ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων βρίσκεται στη θέση r A = (,, a) και το άλλο στη θέση r B = (,, a). Η δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο που βρίσκεται στη θέση r από το κάθε ελκτικό κέντρο είναι F A = Cmr και F B = Cmr αντίστοιχα, με C <. Στις παραπάνω σχέσεις είναι r = r r A, r = r r B.. Ποια η ένταση του πεδίου (θεωρήστε το βαρυτικού τύπου) στην αρχή των αξόνων και στη θέση (a,, );. Να εξηγήσετε γιατί αν το σωματίδιο κινείται αρχικά στο επίπεδο x z (v y () = ) θα κινείται για πάντα στο επίπεδο αυτό χρησιμοποιώντας μόνο τις εξισώσεις κίνησης. 3. Να δειχθεί ότι η στροφορμή του σωματιδίου ως προς την αρχή των αξόνων είναι σταθερή. Ποια η τιμή αυτής αν το σωματίδιο κινείται αρχικά στον άξονα x; 4. Είναι το πεδίο συντηρητικό; Ποια η ενέργεια του σωματιδίου αν αυτό βρίσκεται αρχικά ακίνητο στη θέση (x, y, z ); 5. Συνεχίζοντας το προηγούμενο ερώτημα, τι τροχιά θα διαγράψει το σωματίδιο; Πρόβλημα B Ένα σωματίδιο μάζας m = κινείται υπό την επίδραση του δυναμικού V (x) = x/( + x ).. Σχεδιάστε το δυναμικό και προσδιορίστε το σημείο ευσταθούς ισορροπίας.. Αν το σωματίδιο βρίσκεται αρχικά με αρκούντως μικρή ταχύτητα, μέτρου v = ε, με ε <<, στο σημείο ευσταθούς ισορροπίας ώστε να μπορούμε να θεωρούμε ότι θα εκτελέσει ταλάντωση περί αυτό, προσδιορίστε και σχεδιάστε την καμπύλη στον χώρο των φάσεων (x, v) που διαγράφει το σωματίδιο και από τη έκφραση αυτή προσδιορίστε την περίοδο της κίνησης. 3. Σωματίδιο μηδενικής ενέργειας βρίσκεται αρχικά στο σημείο x() = ε, όπου ε << κινούμενο με θετική ταχύτητα,. Δείξτε ότι θα επιστρέψει στο x = ε σε πεπερασμένο χρόνο και εκτιμήστε τον χρόνο αυτό συναρτήσει του ε κρατώντας μόνο όρους πρώτης τάξης ως προς το ε. 4. Σχεδιάστε στο χώρο των φάσεων (x, v) τις τροχιές που προκύπτουν για τα διάφορα δυνατά επίπεδα ενεργειών.
Πρόβλημα Γ Σωματίδιο μάζας m και φορτίου e κινείται σε σταθερό μαγνητικό πεδίο με καρτεσιανές συντεταγμένες B = (mω/e) (,, ), (σε μονάδες όπου c = ). Στο σωματίδιο ασκείται επιπλέον και ελκτική δύναμη F = mω r όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου. Αρχικά το σωματίδιο βρίσκεται στη θέση r() = (,, ) με ταχύτητα μηδέν ṙ() = (,, ).. Γράψτε σε καρτεσιανές συντεταγμένες τις εξισώσεις κίνησης του σωματιδίου και από αυτές δείξτε ότι η κίνηση του σωματιδίου θα είναι στο επίπεδο z = (το επίπεδο δηλαδή που είναι κάθετο στο σταθερό μαγνητικό πεδίο).. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης στο επίπεδο x y χρησιμοποιώντας τη μιγαδική μεταβλητή ξ = x + iy και προσδιορίστε τη λύση ξ(t) δεδομένων των αρχικών συνθηκών. 3. Αν υπήρχε και εξωτερική αρμονική διέγερση συχνότητας Ω, δείξτε μέσω της εξίσωσης του ξ ότι το σύστημα μπορεί να συντονιστεί. Σε πόσες και ποιές συχνότητες συντονίζεται; Αν δεν υπήρχε το μαγνητικό πεδίο σε ποιά συχνότητα θα συντονίζονταν το σύστημα; (Δεν είναι ανάγκη να εκτελέσετε τους υπολογισμούς εξαρχής.) 4. Δείξτε ότι η κίνηση είναι περιοδική, προσδιορίστε την περίοδο και υπολογίζοντας το ξ(t) αποδείξτε ότι η κίνηση είναι κλειστή τροχιά εντός δακτυλίου, του οποίου να προσδιορίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη ακτίνα. 5. Προαιρετικό: Μέσω του ξ(t) προσδιορίστε το τετράγωνο της ταχύτητας, τις απόστασεις από την αρχή και τους χρόνους που η ταχύτητα είτε μηδενίζεται είτε είναι μέγιστη. Mπορείτε τώρα να σχεδιάσετε την τροχιά; Πρόβλημα Δ Ένας αρμονικός ταλαντωτής με φυσική συχνότητα ω και συντελεστή απόσβεσης γ = ω βρίσκεται αρχικά (για t < ) ακίνητος στο σημείο ισορροπίας. Ο ταλαντωτής δέχεται εξωτερική δύναμη της μορφής F (t) = m [δ(t) δ(t /γ)] όπου m η μάζα του ταλαντωτή.. Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει ο εν λόγω ταλαντωτής αν τεθεί σε κίνηση;. Να υπολογιστεί η θέση του ταλαντωτή για t /γ. 3. Να υπολογιστεί η θέση του ταλαντωτή για /γ t και να σχεδιαστεί το διάγραμμα του x(t) για όλους τους χρόνους. Θα διασχίσει ο ταλαντωτής το σημείο ισορροπίας;
Λύσεις Πρόβλημα Α. g = F A + F B m = C(r + r ) Παρατηρήστε ότι g = Cr αφού r A + r B =.. Ενόσω η ταχύτητα και η θέση βρίσκονται στο επίπεδο x z, θα είναι και η δύναμη (που είναι ανάλογη του r + r ) και η επιτάχυνση στο ίδιο αυτό επίπεδο. Επομένως δεν πρόκειται να φύγει το σωματίδιο από αυτό το επίπεδο. 3. Αν δεν κάνουμε την παρατήρηση του ου ερωτήματος όπου φαίνεται ότι η δύναμη είναι κεντρική, θα λέγαμε ότι dl dt = r F = Cmr (r + r ) = Cmr (r r A r B ) = Cmr (r A + r B ) = αφού τα r A, r B είναι το ένα αντίθετο του άλλου. Αν το σωματίδιο κινείται στον άξονα x L = L = m(x,, ) (v x,, ) =. 4. Ναι αφού η κάθε μία δύναμη είναι συντηρητική. Εναλλακτικά οπότε Το δυναμικό είναι F = Cm(x, y, z a + z + a) = Cm(x, y, z) Φ = οπότε E/m = K/m + Φ = Φ. r F =. g dr = C r = C (x + y + z ) 5. Αφού είναι αρχικά ακίνητο θα έχει μηδενική στροφορμή, επομένως θα κινηθεί σε μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και θα εκτελέσει ταλάντωση με συχνότητα ω = C. 3
Πρόβλημα B.4. -4-4 -.. -.4 Ισορροπία έχουμε στα σημεία όπου V (x) = ( x )/(+x ) =. Δηλαδή στα σημεία x = ±. Από αυτά το είναι ευσταθές αφού V ( ) > (ή αλλιώς στο (, ) η V (x) < και στο (, ) η V (x) > ).. Από διατήρηση ενέργειας v + V (x ) = ε + V ( ) = ε και αναπτύσσοντας το δυναμικό γύρω από το - έχουμε V (x ) + (x + )V ( ) + (x + ) V ( ) = + (x + ) V ( ). Βρίσκουμε V (x) = x(3 x ) ( + x ) 3 V ( ) = οπότε v + 4 (x + ) = ε. Πρόκειται για έλλειψη με κέντρο το (, ), οριζόντιο ημιάξονα ε και κατακόρυφο ημιάξονα ε. Δεδομένου ότι ένας τυχαίος αρμονικός ταλαντωτής σχηματίζει στο χώρο των φάσεων μια έλλειψη της μορφής E = mv + k(x x ) ο λόγος των συντελεστών της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας k/m δίνουν το τετράγωνο της συχνότητας του ταλαντωτή θα έχουμε στη συγκεκριμένη περίπτωση T = π ω = π / = π. 4
3. Αφού η ενέργεια είναι θα έχουμε x dx = v= v + = +x dt x + x με x() = ε. Φέροντας τη γραμμή E = στο διάγραμμα της δυναμικής ενέργειας βλέπουμε ότι επιτρεπτή είναι η κίνηση στην περιοχή x και εφόσον ξεκινά το σωματίδιο από αρνητική θέση κοντά στο με θετική ταχύτητα, θα φτάσει μέχρι το x = θα σταματήσει και στη συνέχεια θα αρχίσει να κινείται προς τα αριστερά. Δεδομένου ότι θέλουμε να μελετήσουμε κινήσεις στην περιοχή x μπορούμε να θεωρήσουμε ότι x = x + O(x3 ) + x οπότε dx x dt ε dx = τ x όπου τ ο χρόνος για να φτάσει το σωματίδιο (κινούμενο με θετική ταχύτητα στο. Ο ζητούμενος χρόνος θα είναι το διπλάσιο αυτού τολ = τ = ε. 4. Σχεδιάζονται τα ενεργειακά επίπεδα:.5,.45,.,,.,.5,.8 και οι αντίστοιχες καμπύλες στο χώρο των φάσεων..8.6.4.. -. -.4.5..5. -4 E=. E= E=-. - 4 E=.8 E=.5 E=-.45 E=. -.5 -. -.5 E=-.5-4 - 4 Πρόβλημα Γ 5
. m r = ( e)v B mω r r = ωṙ ẑ ω r Και αναλύοντας σε καρτεσιανές συντεταγμένες ẍ = ωẏ ω x, ÿ = ωẋ ω y, z = ω z. Η αρμονική ταλαντωτική κίνηση στον άξονα z, δεδομένων των αρχικών συνθηκών z() = ż() = θα είναι μηδενική (z(t) = ).. Συνδυάζοντας τις δύο πρώτες εξισώσεις με λύση ξ iω ξ + ω ξ =. ξ(t) = ξ e iωt + ξ e iωt όπου από τις αρχικές συνθήκες θέσης-ταχύτητας: ξ + ξ = iω(ξ ξ ) = ξ = /3, ξ = /3. () 3. Αφού οι x και οι y συνιστώσες ταλαντώνονται με έναν γραμμικό συνδυασμό συχνοτήτων αυτές οι συχνότητες είναι ικανές να συντονίσουν το σωματίδιο. Απουσία μαγνητικού πεδίου μένεις ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής με συχνότητα (και επομένως συχνότητα συντονισμού) Ω = ω. 4. Ειναι προφανές από τη μορφή της λύσης ότι για t = kπ/ω το σωματίδιο επιστρέφει στην αρχική θέση με την ίδια αρχική ταχύτητα. Επίσης ξ(t) = ( ) + 3 ( 3 ) ( ) (e 3iωt + e 3iωt ) = 9 ( ) 5 + 9 ( ) 4 cos(3ωt) 9 Επομένως 3 ξ(t) δηλαδή η κίνηση περιορίζεται σε ένα δακτύλιο με εσωτερική ακτίνα /3 και εξωτερική. 5. ξ(t) = iω ( ) e iωt 3 ( ) e iωt = 3 3 ω + e 3iωt e 3iωt = 3 ω cos(3ωt) δηλαδή η ταχύτητα μεγιστοποιείται και είναι ίση με 4ω/3 κάθε T v = π/(3ω) και ελαχιστοποιείται (ίση με ) πάλι κάθε T v. Η ίδια περίοδος εμφανίζεται και στην απόσταση. Επομένως 3 φορές 6
- -.8 -.6 -.4 -...4.6.8.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 - Σχήμα : μεσά σε κάθε περίοδο της κίνησης T = π/ω η τροχιά εισέρχεται και εξέρχεται στο δακτύλιο και αντίστοιχα αλλάζει και η ταχύτητα. Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται η τροχιά και το μέσα-έξω αυτής 3 φορές μέχρι να κλείσει η τροχιά. Οι αιχμές εμφανίζονται λόγω μηδενισμού της ταχύτητας κάθε /3 της περιόδου. Στη συνέχεια το ελατήριο τραβά το σωματίδιο προς το κέντρο και το κινούμενο φορτίο δέχεται τη δύναμη Lorentz που του καμπυλώνει την τροχιά. Πρόβλημα Δ. Πρόκειται για κρίσιμη απόσβεση. Επομένως η ελέυθερη κίνηση θα έχει τη γενική μορφή x(t) = (A + Bt)e ω t.. Η κίνηση θα πρέπει να είναι συνεχής και να παρουσιάζει αλλαγή κλίσης στα μηδενικά της δέλτα. Επομένως {, για t x(t) = (A + B t)e ω t, για < t /ω Από συνέχεια στο t = θα έχουμε A = και εξαιτίας της δέλτα B =. Στο t = /ω η θέση του κινητού είναι x(t ) = ω e και η ταχύτητα v(t) = e ω t ( ω t ) =. 3. Στη συνέχεια δρα η η δέλτα όπότε πάλι θα έχουμε συνέχεια και αλλαγή κλίσης κατά -. Έτσι (A + B t )e ω t = ω e A + B ω = ω 7
και Συνεπώς B = e. Επομένως η κίνηση θα είναι e ω t (B ω (A + B t ) = A = e/ω. x(t) = (e/ω + ( e)t)e ω t, για t > /ω. Το κινητό αυτό διέρχεται από το σημείο ισορροπίας x = για e/ω + ( e)t = δηλαδή για t = e (e )ω > t..3. xhtl.. -. - 3 4 5 t 8