με την ενέργεια ταάντωσης των στοιχειωδών τααντωτών που αποτεoύν το τμήμα του μέσου στο οποίο έχει διαδοθεί το κύμα σε χρόνο. E=E 1 + E + +E N E= 1 m ω m ω + 1 m ω Ν E= 1 (m + m m )ω 1 N E= 1 (Δm)ω E= 1 (Δm)π f. Όπου Δm=η μάζα του τμήματος του μέσου στο οποίο έχει διαδοθεί το κύμα σε χρόνο.επειδή η ταχύτητα διάδοσης των τριών κυμάτων είναι ίδια, στον ίδιο χρόνο διαδίδονται στην ίδια απόσταση στο μέσο, άρα η μάζα Δm του τμήματος του μέσου που τααντώνεται είναι ίδια. 1 Η ισχύς ενός κύματος είναι : P= E (Δm)π f P= (7) 1 (Δm)π f πό (7) P 1 = (8) () 1 πό (7) (3) (Δm)π f (8) P = Ρ P = P 1 Ρ 1 = () (9) 3

4 1 πό (7) (5) (Δm)π f P 3 = (6) Δ 1.β Δ. (8) Ρ P 3 = P 1 Ρ 1 = 3 (9) Ρ Ρ 1 = = Ρ 3 Εάν υποθέσουμε ότι κατά μήκος της απόστασης που οριοθετείται από τη θέση του φαροφύακα και τη σημαδούρα σχηματίζονται Ν όρη, τότε =(Ν-1)+ (Ν -1) (όπου = το μήκος κύματος). Το χρονικό διάστημα Δ που απαιτείται για να φτάσει το κύμα από τη θέση του φαροφύακα στη σημαδούρα είναι Δ= υδ () (όπου υ = η ταχύτητα διάδοσης του κύματος) υ πό τις και () : (Ν - 1) υδ (Ν -1) υt = υδ Δ (Ν -1) T (3). Επειδή το χρονικό διάστημα Δ αντιστοιχεί στο χρονικό διάστημα που ο φαροφύακας παρατηρεί τρεις ανααμπές, Δ=Τ φ () όπου Τ φ =η περίοδος φωτοβοίας του φάρου. Επίσης, επειδή ο χρόνος που μεσοαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές διεεύσεις όρους από τη θέση του φαροφύακα είναι ίσος με την περίοδο Τ του κύματος, Τ=s (5). πό (3) () Τ φ =(Ν -1) T (5) 1,5=(Ν -1) Ν=11 Ε 1. γ Ε. Η εξίσωση του κύματος είναι y=ημπ( - T ) η διαφορά φάσης των σημείων και Β κάθε χρονική στιγμή είναι: Δφ=φ -φ Β φ -φ Β = π( - )-π( - ) T T φ -φ Β = π( ) φ -φ Β = π φ -φ Β =3π φ =3π+φ Β. 3 y + Η απομάκρυνση του σημείου Β είναι: y Β =ημφ Β y Β =ημ(3π+φ Β ) y Β =-ημφ y Β =-y. O - 1 1

5 Άρα τα σημεία και Β έχουν αντίθετες απομακρύνσεις. Η μεταξύ τους απόσταση υποογίζεται από το ορθογώνιο τρίγωνο 3 ( y + y ) 1 1: απόσταση μεγιστοποιείται όταν y = y. Άρα ma = 9 αριθμητική αντικατάσταση =,m ().. Με Τα σημεία και Β βρίσκονται στη μέγιστη μεταξύ τους απόσταση ανά T, δηαδή όταν βρίσκονται στις μέγιστες (και αντίθετης κατεύθυνσης) απομακρύνσεις τους, T =,1 s T=,s f=5hz (3). Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταάντωσης των σημείων του εαστικού μέσου είναι: (),(3) V ω V πf V π m / s. ma ma ma ΣΤ 1. α ΣΤ. Επειδή το σημείο Ο σε χρόνο Δ= -=s, έχει φάση φ (Ο) =8π ra, η γωνιακή Δφ (Ο) συχνότητα ω θα είναι ω= ω = π ra / s f = 1Hz. Δ Το κύμα σε χρόνο Δ= - 1 διανύει απόσταση Δ=. Άρα η ταχύτητα διάδοσης του υ,() κύματος είναι υ= υ = 3 m/s (). Άρα = = 3m - 1 f. Επομένως η απόσταση =6m των σημείων και Β αντιστοιχεί σε. πό το στιγμιότυπο κύματος τη χρονική στιγμή =s=t, προκύπτει ότι μεταξύ των και Β υπάρχουν σημεία με απομάκρυνση y = +... Η y (m) =s + +/ Σ 1 Σ Σ 3 Σ 9 1 (m) * Στο ίδιο συμπέρασμα καταήγουμε από το γεγονός ότι η απόσταση =6m των σημείων και Β αντιστοιχεί σε. Σε μήκος υπάρχουν σημεία με απομάκρυνση y = + (διότι ένας τααντωτής σε χρόνο μιας περιόδου έχει δύο φορές απομάκρυνση y = + ), άρα σε μήκος θα υπάρχουν σημεία. 5